1) O documento descreve a modelagem e simulação de um gerador síncrono usando equações de Park no software Matlab/Simulink para analisar seu comportamento dinâmico. 2) É apresentada a teoria do gerador síncrono, incluindo suas equações matemáticas e o modelo de circuito equivalente. 3) A simulação analisa a resposta do gerador a mudanças no torque mecânico aplicado, mostrando valores de tensão, corrente e vel angular.

1. Modelagem e comportamento dinâmico de um gerador síncrono
Lourent de Sousa Freire
Bacharelado em Engenharia Elétrica,
Disciplina de Maquinas Elétricas II,
UFAC, Rio Branco, AC.
Abstract—This paper shows, through simulations using the
software Matlab/Simulink, the synchronous generator and how
to obtain the values of the synchronous generator electrical
operational parameters which are important data to perform
generator and electrical power system dynamic studies.
Index Terms—machines, parameters determination, Syn-
chronous, generator simulation
1. Introdução
Geradores síncronos ou alternadores são máquinas sín-
cronas utilizadas para converter potência mecânica em po-
tência elétrica CA. A energia mecânica é fornecida à má-
quina pela aplicação de um torque e pela rotação do eixo da
mesma. Uma vez estando o gerador ligado à rede elétrica, a
tensão aos seus terminais é ditada pela frequência de rotação
e pelo número de polos: a frequência da tensão trifásica da
máquina É um componente fundamental para um sistema
de energia elétrica, pois é neste estágio que gera-se toda
energia elétrica que percorre as linhas de transmissão até
chegar ao consumidor final. Neste artigo, será desenvolvida
a teoria referente a esta classe de máquinas síncronas e
será analisado os eu comportamento com base na simulação
computacional.
1.1. Objetivos
O objetivo é que sejamos capazes de observar o funci-
onamento e que possamos visualizar aspectos referentes a
este gerador ao longo do tempo utilizando a simulação no
MATLAB
1.1.1. Objetivos especificos. • Descrever as equações que
regem o gerador síncrono; • Simular os casos de entradas
especificadas; • Analisar a operação da máquina a partir dos
resultados das simulações.
1.2. Justificativa
Por sua vasta aplicação nos sistemas de potência, o
estudo deste gerador se faz importante para melhor com-
preender as características do seu funcionamento. Uma das
formas de realizar este estudo é através da modelagem e
simulação do gerador síncrono.
2. Marco teórico
2.1. Modelagem matemática do gerador sícrono
R. H. Park introduziu um novo método para análise de
máquinas síncronas. Seu procedimento consistia em trasn-
formar as variáveis do estator na estrutura de referência do
rotor, eliminando as dependência da posição nas indutâncias
variáveis e por conseguinte nas variáveis de tensão . As
equações de Park são obtidas através de :
vqd0s = −rsiqd0s + ωλdqs + pλqd0s (1)
v r
qdr = −rri r
qdr + pλ r
dqr (2)
Sendo a velocidade da referência arbitrária igual a ve-
locidade do rotor:
vr
qd0s = −rsir
qd0s + ωrλr
dqs + pλr
qd0s (3)
v r
qdr = −rri r
qdr + pλ r
dqr (4)
Como o sistema não é linear, podemos fazer θ = θr e
Ks se torna Kr
s. Segue que,
λr
qd0s
λ r
qdr
=
Kr
sLs(Kr
s)−1
Kr
sLsr
2
3 (Lsr)T
(Kr
s)−1
Lr
=
−ir
qd0s
i r
qdr
(5)
Com alguns arranjos trigonométricos:
Kr
sLs(Kr
s)−1
=


Lls + Lmq 0 0
0 Lls + Lmq 0
0 0 Lls

 (6)
Kr
sLsr =


Lmq Lmq 0 0
0 0 Lmd Lmd
0 0 0 0

 (7)
2
3
(Lsr)T
(Kr
s)−1
=



Lmq 0 0
Lmq 0 0
0 Lmd 0
0 Lmd 0


 (8)
Circuito equivalente qd
Reescrevendo as equações:

