9 séries de números reais

Análise Matemática I

Séries de Números Reais

Joana Peres

MIEQ – 2009/2010

FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 1

Introdução às séries de números reais
Uma série (infinita) de números reais é a soma de todos os (infinitos) termos
de uma sucessão (ou sequência) de números reais, de termo geral {an}:
def ∞
Definição a1 + a2 + a3 + ≡ ∑ ar
r =1

Será que esta série infinita tem um valor numérico?
sucessão das somas parciais {Sn}, associada à sucessão de números reais
{an}, definida através de:

def def n
Definição S n ≡ a1 + a2 + + an ≡ ∑ ar
r =1

Algumas das somas parciais associadas à sucessão {an}:
S1 = a1
S 2 = a1 + a2
S 3 = a1 + a2 + a3

S n = a1 + a2 + + an

Séries convergentes e divergentes

A sucessão de termo geral {an} diz-se somável se e só se a correspondente
sucessão das somas parciais {Sn} for convergente para um número real qualquer
S quando n tender para infinito:

Definição
def n def ∞
{an }somável ⇔ ∃S ∈ IR : lim S n = lim ∑ ar ≡ ∑ ar = S
n→∞ n→∞
r =1 r =1

∞
Se o limite existir a série ∑ ar é convergente para S
r =1

∞
Se o limite não existir a série ∑ ar é divergente
r =1


Propriedades mais importantes das séries de números reais
∞ ∞ ∞
Teorema ∑ ar = S∧ ∑ br = T ⇒ ∑ ( ar + br ) = S + T
r =1 r =1 r =1
∞ ∞
∑ ar = S ⇒ ∑ c ar = c S , ∀c ∈ IR
r =1 r =1

O 2º teorema é um teste de divergência que deve sempre ser aplicado a
qualquer série antes de utilizar qualquer outro teste de convergência:

Teorema (Condição necessária de convergência, ou teste de divergência)
∞
∑ ar converge ⇒ lim an = 0
n →∞
r =1

∞
Demonstração: ∑ ar = S ⇒ lim an = lim ( S n − S n −1 ) =
n →∞ n →∞
r =1
= lim S n − lim S n −1 = S − S = 0
n→∞ n→∞

∞
Conclui-se do Teorema que: lim an ≠ 0 ⇒
n→∞
∑ ar diverge
r =1



Exemplos de aplicação do teste de divergência
∞ ∞
r
∑ r +1 ∑ ( −1) r r 2
r =1 r =1

Observação importante: ∞
Se lim an = 0 então a série
n →∞
∑ ar pode convergir ou divergir
r =1

Exemplo: A série chamada série harmónica

∞ 1
1 1 1 1
∑ r
=1+
2
+
3
+
4
+ é uma série divergente, embora o lim
n→∞ n
=0
r =1

Contudo, a série harmónica diverge com extrema lentidão:
Sn ≥ 5 ⇒ n = 83
Sn ≥ 10 ⇒ n = 12 367
Sn ≥ 100 ⇒ n ≈ 1043

∞ ∞
Teorema ∑ ar = S ⇔ ∑ ar = S + a0 , desde que a0 ∈ IR
r =1 r =0

Redefinição da soma parcial Sn de forma a incluir o termo a0

def def n
Definição S n ≡ a0 + a1 + + an ≡ ∑ ar
r =0

A soma parcial Sn é sempre definida como sendo a soma de todos os termos da
sucessão {an} até ao termo an
independentemente de o 1º termo da sucessão ser a0, a1, a2 ou outro
termo qualquer.
Generalização do teorema:
Inserir ou remover um número finito de termos numa série convergente não
altera a convergência da nova série assim obtida
que convergirá para um valor diferente daquele para que converge a
série original.
Inserir ou remover um número finito de termos numa série divergente
não altera a divergência da nova série assim obtida.

