Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas
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calculado por refer...
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Codificação da amplitude
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Problema
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Qual o valor de n0?
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Sinal Periódico Contínuo
Um sinal contínuo diz-se periódico se se mantiver
inalterado por um deslo...
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Exemplo
Determinar a componente par e ímpar do sinal:
x(t)
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0 t
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Luís Caldas de Oliveira
Impulso Unitário Contínuo
O impulso unitário, também designado por função delta ou
distribuição de...
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Escalão Unitário Contínuo
u(t) =
0, t < 0.
1, t > 0.
u(t)
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Para resolver a ambiguidade ...
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Exponencial Complexa Discreta
Se α = ejω0
e A = |A|ejφ
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x(n) = |A|ej(ω0n+φ)
= |A|cos(ω0n + φ) + j...
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Espaço de Funções
Sendo x um sinal cujo domínio é D e o contradomínio C:
x : D → C
Se o sistema S ...
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Associação em paralelo
Entrada
Sistema 1
Sistema 2
Saída
Sinais e Sistemas – p.41/50 Luís Caldas d...
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Causalidade
Um sistema é causal se a saída num instante de tempo só
depender de entradas presentes...
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Linearidade
Propriedade da aditividade
T{x1(n)} = y1(n)
T{x2(n)} = y2(n)
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  1. 1. Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas Luís Caldas de Oliveira lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas – p.1/50 Luís Caldas de Oliveira Resumo Sinais de tempo contínuo e discreto Transformações da variável independente Sinais básicos: impulso, escalão e exponencial. Sistemas contínuos e discretos Propriedades básicas dos sistemas Sinais e Sistemas – p.2/50 Luís Caldas de Oliveira Sinal Acústico Se s for um sinal acústico: s : Tempo → Pressão Podemos representá-lo na forma de uma função: ∀t ∈ , s(t) = . . . s : → Tempo Pressão Sinais e Sistemas – p.3/50 Luís Caldas de Oliveira Sinal em Tempo Contínuo Um sinal x(t) em tempo contínuo é uma função de uma variável contínua. ∀t ∈ , x(t) = . . . x : → Passaremos a denominar estes sinais pela forma abreviada de sinais contínuos. Sinais e Sistemas – p.4/50
  2. 2. Luís Caldas de Oliveira Valor de Fecho do PSI-20 O valor inicial (base) do PSI-20 é de 3000 pontos e é calculado por referência aos preços de fecho da sessão de bolsa de 31 de Dezembro de 1992. Exemplo: {. . . , 7309, 7321, 7315, 7327, 7325, . . .} Sinais e Sistemas – p.5/50 Luís Caldas de Oliveira Sinal em Tempo Discreto Um sinal x(n) em tempo discreto é uma função de uma variável discreta: ∀n ∈ , x(n) = . . . x : → Passaremos a denominar estes sinais pela forma abreviada de sinais discretos. Sinais e Sistemas – p.6/50 Luís Caldas de Oliveira Amostragem de Sinais Contínuos Muitos dos sinais em tempo discreto resultam da amostragem de sinais em tempo contínuo (xc(t)): x(n) = xc(nT), ∀n ∈ em que xc(t) é uma função da variável t ∈ e T é o período de amostragem. ...... T Sinais e Sistemas – p.7/50 Luís Caldas de Oliveira Problema Determinar taxa de compressão de uma faixa de música de um disco compacto ao ser codificada em mpeg-3 a 128 Kb/s. Sinais e Sistemas – p.8/50
