Este documento fornece uma introdução às séries de números reais, incluindo definições de séries convergentes e divergentes. Também discute propriedades importantes de séries, como séries telescópicas e geométricas, e apresenta vários testes para determinar a convergência de séries de termos não-negativos.
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
O documento discute a definição de circunferência e sua equação reduzida. Apresenta as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, como secante, tangente e externa. Também explica as posições relativas entre duas circunferências, como tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Por fim, fornece exemplos para ilustrar os conceitos.
Este documento resume fórmulas fundamentais do eletromagnetismo, incluindo a intensidade do campo magnético produzido por fios retilíneos, espiras circulares, bobinas e solenóides, assim como fórmulas para força magnética, raio da trajetória de partículas carregadas, período de movimento, força sobre condutores e força entre condutores.
O documento discute estereoquímica, incluindo isomeria, quiralidade e propriedades ópticas de compostos. Explica que a estereoquímica estuda a organização tridimensional de moléculas e como isso afeta suas propriedades. Também discute como o limoneno em laranjas e limões gera odores diferentes e como a quiralidade da talidomida causou defeitos de nascimento.
O documento discute os seguintes tópicos de geometria analítica: 1) cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano, 2) determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento, 3) cálculo das coordenadas do baricentro de um triângulo, 4) fórmula para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices, e 5) condição matemática para que três pontos estejam alinhados.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
O documento apresenta as fórmulas para dilatação linear, superficial e volumétrica de sólidos, assim como a dilatação aparente, do recipiente e real de líquidos. São definidos os coeficientes de dilatação e mostradas as relações entre eles.
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
O documento discute a definição de circunferência e sua equação reduzida. Apresenta as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, como secante, tangente e externa. Também explica as posições relativas entre duas circunferências, como tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Por fim, fornece exemplos para ilustrar os conceitos.
Este documento resume fórmulas fundamentais do eletromagnetismo, incluindo a intensidade do campo magnético produzido por fios retilíneos, espiras circulares, bobinas e solenóides, assim como fórmulas para força magnética, raio da trajetória de partículas carregadas, período de movimento, força sobre condutores e força entre condutores.
O documento discute estereoquímica, incluindo isomeria, quiralidade e propriedades ópticas de compostos. Explica que a estereoquímica estuda a organização tridimensional de moléculas e como isso afeta suas propriedades. Também discute como o limoneno em laranjas e limões gera odores diferentes e como a quiralidade da talidomida causou defeitos de nascimento.
O documento discute os seguintes tópicos de geometria analítica: 1) cálculo da distância entre dois pontos no plano cartesiano, 2) determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento, 3) cálculo das coordenadas do baricentro de um triângulo, 4) fórmula para calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices, e 5) condição matemática para que três pontos estejam alinhados.
O documento discute séries de Taylor e de Maclaurin. Apresenta a fórmula para os coeficientes das séries e exemplos de como encontrar as séries de funções como exponencial, seno, cosseno e outras. Explica as condições para uma função ser igual à soma de sua série de Taylor.
O documento apresenta as fórmulas para dilatação linear, superficial e volumétrica de sólidos, assim como a dilatação aparente, do recipiente e real de líquidos. São definidos os coeficientes de dilatação e mostradas as relações entre eles.
O documento resume as principais fórmulas da calorimetria, incluindo calor sensível, calor latente, capacidade térmica, trocas de calor, equilíbrio térmico e fluxo de calor. As fórmulas descrevem como calcular a quantidade de calor envolvida em diferentes processos térmicos usando variáveis como massa, calor específico, calor latente e variação de temperatura.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento uniforme, incluindo:
1) Partículas e corpos extensos;
2) Referenciais e como eles afetam a descrição do movimento;
3) Grandezas como posição, trajetória, distância, velocidade escalar média e instantânea.
O documento discute medidas estatísticas como desvio médio, variância e desvio padrão. O desvio médio mede a distância média dos dados em relação à média. A variância calcula a diferença entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida da dispersão dos dados.
O documento descreve as funções seno e cosseno, suas propriedades e variações possíveis através de fatores multiplicativos, translações e alterações no argumento. É mostrado como esses fatores modificam a imagem e o período da função. Como exemplo, é analisada a função f(x)=1+sen(2x).
1) O documento introduz conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições de termos como cateto e hipotenusa.
2) A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas como medir a altura de prédios e a distância entre a Terra e a Lua.
3) O texto explica propriedades geométricas do triângulo retângulo como os ângulos, lados, altura e relações métricas entre os lados.
Desafio #3 - Quantos quadrados consegues contar na figura ao lado?O Bichinho do Saber
O documento apresenta um desafio para contar quantos quadrados existem em uma figura, fornecendo a solução passo a passo até chegar no total de 40 quadrados.
O documento apresenta as principais fórmulas do movimento harmônico simples, incluindo equações para elongação, velocidade, aceleração, força, período e frequência para osciladores massa-mola e pêndulo simples.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Determinação da aceleração da gravidade através de procedimentos experimentaisDiego Padilha
Este documento descreve procedimentos experimentais para determinar a aceleração da gravidade usando um pêndulo simples e um plano inclinado. Os experimentos mediram o período de oscilação do pêndulo e a aceleração de um objeto em um plano inclinado, e usaram esses dados para calcular valores para a gravidade com o Método dos Mínimos Quadrados. Os resultados dos experimentos estavam dentro da margem de erro do valor aceito para a gravidade naquela localização.
Este documento descreve o sistema de coordenadas polares, que representa a localização de um ponto no plano através da distância ao origem e do ângulo formado com o eixo x. Explica como converter entre coordenadas polares (r, θ) e cartesianas (x, y), e fornece exercícios de conversão entre os sistemas.
