Cfsd 2016 - aula 1 e 2 - matemática

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1
Curso preparatório para concurso
bombeiros mg 2016
Disciplina: Matemática
Prof. Nicodemos
Material de aula em:
www.quimicaealgomais.blogspot.com.br
nicoquimica@yahoo.com.br
Edital bombeiros 2015,pag 30
Noções básicas
• Conjunto  agrupamento, coleção
• Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos
de uma classe torcem:
Brasiliense, Gama, Ceilândia  finito
• Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação:
segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira  finito
• Conjunto dos números pares:
0, 2, 4, 6, 8...  infinito
•A = {1, 3, 5, 7, 9} ou A = {5, 1, 3, 9, 7}
•B = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

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Uma propriedade dos elementos
A = x | x é um número ímpar positivo menor que 10
A =  , , , , 
1  A
2  A
Diagrama de Venn
Igualdade de conjuntos
 Conjunto A dos números naturais menores que 5
 B = {0, 1, 2, 3, 4}
A = B, pois ambos têm os mesmos elementos.
 Conjunto vazio  C =  ou C = { }
 Conjunto unitário  D = {capital do Brasil}
 Conjunto universo  U = {população do Brasil},
no estudo da migração
Subconjuntos de um conjunto
A é subconjuntode B se, e somente se, todos os elementos
de A pertencerem a B.

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Subconjuntos de
um conjunto
C = {xx é um número primo par}
D = {xx é um número primo menor que 10}
P = {xx é um número primo}
C  P
D  C
Complementar de um conjunto
•A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
•B = {0, 2, 4}
•Complementar do conjunto B em relação a A é o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
𝐶𝐴
𝐵
= A – B = { 1, 3, 5}
União de conjuntos
2 Operações com conjuntos
Dados os conjuntos A e B, a união de A e B é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A  B = {x | x  A ou x  B}

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União de conjuntos
Hachure a união dos conjuntos M e N:
Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, a intersecção de A e B é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
A  B = {x | x  A e x  B}
Interseção de conjuntos
Hachure a intersecção dos conjuntos M e N:

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Diferença de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, a diferença de A e B é o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B.
A − B = {x | x  A e x  B}
Diferença de conjuntos
Hachure a diferença dos conjuntos M e N:
Problemas com operações de conjuntos
Numa sala de aula:
 15 alunos jogam basquete como única atividade esportiva;
 25 jogam futebol, também como única atividade esportiva;
 7 praticam duas atividades: basquete e futebol.
Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo
menos por um dos dois esportes?

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Num supermercado:
 150 pessoas compraram o refrigerante C;
 75 compraram o refrigerante P.
Quantas compraram os dois refrigerantes, sabendo que foram
pesquisadas 200 pessoas?
C P
Uma lanchonete vendeu 1.500 hambúrgueres.
Sabendo-se que 725 deles foram pedidos com queijo,
quantos hambúrgueres sem queijo foram vendidos?
Hambúrguer (H)
NÚMEROS NATURAIS
“São os números que
usamos quando precisamos
contar coisas.”
1
2
3
4

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São todos os números inteiros não-
negativos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Propriedades dos Nº Naturais
1) A soma de dois números naturais é um número natural.
2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural.
3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o
antecessor de n+1
NÚMEROS INTEIROS
Pelos Naturais é impossível!
Como efetuar a subtração de 3 – 4?

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“São todos os números que pertencem aos Naturais
acrescido dos seus respectivos opostos.”
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
1. Inteiros não Negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
2. Inteiros não Positivos (Z-):
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-):
Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS

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Propriedades dos Nº Inteiros
1) Todo número natural é um número inteiro.
2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um
outro número inteiro.
3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um número
inteiro.
NÚMEROS RACIONAIS
Como dividir um osso para dois cachorros?
Os Inteiros não permitem
a resolver este problema!
Q = Z  { números fracionários }
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}
“Para resolver isso foram criados os números
fracionários.”

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1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):
Q*+ = {Z*+}  {Todos os números fracionários não
negativos}
2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-):
Q*- = {Z*-}  {Todos os números fracionários não
Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
3. Racionais não Negativos (R+):
Q+ = {Z+}  {Todos os números fracionários não
negativos}
4. Racionais não Positivos (Q-):
Q- = {Z-}  {Todos os números fracionários não
Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
2,252
Número Racional.
Finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Número Racional.
Infinitos algarismos periódicosapós a vírgula
(dízima periódica).
3,1415926...
Não é um númeroRacional.
Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula

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Propriedades dos Nº Racionais
1) Todo número natural e todo número inteiro é um número racional.
2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em um
outro número racional.
3) O produto entre dois números racionais é um número racional.
4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor diferente
de zero, é um número racional.
NÚMEROS IRRACIONAIS
Como descrevernúmeros
que não são inteiros nem
fracionários?
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os
números que NÃO podem ser representados
por uma fração de números inteiros.
I = {Todos os números que Q não consegue descrever}

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Raizes inexatas.
Inf. algarismos não periódicosapós a vírgula.
3,1415926...
Número PI.
Supercomputadoresjá conseguiram calcular
bilhões de casas decimais .
2,7182818...
Número de Euler.
Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas
decimais.
3
2 = 1,41421...
5 ; 8...
Propriedades dos Nº Irracionais
1) Um número irracional não é um número racional.
2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um número
racional é um número irracional.
3) A produto entre um número irracional e um número racional é um
número irracional.
4) O quociente entre um número irracional e número racional ,
diferente de zero, é um número irracional.
NÚMEROS REAIS
“Descreve todo o conjunto
dos números racionais e
irracionais”
R = { Q }  { I }

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Conjunto dos números reais
Reunião do conjunto dos números racionais com o dos
irracionais = conjunto dos números reais
(Conjunto dos
números
irracionais)
N Z Q
I
R
R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
Números Irracionais
2

3


3
5
e
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
“Descreve todo o conjunto
dos números reais e
números complexos”
1i  

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R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
Números Irracionais
2

3


3
5
e
C
Números Imaginários

1i  
1
03 4i
0
0
4i
 
2
3 4iy xi
z

Intervalo aberto
4 Intervalos e produto cartesiano
{x   a < x < b} ou a, b
{x   −4 < x < 0} ou −4, 0
Intervalo fechado
{x   a  x  b} ou a, b
{x   −4  x  0} ou −4, 0
−

