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RACIOCÍNIO LÓGICO
Professora: Caren Fulginiti
caren@caren.mat.br
2
Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico
MATEMÁTICA
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS:
SOMA
+ com + ou - com - Soma e mantém o sinal
a) (+10) + (+8) = +18
b) (-10) + (-8) =-18
MULTIPLICAÇÃO
Mesmo sinal: +
e) (+10) (+8) = +80
f) (-10) (-8) = +80
Sinal diferente: g) (+10) (-8) = -80
+ com - Diferença e sinal do maior.
c) (+10) + (-8) = +2
d) (-10) + (+8) = -2
Prioridade das Operações :
Prioridade dos Parênteses :
1º
Raiz e Potência
1º
Parênteses
2º
Divisão e Multiplicação
2º
Colchetes
3º
Subtração e Soma
3º
Chaves
( )
[ ]
{ }
ATENÇÃO: ENTRE PARÊNTESES E OPERAÇÕES PREVALECEM OS PARÊNTESES.
Observe a diferença:
SOLUÇÃORÁPIDA:
(4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5 ) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 =
− 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 18 =
SOLUÇÃO LENTA:
( 4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 =
− 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 6 × 3 =
− 7 + 24 ÷ 4 − 6 × 3 =
− 7 + 6 − 18 = −19
− 7 + 6 − 18 = −19
Agora sem parênteses...
4 − 32 ÷ 4 + 9 − 5 × 6 ÷ 3 + 1 − 6 × 3 =
4 − 8 + 9 − 30 ÷ 3 + 1 − 18 =
4 − 8 + 9 − 10 + 1 − 18 = −22
TABUADA:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
45
50
60
70
80
90
100
01. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas:
a) 31 + (- 40) : (+ 2) =
b) – 10 – 20 : (+ 4) =
c) (+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) =
d) (- 91) : 7 + 15 =
e) 7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 =
f) (- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) =
g) 35 – 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) =
h) 81 : (- 9) – 3 . (- 3) + (- 9) =
i) 2 + (- 75) : (- 5) – 4 . (-1) =
j) 46 : (- 23) + 7 – 4 . (+ 2) =
l) 8 . (- 11) + 200 : (+ 2) – 12 =
m) 63 – 84 : (- 21) – 3 . (+ 23) =
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04. Vamos calcular:
a) 3−2 =
b) 10 −3 =
c) 2−6 =
−1
2
h) + =
5
f) (− 10 )−2 = g) (− 9 )−1 =
−5
e) (− 4 )−3 =
d) 8−2 =
3
i) −
4
−2
3
j) −
2
=
−3
=
−2
1
5
l) − = m) + =
2
4
05. Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo:
a) 0,01
b) 0,00001
c) 0,001
QUESTÕES DE CONCURSOS:
2.[0,02 − (0,1)2 ]
é:
100
b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2
27. O valor de
a) 0,0002
mn − n2
para
n
28. O valor numérico da expressão
m = 0,2 e n = -0,6 é:
2
2
4
b) −
c) −
a)
5
5
5
c) 0
− 22 − ( −2)2 + 30
( −4)
4
d)
5
5
e)
2
igualdade
30. Se n é um número inteiro positivo a expressão
( −1)n + ( −1)n +1 tem por valor numérico:
b) -1
37. O valor da expressão
−1
29. (UFRGS) O valor de n na
( −3)2 + 32
=n é :
30
a) 0
b) 1
c) 4
d) 12
e) 18
a) –2
0
3
+ 5−3
4
36. A expressão − 2
equivale a
5.10 + 1
24
1
25
c) 24
d)
e)
a) 25
b)
25
25
24
d) 1
e) 2
Considerando
as
expressões
2 4 6 8 10
1 3 5 7 9
A = x .x .x .x .x
e B = x .x .x .x .x e fazendo x
= -1 em ambas, então A − B é igual a
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
31.
32. A representação decimal de (0,01)3 é :
a) 0,03
b) 0,001
c) 0,0001
d)
0,000001
e) 0,0000001
a) -
7
4
b) -4
c)
38. (PUC)
A
2 2
−2 2
2 .2 + 2.(3 ) + 180
82 / 3
b) 83
a) 164
7
4
d) 4
d) 45
39. A metade de 4 44 é
b) 222
c) 4 43
a) 422
0
1
2
3
x
por
é
é
igual
e) 287
na
expressão
100
x + x + x + x + ..... + x , a mesma equivale a
a) -100
b) -1
c) 0
d) 1
e) 100
41. (FUVEST 98) Qual desses números é igual a
0,064?
2
2
3
2
1
1
2
1
8
a) b) c) d)
e)
80
8
5
800
10
3
33. (UCS) O valor de y = 4 × 105 × 5 × 10 −3 é:
a) 220 b) 202 c) 2 × 103 d) 20 × 10 −15 e) 2 × 10 4
34. A expressão
a) 2
b) -1
( −1)4 .( −1)5 − 3.( −1)7
c) 0
− 16.( −1)3 .19
d)1
vale:
e) 3
−2
2
35. O valor da expressão + ( −2)− 3 é:
3
17
8
76
9
2
a)
b)
c)
d)
e)
8
9
76
3
17
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a
e) 41
d) 244
-1
−1
e) 0
expressão
c) 82
40. Substituindo
1
+
2
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EQUAÇÕES DE 1º GRAU
SIGA AS REGRAS ESTUDADAS E APENAS ISOLE O X
01. No conjunto R, vamos resolver as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita:
b) 17 x + 50 = 7 x
c) 9 x − 8 = 5 x + 20
a) 11x − 13 = 20
e) 5(x + 2) − 2(3 x − 1) = 13
f) t − [− t − (t − 1)] = 2 − t
d) 12x + 21 = 10 x + 16
2y 3 3 y
x
1
g) 3(x + 1) − 2(x − 1) = −(x + 5 )
− =
i) − x + 2 = 1 −
h)
5
4 20
2
3
2x − 1
x + 3 x −1 7
1 1+ x
−2= −
−
=
l)
j)
10
4
3
2
5
4
02. Resolva as equações:
x+4
=0
a) x − 4 −
3
4x 3 x − 3
− =
d)
3
2
3
t − 5 1 t 3t + 14
− = −
g)
2
3 3
12
4−a
4−a
j) a −
=4−
4
5
x−2 x−4
x−8
=
−4=x
c)
8
3
2
y+4
y
3 − x x +1 x
= 1+
f)
e) y −
=
−
2
6
8
4
3
2m − 5 m − 1 13m + 3
x + 1 6x + 1 3x + 1
h)
+
=
i)
+
=
8
2
4
5
12
3
4 x + 1 2 ⋅ (x + 1) 5 ⋅ (3 x + 2)
y 5 ⋅ (y − 3 ) y − 3 y
+
=
m) +
+
=
l)
3
3
4
3
12
4
2
b)
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo equações do 1º grau.
ex 01. Somando 20 kg ao dobro da massa de Marli obtemos 136 kg. Qual é a massa de Marli?
Solução: Considere x a massa de Marli, montando temos:
2x + 20 = 136
2x = 136 – 20
2x = 116 = x = 58
ex 02. Na sucessão de números pares positivos: 2, 4, 6, 8, ... ache os números vizinhos de modo que
a soma deles seja 606.
Pense no primeiro número como x como o outro é o próximo par temos que ele será x + 2 e sabemos
que x + x + 2 = 606
2x + 2 = 606
2x = 604
x = 302
que o outro que é x + 2 = 304.
1
3
ex 03. Três irmãos receberam uma herança. O mais velho recebeu
da herança, o mais jovem
4
3
do resto, ficando $150.000 para o terceiro irmão. Qual o valor da herança?
x
2
2
Seja x toda a herança. Para o mais velho coube . Resta então x . Destes x , o mais jovem fica
3
3
3
3
3
2
x
(“de” = ●). O do meio ficou com $150.000. O que sabemos é que somando
com , ou seja de x =
4
4
3
2
x x
as três partes teremos a herança toda, ou seja x. Então: + + 150.000 = x
3 2
2x + 3 x + 900.000 6 x
=
x = 900.000. Herança igual a $900.000.
6
6
ex 04. Repartir 54 balas entre três meninos sendo que A recebe 8 balas a mais que B, e B recebe 5
balas a mais do que C. Quantas balas A recebe?
Começamos pelo último... C recebe x balas, então B recebe x + 5 e A, x + 5 + 8. Somando os três tem
que dar 54, então x + x + 5 + x + 5 + 8 = 54
3x = 36
x = 12. Então C recebe 12; B,17 e A, 25.
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41
Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico
121. De todos os empregados de uma firma, 30%
optaram por um plano assistência médica. A firma
tem a matriz na Capital e somente duas filiais,
uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos
empregados trabalham na matriz e 20% dos
empregados trabalham na filial de Santos.
Sabendo-se que 20% dos empregados da capital
optaram pelo plano de assistência médica e que
35% dos empregados da filial de Santos o
fizeram, qual a porcentagem dos empregados da
filial de Campinas que optaram pelo plano?
a) 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29%
122. (UFRGS 94) Um revendedor aumenta o
preço inicial de um produto em 35% e, em seguida,
resolve fazer uma promoção, dando um desconto
de 35% sobre o novo preço. O preço final do
produto é
a) impossível de ser relacionado com o preço
inicial
b) superior ao preço inicial
c) superior ao preço inicial, apenas se este for
maior do que R$ 3.500,00
d) igual ao preço inicial
e) inferior ao preço inicial
123. (PUCRS 94) A razão entre duas grandezas é
1
. A representação percentual dessa razão é
de
5
de
a) 10%
b) 15%
c) 20%
d) 50%
e) 150%
124. (FUVEST 94) Uma loja vende seus artigos
nas seguintes condições: à vista com 30% de
desconto sobre o preço de tabela ou no cartão de
crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de
tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00
no cartão sairá por
a) R$ 13.000
b) R$ 11.000 c) R$ 10.010
d) R$ 9.800 e) R$ 7.700
125. (UFRGS 95) Uma pessoa comprou dois
carros, pagando um total de 30 mil reais. Pouco
depois vendê-los por 28 mil reais, ganhando 10%
na venda de um deles e perdendo 10% na venda do
outro. Quantos reais custou cada carro?
a) 15.500 e 14.500
b) 10.000 e 20.000
c) 7.500 e 22.500
d) 6.500 e 23.500
e) 5.000 e 25.000
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126.(PUCRS 95) Um consumidor apressado adquire um automóvel por R$ 10.000,00 ; pagando um
ágio de 30%. O preço de tabela do carro é, em R$,
a) 7.000,00
b) 7.692,30
c) 8.333,00
d) 9.700,00
e) 9.969,70
127. (FUVEST 95) Um lojista sabe que, para não
ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos
deve ser no mínimo 44% superior ao preço de
custo. Porém ele prepara a tabela de preços de
venda acrescentando 80% ao preço de custo,
porque sabe que o cliente gosta de obter
desconto no momento da compra. Qual é o maior
desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre
o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36%
128. (UFRGS 96) Uma loja avisa que, sobre o
valor original de uma prestação que não for paga
no dia do vencimento, incidirão multa de 10% mais
1% a cada dia de atraso. Uma pessoa que deveria
pagar y reais de prestação e o fez com x dias de
atraso, pagou a mais:
a) [ 0,1y + x ] reais
b) [ x + 10 ] reais
c) [ 10y + x ] reais
d) [ 0,1y + 0,01x ] reais
e) [ 0,1y + 0,01xy ] reais
129. (UFRGS 97) Considerando uma taxa mensal
constante de 10% de inflação, o aumento de
preços em 2 meses será de:
a) 2% b) 4% c) 20%
d) 21% e) 121%
130. (FUVEST 97) Que número deve ser somado
2
ao numerador e ao denominador da fração
para
3
que ela tenha um aumento de 20% ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
131. (UFRGS 98) O preço de venda de um bem
de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um
ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem.
O valor do preço de custo é:
a) R$ 25,00
b) R$ 70,50
c) R$ 75,00
d) R$ 80,00
e) R$ 125,00
132. (UFRGS 98) Um total de R$ 6.000,00 será
investido, parte a 3,5% e parte a 6%. Se o
rendimento total esperado é, no mínimo, de R$
300,00 ; o valor máximo que pode ser investido a
3,5% é:
a) R$ 210
b) R$ 360
c) R$ 570
d) R$ 2.400
e) R$ 3.600
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Carregado porMarcelo Silva
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O documento apresenta um material sobre matemática e raciocínio lógico para concurso público, abordando tópicos como números inteiros, operações matemáticas, múltiplos, primos e MMC. Inclui também exercícios resolvidos sobre expressões numéricas.
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Matemática basica
- 1. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 1 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TÉCNICO – TRT 4ª Este material foi produzido com o intuito de viabilizar que o candidato consiga aprender técnicas de resolução de questões com a leitura deste texto. É muito importante seguir em ordem os subcapítulos e efetuar todos os exercícios propostos. Professora: Caren Fulginiti da Silva Contato: caren@caren.mat.br Licenciada em Matemática – UFRGS Mestre em Educação – UFRGS PROGRAMA MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO (último concurso TRT9ª-2010) MATEMÁTICA: Números inteiros e racionais: operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação); expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais; problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três; porcentagem e problemas. RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. PROGRAMA MATEMÁTICA (último concurso TRT4ª- 2006) MATEMÁTICA: Números inteiros: operações e propriedades, múltiplos e divisores; problemas. Números racionais: operações nas formas fracionária e decimal. Números e grandezas proporcionais; razões e proporções; divisão proporcional; regra de três simples e composta. Porcentagem; Juros simples. Funções de 1° e 2° Graus; problemas. Sistemas de medidas: decimais e não decimais. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 2. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 2 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MATEMÁTICA OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS: SOMA + com + ou - com - Soma e mantém o sinal a) (+10) + (+8) = +18 b) (-10) + (-8) =-18 MULTIPLICAÇÃO Mesmo sinal: + e) (+10) (+8) = +80 f) (-10) (-8) = +80 Sinal diferente: g) (+10) (-8) = -80 + com - Diferença e sinal do maior. c) (+10) + (-8) = +2 d) (-10) + (+8) = -2 Prioridade das Operações : Prioridade dos Parênteses : 1º Raiz e Potência 1º Parênteses 2º Divisão e Multiplicação 2º Colchetes 3º Subtração e Soma 3º Chaves ( ) [ ] { } ATENÇÃO: ENTRE PARÊNTESES E OPERAÇÕES PREVALECEM OS PARÊNTESES. Observe a diferença: SOLUÇÃORÁPIDA: (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5 ) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = (4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = − 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 18 = SOLUÇÃO LENTA: ( 4 − 32) ÷ 4 + [(9 − 5) × 6] ÷ (3 + 1) − 6 × 3 = − 28 ÷ 4 + [4 × 6] ÷ 4 − 6 × 3 = − 7 + 24 ÷ 4 − 6 × 3 = − 7 + 6 − 18 = −19 − 7 + 6 − 18 = −19 Agora sem parênteses... 4 − 32 ÷ 4 + 9 − 5 × 6 ÷ 3 + 1 − 6 × 3 = 4 − 8 + 9 − 30 ÷ 3 + 1 − 18 = 4 − 8 + 9 − 10 + 1 − 18 = −22 TABUADA: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 45 50 60 70 80 90 100 01. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas: a) 31 + (- 40) : (+ 2) = b) – 10 – 20 : (+ 4) = c) (+ 30) : (- 6) + (- 18) : (+ 3) = d) (- 91) : 7 + 15 = e) 7 : (- 7) + 2 . (- 6) + 11 = f) (- 36) : (- 4) + 3 . (- 3) = g) 35 – 6 . (+ 6) + (+ 54) : (- 6) = h) 81 : (- 9) – 3 . (- 3) + (- 9) = i) 2 + (- 75) : (- 5) – 4 . (-1) = j) 46 : (- 23) + 7 – 4 . (+ 2) = l) 8 . (- 11) + 200 : (+ 2) – 12 = m) 63 – 84 : (- 21) – 3 . (+ 23) = copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 3. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 3 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MÚLTIPLOS No conjunto dos NATURAIS, chamamos múltiplo de um número, todos os números obtidos multiplicando o número dado por todos os outros números naturais. N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Exemplo: Múltiplos de 12 → 0, 12, 24, 36, ... Construindo outros conjuntos: Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, ... Múltiplos de 10: 0, 10, 20, 30, ... A grande questão em multiplicidade é saber se dado um número ele é ou não múltiplo de outro... Temos várias maneiras de determinar isso e comentarei algumas delas: 1ª) Podemos dizer que um número é múltiplo de outro se construindo o conjunto de seus múltiplos ele pertencer ao conjunto, por exemplo: Sabemos que 14 é múltiplo de 7 porque ele está no conjunto dos múltiplos de 7, como construímos acima, e sabemos também que 10 não é múltiplo de 7 porque ele não está. Porém esse método é muito primitivo visto que se o número fosse muito grande teríamos que construir o conjunto até lá... 2ª) Outra maneira, bastante intuitiva seria fazer a divisão. Sabemos que se ao dividirmos dois números o resto der zero então o maior é múltiplo do menor, observe: 10 7 14 7 -14 2 0 -7 1 é 3 não é De qualquer forma esse método normalmente não é o mais rápido, por isso para os números mais comuns descobriu-se regras de divisibilidade, que com o uso freqüente se tornam as melhores ferramentas: É divisível por ... se ... Exemplo Nº 2 for par 132, 42 3 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3 183, pois 1+8+3=12 os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou 4 97636, pois 36 é divisível por 4 forem 00 5 terminar em zero ou em 5 80, 655 6 for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo 120, é par e a soma é 3 7 Regra muito difícil melhor dividir os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou 8 9480, pois 480 é divisível por 8 forem 000 9 a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9 819, pois 8 + 1 + 9 = 18 10 terminar em zero 90, 120 a soma dos algarismos de ordem par menos a soma dos 291588, pois 9+ 5+ 8 =22, 2+1+8=11 11 e 22-11=11 algarismos de ordem ímpar der um múltiplo de 11 DICA IMPORTANTE: Uma outra maneira de entender multiplicidade é pensar que se um número N é múltiplo de K, então K é um número que está dentro de N. Veja um exemplo claro: • 60 é múltiplo de 20 pois encontramos o 20 dentro do 60 = 20 × 3 • 60 é múltiplo de 15 pois encontramos o 15 dentro do 60 = 15 × 4 • 60 é múltiplo de 30 pois encontramos o 30 dentro do 60 = 30 × 2 • 60 é múltiplo de 12 pois encontramos o 12 dentro do 60 = 12 × 5 Daqui podemos dizer por exemplo que se um número é múltiplo de 12, então com certeza ele é múltiplo de 1, 2, 3, 4 e 6 também! Agora cuidado pois se um número for múltiplo de 3, não significa que é múltiplo de 9 ! copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 4. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 4 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Pensemos agora a respeito do número 1500 ... Casais: 1 e 1500; 2 e 750 e filho deste 20 e 75; 3 e 500 e filho deste 30 e 50 e mais 5 e 300; 4 e 375; 6 e 250 e filho deste 60 e 25 e mais 12 e 125; 10 e 150 e filho deste 15 e 100. Considerações Importantes: • Qualquer número é múltiplo de 1 Construindo o conjunto dos múltiplos de 1: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } • Só o zero é múltiplo de zero N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x0 = {0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} • Zero é múltiplo de qualquer número N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } x2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ... } x3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ... } x5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... } Múltiplo, divisor e divisível???? • 16 é múltiplo de 4 • 16 é divisível por 4 • 4 é divisor de 16 Então múltiplo ≈ divisível OS NÚMEROS NATURAIS: Os números naturais se dividem em 4 grupos: O zero, o um, os números primos e os números compostos. NÚMEROS PRIMOS Um número é dito primo quando ele admite apenas dois divisores distintos. Um número primo só é múltiplo de si mesmo e de 1. O NÚMERO 1 (UM) NÃO É PRIMO! ALGUNS PRIMOS: (saiba esses de cor...): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... NÚMEROS COMPOSTOS São todos os números que são obtidos de produtos de primos, por exemplo: Pense no 20 ele é 2 x 2 x 5 ou seja produto de 3 números primos. Observação: Todos os conceitos podem ser estendidos ao conjunto dos Números Inteiros: Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...} e o zero e o um não são primos nem compostos. MMC – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM O MMC é um número, basicamente o menor número que é múltiplo de dois ou mais números dados. Para encontrá-lo usamos dois métodos o da fatoração (barrinha) ou pela visualização da fatoração dos números dados. Uma observação importante sobre fatoração é que ela deve ser feita utilizando somente números primos ! 12 2 182, 49 2 91, 49 7 6 2 13, 7 7 3 3 13, 1 13 1 Fatoração: 1, 1 MMC:1274 2231 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 5. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 5 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico MDC – MÁXIMO DIVISOR COMUM O MDC é um número, basicamente o maior número que divide dois ou mais números dados. Para encontrá-lo usamos o mesmo método do MMC só que a procura de outra coisa. Vamos ver um exemplo de como encontrar o MMC e MDC de dois números dados: 120 e 80 ... Usando o MMC, observe - Qual o MDC entre 120 e 80? 120 , 80 2(♣) 60 , 40 2(♣) 30 , 20 2(♣) 15 , 10 2 15 , 5 3 5 , 5 5(♣) Marque onde ambos os números sofreram modificação (♣), esses fatores multiplicados geram o MDC, no caso: 2 × 2 × 2 × 5 = 40. Como calcular o MDC de 3 ou mais números? É igual porém devemos marcar apenas os números aonde os três sofreram modificação ao mesmo tempo. e assim por diante. 1,1 QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO PASSOS: 1º Fatore o número 2º Escreva-o em potências 3º Some 1 a cada potência 4º Multiplique-as 50 2 25 5 5 5 1 // 2 × 5 × 5 = 2 × 52 (1+1)(2+1) 2×3 =6 6 divisores que são: 1, 2, 5, 10, 25, 50 Façamos agora com 25, 60, 500... 25 = 52 3(2+1) divisores que são: 1, 5 e 25. 60 = 21⋅ 31⋅ 51 2(1+1) 2(1+1) 2(1+1) = 2⋅2⋅2 = 8 divisores que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30 e 60. 3(2+1) 4 (3+1) = 3⋅4 = 12 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250 e 500. 500 = 22 53 CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Sabendo quantos são fica mais fácil - Exemplos: 6 , 30 e 1000 6 2 3 3 1 // 30 2 15 3 5 5 1 // 2×3 (1+1)(1+1) 2×2 =4 4 divisores que são: 1, 2, 3, 6 2×3×5 (1+1)(1+1)(1+1) 2×2 ×2 =8 8 divisores que são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Ou ainda podemos pensar em casais (divisão): Se pensarmos no 12, sabemos que é múltiplo de 6 e de 2 isso porque se efetuarmos a divisão: 12 6 -12 2 0 quando o divisor ( 6 ) é fator o quociente também é, daí voltando ao 30 temos 8 divisores que vem aos pares: 1 com 30 ; 2 com 15 ; 3 com 10 ; 5 com 6 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 6. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 6 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Então para 1000: 1000 2 500 2 250 2 125 5 25 5 5 5 1 // 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 23 × 5 3 (3+1)(3+1) 4 × 4 =16 16 divisores que são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 Aos pares temos: 1/1000, 2/500, 4/250, 5/200, 8/125, 10/100, 20/ 50, 25/40 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI: Dizemos que dois números são primos entre si quando o MDC entre eles é 1, ou seja, que o maior e portanto único número que divide ambos é o 1. De um modo mais vulgar poderíamos dizer que olhando para os fatores primos do números não veríamos nenhum fator comum. Exemplo: 4 = 22 e 9 = 32 não há fatores comuns 30 = 2 × 3 × 5 e 49 = 72 não há fatores comuns Detalhe importante: PRIMOS ≠ PRIMOS ENTRE SI 4 e 9 são primos entre si e não são primos. 2 e 9 são primos entre si e só o 2 é primo. 2 e 3 são primos entre si e ambos são primos. Primos entre si , como já diz o nome é uma relação que se estabelece na presença de pelo menos dois números. ALGUMAS DICAS... 01. PAR & IMPAR - Alguns comentários... Dizemos que um número é par se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 e impar se terminar em 1, 3, 5, 7 ou 9. De um modo geral dizemos que todo número par pode ser representado pela forma 2n (onde n ∈ Z) este fato pode também ser entendido porque bem ou mal todos os pares são múltiplos de 2. E como os pares e os impares são intercalados temos que os impares de uma forma geral são representados pela expressão : 2n + 1 ou 2n – 1. Também é bastante interessante pensarmos a respeito das operações feitas com esses números. O que acontece se... Agora cuidado com a divisão: PAR + PAR = PAR PAR ÷ IMPAR = PAR PAR + IMPAR = IMPAR IMPAR ÷ IMPAR = IMPAR IMPAR + IMPAR = PAR PAR × PAR = PAR PAR ÷ PAR = PAR OU IMPAR!!!! PAR × IMPAR = PAR ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ IMPAR × IMPAR = IMPAR 02. POTÊNCIAS PERFEITAS: Γ QUADRADOS PERFEITOS: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Ou podemos pensar em 25 = 52 , 16 = 42 mas não é necessário que a potência seja 2, observe que 16 = 24 e por isso de um modo geral para que um número seja um quadrado perfeito é preciso que seus fatores primos tomem sempre potências múltiplas de dois. Dessa forma: 210 × 518 é quadrado perfeito 29 × 54 não é quadrado perfeito e da mesma forma estendemos essa noção para outras potências... copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 7. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 7 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Γ CUBOS PERFEITOS: 1, 8, 27, 64, ... Podemos pensar em 8 = 23 , 27 = 33 mas não é necessário que a potência seja 3, observe que 64 = 46 e por isso de um modo geral para que um número seja um cubo perfeito é preciso que seus fatores primos tomem sempre potências múltiplas de três. E assim por diante... Dessa forma: 23 × 518 é cubo perfeito 29 × 54 não é cubo perfeito É bom saber de cor a lista dos primeiros quadrados perfeitos e também a lista dos primeiros cubos perfeitos, esses são números que aparecem corriqueiramente em questões de raciocínio lógico. Bem como as potências de 2 e de 3., Seguem as listas abaixo: quadrado cubo quadrado 1 1 1 2 4 8 12 144 potências base 2 base 3 13 169 0 1 1 1 2 3 3 9 27 4 16 64 14 196 2 4 9 5 25 125 15 225 3 8 27 6 36 216 16 256 4 16 81 7 49 343 17 289 5 32 243 8 64 512 18 324 6 64 729 9 81 729 19 361 7 128 x 10 100 1000 20 400 8 256 x 11 121 1331 25 625 9 512 x 30 900 10 1024 x 03. MMC X MDC = PRODUTO DE DOIS NOS: 1ª Pergunta: Qual o MMC entre 12 e 30? 2ª Pergunta: Qual o MDC entre 12 e 30 ? 60 6 30 , 12 2(♣) 15 , 6 2 MMC = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 15 , 3 3(♣) MDC = 2 × 3 = 6 5,1 5 1 , 1 // 3ª Pergunta: Será que existe alguma relação possível de ser estabelecida entre o MMC, o MDC e os números que os geraram? A resposta é sim, vamos observar atentamente os números: 12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 5 comum entre eles temos o 2 e o 3 (MDC) O MMC = 60 = 2 × 2 × 3 × 5, se multiplicarmos 12 × 30 = 22 × 3 × 2 × 3 × 5. Se multiplicarmos MMC × MDC = 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 × MMC 2 × 2 12 × 3 × 5 × Sempre: o produto de dois números é igual ao produto do MMC pelo MDC, formulando: copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® × MDC 2 × 3 30 N1 × N2 = MMC × MDC citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 8. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 8 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXEMPLOS DE QUESTÕES ENVOLVENDO MULTIPLICIDADE: 01. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 33 para se obter um múltiplo de 12 ? Veja 33 = 3 × 11 e 12 = 2² × 3. O que falta ao 33 para ter o 12 dentro dele é o 2² ou seja o 4, então o número 33 × 4 é um múltiplo de 12. 02. Determinar todos os números compreendidos entre 200 e 600 que sejam divisíveis ao mesmo tempo por 12, 33. 12 , 33 2 6 , 33 2 3 , 33 3 1 , 11 11 1 , 1 // MMC = 132 O primeiro número que contém o 12 e o 33 dentro dele é o 132, todos os números que forem múltiplos do 132 terão também o 12 e o 33 dentro de si. Construindo os múltiplos de 132 0, 132, 264, 396, 528, 660 ... Os que estão em negrito são a resposta da questão. 03. Três lâmpadas piscam cada uma com a sua freqüência. A primeira a cada 6 segundos, a segunda a cada 8 segundos e a terceira a cada 9 segundos. Se essas lâmpadas inicialmente acenderam juntas, pergunta-se depois de quanto tempo voltaram a piscar juntas novamente ? Lâmpada 1 6s Lâmpada 2 8s Lâmpada 3 9s Considere o momento 0 como o momento em que elas piscaram juntas. Em que momentos a lâmpada A pisca: Nos momentos 0, 6, 12, 18, 24, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 6. Em que momentos a lâmpada B pisca: Nos momentos 0, 8, 16, 24, 32, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 8 Em que momentos a lâmpada C pisca: Nos momentos 0, 9, 18, 27, 36, ... ; ou seja nos momentos múltiplos de 9 Quando as três lâmpadas piscarão juntas? Quando o momento for múltiplo de 6, 8 e 9, ou seja o primeiro dia que isso acontece é no dia que coincide com o MMC de 6, 8 e 9 ... Daí 72s. Sempre em problemas desse tipo deve-se fazer o MMC dos números, não é necessário pensar sempre todo o processo novamente. Só aplique o conhecimento. Respondendo as perguntas temos: a) 72 s 04. Que nº “n” transforma o produto 1620 × n num cubo perfeito ? 