O documento lista unidades de medida para quantidades físicas em diferentes sistemas, incluindo comprimento (m, ft), massa (kg, lbm), tempo (s, s). Também fornece conversões entre unidades como 1 km = 1000 m, 1 lb = 0,45 kg, e 1°C = 1,8°F + 32.
1) A Teoria do Campo Cristalino (TCC) descreve o desdobramento energético dos orbitais d de um íon metálico devido ao campo elétrico criado pelos ligantes ao seu redor.
2) A TCC considera os ligantes como cargas pontuais que criam atrações eletrostáticas com o íon metálico e repulsões com seus elétrons d, levando a um aumento da energia dos orbitais d que apontam diretamente para os ligantes.
3) O desdobramento energético depen
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
1. Este documento apresenta anotações sobre séries. Ele discute conceitos básicos como convergência e divergência de séries, critérios para testar a convergência como o critério de comparação e o critério de Cauchy, e exemplos de séries como a série harmônica.
2. O texto também aborda séries absolutamente convergentes, propriedades como comutatividade e extensão do conceito de série para somatórios infinitos negativos.
3. As anotações parecem ter o objetivo de apresentar os principais
1) O documento discute conceitos de sequências e séries matemáticas, incluindo definições de sequências, séries, convergência e testes de convergência como o teste da razão e o teste da comparação.
2) É apresentado o teorema do sanduíche e discutidos tipos específicos de séries como séries geométricas, séries-p e séries alternadas.
3) Testes de convergência como o teste de Leibniz, o teste de d'Alembert e critérios para convergência absoluta são explicados
O documento resume as principais fórmulas da termodinâmica, incluindo a primeira lei da termodinâmica, o trabalho em processos isobáricos e isotérmicos, e as definições de energia interna, calor e trabalho. Também apresenta fórmulas para o rendimento e o trabalho em máquinas térmicas e no ciclo de Carnot.
Este relatório apresenta os resultados de um experimento sobre colisões entre dois carrinhos em um trilho de ar. Foram realizadas três tipos de colisões: elástica, perfeitamente inelástica e parcialmente inelástica. Para cada colisão, foram medidos os valores de massa, velocidade, momento linear e energia cinética antes e depois da colisão para calcular o coeficiente de restituição. Os resultados validaram a conservação do momento linear e da energia cinética para cada tipo de colisão.
O documento discute o centro de massa, definido como o ponto onde toda a massa de um sistema pode ser considerada concentrada e onde as forças externas são aplicadas, permitindo descrever o movimento do sistema de forma simplificada. Explica que o centro de massa coincide com o centro de gravidade para campos uniformes e como calcular a posição do centro de massa para sistemas com várias partes.
1. O documento discute diferentes testes para determinar se uma série matemática converge ou diverge, incluindo testes como razão, raiz, integral, comparação e absolutamente/condicionalmente convergente.
2. É explicado que uma série converge se a soma dos termos tende a um número finito, e diverge se a soma tende a infinito. Séries como progressões geométricas podem convergir dependendo da razão.
3. Diferentes tipos de séries são discutidos, como séries harmônicas, de potências e de Taylor
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
O documento resume as principais fórmulas da calorimetria, incluindo calor sensível, calor latente, capacidade térmica, trocas de calor, equilíbrio térmico e fluxo de calor. As fórmulas descrevem como calcular a quantidade de calor envolvida em diferentes processos térmicos usando variáveis como massa, calor específico, calor latente e variação de temperatura.
O documento discute conceitos fundamentais de movimento uniforme, incluindo:
1) Partículas e corpos extensos;
2) Referenciais e como eles afetam a descrição do movimento;
3) Grandezas como posição, trajetória, distância, velocidade escalar média e instantânea.
O documento discute medidas estatísticas como desvio médio, variância e desvio padrão. O desvio médio mede a distância média dos dados em relação à média. A variância calcula a diferença entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida da dispersão dos dados.
O documento descreve as funções seno e cosseno, suas propriedades e variações possíveis através de fatores multiplicativos, translações e alterações no argumento. É mostrado como esses fatores modificam a imagem e o período da função. Como exemplo, é analisada a função f(x)=1+sen(2x).
1) O documento introduz conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições de termos como cateto e hipotenusa.
2) A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas como medir a altura de prédios e a distância entre a Terra e a Lua.
3) O texto explica propriedades geométricas do triângulo retângulo como os ângulos, lados, altura e relações métricas entre os lados.
Desafio #3 - Quantos quadrados consegues contar na figura ao lado?O Bichinho do Saber
O documento apresenta um desafio para contar quantos quadrados existem em uma figura, fornecendo a solução passo a passo até chegar no total de 40 quadrados.
O documento apresenta as principais fórmulas do movimento harmônico simples, incluindo equações para elongação, velocidade, aceleração, força, período e frequência para osciladores massa-mola e pêndulo simples.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Determinação da aceleração da gravidade através de procedimentos experimentaisDiego Padilha
Este documento descreve procedimentos experimentais para determinar a aceleração da gravidade usando um pêndulo simples e um plano inclinado. Os experimentos mediram o período de oscilação do pêndulo e a aceleração de um objeto em um plano inclinado, e usaram esses dados para calcular valores para a gravidade com o Método dos Mínimos Quadrados. Os resultados dos experimentos estavam dentro da margem de erro do valor aceito para a gravidade naquela localização.
Este documento descreve o sistema de coordenadas polares, que representa a localização de um ponto no plano através da distância ao origem e do ângulo formado com o eixo x. Explica como converter entre coordenadas polares (r, θ) e cartesianas (x, y), e fornece exercícios de conversão entre os sistemas.