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Intervalo fechado à esquerda
Intervalo fechado à direita
Intervalos
Observe as representações gráficas e algébricas:
{x  x > a} ou
]a, +∞[
{x   x ≥ a} ou
[a, +∞[
{x  x < a} ou
]−∞, a[
{x   x  a} ou
]−∞, a]
Operações com intervalos
A  B
A  B = {x  –3  x  8} ou [–3, 8]

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A  B
A  B = {x   0 < x < 2} ou ]0, 2[
A – B
A – B = {x   –3  x  0} ou [–3, 0]
B – A
B – A = {x   2  x  8} ou [2, 8]

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Produto cartesiano
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}.
Produto cartesiano
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
B x A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
CONJUNTOS
SUBCONJUNTOS OPERAÇÕES COM
CONJUNTOS
PRODUTO
CARTESIANO
COMPLEMENTAR
UNIÃO
DIFERENÇA
INTERSECÇÃO
CONJUNTOS
NUMÉRICOS

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ProblemasEnvolvendoConjuntos.
Exemplos:
As provas de recuperação em matemática e física de uma escola
foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a
presença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova
de matemática e 32 fizeram a de física, determine:
a)O número de alunos que fizeram as duas provas;
b)O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática;
c)O número de alunos que fizeram apenas a prova de física.
Fórmula para a Resoluçãode Problemas.
)()()()( BAnBnAnBAn 
Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidospelas
empresas de fornecimentode água (A), energia elétrica(E) e TV por
assinatura (T) de um bairro, obteve-seum grande número de
reclamações.
A tabelaa seguir expressa o númerode reclamaçõesde 300
entrevistadosdurantea pesquisa.
Com base na tabela, determine:
a) O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço;
b) O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço
oferecido pela empresa de fornecimento de água;
c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um servi-
ço;
d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois
serviços.
Regras de divisibilidade.
Quando um número é divisível por:
2 = Par
Ex: 234
3 = Soma dos algarismos formar um numero divisível por 3
Ex: 1452 1+4+5+2=12
4= Quando os dois últimos algarismos formar um número
divisível por 4
Ex: 234032 234032
Ex: 325400 325400

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5 = Quando terminar em zero ou 5
Ex: 2345
6 = Quando ele for divisível por 2 e 3 simultaneamente
Ex: 1452 1+4+5+2=12 e é par.
7= Retira-se o ultimo algarismo e diminui do que restou o
dobro do numero tirado
Ex: 217 217 21 – 2.7 = 21 - 14 = 7
2345
8= Quando os três últimos algarismos formar um número
divisível por 8
Ex: 12032 12032
Ex: 12000 12000
9 = Soma dos algarismos formar um numero divisível por 9
Ex: 32562
10 = Quandoterminar em zero
Ex: 14520
11= Regra do pula-pula
Ex: 37125 37125 7+2 – (3+1+5) = 9 – 9 = 0
3+2+5+6+2 = 18
12 = Quandofor divisívelpor 3 e 4 ao mesmo tempo
Ex: 12132 1+2+1+3+2 = 9 12132
Números Primos
Todo número que possui apenas dois divisores naturais: 1 e ele próprio.
Ex.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
113 é um número primo?Como reconhecer um número primo?
Epístola de Eratóstenes
Relaciona-se todos os números que elevado ao quadrado será
menor que o 113
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
É primo

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Quais dos números seguintes são primos?
a) 157
b) 249
c) 437
7532630 2

Decomposição em fatores primos
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
Quantidade de divisores de um número
...zyxn pnm

     ...1p1n1md 
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
7532630 2

       11111211d 
24d 

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• Dados dois ou mais números o Mínimo Múltiplo
Comum, MMC é o menor número que é múltiplo
dos outros dois ( ou mais números).
•MMC em eventos que se repetem
• Dado dois ou mais números, denomina-se
Máximo divisor comum ( M.D.C) desses
números o maior desses divisores
•MDC em eventos do tipo “se cabe num lugar,
caixa, gaveta, etc”
Vamos encontrar o m.m.c.( 12, 36, 18)
Primeiro encontramos:
Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...
Múltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,...
Múltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,...
Os múltiplos comuns são: 0, 36, 72,....
Sem contar o zero.
m.m.c ( 12, 36, 18) = 36
Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)
D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores comuns= 1, 2, 3, 6
Maior divisor comum 12, 36 e 18
MDC(12, 36, 18) = 6

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Vamos agora encontrar o MMC e o MDC
por um método muito prático!
Usaremoso método da Fatoração
Simultânea
Primeiro escrevemos os números lado a lado separado por vírgula.
12, 36, 18
Colocamos uma reta vertical.
2
Dividimos todos os números por um
primo divisor de todos.
6, 18
,
9
Dividimos novamente por um primo
divisor de todos.
3
2
,
6, 3
Como não temos um primo divisor de
todos, Já temos o MDC, basta fazer
2x3=6
Continuamos a fatoração
3
2, 2, 1 2
1, 1, 1
Agora fazendo 2x3x3x2 temos o MMC, que é 36
Então MMC(12, 36, 18)=36 e MDC(12,36,18)= 6
Observe agora o que acontece com o MMC e
com o MDC dos números 10 e 11
Não há primo divisor comum!
Então o MDC(10, 11) = 1
O MMC(10,11)= 2x5x11= 10x11=110
Números que tenham como MDC= 1, são chamados
de números primos entre si!
10, 11 2
5, 11 5
1, 11 11
1
,
1

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M.D.C e M.M.C
36, 54
18, 27
6, 9
2, 3
M.D.C   183254,36 2

36, 54
18, 27
9, 27
3, 9
1, 3
1, 1
M.M.C   1083254,36 32

2
3
3
2
2
3
3
3
M.D.C e M.M.C
732126 2
 7532420 2

M.D.C 732)420,126( 
M.M.C 7532)420,126( 22

Números primos entre si
Números que possuem o M.D.C igual a 1.
Ex.: 7 e 15;
4, 27 e 125
Calcule o M.D.C e o M.M.C dos números:
a) 105 e 75
b) 65 e 24
Calcule a quantidade de divisores dos números:
a) 40
b) 180

