Este documento discute dedução lógica e matemática. Resume: (1) Apresenta métodos para realizar deduções a partir de premissas usando regras de inferência; (2) Discute como analisar a validade de argumentos usando tabelas-verdade; (3) Exemplifica regras de inferência como modus ponens e modus tollens.

1. Raciocínio Lógico
Matemático
Dedução
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
 Unidade de Ensino: 3
 Competência da Unidade: Conhecer métodos e técnicas de operações
matemáticas para desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico de apoio
à tomada de decisão.
 Resumo: Permitir que o aluno consiga realizar deduções a partir de
premissas, possa aplicar regras de inferência com o intuito de facilitar e
não permitir que realize deduções falhas ou equivocadas.
 Palavras-chave: tabela verdade; regras de inferência; premissas; dedução.
 Título da Teleaula: Dedução
 Teleaula nº: 3
Contextualização
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Como analisar a
veracidade de um
argumento?
Raciocínio Lógico
Matemático
Dedução
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Validade de um
argumento
Notação
 Idicamos as premissas:
(𝑃 ,𝑃 , 𝑃 ,𝑃 , … , 𝑃 ) e a conclusão (𝑄) de um argumento através da seguinte forma:
𝑃 , 𝑃 ,𝑃 , 𝑃 , …, 𝑃 ↦ 𝑄
 As maneiras mais usuais de lermos essa expressão são:
 𝑃 , 𝑃 ,𝑃 , 𝑃 , …, 𝑃 acarretam 𝑄.
 𝑄 se deduz de 𝑃 , 𝑃 , 𝑃 ,𝑃 , …, 𝑃 .
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2. Validade de um argumento
Um argumento é válido quando as premissas são simultaneamente
verdadeiras e, inevitavelmente, sua conclusão também será.
Para que um argumento seja válido, a condicional
𝑃 ∧ 𝑃 ∧ 𝑃 ∧ 𝑃 ∧ ⋯ ∧ 𝑃 → 𝑄
deve ser sempre uma tautologia
Condicional associada ao argumento
𝑃 ,𝑃 , 𝑃 , 𝑃 ,… , 𝑃 ↦ 𝑄
Verificando a validade de um argumento
Para verificar a validade de um argumento consideramos um argumento
constituído pelas premissas 𝑃 , 𝑃 ,𝑃 , 𝑃 ,… , 𝑃 e conclusão 𝑄.
 Construímos a tabela-verdade para as premissas com a coluna
𝑃 ∧ 𝑃 ∧ 𝑃 ∧ 𝑃 ∧ ⋯ ∧ 𝑃
 Incluímos a coluna com os valores lógicos da conclusão Q
na tabela verdade anterior.
Verificando a validade de um argumento
 Verificamos se há implicação lógica entre as premissas e a conclusão,
ou seja, buscamos uma linha que apresente, nesta ordem, VF.
Se existir ao menos uma linha da tabela-verdade que apresente os
valores lógicos VF, então, o argumento não será válido.
Exemplo
 Vamos analisar a validade do argumento
p ↦ p ∨ q
A premissa nesse argumento é p e a conclusão p ∨ q.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
premissa conclusão
Analisa a coluna das
premissas e da
conclusão verificando se
há uma linha VF nessa
ordem
Argumento
válido
Vamos analisar a validade do argumento
p → q,q ↦ p
As premissas nesse argumento são p → q e q sendo a conclusão p.
Escrevendo a condicional associada ao argumento temos
p → q ∧ q → p
p q p → q p → q ∧ q
p
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F F
Argumento
inválido
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3. Regras de inferência
Regras de inferência
As regras de inferência são argumentos válidos fundamentais. Ao estudar essas
regras, deparamo-nos com uma série de argumentos válidos fundamentais
estão alguns mais usados.
Regras de inferências
Nome Propriedade
Adição (AD) p ↦ p ∨ q ou p ↦ q ∨ p
Simplificação (SIMP) p ∧ 𝑞 ↦ p ou p ∧ 𝑞 ↦ q
Conjunção (CONJ)
p, q ↦ p ∧ 𝑞 ou p, q ↦ q ∧ 𝑝
Absorção (ABS)
p → q ↦ p → (p ∧ 𝑞)
Exemplos
Sejam as proposições simples:
p: João é médico
q: Pedro é engenheiro
 Regra da simplificação
João é médico e Pedro é engenheiro.
Portanto, João é médico.
p ∧ q ↦ p
 Regra da adição
p: João é médico
Portanto, João é médico ou Pedro é engenheiro.
p ↦ p ∨ q
Exemplos
 Regra da absorção
Se João é médico então Pedro é
engenheiro.
Portanto, Se João é médico então João
é médico e Pedro é engenheiro
p → q ↦ p → (p ∧ 𝑞)
 Regra da conjunção
p: João é médico
q:Pedro é engenheiro
Portanto, João é médico e Pedro é
engenheiro.
p, q ↦ p ∧ q
Modus Ponens
Conhecida também como regra de separação, permite deduzir a conclusão q
a partir das premissas p → q e p.