O documento lista unidades de medida para quantidades físicas em diferentes sistemas, incluindo comprimento (m, ft), massa (kg, lbm), tempo (s, s). Também fornece conversões entre unidades como 1 km = 1000 m, 1 lb = 0,45 kg, e 1°C = 1,8°F + 32.
1) A Teoria do Campo Cristalino (TCC) descreve o desdobramento energético dos orbitais d de um íon metálico devido ao campo elétrico criado pelos ligantes ao seu redor.
2) A TCC considera os ligantes como cargas pontuais que criam atrações eletrostáticas com o íon metálico e repulsões com seus elétrons d, levando a um aumento da energia dos orbitais d que apontam diretamente para os ligantes.
3) O desdobramento energético depen
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
1. Este documento apresenta anotações sobre séries. Ele discute conceitos básicos como convergência e divergência de séries, critérios para testar a convergência como o critério de comparação e o critério de Cauchy, e exemplos de séries como a série harmônica.
2. O texto também aborda séries absolutamente convergentes, propriedades como comutatividade e extensão do conceito de série para somatórios infinitos negativos.
3. As anotações parecem ter o objetivo de apresentar os principais
1) O documento discute conceitos de sequências e séries matemáticas, incluindo definições de sequências, séries, convergência e testes de convergência como o teste da razão e o teste da comparação.
2) É apresentado o teorema do sanduíche e discutidos tipos específicos de séries como séries geométricas, séries-p e séries alternadas.
3) Testes de convergência como o teste de Leibniz, o teste de d'Alembert e critérios para convergência absoluta são explicados
O documento resume as principais fórmulas da termodinâmica, incluindo a primeira lei da termodinâmica, o trabalho em processos isobáricos e isotérmicos, e as definições de energia interna, calor e trabalho. Também apresenta fórmulas para o rendimento e o trabalho em máquinas térmicas e no ciclo de Carnot.
Este relatório apresenta os resultados de um experimento sobre colisões entre dois carrinhos em um trilho de ar. Foram realizadas três tipos de colisões: elástica, perfeitamente inelástica e parcialmente inelástica. Para cada colisão, foram medidos os valores de massa, velocidade, momento linear e energia cinética antes e depois da colisão para calcular o coeficiente de restituição. Os resultados validaram a conservação do momento linear e da energia cinética para cada tipo de colisão.
O documento discute o centro de massa, definido como o ponto onde toda a massa de um sistema pode ser considerada concentrada e onde as forças externas são aplicadas, permitindo descrever o movimento do sistema de forma simplificada. Explica que o centro de massa coincide com o centro de gravidade para campos uniformes e como calcular a posição do centro de massa para sistemas com várias partes.
1. O documento discute diferentes testes para determinar se uma série matemática converge ou diverge, incluindo testes como razão, raiz, integral, comparação e absolutamente/condicionalmente convergente.
2. É explicado que uma série converge se a soma dos termos tende a um número finito, e diverge se a soma tende a infinito. Séries como progressões geométricas podem convergir dependendo da razão.
3. Diferentes tipos de séries são discutidos, como séries harmônicas, de potências e de Taylor
1. A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, transformando a equação diferencial inicial em uma equação algébrica.
2. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como a integral de f(t) multiplicada por e^-st de 0 a infinito. Isso mapeia funções do domínio temporal para o domínio complexo.
3. Exemplos mostram como calcular a transformada de Laplace de funções comuns como exponenciais, seno, cosseno, polinomiais e combinações
O documento discute o conceito de Value-at-Risk (VaR) e fornece detalhes sobre: (1) Objetivos do VaR como medida de risco, (2) Métodos para calcular o VaR usando simulações de preços e modelos estatísticos, (3) Dinâmica de preços usando modelos de passeio aleatório.
1) O documento discute seqüências e séries numéricas, definindo seqüências, apresentando exemplos e propriedades como convergência e monotonicidade.
2) Uma seqüência é uma função que associa números naturais a números reais. Exemplos incluem seqüências com termos definidos por fórmulas ou recorrência.
3) Uma seqüência converge se seu limite quando n tende ao infinito existe e é um número real finito. Caso contrário, diverge. Teoremas caracterizam convergência ou divergência.
1) A expressão matemática do título é equivalente a 1. Isto é demonstrado através de propriedades de limites e de matrizes invertíveis.
2) A igualdade trigonométrica sen2ρ + cos2ρ = 1 é demonstrada usando o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por pontos de uma circunferência.
3) É mostrado que a expressão cosh x(1 - tanh2x) é igual a 1, definindo funções hiperbólicas e reduzindo a uma progressão
1) O documento discute seqüências numéricas e séries infinitas, apresentando definições, exemplos e teoremas sobre convergência e monotonicidade de seqüências.
2) Uma seqüência é uma função que associa números reais a números naturais. Pode ser dada por uma fórmula ou recorrência. Se a diferença entre os termos e um limite tende a zero, a seqüência converge.
3) O documento fornece condições para a convergência de seqüências, como os teoremas sobre limites de potências e conf
Este documento apresenta vários critérios para determinar se uma série converge ou diverge, incluindo o critério de Cauchy, comparação, razão, D'Alembert, raiz (ou Cauchy), Leibniz para séries alternadas e Raabe.
O documento resume as definições e propriedades de Progressões Aritméticas (P.A.) e Progressões Geométricas (P.G.). A P.A. é uma sequência onde cada termo é a soma do anterior e uma constante chamada razão. A P.G. é uma sequência onde cada termo é o produto do anterior por uma constante chamada razão. O documento explica como classificar, encontrar o termo geral e a soma dos termos dessas progressões.
1. O documento resume resoluções de exercícios de séries numéricas. Inclui análise de convergência e divergência de séries geométricas, harmônicas e de Dirichlet usando critérios como razão, termo geral e comparação.