Estudo de séries directamente a partir da definição
A aplicação directa da definição de série convergente Exprimir Sn sob a “forma fechada”
Séries telescópicas (ou de Mengoli)
são séries cujo termo geral ar pode ser escrito como uma diferença
de dois termos de outra sucessão {br}, em que a “distância” entre esses
dois termos (isto é, a diferença dos seus índices) é constante, ou seja:
ar = br + k − br ou ar = br − br + k com k ∈ IN

Exemplo em q a r = b r +1 − b r e a série “começa em r = 1”
p que ç
def n n n n
Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br +1 − br ) = ∑ br +1 − ∑ br =
r =1 r =1 r =1 r =1

= ( b2 + b3 + + bn −1 + bn + bn +1 ) − ( b1 + b2 + b3 + + bn −1 + bn ) =
= bn +1 − b1
def
então S ≡ lim S n = ( lim bn +1 ) − b1 = ( lim bn ) − b1
n →∞ n →∞ n →∞

Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn
n →∞

Séries telescópicas (ou de Mengoli)

Exemplo em que ar = br − br + 2 e a série “começa em r = 0”
def n n n n
Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br − br + 2 ) = ∑ br − ∑ br + 2 =
r =0 r =0 r =0 r =0

= ( b0 + b1 + b2 + b3 + + bn ) − ( b2 + b3 + + bn + bn +1 + bn + 2 ) =

= b0 + b1 − (bn +1 + bn + 2 )

então
tã
def
S ≡ lim S n = b0 + b1 − lim (bn +1 + bn + 2 ) = b0 + b1 − 2 lim bn
n →∞ n →∞ n →∞

Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn
n→∞

Exemplo ∞
Estudar a convergência da série ∑ ( 21 r +1
− 21 r
)
telescópica r =1



Séries geométricas

Uma série é uma série geométrica se cada termo depois do
primeiro for um múltiplo fixo do termo precedente, isto é, se

ar +1 = k ar , ∀r ≥ 0

O número k chama-se razão da série geométrica.

Uma série geométrica é a série que está associada a uma
“progressão” geométrica do tipo:
progressão

a 0 , a0 k , a0 k 2 , a0 k 3 ,

Representando o termo inicial da série geométrica por a0, vem que:
∞
∑ a 0 k r = a0 + a 0 k + a 0 k 2 + a0 k 3 + , com a0 , k ∈ IR
r =0


Obtenção da “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n:

Caso em que k = 1

k = 1 ⇒ S n = a0 + a0 + a 0 + + a0 = ( n + 1) a0 ⇒

⇒ lim S n = lim ( n + 1) a0 = ± ∞ ⇒ a série é divergente
n→∞ n→∞

k = −1 ⇒ {S n } = {a0 , 0, a0 , 0, a0 , }⇒
⇒ lim S n não existe e portanto a série é divergente
existe,
n →∞

Caso em que k ≠ 1
n
S n = ∑ a 0 k r = a 0 + a0 k + + a0 k n
r =0

kS n = a0 k + a0 k 2 + + a0 k n + a0 k n +1

a0
S n − k S n = a 0 − a0 k n +1
⇒ S n (1 − k ) = a0 (1 − k n +1
) ⇒ Sn = (1 − k n +1 )
1− k


A “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n quando k ≠ 1
a0
Sn = (1 − k n +1 )
1− k

Aplicando a definição de série convergente, conclui-se o seguinte:

Se k > 1, lim k n +1 não existe ⇒ lim S n não existe, e a série é divergente
n →∞ n →∞

S k < 1, lim k n +1 = 0 ⇒ lim S n = a0 , e a série converge:
Se éi
n→∞ n→∞ 1− k

∞
a0
∑ a0 k r =
1− k
, sse k < 1
r =0

∞ r ∞ r ∞ r
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ e⎞
Exemplos ∑ ⎜ ⎟
⎝π ⎠
∑ ⎜ ⎟
⎝π ⎠
∑ ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
r =0 r =1 r =0


Exemplo de aplicação:
Racionalizar na forma irredutível a dízima periódica infinita 0.33333 ......