Se faz calor, então a água da piscina esta quente. Faz calor.
Portanto, a água da piscina esta quente.
q
p p
q
p → q,p ↦ q
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4. Modus Tollens
Permite deduzir a conclusão ~p a partir das premissas p → q e ~q.
Se faz calor, então a água da piscina esta quente.
A água da piscina não esta quente.
Portanto, não faz calor.
q
p
~p
~q
p → q,~q ↦ ~p
Outra forma de enunciar o Modus Tollens
~q → ~p, ~q ↦ ~p
Tomada de decisões
Regina trabalha em uma empresa em que ela é responsável por autorizar ou não
a compra de uma determinada matéria-prima. Ao consultar o gerente de
produção, Regina obteve as seguintes informações:
“Se houver necessidade de determinada matéria-prima, então há algum pedido
de peças para motores de caminhões. Ao verificar junto com a produção,
constatou que não houve pedido para a produção de peças
para motores de caminhões”.
Qual decisão
Regina deve
tomar?
Vamos escrever essa proposição em termos simbólicos.
Se houver necessidade de determinada matéria-prima, então
há algum pedido de peças para motores de caminhões.
Não houve pedido para a produção de peças para motores
de caminhões
q
p
~q p → q,~q
p → q, ~q
Modus tollens
p → q, ~q ↦ ~p
Portanto não há necessidade
de determinada matéria-prima
Então Regina não precisa
autorizar a compra, já que
ela ficará parada no
estoque da empresa
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5. Redução ao absurdo
Redução ao absurdo
Suponha que precisemos demonstrar algum teorema. Ele afirma que certa
conclusão é válida. Na técnica de demonstração por absurdo, adicionamos a
negação desta conclusão como uma premissa adicional e buscamos alguma
contradição (já que não é possível que nenhuma proposição seja verdadeira e
falsa ao mesmo tempo nem que assuma um terceiro estado).
Esta é a ideia básica por trás da redução ao absurdo.
Para realizarmos esse tipo de demonstração as regras de inferência são úteis
Regras de inferências
Nome Propriedade
Adição (AD) p ↦ p ∨ q ou p ↦ q ∨ p
Simplificação (SIMP) p ∧ 𝑞 ↦ p ou p ∧ 𝑞 ↦ q
Conjunção (CONJ)
p, q ↦ p ∧ 𝑞 ou p, q ↦ q ∧ 𝑝
Absorção (ABS)
p → q ↦ p → (p ∧ 𝑞)
Regras de inferências
Nome Propriedade
Silogismo hipotético
(SI)
p → q,q → r ↦ p → r
Silogismo Disjuntivo
(SD)
p ∨ q, ~p ↦ q
Modus Ponens (MP) p → 𝑞, 𝑝 ↦ q
Modus Tollens (MT)
p → 𝑞, ~q ↦ p
ou
~𝑞 → ~𝑝, ~q ↦ ~p
Exemplo
João é pescador ou Maria é merendeira.
João não é pescador. Queremos provar que
“Maria é merendeira”
João é pescador ou Maria é merendeira.
João não é pescador.
q
p
~p p ∨ q, ~p ↦ q
Vamos admitir, também como premissa verdadeira, a negação do que queremos
provar, ou seja, “Maria não é merendeira”, que em linguagem simbólica
p ∨ q,~p, ~q ↦ c
1. João é pescador ou Maria é
merendeira.
2. João não é pescador.
3. Maria não é merendeira.
1. p ∨ q
2. ~p
3. ~q
4. Maria é merendeira (Silogismo
disjuntivo)
p ∨ q, ~p ↦ q
5. Maria é merendeira e Maria não é
merendeira(conjunção) (absurdo)
q ∧ ~q
Como chegamos a
um absurdo a
proposição Maria é
merendeira é
verdadeira
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6. Verificando a
veracidade de um
argumento
Regina trabalha em uma empresa em que ela é responsável por gerenciar a
produção e tomar certas decisões. Nessa empresa produtos estão saindo com
problema das máquinas e o gerente da área não sabe dizer o motivo, pois são
vários os fatores envolvidos nessa ocorrência. As informações que o gerente
possui são:
 Se a matéria-prima é de qualidade, então o produto final tem qualidade.
 O funcionário cometeu um erro ou o produto final não tem
qualidade.
 O funcionário não cometeu um erro.
O gerente afirma que, baseado nesses fatos, a causa dos problemas é que a
matéria-prima utilizada na produção não é de qualidade.
Regina pode confiar no
julgamento do gerente
baseado nos fatos
apresentados?
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Regina selecionou as informações que
recebeu
e as transformou em proposições; assim:
 p: A matéria-prima é de qualidade.
 q: O produto final tem qualidade.
 r: O funcionário cometeu um erro.