1. O documento apresenta os conceitos e propriedades de séries de potências e como representar funções por meio dessas séries.
2. É introduzido o conceito de série de potências e propriedades como convergência, raio de convergência e intervalo de convergência.
3. Exemplos ilustram como encontrar esses valores para diferentes séries de potências.
1) O documento apresenta os principais parâmetros estatísticos para descrever dados isolados e agrupados, incluindo média, mediana, moda, amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
2) Para dados agrupados, descreve como calcular a média, mediana, percentis, moda, variância e desvio padrão considerando as frequências e classes.
3) Apresenta como medir a covariância, coeficiente de correlação de Pearson e regressão linear para caracterizar a relação entre duas variáveis.
O documento discute a definição de ângulos entre retas e planos no espaço. Para ângulos entre retas, ele define que o ângulo é 0° se as retas forem coincidentes ou paralelas, ou o menor ângulo positivo entre as retas se forem concorrentes. Para planos, o ângulo é 0° se forem paralelos ou coincidentes, ou o ângulo entre as retas perpendiculares aos planos que passam pelo ponto de interseção. Ele também fornece fórmulas para calcular esses ângulos
O documento fornece uma introdução às operações com potências. Ele define potenciação, apresenta casos especiais e propriedades como a distribuição e a elevação de potências a outros expoentes. Exemplos ilustram como aplicar estas propriedades para simplificar cálculos algébricos. Exercícios práticos são fornecidos para reforçar o conteúdo.
Este documento apresenta informações sobre uma prova de Matemática A do 12o ano de escolaridade, incluindo o número de páginas, duração, instruções aos alunos e conteúdos avaliados, como probabilidades, trigonometria e cálculo.
(1) Uma função f pertence a L1(μ) se e somente se a função t → μ(x: |f(x)| > t) for integrável em relação à medida de Lebesgue. Além disso, a integral de |f| é igual ao limite da integral da função indicatriz sobre os conjuntos {|f| > t}.
(2) Se A tem medida maior que 1, então existem pontos distintos x, y em A cujo vetor x - y tem coordenadas inteiras.
(3) Todo conjunto convexo em Rn é Lebesgue mensurável
Este documento apresenta os principais conceitos sobre probabilidades e combinatória. Discute propriedades de operações com eventos, a lei de Laplace, axiomas de probabilidade, probabilidade condicionada, independência de eventos e teoremas associados. Apresenta também conceitos sobre cálculo combinatório como fatorial, permutações, arranjos e combinações.
11 eac proj vest mat módulo 2 progressõescon_seguir
O documento apresenta os conceitos básicos de progressão aritmética (PA), incluindo sua definição, exemplos e fórmula para calcular o termo geral e a soma dos termos. Resolve exercícios que ilustram como aplicar essas fórmulas para determinar termos, razões e características de PAs dadas.
Transformadores funcionam com núcleos de ferro que aumentam o campo magnético aplicado. A relação entre o número de voltas do primário e secundário determina se o transformador eleva ou reduz a tensão. Quando a chave está fechada, a corrente no secundário é proporcional ao quadrado da razão entre as voltas e a resistência equivalente é proporcional ao quadrado da razão entre as voltas.
1) O documento resume vários testes de convergência para séries infinitas, incluindo o teste da divergência, o teste da comparação e o teste da comparação no limite.
2) Estes testes fornecem critérios para determinar se uma série infinita converge ou diverge baseado nas propriedades dos termos da série.
3) Os testes incluem comparar uma série com outra série conhecida, analisar o limite da razão ou raiz dos termos e verificar se a integral associada converge.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
1. Análise Matemática I
Séries de Números Reais
Joana Peres
MIEQ – 2009/2010
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 1
2. Introdução às séries de números reais
Uma série (infinita) de números reais é a soma de todos os (infinitos) termos
de uma sucessão (ou sequência) de números reais, de termo geral {an}:
def ∞
Definição a1 + a2 + a3 + ≡ ∑ ar
r =1
Será que esta série infinita tem um valor numérico?
sucessão das somas parciais {Sn}, associada à sucessão de números reais
{an}, definida através de:
def def n
Definição S n ≡ a1 + a2 + + an ≡ ∑ ar
r =1
Algumas das somas parciais associadas à sucessão {an}:
S1 = a1
S 2 = a1 + a2
S 3 = a1 + a2 + a3
S n = a1 + a2 + + an
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 2
3. Séries convergentes e divergentes
A sucessão de termo geral {an} diz-se somável se e só se a correspondente
sucessão das somas parciais {Sn} for convergente para um número real qualquer
S quando n tender para infinito:
Definição
def n def ∞
{an }somável ⇔ ∃S ∈ IR : lim S n = lim ∑ ar ≡ ∑ ar = S
n→∞ n→∞
r =1 r =1
∞
Se o limite existir a série ∑ ar é convergente para S
r =1
∞
Se o limite não existir a série ∑ ar é divergente
r =1
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 3
4. Propriedades mais importantes das séries de números reais
∞ ∞ ∞
Teorema ∑ ar = S∧ ∑ br = T ⇒ ∑ ( ar + br ) = S + T
r =1 r =1 r =1
∞ ∞
∑ ar = S ⇒ ∑ c ar = c S , ∀c ∈ IR
r =1 r =1
O 2º teorema é um teste de divergência que deve sempre ser aplicado a
qualquer série antes de utilizar qualquer outro teste de convergência:
Teorema (Condição necessária de convergência, ou teste de divergência)
∞
∑ ar converge ⇒ lim an = 0
n →∞
r =1
∞
Demonstração: ∑ ar = S ⇒ lim an = lim ( S n − S n −1 ) =
n →∞ n →∞
r =1
= lim S n − lim S n −1 = S − S = 0
n→∞ n→∞
∞
Conclui-se do Teorema que: lim an ≠ 0 ⇒
n→∞
∑ ar diverge
r =1
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 4
5. Propriedades mais importantes das séries de números reais
Exemplos de aplicação do teste de divergência
∞ ∞
r
∑ r +1 ∑ ( −1) r r 2
r =1 r =1
Observação importante: ∞
Se lim an = 0 então a série
n →∞
∑ ar pode convergir ou divergir
r =1
Exemplo: A série chamada série harmónica
∞ 1
1 1 1 1
∑ r
=1+
2
+
3
+
4
+ é uma série divergente, embora o lim
n→∞ n
=0
r =1
Contudo, a série harmónica diverge com extrema lentidão:
Sn ≥ 5 ⇒ n = 83
Sn ≥ 10 ⇒ n = 12 367
Sn ≥ 100 ⇒ n ≈ 1043
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 5
6. Propriedades mais importantes das séries de números reais
∞ ∞
Teorema ∑ ar = S ⇔ ∑ ar = S + a0 , desde que a0 ∈ IR
r =1 r =0
Redefinição da soma parcial Sn de forma a incluir o termo a0
def def n
Definição S n ≡ a0 + a1 + + an ≡ ∑ ar
r =0
A soma parcial Sn é sempre definida como sendo a soma de todos os termos da
sucessão {an} até ao termo an
independentemente de o 1º termo da sucessão ser a0, a1, a2 ou outro
termo qualquer.