1620 = 2²34 5 para que se torne um cubo é preciso multiplicar por 2 3² 5² = 450 05. Qual é o produto de dois números, se o seu MDC é 8 e o seu MMC é 48? Simplesmente sabemos que N1 × N2 = MMC × MDC, então: Produto = 8 x 48 = 384 06. A gerente de uma loja de tecidos quer dividir três peças de fazenda em partes iguais e de maior tamanho possível. Sabendo que as peças medem 75m, 90m e 150m, determine o número de partes em que será dividida cada peça e o comprimento dessas partes. O MDC entre 75, 90 e 150 é 15, ou seja esse é o maior nº que divide os três em respectivamente 5, 6 e 10 peças. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 9. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 9 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS: 01. Consultando a tabela de divisibilidade de 2 até 11, os números abaixo são múltiplos de quem? a) 778 b) 1128 c) 579 d) 663 e) 1320 f) 252 g) 23870 h) 156 i) 504 02. Qual o MMC entre : a) 33 e 80 b) 12 e 64 c) 100 e 250 d) 96 e 150 03. Qual o MDC entre : a) 240 e 780 b) 65 e 156 c) 126 e 147 d) 98 e 441 e) 426 e 213 f) 165 e 385 04. Quantos e quais são os divisores de: a) 900 b) 160 c) 252 d) 308 e) 120 f) 60 12. O MMC de dois números é 11352 e o MDC é 6. Se um dos números é 264, qual é o outro? 13. Para a confecção de uma tela, dois rolos de arame de 40m e 16m vão ser divididos em pedaços de mesma medida e a maior possível, sem sobras. Quantos pedaços serão obtidos em cada rolo? 14. O produto de dois números naturais é 875 e o mdc entre eles é 5. Determine o mmc dos números. 15. Numa certa República, o Presidente deve permanecer em seu cargo durante 4 anos, os Senadores, 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano se realizarão novamente juntas as eleições para esses cargos? QUESTÕES DE CONCURSOS: PERGUNTAS: 01. Qual o maior múltiplo de 18 menor que 300? 02. Calcular o número de divisores de 7000. 03. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 480 para se obter um múltiplo de 112? 04. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 56 para se obter um múltiplo de 88? 05. Determinar o MDC entre os números 132, 60 e 84. 06. Determinar os dois números menores possíveis pelos quais devemos multiplicar os números 24 e 36, a fim de obtermos produtos iguais. 07. Determinar todos os números compreendidos entre 1000 e 3000 que sejam divisíveis ao mesmo tempo por 48, 60 e 72. 08. Três navios fazem viagens entre dois portos. O primeiro cada 4 dias, o segundo cada 6 dias e o terceiro cada 9 dias. Tendo esses navios partido juntos, depois de quantos dias voltaram a sair juntos novamente do mesmo local? 09. Qual a diferença entre o MMC e o MDC dos números 121 e 330? 10. Duas rodas de uma engrenagem têm respectivamente, 14 e 21 dentes. Cada roda tem um dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dois dentes quebrados, depois de quantas voltas esse encontro se repetirá? 11. Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre-a em 36 segundos e o segundo, em 30 segundos. Tendo partido juntos, depois de quantos segundos se encontrarão novamente no ponto de partida? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 01. (FUVEST 96) Qual dos cinco números relacionados abaixo, não é um divisor de 1015 a) 25 b) 50 c) 64 d) 75 e) 250 02. (UFRGS 92) João corre em uma pista circular, dando uma volta completa a cada 36s. Pedro corre em sentido oposto, e encontra João a cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma volta completa é a) 72s b) 36s c) 18s d) 12s e) 6s 03. (UFRGS 98) Se P é o produto de todos os números primos menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 9 04. (UFRGS 99) O algarismo das unidades de (610 +1) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7 05. (UFRGS 00) Se n = 107 − 10 , então n não é múltiplo de a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 06. (FUVEST 00) Se x e y são dois nos inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos nos abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y + 1 07. (FUVEST 05) O menor número natural que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número natural é: a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 33 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 10. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 10 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 08. (FUVEST 91) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltaram a piscar simultaneamente? a) 12 b) 10 c) 20 d) 15 e) 30 09. (FUVEST 95) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o mdc desses dois números é a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 10. (UFRGS 01) O resto da divisão do produto 123456 × 654321 por 6 é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 11. (FUVEST 97) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888 por n um cubo perfeito é a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 12. (FUVEST 01) Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse feita, deixaria uma ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobra-riam 3 ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13. O menor nº natural, não nulo, que é divisível por 400, 500 e 1250 é a) 10² b) 10³ c) 5 ⋅ 103 d) 10 4 e) 105 14. (PUCRS 96) Se x e y são números inteiros x = 1 , então x + y necessariamente é e y a) positivo b) negativo d) par e) menor do que 1 c) ímpar 15. (FCC – 2003) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é a) 8 b) 10 c)) 12 d) 14 e) 16 16. (FCC – 2003) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada funcionário presente foi a) 3 b) 4 c))5 d) 6 e) 7 17. (FCC – 2001) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2. comprimento (m) B1 B2 largura (m) 23,10 18 0,18 0,18 espessura (mm) 1,5 1,5 Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é c) 140 d) 142 e) 149 a) 135 b) 137 18. (FCC – 2001) Uma pessoa sabe que, para o transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete teria que fazer no mínimo X viagens, levando em cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete duas vezes mais e, assim, a cada viagem ela transportou 18 caixas a menos. Nessas condições, o valor de X é a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e)30 Obs.: (questão original com problema, texto alterado para ter solução) 19. (FCC – 2004) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é d) 16 e) 18 a) 11 b) 13 c) 14 20. (FCC – 2007) No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. A14B6 +10C8D 6E865 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 11. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 11 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B – C + D – E é igual a a) 25 b) 19 c) 17 d) 10 e) 7 21. (FCC – 2007) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126 22. (FCC – 2008) O diagrama abaixo apresenta o algoritmo da adição de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. 7B25A +DCB5 E8A86 Determinando-se corretamente esses algarismos, verifica-se que a) A + C = 2 . D b) B + D = E c) B – A = D d) C = 2 . B e) C – E = A OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS São todas as frações cujo numerador e denominador são números inteiros e o denominador não é zero. NUMERADOR DENOMINADOR OPERANDO FRAÇÕES: 7 1 14+ 5 19 + = = 5 2 10 10 MMC 20 10 20 6 ÷ = ⋅ = 2⋅ 2 = 4 3 6 3 10 INVERTE O SEGUNDO E MULTIPLICA 5 2 10 EM LINHA × = 7 3 21 20 3 = 20 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 = 4 10 3 10 6 INVERTE O DEBAIXO E MULTIPLICA Use sempre que possível o cancelamento ! 126 25 21 5 5 15 ⋅ = ⋅ = 3⋅ = Um de cima com um debaixo... 35 12 7 2 2 2 126 e 12 dão por 2 63 e 6 ambos dão por 3 21 e 2 e 35 e 25 dão por 5 7 e 5 e ainda 21 dá por 7 3 Comparação: Qual dos números é o maior? 1 2 2 1 1 1 & ? O maior é 2º & ? O maior é 9 9 9 8 6 6 9 8 & ? 3º 10 9 9 81 80 81 81 e compare que este é o maior. e é o maior e então como e equivalente a Faça: 90 90 90 90 10 1º 1º Se os denominadores forem iguais a maior fração é aquela que tem MAIOR NUMERADOR. 2º Se os numeradores forem iguais a maior fração é aquela que tem MENOR DENOMINADOR. 3º Se tudo for diferente, a primeira coisa é IGUALAR OS DENOMINADORES e depois usar a 1ª regra. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 12. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 12 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS : 01. Calcule o valor das seguintes expressões numéricas: 3 1 6 4 1 + x − = b) x 4 = a) 2 3 5 7 7 1 20 3 2 3 2 9 5 + − + x x x = d) = c) 2 x 6 9 4 3 4 5 4 2 3 1 3 5 1 9 f) − x + = x + 2 = e) 11 5 4 8 12 4 2 4 1 9 7 7 1 5 g) : + = : = h) − i) : 6 + = 3 5 2 5 10 5 2 12 3 5 1 1 2 1 k) + : + j) : 1 − = = 7 14 4 5 3 10 2 3 3 1 x + 3 1 1 1 m) − : + = n) 8 6 = l) 3 7 = 1 1 5 4 2 3 6 + 2 14 12 4 1 3 4 1 3 1 6 p) x + x = + − + = o) 25 5 2 15 6 10 3 5 q) 20 1 6 3 r) x x + = 2 3 4 5 4 3 11 1 − + − = 5 10 5 6 NÚMEROS RACIONAIS COM VÍRGULA Correndo vírgulas 113 113 = 11,3 = 1,13 100 10 113 = 0,113 1000 nº de zeros igual ao nº de casas. Subtraindo 13,2 – 6,96 = É bom completar com zeros! Vírgula embaixo de vírgula . 13,20 - 6,96 6,24 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Somando 6,9 + 13,72 + 8,785 = Montando vírgula embaixo de vírgula 6,9 + 13,72 8,785 29,405 Multiplicando 23,46 × 3,2 = Multiplica normalmente e no final conta as casas depois da vírgula. 23,46 × 3,2 4692 70380 75072 75,072 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 13. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 13 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS: 1 = 0,01 ; 01. Lembrando que, por exemplo, 100 qual é a representação decimal das frações: 4 9 8 9 = b) = c) = d) = a) 10 1000 100 10 5 6 = f) = e) 10000 100 02. Você deve escrever na forma decimal cada uma das seguintes frações decimais: 76 76 76 376 = b) = c) = d) = a) 10 100 1000 10 376 376 376 = f) = g) = e) 100 1000 10000 1265 3048 2107 = i) = j) = h) 10 100 1000 7 83 = m) = l) 100 10 a) b) c) d) e) f) 03. Calcule: 6,9 + 3,078 + 12,45 = 0,326 + 1,78 + 0,095 = 0,945 + 6 + 21,49 = 42,776 + 37,224 = 8,01 + 4,995 + 10,005 = 0,706 + 15 + 2,71 + 13,8 = 04. Calcule: a) 13,1 – 9,86 = c) 9,2 – 5,4207 = d) 20 – 19,5983 = f) 41,3 – 39,682 = b) 27 – 15,083 = e) 0,76 – 0,705 = 05. Calcule o valor das expressões abaixo: a) 2 – 0,447 + 3,36 = b) 30,8 + 22,36 – 10,904 = c) 18,1 – (43 – 29,85) = d) (10 – 3,6) + (1,41 – 0,98) = e) 47 – (72,3 – 58,92) = f) (51,7 + 8,36) – (16,125 + 7,88) = 06. Calcule: a) 1,003 x 10 = b) 2,015 x 100 = c) 12,0092 x 1000 = d) 12,5 x 3,2 = e) 4,23 x 3,1 = f) 4,25 x 0,36 = g) 18 x 0,54 = h) 72,8 x 0,01 = i) 32,5 x 0,041 = j) 4,83 x 5 = l) 4,83 x 0,5 = m) (1,03)²= n) (1,07)³= o) (1,24)² = p) (1,17)³= q) (1,031)²= r) (0,11)²= s) (0,07)³ = copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® CONTAS DE DIVISÃO - ALGORITMO DA DIVISÃO (NOME DAS PARTES): DIVIDENDO DIVISOR M QUOCIENTE RESTO Tenha sempre em mente, antes de fazer a conta, mais ou menos o tamanho da resposta !!! Estimando: 4545 ÷ 15 = podemos pensar que certamente dará mais de 100! 7 ÷ 4 = podemos pensar que é mais que 1 menos que 2, e que não é um número exato. 4 ÷ 7 = podemos pensar que mais que 0,5 porque 4 passa da metade de 7. 45 ÷ 3,2 = podemos esquecer a vírgula e pensar em 45 ÷ 3 = 15. Porém será menos que 15, porque 3 é menor que 3,2. 33,4 ÷ 0,22 = podemos dizer que esta conta equivale a conta 334 ÷ 2,2 que se aproxima do resultado de 300 ÷ 2 que é 150. Portanto a resposta deve estar próxima a 150. 260,1 ÷ 260 = esta dará muito pouca coisa mais que 1. REGRAS PARA EFETUAR DIVISÕES: 1) Na primeira vez, baixe (indicando com um apóstrofe) o suficiente para efetuar a divisão, limitando-se a baixar o máximo que se tenha originalmente no dividendo. 2) Responda e coloque o número no quociente, se não der escreva zero. 3) A partir do segundo “baixar”, só poderá ser baixado um número de cada vez. E obrigatoriamente ele deverá ter sua resposta posta no quociente E caso não dê ponha zero. 4) Siga assim até que terminem os números no dividendo. 5) Quando o dividendo acabar, chame a vírgula. 6) Baixe o primeiro zero emprestado e responda! 7) Repita o procedimento até atingir o número de casas desejado no resultado. (Lembre-se que para cada zero baixado é obrigatória a colocação de resposta no quociente) citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 14. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 14 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico FAZENDO AS CONTAS: 45’4’5’ -45 15 303 045 -45 7’ 4 -4 1,75 30’ -28 0 20’ -20 4’0’ 7 -35 0 0,57 50’ 45,0 -49 3,2 45’0’ 1 32 - 32 14,06 130 33,40 0,22 33’4’0’ 22 - 22 151,81 20’0’ - 192 8 -110 -22 180’ 260,1 260,0 2601’ - 2600 -176 40’ 1,0003 - 7800 - 22 2600 10’0’0’0’ 2200 18 Atenção para as seguintes dificuldades: ▪ Zero no meio do número ▪ Chamando a virgula ▪ Acertando as casas ▪ Zero – Vírgula Tipo 01 a) 2718 : 3 = c) 9292 : 23 = e) 4298 : 14 = Tipo 02 a) 386 : 12 = c) 847 : 66 = e) 4123 : 903 = g) 420 : 645 = i) 333 : 4123 = b) 43,74 : 34 = d) 50 : 0,31 = f) 10 : 31,7 = b) 0,788 : 1,28 = d) 3,52 : 2 = f) 32,16 : 161,7 = b) 603121,8 ÷ 60 d) 0,6 ÷ 23 f) 197,9 ÷ 9,86 h) 0,047 ÷ 230 QUESTÕES DE CONCURSOS: -128 114 40 Tipo 03 a) 3,095 : 7 = c) 5,03 : 6 = e) 73 : 3,52 = Tipo 04 a) 3,15 : 4,655 = c) 31,7 : 15,357 = e) 73 : 0,087 = Avançados a) 5604 ÷ 56 c) 1417,22 ÷ 14 e) 540,275 ÷ 5,4 g) 1071200 ÷ 52 i) 98300 ÷ 98,2 b) 64096 : 32 = d) 7474 : 74 = f) 221166 : 11 = b) 645 : 42 = d) 1052 : 333 = f) 12 : 386 = h) 668 : 847 = j) 1 : 7= copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 23. (FCC – 2006) Ao dividir o número 762 por um número inteiro de dois algarismos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a a) 1 e 12 b) 8 e 11 c) 10 e 12 d) 11 e 15 e) 12 e 11 24. (FUVEST 03) Num bolão, sete amigos ganharão vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu, em reais, foi: a) 3.009.006,00 b) 3.009.006,50 c) 3.090.006,00 d) 3.090.006,50 e) 3.900.060,50 25. (UFRGS 02) Na promoção de venda de um produto cujo custo unitário é de R$ 5,75 se lê: “Leve 3 , pague 2”. Usando as condições da promoção, a economia máxima que poderá ser feita na compra de 188 itens deste produto é de a) R$ 336,50 b) R$ 348,00 c) R$ 356,50 d) R$ 366,50 e) R$ 368,00 26. (FUVEST 95) Dividir um nº por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por 1 1 a) b) c) 8 d) 12, 5 e) 80 125 8 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 15. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 15 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico REGRAS DE POTÊNCIA 01. EXPOENTE ZERO Todo nº elevado a zero é igual a um. (− 3) 0 (2) 0 =1 =1 (3)1 = 3 0 1 =1 3 =8 2 (− 3)1 = −3 (2) (− 3 ) = +9 2 (3) − 32 = −9 ↓ sem parênteses somente o nº é elevado ao expoente. (x )1 = x (− 2) 3 07. EXPOENTE DE EXPOENTE COM PARÊNTESES 06. EXPOENTE NEGATIVO Deve-se inverter o nº. 1 2−1 = 2 = −8 05. EXPOENTE DE FRAÇÕES 9 3 − = 16 4 2 1 1 = 2 2 04. EXPOENTE ÍMPAR MANTÉM O SINAL! (2) (1) (+ 3 ) = +9 1 ATENÇÃO!! − 30 = −1 3 03. EXPOENTE PAR TRÊS CASOS 02. EXPOENTE UM Todo nº elevado a um, é igual a ele mesmo. 1 3 3 1 1 − = − 8 2 −1 =3 3− 2 2 3 4 (+ 2) 2 = 28 1 = 9 −2 = MULTIPLICA OS EXPOENTES 9 4 08. EXPOENTE DE EXPOENTE SEM PARÊNTESES 4 22 = 216 DIVISÃO Subtrai os expoentes 09. BASES IGUAIS MULTIPLICAÇÃO Soma os expoentes am .an = am +n 1000 = 10 POTÊNCIAS DE 10 (dez) 100 = 10 2 10= 101 3 0,1 = 10 −1 am ÷ an = am−n 0,01 = 10 −2 0,001 = 10 −3 1 = 10 0 0,0001 = 10 −4 QUANDO É MAIOR QUE 1 A potência é igual ao número de zeros QUANDO É MENOR QUE 1 A potência é igual ao número de casas depois da vírgula (inclui o 1) EXERCÍCIOS: 01. Calcule: a) (+ 9 )2 = b) (− 9 )2 = c) (+ 9 )3 = d) (− 9 )3 = e) (+ 2)5 = f) (− 2)5 = g) (− 2)6 = h) (+ 2)6 = i) (− 1)10 = j) (− 3 )4 = l) (− 7 )3 = m) (− 100 )0 = n) (− 1)101 = o) (− 25 )2 = p) (+ 10 )6 = q) (− 1)9 = r) (− 1)200 = s) (+ 30 )0 = t) (+ 1)99 = u) − 1100 = 02. Calcule o valor das expressões: a) (− 9 )2 − (+ 5 ) ⋅ (+ 16 ) = b) (− 2)4 ÷ (+ 16 ) ⋅ (− 1)7 = c) (− 6 )2 − (− 7 )2 + 130 = d) 52 − (− 3 )3 + (− 4 )2 = e) 4 ⋅ (− 5 )3 + (− 20 )2 = f) 112 − 4 ⋅ (− 5)2 + 100 = g) 17 − 3 ⋅ (− 2)2 − (− 6 )2 ⋅ (− 1)7 = h) 41 − 3 ⋅ (− 4 )2 + 60 − 20 ÷ (− 2)2 = i) 7 ⋅ (− 2)2 − 5 ⋅ (− 2)3 − 102 = j) (− 3 )3 − 5 ⋅ (− 2) + 2 ⋅ (− 3 )2 − 1 = 03. Calcule o valor das seguintes expressões: 2 3 1 1 a) + = 4 2 3 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 2 2 1 2 b) ÷ = 3 3 c) 3 3 1 1 + ÷ = 2 10 10 4 2 0 1 1 3 d) ÷ − = 2 4 4 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 16. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 16 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 04. Vamos calcular: a) 3−2 = b) 10 −3 = c) 2−6 = −1 2 h) + = 5 f) (− 10 )−2 = g) (− 9 )−1 = −5 e) (− 4 )−3 = d) 8−2 = 3 i) − 4 −2 3 j) − 2 = −3 = −2 1 5 l) − = m) + = 2 4 05. Escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo: a) 0,01 b) 0,00001 c) 0,001 QUESTÕES DE CONCURSOS: 2.[0,02 − (0,1)2 ] é: 100 b) 0,002 c) 0,02 d) 0,2 e) 2 27. O valor de a) 0,0002 mn − n2 para n 28. O valor numérico da expressão m = 0,2 e n = -0,6 é: 2 2 4 b) − c) − a) 5 5 5 c) 0 − 22 − ( −2)2 + 30 ( −4) 4 d) 5 5 e) 2 igualdade 30. Se n é um número inteiro positivo a expressão ( −1)n + ( −1)n +1 tem por valor numérico: b) -1 37. O valor da expressão −1 29. (UFRGS) O valor de n na ( −3)2 + 32 =n é : 30 a) 0 b) 1 c) 4 d) 12 e) 18 a) –2 0 3 + 5−3 4 36. A expressão − 2 equivale a 5.10 + 1 24 1 25 c) 24 d) e) a) 25 b) 25 25 24 d) 1 e) 2 Considerando as expressões 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 A = x .x .x .x .x e B = x .x .x .x .x e fazendo x = -1 em ambas, então A − B é igual a a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 31. 32. A representação decimal de (0,01)3 é : a) 0,03 b) 0,001 c) 0,0001 d) 0,000001 e) 0,0000001 a) - 7 4 b) -4 c) 38. (PUC) A 2 2 −2 2 2 .2 + 2.(3 ) + 180 82 / 3 b) 83 a) 164 7 4 d) 4 d) 45 39. A metade de 4 44 é b) 222 c) 4 43 a) 422 0 1 2 3 x por é é igual e) 287 na expressão 100 x + x + x + x + ..... + x , a mesma equivale a a) -100 b) -1 c) 0 d) 1 e) 100 41. (FUVEST 98) Qual desses números é igual a 0,064? 2 2 3 2 1 1 2 1 8 a) b) c) d) e) 80 8 5 800 10 3 33. (UCS) O valor de y = 4 × 105 × 5 × 10 −3 é: a) 220 b) 202 c) 2 × 103 d) 20 × 10 −15 e) 2 × 10 4 34. A expressão a) 2 b) -1 ( −1)4 .( −1)5 − 3.( −1)7 c) 0 − 16.( −1)3 .19 d)1 vale: e) 3 −2 2 35. O valor da expressão + ( −2)− 3 é: 3 17 8 76 9 2 a) b) c) d) e) 8 9 76 3 17 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® a e) 41 d) 244 -1 −1 e) 0 expressão c) 82 40. Substituindo 1 + 2 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 17. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 17 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EQUAÇÕES DE 1º GRAU SIGA AS REGRAS ESTUDADAS E APENAS ISOLE O X 01. No conjunto R, vamos resolver as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita: b) 17 x + 50 = 7 x c) 9 x − 8 = 5 x + 20 a) 11x − 13 = 20 e) 5(x + 2) − 2(3 x − 1) = 13 f) t − [− t − (t − 1)] = 2 − t d) 12x + 21 = 10 x + 16 2y 3 3 y x 1 g) 3(x + 1) − 2(x − 1) = −(x + 5 ) − = i) − x + 2 = 1 − h) 5 4 20 2 3 2x − 1 x + 3 x −1 7 1 1+ x −2= − − = l) j) 10 4 3 2 5 4 02. Resolva as equações: x+4 =0 a) x − 4 − 3 4x 3 x − 3 − = d) 3 2 3 t − 5 1 t 3t + 14 − = − g) 2 3 3 12 4−a 4−a j) a − =4− 4 5 x−2 x−4 x−8 = −4=x c) 8 3 2 y+4 y 3 − x x +1 x = 1+ f) e) y − = − 2 6 8 4 3 2m − 5 m − 1 13m + 3 x + 1 6x + 1 3x + 1 h) + = i) + = 8 2 4 5 12 3 4 x + 1 2 ⋅ (x + 1) 5 ⋅ (3 x + 2) y 5 ⋅ (y − 3 ) y − 3 y + = m) + + = l) 3 3 4 3 12 4 2 b) PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo equações do 1º grau. ex 01. Somando 20 kg ao dobro da massa de Marli obtemos 136 kg. Qual é a massa de Marli? Solução: Considere x a massa de Marli, montando temos: 2x + 20 = 136 2x = 136 – 20 2x = 116 = x = 58 ex 02. Na sucessão de números pares positivos: 2, 4, 6, 8, ... ache os números vizinhos de modo que a soma deles seja 606. Pense no primeiro número como x como o outro é o próximo par temos que ele será x + 2 e sabemos que x + x + 2 = 606 2x + 2 = 606 2x = 604 x = 302 que o outro que é x + 2 = 304. 1 3 ex 03. Três irmãos receberam uma herança. O mais velho recebeu da herança, o mais jovem 4 3 do resto, ficando $150.000 para o terceiro irmão. Qual o valor da herança? x 2 2 Seja x toda a herança. Para o mais velho coube . Resta então x . Destes x , o mais jovem fica 3 3 3 3 3 2 x (“de” = ●). O do meio ficou com $150.000. O que sabemos é que somando com , ou seja de x = 4 4 3 2 x x as três partes teremos a herança toda, ou seja x. Então: + + 150.000 = x 3 2 2x + 3 x + 900.000 6 x = x = 900.000. Herança igual a $900.000. 6 6 ex 04. Repartir 54 balas entre três meninos sendo que A recebe 8 balas a mais que B, e B recebe 5 balas a mais do que C. Quantas balas A recebe? Começamos pelo último... C recebe x balas, então B recebe x + 5 e A, x + 5 + 8. Somando os três tem que dar 54, então x + x + 5 + x + 5 + 8 = 54 3x = 36 x = 12. Então C recebe 12; B,17 e A, 25. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 18. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 18 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 3 da quantidade de balas da 7 segunda caixa e a segunda caixa deve conter 11 balas a mais do que a terceira caixa. Quantas balas devem ser colocadas em cada caixa? ex 05. Vamos repartir 125 balas em 3 caixas. A primeira deve conter Como a 1ª depende da 2ª e a 2ª depende da 3ª podemos concluir que todos depende da 3ª . Sendo 3 3 assim escreveremos x na 3ª. Na Segunda teremos x + 11 e na 1ª ( x + 11) . Sabemos que ( x + 11) + x + 7 7 3( x + 11) + 7( x + 11) + 7 x 125 ⋅ 7 = 3x + 33 + 7x + 77 + 7x = 875 17 x + 110 = 875 11 + x = 125 7 7 17 x = 875 – 110 = 765 x = 45 3 Voltando temos: 3ª : 45 2ª 45 + 11 = 56 e 3ª ⋅ 56 = 3 ⋅ 8 = 24 7 ex 06. (FCC – 2001) Cada um dos 784 funcionários de uma Repartição Pública presta serviço em um único dos seguintes setores: administrativo (1), processamento de dados (2) e serviços gerais (3). 2 do número dos de (3). Se os funcionários Sabe-se que o número de funcionários do setor (2) é igual a 5 3 do setor (1) são numericamente iguais a do total de pessoas que trabalham na Repartição, então a 8 quantidade de funcionários do setor e) (3) é 380 a) (1) é 284 b) (2) é 150 c) (2) é 180 d)) (3) é 350 2 (2) depende de (3), tome que em (3) existem x pessoas, então em (2) existem de x. Já em (1) existem 5 3 2 de 784 que são 294 pessoas. Somando (1) + (2) + (3) = 784. Então: x + x + 294 = 784 7x = 2450 8 5 x = 350. Temos em (1) 294; em (2), 140 e em (3), 350. LETRA D ex 07. (FCC – 2008) Observe o diagrama. Usando a mesma idéia, é possível determinar os números do interior de cada um dos 4 círculos do diagrama a seguir. Desses quatro números, o a) menor é 3. b) menor é 4. d) maior é 9. e) maior é 12. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® c) maior é 6. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 19. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 19 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Por um lado, chamando de x o número embaixo à direita, podemos escrever que o próximo será x + 4, e que o anterior é x + 1. Pelo diagrama podemos dizer que 2 · (x + 1) = x + 4 e resolvendo a equação obtemos x = 2 e colocando os nos no diagrama temos: 2, 6, 9, 3. PERGUNTAS: 01. Tirar 3 do triplo da idade de Marcelo é a mesma coisa que adicionar cinco a sua idade. Qual é a idade de Marcelo? 02. A quinta parte de um número inteiro somada com 19 dá 82. Qual é o número? 03. Qual é o salário de Flávio se com a metade ele compra uma bicicleta por R$ 93,26 e ainda restam R$ 17,61? 3 04. Em um determinado dia, dos alunos da 5ª série A foram participar de uma gincana cultural, 5 1 dos alunos dessa série participava de uma olimpíada esportiva. Sabendo que 42 alunos da enquanto 3 5ª série A participavam de um dos dois eventos, determine: a) a fração dos alunos da 5ª série A que participaram dos eventos. b) quantos alunos há na 5ª série A c) a fração de alunos da 5ª série A não participam dos eventos. 4 1 de uma parede em um dia e da mesma parede em um segundo dia, um pintor 05. Para pintar 9 6 gastou 11 litros de tinta. Nessas condições, calcule: a) a fração da parede que ele pintou nesses dois dias. b) quantos litros de tinta ele gastará para pintar a parede toda c) quantas latas ele gastará para pintar a parede toda, se uma lata contém 6 litros de tinta. 2 06. Durante a disputa de um torneio de futebol, um quadro venceu dos jogos que disputou e 3 1 dos jogos. Sabendo que o quadro não perdeu 14 dos jogos que disputou, calcule : empatou 9 a) quantos jogos o quadro disputou nesse torneio. b) quantos jogos o quadro venceu c) quantos jogos o quadro empatou. d) quantos jogos o quadro perdeu. 07. Uma pesquisa foi feita com um certo número de pessoas e constatou-se o seguinte: 1 • das pessoas praticavam somente basquete 3 2 das pessoas praticavam somente voleibol • 5 1 das pessoas praticavam somente futebol • 10 • as 20 pessoas restantes não praticavam esportes Nessas condições, determine: a) a fração das pessoas pesquisadas que praticavam esportes b) a fração das pessoas pesquisadas que não praticavam esportes c) o total de pessoas pesquisadas d) o número de pessoas pesquisadas que praticavam basquete e) o número de pessoas pesquisadas que praticavam voleibol. 08. A idade de César é o quíntuplo da idade de Cleópatra e a soma das idades dos dois é 78 anos. Quais são as idades? 09. Um tijolo pesa um quilo e meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 20. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 20 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 10. A soma de dois números impares e consecutivos é 404. Achar o produto dos dois números. 11. Cinco números consecutivos ímpares somam 105. O segundo número vale? e) (40-2x)-20-x QUESTÕES DE CONCURSOS: 42. (FGV) A soma de 3 números inteiros e consecutivos é 60. Assinale a afirmação verdadeira: a) O quociente do maior pelo menor é 2. b) O produto dos 3 números é 8000. c) Não existem números nesta condição. d) Faltam informações para achar os números. e) O produto dos três números é 7980. 