Exemplo de aplicação:

Diz-se que uma bola elástica tem um coeficiente de restituição r, com
0 < r < 1, se a bola ressaltar até à altura rh depois de ter sido deixada
cair da altura h.

Supondo que a b l é d i d cair d
S d bola deixada i de
uma altura inicial a (ver figura junta) e
depois ressalta infinitas vezes até parar,
mostre que a distância total percorrida
pela bola é finita, sendo dada por:
1+ r
D=a
1− r


Séries de termos não-negativos
Se o termo geral de uma série for não-negativo, a correspondente
sucessão das somas parciais é obrigatoriamente crescente:

an ≥ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≥ 0 ⇔ S n ≥ S n −1 ⇔ {S n } é crescente

Existem apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:

1ª hipótese: {Sn} é crescente e limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar converge para sup {Sn}
r =1

2ª hipótese: {Sn} é crescente mas não-limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar diverge para ∞
r =1



Não existe nenhum teste universal de convergência para séries de termos
não-negativos;
No entanto existem vários testes de convergência que, sem serem
universais, permitem resolver o problema da convergência das séries de
termos não-negativos na maior parte dos casos de interesse prático.

Desses testes, vamos estudar apenas os cinco mais importantes:

1. Teste de comparação directa

2. Forma limite do teste de comparação

3. Teste da razão (ou de d'Alembert)

4. Teste da raíz

5. Teste do integral (ou de Cauchy)


O teste de comparação directa pode ser utilizado para mostrar a
convergência ou a divergência de séries de termos não-negativos:
Teorema (Teste de comparação directa)
Suponhamos que 0 ≤ ar ≤ br , ∀r ≥ r * então:
∞ ∞
∑ br converge ⇒ ∑ ar também converge
r =1 r =1

∞ ∞
∑ ar diverge ⇒ ∑ br também diverge
r =1 r =1

Estes resultados são igualmente válidos se as duas séries “começarem
em r = 0”, ou em qualquer número inteiro positivo.
Se se pretender testar convergência utiliza-se br (o termo “maior”) como
termo de comparação
Se se pretender testar divergência utiliza-se ar (o termo “menor”) como
termo de comparação
∞ ∞
Se 0 ≤ ar ≤ br e ∑ br divergir ou ∑ ar convergir
r =1 r =1
nada se pode concluir acerca da outra série

Teste de comparação directa
Exemplo

Utilize o teste de comparação directa para mostrar que a série
∞
sen 2 r
∑ 2r + r 2
r =1

é convergente.


Forma limite do teste de comparação
Teorema (Forma limite do teste de comparação)
ar
Suponhamos que ar > 0 e br > 0, ∀r ≥ r * e seja L = lim então:
r →∞ br
∞ ∞
L>0 ⇒ ∑ br e ∑ ar convergem ambas ou
divergem ambas
r =1 r =1
∞ ∞
L=0 e ∑ br convergir ⇒ ∑ ar também converge
r =1 r =1
∞ ∞
L=0 e ∑ br d eg
divergir ⇒ ∑ ar também diverge
r =1 r =1

Neste caso fazemos uma comparação indirecta entre duas séries, isto é,
utilizamos o cálculo do limite L para fazer a comparação entre duas séries.

A série de termo geral ar é aquela cuja convergência estamos a estudar, e
a série de termo geral br é uma série conhecida, que é usada como termo de
comparação
Escolha de br : inspeccionar o termo geral ar da série que estamos a estudar,
e verificar qual é a “parte dominante” de ar quando r se torna muito grande.

Forma limite do teste de comparação
Exemplo

Utilize a forma limite do teste de comparação para mostrar que a série
∞
5
∑ 3r − 1
r =1

é convergente.


Teste da razão (ou de D’Alembert)
Teorema (Teste da razão, ou de D’Alembert)

Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então:
r →∞ a
r
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge
r =1

∞
ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge
r =1

ρ = 1 este teste é inconclusivo, excepto se ar +1 > ar , ∀r ≥ r
**

caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0
→∞

O teste da razão é, em geral, o teste mais indicado para séries cujo termo
geral inclua factoriais.