Generalização do teorema:
Inserir ou remover um número finito de termos numa série convergente não
altera a convergência da nova série assim obtida
que convergirá para um valor diferente daquele para que converge a
série original.
Inserir ou remover um número finito de termos numa série divergente
não altera a divergência da nova série assim obtida.
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7. Estudo de séries directamente a partir da definição
A aplicação directa da definição de série convergente Exprimir Sn sob a “forma fechada”
Séries telescópicas (ou de Mengoli)
são séries cujo termo geral ar pode ser escrito como uma diferença
de dois termos de outra sucessão {br}, em que a “distância” entre esses
dois termos (isto é, a diferença dos seus índices) é constante, ou seja:
ar = br + k − br ou ar = br − br + k com k ∈ IN
Exemplo em q a r = b r +1 − b r e a série “começa em r = 1”
p que ç
def n n n n
Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br +1 − br ) = ∑ br +1 − ∑ br =
r =1 r =1 r =1 r =1
= ( b2 + b3 + + bn −1 + bn + bn +1 ) − ( b1 + b2 + b3 + + bn −1 + bn ) =
= bn +1 − b1
def
então S ≡ lim S n = ( lim bn +1 ) − b1 = ( lim bn ) − b1
n →∞ n →∞ n →∞
Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn
n →∞
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8. Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries telescópicas (ou de Mengoli)
Exemplo em que ar = br − br + 2 e a série “começa em r = 0”
def n n n n
Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br − br + 2 ) = ∑ br − ∑ br + 2 =
r =0 r =0 r =0 r =0
= ( b0 + b1 + b2 + b3 + + bn ) − ( b2 + b3 + + bn + bn +1 + bn + 2 ) =
= b0 + b1 − (bn +1 + bn + 2 )
então
tã
def
S ≡ lim S n = b0 + b1 − lim (bn +1 + bn + 2 ) = b0 + b1 − 2 lim bn
n →∞ n →∞ n →∞
Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn
n→∞
Exemplo ∞
Estudar a convergência da série ∑ ( 21 r +1
− 21 r
)
telescópica r =1
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9. Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries geométricas
Uma série é uma série geométrica se cada termo depois do
primeiro for um múltiplo fixo do termo precedente, isto é, se
ar +1 = k ar , ∀r ≥ 0
O número k chama-se razão da série geométrica.
Uma série geométrica é a série que está associada a uma
“progressão” geométrica do tipo:
progressão
a 0 , a0 k , a0 k 2 , a0 k 3 ,
Representando o termo inicial da série geométrica por a0, vem que:
∞
∑ a 0 k r = a0 + a 0 k + a 0 k 2 + a0 k 3 + , com a0 , k ∈ IR
r =0
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10. Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries geométricas
Obtenção da “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n:
Caso em que k = 1
k = 1 ⇒ S n = a0 + a0 + a 0 + + a0 = ( n + 1) a0 ⇒
⇒ lim S n = lim ( n + 1) a0 = ± ∞ ⇒ a série é divergente
n→∞ n→∞
k = −1 ⇒ {S n } = {a0 , 0, a0 , 0, a0 , }⇒
⇒ lim S n não existe e portanto a série é divergente
existe,
n →∞
Caso em que k ≠ 1
n
S n = ∑ a 0 k r = a 0 + a0 k + + a0 k n
r =0
kS n = a0 k + a0 k 2 + + a0 k n + a0 k n +1
a0
S n − k S n = a 0 − a0 k n +1
⇒ S n (1 − k ) = a0 (1 − k n +1
) ⇒ Sn = (1 − k n +1 )
1− k
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11. Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries geométricas
A “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n quando k ≠ 1
a0
Sn = (1 − k n +1 )
1− k
Aplicando a definição de série convergente, conclui-se o seguinte:
Se k > 1, lim k n +1 não existe ⇒ lim S n não existe, e a série é divergente
n →∞ n →∞
S k < 1, lim k n +1 = 0 ⇒ lim S n = a0 , e a série converge:
Se éi
n→∞ n→∞ 1− k
∞
a0
∑ a0 k r =
1− k
, sse k < 1
r =0
∞ r ∞ r ∞ r
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ e⎞
Exemplos ∑ ⎜ ⎟
⎝π ⎠
∑ ⎜ ⎟
⎝π ⎠
∑ ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
r =0 r =1 r =0
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12. Estudo de séries directamente a partir da definição
Séries geométricas
Exemplo de aplicação:
Racionalizar na forma irredutível a dízima periódica infinita 0.33333 ......