43. A solução da equação 5 x − a) 3 7 b) 7 3 c) 3 x +1 = 10 é: 2 d) 7 e) 0 44. (UFMG) De um recipiente cheio de água 2 do seu conteúdo. Recolocando-se 30l tiram-se 3 de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é: a) 45l b) 75l c) 120l d) 150l e) 180l 45. (ULBRA) Um tanque de gasolina de um carro tem capacidade para 50 litros. O marcador de gasolina mostra que o combustível ocupa a quarta parte do tanque. Se o litro de gasolina custa R$ 0,476, o motorista gastará para completar o tanque: a) R$ 5,93 b) R$ 6,50 c) R$ 16,00 d) R$ 17,85 e) R$ 23,75 46. (FUVEST) O dobro de um número mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determinando o número, teremos: a) 24 b) 12 c) 10 d) 8 e) 31 47. O número que somado aos seus é: a) impar d) primo 2 resulta 30 3 b) múltiplo de 9 c) divisor de 30 e) quadrado perfeito 48. (UFRGS) De um total de 40 questões planejadas para uma prova, eliminaram-se 2x delas e do resto, ainda tirou-- se a metade do que havia sobrado. Qual a tradução algébrica do número de questões que restaram? a) (40-2x) - 20 +x b) (40-2x)-20 x d) (40-2x)-x c) ( 40 − 2x ) − 2 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 49. (UFRGS 93) Com A cruzeiros compram-se uma dúzia de laranjas e meia dúzia de limões. Com B cruzeiros compram-se meia dúzia de laranjas e uma dúzia de limões. A quantia , em cruzeiros, para se comprar meia dúzia de laranjas e meia dúzia de limões é a) 3 ( A + B ) b) 2 ( A + B ) c) A + B A + B A + B d) e) 2 3 50. (UFRGS 97) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro de 800,00? a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20 51. (UFRGS 97) Uma pessoa gasta que tem e, em seguida 1 do dinheiro 4 2 do que lhe resta, 3 350,00. Quanto tinha ficando com R$ inicialmente ? a) R$ 400,00 b) R$ 700,00 c) R$ 1400,00 d) R$ 2100,00 e) R$ 2800,00 52. (FCC – 2001) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o a) 8 b) 12 c)) 18 d) 22 e) 24 53. (FCC – 2008) Um lote de 9 000 disquetes foi colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de forma que o número de disquetes colocados em 1 da quantidade cada uma correspondia a 3 colocada na anterior. O número de disquetes colocados na a) primeira foi 4 075. b) segunda foi 2 025. c) terceira foi 850. d) quarta foi 500. e) quarta foi 255. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 21. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 21 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 54. (FCC – 2008) Das 182 páginas de um relatório, digitadas por Adilson, Benilson e Cevilson, sabe-se que: o número das digitadas por 2 do número das Adilson correspondia a 3 digitadas por Benilson; o número das digitadas por 11 das digitadas por Cevilson. Benilson, a 12 Quantas páginas Cevilson digitou a mais do que Benilson? a) 28 b) 22 c) 12 d) 8 e) 6 55. (FCC – 2006) Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: – nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; – nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; – nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 56. (FCC – 2004) Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480 processos para arquivar, respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, contados de hoje, Marilza terá menos processos para arquivar do que Ricardo? a) 12 b) 14 c))16 d) 18 e) 20 57. (FCC – 2007) De acordo com um relatório estatístico de 2006, um setor de certa empresa expediu em agosto um total de 1347 documentos. Se a soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de agosto e o número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 853 unidades, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro e a de agosto foi a) 165 b) 247 c) 426 d) 427 e) 1 100 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 58. (FCC – 2007) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o número de visitantes na segunda-feira cor3 respondeu a do da terça-feira e este correspon4 2 do da quarta-feira. Na quinta-feira e na deu a 3 sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de visitantes na a) segunda-feira foi 120. b) terça-feira foi 150. c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. d) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. e) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira. 59. (FCC – 2007) Certo dia, Veridiana saiu às compras com uma certa quantia em dinheiro e foi a apenas três lojas. Em cada loja ela gastou a quarta parte da quantia que possuía na carteira e, em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o estacionamento onde deixou seu carro. Se após todas essas atividades ainda lhe restaram R$ 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente na carteira estava compreendida entre a) R$ 20,00 e R$ 50,00. b) R$ 50,00 e R$ 80,00. c) R$ 80,00 e R$ 110,00. d) R$ 110,00 e R$ 140,00. e) R$ 140,00 e R$ 170,00. 60.(FCC – 2003) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que: 3 1 foram arquivados numa primeira etapa e 8 4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o total de processos era a) 18 b)) 24 c) 27 d) 30 e) 34 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 22. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br Exemplos: Adição 01 2x + y = 5 01) 8 x − y = 5 22 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico SISTEMAS DE 1º GRAU Adição 02 2x − y = 3 02) 3 x + 2y = 8 10x = 10 x=1 Voltando: 2.1+y=5 y=5–2=3 Solução: ( 1 , 3 ) Substituição 01 y = 3x + 2 03) 2x − y = −4 2x – ( 3x + 2 ) = -4 2x – 3x – 2 = -4 -x = -2 x=2 y=3.2+2=8 Solução: ( 2 , 8 ) 4 x − 2y = 6 3 x + 2y = 8 7x = 14 x=2 Voltando: 2 . 2 – y = 3 y = 4 – 3 = 1 Solução: ( 2 , 1 ) Usando qualquer um dos métodos, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas: x + y x − y = x − 5y = 15 3 x + y = −2 x = 2y 3 05) 06) 07) 5 04) x 2x + y = 19 x + 2y = 6 2x − 5 y = 3 =y+2 2 x = −5 y 08) 4x − y = −21 6 x − 3 y = 20 09) 4 x + 3 y = 40 2x = 3 y 10) x + y = 50 7 x + 6 y = 23 12) 5 x + 6 y = 21 x − 2y = −4 13) − x − 4 y = 10 x + y = 6 16) x = y + 2 x + 5 y = −24 17) 3 x − 2y = −4 8 x + 5 y = 11 14) 4 x + 5 y = 3 y x = 10 + 18) 5 2 x − y = 29 2x − y = 12 11) x y 3 + 2 = 6 2x − 3 y = 11 15) 2x + 7 y = 1 PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU O Objetivo nesse tipo de problema é que você traduza o texto da questão em um sistema, inventando para isso duas letras diferentes, cada uma representando um dos dois objetos do problema. Preferencialmente escolha letras que tenham relação com o problema, por exemplo se forem vacas e galinhas escolha V e G e não x e y. Faremos de exemplos dos tipos mais comuns de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. EX 01. No fim de um dia de trabalho, o caixa de um banco consegue juntar 160 notas de R$ 10,00 e de R$ 50,00, num total de R$ 6.240,00. Quantas notas há de cada espécie? Considere D = nº de notas de R$ 10 e C = nº de notas de R$ 50 Sabemos que D + C = 160 e que 10D + 50C = 6240 − 10D − 10C = −1600 D + C = 160 Montando o sistema: 10D + 50C = 6240 10D + 50C = 6240 40C = 4640 C =116 10D + 10 ( 116 ) = 1600 10D = 1600 – 1160 = 440 D = 44 ex 02. Quando trabalho ganho R$ 32,00 por dia. Quando falto pago multa de R$ 25,00. Em 45 dias recebi um total de R$ 528,00, quantos dias eu faltei? Considere T = dias trabalhados e F = dias com falta Sabemos que T + F = 45 e que ganha 32T e perde 25F e que isso 32T – 25F = 528. T + F = 45 Montando o sistema: 32T − 25F = 528 Temos que F = 45 – T por substituição: 32T – 25( 45 – T ) = 528 57T = 1653 T = 29. Voltando temos que F = 45 – 29 = 16. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 32T – 1125 + 25T = 528 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 23. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 23 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico ex 03. (FCC – 2003) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200 b) R$ 250 c) R$ 300 d) R$ 350 e)) R$ 400 3 A + 2B = 6800 , sabemos que 4A = 3B, remontando o sistema temos: Montando o sistema temos: A 3 B = 4 3 A + 2B = 6800 12A + 8B = 27200 , para a adição transformamos em 4 A − 3B = 0 − 12 A + 9B = 0 17 B = 27200 B = 1600 e A = 1200 (pela razão). A diferença entre os salários é de R$ 400,00. LETRA E PERGUNTAS: 3 em que a soma dos seus termos é 152. 5 02. Em uma revendedora há x carros e y motos, num total de 22 veículos. Esses veículos apresentam um total de 74 rodas. Determine quantos carros e quantas motos há nessa revendedora . 03. Em um jogo de basquete, a equipe A venceu a equipe B por uma diferença de 3 pontos. O número 41 x de pontos que a equipe A marcou é igual a do número y de pontos que a equipe B marcou. Qual foi 40 o resultado dessa partida? 04. Um sorvete custa x reais e um doce custa y reais. A diferença entre o preço de um sorvete e o preço de um doce é 4 reais. Karina tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo R$ 52. Qual é o preço do sorvete? 05. O preço de uma lapiseira é o triplo do preço de uma caneta esferográfica. Se as duas juntas custam R$ 32,00, qual é o preço de cada uma? 06. Uma tábua com 2,85m de comprimento foi dividida em duas partes. O comprimento x da primeira parte tem 0,93m a mais que o comprimento y da segunda. Qual é o comprimento de cada parte? 07. Um livro tem 160 páginas e eu já li uma parte dele. O número x de páginas que já li do livro 5 do número y de páginas que falta para eu terminar de ler este livro. Quantas páginas corresponde a 3 eu já li? 08. Um colégio tem 30 professores. O número x de professores que ensinam outras matérias é igual a quatro vezes o número y de professores que ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nesse colégio ? 09. Um time de futebol marca em média, 2 gols para cada gol que toma. Neste campeonato, até agora, o seu saldo de gols é 38. Quantos gols o time sofreu neste campeonato? Quantos marcou? 10. Vou repartir minha coleção de 520 moedas antigas entre meus dois primos: Fábio e Cristina. 1 Para Fábio eu vou dar do que eu der para Cristina. Quantas moedas devo dar a cada primo? 25 11. Um número dividido por quatro dá um quociente exato que lhe é inferior em 48 unidades, qual é o número? 12. Certos sacos precisam ser transportado, para isso, dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos. Se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos são os sacos e os jumentos? 13. Comprou-se vinho a R$ 4,85 o litro e chope a R$ 2,50 o litro. O número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo vinho foi de R$ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de litros de vinho e chope comprada foi ? 01. Determine uma fração equivalente a copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 24. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 24 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 61. Somando-se 13 ao numerador de uma fração esta se torna igual a 1; somando-se 14 ao denominador da fração dada, esta se torna igual a 1 . Então a diferença entre o denominador e o 2 numerador da fração dada é: a) 12 b) 5 c) 7 d) 1 e) 13 62. (PUCRS) Uma escola tem 960 alunos e 30 turmas entre primeiro e segundo graus. Cada turma do primeiro grau tem 30 alunos e, do segundo grau , 40 alunos. Definindo como x o número de turmas do primeiro grau e y o número de turmas do segundo grau, o problema para determinar o número de turmas de cada nível pode ser resolvido pelo sistema: x + y = 960 x + y = 30 x + y = 30 a) b) c) x + y = 70 10 xy = 960 70 xy = 960 x + y = 30 d) 30 x + 40 y = 960 x + y = 960 e) 30 x + 40 y = 30 63. (UFRGS 94) O denominador de uma fração excede o numerador em 3 unidades. Adicionandose 11 unidades ao denominador , a fração torna-se 3 equivalente a . A fração original é 4 54 30 33 42 18 b) c) d) e) a) 57 33 36 45 21 64. (FUVEST 05) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergente a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregue no aroma limão foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 66. (FCC – 2003) Bento e Caio tinham, juntos, R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restou-lhe a metade da quantia com que Caio ficou. Originalmente, Bento tinha a) R$ 58,00 b) R$ 56,00 c) R$ 54,00 d))R$ 52,00 e) R$ 50,00 67. (FCC – 2008) Certo ano, três técnicos em segurança registraram um total de 1 080 ocorrências não rotineiras. Sabe-se que o primeiro registrou 547 delas, enquanto que as registradas pelos outros dois diferiam entre si de 53 unidades. Nessas condições, a maior quantidade de ocorrências registradas por um desses dois técnicos é um número a) primo. b) par. c) divisível por 3. d) múltiplo de 4. e) divisível por 5. 68. (FCC – 2008) A razão entre as idades de 5 . Se a soma dessas dois técnicos é igual a 9 idades é igual a 70 anos, quantos anos o mais jovem tem a menos do que o mais velho? a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 69. (FCC – 2001) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a seqüência de operações a serem efetuadas a partir de um certo número, a fim de obter o resultado final 10,4. O número que deve ser considerado como ponto de partida está compreendido entre a) 1 000 e 1 050 b) 1 050 e 1 100 c) 1 100 e 1 150 d) 1 150 e 1 200 e) 1 250 e 1 300 65. (FUVEST 94) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem um número de irmão igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 25. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 25 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico RAZÃO E PROPORÇÃO Chama-se RAZÃO entre a e b , o quociente entre a e b ou seja a . b Chama-se PROPORÇÃO a igualdade entre duas razões : a c = b d lê-se: a está para b assim como c está para d PERGUNTAS: 01. Calcule a razão entre os números: 1 4 2 1 c) e d) 3 e 9 e) – 5 e f) –0,75 e 0,15 a) 28 e 14 b) 3 e 2 5 5 2 a é igual a 0,6. Qual é maior a ou b? Quantas vezes é maior? 02. Sendo a e b números positivos e b 03. A razão de um número x para um número y é 4. Qual é a razão de y para x ? 04. Uma foto de dimensões 3cm X 4cm foi ampliada passando o seu comprimento de 4cm para 28cm. Quanto passou a medir sua largura? 3 05. Qual razão é igual a , se a soma de seus termos é 2387? 8 3 , se a diferença dos termos for 448? 06. Qual razão é igual a 11 07. Em duas caixas d’águas há 6.600 litros de água. Determine as capacidades das caixas, sabendo que as suas capacidades estão entre si, como três está para cinco. 13 de B. C é a metade de B. O total é 1232. Então A vale? 08.A é 17 DIVISÕES PROPORCIONAIS E REGRA DE SOCIEDADE Nos diretamente proporcionais: Observe as sucessões de nos: • 2, 6, 10, 18 • 1, 3, 5, 9 Fator de proporcionalidade: 2 Então: duas seqüências numéricas são diretamente proporcionais se houver um único nº que multiplicando ou dividindo leve de uma para a outra. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Nos inversamente proporcionais: Observe as sucessões de nos: • 2, 3, 4, 6 • 12, 8, 6, 4 Observe: 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 6 × 4 = 24 Fator de proporcionalidade : 24 Então: duas seqüências numéricas são inversamente proporcionais se o produto dos nos em posições equivalente for sempre um mesmo nº fixo. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 26. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 26 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Exemplo 1: Dada a sucessão com moldura, decida, quais das sucessões seguintes são diretamente proporcionais a da moldura: O cara é 2 S N a) 6, 8, 10, 12, 14 1º 2º 3, 4, 5, 6, 7 1, 2, 6, 10 b) 9, 12, 15, 18, 21 c) 7, 6, 5, 4, 3 1 1 1 1 1 d) , , , , 3 4 5 6 7 e) –3, -4, -5, -6, -7 f) 3², 4², 5², 6², 7² S N S N S N S N S N a) 1, 4, 36, 100 b) 0,1 ; 0,2 ; 0,6 ; 1 c) 5, 10, 30, 50 S N S N O cara é 10 S N O cara é 5 O cara é 3 O cara é -1 Exemplo 2: Dada a sucessão com moldura, decida quais das sucessões seguintes são inversamente proporcionais a da moldura: O cara é 60 – Valor fixo! S N a) 60, 20, 12, 6 3º 4º 1, 3, 5, 10 2, 4, 7 b) 10, 5, 3, 1 c) 30, 10, 6, 3 1 1 1 d) 1, , , 3 5 10 e) –1, -3, -5, -10 f) 1², 3², 5², 10² S N S N O cara é 30 – Valor fixo! S N O cara é 1 – Valor fixo! S N S N a) –2, -4, -7 1 1 1 b) , , 2 4 7 c) 0,2; 0,4; 0,7 S N S N S N O cara é 1 – Valor fixo! Técnica para efetuar divisões proporcionais: Exemplo 3. Divida 420 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 6 : Quantas são as partes? 3 + 5 + 6 = 14 420 = 30 Tenho 420 para dividir entre elas 14 30 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 3 5 6 × 30 90 150 180 Fazendo a prova real temos: 90 + 150 + 180 = 420. Exemplo 4. Divida 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 : Dividir 80 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 10 é a mesma coisa que dividir 80 em partes 1 1 1 e , daqui repetimos o raciocínio anterior. Quantas são as partes? diretamente proporcionais a , 2 5 10 1 1 1 5 + 2 +1 8 4 + + = = = 2 5 10 10 10 5 80 5 = 80 ⋅ = 100 Tenho 80 para dividir entre elas 4 4 5 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 27. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 27 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 100 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 1 1 1 2 5 10 × 100 50 20 10 Montando a tabela de inversamente proporcional (curiosidade): 2 5 10 50 20 10 = 100 Fazendo a prova real temos: 50 + 20 + 10 = 80. Exemplo 5. Divida 3720 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 5 e ao mesmo tempo a 5, 2 e 1. A maior parte obtida é? Crie a seqüência guia, que é o produto das seqüências apresentadas no enunciado (4x5), (3x2) e (5x1) 20, 6, 5 Quantas são as partes? 20 + 6 + 5 = 31 3720 = 120 Tenho 3720 para dividir entre elas 31 120 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 20 6 5 × 120 2400 720 600 Fazendo a prova real temos: 2400 + 720 + 600 = 3720. Exemplo 6. Divida 620 em partes diretamente proporcionais a 7, 3 e 2 e inversamente proporcionais a 1, 5 e 3. A segunda parte é? Crie a seqüência guia, que é o divisão da 1ª seqüência (DP) pela 2ª (IP) apresentadas no enunciado 3 2 e . 7, 5 3 3 2 124 + = Quantas são as partes? 7 + 5 3 15 620 15 = 620 ⋅ = 75 Tenho 620 para dividir entre elas 124 124 15 75 representa o fator de proporcionalidade ou o quinhão, o pedaço que refaz a conta para nós. Construindo a proporção temos: 3 2 7 5 3 × 75 525 45 50 Fazendo a prova real temos: 525 + 45 + 50 = 620. Exemplo 7. Sobre REGRA DE SOCIEDADE, é uma divisão proporcional onde o lucro ou prejuízo é dividido de maneira diretamente proporcional aos capitais iniciais de investimento e ao tempo de permanência na sociedade de cada uma das partes. Resolve-se do mesmo modo que o exemplo 5. Problema: Três sócios tiveram de lucro $540.000. O 1º entrou na empresa com $6.000, por 3 meses; o 2º com $5.000 por 5 meses; o 3º $6.400 por 7 meses. Faça-se a distribuição dos lucros em conformidade com o tempo e com as entradas. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 28. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 28 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Para resolver crie a seqüência guia: 18.000, 25.000, 44.800. Depois é só proceder como já estudado. Resulta aproximadamente: $110.710, $153.760 e $275.530. EXERCÍCIOS: 01. Divida: a) 360 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. b) 63 em partes diretamente proporcionais a 9 e 12. c) 1650 em partes diretamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7. 02. Precisamos repartir R$ 5.000,00 entre Marcelo (7 anos), Luciano (8 anos) e Alexandre (10 anos), de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como devemos fazer a divisão? 03. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um? 04. Divida: a) 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. b) 295 em partes inversamente proporcionais a 5, 1 e 9. 05. Calcule x e y, sabendo que os números da sucessão 2, x, y são inversamente proporcionais aos da sucessão 15, 6, 5. 06. Dividir 15.000 em três partes tais que a 1ª esteja para a 2ª assim como 2 está para 5; e a 2ª esteja para a 3ª assim como 5 para 3. 07. Repartir 1420 entre três pessoas de forma que a parte da 1ª esteja para a 2ª assim como 4 4 16 está para 5; e a parte da 2ª esteja para a 3ª assim como 4 está para 7. (Dica: lembre que = e 5 20 4 20 = ) 7 35 08. Lucro de uma empresa foi $ 68.000. Tempos de cada sócio na empresa: 4, 8 e 5 meses. Qual o lucro de cada um? 1 1 e 1. 09. Dividir 26390 em partes inversamente proporcionais a , 5 7 10. Dividir 94000 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. 11. Divida 372 em 5 partes, sendo cada uma, metade da anterior. A segunda parte vale? 12. (TRT) Três números são proporcionais a 3, 4 e 5. Determine o maior deles, sabendo que a diferença entre o triplo do menor e o número médio é 60. 13. (TTN) Dividir o número 570 em, três partes tais que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5 e a segunda esteja para a terceira como 6 para 12. 14. (TTN) Divida 305 em três partes de modo que a 1ª esteja para a 2ª como 2 está para 5 e a 2ª esteja para a 3ª como 3 está para 8. 15. O latão é obtido fundindo-se 7 partes de cobra com 3 de zinco. Quantos gramas de cobre e de zinco são necessários para produzir 150g de latão? 16. Três números são proporcionais a 5, 7 e 9. O dobro do último menos a soma dos dois primeiros é 66. Qual o menor deles? 2 1 5 e . 17. Dividir 840 em partes proporcionais aos números , 3 2 6 18. Divida uma herança em partes inversamente às idades; 20, 8 e 12 anos. Se a parte do mais novo é $ 243.000, qual o do mais velho? 19. Três associados tendo formado uma empresa com o capital de $ 32.000, tiveram de lucro, ao fim de certo tempo: um, $2.400; outro, $3.000 e o 3º $4.200, calcular a entrada de cada um. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 29. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 29 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 70. (UFRGS 92) Uma estrada de 315 km foi asfaltada por 3 equipes; A, B e C, cada uma delas atuando, respectivamente, em um trecho proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que coube à equipe C foi de a) 70 km b) 96 km c) 105 km d) 126 km e) 140 km 71. (FCC-2004) Num dado momento, no almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retirada de 80 unidades de A, observou-se que o número de impressos B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de A. Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era b) 800 c) 840 d) 860 e) 920 a)) 780 72. (FCC-2007) Dos 343 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o número de homens está para o de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é a) 245 b) 147 c) 125 d) 109 e) 98 73. (FCC-2007) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é a) 35 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 74. (FCC-2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é a) 48 b) 50 c)) 52 d) 54 e) 56 75. (FCC-2008) Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi a) 68 b) 66 c) 64 d) 62 e) 60 76. (FCC-2003) Dois funcionários receberam a incumbência de catalogar 153 documentos e os dividiram entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 40 anos. O número de documentos catalogados pelo mais jovem foi c) 70 d) 68 e) 65 a) 87 b)) 85 77. (FCC-2001) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária. Idade Tempo de Serviço (em anos) (em anos) João 36 8 Maria 30 12 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 30. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 30 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico REGRAS DE TRÊS Para resolver Regras de Três temos duas opções: Decorar como se resolve cada caso (abaixo comentado) ou usar sempre o mesmo método que se chama: Pontas e Bundas de setas. ... Segue a regra: 1º Passo: Coloque uma seta apontado para o X (a dúvida) 2º Passo: Faça as perguntas e direcione as outras setas em função das respostas obtidas. 3º Passo: Aplique a fórmula: BX ⋅ PS x= BS Onde: BX = Bunda de x ; PS = Ponta de seta & BS = Bunda de setas Regra de Três Simples: Ana comprou 5m de uma fita por R$ 4,80. Quanto vai pagar por 25m da mesma fita? Noção importante: Diretamente proporcional m R$ 5 4,80 25 x Pergunta: Se Ana comprar mais fita ela pagará mais ou menos? MAIS . + fita 4,80 ⋅ 25 = 24 2ª Solução (em X) : 5x = 4,80 25 1ª Solução (fórmula) : x = 5 + R$ DP 4,80 ⋅ 25 x= = 24 5 Regra de Três Inversa: Abrindo completamente 4 torneira iguais, é possível encher um tanque com água em 72 minutos. Se abrimos 6 torneiras iguais a essas, em quanto tempo vamos encher o tanque? Noção importante: Inversamente proporcional Torneiras 4 6 Tempo 72 x Pergunta: Se abrirmos mais torneiras o tanque estará cheio em mais ou menos tempo? MENOS . + TORNEIRA - TEMPO IP 72 ⋅ 4 = 48 1ª Solução ( fórmula ) : x = 6 72 ⋅ 4 = 48 2ª Solução ( em LINHA ) : 6x = 72 4 x= 6 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 31. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 31 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Regra de Três Composta: ATENÇÃO: No caso da regra de três composta para fazer as perguntas é muito importante pensar que o resto (o que fica fora da pergunta) deve ser considerado fixo! Exemplo 1: Para alimentar 12 porcos durante 20 dias são necessários 400kg de farelo. Quantos porcos podem ser alimentados com 600kg de farelo durante 24 dias? Porcos Dias Farelo 12 20 400 x 24 600 1ª Pergunta: Considere farelo fixo, se tivermos que alimentar os porcos por mais dias, alimentaremos mais ou menos porcos? MENOS + DIAS - PORCOS IP 2ª Pergunta: Considere dias fixos, se tivermos mais farelo alimentaremos mais ou menos porcos? MAIS + FARELO + PORCOS DP 12 ⋅ 20 ⋅ 600 = 15 1ª Solução (fórmula) : x = 24 ⋅ 400 REGRA DA 2ª SOLUÇÃO: 1º) Endireite todas as setas. 2º) Isole a fração do x e iguale ao produto de todas as outras. x 20 600 12 ⋅ 20 ⋅ 600 2ª Solução : = ⋅ x= = 15 12 24 400 24 ⋅ 400 Exemplo 2: Se 4 operários, trabalhando 8 horas por dia, levantam um muro de 30m de comprimento em 10 dias, qual o comprimento do muro (com a mesma largura e altura que o anterior) que 6 operários erguerão em 8 dias, trabalhando 9 horas por dia ? Operários 4 Horas/dia 8 Comp. 30 Dias 10 6 9 x 8 1ª Pergunta: Considere horas/dia e dias fixos, se tiver mais operários construirão um muro maior ou menor? MAIOR + OPERÁRIOS + MURO DP 2ª Pergunta: Considere operários e dias fixos, se trabalharem mais horas todos os dias construirão um muro maior ou menor? MAIOR + HORAS/DIA + MURO DP 3ª Pergunta: Considere operários e horas/dia fixos, se trabalharem menos dias construirão um muro maior ou menor? MENOR - DIAS - MURO DP 30 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 8 1ª Solução ( fórmula ) : x = = 40,50 4 ⋅ 8 ⋅ 10 x 6 9 8 30 ⋅ 6 ⋅ 9 ⋅ 8 = ⋅ ⋅ x= = 40,50 2ª Solução : 30 4 8 10 4 ⋅ 8 ⋅ 10 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 32. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 32 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Comentário sobre cálculos envolvendo tempo: Muitas questões trazem de forma embutida questões envolvendo conversões de tempo: ano, semestre, trimestre, bimestre, mês, quinzena, semana, dia, horas, minutos e segundos. Devemos tomar cuidado pois há alguns tipos de pegadinha que são muito perigosas tipo: 1,4h NÃO 4 de 1 hora, ou seja, SÃO 1 hora e 40 minutos. Na verdade 1,4h são 1 hora e 24 minutos, pois 0,4 são 10 4 de 60 minutos = 4 x 6 = 24 minutos. Enfim, problemas com o tempo, resolvemos usando regra de 10 três simples. É importante saber que: 1 ano = 12 meses = 52 semanas = 365 dias (366, se bissexto) 1 mês (comercial) = 30 dias = 4 semanas 1 semana = 7 dias 1 dia = 24 horas = 1440 minutos 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto = 60 segundos Depois disso os segundos são repartidos em décimos, centésimos e milésimos. Obs. 1: Um ano é bissexto se for múltiplo de 4 (veja regra), por exemplo: 1960, 1988, 1240, 936. Fevereiro tem 28 dias em ano normal e 29 em anos bissextos. Têm 31 dias: Janeiro, Março, Maio, Julho, Agosto, Outubro e Dezembro. Obs. 2: De um ano para o outro os dias no calendário andam um dia dentro da semana, ou seja, se 03 de março de 2010 foi uma quarta-feira, dia 03 de março de 2011 será uma quinta-feira e por sua vez 03 de março de 2012 será um sábado (por culpa do ano bissexto). Obs. 3: Como somar e subtrair horas… a) 4h52min + 6h23min = b) 5h23min – 2h55min = Some normalmente: 10 horas 75 minutos Transforme inicialmente 5horas e 23 minutos Daí transforme 75 minutos em 1 hora e 15 em 4 horas e 83 minutos e depois efetue a minutos. Então finalize dizendo 11 horas e 15 diferença: 2 horas e 28 minutos. minutos. (4-2) (83–55) EXERCÍCIOS: Converta: 01. Um terço de ano em dias e horas. 