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FGV | Duas rodas gigantes começam a girar, num mesmo instante, com uma pessoa
na posição mais baixa em cada uma. A primeira dá uma volta em 30 segundos e a
segunda em 35 segundos. As duas pessoas estarão, novamente na posição mais
baixa após:
a. 1 min 10 seg
b. 3 min
c. 3 min 30 seg
d. 4 min
Resolução:
Dica: MMC ou MDC?
Resultado maior ou menor que os dados do problema?
Resultado maior.
MMC 30 - 35
6 - 7
1 - 7
1 - 1
5
6
5 . 6 . 7 = 210 segundos
7
1’ - - - - - - 60’’
x’ - - - - - - 210’’
60.x = 210
x = 3,5’
3minutos e
30 segundo
PUC-SP | Um lojista dispõe de três peças de um tecido, cujos comprimentos são
48 m, 60 m e 80 m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o
tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior
comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos
retalhos ele deverá obter?
Resolução:
Dica: MMC ou MDC? Resultado maior ou menor que os dados do problema?
Resultado menor:
MDC
48,60,80
24,30,60
12,15,20
2
2
2 x 2 = 4 (TAMANHO DOS RETALHOS)
12+15+20 = 47
Gabarito: 47
Resolução:
UNICAMP | Em uma classe existem menos de 40 alunos. Se o professor de
Matemática resolve formar grupos de 6 em 6 alunos, ou de 10 em 10 alunos, ou de
15 em 15 alunos, sempre sobra 1 aluno. Quantos alunos têm a classe?
Dica: Note que em toda divisão sobra 1 aluno, ou seja, o número de
alunos que sobra em cada divisão é comum a todos.
6 -10 - 15
3 - 5 - 15
1 - 5 - 5
1 - 1 - 1
2
3
5
2 . 3 . 5 = 30
Como sempre sobra 1, o
número de alunos é 31.
Gabarito: 31

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Resolução:
Dica: Repare que a questão pede um horário de partida COMUM a todos.
15 - 20 - 25
3 - 4 - 5
1 - 4 - 5
1 - 1 - 5
1 - 1 - 1
5
3
4
5
5 . 3 . 4 . 5 = 300’ = 5h
Como eles partem as 7h, o próximo
encontro será as 12h.
Gabarito: e
UFSM | Estudos e simulações são necessários para melhorar o trânsito. Por
exemplo, imagine que, de um terminal rodoviário, partam os ônibus de três
empresas A, B e C. Os ônibus da empresa A partem a cada 15 minutos; da empresa
B, a cada 20 minutos; da empresa C, a cada 25 minutos. Às 7h, partem
simultaneamente 3 ônibus, um de cada empresa. A próxima partida simultânea dos
ônibus das 3 empresas será às:
a. 9h b. 9h50mim
c. 10h30mim d. 11h
e. 12h
Números opostos ou simétricos
3 e -3
½ e - ½

Números inversos ou recíprocos
5 e 1/5
7/9 e 9/7
Conjunto dos números inteiros (ℤ)
Simetria em relação ao zero.
0-1-2-3-4 1 2 43
 Potenciação
 Radiciação
ASSUNTOS ABORDADOS

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NÚMEROS INTEIROS
 2,...1,0,1,2,3,..,Z 
NÚMEROS NATURAIS
 4,...3,2,1,0,N 
NÚMEROS RACIONAIS






 0qZ,qZ,p;
q
p
Q
São frações entre números inteiros.
NÚMEROS IRRACIONAIS
Números decimais que não são exatos nem
dízimas periódicas.
...14159,3
...41421,12



NÚMEROS REAIS
RQZN 
Chama-se conjunto dos números reais (R)
aquele formado pela união dos conjuntos
dos números racionais e irracionais.

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RETA REAL
O conjunto dos números reais pode ser
representado por um conjunto de pontos
de uma reta, chamada reta real.
OPERAÇÕES EM N
As operações fundamentais são adição e
multiplicação. Suas inversas são,
respectivamente, a subtração e a divisão
exata.
Se an=b, o n° a é denominado base, n é o
expoente e b é o resultado.
Propriedades da Potenciação
0)(b
b
a
b
a
e)
a(a.b)d)
a)(ac)
0)(aa
a
a
b)
a.aaa)
m
mm
mmm
m.nnm
n-m
n
m
nmnm









 
b.

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POTENCIAÇÃO
a) Base positiva: potência positiva
b) Base negativa:
b.1) expoente par: potência positiva
b.2) expoente ímpar: potência negativa
81
16
3
2
3
2
4
44






813)3).(3).(3).(3()3( 44

8
1
2
1
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1
33































Propriedades da Potenciação
53232
nmnm
5555
aaa




1) Produto de potências de mesma base
Ex:
2) Quociente de potências de mesma base
42-6
2
6
n-m
n
m
22
2
2
0)(aa
a
a


Ex:
3) Potência de potência
62.332
m.nnm
33)(3
a)(a


Ex:
4) Potências de um produto
Ex:
2222
mmm
204.5(5.4)
.a(a.b)

 b
Propriedades da Potênciação

15/01/2016
29
Propriedades da Potênciação
5) Potência de um quociente
Ex:
81
16
9
4
9
4
0)(b
b
a
b
a
2
22
m
mm












Expoente Inteiro Negativo
)RN, a(n
aa
a *
n
n
n






 11
3
5
3
5
5
3
9
1
3
1
3
1
)3(
11
2
2
2






















Ex:
Exemplo
  
514
2
1
2
1
4
2
1
2
1
1
2
22
2
1
1
1
12
111
2



































15/01/2016
30
Expoente Fracionário Racional
Z)mNR, n(aaa *n mn
m
 e
27399
9
1
244)4(
32 32
3
2
3
2 12
1








RADICIAÇÃO
008,0)2,0(2,0
10
2
10
2
1000
8
008,0
32)2(2)2(32
33
3
3
33
55 55


É a operação inversa da potenciação.
Propriedades da Radiciação
 
aae)
aad)
aac)
0)(b
b
a
b
a
b)
abbaa)
pn pmn m
nmn m
n mm
n
n
n
n
nnn






15/01/2016
31
4444
nnn
63232:
abba1)


Ex
33
3
3
n
n
n
3
2
6
2
6
:
0)(b
b
a
b
a
2)


Ex
15533 5
nmn m
333:
aa4)



Ex
 
  3 223
n mm
n
22:
aa3)


Ex
Expoente Fracionário Racional
Z)mNR, n(aaa *n mn
m
 e
27399
9
1
244)4(
32 32
3
2
3
2 12
1