Definição de factorial
def
+
( r + 1)! ≡ ( r + 1) r! , ∀r ∈ Z 0
def
0! ≡ 1

Teste da razão (ou de D’Alembert)
Exemplo

Utilize o teste da razão para estudar a convergência da série
∞
rr
∑ r!
r =1


Teste da raiz
Teorema (Teste da raiz)

Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então:
r →∞
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge
r =1

∞
r =1

ρ = 1 este teste é i
t t t inconclusivo, excepto se
l i t r ar > 1 , ∀r ≥ r **
caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0
→∞

O teste da razão e o teste da raiz estão intimamente relacionados, como
se pode concluir do seguinte teorema:

Teorema ar +1
lim = ρ ⇒ lim r ar = ρ
r →∞ ar r →∞

É aconselhável começar por tentar utilizar o teste da razão, por ser o mais
fácil de aplicar.


Exemplo

Estude a convergência da série
∞
r
∑ 5r
r =1

pelo teste da razão e pelo teste da raiz.


Teste do integral (ou de Cauchy)

O teste do integral permite relacionar a convergência de séries de termos
positivos com a convergência de integrais impróprios do 1º tipo:

Teorema (Teste do integral, ou de Cauchy)
Suponhamos que ar > 0 e ar +1 < ar , ∀r ≥ r * e seja, f (x) uma função positiva,
decrescente e integrável em [1, ∞ [, tal que f ( x) = ar , ∀r ∈ IN então:
∞ ∞
∑ ar converge sse ∫1 f ( x) dx convergir
r =1

Generalizando, se a série não “começar em r = 1”, vem:
∞ ∞
∑ ar converge sse ∫k f ( x) dx convergir +
∀k ∈ Z 0
r =k


Para demonstrar este teorema, comecemos por mostrar que o integral
impróprio do 1º tipo pode sempre ser escrito como uma série infinita de
números reais:
∞
= ∑⎛∫ f ( x ) dx ⎞
∞ 2 3 r +1
∫1 f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx +
1 2
⎜ r
r =1 ⎝
⎟
⎠
r +1 r +1
f ( r + 1) < ∫ f ( x) dx < f ( r ) ⇔ ar +1 < ∫ f ( x ) dx < ar
r r

Aplicando o teste de comparação àquela
dupla desigualdade, conclui-se que
∞
a série ∑ ar e o integral
∞

r =1
∫1 f ( x ) dx

ou convergem ambos ou divergem ambos


Exemplo

Utilize o teste do integral para estudar a convergência das séries

∞ ∞
1 1
∑ r
∑ r2
r =1 r =1


As séries dos “pp” (ou de Riemann) são frequentemente utilizadas como
termo de comparação ao estudar a convergência de outras séries.
∞
1 1 1
Definição ∑ rp
=1+ p + p +
2 3
, com p ∈ IR
r =1

1
Se p ≤ 0 ⇒ lim p
≠ 0 ⇒ que a série diverge
r →∞ r
1
Se p > 0 ⇒ lim p
= 0 ⇒ que a série pode convergir ou
r →∞ r divergir
1
Aplicando directamente o teste do integral, com f ( x) = definida em [1, ∞ [:
rp
∞
Como o ∫1 f ( x) dx converge sse p > 1, concluímos pelo teste do integral que:

A série dos “pp” (ou de Riemann) converge sse p > 1

∞
1 1 1 1
Se p = 1, temos a série harmónica ∑ r
=1+
2
+
3
+
4
+ que diverge.
r =1


Estimativa do resto a partir do teste do integral
Definição de resto de ordem n duma série convergente para S
def ∞
Rn ≡ S − S n = an +1 + an+ 2 + = ∑ ar
r = n +1

