Aula 01 - Introdução à teoria de conjuntos.pdf

Introdução à Teoria de Conjuntos
Aula 1
Prof. Dr. Jhonnata Carvalho
Universidade Federal do Amazonas
Prof. Dr. Jhonnata Carvalho (UFAM) Introdução à Teoria de Conjuntos Aula 1 1 / 30

Probabilidade
Muitas vezes nos deparamos com o termo ”probabilidade”, mas o que é
uma probabilidade? Para que serve? O objetivo da Teoria da Probabi-
lidade é quantificar (mensurar) matematicamente conceitos como: in-
certeza, risco, chance, possibilidade, sorte, entre outras. Comumente,
ouvimos no nosso dia a dia:
A probabilidade de chover amanhã é de 70%;
A probabilidade do Corinthians se tornar campeão no
campeonato é de 99%;
A probabilidade do Flamengo ser rebaixado aumentou;
A probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda é de
50%.
Acredito que todos nós temos uma certa intuição sobre o significado
dessas frases. Para entender melhor sobre a Teoria da Probabilidade
vamos ver alguns conceitos importantes.

Probabilidade
Definição
Experimento: é um mecanismo utilizado pelo pesquisador, no qual
ele manipula e controla uma ou mais variáveis no estudo.
Exemplos: criar um novo medicamento, aumentar a produção com o
menor custo, comparar dois tratamentos, lançar uma moeda etc.

Probabilidade
Definição
Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições e não
produzirem o mesmo resultado, são denominados de experimentos
aleatórios.
Exemplo 1: considere o experimento que consiste laçar uma mo-
eda em uma superfı́cie plana e observa-se a face voltada para
cima.
Exemplo 2: considere o experimento que consiste laçar um dado
de 6 faces em uma superfı́cie plana e observa-se a face voltada
para cima.
Exemplo 3: considere o experimento que consiste na escolha de
uma carta de baralho.

Probabilidade
Definição
Experimentos que ao serem repetidos nas mesmas condições e produ-
zirem o mesmo resultado, são denominados de experimentos deter-
minı́sticos.
Exemplo 3: ferver a água a 100 graus centı́grados, a água entrará
em ebulição;
Exemplo 4: retirar uma bola em uma urna, que contém exata-
mente uma bola, após a retirada, a bola é devolvida pra urna.

Probabilidade
Definição
Denominamos de espaço amostral, o conjunto Ω, que contém os
possı́veis resultados de um experimento aleatório.
Do Exemplo 1: Ω rC, Kx, no qual C: ”cara”e K: ”coroa”.
Do Exemplo 2: Ω r1, 2, 3, 4, 5, 6x.
Do Exemplo 3:
Ω rA, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, J, Q, Kº (Paus)
A, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, J, Q, K¶ (Ouros)
A, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, J, Q, K¸ (Copas)
A, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, J, Q, K¹ (Espadas)x

Exercı́cio
Verifique se os experimentos a seguir são experimentos aleatórios. Caso
sejam, descreva o espaço amostral.
1) Considere o experimento que consiste em anotar o número de
chamadas que chegam em um central eletrônica em um intervalo
de tempo.
Resposta: Sim, pois não podemos prever de antemão o número
de chamadas. Ω r0, 1, 2, . . .x.
2) Selecionar aleatoriamente um ponto em um cı́rculo de raio 1.
Resposta: Sim, pois na definição do experimento, já se sabe que
o ponto será escolhido de forma aleatória. Ω r x, y R
2

x
2
y
2
1x.

Exercı́cio
3) Selecionar aleatoriamente um aluno da turma e verificar a sua
altura. Resposta: Sim, pois na definição do experimento, já se
sabe que o ponto será escolhido de forma aleatória.
Ω rx 1 $ x 3x.
Note que o espaço amostral poderia ser diferente. Alguém poderia
sugerir Ω rx 0 $ x 3x ou Ω rx 1 $ x 2x, ou ainda,
Ω rx 0 $ x $ ™x.
Note que esses intervalos, contém, praticamente, todos os resultados
possı́veis para a altura. Entretanto, o último intervalo que possui os
reais positivos, engloba todos os outros intervalos e existem valores
impossı́veis de ocorrer. Muitas vezes é conveniente assumir intervalos
desse tipo, pois poderemos utilizar modelos probabilı́sticos (veremos
mais adiante no curso).