02. 0,72 de mês em dias, horas e minutos. 03. 0,4 de semana em dias, horas e minutos. 04. 0,67 de hora em minutos e segundos. Calcule: 05. São 15h e 45 minutos passadas mais 10h e 37 minutos que horas serão? 06. Um relógio parou de funcionar as 8h e 46 minutos, um outro relógio marca 17h e 12 minutos quando o dono dos relógios percebe que um deles parou. Nesse instante, há quanto tempo o relógio está parado? PERGUNTAS: 01. Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra têm respectivamente, 12 e 54 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 8? 02. Num internato, 35 alunos gastam R$ 15,40 pelas refeições de 22 dias. Quanto gastariam 100 alunos pelas refeições de 83 dias no mesmo internato? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 33. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 33 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 03. Uma adega de vinho abastece 35 homens por um mês, dando a cada um deles os homens ficassem reduzidos a 20 e se cada um deles recebesse 3 de litro por dia. Se 5 3 de litro, quantos dias a adega 4 poderia abastecê-los? 04. Se 10 operários, trabalhando 8h por dia, levam 5,5 dias para levantar uma parede de 22m de comprimento por 0,45m de espessura, em quanto tempo 16 operários, trabalhando 12h por dia levantam outra parede de 18m de comprimento 0,30m de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira? 05. Num livro de 200 páginas há quarenta linhas em cada página. Se cada página tiver 50 linhas, o número de páginas do livro será? 3 06. Usei 250 ladrilhos de 20cm X 60cm em de uma sala. Quantos usarei de 40cm X 10cm, para 4 ladrilhar o resto ? 07. Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 85km. Quantos quilômetros percorrerá com 45 litros de gasolina? 08. Vinte operários fazem um trabalho em 18 dias. Quantos operários seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 12 dias? 09. Em cada 100 alunos foram reprovados 25. Em uma classe de 48 alunos, qual foi o número de reprovados? 10. Para equilibrar uma carga, colocam-se 25 objetos pesando 3kg cada um. Quantos objetos seriam necessários colocar, se eles pesassem 5kg ? 11. Um operário recebeu R$ 3.400,00 por 40 dias de trabalho; quanto teria recebido se tivesse trabalhado 11 dias a menos? 12. Uma torneira despeja 1200 litros de água em 8 horas. Quantos litros despejará se permanecer aberta 3 horas somente? 13. Se 18 homens abrem um valo em 60 dias, quantos homens seriam necessários para abrir o mesmo valo em 15 dias? 14. Em um forte isolado, 75 soldados têm víveres para 168 dias. Se receberem um reforço de 25 homens, para quantos dias darão os víveres, sem reduzir a ração diária? 15. Para alimentar uma família de 6 pessoas, durante 2 dias, são necessários 3 litros de leite. Para alimentá-la durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas, quantos litros de leite serão necessários? 16. Trabalhando 10 horas por dia, 6 operários fizeram em 12 dias, 200 metros de corda. Quantos dias 4 operários levarão para fazer 320 metros, trabalhando 12 horas diárias, se a dificuldade do primeiro trabalho está para o segundo assim como 4 para 7? 17. Um automóvel percorre um certo trecho em 8h a velocidade de 60 km/h. Se sua velocidade fosse 90 km/h quanto tempo levaria para percorrer o mesmo trecho? 18. Doze torneiras enchem 240m³ de água em 12 horas. Quantas torneiras serão necessárias para encher 170m³ em 34 horas? 19. Cinco operários realizam um trabalho em 72 dias. quantos dias levarão 8 operários se o trabalho for 3 vezes mais difícil? 20. Quatro operários fizeram 480 metros de um trabalho com um grau de dificuldade 1,2 em 24 dias. Quantos operários deverão ser contratados a mais, para fazerem 720 metros do mesmo trabalho, em 6 dias a menos com um grau de dificuldade de 3? 21. Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perde-se 3 gotas de líquido por segundo. Qual a quantidade de líquido perdida entre 7h e 45 min e 16h e 15 min, se 15 gotas desse líquido formam 1ml. 22. Um relógio adianta-se por dia 1min e 10 s. Qual a correção a fazer após 7 dias e 6 horas da última realizada? 23. Qual a razão entre 3 horas e 45 minutos? 24. Qual a razão entre 5 minutos e 20 segundos e 10 minutos e 30 segundos? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 34. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 34 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 78. (UFRGS 95) Um ciclista, pedalando a uma velocidade constante v, percorreu 6km em 30min. 3 de v, percorreria essa Se sua velocidade fosse 5 mesma distância em a) 20min b) 25min c) 35min d) 40min e) 50min 79. (UFRGS 00) As rodas traseiras de um veiculo têm 4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de cada roda dianteira mede a) 2,125 metros b) 2,25 metros c) 3,4 metros d) 3,75 metros e) 5 metros 80. (UFRGS 07) Em 2006, segundo notícias veiculadas na imprensa, a dívida interna brasileira superou um trilhão de reais. Em notas de R$ 50,00, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toneladas. Com base nessas informações, pode-se afirmar corretamente que a quantidade de notas de R$ 50,00 necessárias para pagar um carro de R$ 24.000 tem massa, em quilogramas, de a) 0,46 b) 0,48 c) 0,50 d) 0,52 e) 0,54 81. (FUVEST 99) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, completará a prova em a) 4 minutos e 51 segundos b) 5 minutos e 8 segundos c) 5 minutos e 28 segundos d) 5 minutos e 49 segundos e) 6 minutos e 3 segundos. 82. (UFRGS 00) Considerando que um dia equivale a 24 horas 1,8 dias equivalem a a) 1 dia e 8 horas b) 1 dia e 18 horas c) 1 dia e 19 horas d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 83. (UFRGS 01) 0,3 semanas corresponde a a) 2 dias e 1 hora b) 2 dias , 2 horas e 4 minutos c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos d) 2 dias e 12 horas e) 3 dias 3 84. (UFRGS 02) Os de um dia correspondem a 50 a) 1 hora, 4 minutos e 4 segundos b) 1 hora, 26 minutos e 4 segundos c) 1 hora, 26 minutos e 24 segundos d) 1 hora, 40 minutos e 4 segundos e) 1 hora e 44 minutos 85. (UFRGS 04) Durante os jogos PanAmericanos de Santo Domingo, os brasileiros perderam o ouro para os cubanos por 37 centésimos de segundo nas provas de remo. Dentre as alternativas, o valor mais próximo desse tempo, medido em horas, é a) 1,03 ⋅ 10 −4 b) 1,3 ⋅ 10 −4 c) 1,03 ⋅ 10 −3 d) 1,3 ⋅ 10 −3 e) 1,03 ⋅ 10 −2 86. (FCC – 2007) Em uma gráfica, foram impressos 1200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas, (A) 10 minutos e 40 segundos. (B) 24 minutos e 20 segundos. (C) 37 minutos e 30 segundos. (D) 42 minutos e 20 segundos. (E) 58 minutos e 30 segundos. 87. (FCC – 2003) Um funcionário de uma Repartição Pública iniciou seu trabalho às 7h50min, executando ininterruptamente três tarefas que tiveram a seguinte duração: 1 hora e 3 de uma hora e 95 minutos. Nessas 15minutos, 5 condições, ele terminou a execução das três tarefas às a)) 11h16min. b) 11h12min. c) 10h48min. d) 10h46min. e) 10h18min. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 35. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 35 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 88. (FCC – 2007) Durante todo o mês de março de 2007, o relógio de um técnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava a) 7h5min b) 7h6min c) 7h15min d) 7h30min e) 8h 89. (FCC – 2001) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu 11 do dia, essa tarefa quando eram decorridos 16 então ele iniciou a digitação do texto às b) 13h20min c) 13h a)) 13h40min d) 12h20min e) 12h10min em 4 horas de trabalho ininterrupto. Nessas condições, o esperado é que dois deles sejam capazes de digitar 120 páginas de tal relatório se trabalharem juntos durante a) 4 horas e 10 minutos. b) 4 horas e 20 minutos. c) 4 horas e 30 minutos. d) 4 horas e 45 minutos. e) 5 horas. 91. (FCC – 2003) Suponha que quatro técnicos judiciários sejam capazes de atender, em média, 54 pessoas por hora. Espera-se que seis técnicos, com a mesma capacidade operacional dos primeiros, sejam capazes de atender, por hora, a quantas pessoas? e) 85 a) 71 b) 75 c) 78 d)) 81 90. (FCC – 2008) Sabe-se que, juntos, três funcionários de mesma capacidade operacional são capazes de digitar as 160 páginas de um relatório QUESTÕES DE TORNEIRAS : Considere o seguinte problema: Há duas torneiras que podem ser abertas para encher um tanque com água. Se abrirmos apenas a primeira torneira, o tanque estará cheio após 10 minutos. A segunda torneira, sozinha, enche o tanque em 15 minutos. a) Qual das torneiras despeja mais água por minuto? Primeira b) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque Sim, porque a primeira sozinha estará cheio em menos de 10 minutos. Certo ou errado? consegue isso. c) Abrindo ambas as torneiras simultaneamente, o tanque Não porque a primeira enche meio estará cheio em exatamente 5 minutos. Certo ou errado? tanque em 5 minutos, mas a outra não o faz. 1 1 d) Que fração do tanque a primeira torneira enche em um ; 10 15 minuto? E a segunda? 1 1 1 e) Que fração do tanque as duas torneiras juntas enchem + = 10 15 6 em um minuto? f) Em quanto tempo, exatamente, as duas torneiras juntas enchem o tanque? TÉCNICA PARA ESTA QUESTÃO: Exemplos: 01. Uma torneira enche um tanque em 5h e outra em 7h. Em quanto tempo o tanque estará cheio, estando as duas torneiras abertas? Primeiro calcule a fração do tanque cheia em 1h 1 do tanque em 1 hora; e a 2ª, por torneira: 1ª) 5 1 1 1 12 . Depois somar as frações: + = . 7 5 7 35 Traduzindo, acabamos de saber que juntas as copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 6 minutos. 12 do tanque a cada hora. 35 Enfim, agora falta só a regra de três: 35 ?h = =2,916666…h = 12 12 1h 2h + 0,916666 de h = 35 1 ?h 2h + 0,916666 × 60 minutos = 2horas e 55 minutos duas torneiras enchem 02. (UFRGS) Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem uma piscina em 6 horas. Separadamente uma delas demora 5 horas a mais citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 36. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 36 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico que a outra. Chamando de x o tempo em horas em que enche a piscina de maior vazão tem-se : 1 1 =6 b) x + ( x + 5 ) = 6 a) + x x+5 1 1 1 1 1 1 1 d) + + = c) + + 5 = x x x x 5 6 6 1 1 1 e) + = x x+5 6 Duas torneiras abertas ao mesmo tempo enchem uma piscina em 6 horas, portanto em 1 hora, elas 1 da piscina. Sozinha, a torneira de enchem 6 maior vazão enche a piscina em x horas, logo, em 1 1 da piscina e a torneira de menor hora enche x vazão demora 5 horas a mais para encher a 1 da piscina, assim, em 1 hora ela enche x+5 piscina. Montando a equação, temos: 1 1 1 LETRA E + = . x x+5 6 PERGUNTAS: 01. Uma torneira enche um reservatório em 2h e outra o esvazia em 3h. Estando as duas torneiras abertas, em quanto tempo o reservatório estará cheio? 02. Uma torneira enche um tanque em três horas; outra o vazaria em quatro horas. Abertas as duas torneiras em quanto tempo ficaria o tanque cheio ? 03. A primeira torneira enche um tanque em 3 horas; a segunda torneira enche em 4 horas e a terceira enche em 5 horas. Abrindo-se as três simultaneamente em quanto tempo o tanque ficará cheio? 04. Duas torneiras podem encher um tanque em 3 e 4 horas respectivamente e uma válvula pode esvaziá-lo em 6 horas. Com as 3 abertas, em 5 quanto tempo ficam cheios do tanque? 8 05. Duas pessoas fariam, juntas um trabalho em 4 dias. Uma delas, sozinha, levaria 6 dias. Em que tempo a outra faria o trabalho, só? 06. Um operário tinha executado 1/3 de um trabalho em 6 dias, quando chega um segundo operário para auxiliá-lo, e juntos concluem o serviço com mais 4 dias de trabalho. Em quanto copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® tempo executaria o segundo sozinho todo o mesmo serviço? 07. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda em 12 horas. Conservando-se abertas as duas torneiras, a primeira durante 24 minutos e a segunda durante 20 minutos, que parte do reservatório ficará cheia? QUESTÕES DE CONCURSOS: 92. (UFRGS 91) (N3) Dois homens, trabalhando juntos, podem fazer um trabalho em 20 dias. Se trabalhassem sozinhos, um deles levaria 9 dias mais do que o outro para fazer o mesmo trabalho. Se o mais lento leva x dias para fazer o trabalho sozinho, o valor de x é a solução da equação 1 1 + = 20 a) x + ( x + 9 ) = 20 b) x x + 9 1 1 1 c) + + 9 = x 20 x 1 1 1 1 1 1 + = e) + = d) x x + 9 20 x x − 9 20 93. (FCC – 2007) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água. Entretanto, um furo em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então, às 18 horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros de água em seu interior. Considerando que o furo não foi consertado e não foi colocada água dentro do tanque, ele ficou totalmente vazio às a) 11 horas de 02/06/2007. b) 12 horas de 02/06/2007. c) 12 horas de 03/06/2007. d) 13 horas de 03/06/2007. e) 13 horas de 04/06/2007. 94. (FCC – 2007) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de a) 6 horas. b) 6 horas e 10 minutos. c) 6 horas e 54 minutos. d) 7 horas e 12 minutos. e) 8 horas e meia. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 37. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 37 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 95. (FCC – 2006) Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar X cópias de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadora executaria o mesmo serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas, que fração das X cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto? 5 1 7 2 5 a) b) c) d) e) 12 2 12 3 6 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME – MRU Vale a justificativa: Analisando as provas dos últimos concursos, percebi várias questões envolvendo superficiais conhecimentos de MRU, tudo dá para deduzir, mas para facilitar a vida de vocês aqui registro algumas dicas para resolução destes problemas. As fórmulas mais comuns são: d = v · t e p = p0 + v · t onde: d = distância, v = velocidade, t = tempo e p0 = posição inicial. Unidades de velocidade são duas km/h ou m/s. Para converter de km/h para m/s Para converter de m/s para km/h ÷ por 3,6. x por 3,6. PERGUNTAS: 01. Numa viagem de trem um viajante consulta o relógio no momento exato em que o trem passava no marco 237. Eram 8h e 17min. Às 8h25min, o trem passa no marco 249km. Calcular a velocidade do trem em m/s e km/h. 02. Um automóvel percorre 507km em 10h e 5 min. Calcular a velocidade do automóvel em km/h e m/s. 03. Um automóvel percorre 840.000 metros em 720 minutos. Sua velocidade média é em km/h 04. Dois trens partem no mesmo instante de duas estações situadas a 400km uma da outra e se dirigem em sentidos contrários. O primeiro tem a velocidade de 50km/h e o segundo de 65km/h. Qual a distância entre os dois no fim de 2 horas? E no fim de 4h? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® QUESTÕES DE CONCURSOS: 96. (UFRGS 96) O ônibus X parte da cidade A com velocidade constante de 80km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas da madrugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na mesma direção e sentido do ônibus X, com velocidade constante de 100 km/h. O ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela manhã, às a) 6 horas b) 8 horas c) 10 horas d) 11 horas e) 12 horas 97.(FCC – 2008) Em uma estrada, dois automóveis percorreram a distância entre dois pontos X e Y, ininterruptamente. Ambos saíram de X, o primeiro às 10h e o segundo às 11h30min, chegando juntos em Y às 14h. Se a velocidade média do primeiro foi de 50 km/h, a velocidade média do segundo foi de a) 60 km/h b) 70 km/h c) 75 km/h d) 80 km/h e) 85 km/h 98. (FCC – 2006) Valfredo fez uma viagem de automóvel, em que percorreu 380 km, sem ter 3 do feito qualquer parada. Sabe-se que em 5 percurso o veículo rodou à velocidade média de 90 km/h e no restante do percurso, à velocidade média de 120 km/h. Assim, se a viagem teve início 69 do dia, Valfredo quando eram decorridos 144 chegou ao seu destino às (A) 14h18min (B) 14h36min (C) 14h44min (D) 15h18min (E) 15h36min citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 38. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 38 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico PORCENTAGEM (%) FAZENDO RAPIDAMENTE CONTAS QUE ENVOLVEM % Pense que 10% = um décimo da coisa e 1% é um centésimo da coisa. A coisa é 100%. Daí para 20% pense que são dois 10%, 50% metade de 100% e assim por diante. a) 10% de 37 = 3,7 b) 1% de 12 = 0,12 c) 5% de 15 = 1,5 ÷ 2 = 0,75 d) 20% de 42 = 2 × 4,2 = 8,4 e) 17% de 52 = 5,2 (10%) + 2,6 (5%) + 1,04 (2%) = 8,84 f) 100% de 25 = 25 g) 200% de 21 = 2 × 21 = 42 h) 312% de 31 = 93 (300%) + 3,1 (10%) + 0,62 (2%) = 96,72 Podemos também trabalhar com nos com vírgula, por exemplo podemos dizer que 20% de x = 0,2x. Quando fizermos essa substituição (5% = 0,05) dizemos que usamos taxa unitária ao invés de porcentagem (%). Isso porque 100% = 1. Saiba que x% de y é a mesma coisa que y% de x. Procure a sempre versão mais simples da conta, compare: Fizemos 17% de 52... Agora façamos 52% de 17... Veja que fica bem mais fácil!!!! EXEMPLOS DE PROBLEMAS COMUNS DE PORCENTAGEM IMPORTANTE: O preço que equivale ao 100% é aquele que sofrerá alteração, normalmente é o preço de custo, mas pode ser o preço da etiqueta... 01. Uma mercadoria é comprada pelo dono de uma loja por R$ 30,00, mas a essa mesma mercadoria é acrescido o lucro do dono da loja de 30%. Por quanto essa mercadoria é vendida. Calcular 30% de R$30,00 = R$9,00 e acrescentar ao preço R$ 39,00 02. Uma loja vende uma mercadoria por R$ 253,00, sabendo que a loja tem um ganho de 15% nessa mercadoria, qual o preço de custo dela? É importante pensar que os R$ 253,00 equivalem à 115%, visto que o preço de custo que sofreu o aumento de 15% era o 100%. 25300 115% 253 x= = 220 115 100% x 03. Um produto sofre, em cima do seu preço de custo, um reajuste de 30% e uma semana depois outro de 10%. No fim do mês o dono do atacado faz uma promoção dando desconto de 20%. Ao final de tudo isso o lucro deste comerciante é de? Inventar quero preço é R$ 100,00. +30% +10% −20% 100 → 130 → 143 → 114,40 LUCRO ? 100 → 114,40 Lucro de 14,40% CUIDADO: 04. Suponha que o dono da loja da questão 01. faça uma promoção de 30% em qualquer mercadoria, então ele venderá essa mercadoria: * pelo preço de custo ? * com lucro ? * com prejuízo ? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 39. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 39 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Suponha um produto cujo preço de custo seja R$ 100,00, o dono da loja acrescenta lucro de 30% que equivale neste caso a R$30,00, então o preço na prateleira é de R$130,00, o consumidor que sabe que terá um desconto de 30% faz a conta a partir do preço da etiqueta (que é o 100% para ele), então ele calcula que terá um desconto de R$ 39,00 pagando por fim ( 130 – 39 ) R$ 91,00. Agora podemos observar que o dono da loja terá um prejuízo de R$ 9, 00 que representa 9% já que toda a conta está baseada em 100. CUIDADO: +30% -30% PREJUÍZO!!!!!!!!!!!!!! 05. O dono de uma loja compra uma mercadoria por R$ 100,00 e coloca um lucro de 30%. Qual o desconto máximo ( aproximadamente ) que ele pode dar sem que tenha prejuízo? +30% − ?? % 100 → 130 → 100 R$ 30,00 é o máximo desconto em dinheiro que ele pode dar. O que queremos saber é em porcentagem quando equivale os R$ 30,00. 3000 130 100% = 23,07 x= 130 30 x O desconto máximo que pode dar é de aproximadamente 23,07%. Observação: Em problemas que pedirem o aumento, lembre-se de diminuir 100%. CASO O PROBLEMA NÃO TENHA VALORES… INVENTE VALORES! POR EXEMPLO DIGA QUE ERA 100. QUESTÕES DE CONCURSOS: 99. Um lojista compra de seu fornecedor um artigo por x reais e o revende com lucro de 50%. A seguir, ao fazer uma liquidação, ele dá, aos compradores, um desconto de 35% sobre o preço de venda desse artigo. Pode-se afirmar que esse comerciante tem, sobre x, a) prejuízo de 2,5% b) prejuízo de 15% c) lucro de 2,5% d) lucro de 10% e) lucro de 15% 100. Um comerciante aumentou o preço de sua mercadoria de tal forma que, após um desconto de 20% no preço final, o preço resultante seria o inicial. O aumento foi de a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% 101. Num final de semana de verão, havia 3.024.000 pessoas no litoral norte do Rio Grande do Sul. Se no inverno a população dessa região é de 270.000 habitantes, nesse final de semana o aumento da população foi de a) 10,2% b) 102% c) 1000% d) 1020% e) 1120% 102. Um artigo de R$ 100,00 pode ser comprado, à vista, com desconto de 10% ou, a prazo, com um pagamento de R$ 50,00 no ato da compra e outro, copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® também de R$ 50,00, um mês após a compra. Qual a taxa, ao mês, de juros pagos por quem opta pela compra a prazo? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 103. O salário bruto de uma pessoa dobrou, mas o percentual descontado sobre tal salário permaneceu o mesmo. Dessa forma, o aumento do salário líquido foi: a) de 50% b) entre 50% e 100% c) de 100% d) entre 100% e 200% e) de 200% 104. Numa caixa de 120 frutas, 30 frutas estão estragadas. A porcentagem de frutas boas é: a) 25% b) 75% c) 85% d) 90% e) 100% 105. Com 20% de desconto, paguei R$ 640,00 por um livro. O preço sem desconto é: a) R$ 900 b) R$ 768 c) R$ 800 d) R$ 660 e) R$ 880 106. (UFRGS) A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão da proporção formada pelos capitais nos balanços é: 11 10 9 1 a) 10 b) c) d) e) 10 11 10 10 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 40. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 40 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 107. Um posto de abastecimento vende um litro de mistura combustível a R$ 0,75 ; mistura esta composta de 75% de gasolina e 25% de álcool. Se um litro de álcool custa R$ 0,60 ; o de gasolina custa: a) R$ 0,60 b) R$ 0,70 c) R$ 0,78 d) R$ 0,80 e) R$ 0,82 115. (UFRGS) Um negociante recebeu uma encomenda de 4,05T de café torrado. Supondo que o café em grão perca 19% de seu peso na torrefação, quantas toneladas de café em grão precisa o negociante torrar para atender exatamente à encomenda? a) 3,28 b) 4,00 c) 5,00 d) 6,00 e)7,69 108. O salário do magistério teve reajuste no valor de 10% no mês de março; 20% no mês de Abril e de 30% no mês de Maio. O percentual de aumento recebido nesses três meses foi de: a) 40% b) 60% d) 68,6% d) 71,6% e) 80% 116. (UNISINOS) O Instituto de Pesquisas Tecnológicas de São Paulo enviou, em 1995, para as prefeituras brasileiras, em questionário para averiguar a questão do lixo. Com base nas respostas, os pesquisadores ficaram sabendo que 76% do lixo brasileiro é depositado em lixões a céu aberto, 13% destinados a aterros sanitários e somente 1% dos resíduos passa por algum tipo de tratamento. No litoral norte do Rio Grande do Sul na época de veraneio, são recolhidas diariamente 300T de lixo, então a quantidade de lixo abandonada a céu aberto, agredindo a natureza, em toneladas, é: a) 99 b) 128 c) 228 d) 250 e) 293 109. Uma certa mercadoria sofreu inicialmente um aumento de 20% e logo depois um aumento de 10%. Sendo R$ 316.800,00 o preço final , então o preço inicial dessa mercadoria em R$: a) 105.600,00 b) 120.000,00 c) 126.000,00 d) 240.000,00 e) 260.000,00 110. (UFRGS) Uma mercadoria foi comprada por R$ 600,00 a ser paga em três vezes. Se fosse à vista, o comerciante daria 20% de desconto. Qual foi a porcentagem do acréscimo sobre o preço à vista que o freguês pagou? a) 15% b) 20% c) 25% d) 28% e) 30% 111. (UFRGS) Depois de um aumento de 30%, uma certa mercadoria custa R$ 59,80. Antes do aumento essa mercadoria custava em reais, a) 30,00 b) 35,00 c) 45,00 d) 46,00 e) 50,00 112. (ULBRA) Uma mercadoria foi comprada por R$200.000,00. Para que haja um lucro de 60% sobre o preço de custo, essa mercadoria deve ser vendida por R$: a) 100.000 b) 120.000 c) 200.000 d) 320.000 e) 400.000 113. (UFRGS) Há oito anos com um salário mínimo, comprava-se 55kg de um produto e hoje compra-se 34,1kg. Com base neste produto, o salário mínimo sofreu uma desvalorização de a) 15% b) 20% c) 38% d) 45% e) 62% 114. (UFRGS) Se o volume da água aumenta de 9% ao congelar-se, quantos centímetros cúbicos de água se requerem para produzir 545 cm3 de gelo? a) 500 b) 300 c) 560 d) 600 e) 630 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 117. Duas classes de um colégio fizeram o mesmo teste. Uma classe de 20 estudantes teve uma nota média correspondente a 80%; a outra classe de 30 estudantes teve uma nota média de 70%. A nota média das duas classes juntas é: a) 75% b) 74% c) 72% d) 77% e) 71% 118. Na compra de um objeto, o desconto dado foi de R$ 9,52 . Sabendo que a taxa de desconto foi 14%, o preço pago pelo mesmo foi a) R$ 70,00 b) R$ 68,00 c) R$ 58,48 d) R$ 58,00 e) R$ 56,52 119. A casa do Sr. Rafael foi adquirida através do sistema financeiro de habitação. A prestação mensal de sua casa aumentou 30%. Mas , por recurso judicial, a partir deste mês, aquele que pagar até o 5º dia útil do mês tem direito a um desconto de 20%. Se o Sr. Rafael pagou sua casa no dia 2 , o aumento real sobre a prestação do mês anterior foi de a) 10% b) 8% c) 6% d) 4% e) 2% 120. Um comerciante aumentou o preço de sua mercadoria de tal forma que, após um desconto de 20% no preço final, o preço resultante seria o inicial. O aumento foi de a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 41. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 41 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 121. De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano assistência médica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? a) 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29% 122. (UFRGS 94) Um revendedor aumenta o preço inicial de um produto em 35% e, em seguida, resolve fazer uma promoção, dando um desconto de 35% sobre o novo preço. O preço final do produto é a) impossível de ser relacionado com o preço inicial b) superior ao preço inicial c) superior ao preço inicial, apenas se este for maior do que R$ 3.500,00 d) igual ao preço inicial e) inferior ao preço inicial 123. (PUCRS 94) A razão entre duas grandezas é 1 . A representação percentual dessa razão é de 5 de a) 10% b) 15% c) 20% d) 50% e) 150% 124. (FUVEST 94) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço de tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00 no cartão sairá por a) R$ 13.000 b) R$ 11.000 c) R$ 10.010 d) R$ 9.800 e) R$ 7.700 125. (UFRGS 95) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um total de 30 mil reais. Pouco depois vendê-los por 28 mil reais, ganhando 10% na venda de um deles e perdendo 10% na venda do outro. Quantos reais custou cada carro? a) 15.500 e 14.500 b) 10.000 e 20.000 c) 7.500 e 22.500 d) 6.500 e 23.500 e) 5.000 e 25.000 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 126.