  3. 3. Luís Caldas de Oliveira Codificação da amplitude Para além da amostragem temporal, a amplitude do sinal pode também ser codificada usando um número finito de bits. No caso de uma codificação linear de 16 bits em complemento para 2: s : → {−32768, . . . , 32767} No caso de uma imagem quadrada com 512x512 pixeis de com 8 bits por cada componente RGB (24 bits): i : {0, . . . , 511}2 → {0, . . . , 255}3 Sinais e Sistemas – p.9/50 Luís Caldas de Oliveira Energia Convencionou-se definir a energia de um sinal como sendo: E∞ = +∞ −∞ |x(t)|2 dt. De forma análoga para o caso discreto: E∞ = +∞ n=−∞ |x(n)|2 . Podem existir sinais com energia infinita! Sinais e Sistemas – p.10/50 Luís Caldas de Oliveira Potência Com base na definição de energia, podemos também definir a potência média de um sinal: P∞ = lim T→∞ 1 2T +T −T |x(t)|2 dt. De forma análoga para o caso discreto: P∞ = lim N→∞ 1 2N + 1 +N n=−N |x(n)|2 . Sinais e Sistemas – p.11/50 Luís Caldas de Oliveira Deslocamento Temporal y(t) = x(t − t0) 0 ... ... ... x(t) y(t) t 0 t t0 Sinais e Sistemas – p.12/50
  4. 4. Luís Caldas de Oliveira Problema ... ... 7 n6543210−1 ... ... 7 n6543210−1 x(n) y(n) y(n) = x(n − n0) Qual o valor de n0? Sinais e Sistemas – p.13/50 Luís Caldas de Oliveira Inversão Temporal y(t) = x(−t) t ... ... ... y(t) x(t) 0 0 t Sinais e Sistemas – p.14/50 Luís Caldas de Oliveira Escalamento Temporal y(t) = x(at), a ∈ t ... ... ... y(t) x(t) 0 0 t Sinais e Sistemas – p.15/50 Luís Caldas de Oliveira Problema ... ... −1 x(n) n5 6 70 1 2 3 4 11 2 3 Determine a sequência definida por: y(n) = x(3 − n) Sinais e Sistemas – p.16/50
  5. 5. Luís Caldas de Oliveira Sinal Periódico Contínuo Um sinal contínuo diz-se periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento temporal de valor T: x(t) = x(t + T), T ∈ Ao menor valor positivo de T dá-se o nome de período fundamental (T0). Sinais e Sistemas – p.17/50 Luís Caldas de Oliveira Sinal Periódico Discreto Identicamente ao caso contínuo, um sinal discreto diz-se periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento temporal de N amostras: x(n) = x(n + N), N ∈ Ao menor valor inteiro positivo de N dá-se o nome de período fundamental (N0). A amostragem de um sinal periódico contínuo nem sempre resulta num sinal periódico discreto. Sinais e Sistemas – p.18/50 Luís Caldas de Oliveira Sinais Pares e Ímpares Um sinal é par se for igual à sua inversão temporal x(t) = x∗ (−t) Um sinal é ímpar se: x(t) = −x∗ (−t) ... ... y(t) x(t) 0 t t ... ... Sinais e Sistemas – p.19/50 Luís Caldas de Oliveira Componente Par e Ímpar Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar: x(t) = xe(t) + xo(t) xe(t) = 1 2 [x(t) + x∗ (−t)] xo(t) = 1 2 [x(t) − x∗ (−t)] Sinais e Sistemas – p.20/50
  6. 6. Luís Caldas de Oliveira Exemplo Determinar a componente par e ímpar do sinal: x(t) ... 0 t ... −2 −1 1 2 1 2 Sinais e Sistemas – p.21/50 Luís Caldas de Oliveira Impulso Unitário Discreto δ(n) = 0, n 0. 1, n = 0. ... ... n−4 (n) 43210−1−2−3 δ Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma soma de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo: x(n) = +∞ k=−∞ x(k)δ(n − k) Sinais e Sistemas – p.22/50 Luís Caldas de Oliveira Escalão Unitário Discreto u(n) = 0, n < 0. 1, n ≥ 0. ... ... n4210−1−2−3−4 3 u(n) u(n) = +∞ k=0 δ(n − k) Sinais e Sistemas – p.23/50 Luís Caldas de Oliveira Impulso e Escalão Discretos O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso unitário: u(n) = n k=−∞ δ(k) Inversamente: δ(n) = u(n) − u(n − 1) Sinais e Sistemas – p.24/50