Exemplo de aplicação:
Diz-se que uma bola elástica tem um coeficiente de restituição r, com
0 < r < 1, se a bola ressaltar até à altura rh depois de ter sido deixada
cair da altura h.
Supondo que a b l é d i d cair d
S d bola deixada i de
uma altura inicial a (ver figura junta) e
depois ressalta infinitas vezes até parar,
mostre que a distância total percorrida
pela bola é finita, sendo dada por:
1+ r
D=a
1− r
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13. Séries de termos não-negativos
Se o termo geral de uma série for não-negativo, a correspondente
sucessão das somas parciais é obrigatoriamente crescente:
an ≥ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≥ 0 ⇔ S n ≥ S n −1 ⇔ {S n } é crescente
Existem apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:
1ª hipótese: {Sn} é crescente e limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar converge para sup {Sn}
r =1
2ª hipótese: {Sn} é crescente mas não-limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar diverge para ∞
r =1
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14. Séries de termos não-negativos
Não existe nenhum teste universal de convergência para séries de termos
não-negativos;
No entanto existem vários testes de convergência que, sem serem
universais, permitem resolver o problema da convergência das séries de
termos não-negativos na maior parte dos casos de interesse prático.
Desses testes, vamos estudar apenas os cinco mais importantes:
1. Teste de comparação directa
2. Forma limite do teste de comparação
3. Teste da razão (ou de d'Alembert)
4. Teste da raíz
5. Teste do integral (ou de Cauchy)
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15. Séries de termos não-negativos
O teste de comparação directa pode ser utilizado para mostrar a
convergência ou a divergência de séries de termos não-negativos:
Teorema (Teste de comparação directa)
Suponhamos que 0 ≤ ar ≤ br , ∀r ≥ r * então:
∞ ∞
∑ br converge ⇒ ∑ ar também converge
r =1 r =1
∞ ∞
∑ ar diverge ⇒ ∑ br também diverge
r =1 r =1
Estes resultados são igualmente válidos se as duas séries “começarem
em r = 0”, ou em qualquer número inteiro positivo.
Se se pretender testar convergência utiliza-se br (o termo “maior”) como
termo de comparação
Se se pretender testar divergência utiliza-se ar (o termo “menor”) como
termo de comparação
∞ ∞
Se 0 ≤ ar ≤ br e ∑ br divergir ou ∑ ar convergir
r =1 r =1
nada se pode concluir acerca da outra série
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16. Séries de termos não-negativos
Teste de comparação directa
Exemplo
Utilize o teste de comparação directa para mostrar que a série
∞
sen 2 r
∑ 2r + r 2
r =1
é convergente.
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17. Séries de termos não-negativos
Forma limite do teste de comparação
Teorema (Forma limite do teste de comparação)
ar
Suponhamos que ar > 0 e br > 0, ∀r ≥ r * e seja L = lim então:
r →∞ br
∞ ∞
L>0 ⇒ ∑ br e ∑ ar convergem ambas ou
divergem ambas
r =1 r =1
∞ ∞
L=0 e ∑ br convergir ⇒ ∑ ar também converge
r =1 r =1
∞ ∞
L=0 e ∑ br d eg
divergir ⇒ ∑ ar também diverge
r =1 r =1
Neste caso fazemos uma comparação indirecta entre duas séries, isto é,
utilizamos o cálculo do limite L para fazer a comparação entre duas séries.
A série de termo geral ar é aquela cuja convergência estamos a estudar, e
a série de termo geral br é uma série conhecida, que é usada como termo de
comparação
Escolha de br : inspeccionar o termo geral ar da série que estamos a estudar,
e verificar qual é a “parte dominante” de ar quando r se torna muito grande.
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18. Séries de termos não-negativos
Forma limite do teste de comparação
Exemplo
Utilize a forma limite do teste de comparação para mostrar que a série
∞
5
∑ 3r − 1
r =1
é convergente.
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19. Séries de termos não-negativos
Teste da razão (ou de D’Alembert)
Teorema (Teste da razão, ou de D’Alembert)
Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então:
r →∞ a
r
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge
r =1
∞
ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge
r =1
ρ = 1 este teste é inconclusivo, excepto se ar +1 > ar , ∀r ≥ r
**
caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0
→∞
O teste da razão é, em geral, o teste mais indicado para séries cujo termo
geral inclua factoriais.
Definição de factorial
def
+
( r + 1)! ≡ ( r + 1) r! , ∀r ∈ Z 0
def
0! ≡ 1
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20. Séries de termos não-negativos
Teste da razão (ou de D’Alembert)
Exemplo
Utilize o teste da razão para estudar a convergência da série
∞
rr
∑ r!
r =1
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21. Séries de termos não-negativos
Teste da raiz
Teorema (Teste da raiz)
Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então:
r →∞
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge
r =1
∞
ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge
r =1
ρ = 1 este teste é i
t t t inconclusivo, excepto se
l i t r ar > 1 , ∀r ≥ r **
caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0
→∞
O teste da razão e o teste da raiz estão intimamente relacionados, como
se pode concluir do seguinte teorema:
Teorema ar +1
lim = ρ ⇒ lim r ar = ρ
r →∞ ar r →∞
É aconselhável começar por tentar utilizar o teste da razão, por ser o mais
fácil de aplicar.