15/01/2016
32
Simplificando Radicais
23632233223
32233232883b)
22228a)
224
2425
236 336 36


  
Simplificar um radical é reduzir o radicando à
sua expressão mais simples.
Exemplos:
Operando com radicais
A soma ou diferença de radicais semelhantes é um radical
semelhante a eles, cujo coeficiente é a soma ou a
diferença de seus coeficientes.
Exemplo:
2
2
3
2
2
1
532
2
1
2523 






Racionalizando Denominadores
O processo geral consiste em multiplicar-se numerador e
denominador por um mesmo fator (o que não altera a
fração), chamado fator racionalizante. Ele é escolhido
de forma a desaparecer a raiz do donominador.
Exemplos:
   
2
153
15
156
15
15
15
6
15
6
23
2
26
2
26
2
2
2
6
2
6
2












)
)
b
a

15/01/2016
33
Grandezas e medidas
Instrumento: balança
Unidade: quilograma
Grandeza: massa
Instrumento: relógio
Unidade: hora
Grandeza: tempo
Instrumento: trena
Unidade: metro
Grandeza:
comprimento
Instrumento:
Jarra medidora
Unidade: litro
Grandeza:
capacidade
Grandezas, unidades de medida e instrumentos de medida
SCIENCEPHOTOLIBRARY/GETTYIMAGES
FERNANDOBUENO/PULSARIMAGENS
SÉRGIODOTTAJR./ARQUIVODAEDITORA
GARYOMBLER/DORLING
KINDERSLEY/GETTYIMAGES
97
Grandezas e medidas
Medir é comparar duas grandezas de mesma espécie, verificando quantas
vezes uma contém a outra (unidade de medida).
Grandeza comprimento
A medida do comprimento do
tampo, pode ser medida pelo palmo
da mão, ou por uma régua, fita
métrica, etc.
A ideia de medida e as várias grandezas
unidade
1 cm
PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA
98
Grandezas e medidas
Grandeza superfície
Grandeza massa
Popularmente se diz “peso”, porém
a balança fornece a medida de
massa de um objeto, ou seja, a sua
quantidade de matéria.
unidade
99

15/01/2016
34
Grandezas e medidas
Grandeza volume
Outras grandezas
Grandezas usadas na informática:
B = byte (unidade de informação)
kB = Kilobyte (1024 bytes)
MB = Megabyte (1024 kB)
GB = Gigabyte (1024 MB)
TB = Terabyte (1024 GB)
Exemplos:
128 MB = 128 000 000 B = 128 . 106 B (bytes).
unidade
10
0
Grandezas e medidas
1h 49 min
+ 25 min
1h 74 min
Horas, minutos e segundos
= 1h + 60 min + 14 min = 1h + 1h + 14 min = 2h e 14 min
1hora = 60 minutos = 3600 segundos
1 dia = 24 horas = 1440 minutos
Medida de tempo
101
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ambiente online
Grandezas e medidas
Unidades de medida de comprimento
Chama-se Sistema Métrico Decimal porque, a partir de uma unidade-padrão
(ou unidade fundamental), as demais são obtidas multiplicando ou dividindo
pelas potências de 10 (10, 100, 1000).
Unidades padronizadas de medida
Múltiplos do metro
Unidade-padrão
(ou unidade
fundamental)
Submúltiplos do metro
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1000 m 100 m 10 m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
102

15/01/2016
35
Grandezas e medidas
km hm dam m dm cm mm
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
: 10: 10: 10: 10: 10: 10
Transformações envolvendounidades de medida de comprimento
Exemplo:
Vamostransformar 3,728 metros em centímetros.
m dm cm
×10 ×10 3,728 × 100 = 372,8 cm
10 × 10 = 100
103
Grandezas e medidas
Unidades de medida de massa
Massa Peso
Relacionado a
quantidade de
matéria
Intensidade com
que a gravidade
atrai um corpo
≠
Múltiplos do grama
Unidade-padrão
(ou unidade
fundamental)
Submúltiplos do grama
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1000 g 100 g 10 g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
104
Grandezas e medidas
Transformações envolvendounidades de medida de massa
Exemplo:
Vamos transformar 46 miligramas em decigramas.
dg cg mg
: 10 : 10
46 : 100 = 0,46 dg
kg hg dag g dg cg mg
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
: 10: 10: 10: 10: 10: 10
105

15/01/2016
36
Grandezas e medidas
Unidades de medida de superfície ou unidades de área
O metro quadrado corresponde à área de uma
região quadrada com 1 m em cada lado.
Múltiplos do
metro quadrado
Unidade-padrão
(ou unidade
fundamental)
Submúltiplos
do metro quadrado
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
1 m
1 m1 m2
106
Grandezas e medidas
Unidades de medida de capacidade
Capacidade é uma grandeza que indica a quantidade de líquido ou gás que
cabe em uma vasilha, reservatório, etc.
Múltiplos do litro
Unidade-padrão
(ou unidade
fundamental)
Submúltiplos do litro
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ
1000 ℓ 100 ℓ 10 ℓ 1ℓ 0,1ℓ 0,01ℓ 0,001ℓ
JACEK/KINO.COM.BR
SÉRGIODOTTAJR./ARQUIVO
DAEDITORA
FERNANDOFAVORETTO/CRIAR
IMAGEM
107
Grandezas e medidas
Transformações envolvendoas unidades de medida de capacidade
Exemplo:
Vamos transformar 3,875 hectolitros em centilitros.
3,875 × 10 000 =38750 cℓ
10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
kℓ hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ mℓ
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
: 10: 10: 10: 10: 10: 10
hℓ daℓ ℓ dℓ cℓ
×10 ×10 ×10 ×10
108