2. (a) Circuito equivalente do eixo d.
(b) Circuito equivalente do eixo q.
(c) Circuito equivalente do eixo 0.
Figura 1: Circuito equivalente da maquina síncrona resul-
tante da transformação de Park [1].
vr
qs = −rsir
qs + ωrλr
ds + pλr
qs (9)
vr
ds = −rsir
ds − ωrλr
qs + pλr
ds (10)
v0s = −rsi0s + pλ0s (11)
v r
kq1 = rkq1i r
kq1 + pλ r
kq1 (12)
v r
kq2 = rkq2i r
kq2 + pλ r
kq2 (13)
v r
fd = rfdi r
fd + pλ r
fd (14)
v r
kd = rkdi r
kd + pλ r
kd (15)
E os fluxos:
λr
qs = −Llsir
qs + Lmq(−ir
qs + i r
kq1 + i r
kq2) (16)
λr
ds = −Llsir
ds + Lmd(−ir
ds + i r
fd + i r
kd) (17)
λ0s = −Llsi0s (18)
λ r
kq1 = Llkq1i r
kq1 + Lmq(−ir
qs + i r
kq1 + i r
kq2) (19)
λ r
kq2 = Llkq2i r
kq2 + Lmq(−ir
qs + i r
kq1 + i r
kq2) (20)
λ r
fd = Llfdi r
fd + Lmd(−ir
ds + i r
fd + i r
kd) (21)
λ r
kd = Llkdi r
kd + Lmd(−ir
ds + i r
fd + i r
kd) (22)
Estas equações sugerem o modelo de circuito mostrado
na Fig. 1. Este circuito é a base para obtenção do diagrama
de blocos da máquina.
Da mesma forma, obtém-se uma expressão para o tor-
que, sendo
Te =
P
2
[(Kr
s)−1
ir
qd0s]T
−
1
2
∂
∂θr
[Ls − LlsI](Kr
s)−1
iqd0s
+
∂
∂θr
[Lsr]i r
qdr
(23)
Que após uma simplificação
Te =
3
2
P
2
(λr
dsir
qs − λr
qsir
ds) (24)
2.2. Metodologia
O equacionamento e a modelagem da máquina
encontram-se na seção 5.5 da referência [1]. As entradas
do sistema consideradas na simulação da maquinas são as
tensões de excitação do enrolamento de campo e o torque
mecânico aplicado ao eixo, sendo que esta última sofre
variações durante a análise. As tensões e corrente de fase
do estator, ângulo de potência,torque elétrico instantâneo,
potência ativa e reativa gerada são as saídas monitoradas. As
tensões de fase abc devem ser transformadas para o sistema
de referência qd0 ligado ao rotor, embora o ângulo θr,
aumente de acordo com o tempo cos θr(t) e θr(t) permane-
cerão limitados. Na simulação, cos θr(t) e θr(t) são obtidos
a partir de um circuito oscilador de frequência variável que
fornece o ajuste do valor inicial de θr. A transformação
de abc-qd0 pode ser realizada em duas etapas, sendo as
saídas primeira etapa as tensões do estator na estrutura de
refêrencia qd0, isto é:
v s
q =
2
3
Va −
1
3
Vb −
1
3
Vc (25)
v s
d =
1
√
3
(Va − Vb) (26)
v0 =
1
3
(Va + Vb + Vc) (27)
O segundo passo produz:

3. Figura 2: Reunindo as equações 25, 26 e 27
Figura 3: Eixo q implementado
Figura 4: Eixo d implementado
vq = vs
q cos θr(t) − vs
d sin θr(t) (28)
vd = vs
q sin θr(t) + vs
d cos θr(t) (29)
onde
θr(t) =
t
0
ωr(t) dt + θr(0) (30)
Expressando estas equações de tensão qd0 como equa-
ções integrais das ligações de fluxo dos enrolamentos às
tensões de estator acima, juntamente com outras entradas
podem então ser usadas nas equações integrais para resolver
as ligações de fluxo dos enrolamentos. Para o caso de uma
máquina com apenas um enrolamento de campo no eixo de
um enrolamento de amortecimento no eixo q nos eixos dq,
as equações integrais das ligações de fluxo são as seguintes:
ψr
qs =
ωb
p
vr
qs −
ωr
ωb
ψr
ds +
rs
Xls
(ψr
mq − ψr
qs) (31)
ψr
ds =
ωb
p
vr
ds +
ωr
ωb
ψr
qs +
rs
Xls
(ψr
md − ψr
ds) (32)
ψ0s =
ωb
p
v0s −
rs
Xls
ψ0s (33)
ψ r
kq1 =
ωb
p
v r
kq1 +
rkq1
Xlkq1
(ψr
mq − ψ r
kq1) (34)
ψ r
kq2 =
ωb
p
v r
kq2 +
rkq2
Xlkq2
(ψr
mq − ψ r
kq2) (35)
ψ r
fd =
ωb
p
rfd
Xmd
e r
xfd +
rfd
Xlfd
(ψr
md − ψ r
fd) (36)
ψ r
kd =
ωb
p
v r
kd +
rkd
Xlkd
(ψr
md − ψ r
kd) (37)
Tendo os valores das equações de fluxo dos enrolamen-
tos e das ligações de fluxo mutuo ao longo dos eixos de iq
podemos determinar as correntes de enrolamento usando:
ir
qs = −
1
Xls
(ψr
qs − ψr
mq) (38)
ir
ds = −
1
Xls
(ψr
ds − ψr
md) (39)
i0s = −
1
Xls
ψ0s (40)
i r
kq1 = −
1
Xlkq1
(ψ r
kq1 − ψr
mq) (41)
i r
kq2 = −
1
Xlkq2
(ψ r
kq2 − ψr
mq) (42)
i r
fd = −
1
Xlfd
(ψ r
fd − ψr
md) (43)
i r
kd = −
1
Xlkd
(ψ r
kd − ψr
md) (44)
Nas equações acima temos
ψr
mq = Xaq
ψr
qs
Xls
+
ψ r
kq1
Xlkq1
+
ψ r
kq2
Xlkq2
(45)
ψr
md = Xad
ψr
ds
Xls
+
ψ r
fd
Xlfd
+
ψ r
kd
Xlkd
(46)
Xaq =
1
Xmq
+
1
Xls
+
1
Xlkq1
+
1
Xlkq2
−1
(47)
Xad =
1
Xmd
+
1
Xls
+
1
Xlfd
+
1
Xlkd
−1
(48)