Exercı́cio
4) Lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima. Res-
posta: é um experimento aleatório.
Ω rCC, KK, CK, KCx.
5) Lançar uma moeda sucessivamente, até que se obtenha a primeira
face cara. Resposta: é um experimento aleatório.
Ω rC, KC, KKC, KKKC, . . .x.
Os espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos. Os exercı́cios 1,
2, 3 e 5 apresentam espaços amostrais infinitos. Os exemplos 1, 2 e 3
e o exercı́cio 4 apresentam espaços amostrais finitos.

Eventos
Definição
Denominamos de evento, todo resultado ou subconjunto de
resultados do experimento. Ou seja, todo subconjunto de Ω.
Os subconjuntos de Ω, serão denotados por letras latinas maiúsculas
do inı́cio do alfabeto, como A, B, C etc.

Eventos
Vamos denominar os elementos de Ω de eventos simples ou pontais.
Além disso, considere as notações:
ω Ω, quer dizer que ω pertence a Ω. Ou seja, ω é um
elemento de Ω.
ω ©
Ω, quer dizer que ω não pertence a Ω.
A L Ω, quer dizer que todo elemento de A pertence a Ω. Ou
seja, A é um subconjunto de Ω ou A está contido em Ω.
A ©
L Ω, quer dizer que todo elemento de A não pertence a Ω. Ou
seja, A não é um subconjunto de Ω ou A não está contido em Ω.
Considere o como sendo conjunto vazio. É o conjunto que não
contém elementos.

Eventos
Exemplo 4: considere o experimento, que consiste no lançamento de
uma moeda duas vezes. Portanto, temos que
Ω rCC, KK, CK, KCx.
Podemos definir o evento
A r”cara no primeiro lançamento”x rCC, CKx
.
Ou ainda, o evento
B r”a mesma face nos dois lançamentos”x rCC, KKx.
Note que A L Ω e B L Ω. Ou seja, os eventos A e B são subconjuntos
de Ω.

Eventos
Do Exemplo 2 (lançamento do dado), temos que Ω r1, 2, 3, 4, 5, 6x.
Assim, podemos criar o evento
A r”o resultado é par”x r2, 4, 6x.
Ou ainda, podemos ter o evento
B r”o resultado é ı́mpar”x r1, 3, 5x.
Considere agora
C r”o resultado é maior que 2”x
ou seja, C r3, 4, 5, 6x.
Note que existe elementos em comum entre os conjuntos A e C e entre
B e C. Nesse sentido, vamos definir algumas operações entre esses
conjuntos.

Operações entre eventos
Definição
A reunião (ou união) entre dois eventos A e B, denotada por A B,
é o evento que ocorre se pelo menos um deles ocorre.
Basicamente, essa operação reúne todos os elementos diferentes dos
dois conjuntos, sem que haja elementos repetidos. Em seguida temos
o diagrama de Venn, que representa essa operação.

Diagrama de Venn
Ω
A B
AB

Considere o experimento do lançamento de um dado e considere os
eventos A r2, 4, 6x (par), B r1, 3, 5x (ı́mpar) e C r3, 4, 5, 6x
(maior que 2).
Temos que
A B r2, 4, 6x r1, 3, 5x r1, 2, 3, 4, 5, 6x Ω
A C r2, 4, 6x r3, 4, 5, 6x r2, 3, 4, 5, 6x
B C r1, 3, 5x r3, 4, 5, 6x r1, 3, 4, 5, 6x

Definição
A interseção entre dois eventos A e B, denotada por A = B, é o
evento que ocorre se ambos ocorrem.
Diferentemente da união, essa operação reúne os elementos iguais nos
dois conjuntos. Em seguida, temos o diagrama de Venn que representa
essa operação.