Se o teste do integral puder ser aplicado a esta série convergente, não
é difícil obter uma estimativa do resto Rn. De facto, como vimos acima:

r +1 r
ar +1 < ∫ f ( x) dx < ar ∧ ar < ∫ f ( x) dx < ar −1 ⇒
r r −1

r +1 ∞ r +1 ∞ ∞
∑ ∫r ∑ ar < ∑ ∫r −1 f ( x)
r r
∫r f ( x) dx < ar < ∫r −1 f ( x) dx ⇒
r = n +1
f ( x ) dx <
r = n +1 r = n +1
dx ⇒

∞ ∞
∫n+1 f ( x) dx < Rn < ∫n f ( x) dx estimativa do resto Rn

∞ ∞
Sn + ∫n+1 f ( x) dx < S < S n + ∫n f ( x ) dx estimativa da soma da série


Estimativa do resto a partir do teste do integral
Exemplo

Calcular a soma da série dos “pp”
∞
1
∑ r3
r =1

com erro inferior a 0.005.


Séries de termos não-positivos
Se o termo geral de uma série for não-positivo, a correspondente
sucessão das somas parciais é obrigatoriamente decrescente:

an ≤ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≤ 0 ⇔ S n ≤ S n −1 ⇔ {S n } é decrescente

Temos então apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:

1ª hipótese: {Sn} é decrescente e limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar converge para inf {Sn}
r =1

2ª hipótese: {Sn} é decrescente mas não-limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar diverge para -∞
r =1

∞ ∞
Como ∑ ar ≡ − ∑ ( − ar ) , se a série de termos não-negativos convergir
r =1 r =1 para S, a correspondente série de termos não-
positivos (isto é, a série simétrica da série
dada) converge obrigatoriamente para - S

Séries alternadas
Séries alternadas são séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos
são particularmente importantes nas aplicações práticas.
Os testes de convergência que estudámos atrás para séries de termos não-negativos não
podem ser aplicados directamente a estas séries
é necessário recorrer a outro teorema para estudar a convergência destas séries.
Teorema (Teste das séries alternadas, ou de Leibniz)
Seja { ar } uma sucessão de termos positivos tais que:
( i ) ar +1 < ar , ∀r ≥ r *
( ii ) lim ar = 0
r →∞
então as duas séries alternadas associadas a { ar }
∞
∑ (−1) r +1 ar = a1 − a2 + a3 −
r =1
∞
e
∑ (−1) r ar = −a1 + a2 − a3 +
r =1
são ambas convergentes.

Se a 1ª condição não for satisfeita, a série alternada pode convergir ou divergir.
Se a 2ª condição não for satisfeita, podemos concluir que a série alternada
em causa é obrigatoriamente divergente.

Séries alternadas

Exemplo

Estude a convergência da série harmónica alternada

∞
( −1) r +1
∑ r
r =1

e da série alternada

∞
( −1) r +1 ( r + 3)
∑ r +1
r =1


Estimativa do resto de séries alternadas convergentes

Resto de ordem n
def ∞ def ∞
Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r +1
ar ou Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r ar
r = n +1 r = n +1

Para uma série alternada convergente
é sempre possível obter uma estimativa tão precisa quanto se quiser
do valor absoluto de Rn e/ou da soma da série:

Teorema
O valor absoluto do resto de ordem n de uma série alternada convergente é
menor do que o valor absoluto do primeiro termo “desprezado” no cálculo
de Sn :
0 < Rn < an +1


Séries alternadas

r ar Sn
Exemplo
1 1 1
2 0.5 0.5
Calcular a soma da série harmónica alternada
3 0.333333 0.83333333
∞
( −1) r +1
4 0.25 0.58333333

∑ r
5 0.2 0.78333333
r =1 6 0.166667 0.61666667
7 0.142857 0.75952381
com erro inferior a 0.1.
8 0.125 0.63452381
9 0.111111 0.74563492
10 0.1 0.64563492

Quando estudarmos a representação
de funções por meio de séries de
potências:

∞
( −1) r +1
∑ r
= ln 2 = 0.6931471805 .....
r =1


Séries de termos positivos e negativos
∞ ∞
∑ ar ∑ ar
r =1 r =1

série dos valores
absolutos
Se ar ≥ 0, as duas séries são coincidentes.
Se ar ≤ 0, as duas séries são simétricas.
∞
Se ∑ ar for uma série de termos positivos e negativos, a
correspondente série dos valores absolutos será uma
r =1
série completamente distinta da série original.