15/01/2016
37
Grandezas e medidas
Transformações envolvendoas unidades de área
Exemplo:
Vamos transformar 378,1 decímetros quadrados em metros quadrados.
m2
: 100
dm2
378,1 : 100 = 3,781 m2
km2 hm2 dam2 m2
dm2 cm2
mm2
×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100
: 100: 100: 100: 100: 100: 100
109
Grandezas e medidas
Unidades de medida de volume
O metro cúbico (m3) corresponde ao volume
(espaço ocupado) de um cubo com 1 m de aresta.
Múltiplos do
metro cúbico
Unidade-
padrão
(ou unidade
fundamental)
Submúltiplos
do metro cúbico
quilômetro cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000 m3 1 000 000 m3 1 000 m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
1 m
1 m
1 m
110
Grandezas e medidas
Transformações envolvendounidades de medida de volume
Exemplo:
Vamos transformar 5,8 decímetros cúbicos em centímetros cúbicos.
dm3 cm3
×1000
5,8 × 1000 =5800 m3
km3 hm3 dam3 m3
dm3 cm3
mm3
×1000 ×1000 ×1000 ×1000 ×1000 ×1000
: 1000: 1000: 1000: 1000: 1000: 1000
111
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15/01/2016
38
Grandezas e medidas
Ideia de perímetro
Perímetro
FOTOS:SÉRGIODOTTAJR./ARQUIVODAEDITORA
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.
112
Grandezas e medidas
Perímetro de um polígono
O perímetro de um polígono é soma das medidas do comprimento
dos seus lados.
3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm
3 cm 3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
113
Grandezas e medidas
Calcular a área de uma figura plana é medir a região do plano
ocupada por essa figura. Isso é feito comparando-se a figura plana
com uma unidade de área.
unidade de área área de A = 6 U
Medida de uma superfície: área de uma região plana
U U U U
U U U
114

15/01/2016
39
Grandezas e medidas
Área de uma região retangular
Comprimento ou base: 5 cm
Largura: 3 cm
Área da região retangular: 15 cm2
5 cm × 3 cm = 15 cm2
unidade
1 cm2
comprimento ou base:
5 cm
largura
ou altura:
3 cm
115
Grandezas e medidas
Fórmula da área de uma região retangular
Área = (medida da base) ×(medida da altura) ou A = b . a
Área de uma região quadrada
A = ℓ ×ℓ ou A = ℓ2
b (base)
a (altura)
ℓ
ℓ
116
Grandezas e medidas
Área de uma região limitada por um paralelogramo
A = b . a
a
b b
a
117

15/01/2016
40
Grandezas e medidas
Área de uma região triangular
Observe o paralelogramo:
O triângulo é a metade de um paralelogramo
altura (a)
base (b)
A =
118
Grandezas e medidas
Área de uma região limitada por um trapézio
(B + b)
A =
A área deste paralelogramo é: (B + b) . a
base menor (b)b
base maior (B)B b
B
altura (a)
119
Grandezas e medidas
Área de uma região limitada por um losango
Área da região retangular: D . d
d
D
dd
D
A =
120
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ambiente online

15/01/2016
41
Grandezas e medidas
O volume expressa quanto espaço ocupa uma figura
espacial.As unidades-padrão de volume são baseadas
em cubos e são chamadas de unidades cúbicas.
Medida do volume de um paralelepípedo
V = a . b . c
Volume
a
b
c
121
Grandezas e medidas
Volume e capacidade
Um recipiente com volume de 1 dm3 tem
capacidade para 1ℓ.
1 dm3 1ℓ
assim como 1 dm3 = 1000 cm3
1000 cm3 1ℓ
PAULOMANZI/ARQUIVODAEDITORA
122
Razão
É a divisão de dois números
5 1
20 4

1
2
2 1
10 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de
Matemática
Um dia de sol, para cada dois de
chuva
De cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos
RazãoComparação
3
ou 3:5
5
4,5
ou 4,5:2
2
Antecedente
Consequente

15/01/2016
42
Exemplo - Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A
Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou
com 5 fatias.
Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o
número de fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
Razão
Na escala de um mapa o antecedente da razão costuma
ser 1 e as unidades utilizadas são as mesmas, nos dois
termos da razão.
1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril)
3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e
Estoril)
A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente deve
ser 1, temos de dividir os termos da razão por 1,6.
(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)
A escala do mapa é 1:200000.
Exercícios – Razão
1. A distância entre duas cidades num mapa de escala
1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas
duas cidades?
2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e
acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou
24. Quem apresentou o melhor desempenho?
3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010,
26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão
do número de vitórias para o número total de partidas
disputadas?

15/01/2016
43
Exercícios
2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores
de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses
jogadores, com 1,77m de altura foi substituído. Em seu lugar, entrou um
outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador, com
1,73m de altura foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de
altura dos jogadores desse time?
1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de
4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m,
determine a largura (em metros).
3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da conta
em um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham dinheiro e, por
isso, cada uma das outras teve que pagar R$ 5,00 a mais do que o
previsto. Qual foi o valor da conta?
Proporção
É a igualdade entre duas razões
d
c
b
a
 ou ( a : b = c : d )
lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”
Proporção
d
c
b
a

MeiosExtremos
( a : b = c : d )
Meios
Extremos
Propriedade Fundamental:
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

15/01/2016
44
Exemplo - Proporção
Numa escola a proporção entre o número de professores e o número
de auxiliares é de 16 para 2.
Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantos
professores e quantos auxiliares existem na escola?
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
16 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
2 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
16 + 2 = 18 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
2 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
18
2
=
108
𝑥
18 . 𝑥 = 108 .2 𝑥 =
108 .2
18
𝑥 = 12 𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
16
2
=
𝑥
12
2 . 𝑥 = 16 . 12 𝑥 =
16 .12
2
𝑥 = 96 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
Proporção
Exercício
Numa escola, a razão do número de professores
para o número de auxiliares é de 16:2.
Que conclusão podemos tirar da informação dada?
RESPOSTA
Como a razão entre o número de professores e o número
de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada
16 professores existem 2 auxiliares.
Proporção
Se o número total de professores e auxiliares for
igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares
têm a escola?
18 108 16 108 1728
96
16 18 18
x x x
x

      
RESPOSTA:
Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores.
Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.
A escola tem 96 professores e
108 – 96 = 12 auxiliares.

15/01/2016
45
Proporção
Uma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou proporção
múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a soma dos
numeradores está para a soma dos denominadores assim como qualquer
numerador está para o seu respectivo denominador.
6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8
3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4
  
      
  
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros
números dados significa encontrar parcelas desse número que são
diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas,
reproduzam esse número.
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros
números dados significa encontrar parcelas desse número que são
diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas,
reproduzam esse número.
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidráulico
em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante
6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00
que serão pagos por essa tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais,
o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a
pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de
forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido,
determine quanto cada um recebeu.
Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros
números dados é encontrar parcelas desse número que sejam
diretamente proporcionais aos inversos desses números dados.
Exercício:
João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo para
fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se João chegou
atrasado por 3 dias e Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com
justiça?