Ω
A B
A=B

(maior que 2).
A = B r2, 4, 6x = r1, 3, 5x rox
A = C r2, 4, 6x = r3, 4, 5, 6x r4, 6x
B = C r1, 3, 5x = r3, 4, 5, 6x r3, 5x
o simboliza o conjunto vazio, ou seja, o conjunto que não possui
elementos.

Definição
O complementar de um evento A, denotado por A
c
, é o evento que
ocorre quando A não ocorre.
Em seguida, temos o diagrama de Venn que representa essa operação.

Ω
A
A
A
c

(maior que 2).Exemplos:
A
c
r2, 4, 6x
c
r1, 3, 5x B
B
c
r1, 3, 5x
c
r2, 4, 6x A
C
c
r3, 4, 5, 6x
c
r1, 2x
Ω
c
r1, 2, 3, 4, 5, 6x
c
rox

Vejamos agora, algumas propriedades entre operações de eventos.
Propriedades:
1 A B C A B C (associativa)
2 A = B = C A = B = C (associativa)
3 A = B C A = B A = C (distributiva)
4 A B = C A B = A C (distributiva)
5 A A
c
Ω
6 A B
c
A
c
= B
c
(Lei de De Morgan)
7 A = B
c
A
c
B
c
(Lei de De Morgan).
8 A
c

c
=A

Definição
Se A = B o, então diremos que os eventos A e B são disjuntos,
excludentes ou mutuamente exclusivos.
Por exemplo, considere A r1, 2, 3x e B r4, 5, 6x, então
A = B o
Ademais, dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se A L B
e B L A.

Exercı́cios
1) Considere o conjunto Ω r1, 2, 3, 4, 5x e os eventos A r1, 2, 3x,
B r2x e C r5x. Encontre os eventos
a) A B C r1, 2, 3x r2x r5x r1, 2, 3, 5x
b) A = B = C r1, 2, 3x = r2x = r5x rox
c) A B
c
r1, 2, 3x r1, 3, 4, 5x r1, 2, 3, 4, 5x Ω
d) B
c
C
c
r1, 3, 4, 5x r1, 2, 3, 4x r1, 2, 3, 4, 5x Ω

Exercı́cios
2) Considere os eventos AB r1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8x, A=B r4, 5x
e A = B
c
r1, 2, 3x. Encontre os eventos A e B.
Z Note que, se A = B r4, 5x, então r4, 5x A e r4, 5x B.
Z Note que, A =B
c
r1, 2, 3x, então r1, 2, 3x A e r1, 2, 3x ©
B.
Z Como A B r1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8x, pode-se concluir que
B r4, 5, 6, 7, 8x e A r1, 2, 3, 4, 5x.

Exercı́cios
3) Em um colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate,
70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores.
Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois sabores?
Z Alunos que gostam só de chocolate: 80 60 20.
Z Alunos que gostam só de creme: 70 60 10.
Z Alunos que gostam de sorvete: 20 10 60 90.
Z Dos 100 alunos, 90 gostam de pelo menos 1 sabor. Assim,
temos que 100 90 10 alunos não gostam de sorvete.

Exercı́cios

Exercı́cios
4) Considere Ω como sendo os número naturais de 1 a 10. Sejam
A r2, 3, 4x, B r3, 4, 5x, C r5, 6, 7x e D r2x. Enumere
os seguinte conjuntos e responda as questões
a) A
c
= B
b) A
c
B
c) A B
c
d) A
c
= B
c

c
e) A
c
= B = C
c

c
f) A = B C
c
g) D L A? Justifique.
h) A L B? Justifique.

Exercı́cios
5) Considere Ω rx 0 x 2x. Sejam os conjuntos A e B
definidos por A rx 0, 5 $ x 1x e
B rx 0, 25 x $ 1, 5x.
a) A
c
b) B
c
c) A B
c
d) A B
c
e) A
c
= B
f) A
c
= B
c

c

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