  7. 7. Luís Caldas de Oliveira Impulso Unitário Contínuo O impulso unitário, também designado por função delta ou distribuição de Dirac, define-se por: δ(t) = 0, t 0 +ǫ −ǫ δ(τ)dτ = 1, ∀ǫ ∈ + A função δ(t) não se encontra definida para t = 0 Sinais e Sistemas – p.25/50 Luís Caldas de Oliveira Interpretação do Impulso −∆/2 ... 0 t ... δ∆ (t) 1/∆ ∆/2 δ(t) = lim ∆→0 δ∆(t) Sinais e Sistemas – p.26/50 Luís Caldas de Oliveira Representação do Impulso δ ... 0 t ... (t) (1) A amplitude da seta indica a área do impulso e não o valor para t = 0. Sinais e Sistemas – p.27/50 Luís Caldas de Oliveira Propriedade de Amostragem do Impulso x(t)δ∆(t) ≈ x(0)δ∆(t) lim ∆→0 x(t)δ∆(t) = lim ∆→0 x(0)δ∆(t) x(t)δ(t) = x(0)δ(t) O produto de uma função por um impulso produz um im- pulso com área igual ao valor da função no instante do im- pulso. Sinais e Sistemas – p.28/50
  8. 8. Luís Caldas de Oliveira Escalão Unitário Contínuo u(t) = 0, t < 0. 1, t > 0. u(t) ... 0 t ... Para resolver a ambiguidade em 0 usa-se por vezes: ua(t) =    0, t < 0. a, t = 0. 1, t > 0. u(t) = +∞ 0 δ(t − τ)dτ. Sinais e Sistemas – p.29/50 Luís Caldas de Oliveira Impulso e Escalão Contínuos O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso unitário: u(t) = t −∞ δ(τ)dτ. Inversamente: δ(t) = d dt u(t) Sinais e Sistemas – p.30/50 Luís Caldas de Oliveira Exponencial Contínua x(t) = Ceat em que C e a podem ser números complexos: C = Aejφ , A, φ ∈ a = −α + jω0, α, ω0 ∈ x(t) = Ae−αt ej(ω0t+φ) decompondo em parte real e imaginária: ℜ{x(t)} = Ae−αt cos(ω0t + φ) ℑ{x(t)} = Ae−αt sin(ω0t + φ) Sinais e Sistemas – p.31/50 Luís Caldas de Oliveira Exponencial Real Discreta Sendo α e A números reais: x(n) = Aαn |α| > 1 a sequência |x(n)| é crescente; |α| < 1 a sequência |x(n)| é decrescente; α > 0 as amostras da sequência x(n) têm todas o mesmo sinal de A; α < 0 as amostras da sequência x(n) são alternadamente positivas e negativas. Sinais e Sistemas – p.32/50
  9. 9. Luís Caldas de Oliveira Exponencial Complexa Discreta Se α = ejω0 e A = |A|ejφ : x(n) = |A|ej(ω0n+φ) = |A|cos(ω0n + φ) + j|A|sen(ω0n + φ) Por analogia com a correpondente função contínua, a ω0 chama-se frequência da sinusoide complexa e φ é a sua fase. Sinais e Sistemas – p.33/50 Luís Caldas de Oliveira Periodicidade Temporal No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem sempre é periódica. x(n) = x(n + N) |A|ej(ω0n+φ) = |A|ej(ω0(n+N)+φ) = |A|ej(ω0n+φ) ejω0N Só é periódica se: ω0N = 2πk ⇔ N = 2πk/ω0 Mas N tem de ser inteiro! Sinais e Sistemas – p.34/50 Luís Caldas de Oliveira Periodicidade em Frequência No caso discreto, as exponenciais complexas com frequência (ω0 + 2πr) são indistinguíveis entre si: |A|ej[(ω0+2πr)n+φ] = |A|ej(ω0n+φ) ej2πrn = |A|ej(ω0n+φ) Sinais e Sistemas – p.35/50 Luís Caldas de Oliveira Sistemas Os sistemas são funções que transformam sinais. Algumas operações relizadas por sistemas: armazenamento de sinais; codificação e descodificação; encriptação e desencriptação; realçar parte da informação do sinal; detecção de informação; controle de processos físicos; conversão de formatos; Sinais e Sistemas – p.36/50