Convergência absoluta e convergência condicional

Como |ar |≥ 0, ∀r, a convergência da série dos valores absolutos pode sempre
ser analisada recorrendo aos cinco testes de convergência atrás estudados.

Teorema (Teste da convergência absoluta)
∞ ∞
Se ∑ ar converge ⇒ ∑ ar converge
r =1 r =1


Podemos classificar as séries de termos positivos e negativos da
seguinte forma:
∞ ∞
∑ ar ∑ ar Tipo de convergência
r =1 r =1
absolutamente
convergente convergente
convergente
condicionalmente
convergente divergente
convergente

divergente divergente divergente

Para séries de termos positivos e negativos, os conceitos de “absolutamente
convergente”, “condicionalmente convergente” e “divergente”, são mutuamente
exclusivos: apenas uma destas três possibilidades poderá ser verdadeira.

Qualquer série convergente de termos não-negativos pode gerar infinitas
séries de termos positivos e negativos que são absolutamente convergentes:
basta para tal inserir sinais “menos” à sorte em qualquer ponto da série dada.


Testes de convergência absoluta
Teorema (Teste da razão para convergência absoluta)

Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então:
r →∞ ar
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente
r =1
∞
r =1

ρ = 1 este teste é inconclusivo

Teorema (Teste da raiz para convergência absoluta)

Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então:
r →∞
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente
r =1
∞
r =1

ρ = 1 este teste é inconclusivo



Exemplo

Analise a convergência da série

∞
( −1) r 2 r
∑ r!
r =1


Rearranjo dos termos de uma série

Definição
Uma sucessão de números reais {bn} diz-se um rearranjo de uma outra
sucessão {an}, quando a sucessão {bn} contiver todos os termos da sucessão
original {an}, mas colocados por uma ordem diferente.

Ao rearranjarmos a sucessão {an}, transformando-a na sucessão {bn},
∞
também a correspondente série ∑ ar será rearranjada, transformando-se
∞
numa nova série ∑ br r =1

r =1

Em princípio, se as duas séries forem ambas convergentes, elas poderão
convergir para valores diferentes, pois por definição tem-se que:

∞ def def ∞ def def
∑ ar ≡ lim S n ≡ lim ( a1 + a2 +
n →∞ n →∞
+ an ) ∑ br ≡ lim S n ≡ lim ( b1 + b2 +
n→∞ n→∞
+ bn )
r =1 r =1

Nada nos garante que estes dois limites sejam iguais.


Testes de convergência absoluta
As séries absolutamente convergentes e as condicionalmente convergentes têm
um comportamento distinto no que concerne ao rearranjo dos seus termos:

Teorema (Rearranjo das séries absolutamente convergentes)
∞
Se série ∑ ar for absolutamente convergente para S, e se {bn} for um rearranjo
r =1
∞
qualquer de {an}, a série ∑ br também é absolutamente convergente para S.
r =1

Ou seja, podemos alterar à vontade a ordem dos termos de uma série
absolutamente convergente, pois este t
b l t t t i t teorema garante-nos que ela continua a
t l ti
ser absolutamente convergente para o mesmo número.

Teorema (Rearranjo das séries condicionalmente convergentes)
∞
Se série ∑ ar for condicionalmente convergente para S, existe um rearranjo
r =1 ∞
{bn} de {an}, tal que a série ∑ br converge para T, ∀T ∈ IR.
r =1

Neste caso, portanto, já não é válido alterar a ordem dos termos da série,
pois se o fizermos ela poderá convergir para um valor diferente (ou até divergir!).

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