15/01/2016
46
Exercícios - Proporção
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um
problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$
990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5
horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão
pagos por essa tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu
30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1
ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se
esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida
seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto
cada um recebeu.
Porcentagem
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
Forma Percentual Forma Unitária
25% =
25
100
=
1
4
= 0,25
A porcentagem depende da
referência
100 + 10% = 110
110 - 10% = 99
10% de 110 = 11
10% de 100 = 10

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Exercícios – Calcule:
1) 10% de 29 + 4,2% de 17
2) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,7
3) 0,4% de 125 + 16% de 234,25
4) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.432
5) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12
Grandezas Proporcionais
A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou
inversa. Esquematicamente, se duas grandezas são
diretamente proporcionais podemos representá-las como:
x y ou x y   
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais
quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa
determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa
mesma razão.
Grandezas Diretamente Proporcionais
• RESUMO
Dadas duas grandezas X e Y, Y é diretamente proporcional a
X se:
Para X = 0 também Y = 0;
Para X ≠ 0 e Y ≠ 0, o quociente entre dois quaisquer valores
correspondentes é um número constante (k).
O número k é a constante de proporcionalidade direta.
Y
X

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Uma papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos iguais a quantia de 8,75
euros.
Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles cadernos?
RESOLUÇÃO:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 7 cadernos estão para
8,75 euros, pelo que 9 cadernos estarão para x euros. Assim:
Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago 11,25 euros.
7 9 8,75 9 78,75
11,25
8,75 7 7
x x x
x

      
Para fazer um determinado bolo, a razão entre o peso (em grama) do
açucar e o peso da farinha é de 5:2.
Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de farinha deves usar?
RESOLUÇÃO:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 5 g de açucar estão
para 2 g de farinha, pelo que 160 g de açucar estarão para x g de farinha.
Assim:
Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.
5 160 2 160 320
64
2 5 5
x x x
x

      
Uma torneira deita uniformemente, para um tanque que de inicio estava
vazio, 4 litros de água por minuto.
Ao fim de meia hora quantos litros de água deitou a torneira ?
RESOLUÇÃO:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 4 litros de
água estão para 1 minuto, pelo que x litros de água estarão para 30
minutos (meia hora). Assim:
Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou 120 litros de água.
4 4 30 120
120
1 30 1 1
x
x x x

      

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A mãe da Teresa comprou 1232 dólares americanos por 1000 euros.
À mesma taxa de câmbio, quantos dólares americanos poderia
comprar com 50 euros?
RESOLUÇÃO:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 1232 dólares
americanos estão para 1000 euros, pelo que x dólares americanos
estarão para 50 euros. Assim:
Resposta: Com 50 euros, a mãe da Teresa poderia ter
comprado 61,6 dólares americanos.
1232 1232 50 61600
61,6
1000 50 1000 1000
x
x x x

      
1 2 3 4 6Nº MAÇÃS(N)
PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
Duas grandezas são diretamente proporcionais,
quando ao aumentar uma, a outra também
aumenta na mesma proporção.
x 2
X 3 x 4 x 6
x 2
X 3 x 4
x 6
PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
500
3 000
2 500
1 000
1 500
2 000
1 65432
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se
ao representa-las graficamente obtemos uma linha
reta que passa pela origem.

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PREÇO (P) 500 1 000 1 500 2 000 3 000
P
N
=
500
1
=
1 000
2
=
1 500
3
=
2 000
4
=
3 000
6
= 500 = k
P
N
= k P = k N
Duas grandezas são diretamente
proporcionais, se estão ligadas por um
quociente constante.
Proporção Inversa ou Grandezas
Inversamente Proporcionais
Se duas grandezas forem inversamente proporcionais
podemos representá-las como:
x y ou x y   
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada
razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.
Exemplo
Grandezas Inversamente Proporcionais
Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:
1 hora rodando a 120 km/h
2 horas rodando a 60 km/h
Velocidadee temposão grandezas
inversamenteproporcionais
Quando aumentoa velocidade,
diminuo o tempo

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120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
quando ao aumentar uma, a outra diminui na
mesma proporção, e vice-versa.
÷ 2
÷ 3 ÷ 4 ÷ 6
x 2
X 3 x 4
x 6
X = 120 km
20
120
100
40
60
80
1 65432
se ao representar-as graficamente obtemos uma
curva chamada hipérbola.
120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
= k
k
t
=VV · t = k
se estiverem ligadas por um produto constante.
120 60 40 30 20VELOCIDADE (V)
TEMPO (t) 1 2 3 4 6
V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4)= (20)(6) = 120

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Regra de Três
A regra de três é simplesmente um método
para resolver as proporções sem precisar de
armá-las.
A regra de três ganha seu nome do seu uso,
pois é usada para determinar um quarto valor de
um proporção quando são conhecidos três deles.
Tabela de Valores
A regra de três se vale muito de tabelas para a
fácil visualização do problema.
Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel
de1Km de extensão.
Como o túnel em questão é estreito, somente um
máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na
escavação ao mesmo tempo.
Pesquisagoogle;julho2008
• Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu
dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo
escavando de um lado da montanha a fim de aumentar
produtividade.
• Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em
quanto tempo terminará a escavação com o novo
arranjo?

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Primeiro colocamos o problema em uma
tabela:
Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma
unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das
grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por
que o número de trabalhadores aumentou.
Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são
diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos,
são inversamente proporcionais.
No caso de proporção inversa, multiplicamos
os valores da tabela em linha reta e igualando,
obtendo:
Que é a própria proporção inversa em forma
de produto, previamente mostrada.
O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores
terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada
grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo
de tempo?
Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:
Observamos que a relação obtida é uma forma da
proporção:

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Regra de 3 Simples
• Num certo instante do dia, um poste com
12 m de altura projeta uma sombra de 3 m
no chão. Qual o comprimento da sombra
de uma pessoa localizada ao lado do poste,
medindo 1,6 m de altura, neste mesmo
instante?
3,0 m 1,6 m
12 m x m
Continuação
• Quanto maior a altura, maior a sombra!
3,0 m 1,6 m
12 m x m
Altura do Objeto Altura da Sombra
3,0 m 12 m
1,6 m X m
3
1,6
=
12
𝑥
3. 𝑥 = 1,6 .12
𝑥 =
1,6 .12
3
𝑥 = 6,4 𝑚
Regra de 3 Simples
• Um avião voando a uma velocidade de
300 km/h faz o percurso entre duas
cidades em 2 horas. Se aumentarmos a
velocidade do avião, para 400 km/h, qual
será o tempo necessário para fazer o
mesmo percurso?
A B
Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas
Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