  10. 10. Luís Caldas de Oliveira Espaço de Funções Sendo x um sinal cujo domínio é D e o contradomínio C: x : D → C Se o sistema S aceitar à sua entrada sinais do tipo x podemos dizer que o seu domínio é um espaço de funções ou espaço de sinais X a que x pertence. Representaremos o espaço de funções envolvendo em parenteses rectos o domínio e contradomínio dos sinais que ele representa: X = [D → C] Sinais e Sistemas – p.37/50 Luís Caldas de Oliveira Sistemas como Funções Um sistema faz o mapeamento de um espaço de sinais para outro espaço de sinais. Por exemplo, um microfone é um sistema que converte sinais acústicos em sinais eléctricos: S : [Tempo → Pressão] → [Tempo → Tensão] S Tempo Tensão Tempo Pressão Sinais e Sistemas – p.38/50 Luís Caldas de Oliveira Sistemas Contínuos e Discretos Um sistema de tempo contínuo é um sistema que tem como domínio e contra-domínio sinais em tempo contínuo: C : [ → ] → [ → ] Um sistema de tempo discreto é um sistema que tem como domínio e contra-domínio sinais em tempo discreto: D : [ → ] → [ → ] Sinais e Sistemas – p.39/50 Luís Caldas de Oliveira Associação em cascata Entrada Sistema 1 Sistema 2 Saída Sinais e Sistemas – p.40/50
  11. 11. Luís Caldas de Oliveira Associação em paralelo Entrada Sistema 1 Sistema 2 Saída Sinais e Sistemas – p.41/50 Luís Caldas de Oliveira Retroacção Saída Sistema 1 Sistema 2 Entrada Sinais e Sistemas – p.42/50 Luís Caldas de Oliveira Sistemas Com e Sem Memória Um sistema diz-se sem memória se a sua saída num dado instante só depender da entrada nesse instante. y(t) = x2 (t) – sem memória y(n) = x(n) + x(n − 1) – com memória y(n) = x(n) − y(n − 1) – com memória y(t) = t −∞ x(τ)dτ – com memória Sinais e Sistemas – p.43/50 Luís Caldas de Oliveira Sistema Inverso Um sistema é invertível se entradas distintas produzirem saídas distintas. Se um sistema é invertível pode-se encontrar um sistema inverso que ligado em cascata com o primeiro produza na sua saída a entrada original x(n)x(n) Sistema Inverso w(n) Sinais e Sistemas – p.44/50
  12. 12. Luís Caldas de Oliveira Causalidade Um sistema é causal se a saída num instante de tempo só depender de entradas presentes e passadas. y(t) = x(t − 1/2) – causal y(n) = x(n + 1) + x(n − 1) – não causal Todos os sistemas sem memória são causais. Sinais e Sistemas – p.45/50 Luís Caldas de Oliveira Estabilidade Um sistema é estável se todos os sinais de entrada limitados produzirem sinais de saída limitados: |x(n)| ≤ Bx < ∞ ∀n −−−−−−−−→ estabilidade |y(n)| ≤ By < ∞ ∀n Sinais e Sistemas – p.46/50 Luís Caldas de Oliveira Sistema Acumulador y(n) = n k=−∞ x(k) Se a entrada for o escalão unitário (x(n) = u(n) a saída será: y(n) = n k=−∞ x(k) = (n + 1)u(n) O sistema acumulador é instável: para uma entrada limi- tada produz uma saída que cresce indefinidamente. Sinais e Sistemas – p.47/50 Luís Caldas de Oliveira Invariância Temporal T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−−−−−→ invariante no tempo T{x(n − n0)} = y(n − n0) Exemplos: 1. y(t) = x(t − 2) – invariante 2. y(t) = x(2t) – variante 3. y(n) = sen(x(n)) – invariante 4. y(n) = nx(n) – variante Sinais e Sistemas – p.48/50
  13. 13. Luís Caldas de Oliveira Linearidade Propriedade da aditividade T{x1(n)} = y1(n) T{x2(n)} = y2(n) −−−−−−−→ aditividade T{x1(n) + x2(n)} = y1(n) + y2(n) Propriedade da homogeneidade T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−−→ homogeneidade T{ax(n)} = ay(n) em que a é uma constante arbitrária. Um sistema linear tem de verificar as propriedades da aditividade e da homogeneidade. Sinais e Sistemas – p.49/50 Luís Caldas de Oliveira Problema Quais dos seguintes sistemas são lineares? 1. y(t) = tx(t) – linear 2. y(t) = x2 (t) – não linear 3. y(n) = ℜ{x(n)} – linear 4. y(n) = 2x(n) + 3 – não linear Sinais e Sistemas – p.50/50

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