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22. Séries de termos não-negativos
Exemplo
Estude a convergência da série
∞
r
∑ 5r
r =1
pelo teste da razão e pelo teste da raiz.
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23. Séries de termos não-negativos
Teste do integral (ou de Cauchy)
O teste do integral permite relacionar a convergência de séries de termos
positivos com a convergência de integrais impróprios do 1º tipo:
Teorema (Teste do integral, ou de Cauchy)
Suponhamos que ar > 0 e ar +1 < ar , ∀r ≥ r * e seja, f (x) uma função positiva,
decrescente e integrável em [1, ∞ [, tal que f ( x) = ar , ∀r ∈ IN então:
∞ ∞
∑ ar converge sse ∫1 f ( x) dx convergir
r =1
Generalizando, se a série não “começar em r = 1”, vem:
∞ ∞
∑ ar converge sse ∫k f ( x) dx convergir +
∀k ∈ Z 0
r =k
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24. Séries de termos não-negativos
Teste do integral (ou de Cauchy)
Para demonstrar este teorema, comecemos por mostrar que o integral
impróprio do 1º tipo pode sempre ser escrito como uma série infinita de
números reais:
∞
= ∑⎛∫ f ( x ) dx ⎞
∞ 2 3 r +1
∫1 f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx +
1 2
⎜ r
r =1 ⎝
⎟
⎠
r +1 r +1
f ( r + 1) < ∫ f ( x) dx < f ( r ) ⇔ ar +1 < ∫ f ( x ) dx < ar
r r
Aplicando o teste de comparação àquela
dupla desigualdade, conclui-se que
∞
a série ∑ ar e o integral
∞
r =1
∫1 f ( x ) dx
ou convergem ambos ou divergem ambos
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25. Séries de termos não-negativos
Teste do integral (ou de Cauchy)
Exemplo
Utilize o teste do integral para estudar a convergência das séries
∞ ∞
1 1
∑ r
∑ r2
r =1 r =1
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26. Séries de termos não-negativos
As séries dos “pp” (ou de Riemann) são frequentemente utilizadas como
termo de comparação ao estudar a convergência de outras séries.
∞
1 1 1
Definição ∑ rp
=1+ p + p +
2 3
, com p ∈ IR
r =1
1
Se p ≤ 0 ⇒ lim p
≠ 0 ⇒ que a série diverge
r →∞ r
1
Se p > 0 ⇒ lim p
= 0 ⇒ que a série pode convergir ou
r →∞ r divergir
1
Aplicando directamente o teste do integral, com f ( x) = definida em [1, ∞ [:
rp
∞
Como o ∫1 f ( x) dx converge sse p > 1, concluímos pelo teste do integral que:
A série dos “pp” (ou de Riemann) converge sse p > 1
∞
1 1 1 1
Se p = 1, temos a série harmónica ∑ r
=1+
2
+
3
+
4
+ que diverge.
r =1
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27. Séries de termos não-negativos
Estimativa do resto a partir do teste do integral
Definição de resto de ordem n duma série convergente para S
def ∞
Rn ≡ S − S n = an +1 + an+ 2 + = ∑ ar
r = n +1
Se o teste do integral puder ser aplicado a esta série convergente, não
é difícil obter uma estimativa do resto Rn. De facto, como vimos acima:
r +1 r
ar +1 < ∫ f ( x) dx < ar ∧ ar < ∫ f ( x) dx < ar −1 ⇒
r r −1
r +1 ∞ r +1 ∞ ∞
∑ ∫r ∑ ar < ∑ ∫r −1 f ( x)
r r
∫r f ( x) dx < ar < ∫r −1 f ( x) dx ⇒
r = n +1
f ( x ) dx <
r = n +1 r = n +1
dx ⇒
∞ ∞
∫n+1 f ( x) dx < Rn < ∫n f ( x) dx estimativa do resto Rn
∞ ∞
Sn + ∫n+1 f ( x) dx < S < S n + ∫n f ( x ) dx estimativa da soma da série
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28. Séries de termos não-negativos
Estimativa do resto a partir do teste do integral
Exemplo
Calcular a soma da série dos “pp”
∞
1
∑ r3
r =1
com erro inferior a 0.005.
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29. Séries de termos não-positivos
Se o termo geral de uma série for não-positivo, a correspondente
sucessão das somas parciais é obrigatoriamente decrescente:
an ≤ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≤ 0 ⇔ S n ≤ S n −1 ⇔ {S n } é decrescente
Temos então apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:
1ª hipótese: {Sn} é decrescente e limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar converge para inf {Sn}
r =1
2ª hipótese: {Sn} é decrescente mas não-limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar diverge para -∞
r =1
∞ ∞
Como ∑ ar ≡ − ∑ ( − ar ) , se a série de termos não-negativos convergir
r =1 r =1 para S, a correspondente série de termos não-
positivos (isto é, a série simétrica da série
dada) converge obrigatoriamente para - S
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30. Séries alternadas
Séries alternadas são séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos
são particularmente importantes nas aplicações práticas.
Os testes de convergência que estudámos atrás para séries de termos não-negativos não
podem ser aplicados directamente a estas séries
é necessário recorrer a outro teorema para estudar a convergência destas séries.
Teorema (Teste das séries alternadas, ou de Leibniz)
Seja { ar } uma sucessão de termos positivos tais que:
( i ) ar +1 < ar , ∀r ≥ r *
( ii ) lim ar = 0
r →∞
então as duas séries alternadas associadas a { ar }
∞
∑ (−1) r +1 ar = a1 − a2 + a3 −
r =1
∞
e
∑ (−1) r ar = −a1 + a2 − a3 +
r =1
são ambas convergentes.
Se a 1ª condição não for satisfeita, a série alternada pode convergir ou divergir.