4. Figura 5: Torque desenvolvido, Velocidade angular e deslo-
camento angular
Figura 6: Transformação qd0-abc
As correntes do enrolamento do estator qd podem ser
transformadas de volta para as correntes de enrolamento abc
usando a transformação qd0-abc.
Por fim, de acordo com [2], são necessarias mais duas
equações
ωr = −
P
2J
1
p
(Te − TI) (49)
δ =
P
2J
1
p2
(Te − TI) (50)
em que TI é o torque de entrada no eixo do gerador, J
é a inércia do rotor e δ é o ângulo da máquina.
3. Resultados da simulação
3.1. Parâmetros do gerador
Os parâmetros usados na simulação estão apresentados
no quadro da Figura 7:
3.2. Análise em regime permanente do gerador
As características do regime permanente são obtidas
através dos parâmetros contidos na Figura 7. Temos que:
|S| = 3.|Vas|.|Ias| (51)
Onde:
|Ias| =
|S|
3.|Vas|
=
|325.106
|
(3.20.103)/
√
3
= 9, 37kA
Figura 7: Parâmetros do gerador
Tendo em vista que sob condições normais de operação
o gerador síncrono deve fornecer potência reativa Temos
que:
Ea = Vas + (rs + j
ωe
ωb
.Xq).Ias (52)
= 15, 2/18o
δ = 18o
Da teoria temos que:
Ir
ds = −
√
2.Is.sen[θei(0) − θev(0) − δ] (53)
= 10, 12kA
E r
xfd =
ωe
ωb
.[
√
2.|Ea| +
ωe
ωb
.(Xd − Xq).Ids] (54)
= 26, 1kV
Finalizando temos que:
Te = (
3
2
).(
P
2
).(
1
ωb
).[
E r
xfd.
√
2.|Vas|
(ωe/ωb).Xd
.sen(δ) (55)
Te = 23, 4x106
N.m
3.3. Comportamento dinâmico mediante mudança
abrupta no torque
Na Figura 8 é mostrado o torque mecânico aplocado
ao eixo do gerador;nas figuras 9 e 10 é apresentado com
comportamento dinâmico em resposta a esta entrada de
torque. Nesta simulação, o gerador foi conectado a um
barramento infinito, ou seja, sua tensão terminal poussui
magnitude e frequência constante. Inicialmente operamos
com torque de entrada igual 1.2 vezes o torque norminal
mantendo-se a excitação fixa. Neste intervalo, temos as
mais elevadas magnitudes de corrente no estator e potência
ativa gerada, coerente com o fato deste ser o período em
que o ângulo de potência atinge seus maiores valores. Em

5. t=1s o torque mecânico cai para 30 por cento do seu valor
nominal; a demanda por potência útil no eixo decresce, e
como a tensão terminal tem magnitude constante, o ângulo
de potência diminui juntamente com a corrente no estator
e a máquina passa a fornecer mais potência reativa. Em
t=2s e t=3s são verificados aumento de demanda de potência
últil a máquina, fazendo com que ocorra nesses instantes,
novamente, acréscimo nos valores de corrente de armadura,
ângulo de potência e potência útil gerada.A partir de t=5s a
máquina entra em regime permanente.
Figura 8: Torque aplicado
Figura 9: Variação dos parâmetros
4. Conclusão
Neste trabalho, foi possível observar o funcionamento
de um gerador síncrono. A teoria trouxe a base para a
modelagem matemática do sistema. Com este modelo em
mãos conseguiu-se ter um retrato mais aprofundado funci-
onamento deste tipo de máquina, conhecendo a variação ao
Figura 10: Variação dos parâmetros
longo do tempo de suas variáveis internas e como elas se
interrelacionam. Além disso, a análise do comportamento
dinâmico permite quantificar os impactos das variações na
entrada de torque no eixo sobre os valores de corrente de
armadura e ângulo de potência entregues pela máquina ao
sistema elétrico ao qual ela está conectada. Pode-se verificar
portanto, que o comportamento da simulação condiz com o
que foi visto na teoria. Por se tratar de um modelo é natural
que a simulação apresente algumas diferenças em relação
à máquina real, no entanto estas diferenças tornam-se des-
prezíveis. Por fim, pode-se concluir que o objetivo traçado
no inicio deste trabalho foi atingido, tendo a modelagem
sido realizada e os gráficos obtidos em cada uma das saídas
analisadas condizem com o esperado para um gerador com
estas características.
5. Referências
[1] C. Ong, Dyamic Simulation of Electric Machinery
using MA- TLAB/Simulink. Upper Saddle River, NJ: Pren-
tice Hall PTR, 1997. [2] P. C. Krause, O. Wasynczuk, and
S. D. Sudhoff, Analysis of Electric Machinery and Drive
Systems. Danvers, MA: Wiley, 2002. [3] S. J. Chapman,
Fundamentos de máquinas elétricas. Porto Alegre: McGraw
Hill, 2013. [4] A. E. Fitzgerald, C. Kingsley, and S. D.
Umans, Electric Machinery. New York, NY: McGraw Hill,
2003.