(PUCRS 95) Um consumidor apressado adquire um automóvel por R$ 10.000,00 ; pagando um ágio de 30%. O preço de tabela do carro é, em R$, a) 7.000,00 b) 7.692,30 c) 8.333,00 d) 9.700,00 e) 9.969,70 127. (FUVEST 95) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 128. (UFRGS 96) Uma loja avisa que, sobre o valor original de uma prestação que não for paga no dia do vencimento, incidirão multa de 10% mais 1% a cada dia de atraso. Uma pessoa que deveria pagar y reais de prestação e o fez com x dias de atraso, pagou a mais: a) [ 0,1y + x ] reais b) [ x + 10 ] reais c) [ 10y + x ] reais d) [ 0,1y + 0,01x ] reais e) [ 0,1y + 0,01xy ] reais 129. (UFRGS 97) Considerando uma taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses será de: a) 2% b) 4% c) 20% d) 21% e) 121% 130. (FUVEST 97) Que número deve ser somado 2 ao numerador e ao denominador da fração para 3 que ela tenha um aumento de 20% ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 131. (UFRGS 98) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00 e) R$ 125,00 132. (UFRGS 98) Um total de R$ 6.000,00 será investido, parte a 3,5% e parte a 6%. Se o rendimento total esperado é, no mínimo, de R$ 300,00 ; o valor máximo que pode ser investido a 3,5% é: a) R$ 210 b) R$ 360 c) R$ 570 d) R$ 2.400 e) R$ 3.600 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 42. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 42 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 133. (UFRGS 99) Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando, em reais, a) 0,36R b) 0,40 R c) 0,60R d) 0,64R e) R 134. (UFRGS 99) Num semestre a inflação foi de 32%, e, ao final dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20% deveria, ainda, sofrer um reajuste de a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 32% 135. (UFRGS 00) Considere os dados da tabela abaixo referentes à População Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada região. Distribuição da PEA por Anos de Estudo, segundo Sexo PEA PEA Masculina Feminina Até 4 anos de estudo 60% 50% 5 ou mais anos de estudo 40% 50% 100% 100% Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres com 5 anos ou mais de estudo representam a) 36% da PEA da Região b) 40% da PEA da Região c) 44% da PEA da Região d) 45% da PEA da Região e) 54% da PEA da Região 136. (FUVEST 01) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria: a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60% 137. (UFRGS 01) Uma loja instruiu seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria nas compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma , pode-se concluir que o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista, apresenta a) um desconto de 20% b) um aumento de 20% c) um desconto de 25% d) um aumento de 25% e) um aumento de 80% copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 138. (PUCRS 02) Em uma fábrica com 100 empregados, 1% é do sexo masculino. O número de mulheres que devem ser dispensadas para que a mesma quantidade de homens represente 2% do total é a) 1 b) 2 c) 49 d) 50 e) 51 139. (FUVEST 02) Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras correspondia a 25%, 10%, 15% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das maçãs e de 20% no preço das peras. O desconto assim obtido no valor total de sua compra foi de: a) 7,5% b) 10% c) 12,5% d) 15% e) 17,5% 140. (UFRGS 03) Se num determinado período o dólar sofrer uma alta de 100% em relação ao real, no mesmo período o real, em relação ao dólar, sofrerá uma 1 1 a) queda de %. b) alta de %. 100 100 c) queda de 50%. d) queda de 100%. e) queda de 200%. 141. (UFRGS 05) Uma pessoa gastava, em julho de 1994, apenas 100 reais para comprar o que , em julho de 2004, custava 270 reais. De acordo com essa informação, o percentual mais próximo da perda do poder de compra de real nesse período de 10 anos é o da alternativa a) 37% b) 63% c) 80% d) 170% e) 270% 142. (FCC-2008) Do total de X veículos que entraram no estacionamento de um Tribunal em certo dia, 25% transportavam somente o motorista, 30% transportavam exatamente 2 passageiros e os 54 restantes transportavam mais do que 2 passageiros. O número X é igual a a) 180 b) 150 c) 140 d) 120 e) 100 143. (FCC-2008) Certo mês, um técnico em informática instalou 78 programas nos computadores de um Tribunal. Sabe-se que: na primeira semana, ele instalou 16 programas; na segunda, houve um aumento de 25% em relação à semana anterior; na terceira semana houve um aumento de 20% em relação à semana anterior. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 43. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 43 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Assim sendo, se a tarefa foi concluída na quarta semana, o número de programas que foram instalados ao longo dela foi a) 28 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18 144. (FCC-2008) Sobre o total de 45 técnicos judiciários e auxiliares que trabalham em uma unidade de um Tribunal, sabe-se que: − 60% do número de técnicos praticam esporte; − 40% do número de auxiliares não praticam esporte; − 10 técnicos não praticam esporte. Nessas condições, o total de a) técnicos que praticam esporte é 10. b) auxiliares que não praticam esporte é 12. c) pessoas que praticam esporte é 30. d) técnicos é 28. e) auxiliares é 20. 145. (FCC-2001) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % d) 6,5 % e)) 7,5 % 146. (FCC-2001) A impressora X é capaz de tirar um certo número de cópias de um texto em 1 hora e 15 minutos de funcionamento ininterrupto. A impressora Y, que tem 75 % da capacidade de produção de X, tiraria a metade do número de cópias desse texto, se operasse ininterruptamente durante b) 1 hora. a)) 50 minutos. c) 1 hora e 10 minutos. d) 1 hora e 20 minutos. e) 1 hora e 30 minutos. 147. (FCC-2001) Denis investiu, uma certa quantia, no mercado de ações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final do segundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00. A quantia que Denis investiu foi a) R$ 3200 b) R$ 3600 c) R$ 4000 d) R$ 4200 e)) R$ 4500 148. (FCC-2006) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é a) 22,5% b) 25% c) 27,5% d) 30% e) 32,5% 149. (FCC-2004) Uma pessoa aplicou certo capital a juro simples de 4% ao mês. Ao final de 1 ano, retirou o montante e dividiu-o entre seus três filhos, a razão direta de suas respectivas idades: 9, 12 e 15 anos. Se o mais jovem recebeu R$ 333,00 a menos que o mais velho, o capital aplicado foi a) R$1200 b) R$1250 c) R$1300 d)) R$1350 e) R$1400 150. (FCC-2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número restante à tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o número daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a a) 84,64% b) 85,68% c) 86,76% d) 87,98% e) 89,84% 151. (FCC-2007) Certo dia, devido a fortes chuvas, 40% do total de funcionários de certo setor de uma Unidade do Tribunal Regional Federal faltaram ao serviço. No dia seguinte, devido a uma greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas 30% do total de funcionários desse setor. Se no segundo desses dias faltaram ao serviço 21 pessoas, o número de funcionários que compareceram ao serviço no dia da chuva foi a) 18 b) 17 c) 15 d) 13 e) 12 152. (FCC-2007) Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X reais, pagando por ele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada. O número X é igual a a) 2200 b) 2150 c) 2100 d) 2050 e) 2000 153. (FCC-2007) Sobre os 55 técnicos e auxiliares judiciários que trabalham em uma citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 44. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 44 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico unidade do Tribunal Regional Federal, é verdade que: I. 60% dos técnicos são casados; II. 40% dos auxiliares não são casados; III. o número de técnicos não casados é 12. Nessas condições, o total de (A) auxiliares casados é 10. (B) pessoas não casadas é 30. (C) técnicos é 35. (D) técnicos casados é 20. (E) auxiliares é 25. 154. (FCC-2001) Durante dois dias consecutivos, um técnico judiciário foi designado para prestar informações ao público. Sabe-se que: • o total de pessoas que ele atendeu nos dois dias foi 105; • o número de pessoas que ele atendeu no primeiro dia era igual a 75% do número atendido no segundo; • a diferença positiva entre os números de pessoas atendidas em cada um dos dois dias era igual a um número inteiro k. Nessas condições, k é igual a a) 19 b) 18 c) 15 d) 12 e) 10 155. (FCC-2001) Uma pesquisa de opinião feita, com um certo número de pessoas, sobre sua preferência em relação a algumas configurações de microcomputadores, resultou no gráfico seguinte. De acordo com o gráfico, a melhor alternativa para a porcentagem, de entrevistados que preferem a configuração do tipo E é: a) 35% b) 38% c) 42% d) 45% d) 48% 156. (FCC-2003) Paulo digitou 1 das X páginas 5 1 do número de 4 páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é a) 20% b) 25% c) 45% d) 50% e)) 60% de um texto e Fábio digitou JUROS SIMPLES : ESTUDO DE CASO: C = R$100,00 e taxa de 10% ao mês. Montando temos: ( 100, 110, 120, 130, ... ) são os montantes a cada mês… A fórmula J = C⋅i⋅t , só calcula o juro acumulado. Para saber o montante fazemos M = C + J. O maior 100 cuidado que devemos ter é que a taxa deve estar de acordo com o tempo: taxa mês meses... Legenda: J = juros C = capital i = taxa t = tempo M = montante tempo em JUROS COMPOSTOS : ESTUDO DE CASO: C = R$100,00 e taxa de 10% ao mês. Montando temos: ( 100, 110, 121, 133,10 ... ) são os montantes a cada mês… M = C ⋅ (1 + i) t , cuidado i = taxa unitária. Para calcular o juro acumulado calcula-se: J = M – C Veja que para calcular montante no JC é necessário fazer várias multiplicações, já que o tempo está na potência isso faz com que a questão fique limitada a pequenos tempos, ou simplesmente que se deixe indicada a fórmula do montante sem que seja necessário calcular. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 45. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 45 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXEMPLOS: 157. (FCC-2001) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$12800,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$14400,00, esse capital deve ficar aplicado por um período de a) 8 meses. b)) 10 meses. c) 1 ano e 2 meses. d) 1 ano e 5 meses. e) 1 ano e 8 meses. O Juro (J = M- C) foi de: J= 14400 – 12800 = 1600. C⋅i⋅ t Aplicando na fórmula J= temos: 100 5 12800 ⋅ 15 ⋅ t(a) 1600 = →t= a 6 100 5 t = ×12 meses = 10 meses. LETRA B 6 158. (UFRGS 93) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará em 5 anos se a taxa anual for de a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 100% O Juro (J = M- C) foi de: J= 2C, pois o M = 3C e C C⋅i⋅ t = C. Aplicando na fórmula J = temos: 100 C⋅i⋅5 2C = → i = 40% a.a . LETRA B 100 159. (FCC-2007) Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, à taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um bimestre. O total de juros obtido nessas duas aplicações foi a) R$149,09 b) R$125,10 c) R$65,24 d) R$62,55 e) R$62,16 1ª aplicação: Para i = 36%, para t = ¼ de ano. C⋅i⋅ t J= Aplicando na fórmula temos: 100 400 ⋅ 36 ⋅ 1 4 → J = R$36 J= M = C + J M = 100 R$436 2ª aplicação: Usando na fórmula M = C ⋅ (1 + i) t temos: M = 436 ⋅ (1 + 0,03 )2 M =R$462,55. Para calcular o juro final (J = M – C): J = 462,55 – 400 = R$62,55. LETRA D 160. (UFRGS 94) Um produto custa inicialmente R$ 1.000,00 e tem seu preço reajustado mensalmente com uma taxa de 30%. Ao fim de 12 meses, o preço do produto será, em cruzeiros, a) 1000 ⋅ 1,312 b) 1000 ⋅ 0,312 c) 1000 ⋅ 3012 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® d) 1000 ⋅ 312 e) 1000 + 1,312 Usando na fórmula 12 M = 1000 ⋅ (1 + 0,3 ) M = C ⋅ (1 + i) t = 1000 ⋅ 1,3 12 temos: . Só aplicação da fórmula. LETRA A QUESTÕES DE CONCURSOS: 161. (UFRGS 05) Para pagar uma dívida, de x reais, no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês, passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, serão lançados juros de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos a dívida, em reais, será x c) (0,88 )12 x a) zero b) 12 d) (0,92 )12 x e) (1,1)12 x 162. (PUCRS 03) A cada balanço anual uma firma tem apresentado um aumento de 10% de seu capital. Considerando QO o seu capital inicial , a expressão que fornece esse capital C, ao final de cada ano (t) em que essas condições permanecerem é b) C = C ( 1, 1 )t a) C = QO ( 1, 1 )t c) C = QO ( 0, 1 )t d) C = C ( 0, 1)t e) C = QO ( 10 )t 163. (PUCRS 01) Se o valor de um automóvel novo é P0 e sofre uma desvalorização de 12% ao ano, o preço do veículo após x anos de uso é a) P = P0 +12x b)P = P0 +(1,2)x c) P = P0(0,12)x d) P = P0+(0,88)x e) P = P0(0,88)x 164. Um investidor resolve aplicar R$ 10.000,00 na caderneta de poupança a uma taxa de 1% ao mês. Se não houver nenhuma retirada, ao final do terceiro mês ele terá: a) R$ 10.300,00 b) R$13.000,00 c) R$ 12.000,00 d) R$ 10.303,01 e) R$ 10.305,00 165. Aplicando a juros simples de 4% ao mês sobre um capital, este dobrará de valor em a) 1 ano b) 1 ano e 5 meses c) 2 anos d) 2 anos e 1 mês e) 2 anos e 5 meses 166. A que taxa anual de juros simples, deve-se aplicar um capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado? a) 10% b) 60% c) 100% d) 120% e) 150% citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 46. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 46 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 167. Um capital de R$ 5000,00 aplicado à taxa de juros simples de 7,5% a.a obteve um rendimento de R$ 843,75. O tempo correspondente à aplicação foi de: a) 2 anos e 2 meses b) 1 ano e 11 meses c) 2 anos e 1 mês d) 1 ano e 5 meses e) 2 anos e 3 meses 168. Se aplicarmos R$ 25000,00 a juros compostos de 6% ao trimestre, teremos após 3 anos, em real, a importância correspondente a: b) 25000 (1,02)36 a) 25000 (1,12)6 c) 25000 (1,06)12 d) 25000 (1,24)3 e) 25000 (1,06)3 169. (FCC-2003) A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado? a) 10% b) 60% c) 100% d) 120% e) 150% 170. (FCC-2003) Um capital produzirá juros 3 de seu valor se for simples correspondentes a 16 aplicado, durante 9 meses, à taxa anual de a) 25% b) 24% c) 20% d) 18% e) 15% 171. (FCC-2008) Um técnico judiciário aplicou R$ 300,00 a juros simples por 1 bimestre, à taxa anual de 30%. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses, à taxa de 3% ao mês. Dos valores abaixo, o que mais se aproxima do montante obtido na segunda aplicação é a) R$ 333,00 b) R$ 326,22 c) R$ 334,18 d) R$ 324,00 e) R$ 315,00 RACIOCÍNIO LÓGICO SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS: Nesse tipo de questão uma seqüência de números é apresentada e se solicita que a continuação da seqüência com um ou dois números próximos. São muitos os tipos de argumentos usados nesse tipo de questão. Quanto mais familiarizado você estiver com as famosas seqüências (primos, múltiplos, quadrados, cubos, potências...) e quanto mais rápido você fizer contas de soma, subtração, multiplicação e potência), mais chance terá de acertar. Abaixo comentaremos algumas seqüências e sobre o que podemos pensar. S1 909,99,808,88,707, 77 606 S2 3,2,9,2,45,2,315, 2 2835 S3 25,27,29,31,34,37,40, 44 48 S4 87,95,104,114,125, 137 150 S5 9,81,10,100,11,121,12, 144 13 S6 2,10,12,16,17,18,19, 200 201 S7 1,2,2,4,8,32, 256 213 S8 1,2,5,14,41, 122 365 S9 51,56,61,67,73,80, 88 96 S10 1,5,8,15,25,42, 69 113 S11 10,21,43,87, 175 351 S12 9765,981,99,18, 9 x S13 10,17,13,22,16,27,19, 32 22 S14 19,23,29,31,37, 41 43 S15 10,11,15,24,40, 65 101 S16 1,4,9,16,25, 36 49 S17 1,8,27,64,125, 216 343 S18 1,1,2,3,5,8,13,21, 34 55 S19 0,1,3,4,12,13, 39 40 S20 2,12,23,35,48, 62 77 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 47. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 47 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Explicações: S1: Tira o zero e diminui de 1 o algarismo. S2: Intercala sempre o dois nas posições pares e para aas posições ímpares: nº da posição impar anterior vezes a posição atual. S3: Se turma dos 20’s soma 2, se turma dos 30’s soma 3 e ... S4: Soma 9, soma 10, soma 11, soma 12 ... S5: Nº e seu quadrado, soma 1 e segue... S6: Os números que começam com a letra D. S7: Produto dos dois anteriores. S8: O triplo menos 1. S9: Se turma dos 50’s soma 5, se turma dos 60’s soma 6 e ... S10: Soma dos dois anteriores mais dois. S11: Dobro mais um. S12: Tira o último algarismo e soma com o restante: 976 + 5, 98 + 1, ... S13: Nos de posição impar soma 3, nos de posição par soma 5. S14: Os primos. S15: Soma 1, soma 4, soma 9, soma 16 ... soma os quadrados. S16: Os quadrados S17: Os cubos S18: A soma dos dois anteriores. S19: Um número e seu sucessor, multiplica por 3, ele e o seu sucessor... S20: Mais 10, mais 11, mais 12 ... Diagramas numéricos: São as mesmas seqüência só que não apresentadas em lista mas sim em diagramas, veja exemplos: Soma 2, depois 4, ; 6; 8; 10; 12. Próximo é 64 + 14 = 84 As potências de 3. A próxima é 729. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Multiplica por 4, por 4 outra vez; e assim por diante. O último é 4 × 384 = 1536. Soma 3, depois 4;… 5; 6. Próximo é 28 + 7 = 35 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 48. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 48 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico RELACIONANDO LETRAS E NÚMEROS: Há relação numérica entre as letras do alfabeto e o lugar que elas ocupam. Seguem as duas possíveis tabelas: Alfabeto Oficial Brasileiro até valer a nova regra ortográfica. (23 letras, exclui K, W, Y) – O mais comum! A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 J L M N O P Q R S 10 11 12 13 14 15 16 17 18 T U V X Z 19 20 21 22 23 Alfabeto Completo que passa a valer com a nova ortografia. (26 letras, inclui K, W, Y): A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 J K L M N O P Q R 10 11 12 13 14 15 16 17 18 S T U V W X Y Z 19 20 21 22 23 24 25 26 Exemplos: 1) Complete a seqüência: B, D, G, L, Q Veja, trocando por números obtemos: 2, 4, 7, 11, 16 pela lógica o próximo número seria 22 ( +2, +3, +4, +5, +6 ); a letra 22 é X. Resposta X. 2) Complete a seqüência: D4, 6G, M10, Uma letra, um número; um número uma letra, e assim por diante. Esperamos então um número e uma letra. Sobre os números: 4, 6, 10... próximo 16 (porque +2, +4, +6) e sobre as letras (em números) 4, 7, 12, a próxima será a letra equivalente a 19 (porque +3, +5, +7) que é T. Resposta: 16T 3) Complete a seqüência: 1, U, 2, D, 3, T, 4, Q, 5, C, 6 resposta S. Porque os números estão listados de um em um e a letra depois do número se refere a letra pela qual o nome do número começa, portanto 6 (SEIS). 4) Complete a seqüência: 2 B E 5 8 H L 11 Porque número embaixo e letra em cima e mais a sequência associada é 2, 5, 8.. (sempre +3) e a letra acompanha: B é 2, E é 5.... Enfim o próximo número é 11 e a letra é L. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 49. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 49 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS ESPECIAIS: P. G. - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (a1 a2 a3 ... an ) P. A. - PROGRESSÃO ARITMÉTICA (a1 a2 a3 ... an ) (3 (a1 6 9 12 ... ) a1 + r a1 + 2r ... a1 + (n − 1)r ) (x − r & x x + r ...) use este último para PA´s com três termos. (a (3 1 6 12 24 ...) a1 ⋅ q a1 ⋅ q2 ... a1 ⋅ q(n −1) & x q ) x xq ... a1 → Primeiro termo use este último para PG´s com três termos. a1 → Primeiro termo a n → Qualquer termo a n → Qualquer termo n → Número de termos r → Razão Um exemplo de PA (3 6 9 12 ... ) n → Número de termos q → Razão (quociente) Um exemplo de PG (3 6 12 24 ...) Fórmula do termo geral: an = a1 + (n − 1) ⋅ r REGRA DA RAZÃO – PA (a1 a2 a3 ...) ou (x − r então : x x + r ...) a 2 − a1 = x − (x − r ) = r a 3 − a 2 = (x + r ) − x = r assim sendo : a 3 − a 2 = a 2 − a1 Fórmula do termo geral: an = a1 ⋅ qn −1 REGRA DA RAZÃO - PG (a1 a2 a3 ) ou x x xq q a2 x a = x = q 1 q então : a 3 xq = =q a x 2 a3 a2 = a 2 a1 assim sendo TERMO MÉDIO: Em seqüências com um número impar de termos temos que: Em PA, o termo médio é: Em PG, o termo médio é: a1 + an Tm = Tm = a1 ⋅ an 2 SOMA FINITA DOS TERMOS SOMA FINITA DOS TERMOS DE UMA PG: DE UMA PA: Sn = a1 + a n ⋅n 2 Sn = ( ) a1 ⋅ q n − 1 q −1 Estas seqüências são especiais porque é possível determinar um termo em função do seu lugar e também é possível determinar a soma de uma quantidade finita de termos. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 50. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 50 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Exemplos: 1) Determine o 30º termo da seqüência 3,6,9,... a30 = 3 + 29 × 3 = 90 a30 = a1 + 29 × r 2) Determine o 30º termo da seqüência 1,2,4,... a30 = 1 × 229 = 229 a30 = a1 × qn-1 3) Determine a soma dos primeiros 12 termos da seqüência 10, 20, 30... a + a12 10 + a12 S12 = 1 ⋅ 12 S12 = ⋅ 12 , temos que 2 2 determinar o a12 : a12 = 10 + 11 × 10 = 120. a12 = a1 + 11 × r 10 + 120 ⋅ 12 = 780 Voltando: S12 = 2 4) Determine a soma dos primeiros 9 termos da seqüência 1, 2, 4... 1 ⋅ 29 − 1 S9 = = 512 − 1 = 511 2 −1 ( ) EXEMPLOS EM QUESTÕES DE CONCURSOS: 175. (UFRGS) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é: a) 53 b) 87 c) 100 d) 165 e) 203 Observe que a coluna das respostas de uma tabuada é sempre uma PA: 5, 10, 15, 20, 25 ... (tab. do 5). E isso não de limita a tabuada, em qualquer momento os múltiplos de algum número em seqüência geram uma PA: 120, 123, 126, 129, 132, ... (múltiplos de três) e observe que a razão é o dono da tabuada... Se queremos os múltiplos de 7 já sabemos que a razão é 7. Queremos múltiplos entre 50 e 1206 então o a1 será o primeiro múltiplo de 7 depois de 50 e o último termo (an) será o último múltiplo de 7 antes de 1206. O a1 não é difícil de determinar já que conhecemos a tabuada do 7 a1 = 56. Para determinar o an fazemos da seguinte forma: O raciocínio é: 1206 não é 12’ 0’ 6’ 7 múltiplo de 7 por que resta 2, - 7 172 então se tirarmos 2 de 1206 50 ele se transforma em múltiplo - 49 de 7. Ou seja o an = 1204 an = a1 + (n − 1) ⋅ r 1 6 - 14 2 1204 = 56 + ( n – 1 ) 7 n – 1 = 164 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 176. Uma bactéria de determinada espécie divide-se em duas a cada 2 horas. Depois de 24 horas, qual será o número de bactérias originadas de uma bactéria? a) 1.024 b) 24 c) 4.096 d) 12 e) 16.777.216 Observe a seqüência que se forma: ( 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , ... ) sabemos que a razão é 2. E sabemos que se elas dobram a cada duas horas em 24 horas terão havido 12 duplicações. Mas para calcular o que aconteceu nessa 24ª hora devemos calcular o a13 isso porque no a1 não houve nenhuma a13 = 1 duplicação. Sendo assim: a13 = a1 ⋅ q12 ⋅ 212 a13 = 4096 177. (UFRGS) Quando o rei da Pérsia perguntou qual a recompensa que desejava, o inventor do jogo de xadrez pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro, 2 para o segundo, 4 para o terceiro, 8 para o quarto etc... , dobrando a quantidade para cada quadrado subseqüente. O número total de grãos correspondente aos 64 quadrados é: a) 416 − 1 b) 2 64 − 1 c) 2 63 − 1 64 16 2 −1 4 −1 e) d) 2 2 1 ⋅ 264 − 1 = 2 64 − 1 . Só aplicar a fórmula: S9 = 2 −1 LETRA B ( ) 178. (ULBRA) Para que x – 2 , x , 2x – 3 sejam três termos consecutivos de uma progressão aritmética, o valor de x deve ser: 5 a) –5 b) 0 c) d) 2 e) 5 2 x – ( x – 2 ) = 2x – 3 – x 2=x–3 x=5 179. (PUCRS) Para se obter uma PG, o número x que se deve subtrair de 5, de 14 e de 50, nessa ordem é: a) –4 b) –2 c) 2 d) 3 e) 4 ( 5 - x , 14 - x , 50 - x ) é uma PG então: 14 − x 50 − x = (14 - x)(14 - x) = (50 - x) (5 5−x 14 − x x) 196 - 28x + x² = 250 - 55x + x² 27 x = 54 x=2 n = 165 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 51. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 51 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico OUTRAS SEQÜÊNCIAS SEQÜÊNCIAS INTERCALADAS: São seqüências que não são nem PA nem PG, mas se as olharmos de forma intercalada encontraremos PA´s, PG´s ou até as duas. Veja exemplos: 1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5, 32 ... Calcule: a) a20 b) a17 c) S20 d) S15 Observe que nessa seqüência os termos cujo n é impar são da PA e os de n par são da PG. 1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, 5, 32 ... Então agora podemos calcular: a) a20 é o 10º da PG. Então a10PG = 2 x 29 = 1024 b) a17 é o 9º da PA. Então a9PA = 1 + 8 x 1 = 9 1 + 10 2 ⋅ (210 − 1) ⋅ 10 = 55 e S10PG = = 2046 e somando as somas: 55 + c) S20 é S10PA + S10PG. Então S10PA= 2 2 −1 2046 = 2101. 1+ 8 2 ⋅ (27 − 1) ⋅ 8 = 36 e S7PG = = 254 e somando as somas: 36 + 254 = d) S15 é S8PA + S7PG. Então S8PA= 2 2 −1 290. Ainda temos que as seqüências podem ser intercaladas não de 2 em 2 e sim de 3 em 3 e assim por diante... 1, 0, 5, 2, 3, 20, 4, 6, 35, 8, 9, ... 1, 0, 5, 2, 3, 20, 4, 6, 35, 8, 9, ... Como para saber se uma seqüência é uma PA ou PG precisamos de 3 temos , se a seqüência for intercalada de 2 em 2 precisamos de no mínimo 6 termos , de 3 em 3 , 9 termos e assim por diante. SEQUÊNCIAS SOMAS São seqüências que não são nem PA nem PG nem intercaladas. O que verificaremos mais adiante é que as “razões” estariam em PA ou PG. Cuidado porque a palavra “razão” não é a palavra mais adequada. Veja alguns exemplos de seqüências somas: 7, 10, 16, 25, ... veja o que está por trás... +3 +6 +9 7 → 10 → 16 → 25... Nessas sequências só é possível determinar um an e nunca a soma. Dispositivo para encontar um an qualquer: Passo 1: Colha o a1 e reserve. Passo 2: Monte a sequência das “razões” ( aR ) n Passo 3: Decida o que é esta seqüência PA ou PG e então calcule SR−1 n Passo 4: Para finalizar faça: an = a1 + SR−1 n As contas para encontrar o a11 no exemplo são: P2) 3, 6, 9, ... P1) a1 = 7 R R a1 + a10 R R R P3) PA. S10 = ⋅ 10 ; a10 = a1 + 9 ⋅ r = 3 + 9 ⋅ 3 = 30 2 3 + 30 R S10 = ⋅ 10 = 165 2 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 52. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br P4) an = a1 + SR−1 n 52 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico R a11 = a1 + S10 = 7 + 165 = 172 Vamos ver se está certo??? 