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Continuação
• Grandezas Inversamente Proporcionais
Quanto maior a velocidade, menor será o tempo!
A B
Velocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas
Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas
Velocidade do Avião Tempo da Viagem
300 km/h 2 horas
400 km/h X horas
Velocidade do Avião Tempo da Viagem
300 km/h x horas
400 km/h 2 horas
300
400
=
𝑥
2
300.2 = 400. 𝑥
𝑥 = 1,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Exercícios de Regra de 3 Simples
1. Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês seria de R$
2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos
juros?
2. Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso
queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?
3. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar.
Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.
4. Uma equipe de 5 professores gastaram 12 dias para corrigir as provas de um
vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30
professores para corrigir as provas?
Regra de Três composta
Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:
Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses,
chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30
trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?
Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No
caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores,
quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a
distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

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Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de
multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples,
e neste caso será cruzada.
Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais
(setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais
(setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.
Obtemos então a solução:
2 meses
Regra de 3 Composta
• Uma família de 8 pessoas consome 5 kg de carne em
2 dias. Quantos kg de carne essa família irá consumir
em 4 dias se dois membros da família estiverem
ausentes?
QuantidadeCarne Pessoas na Família Dias
5 Kg 8 pessoas 2 dias
X Kg 6 pessoas 4 dias
Menos pessoas, menos
consumo de carne
Menos dias, menos
consumo de carne
Grandezas DiretamenteProporcionais
Continuação
QuantidadeCarne Pessoas na Família Dias
5 Kg 8 pessoas 2 dias
X Kg 6 pessoas 4 dias
5
𝑥
=
8
6
.
2
4
5 . 6 .4 = 𝑥 . 8 .2 120 = 16 . 𝑥
𝑥 = 7,5 𝑑𝑖𝑎𝑠

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Regra de 3 Composta
• Quinze pessoas trabalhando 8 horas por dia durante 5
dias conseguem limpar um certo terreno. Quantas
horas por dia 10 pessoas precisariam trabalhar para
limpar o mesmo terreno em 6 dias?
Horas por Dia Pessoas Dias
8 h / dia 15 pessoas 5 dias
X h / dia 10 pessoas 6 dias
Menos pessoas, mais
horas de trabalho por dia
Menos dias, mais horas
de trabalho por dia
Continuação
8
𝑥
=
10
15
.
6
5
8 .15 .5 = 𝑥 . 10 .6 600 = 60 . 𝑥
𝑥 = 10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎
Exercícios
1. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços)
em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de
linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha.
Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
2. Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto
tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
3. Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de
fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para
produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?
4. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais
congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa
tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria
suficiente para quantos dias?

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Exercícios 2
Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e
27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distância. Se um
gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo
ciclista mais lento.
Regra de três simples
Exercícios 1
Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45
kWh, quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho para 20
minutos? W = P.T, onde:
W - energia consumida;
P - potência do eletrodoméstico considerado;
T - tempo de utilização do eletrodoméstico.
V = E/T, onde:
V - velocidade;
E - espaço;
T - tempo.
Exercícios 2
Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7 horas por
dia, quantas máquinas seriam necessárias para realizar esta obra em 12
dias, funcionando 10 horas por dia?
Regra de três composta
Exercícios 1
Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças.
Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 7 operários, trabalhando 9
dias?
PORCENTAGEM
exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Flamengo, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Flamengo, 90 são
craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-
se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas
centesimais ou taxas percentuais.

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Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
ara solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%)
sobre o total de cavalos.
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma
taxa percentual a um determinado valor.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa
a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:
MATEMATICA FINANCEIRA
a)Calcular 12% de 200
b)Calcular 65 % de 180
c)Calcula 15% de 66
d)Calcular 25% de 100
e)Calcular 30% de 130.
f) Calcular 30% de 200 kg.
g)Calcular 20% de R$123,45
h)Calcular 22,4 % de 345 litros
i) Calcular 21 % de 492 metros
j) Calcular 9,8% de R$ 280,00
k)Calcular 0,7% R$123,00
1. Calcule o valor de:
a)100 + 10%
b)220 + 28%
c)300 + 3,8%
d)282 + 36 %
e)870 + 34 %
f) 100 – 2,3%
g)345 – 47,7%
h)3,90 – 5%
2. A gasolina teve um aumento de 15% este mês. Sendo que o preço
médio em Juína do litro da gasolina é de R$ 3,30. De quantos reais foi
este aumento? E qual o valor do litros depois deste aumento? E
supomos que o preço da gasolina estivesse baixado 9,34% qual seria o
valor do litro depois deste reajuste?

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1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
2) Em uma maratona o competidor deve percorrer 42 195 metros. Se um competidor
fizer apenas 85% da prova quantos metros ele percorreu?
3) Uma geladeira cujo o preço a vista é de R$ 830,00 tem um acréscimo de 7,8 % no
seu preço se for paga em 3 x sem juros qual o valor de cada prestação?
4) Jéssica gastou 28% do que tinha e ainda restou R$ 130,00 quanto ela tinha e
quanto ela gastou?
5) Existem 200 livros em uma biblioteca, sendo que 30% são de matemática 30% são
de Português 20% são de administração e o restante são de inglês. Qual a
quantidade de cada livro?
6) Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% de fichas estão etiquetadas
com numero par. Quantas fichas têm a etiqueta com numero par?
7) Em uma indústria trabalham 389 mulheres. Esse numero corresponde a 42,5% do total de
empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo nessa indústria?
8) Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na
etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?
9) O salario de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a
porcentagem de aumento?
10) Ao fazer uma viagem foi percebido que foi percorrido 380 km, sendo que a viagem é de
um percurso total de 1280 km. Quantos % foi percorrido?
11) Em uma determinada cidade com 80 000 habitantes foi feito um levantamento pelo IBGE,
onde foi constatado que 25% da população é do sexo masculino 33,87% é do sexo feminino,
28,3% são crianças e o restante são de idosos.
Qual a porcentagem de idosos?
Qual a quantidade de pessoas do sexo masculino?
Qual a quantidade de pessoas do sexo feminino?
Qual a quantidade de crianças? E de Idosos?
Juros simples
Na prática da Matemática Financeira, o juro é o elemento que nos permite levar um
valor de uma data para outra, isto é, são os juros que nos permitem levar um Valor
Presente para um Valor Futuro ou vice-versa. Enfim, são os juros que nos permitem
comparar valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, venda ou
pagamento.
Capital (C) Pode ser chamado de principal, capital inicial, valor presente, valor
atual, montante inicial, valor de aquisição, valor à vista.
Juros (J) Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo
tempo, é cobrado um valor pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros.
Taxa de juros (i) A taxa de juros representa os juros numa certa unidade de tempo.
A taxa obrigatoriamente deverá explicitar a unidade de tempo
Tempo (n) Quando falamos em tempo, leia-se NÚMERO DE PERÍODOS.
Montante (M) Pode ser chamado de montante, montante final, valor futuro. É o
valor de resgate. Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. O montante
é, em suma, o capital mais os juros