Agora, em linguagem simbólica, a
argumentação que ela quer demonstrar é
p → q,r ∨ ~q,~r ↦ ~p
Utilizando a dedução por absurdo
queremos provar a matéria-prima
utilizada na produção não é de
qualidade.
p → q,r ∨ ~q, ~r,p ↦ c
1. Se a matéria-prima é de qualidade,
então o produto final tem qualidade.
2.O funcionário cometeu um erro ou o
produto final não tem qualidade.
3. O funcionário não cometeu um erro.
4. A matéria-prima é de qualidade
1. p → q
2. r ∨ ~q
3. ~r
4. p
5. Utilizando as proposições 1 e 4 podemos
concluir que o produto final tem qualidade
(MP)
p → q,p
↦ q (5)
6. Utilizando as proposições 2 e 3 podemos
concluir que o produto final não tem
qualidade (SD)
r ∨ ~q, ~r
↦ ~q (6)
7. Utilizando as proposições 5 e 6 temos
que produto final tem qualidade e não tem
qualidade (CONJ) Absurdo
7. q ∧ ~𝑞
A matéria-prima não
é de qualidade.
Logo, Regina pode
confiar na conclusão
do gerente
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7. Silogismo
Silogismo
Um silogismo é um tipo particular de argumento dedutivo constituído de apenas
duas premissas e uma conclusão.
Consideraremos o seguinte argumento.
Premissa 1: Todo peixe é vertebrado.
Premissa 2: Todos os tipos de tubarão são peixes.
Conclusão: Todo tubarão é vertebrado.
É um silogismo, pois é um
argumento composto por apenas
duas premissas e uma conclusão.
Em um silogismo, temos três termos que recebem os nomes de termo maior,
termo médio e termo menor.
 Denomina-se termo maior o termo que cumpre o papel de predicado na
conclusão do argumento.
 Denomina-se termo menor o termo que cumpre o papel de sujeito na
conclusão do argumento.
 Lembre-se de que termo médio é aquele que aparece apenas nas premissas
do argumento.
Lembre-se!
Sujeito é aquele ou aquilo de que(m) se fala
Predicado é a informação dada sobre o sujeito
Premissa 1: Todo peixe é vertebrado.
Premissa 2: Todos os tipos de tubarão são peixes.
Conclusão: Todo tubarão é vertebrado.
 Termo médio: aparece repetido nas duas premissas, mas não na
conclusão.
 Termo maior: cumpre o papel de predicado na conclusão
do argumento.
 Termo menor: cumpre o papel de sujeito na conclusão
do argumento.
(peixes)
( vertebrado)
(tubarão)
Atenção
 Na conclusão, os termos não podem ter extensão maior do que nas premissas.
 O termo médio não pode entrar na conclusão.
 O termo médio deve ser universal ao menos uma vez.
 De duas premissas negativas, nada se conclui.
 De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão
negativa.
 A conclusão segue sempre a premissa mais fraca.
 De duas premissas particulares, nada se conclui.
Tipos de silogismo
Temos vários tipos de silogismo, como:
Silogismo categórico
São silogismos em que as premissas articulam
dois termos a um terceiro. O silogismo é
categórico pelo fato de conter proposições
categóricas, ou
seja, enunciados simples que contêm apenas um
sujeito e um predicado.
Todos os homens são mamíferos;
Carlos é homem;
Logo, Carlos é mamífero.
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8. Tipos de silogismo
Se você investe no mercado de valores, então você ficará
rico.
Se você fica rico, então você será feliz.
Portanto, se você investe no mercado de valores, então
você será feliz.
É aquele que parte de vários
julgamentos baseados em hipóteses e
acaba tirando uma conclusão válida
relacionando-os entre si.
Silogismo hipotético
Tipos de silogismo
Se João foi trabalhar, então Fernanda ficou em casa.
João foi trabalhar.
Logo, Fernanda ficou em casa.
Mistura a hipótese da primeira premissa
com uma segunda e uma terceira
categoria. Eles podem ser negativos ou
positivos, com estruturas diferentes
(modus ponens e modus tollens)
Silogismo hipotético
misto
Exemplos
Todo morango é vermelho.
Alguma fruta não é vermelha.
Logo, alguma fruta não é morango.
Se Antônio é estudante, então
Isabela é dona de casa.
Antônio é estudante.
Logo, Isabela é dona de casa.
Silogismo categórico
Silogismo
hipotético
Todo pássaro é bonito.
Tudo que é bonito é agradável.
Portanto, algo que é agradável é
um pássaro.
Se eu adormecer de manhã, chegarei
atrasado ao trabalho.
Se eu estiver atrasado para o
trabalho, eles chamarão minha atenção
Portanto, se eu dormir de manhã, eles
chamarão minha atenção no trabalho
Silogismo categórico
Silogismo
hipotético
Raciocínio Lógico
Matemático
Dedução
Prof. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Recapitulando
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argumento
Regras de inferências
Modus Ponens e
Modus Tollens Tipos de Silogismos
Silogismos
Redução por absurdo
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