Se a 2ª condição não for satisfeita, podemos concluir que a série alternada
em causa é obrigatoriamente divergente.
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 30
31. Séries alternadas
Exemplo
Estude a convergência da série harmónica alternada
∞
( −1) r +1
∑ r
r =1
e da série alternada
∞
( −1) r +1 ( r + 3)
∑ r +1
r =1
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 31
32. Estimativa do resto de séries alternadas convergentes
Resto de ordem n
def ∞ def ∞
Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r +1
ar ou Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r ar
r = n +1 r = n +1
Para uma série alternada convergente
é sempre possível obter uma estimativa tão precisa quanto se quiser
do valor absoluto de Rn e/ou da soma da série:
Teorema
O valor absoluto do resto de ordem n de uma série alternada convergente é
menor do que o valor absoluto do primeiro termo “desprezado” no cálculo
de Sn :
0 < Rn < an +1
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 32
33. Séries alternadas
r ar Sn
Exemplo
1 1 1
2 0.5 0.5
Calcular a soma da série harmónica alternada
3 0.333333 0.83333333
∞
( −1) r +1
4 0.25 0.58333333
∑ r
5 0.2 0.78333333
r =1 6 0.166667 0.61666667
7 0.142857 0.75952381
com erro inferior a 0.1.
8 0.125 0.63452381
9 0.111111 0.74563492
10 0.1 0.64563492
Quando estudarmos a representação
de funções por meio de séries de
potências:
∞
( −1) r +1
∑ r
= ln 2 = 0.6931471805 .....
r =1
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34. Séries de termos positivos e negativos
∞ ∞
∑ ar ∑ ar
r =1 r =1
série dos valores
absolutos
Se ar ≥ 0, as duas séries são coincidentes.
Se ar ≤ 0, as duas séries são simétricas.
∞
Se ∑ ar for uma série de termos positivos e negativos, a
correspondente série dos valores absolutos será uma
r =1
série completamente distinta da série original.
Convergência absoluta e convergência condicional
Como |ar |≥ 0, ∀r, a convergência da série dos valores absolutos pode sempre
ser analisada recorrendo aos cinco testes de convergência atrás estudados.
Teorema (Teste da convergência absoluta)
∞ ∞
Se ∑ ar converge ⇒ ∑ ar converge
r =1 r =1
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35. Séries de termos positivos e negativos
Podemos classificar as séries de termos positivos e negativos da
seguinte forma:
∞ ∞
∑ ar ∑ ar Tipo de convergência
r =1 r =1
absolutamente
convergente convergente
convergente
condicionalmente
convergente divergente
convergente
divergente divergente divergente
Para séries de termos positivos e negativos, os conceitos de “absolutamente
convergente”, “condicionalmente convergente” e “divergente”, são mutuamente
exclusivos: apenas uma destas três possibilidades poderá ser verdadeira.
Qualquer série convergente de termos não-negativos pode gerar infinitas
séries de termos positivos e negativos que são absolutamente convergentes:
basta para tal inserir sinais “menos” à sorte em qualquer ponto da série dada.
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 35
36. Séries de termos positivos e negativos
Testes de convergência absoluta
Teorema (Teste da razão para convergência absoluta)
Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então:
r →∞ ar
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente
r =1
∞
ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge
r =1
ρ = 1 este teste é inconclusivo
Teorema (Teste da raiz para convergência absoluta)
Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então:
r →∞
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente
r =1
∞
ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge
r =1
ρ = 1 este teste é inconclusivo
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 36
37. Séries de termos positivos e negativos
Exemplo
Analise a convergência da série
∞
( −1) r 2 r
∑ r!
r =1
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38. Séries de termos positivos e negativos
Rearranjo dos termos de uma série
Definição
Uma sucessão de números reais {bn} diz-se um rearranjo de uma outra
sucessão {an}, quando a sucessão {bn} contiver todos os termos da sucessão
original {an}, mas colocados por uma ordem diferente.
Ao rearranjarmos a sucessão {an}, transformando-a na sucessão {bn},
∞
também a correspondente série ∑ ar será rearranjada, transformando-se
∞
numa nova série ∑ br r =1
r =1
Em princípio, se as duas séries forem ambas convergentes, elas poderão
convergir para valores diferentes, pois por definição tem-se que:
∞ def def ∞ def def
∑ ar ≡ lim S n ≡ lim ( a1 + a2 +
n →∞ n →∞
+ an ) ∑ br ≡ lim S n ≡ lim ( b1 + b2 +
n→∞ n→∞
+ bn )
r =1 r =1
Nada nos garante que estes dois limites sejam iguais.
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39. Séries de termos positivos e negativos
Testes de convergência absoluta
As séries absolutamente convergentes e as condicionalmente convergentes têm
um comportamento distinto no que concerne ao rearranjo dos seus termos:
Teorema (Rearranjo das séries absolutamente convergentes)
∞
Se série ∑ ar for absolutamente convergente para S, e se {bn} for um rearranjo
r =1
∞
qualquer de {an}, a série ∑ br também é absolutamente convergente para S.
r =1
Ou seja, podemos alterar à vontade a ordem dos termos de uma série
absolutamente convergente, pois este t
b l t t t i t teorema garante-nos que ela continua a
t l ti
ser absolutamente convergente para o mesmo número.
Teorema (Rearranjo das séries condicionalmente convergentes)
∞
Se série ∑ ar for condicionalmente convergente para S, existe um rearranjo
r =1 ∞
{bn} de {an}, tal que a série ∑ br converge para T, ∀T ∈ IR.
r =1
Neste caso, portanto, já não é válido alterar a ordem dos termos da série,
pois se o fizermos ela poderá convergir para um valor diferente (ou até divergir!).
FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 39