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Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros eo tempo da aplicação, para a
obtenção do juro iremos utilizar a fórmula:
J= C.i.n
Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros eo tempo da aplicação, para a
obtenção do valor do capital utilizaremos a fórmula:
C= J__
(1+i . n)
Quando tivermos o valor do juro o valor do capital eo tempo da aplicação, para a
obtenção da taxa de juros utilizaremos a fórmula:
i= J__
c . n
Quando tivermos o valor do juro, o valor do capitalea taxa de juros, para a obtenção
do tempo da aplicação iremos utilizar a fórmula
n= J__
c . i
montante: M = C +J
1) Um capital de R$14400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu 880 de juros.
Durante quantos dias esteve empregado:
2) Um capital de R$ 12 000,00 aplicado a 8 % ao mês, rendeu R$ 330,00 de juros.
Durante quantos dias esteve empregado?
3) Se um capital de R$ 21 600,00 rendeu R$ 1600,00 de juros em 90 dias, qual é a
taxa de juros simples anual dessa aplicação
4) Se um capital de R$ 41 000,00 rendeu 900,00 de juros em 45 dias, qual é a taxa
de juros simples mensal desta aplicação?
5) Um capital de R$ 6000,00 foi aplicado durante 3 meses, á juros simples, a taxa
de 16% a.a. pede –se: JUROS AO MÊS ? MONTANTE NO FINAL DE UM
MÊS?
6) Calcular o juro simples referente a um capital de R$ 2400,00 nas seguintes
condições:
a) 21% a.a, com prazo de 1 ano.
b) 21% a.a, , com prazo de 3 anos
c) 21% a.a, com prazo de 3 meses
7) Calcule juros simples auferidos de uma aplicação de R$ 3500,00 a taxa de 38% a.a,
pelo prazo de 5 meses
8) Um capital de R$ 19000,00 foi aplicado a juros simples a taxa de 38%a.a , pelo
prazo de 56 dias. Obtenha os juros comerciais e exatos para esta aplicação.
9) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de
R$ 36 664,00. o seu valor a vista era de R$ 27000,00 e a taxa de juros é de 2,4 %
a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material.
10) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2000,00. Resgatou- se um total de R$
2450,00 após 1 mês . Qual o valor de juros a.d ?
11) Calcule o montante e os juros referentes a um capital de R$ 45423,50 investido a
0,3% a.d, durante 1,5 anos.
12) O valor do capital de uma aplicação é de 10000,00, resgatou-se um total de
19000,00, após 1 semestre . Qual o valor da taxa de juros a.d

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13. Um cliente aplicou em um banco um capital de R$ 20000,00, á taxa de juros de 1% ao
mês, no regime de juros simples. Calcule o montante no final do 1°, 2°, 3°, 4° e 5° meses.
14. Calcule o capital que deve ser depositadonuma aplicação sob o regime de juros
simples, durante 8 meses, á taxa de 3,5% ao mês para se conseguirum montante de R$
190,00? Usar = C= M_
(1+i . n)
15. Um banco oferece uma taxa de 5% ao mês no regime de juros simples para uma
aplicação de 42 dias. Qual o juro que remunera um capital de R% 5000,00? Qual o valor do
montante?
16.Um comerciante realiza uma operação de empréstimo no valor de R$ 6000,00. assina
uma nota promissóriade neste valor, com vencimento para seis meses. O Banco cobra
os juros antecipadamente através de uma taxa de descontode 1% ao mês. Qual o valor
do desconto? Usar: desconto = M . I . N
17. Uma duplicata no valor de R$ 6000,00 , com vencimento para 6 meses, é apresentada
ao banco para uma operação de desconto. O banco entrega ao comerciante o valor líquido
de R$ 5640,00. Qual a taxa de desconto utilizada pelo banco?
Juros compostos
O valor dos juros em cada período é obtido pela aplicação da taxa
ao saldo existente no final do período anterior, isto é calculado em função
do montante.
No regime de juros compostos, os juros são adicionados ao capital e
passam a render juros também, formando o montante o qual sera a base
de capitalização no inicio do período seguinte. O crescimento do dinheiro
ao longo do tempo é denominado CAPITALIZAÇÃO.
Para encontrar o montante:
M= C.(1+i)^n
Para o calculo do Capital
C=M
(1+i)^n
Para encontrar valor de desconto:
C= M.(1-i.n)
1. Qual o montante produzido por um capital de R$ 7000,00 aplicados a uma taxa de
juros mensais de 1,5% durante um ano.
2. Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, durante 10
meses a quantia final do rendimento é de R$ 15 237,43.
3. Um investidor aplicou R$ 20000,00, á taxa de juros de 10% ao ano. Calcule o
montante no final do 1°, 2°, 3°, 4°, 5° anos.
4. Quanto se deve investir hoje para que no final de 3 anos sejam resgatados R$
26620,00 a uma taxa de 10% ao ano?
5. Um investidor aplicou R$ 200,00, á taxa de 1% ao mês no regime de juros simples.
Calcule o montante no final do 1°, 2°, 3°, 4° meses.
6. Você recebe uma proposta para investir hoje R$ 300,00 a receber R$ R$528,60
dentro de 5 (cinco) meses, no regime de juros compostos. Qual a taxa de juros
mensal?

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