1 2 3 4 5 6 7 8 7 10 16 25 37 52 70 91 9 115 10 11 142 172 Esse roteiro é independe se as “razões” estão em PA ou PG, só o que muda são as fórmulas. O primeiro termo da sequência deve ser sem-pre pensado em separado da sequência das “razões”. Para serem mais criativos, os autores de questões lançam os mesmo problemas mas ou em forma de desenhos ou de diagramas numéricos, veja abaixo: D1 – Calcule a20: 1, 3, 6, 10, 15 ..... P2) 2, 3, 4, 5, ... P1) a1 = 1 R R a1 + a19 R R R ⋅ 19 ; a19 = a1 + 18 ⋅ r = 2 + 18 ⋅ 1 = 20 P3) PA. S19 = 2 2 + 20 R S19 = ⋅ 19 = 209 2 R P4) an = a1 + SR−1 = a20 = a1 + S19 = 1 + 209 = 210 n D2 – Calcule a30 : 1, 3, 7, 15 ..... P1) a1 = 1 P3) PG. SR = 29 P2) 2, 4, 8, 16, ... q − 1 2 229 − 1 = = 230 − 2 ( q − 1) 2 −1 R a1 ( 29 ) ( ) P4) an = a1 + SR−1 = a30 = a1 + SR = 1 + 230 − 2 = 230 − 1 n 29 230 = 210 ⋅ 210 ⋅ 210 > 103 ⋅ 103 ⋅ 103 = 1 bilhão EXERCÍCIOS: Complete as seqüências com mais um termo: a) 3,6,10,15,21,28, b) 0,4,16,36,64,100,144, c) 8, 12, 24, 60, d) 360, 180, 120, 90, 72, e) 3, 10, 19, 30, 43, 58, f) 11, 101, 1001, g) 1,2,3,2,15,2, h) 23,27,31,37,43, copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® i) 0, 1, 16, 36, 64, 81, j) 0, 10, 25, 45, 70, l) 343, 216, 125, 64, m) 5,32,4,81,3,64,2, n) 4, 6, 13,23,41, o) 13, 27, 55, 111, p) 64, 4, 16, 216, 6, q) 47, 43, 41, 37, citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 53. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 53 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES DE CONCURSOS: 181. (ULBRA) A produção de certa indústria nos meses de janeiro, fevereiro e março foi respectivamente de 50 , 65 e 80 unidades. Mantendo-se a produção nesta progressão o número de unidades produzidas em dezembro do mesmo ano é: a) 245 b) 215 c) 200 d) 165 e) 150 192. Calcule o 15º termo de 13, 15, 20, 28, 39,... a) 288 b) 310 c) 314 d) 318 e) 320 193. Calcule o 13º termo de 1, 6, 16, 31, 51, ... a) 285 b) 287 c) 289 d) 390 e) 391 194. Calcule o 3º termo da linha 20 : 1 182. O número de múltiplos de 11 entre 210 e 518 é: a) 19 b) 27 c) 28 d) 29 e) 47 183. O número de múltiplos de 3, compreendidos entre 100 e 400, vale: a) 100 b) 200 c) 150 d) 180 e) 300 184. A soma dos múltiplos de 3, entre 25 e 98, é: a) 1053 b) 1403 c) 1476 d) 1538 e) 1668 185. (UFRGS) A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. O valor de n é: a) 11 b) 16 c) 26 d) 54 e) 66 186. (PUC) Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência, até a vigésima fila que é a última. O número de poltronas desse teatro é: a) 92 b) 132 c) 150 d) 1320 e) 1500 187. Colocando 120 objetos em linhas de modo que na primeira linha haja um objeto e dai até a última linha, um objeto a mais por linha , teremos um número total de linha igual a: a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 19 188. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da seqüência 1, 1, 2, 4, 3, 7, 4, 10 ... a) 150 b) 180 c) 200 d) 210 e) 260 189. Calcule o 40º termo da seqüência 1, 1, 8, 2, 3, 4, 3, 5, 2, 4, ... a) 13 b) 14 c) 27 d) 511 e) 1023 190. Calcule a soma dos 30 primeiros termos da seqüência: 1, 1, 3, -1, 5, -3, 7 ... a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 191. Calcule o 10º termo de 3, 5, 9, 17, 33, 65... a) 68 b) 132 c) 260 d) 516 e) 1025 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 3 5 7 9 13 11 15 17 19 a) 215 b) 285 c) 315 d) 385 e) 415 195. (UFRGS 02) Analisando a sequência abaixo 9² = 81 99² = 9801 999² = 998001 9999² = 99980001 conclui-se que o valor de 999999² é a) 9999800001 b) 99998000001 c) 99999800001 d) 999998000001 e) 99999980000001 196. (BACEN) Na seqüência seguinte, o número entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 63 (21) 9 ; 186 (18) 31 ; 85 ( ? ) 17. O número que está faltando é: a) 15 b) 17 c) 19 d) 23 e) 25 197. Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um é o resultado de operações efetuadas com os números que se encontram em sua parte externa. 5 8 4 10 4 12 3 9 6 14 X 12 Se a seqüência de operações é a mesma para os números dos três triângulos, então o número X é: a) 13 b) 10 c) 9 d) 7 e) 6 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 54. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 54 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 198. (FCC) A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3 linhas e 3 colunas, sendo que cada símbolo representa um número inteiro. Ao lado das linhas e colunas do quadrado, são indicadas as somas de cada linha ou coluna, algumas delas representadas pelas letras X, Y e Z. 203. Continuando a seqüência F, N, G, M, H, ... , ... , temos, respectivamente: a) O, P b) I, O c) E, P d) L, I e) D, L 204. Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29, 26,... teremos: a) 23 b) 22 c) 21 d) 24 e) 25 7 4 205. Observe a seqüência: 2, 4, 6, 8, 10, 12, .... O 33º dessa seqüência é: a) 36 b) 18 c) 2 d) 32 e) 66 206. Observe o desenho: X Y 6 Z Nas condições dadas, X + Y + Z é igual a: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 199. (FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério. ? --N M L J I ------E D C --A Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é: a) C b) I c) O d) P e) R 200. Continuando a seqüência 4, 10, 28, 82, ... temos: a) 236 b) 244 c) 246 d) 254 e) 256 201. Continuando a seqüência 7, 34, 142, 2221, ... temos: a) 12345 b) 13542 c) 11111 d) 21112 e) 23331 202. Continuando a seqüência 121, 242, 363, 451, 594,... temos: a) 606 b) 666 c) 671 d) 771 e) 888 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® quando se atingir a linha 8, o número de bolinhas será? a) 45 b) 36 c) 32 d) 28 e) 21 207. Descubra o padrão que compõe a seqüência abaixo e determine o número que deve estar no lugar do asterisco. B1D ; R1T, P3T, D12R, C*T: a) 13 b) 12 c) 20 d) 16 e) 15 208. Como completar logicamente o quadro abaixo? 1 1 1 1 1 3 5 7 1 5 13 25 1 7 25 ? a) 34 b) 56 c) 67 d) 63 e) 49 209. (FCC) Os números no interior dos setores do círculos abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação. ? 0 6 120 60 24 Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é: a) 210 b) 206 c) 200 d) 196 e) 188 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 55. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 210. 1 4 a) 16 9 82 90 O termo 25 36 b) que 55 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico completa a seqüência 64 : 49 81 100 99 c) d) 100 72 72 e) 100 81 211. Dos grupos de letras apresentados nas alternativas abaixo, apenas quatro apresentam uma característica comum. Considerando que a ordem alfabética usada exclui as letras K, W e Y, então o único grupo que não tem a característica dos outros é o: a) ZTUV b) TPQR c) QMNO d) LGHI e) FCDE 212. (UFRGS 04) Considere a disposição de números abaixo. Podemos afirmar que os números 1992 e 1997 ocuparão, respectivamente, as colunas: a) 1 e 4 b) 3 e 4 c) 3 e 2 d) 1 e 2 e) 5 e 2 215. Determine o número que fica imediatamente acima de 142 na disposição triangular seguinte: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … … … … … … a) 120 b) 130 c) 110 d) 115 e) 125 216. Na seqüência de algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, ...; o 2007º algarismo é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 217. (FCC – 2006) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: C3, 6G, L10,... a) C4 b) 13M c) 9I d) 15P e) 6Y O primeiro elemento da quadragésima linha é a) 777 b) 778 c) 779 d) 780 e) 781 218. Observe a lei de formação usada para construir a seqüência de malhas quadriculadas abaixo. 213. (UFRGS 00) Os números inteiros de 1 a 600 são escritos na disposição abaixo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... ... ... ... ... ... A escrita se repete na mesma disposição, a cada vez que se atinge o valor de 600. O número escrito na 5ª coluna da 143ª linha é a) 243 b) 245 c) 248 d) 257 e) 258 214. Os números inteiros maiores ou iguais a 1 são dispostos de acordo com a tabela abaixo: Coluna Coluna Coluna Coluna Coluna 1 2 3 4 5 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 18 19 20 21 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 1 3 2 4 1 4 7 1 6 11 16 21 2 5 8 3 6 9 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 1 5 9 13 4 9 14 19 24 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 5 10 15 20 25 Segundo essa lei, a posição que o número 169 ocuparia em uma malha de 15 x 15 é: a) 9ª linha e 14ª coluna b) 10ª linha e 8ª coluna c) 11ª linha e 6ª coluna d) 12ª linha e 4ª coluna e) 13ª linha e 5ª coluna 219. (FCC – 2006) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16,25, 36,... a) 45 b) 49 c) 61 d) 63 e) 72 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 56. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 56 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 220. (FCC – 2004) Certo mês, um técnico judiciário trabalhou durante 23 dias. Curiosamente, ele observou que o número de pessoas que atendera a cada dia havia aumentado segundo os termos de uma progressão aritmética. Se nos cinco primeiros dias do mês ele atendeu 35 pessoas e nos cinco últimos 215, então, o total de pessoas por ele atendidas nesse mês foi a) 460 b) 475 c) 515 d) 560 e)) 575 221. (FCC – 2007) Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a vaga assinalada pela interrogação: 2 8 5 6 8 ? 11 a) 1 b) 4 c) 3 d) 29 e) 42 222. (FCC – 2007) Considere que a seqüência (C, E, G, F, H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a partir de certo critério. Se o alfabeto usado é o oficial, que tem 23 letras, então, de acordo com esse critério, a próxima letra dessa seqüência deve ser a) P b) R c) S d) T e) U 225. (FCC – 2008) Analise a seqüência abaixo. 1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1 111 . . . . Nessas condições, quantas vezes o algarismo 1 aparece no resultado de 12 345 678 × 9 + 9? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 226. (FCC – 2008) Observando a seqüência (2, 5, 11, 23, 47, 95, ...) verifica-se que, do segundo termo em diante, cada número é obtido a partir do anterior, de acordo com uma certa regra. Nessas condições, o sétimo elemento dessa seqüência é a) 197 b) 191 c) 189 d) 187 e) 185 223. (FCC – 2007) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de formação. O número de circunferências que compõem a 100ª figura dessa sucessão é a) 5 151 b) 5 050 c) 4 950 d) 3 725 e) 100 224. (FCC – 2007) Assinale a alternativa que substitui a letra x. a) 29 c) 6 b) 7 d) 5 e) 3 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 57. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 57 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico PROBLEMAS DE CONJUNTOS: Exemplo 01: Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esportes (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas: Programas Número de Telespectadores E 400 N 1220 H 1080 EeN 220 NeH 800 EeH 180 E, N e H 100 Através destes dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a nenhum dos três programas: a) 200 b) 900 c) 100 d) 400 e) Os dados do problema estão incorretos Observe a resolução que utiliza o diagrama abaixo ... E N 100 120 80 300 100 700 200 200 H 1800 Algumas considerações sobre o diagrama acima: Quantos assistem humorismo? 1080 Quantos assistem só humorismo? 200 Quantos assistem novela e esporte ? 220 Quantos assistem novela ou esporte ? 1400 Quantos assistem ou novela ou esporte ? 1180 Quantos assistem a dois programas? 1000 Quantos assistem apenas dois programas? 900 Quantos assistem a mais de dois programas? 100 Quantos assistem dois ou mais programas? 1000 Quantos assistem apenas um programa? 600 Quantos não assistem novela? 580 EXEMPLO 02: Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas receberam as duas vacinas ? Sabin Sarampo 68 – x x 50 – x 12 84 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Daí 68 – x + x + 50 – x + 12 = 84 x = 46. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 58. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 58 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico EXERCÍCIOS: 01. Numa pesquisa realizada verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos jornais. Quantas pessoas foram consultadas? 02. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas , usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam apenas o produto A? 03. Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem a revista A, 180 lêem a revista B e 60 lêem as duas, então: a) quantas pessoas lêem apenas a revista A? b) quantas pessoas lêem apenas a revista B? c) quantas pessoas lêem revistas? d) quantas pessoas não lêem revistas? 04. Uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com todos os habitantes, constatou-se que 1200 pessoas não apreciavam nenhum dos clubes, 1300 pessoas apreciavam os dois clubes e 4500 pessoas apreciam o clube A, então : a) quantas pessoas apreciam só o clube A? b) quantas pessoas apreciam o clube B? c) quantas pessoas apreciam só o clube B ? 05. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam só xadrez é igual ao número de pessoas que jogam só tênis. Pergunta-se: a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei ? b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei ? c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ? 06. Numa cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo destes produtos, obteve-se o seguinte resultado disposto na tabela abaixo: PRODUTOS A B C AeB AeC NÚMERO DE CONSUMIDORES 150 200 250 70 90 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® BeC 80 A, B e C 60 Nenhum 180 a) quantas pessoas consomem apenas o produto A? b)quantas pessoas consomem o produto A ou B ou C? c) quantas pessoas consomem o produto A ou o B? d) quantas pessoas consomem apenas o produto C? e) quantas pessoas foram consultadas ? QUESTÕES DE CONCURSOS: 227. (PUCRS) Se A, B e A e B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos A ou B é a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170 228. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 229. Foi realizada uma pesquisa numa indústria X tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira, 80 responderam sim à segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 não responderam as perguntas feitas. Pode-se concluir então que o número de operários da indústria é: a) 170 b) 172 c) 205 d) 174 e) 240 230. (UFRGS 94) Em uma pesquisa de mercado sobre o uso de novos artigos de consumo, obtevese a seguinte amostragem de dados: Artigos de consumo A B C AeB BeC Nº de respostas 400 1200 900 200 positivas 500 Nenhum dos artigos 200 Foram consultadas m pessoas, verificando-se que n pessoas NÃO utilizam o artigo A e p pessoas SOMENTE utilizam o artigo B. Sabendo que os usuários de A não são usuários de C, os valores para m, n e p são, respectivamente, a) 2000, 1800 e 1200 b) 2000, 1600 e 500 c) 2700, 1600 e 500 d) 2700, 1800 e 1200 e) 3400, 1600 e 1200 231. (PUCRS 95) Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é a) 9 b) 17 c) 18 d) 27 e) 89 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 59. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 59 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Pensando um exemplo prático: Numa comunidade onde mora João, perguntaram quantas pessoas gostam de novela ou esporte os dados obtidos seriam diagramados no esquema ao lado. N E X W Y Z T N ou E: Se João assiste novela ou esporte ele pode estar na região X, Y ou Z. N e E: Se João assiste novela e esporte ele só pode estar na região Y. Ou N ou E: Se João assiste ou novela ou esporte ele pode estar na região X ou Z, mas não nas duas ao mesmo tempo. N: Se João assiste novela ele pode estar na região X ou Y. E: Se João assiste esporte ele pode estar na região Z ou Y. Só N: Se João assiste só novela ele só pode estar na região X. Só E: Se João assiste só esporte ele só pode estar na região Z. Não N: Se João não assiste novela ele pode estar na região W ou Z. Não E: Se João não assiste esporte ele pode estar na região W ou X. Não N ou E: Se João não assiste novela ou esporte ele só pode estar na região W. Não N e E: Se João não assiste novela e esporte ele pode estar na região X, Z ou W. OPERADORES LÓGICOS Existem termos capazes de ligar (operar) duas ou mais proposições ou mesmo de transformar seu valor lógico. Estes termos são chamados operadores lógicos e têm a propriedade de transformar proposições simples em compostas ou no caso da negação apenas de transformar seu valor lógico. São eles: Nome Negação Leitura não Notação Conjunção e ∧ Disjunção ou ∨ Disjunção exclusiva ou ... ou Condicional se ... então Bicondicional se e somente se ∼ → NEGAÇÃO: Dada a proposição p, chamamos negação de p à proposição denotada por "∼ p" e ∼ definida pela tabela verdade abaixo. Lei da Dupla Negação: Negar duas vezes uma proposição é o mesmo que afirmar ⊗ O interesse, não improvavelmente, corrompe! = O interesse, provavelmente, corrompe! Ex.: ⊗ Ninguém disse: -Não quero! = Todos disseram: -Quero! ⊗ Nenhum poeta não é melancólico. = Todos os poetas são melancólicos. ⊗ Ele não era inapto! = Ele era apto! PRINCÍPIOS DA LÓGICA: 1º) Princípio da Não-Contradição: “Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa”. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 2º) Princípio de Terceiro Excluído : “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo uma terceira possibilidade”. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 60. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 60 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico DIAGRAMAS LÓGICOS: ENVOLVENDO DOIS CONJUNTOS: DIAGRAMA 01: DIAGRAMA 02: DIAGRAMA 03: DIAGRAMA 04: ENVOLVENDO TRÊS CONJUNTOS: DIAGRAMA 05: DIAGRAMA 06: DIAGRAMA 07: DIAGRAMA 08: DIAGRAMA 09: DIAGRAMA 10: DIAGRAMA 11: DIAGRAMA 12: DIAGRAMA 13: DIAGRAMA 14: DIAGRAMA 15: DIAGRAMA 16: copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 61. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 61 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico TODO, ALGUM, NENHUM ... DADOS OS DESENHOS, SÃO VERDADES... A P Todo professor é arquiteto. Todo arquiteto é engenheiro. Todo professor é engenheiro. Existem engenheiros que não são arquitetos. Existem arquitetos que não são professores. Alguns engenheiros são arquitetos e professores. E E P E A Todo professor é engenheiro. Alguns professores são arquitetos. Alguns engenheiros são arquitetos. Nem todo professor engenheiro é arquiteto. Há engenheiros que não são arquitetos, nem professores. Para ser professor é necessário que o arquiteto seja engenheiro. A P Nenhum arquiteto é professor. Todo professor é engenheiro. Existem engenheiros que são arquitetos. Se o engenheiro for professor ele não é arquiteto. Alguns arquitetos são engenheiros. Nem todo engenheiro é professor. QUANTIFICADORES: Existem símbolos chamados quantificadores, são eles: Quantificador Universal (∀): cada, para todo, para qualquer, qualquer, todo, para cada. Quantificador Existencial (∃): certo, algum, existe algum, existe pelo menos um, existe. OBSERVAÇÃO: Negação do Quantificador Universal: ∼∀=∃ Negação do Quantificador Existencial: ∼∃=∀ Em português: ◊ Se digo que todos gostam de Maria, o contrário disso seria dizer que existe pelo menos uma pessoa que não gosta de Maria. É exagero dizer que ninguém gosta de Maria e não seria uma informação precisa! ◊ Se digo alguém gosta de Maria, o contrário disso seria dizer que ninguém gosta de Maria. ◊ Se digo Ninguém gosta de Maria, o contrário disso seria dizer que existe pelo menos uma pessoa que gosta dela. Mas dizer que todos gostam de Maria seria um exagero. AFIRMAÇÃO Todos P Algum P Nenhum P copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® NEGAÇÃO Algum ~P Nenhum P Algum P citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 62. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 62 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Exemplos: Q01. Resolução: Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro que: a) algum A não é G; b) algum A é G: c) nenhum A é G; d) algum G é A; e) nenhum G é A. Q02. A G3 ¤ G1 G2 ¤ Representa um A que não pode ser G. (FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que: a) Quem não é corrupto é honesto. b) Existem corruptos honestos. c) Alguns honestos podem ser corruptos. d) Existem mais corruptos do que desonestos. e) Existem desonestos que são corruptos. Q03. R D C ¤ ¤ representa corrupto. um desonesto Todas as irmãs de Angélica são loiras. Sendo assim, pode-se concluir que: a) Angélica é loira. b) Angélica não é loira. c) Se Ana é loira, então ela é irmã de Angélica. d) Se Beatriz não é irmã de Angélica, então Beatriz não é loira. e) Se Cida não é loira, então ela não é irmã de Angélica. Q04. Em uma cidade, é verdade que “algum físico é esportista”e que “nenhum aposentado é esportista”. Portanto, nessa cidade: a) Nenhum aposentado é físico. b) Nenhum físico é aposentado. c) Algum aposentado não é físico. d) Algum físico é aposentado. e) Algum físico não é aposentado. Q05. Todos os médicos são magros. Nenhum magro sabe correr. Podemos afirmar que: a) Algum médico não é magro. b) Algum médico sabe correr. c) Nenhum médico é magro. d) Nenhum médico sabe correr. e) Algum magro sabe correr. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® que é L I ¤ ¤ representa Cida, que não é loira e por isso não pode ser irmã da Angélica. E F A3 ¤ ¤ A1 representa um físico esportista que não poderá nunca ser aposentado. Magros A2 Médicos Correr Porque médico e correr estão absolutamente separados. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 63. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 63 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico PROBLEMAS DE IMPLICAÇÃO: CONDICIONAL (→): Exemplos: João prometeu ao seu filho Júnior: Se você44 4carro, então eu o empresto a você . 14 lavar o 44 2 3 1444 24444 4 3 p q p → q : Você lavar o carro → eu o empresto a você Possibilidades: I) Júnior lavou o carro então você emprestou o carro. II) Júnior não lavou o carro então nada podemos concluir. III) Você emprestou o carro nada se pode concluir IV) Você não emprestou o carro então Júnior não lavou o carro. Propriedade Contrapositiva da Condicional: p → q ∼q → ∼p Desta propriedade podemos concluir que escrevendo p → q ou escrevendo ∼q → ∼p estamos dizendo a mesma coisa, ou seja o valor lógico das duas proposições compostas é exatamente o mesmo. Um resumo em português do que vale em Condicional: Se chover, então não viajarei. Verdades: Falsidades: Incertezas: Se chover, então não viajarei. Se chover, então viajarei. Não choveu, então viajei. Um resumo Verdades: Falsidades: Incertezas: 1) 2) 3) 4) 5) Viajei, então não choveu. Não viajei, então não choveu. Não viajei, então choveu. com operadores lógicos: C ~V V ~C C V ~V ~C ~C V ~V C Leituras da Condicional: 1) Se antecedente então conseqüente. 2) Se antecedente, conseqüente. 3) Antecedente somente quando conseqüente. 4) Antecedente somente se conseqüente. 5) Antecedente é condição suficiente para conseqüente. 6) Antecedente é suficiente para conseqüente 7) Conseqüente, se antecedente. 8) Conseqüente sempre que antecedente. 9) Conseqüente é condição necessária para antecedente. 10) Conseqüente é necessário para antecedente. Exemplos: Se Carlos passou de ano então Carlos passou em matemática. Carlos passar de ano é condição suficiente para Carlos ter passado em matemática. Carlos passar em matemática é condição necessária para Carlos passar de ano. Carlos passou de ano somente se Carlos passou em matemática. Se Carlos passou de ano, passou em matemática. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 64. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 64 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico BICONDICIONAL (↔): Exemplos: Empresto o carro se e só se Junior lavar o carro. p ↔ q : Você lavar o carro ↔ eu o empresto a você Possibilidades: V) Júnior lavou o carro então você emprestou o carro. VI) Júnior não lavou o carro então você não emprestou o carro. VII) Você emprestou o carro então Júnior lavou o carro. VIII) Você não emprestou o carro então Júnior não lavou o carro. Um resumo em português do que vale em Bicondicional: Se e somente se chover, não viajarei. Verdades: Falsidades: Se chover, então não viajarei. Viajei, então não choveu. Não choveu, então viajei. Não viajei, então choveu. Se chover, então viajarei. Não viajei, então não choveu. Não choveu, então não viajei. Viajei, então choveu. Um resumo com operadores lógicos: Verdades: Falsidades: C ~V ~C V C V ~C ~V V ~C ~V C ~V ~C V C Exemplo 1: Se eu passar no concurso, então vou trabalhar. Passei 4 concurso ⇒ 144244 3 Vou trabalhar 144no 444 2 3 4 4 Premissa Conclusão Exemplo 2:Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. ⇒ Todas as princesas são bonitas. A ⇒ B { C ⇒B ⇒ C ⇒ A Exemplo 3: Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi reprovado no concurso. ⇒ José será demitido do serviço. Exemplo 4: Se ele me ama, então casa comigo. Ele não casa comigo ⇒ Ele não me ama. Exemplo 5:Se aumentarmos os meios de pagamento, então haverá inflação. ⇒ Não há inflação Não aumentamos os meios de pagamento. Exemplo 6: Todos os mamíferos são mortais. Todos os gatos são mamíferos. são mortais. ⇒ ⇒ Todos os gatos Exemplo 7: Todos os mamíferos são mortais. Todas as cobras são mamíferos. ⇒ Todas as cobras são mortais. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 65. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 65 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Exemplos de questões: Q01. (ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, a) não durmo, estou furioso e não bebo. b) durmo, estou furioso e não bebo. c) não durmo, estou furioso e não bebo. d) durmo, não estou furioso e não bebo. e) não durmo, não estou furioso e bebo. Resolução: D B D ~F (contradição ignore) F ~F ~B ~D (de 1) (contradição ignore) D D B ou ~B ~D ~F logo letra A F Q02. (ESAF) Se Beto briga com Gloria, então Gloria vai ao cinema. Se Gloria vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Gloria vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Gloria vai ao cinema. d) Gloria vai ao cinema e Beto briga com Gloria. e) Gloria não vai ao cinema e Beto briga com Gloria. Resolução: BXG G no cinema C em casa RXC Pela propriedade contra-positiva (voltando) C ~ em casa G ~ no cinema B♥G R♥C Isso é dito na letra A. Q03. (ESAF) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora. Ora Paula é professora. Portanto: a) Ana é advogada; b) Sandra não é secretária; c) Ana é advogada, ou Paula não é professora; d) Ana é advogada e Paula é professora; e) Ana não é advogada e Sandra é secretária. Resolução: Ana ~ Adv Sandra Sec Paula ~Prof Paula Prof Ana ~Adv e Ana ~adv Ana Adv copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Sandra Sec. Letra E citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 66. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br Como negar conjunção 66 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico , disjunção e disjunção exclusiva : T) Considere verdadeira a afirmação: Se chover e ventar, ficarei triste. (C ∧ V ~(C ∧ V), mas em português o que seria isso? Pela propriedade contrapositiva sabemos que ~T V), ou nada disso O contrário de chover e ventar pode ser ou só chover ou só ventar (C acontecer; não chover e não ventar. (~C ∧ ~V). Isso equivale a dizer: Não chove ou não venta. (~C ∨ ~V). Por fim será verdadeira a frase: Não fiquei triste, então não choveu ou não ventou. T) Considere verdadeira a afirmação: Se chover ou ventar, ficarei triste. (C ∨ V ~(C ∨ V), mas em português o que seria isso? Pela propriedade contrapositiva sabemos que ~T O contrário de chover ou ventar significa nada disso acontecer; não chover e não ventar. (~C ∧ ~V). Isso equivale a dizer: Não chove e não venta. (~C ∧ ~V). Por fim será verdadeira a frase: Não fiquei triste, então não choveu e não ventou. Considere verdadeira a afirmação: Se ou chover ou ventar, ficarei triste. (C Pela propriedade contrapositiva sabemos que ~T ~(C V T) V), mas em português o que seria isso? O contrário de ou chover ou ventar pode ser chover e ventar (C V) , ou não chover e não ventar (~C ∧ ~V). Isso equivale a dizer: Não chove e não venta. (~C ∧ ~V), ou chove e venta (C ∧ V). Por fim será verdadeira a frase: Não fiquei triste, então ou não choveu e não ventou, ou choveu e ventou. Resumindo: Conjunção Disjunção Disjunção exclusiva Afirmação C∧V T C∨V T C V Negação ~C ∨ ~V ~C ∧ ~V (~C ∧ ~V) ∨ (C ∧ V) T Exemplos de questões: Q01. (ESAF) Considere a seguinte proposição. “Se chove ou neva então o chão fica molhado.” Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Resolução: C ou N Chão molhado Chão seco ~C e ~N. Letra E. Q02. (ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, João e Adolfo são inocentes. b) Homero, João e Adolfo são culpados. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 67. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 67 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente. Resolução: H culp J culp J ino H ino J ou A culp J e A ino H culp H ino J ino J culp A culp A ino A culp H culp H ino A ino. Juntando temos: J ino H ino contradição, pois se A e J ino H culp A ino H culp J culp é a resposta: Todos culpados. Letra B A culp PROBLEMAS CORRELACIONAIS: Veja exemplos abaixo: Exemplo 01: (ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos dessas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Mariza está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido e o sapato de Júlia são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Mariza é branco. e) O vestido de Ana é preto e os sapatos de Mariza são Azuis. Resolução: Nome Ana Júlia Mariza Vestido Branco Azul Preto Sapato Branco Preto Azul Se Mariza com sapatos azuis Mariza com vestido Preto, porque só Ana usa uma só cor. Sobra o Branco para Ana, e para Júlia vestido azul e sapato preto. Exemplo 02: (ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que: a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas. b) marido e esposa não jogam entre si. A ordem das partidas foi a seguinte: Rodadas P1 X P2 1 Celina X Alberto 2 Ana X Marido de Júlia 3 Esposa de Alberto X Marido de Ana 4 Celina X Carlos 5 Esposa de Gustavo x Alberto A esposa de Tiago e o marido de Helena são , respectivamente: copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 68. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br a) Celina e Alberto d) Ana e Alberto 68 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico b) Ana e Carlos e) Celina e Gustavo c) Júlia e Gustavo Ce An J H Ca x7 x6 ♥8 x5 Al x1 x3 x2 ♥4 G x9 x8 x5 T ♥10 x8 x5 1. Celina não esposa de Alberto porque jogaram juntos. 2. Alberto não marido de Júlia porque não joga partidas seguidas. 3. Ana não esposa de Alberto não joga partidas seguidas. 4. Sobra Alberto casado com Helena. 5. Helena não pode ser casada com mais ninguém. 6. Carlos não marido de Ana porque não joga partidas seguidas. 7. Celina não esposa de Carlos porque jogaram juntos. 8. Júlia esposa de Carlos porque sobrou, e não esposa dos outros. 9. Celina não esposa de Gustavo porque não joga partidas seguidas. 10. Celina esposa de Tiago, porque sobrou e obrigatoriamente Ana esposa de Gustavo. 78. (ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó, a calopsita é amarela. Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja- a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente: a) cão, cobra e calopsita b) cão, calopsita e cobra c) calopsita , cão e cobra d) calopsita, cobra e cão e) cobra, cão e calopsita Casa 1 Casa 2 (meio) Casa 3 Cobra Zozó Resolução: Sabemos que Zozó não é dono do cão. A calopsita não é do Zezé pois tenha uma só cor. Sobra a cobra ser do Zozó. O dono do cão é o Zezé, pois a calopsita não é dele e a cobra já tem dono. Letra A. 1) Negue as seguintes as seguintes frases com quantificadores: a) Todo político é corrupto. b) Algum pardal é triste. c) Nem todo animal é preto. d) Existem papéis de veludo. e) Toda abelha é papel. f) Todo inteiro é natural. g) Existem triângulos que são eqüiláteros. h) Todas as amigas de Beto são amigas de Paulo. i) Todos os dias chove. 2) Para cada argumento a seguir marque C para conclusão correta e I para conclusão incorreta. a) Todas as árvores são lampiões, todos os lampiões têm dor de dente, logo, todas as árvores têm dor de dentes. b) Alguns rios são motoristas, todos os motoristas fazem tricô, logo, todos os rios fazem tricô. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 69. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 69 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico c) Todos os guardas são latinistas, alguns latinistas são salsichas, logo, todos os guardas são salsichas. d) Todas as bananeiras que têm diplomas usam guarda-chuvas de cabo de ouro, esta bananeira não usa guarda-chuva, logo, ela não tem diploma. e) Os sinos voam mais alto que as vitrolas e as vitrolas voam mais alto que os pirilampos, logo, um pirilampo voa mais alto que um sino. f) Não há duas pessoas exatamente iguais, João e Paulo são exatamente iguais, logo, João e Paulo não são duas pessoas. g) Algumas tesouras têm mais perfume que um alfinete, só agulhas têm mais perfume que os alfinetes, logo, algumas tesouras são agulhas. h) Nenhum elefante é orador, todos os termômetros são oradores, logo, nenhum elefante é termômetro. i) Os periquitos que jogam tênis têm direito de serem eleitores, os papagaios não jogam tênis, logo, não podem ser eleitores. j) Todas as espigas são datilógrafas, todos os tubarões são datilógrafos, logo, todas as espigas são tubarões. k) Todo escritor é caderno, todas as baleias são caderno, logo, todo escritor é baleia. l) Todo médico é macaco, todo macaco é palmeirense, logo, todo médico é palmeirense. m) As calças riem mais que o paletó, o paletó ri menos que o colete, logo o colete ri mais que as calças. n) A sardinha é maior que o tubarão, o tubarão é maior que a baleia, logo, a baleia é menor que a sardinha. o) Nenhum elefante pode voar, mas alguns elefantes podem chorar. Se assim for, então nenhum elefante pode voar. p) Nenhum herói é covarde, alguns soldados são covardes, logo, alguns soldados não são heróis. QUESTÕES DE CONCURSOS: 232. ESAF - Se não é verdade que "Alguma professora universitária não dá aulas interessantes", então é verdade que: a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes; b) Nenhuma professora universitária dá aula interessante; c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária; d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes; e) Todas as aulas interessantes são dadas por professoras universitárias. 234. ESAF - Se Carlos é mais velho que Pedro, então Maria e Julia têm a mesma idade. Se Maria e Julia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não têm a mesma idade. 235. AFTN/96 - Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica b) Janete, Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 70. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 70 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico e) Tânia, Angélica e Janete 236. (AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Julia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo: a) Nestor e Julia disseram a verdade. b) Nestor e Lauro mentiram. c) Raul e Lauro mentiram. d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. e) Raul e Julia mentiram. 237.Três irmãs: Ana, Maria e Claudia, foram a uma festa com seus vestidos de cores diferentes. Uma vestia azul, a outra branco, e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: "Ana é a que está de branco". A de branco falou: "Eu sou Maria". E a de preto disse: "Claudia é quem está de branco". Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Claudia eram, respectivamente: a) preto, branco e azul; b) preto, azul e branco; c) azul, preto e branco; d) azul, branco e preto; e) branco, azul e preto. 238. Joselias é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos outros dias da semana. Em qual dos dias da semana não é possível que o Joselias faça a seguinte afirmação: "Menti ontem se e somente se mentirei amanhã". a) Segunda b) terça c) quinta d) sexta e) sábado 239.Considere as seguintes declarações: Se o governo é bom, então não há desemprego. Se não há desemprego, então não há inflação. Ora, se há inflação podemos concluir que: a) A inflação não afeta o desemprego. b) Pode haver inflação independente governo. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® do c) O governo é bom e há desemprego. d) O governo é bom e não há desemprego e) O governo não é bom e há desemprego. 240. Considere as declarações: Se ele me ama, então ele casa comigo. Se ele casa comigo, então não vou trabalhar. Ora se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a) Ele é pobre, mas me ama. b) Ele é rico, mas é pão-duro. c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e) Ele não me ama e não casa comigo, 241. (ESAF) Uma sentença lógica equivalente a " Se Pedro é economista, então Luísa é solteira" é: a) Pedro é economista ou Luísa é soleira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 242. (ESAF) Se Carlos é mais alto do que Paulo, logo Ana é mais alta que Maria. Se Ana é mais alta que Maria, João é mais alto do que Carlos. Ora, Carlos é mais alto do que Paulo. Logo: a) Ana é mais alta do que Maria, e João é mais alto do que Carlos. b) Carlos é mais alto do que Maria, e Paulo é mais alto do que João. c) João é mais alto do que Paulo, e Paulo é mais alto do que Carlos. d) Ana é mais alta do que Maria ou Paulo é mais alto do que Carlos. e) Carlos é mais alto do que João ou Paulo é mais alto do que Carlos. 244. (ESAF) Considere a seguinte sentença: "A nenhum homem é consentido ser juiz em causa própria, porque seu interesse certamente influirá em seu julgamento, e, não improvavelmente, corromperá sua integridade." A conclusão do argumento expresso por esta sentença é: a) Os interesses corrompem a integridade; b) Os interesses influenciam nos julgamentos; citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 71. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 71 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico c) Os interesses influenciam nos julgamentos e provavelmente corrompem a integridade; d) A nenhum homem é consentido ser juiz em causa própria; e) Julgar em causa própria provavelmente corrompe a integridade de quem julga. 245.(FGV) O argumento que segue foi extraído do livro "As Aventuras de Huckleberry Finn", de Mark Twain. Nele o personagem Huck Finn afirma: - Jim disse que as abelhas não picariam idiotas; mas eu não acreditei nisso, porque eu mesmo já tentei muitas vezes e elas não me picaram. Analisando o argumento, podemos dizer que: a) Uma premissa implícita é que Huck Finn é idiota; b) Uma premissa implícita é que Huck Finn não é idiota; c) A conclusão do argumento é que Jim é idiota; d) A conclusão do argumento é que Huck Finn é inteligente. 246. (FGV) Certo dia uma cigana afirmou para o Sr. Creumildo: - É provável que o Sr. ganhe na Loteria, algum dia; Se isto acontecer, será um bilhete com o final igual a 463. A partir deste dia, o Sr. Creumildo passou a interessar-se apenas por bilhetes com final 463, comprando-os cada vez que os encontrasse. Passados alguns anos, o Sr. Creumildo ganhou na Loteria com o bilhete 21463. Podemos afirmar que: a) Se o Sr. Creumildo nunca tivesse ganho na Loteria, isto provaria que a cigana estava errada; b) A afirmação da cigana não seria contraditada se o Sr. Creumildo ganhasse na Loteria com um número que terminasse com 773; c) Se o Sr. Creumildo somente comprasse bilhetes com final 463, nunca seria possível contradizer a cigana; d) Se o Sr. Creumildo comprasse bilhetes com final 773 e nunca ganhasse na loteria, isso contraditaria a cigana. e) Nada se pode concluir. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 247.(FGV) O Ministro da economia de um certo país afirmou, em entrevista a um jornal: SE UM PAÍS TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE NÃO PEDE MORATÓRIA. No dia seguinte, o referido jornal publicou: MINISTRO AFIRMA: SE UM PAÍS NÃO TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE PEDE MORATÓRIA. Compare a declaração do Ministro com o que foi publicado no jornal, assinalando alternativa correta: a) As duas afirmações são logicamente equivalentes; b) Se um país tem crédito e pede moratória, isto contradiz a declaração do Ministro na entrevista; c) Se um país tem crédito e não pede moratória, isto contradiz a o que foi publicado no jornal; d) Se um país não tem crédito e pede moratória, isto contradiz a declaração do Ministro na entrevista. 248. (FGV) A ciência provou que se os pais têm olhos azuis, seus filhos também terão olhos azuis. João tem olhos azuis. Daí conclui-se que: a) Os pais de João têm olhos azuis; b) Os pais de João não têm olhos azuis; c) Um dos pais de João têm olhos azuis; d) NDA. 249. (FGV) Alguém afirmou certa feita que toda pessoa que diz que não bebe não está sendo honesta. Pode-se concluir desta premissa que: a) Uma pessoa que diz que bebe está sendo honesta. b) Uma pessoa está sendo honesta se diz que bebe; c) Não existem pessoas honestas que dizem que não bebem; d) NDA. 250. (FGV) Quando se afirma que P ⇒ Q (P implica Q), então: a) Q é condição suficiente para P; b) P é condição necessária para Q; c) Q não é condição necessária para P; d) P é condição suficiente para Q; e) P não é condição suficiente nem necessária para Q; citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 72. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 72 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 251. (ESAF) Dizer que não é verdade que, Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: Pedro não é pobre ou Alberto não é alto; Pedro não é pobre e Alberto não é alto; Pedro é pobre ou Alberto não é alto; Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto; Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto; 252. (ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo: a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol; b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem; c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol; d) Carina é amiga de Carmem e é cunhada de Carol; e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. 253. (ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa; b) se o duque não saiu do castelo então o conde encontrou a princesa; c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa; d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim; e) o duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 254. (ESAF) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil; b) Lógica é fácil e Geografia é difícil; c) Lógica é fácil e Geografia é fácil; d)) Lógica é difícil e Geografia é difícil; e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil; copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 255. (ESAF) Se Fulano é o culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo: a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente; b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado , e Sicrano é inocente; c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente; d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado; e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado; 256. (ESAF) Se Flavia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha Elisa. Se Paula não é filha de Paulette, Então Flavia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. a) Paula é filha de Paulette e Flavia é filha de Fernanda; b) Paula é filha de Paulette e Ana é filha de Alice; c) Paula não é filha de Paulette e Ana é filha de Alice; d) Ênia é filha de Elisa ou Flavia é filha de Fernanda; e) Se Ana é filha de Alice, Flavia é filha de Fernanda. 257. (FCC) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, o outro é verde e o outro é azul. O carro de Artur é cinza. O carro de César é um Santana. O carro de Bernardo não é verde e não é uma Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana, são, respectivamente: a) cinza, verde e azul; d) azul, cinza e verde; b) azul, verde e cinza; e) cinza, azul e verde; c) verde, azul e cinza. 258. (FCC) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto; b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto; citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 73. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 73 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto; d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto; e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 259. (FCC) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente: a) Todo responsável é artista; b) Todo responsável é filósofo ou poeta; c) Todo artista é responsável; d) Algum filósofo é poeta; e) Algum trabalhador é filósofo. 260. (FCC) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", também é necessariamente verdade que: a) Nenhum músico é escritor; b) Algum escritor é músico; c) Algum músico é escritor; d) Algum escritor não é músico; e) Nenhum escritor é músico. 261. (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio ou fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje: a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor; b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor; c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor; d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor; e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 262. (ESAF) Paula quer viajar à França para visitar Pedrita, mas não tem certeza se Pedrita ainda mora em Paris. Suas primas, Patrícia, Pâmela e Priscila, têm opiniões discordantes sobre se Pedrita ainda mora, ou não em Paris. Se Patrícia estiver certa, então Priscila está enganada. Se Priscila estiver enganada, então Pâmela está enganada. Se Pâmela estiver enganada, então copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® Pedrita não mora mais em Paris. De outro lado, ou Pedrita ainda mora em Paris, ou Paula não viajará à França. Verificou-se que Patrícia está certa (isto é não está enganada). Logo: a) Pâmela e Priscila não estão enganadas; b) Pâmela está enganada e Paula não viajará à França; c) Priscila está enganada, mas não Pâmela; d) Pedrita ainda mora em Paris, e Patrícia está certa; e) Pedrita não mora em Paris e Priscila não está enganada. 263. (ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana não fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora Francisco não fala francês e Ching não fala chinês, logo: a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês; b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês; c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol; d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano; e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. 264. (ESAF) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo: a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia; b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia; c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz; d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz; e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz; 265. (ESAF) João e José sentam-se juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a João, pergunta-lhe: "Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?". João responde ao garçom: "Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai"> Então José é: citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 74. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br a) pai de João; b) filho de João; c) neto de João; 74 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico d) avô de João; e) tio de João. 266. Todas as amigas de Beto são, também, amigas de Berenice, mas nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna. Todas as amigas de Bia são também amigas de Bela, e algumas amigas de Bela são também amigas de Bruna. Como nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice, e como Bela, Bia e Bruna não tem nenhuma amiga em comum, então: a) pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna; b) pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna; c) todas as amigas de Bela são amigas de Beto; d) todas as amigas de Bela são amigas de Bia; e) nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto. 267. Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis; b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis; c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras; d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres; e) nenhuma menina alegre é loira. 268. Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio: a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio; b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio; c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio; d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio; copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio; 269. Dizer que a afirmação "todos os economistas são médicos" é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico; b) pelo um médico não é economista; c) nenhum economista é médico; d) todos os não-médicos são não-economistas. e) nenhum médico é economista; 270. (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo.Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda que: se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados, somente se o cozinheiro é inocente; b) somente a governanta é culpada; c) somente o mordomo é culpado; d) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. 271. (ESAF) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas: a) são equivalente a dizer que Patrícia é uma boa amiga; b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga; c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga; d) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga; e) são inconsistentes entre si. 272. (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 75. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 75 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio: a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo; b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo; c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo; d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo; e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo. 273. (ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora Anamélia não será pianista. Então: a) Anaís será professora e Anelise não será cantora; b) Anaís não será professora e Ana não será atleta; c) Anelise não será cantora e Ana será atleta; d) Anelise será cantora ou Ana será atleta; e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista. 274. (ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléa viajou. Se Vanderléa viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento; b) Camile e Carla não foram ao casamento; c) Carla não foi ao casamento e Vanderléa não viajou; d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléa viajou; e) Vera e Vanderléa não viajaram. 275. (ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo: a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula; copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião; c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião; d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião; e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula; 276. (ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo: a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto; b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia; c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro; d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto; e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 278. Uma escola de arte oferece aula de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então: a) nenhum professor de violão é professor de canto; b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro; c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro; d) todos os professores de piano são professores de canto; e) todos os professores de piano são professores de violão. 279. (FCC) Encontram-se sentados em torno de uma mesa quadrada quatro juristas. Miranda, o mais antigo entre eles, é alagoano. Há também um citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 76. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 76 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico paulista, um carioca e um baiano. Ferraz está sentado à direita de Miranda. Mendes, à direita do paulista. Por sua vez, Barbosa, que não é carioca, encontra-se à frente de Ferraz. Assim: a) Ferraz é carioca e Barbosa é baiano b) Mendes é baiano e Barbosa é paulista c) Mendes é carioca e Barbosa é paulista d) Ferraz é baiano e Barbosa é paulista e) Ferraz é paulista e Barbosa é baiano 280. (FCC) Leia o argumento a seguir e posteriormente assinale a alternativa que apresente argumento a ele similar: “Quando chove, meu carro fica molhado. Como não tem chovido ultimamente, meu carro não pode estar molhado.” a) Sempre que uma peça de teatro recebe elogios da crítica, as pessoas vão vê-la. Como as pessoas estão indo ver a nova peça de Augusto Levy, ela provavelmente receberá elogios da crítica. b) Sempre que uma peça recebe uma grande audiência, ela é elogiada pela crítica. A nova peça de Augusto Levy vem tendo uma grande audiência sendo, por isso, elogiada pela crítica. c) Sempre que a crítica elogia uma peça de teatro, as pessoas vão vê-la. A nova peça de Augusto Levy recebeu críticas favoráveis. Logo as pessoas provavelmente vão querer vê-la. d) Sempre que a crítica elogia uma peça de teatro, as pessoas vão vê-la. A nova peça de Augusto Levy não recebeu críticas favoráveis. Logo, eu duvido que alguém vá vê-la. e) Sempre que a crítica elogia uma peça de teatro, as pessoas vão vê-la. As pessoas não estão indo ver a nova peça de Augusto Levy. Logo, ela na recebeu elogios da crítica. 281. (FCC) argumento: Observe a construção de um Premissas: Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Conclusão: Existem gatos que são cachorros. Existem gatos que são aquáticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que: copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. b) A não é válido, P e C são falsos. c) A é válido, P e C são falsos. d) A é válido, P ou C são verdadeiros. e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso. 282. (FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: “No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - Hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.” Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que: a) Não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. b) Não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. c) Foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. d) Foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. e) Foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 284. (FCC) Admitindo que certo Tribunal tem 1.800 processos para serem lidos e que cada processo não possui mais do que 200 páginas, é correto afirmar que: a) Não existem 2 processos com o mesmo número de páginas b) Não existe processo com exatamente 9 páginas c) Cada processo tem, em média, 9 páginas d) Existem pelo menos 9 processos com o mesmo número de páginas e) Mais de 100.000 páginas serão lidas na realização do serviço 285. (FCC) Um grupo de administradores – Álvaro, Bento, Caio, Dante, Eli e Fábio – participou citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 77. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 77 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico de uma Convenção e, durante o evento, alguns deles descobriram algumas afinidades com um dos outros: ⊗ Álvaro percebeu que tinha afinidades com todas as pessoas do grupo; ⊗ Bento, concluiu que não tinha afinidades com ninguém; entretanto, todos os demais acharam que tinham afinidades com ele; ⊗ Caio descobriu afinidades com apenas duas pessoas do grupo, uma das quais era Dante; ⊗ Dante percebeu que tinha afinidades com três pessoas do grupo, excluídos Caio e Fábio; ⊗ Eli e Fábio descobriram afinidades com apenas uma pessoa do grupo. Nessas condições, o número de administradores desse grupo que descobriram ter afinidades com pelo menos uma pessoa que não tem o sentimento recíproco é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 286. (FCC) Considere as seguintes premissas relativas a um dia de operação no mercado de ações: • Existem ações de empresas do setor de comércio que se valorizaram mais de 1% no pregão de hoje. • Todas as ações que se valorizaram mais de 1% no pregão de hoje são de empresas que divulgaram ontem o seu balanço. Se as duas premissas são verdadeiras, em relação ao pregão de hoje, podemos concluir que: a) Todas as ações que se valorizaram mais de 1% são de empresas do setor de comércio. b) Todas as empresas do setor de comércio cotadas em bolsa divulgaram ontem o seu balanço. c) Todas empresas que divulgaram ontem o seu balanço tiveram valorização de mais de 1% na cotação das ações. d) Existem empresas que divulgaram ontem o seu balanço que são do setor de comércio. e) Todas empresas do setor de comércio têm ações cotadas em bolsa. 287. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria, então comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição: copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa 288. (FCC) Considere as afirmações: ◊ Nem todo país exportador de petróleo localiza-se no Oriente Médio. ◊ Existem cristãos em todos os países do mundo. ◊ Nos países do Oriente Médio não existe carro movido a álcool. Chamando de A o conjunto de todos os países com veículos movidos a álcool, de P o conjunto de todos os países exportadores de petróleo, de M o conjunto de todos os países localizados no Oriente Médio e de C o conjunto de todos os países que possuem cristãos, um diagrama indicado para representar as afirmações será: C P P M M A A PM A C b) a) C c) C C M A d) P P A M e) 289. (FCC – 2006) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo, (A) algum Z é Y. (B) algum Y é Z. (C) todo Z é X. (D) todo Z é Y. (E) algum Z é Y. 290. (FCC – 2006) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo, (A) alguns atos não têm causa se não há atos livres. (B) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 78. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 78 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico (C) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. (D) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. (E) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa. 291. (FCC – 2004) Seis rapazes (Álvaro, Bruno, Carlos, Danilo, Elson e Fábio) conheceram-se certo dia em um bar. Considere as opiniões de cada um deles em relação aos demais membros do grupo: • Álvaro gostou de todos os rapazes do grupo; • Bruno, não gostou de ninguém; entretanto, todos gostaram dele; • Carlos gostou apenas de dois rapazes, sendo que Danilo é um deles; • Danilo gostou de três rapazes, excluindo-se Carlos e Fábio; • Elson e Fábio gostaram somente de um dos rapazes. Nessas condições, quantos grupos de dois ou mais rapazes gostaram um dos outros? (A)) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 292. (FCC – 2007) Algum A é B. Todo A é C. Logo (A) algum D é A. (B) todo B é C. (C) todo C é A. (D) todo B é A. (E) algum B é C. 293. (FCC – 2007) Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloisa e Flávia têm a mesma altura. Se Heloisa e Flávia têm a mesma altura, então Alexandre é mais baixo que Guilherme. Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloisa. Ora, Rodolfo não é mais alto que Heloisa. Logo: (A) Rodolfo não é mais alto que Guilherme, e Heloisa e Flávia não têm a mesma altura. (B) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Heloisa e Flávia têm a mesma altura. (C) Rodolfo não é mais alto que Flávia, e Alexandre é mais baixo que Guilherme. (D) Rodolfo e Alexandre são mais baixos que Guilherme. (E) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Alexandre é mais baixo que Heloísa. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 294. (FCC – 2007) Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos os nefelibatas são melancólicos", então, necessariamente: (A) Todo melancólico é nefelibata. (B) Todo nefelibata é poeta. (C) Algum poeta é melancólico. (D) Nenhum melancólico é poeta. (E) Nenhum poeta não é melancólico. 295. (FCC – 2007) Considerando "todo livro é instrutivo" uma proposição verdadeira, é correto inferir que (A) "nenhum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. (B) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. (C) "algum livro é instrutivo" é uma proposição verdadeira ou falsa. (D) "algum livro é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. (E) "algum livro não é instrutivo" é uma proposição necessariamente verdadeira. 296. (FCC – 2007) Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que havia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que: − um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria; − André esqueceu um objeto na casa da namorada; − Bruno não esqueceu a agenda e nem a chave de casa. É verdade que (A) Carlos foi a um bar. (B) Bruno foi a uma pizzaria. (C) Carlos esqueceu a chave de casa. (D) Bruno esqueceu o guarda-chuva. (E) André esqueceu a agenda. 297. (FCC – 2007) Todos os macerontes são torminodoros. Alguns macerontes são momorrengos. Logo, (A) todos os momorrengos são torminodoros. (B) alguns torminodoros são momorrengos. (C) todos os torminodoros são macerontes. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 79. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 79 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 300. (FCC) Os símbolos ♣,♦,♥ e ♠ foram usados para decorar um tabuleiro de 10 linhas e 30 colunas de acordo com o seguinte padrão: (D) alguns momorrengos são pássaros. (E) todos os momorrengos são macerontes. 298. (FCC – 2007) Partindo das premissas: (1) Todo advogado é sagaz. (2) Todo advogado é formado em Direito. (3) Roberval é sagaz. (4) Sulamita é juíza. Pode-se concluir que (A) há pessoas formadas em Direito que são sagazes. (B) Roberval é advogado. (C) Sulamita é sagaz. (D) Roberval é promotor. (E) Sulamita e Roberval são casados. ♣ ♦ ... ♥ ... ♥ ♠ ... ♦ ♥ ♠ ♣ ... ♣ ♦ ♥ ♦ ♥ ♥ ♠ ♣ ♦ ♠ ♣ ♠ ♠ ♣ ♦ ♣ ♦ ♥ ♠ ♣ ♦ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . A quantidade de símbolo ♠ necessária para o preenchimento total do tabuleiro é: a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76 301. (FCC) Na figura, as faces em contato de dois dados possuem o mesmo número. QUESTÕES FIGURAS: ENVOLVENDO São as mais exemplos. variadas, LÓGICA aqui vão COM alguns 299. (FCC) Uma pessoa pretende montar uma caixa de papelão totalmente fechada, como a mostrada na figura abaixo. Qual das seguintes permitirá montar essa caixa ? (A) (B) (D) planificações (E) copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® (C) lhe . . .. .. .... . Se a soma dos números nas faces opostas de cada dado é sempre igual a 7, a maior soma possível dos números nas três faces sombreadas da figura é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e) 15 302. (FCC) Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única sobre uma mesa. Sabe-se que: os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7; a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6; os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Sendo verdadeiras as três afirmações acima, na pilha, a face do dado da pilha mais afastada da mesa: a) Necessariamente tem um número de pontos ímpar b) Tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par c) Tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for ímpar d) Tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par e) Necessariamente tem um número par de pontos citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 80. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 80 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 304. (FCC-2004) Observe a figura seguinte: Qual figura é igual à figura acima representada? 303. (FCC – 2006) Qual dos cinco desenhos representa a comparação adequada? Instruções: Para responder à questão de número 305, observe o exemplo abaixo, no qual são dados três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas. O objetivo da questão é determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro conjunto. No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4, e, abaixo, o número 12. Note que o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números acima do traço (3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 = 12). Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1+ 5 = 6; 6 + 5 = 11. Repetindo-se a seqüência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os números do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x. Assim, x = 15 e a resposta é a alternativa (D). Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das usadas no exemplo dado. 305. (FCC-2004) Considere os conjuntos de números: Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é a) 9 b)) 16 c) 20 d) 36 e) 40 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 81. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 81 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 306. (FCC – 2007) Assinale a alternativa, entre as cinco relacionadas, que preenche a vaga assinalada pela interrogação. a) d) b) e) 307. (FCC – 2007) Considerando as relações horizontais e verticais entre as figuras, assinale a alternativa que substitui a interrogação. c) 308. (FCC – 2001) Sobre uma superfície plana têm-se 3 blocos iguais empilhados, com 13 faces expostas, conforme mostra a figura abaixo. Se forem empilhados 25 desses blocos, o número de faces expostas será a) 125 b) 121 c) 111 d) 105 e) 101 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 82. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 82 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 309. (FCC – 2007) Nos dados habitualmente usados em jogos, a soma dos pontos de duas faces opostas deve ser sempre igual a 7. Assim, por exemplo, todas as vistas possíveis de um dado cuja face da frente tem 1 ponto marcado estão representadas nas figuras abaixo. As figuras que representam todas as vistas possíveis de um dado que tem 3 pontos na face da frente é substitui corretamente Provas de Raciocínio Lógico para TRT 9ª e TRF 4ª de 2010 e MPU 2007, cargo técnico administrativo e técnico área informática. QUESTÕES - TÉCNICO TRF 4ª - 2010 ÁREA ADMINISTRATIVA - FCC 311. A expressão N ÷ 0,0125 é equivalente ao produto de N por 1 125 . d) 80. e) . a) 1,25. b) 12,5. c) 80 100 312. Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo a) feminino é maior que 42%. b) masculino está compreendida entre 45% e 52%. c) feminino é menor que 35%. d) masculino é maior que 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. 310. (TJPE – 2007) Considere a seqüência de figuras abaixo. A figura que interrogação é: ÚLTIMAS PROVAS a 313. Considere que: 1 milissegundo (ms) = 10−3 segundo 1 microssegundo (µs) = 10−6 segundo 1 nanossegundo (ns) = 10−9 segundo 1 picossegundo (ps) = 10−12 segundo Nessas condições, a soma: 1 ms + 10 µs + 100 ns + 1 000 ps NÃO é igual a a) 1 010 101 000 ps. b) 1 010 101 ns. c) 1 0 101,01 µs. d) 1,010101 ms. e) 0,001010101 s. 314. Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta 25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 83. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 83 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico a) baixará de 2%. b) aumentará de 3,2%. c) baixará de 1,8%. d) aumentará de 1,2%. e) permanecerá inalterado. 315. Suponha que apenas um dentre 12 Técnicos Judiciários se aposenta e é substituído por um concursado que tem 24 anos de idade e, como consequência, a média das idades dos Técnicos diminui de 3,5 anos. Assim sendo, a idade do Técnico que se aposentou é um número a) menor que 65. b) quadrado perfeito. c) primo. d) divisível por 4. e) múltiplo de 11. 316. Considere as seguintes equivalências de preços, em reais: o de 2 cadernos equivale ao de 30 lápis; o de 3 canetas equivale ao de 5 cadernos. Se 5 canetas custam R$ 40,00, quantos lápis poderiam ser comprados com R$ 32,00? a) 102. b) 100. c) 98. d) 96. e) 94. 317. Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x < y < z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a a) 1, 3 e 6. b) 1, 4 e 6. c) 1, 5 e 6. (D) 1, 6 e 7. e) 1, 7 e 8. 318. Suponha que, sistematicamente, três grandes instituições − X, Y e Z − realizam concursos para preenchimento de vagas: X de 1,5 em 1,5 anos, Y de 2 em 2 anos e Z de 3 em 3 anos. Considerando que em janeiro de 2006 as três realizaram concursos, é correto concluir que uma nova coincidência ocorrerá em (A) julho de 2015. (B) junho de 2014. (C) julho de 2013. (D) janeiro de 2012. (E) fevereiro de 2011. 319. Uma propriedade comum caracteriza o conjunto de palavras seguinte: MARCA − BARBUDO − CRUCIAL − ADIDO − FRENTE − ? copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® De acordo com tal propriedade, a palavra que, em sequência, substituiria corretamente o ponto de interrogação é a) FOFURA. b) DESDITA. c) GIGANTE. d) HULHA. e) ILIBADO. 320. Considere que os números dispostos em cada linha e em cada coluna da seguinte malha quadriculada devem obedecer a determinado padrão. 7 9 2 10 ? 5 3 ? 3 Entre as células seguintes, aquelas que completam corretamente a malha é: a) 14 7 b) 13 9 c) 15 7 d) 16 9 e) 15 6 QUESTÕES - TÉCNICO TRT 9ª - 2010 ÁREA ADMINISTRATIVA – FCC 321. Dois números inteiros positivos x e y têm, cada um, 5 algarismos distintos entre si. Considerando que x e y não têm algarismos comuns e x > y, o menor valor que pode ser obtido para a diferença x − y é: a) 257. b) 256. c) 249. d) 247. e) 246. 322. Às 8 horas e 45 minutos de certo dia foi aberta uma torneira, com a finalidade de encher de água um tanque vazio. Sabe-se que: – o volume interno do tanque é 2,5 m3; – a torneira despejou água no tanque a uma vazão constante citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 84. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 84 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico de 2l /min e só foi fechada quando o tanque estava completamente cheio. Nessas condições, a torneira foi fechada às a) 5 horas e 35 minutos do dia seguinte. b) 4 horas e 50 minutos do dia seguinte. c) 2 horas e 45 minutos do dia seguinte. d) 21 horas e 35 minutos do mesmo dia. e) 19 horas e 50 minutos do mesmo dia. 323. Para brincar com seus colegas de trabalho, Jonas expressou a razão entre o número de mulheres (m) e o de homens (h) que trabalhavam no mesmo setor que ele, da seguinte maneira: m 0,0006 ⋅ 105 = h 0,096 ⋅ 103 Se 3m + 2h = 93, então de quantas unidades o número de homens excede o de mulheres? a) Mais do que 12. b) 12. c) 11. d) 10. e) Menos do que 10. 324. Certo mês, três Técnicos Judiciários − Ivanildo, Lindolfo e Otimar − fizeram 10 viagens transportando equipamentos destinados a diferentes unidades do Tribunal Regional do Trabalho. Sabe-se que: – os três fizeram quantidades diferentes de viagens e cada um deles fez pelo menos duas; – Ivanildo fez o maior número de viagens e Lindolfo o menor. Sobre o número de viagens que Otimar fez a serviço do Tribunal nesse mês, a) nada se pode concluir. b) foram 4. c) foram 3. d) excedeu em 2 unidades a quantidade de viagens feitas por Lindolfo. e) era igual a 30% da quantidade de viagens feitas por Ivanildo. 325. Alaor, presidente de uma empresa, participou de uma reunião com outros três funcionários que ocupavam os seguintes cargos na empresa: vice-presidente, analista financeiro e diretor executivo. Sabe-se que: Alaor sentou-se à esquerda de Carmela; Bonifácio sentou-se à direita do vice-presidente; Dalton, que estava sentado em frente de Carmela, não era analista financeiro. Nessas condições, copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® os cargos ocupados por Bonifácio, Carmela e Dalton são, respectivamente, a) analista financeiro, diretor executivo e vicepresidente. b) analista financeiro, vice-presidente e diretor executivo. c) diretor executivo, analista financeiro e vicepresidente. d) vice-presidente, diretor executivo e analista financeiro. e) vice-presidente, analista financeiro e diretor executivo. QUESTÕES - TÉCNICO MPU 2007 – FCC 326. Dado um número inteiro e positivo N, chamase persistência de N a quantidades de etapas que são necessárias para que, através de uma seqüência de operações preestabelecidas efetuadas a partir de N, seja obtido um número de apenas um dígito. O exemplo seguinte mostra que a persistência de número 7191 é 3. Com base na definição e no exemplo dados, é correto afirmar que a persistência do número 8464 é a) menor que 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) maior que 6 327. Ao longo de uma reunião, da qual participam o presidente de certa empresa e alguns funcionários, foram servidos 28 salgadinhos em uma bandeja. Sabe-se que: - todos os participantes da reunião sentaram-se ao redor de uma mesa circular; - o primeiro a ser servido dos salgadinhos foi o presidente e, após ele, sucessivamente, todos os demais também o foram, um a um, a partir da direita do presidente. - a cada passagem da bandeja, todas as pessoas se serviram, cada qual de único salgadinho. - coube ao presidente ser servido do último salgadinho da bandeja. citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 85. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 85 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico Considerando que as pessoas podem ter comido mais de um salgadinho, o total de participantes dessa reunião poderia ser a) 4 b) 9 c) 10 d) 13 e) 15 328. O Mini Sudoku é um divertido passatempo de raciocínio lógico. Ele consiste de 36 quadradinhos em uma grade de 6 X 6, subdividida em seis grades menores de 2 X 3. O objetivo do jogo é preencher os espaços em branco com os números de 1 a 6, de modo que os números colocados não se repitam nas linhas, nem nas colunas, nem nas grades 2 X 3 e tampouco na grade 6 X 6, conforme é mostrado no exemplo que segue. Observe que, no esquema do jogo abaixo, três das casas em branco aparecem sombreadas. Você deve completar o esquema de acordo com as regras do jogo, para descobrir, quais números deverão ser colocados nessas casas. A soma dos números que correlatamente deverão preencher as casas sombreadas é a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® 329. Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que: - os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos; - ambos iniciaram suas tarefas quando eram 37 decorridos do dia e trabalharam 96 ininterruptamente até concluí-la; - Floriano gastou 1 hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote; - nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60% da de Floriano. Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às a) 11 horas e 15 minutos b) 11 horas e 20 minutos c) 11 horas e 50 minutos d) 12 horas e 10 minutos e) 12 horas e 25 minutos 330. Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes à expedição de correspondências internas e externas. Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro, novembro de 2006, foi observado que: - do total de correspondências em setembro, 20% eram de âmbito interno; - em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências internas expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas, o aumento mensal foi de 20%, em relação às externas. Comparando-se os dados do mês de novembro com os de setembro, é correto afirmar que o aumento das correspondências expedidas a) no total foi de 39,4% b) internamente foi de 42,2% c) externamente foi de 34,6% d) internamente foi de 20% e) externamente foi de 40% citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 86. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 86 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico QUESTÕES - TÉCNICO MPU 2007 - ÁREA INFORMÁTICA - FCC 331. Observe que em cada um dos dois primeiros pares de palavras abaixo, a palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda, utilizando-se um mesmo critério. SOLAPAR – RASO LORDES – SELO CORROBORA – ? Com base nesse critério, a palavra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) CORA b) ARCO c) RABO d) COAR e) ROCA 332. Considerando que, em certo ano, o dia 23 de junho ocorreu em um sábado, o dia 22 de outubro desse mesmo ano ocorreu em a) uma segunda-feira b) uma terça-feira c) uma quinta-feira d) um sábado e) um domingo 333. Ao preparar o relatório das atividades que desenvolveu em novembro de 2006, um motorista viu que, nesse mês, utilizara um único carro para percorrer 1875 km, a serviço do Ministério Público da União. Curiosamente, ele observou que, ao longo de todo esse percurso, havia usado os quatro pneus e mais o estepe de tal carro que todos estes cinco pneus haviam rodado a mesma quilometragem. Diante disso, quantos quilômetros cada um dos cinco pneus percorreu? a) 375 b) 750 c) 1125 d) 1500 e) 1750 334. Nas prateleiras de uma farmácia há três tipos de frascos, nos tamanhos, grande, médio, e pequeno e nas cores rosa, branca e azul, não respectivamente. Sabe-se que também cada frasco contém somente comprimidos de uma mesma cor – rosa, branca ou azul -, entretanto, apenas os frascos grandes têm a mesma cor dos comprimidos que contêm; nem os frascos médios, nem os comprimidos que eles contêm são azuis; os frascos pequenos contêm apenas comprimidos na cor rosa. Nessas condições, é correto afirmar que os a) frascos médios contêm comprimidos rosa e os grandes contêm comprimidos brancos. copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® b) frascos brancos têm tamanho médio e contêm comprimidos azuis. c) comprimidos de frascos médios são brancos e os dos frascos grandes são azuis. d) comprimidos dos frascos grandes são brancos e os dos frascos pequenos são azuis. e) frascos grandes são brancos e os médios são azuis. 335. Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: - Todo motorista que não obedece às leis de trânsito é multado - Existem pessoas idôneas que são multadas. Com base nessas afirmações é verdade que a) se um motorista é idôneo e não obedece às leis de trânsito, então ele é multado. b) se um motorista não respeita as leis de trânsito então ele é idôneo. c) todo motorista é uma pessoa idônea d) toda pessoa idônea obedece às leis de trânsito. e) toda pessoa idônea não é multada. 336. Em uma sede da Procuradoria de Justiça serão oferecidos cursos para a melhoria do desempenho pessoal de seus funcionários. Considere que: 5 dos quais - essa sede tem 300 funcionários, 12 são do sexo feminino; - todos os funcionários deverão fazer um único curso e, para tal, deverão ser divididos em grupos, cada qual composto com pessoas de um mesmo sexo; - todos os grupos deverão ter o mesmo número de funcionários; - cada grupo formado terá seu curso em um dia diferente dos demais grupos. Diante disso, a menor quantidade de cursos que deverão ser oferecidos é a) 25 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12 337. Se para numerar as páginas de um livro foram usados 357 algarismos, qual a quantidade de páginas cuja numeração corresponde a um número par? a) 70 b) 77 c) 80 d) 87 e) 90 citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.
- 87. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Professora:Caren Fulginiti caren@caren.mat.br 87 Concurso: TRT 4ª/2010 – Cargo Técnico 338. Segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI), os nomes dos múltiplos e submúltiplos de uma unidade são formados mediante os seguintes prefixos: Assim, por exemplo, tem-se que 30 Gm (gigametros) = 30 109 m (metros) Com base nessas informações, se a unidade de medida fosse o byte (b), então a razão entre 1800 µb e 0,06 dab, nesta ordem seria um número compreendido entre a) 10 -5 e 10 -4 b) 10 -4 e 10 -3 -3 -2 c) 10 e 10 d) 10 -2 e 10 -1 e) 10 -1 e 1 340. Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma altura são acesas simultaneamente. Suponha que: - as chamas das duas velas ficam acesas, até que sejam consumidas totalmente; - ambas as velas queimam em velocidades constantes; - uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto que a outra o é em 4 horas. Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de uma vela será o dobro da altura da outra? a) 2 horas e 20 minutos. b) 2 horas e 30 minutos. c) 3 horas e 10 minutos. d) 3 horas e 20 minutos. e) 3 horas e 30 minutos. 339. Um médico recomendou a Estevão que, em benefício de sua saúde, fizesse uma caminhada todos os dias. Seguindo sua recomendação, Estevão: iniciou suas caminhadas em 06/11/2006; no dia seguinte, percorreu 10% a mais que a quantidade de metros que havia caminhado no dia anterior; no terceiro dia, percorreu 20% a mais que a quantidade de metros percorrida no primeiro dia; no quarto dia, 30% a mais que a quantidade de metros percorrida no primeiro dia e, dessa forma foi sucessivamente aumentando o percurso de sua caminhada. Se ao longo dos 10 primeiros dias, Estevão percorreu um total de 11,6 km, quantos metros ele caminhou em 11/11/2006? a) 1400 b) 1350 c) 1300 d) 1250 e) 1200 copyright 2010 © CAREN - MATEMÁTICA® citação permitida desde que conste a fonte: FULGINITI, Caren.