[1] A característica de uma matriz representa o número máximo de linhas linearmente independentes. [2] O processo de condensação usa operações elementares para dar à matriz uma forma triangular, revelando sua característica. [3] Exemplos mostram como calcular a característica de diferentes matrizes usando condensação.

1. numerosnamente 1
Característica de uma Matriz
- Dá-se o nome de característica de uma matriz A, ao número máximo de filas (linhas ou
colunas) linearmente independentes que existem nessa matriz. Representa-se por C(A).
Nas matrizes triangulares, o número de filas (linhas ou colunas) paralelas linearmente
independentes (a característica) é igual ao número de elementos da diagonal principal
diferentes de zero, pode partir-se deste facto para calcular a característica de uma matriz.
Quando se faz a Condensação de uma matriz vamos ter um processo que consiste em dar à
matriz, através de operações elementares, uma forma em que figure nela uma matriz
triangular (superior ou inferior) da maior ordem possível com elementos principais não nulos.
Operações elementares
Chamam-se operações elementares, efectuadas sobre uma matriz, ao conjunto de operações
ou transformações que não alterem a dependência ou independência das linhas ou colunas
(portanto, não alteram a característica da matriz).
Algumas operações elementares são:
a) Troca entre si de duas filas paralelas (colunas paralelas ou linhas paralelas) de uma matriz;
b) Multiplicação ou divisão de qualquer fila por uma constante diferente de zero;
c) Soma dos elementos homólogos de filas paralelas depois de multiplicados por factores
constantes diferentes de zero.
Processo de condensação
O processo de condensação é constituído por várias fases – reduções – onde se vão anulando
os elementos abaixo e/ou acima da diagonal principal da matriz quadrada inicial ou de uma
submatriz quadrada da maior ordem possível (caso a matriz inicial seja rectangular). Vamos
atingir como resultado uma matriz triangular. O processo de condensação pode ser vertical ou
horizontal.
Como numa matriz, o número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número
máximo de colunas linearmente independentes, a característica de uma matriz pode calcular-
se tanto por linhas como por colunas.
Na prática é indiferente efectuar condensação vertical (na qual se reduzem a zero elementos
situados na mesma coluna que o redutor) ou condensação horizontal (em que os elementos a
anular, estão na mesma linha que o redutor) para determinar a característica de uma matriz.
O objectivo a atingir (usando apenas operações elementares) é dar à matriz uma forma em
que figure uma matriz ou submatriz triangular de elementos principais não nulos e da maior
ordem possível. Vamos exemplificar a condensação vertical.
NOTA: Numa matriz se tivermos um ou vários parâmetros, deve-se procurar, por troca de
linhas ou por troca de colunas, levar o parâmetro ou parâmetros a figurar o mais possível à
direita, e em baixo na matriz (canto inferior direito). Também convém que nos elementos
redutores não figurem o parâmetro(s).

2. numerosnamente 2
Exemplo 1:
Considere-se a matriz ( ). Calcule a sua característica.
Vamos usar o método da condensação na matriz dada:
é o elemento redutor:
Temos que tornar nulo, tem-se que multiplicar a 1ª linha por -4 e somar à 2ª linha.
Para tornar nulo, basta multiplicar a 1ª linha por 2 e somar à 3ª linha ;
( ) ( )…já temos
Convém ter para elemento redutor , um elemento de menor valor (1 ou -1 é o ideal pois
facilita as operações). Assim basta trocar a 2ª coluna pela 3ª coluna:
( ) ( )…o elemento redutor é ; Vamos tornar o elemento
nulo. Basta multiplicar a 2ª linha por 1 e somar à 3ª linha:
( )…a condensação está completa pois temos uma matriz triangular. A matriz
dada A é equivalente à matriz triangular obtida.
Numa matriz triangular os elementos da diagonal principal são diferentes de zero, logo todas
as filas são independentes e como a característica de uma matriz é sempre igual ao número de
filas (linhas ou colunas) independentes, então C(A)=3
Exemplo 2:
Considere a matriz ( ). Calcule a característica da matriz
Usando o método da condensação:
( ) O elemento redutor é tornar e nulos:
( ) ( )…vamos trocar a 2ª coluna pela 3ª coluna para se ter
( ) O elemento redutor é e tem-se de tornar nulo:

3. numerosnamente 3
( ) Temos uma linha só com zeros. As linhas da matriz são linearmente
dependentes. A característica de é 3 ( a submatriz de maior ordem é uma matriz de ordem
3. As três primeiras linhas são linearmente independentes.
Exemplo 3:
Considere a matriz ( ). Calcule a característica da matriz .
Sendo o elemento redutor ; Vamos tornar , nulos:
( ) ( ) O elemento redutor , vamos tornar
e , nulos:
( ) ( ) A submatriz de maior ordem é de 2ª ordem. A
característica da matriz é 2, pois temos 2 linhas linearmente independentes.
Exemplo 4:
Considere a matriz ( ) Determine a sua característica.
-elemento redutor; tornar , nulos:
( ) ( ) O elemento redutor é
Tornar , nulos:
( ) Se  e temos:
( ) característica da matriz é 2;

4. numerosnamente 4
Se e , temos:
( ) A característica da matriz é 3;
Se e , temos:
( ) A característica da matriz é 3;
Se e , temos:
( ) A característica da matriz é 4
Exemplo 5:
Considere a matriz ( ). Determine de modo que a característica da
matriz seja 2.
Elemento redutor = ; Tornar , nulos:
( ) Convém ter como redutor um número e não um parâmetro. Assim
troca-se a 2ª coluna pela 3ª coluna:
( ) Elemento redutor = ; Tornar , nulos:
( ) Se , temos:
( ) a característica da matriz é 2
Se a característica da matriz é 4.