1. O documento discute diferentes testes para determinar se uma série matemática converge ou diverge, incluindo testes como razão, raiz, integral, comparação e absolutamente/condicionalmente convergente. 2. É explicado que uma série converge se a soma dos termos tende a um número finito, e diverge se a soma tende a infinito. Séries como progressões geométricas podem convergir dependendo da razão. 3. Diferentes tipos de séries são discutidos, como séries harmônicas, de potências e de Taylor

1. 1 Formulário Seqüências e Séries
Diferença entre Seqüência e Série
Uma seqüência é uma lista ordenada de números. Uma série é uma soma
innita dos termos de uma seqüência. As somas parciais de uma série também
formam uma seqüência que pode convergir ou divergir.
Exemplo: a sequência {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·} é uma PG innita de
primeiro termo 1 e razão 1/2. As somas nitas dessa PG são dadas por
Sn =
n
i=0
1
2i
=
1 − (1/2)n+1
1 − (1/2)
essa seqüência é da forma {3/2, 7/4, 15/8, 31/16, 63/32, · · ·}. O limite dessa
seqüência para n → ∞ é a soma da série. Se essa soma for um número nito,
a série converge, se a soma for ±∞ ela é divergente.
Progressão Geométrica
A soma de uma PG innita converge se sua razão r for tal que
|r| 1
nesse caso ela converge para
∞
n
an =
a
1 − r
onde an = rn
e a é o primeiro termo da PG.
Teorema do Confronto
Dadas 3 seqüências tais que para todo n, an ≤ bn ≤ cn, se limn→∞ an =
L = limn→∞ cn, então, limn→∞ bn = L.
Teorema: Condição Necessária para Convergência
Se a série ∞
n=1 an converge, então limn→∞ an = 0.
Cuidado! A condição limn→∞ an = 0 é necessária mas não é suciente
para que uma série convirja. Por exemplo, a série harmônica
∞
n=1
1
n
1

2. é tal que limn→∞
1
n
= 0, mas a série é, de fato, divergente.
Teste para Divergência
Se limn→∞ an = 0 ou se o limite não existir, então a série ∞
n=1 an
é divergente.
Note que uma série do tipo ∞
n=1(−1)n
não vai a ±∞, mas é divergente
porque o limite limn→∞(−1)n
não existe.
Combinação de Séries Convergentes
Teorema: Se ∞
n=1 an e ∞
n=1 bn são séries convergentes, então as seguintes
combinações também são:
∞
n=1
βan = β
∞
n=1
an
∞
n=1
(an + bn) =
∞
n=1
an +
∞
n=1
bn
∞
n=1
(an − bn) =
∞
n=1
an −
∞
n=1
bn
com β um número real qualquer.
Teste da Integral
Suponha que an = f(n) é uma função decrescente e positiva a
partir de n = 1, então a série ∞
n=1 an é convergente se a integral
∞
1
f(x)dx
for convergente, caso contrário, se o resultado da integral for ±∞,
a série é divergente.
Note que no caso de convergência, o resultado da integral não é o resultado
da soma da série, apenas um limite superior!
Séries Harmônicas ou Sériesp
Uma série do tipo
∞
n=1
1
np
2

3. com p real é chamada série harmônica ou sériep.
Uma série harmônica converge se p 1 e diverge se p ≤ 1.
Critério de Convergência para Séries Alternadas
Uma série do tipo ∞
n=1(−1)n
an, com an positivos é chamada alternada,
pois os sinais do termos alternam-se entre negativos e positivos.
Considere uma série alternada. Se a seqüência an for decrescente
e se limn→∞ an = 0, então a série é convergente.
Exemplo: ∞
k=2(−1)k
/ ln k é convergente pois é alternada e 1/ ln k de-
cresce e seu limite vai a zero quando k → ∞.
Note que no caso de uma seqüência alternada limn→∞ an = 0 garante a
convergência.
Teste da Comparação
Considere duas séries ∞
n=1 an e ∞
n=1 bn tais que 0 ≤ an ≤ bn a
partir de um dado termo das seqüências. Nestas condições
(i) Se ∞
n=1 bn converge, então ∞
n=1 an também é convergente.
(ii) Se ∞
n=1 an diverge, então ∞
n=1 bn também é divergente.
Se você descona que uma série converge, precisa encontrar outra série
comprovadamente convergente cujos termos que estão sendo somados sejam
maiores que o da série que você está considerando.
Se você descona que uma série diverge, precisa encontrar outra série
comprovadamente divergente cujos termos que estão sendo somados sejam
menores que o da série que você está considerando.
Teste da Comparação do Limite
Considere duas séries ∞
n=1 an e ∞
n=1 bn tais que an 0 e bn 0 a
partir de um dado termo das seqüências. Seja o limite
L = lim
n→∞
an
bn
se:
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4. (i) L 0 e real, então ou ambas as séries convergem, ou ambas
divergem.
(ii) L = ∞, se ∞
n=1 bn diverge, então ∞
n=1 an diverge.
(iii) L = 0, se ∞
n=1 bn converge, então ∞
n=1 an converge.
Teste da Razão
Considere a série ∞
n=1 an com an 0 a partir de um certo termo
da seqüência. Se o limite
L = limn→∞
an+1
an
existir, nito ou innito, então:
(i) L 1, a série é convergente.
(ii) L 1 ou L = ∞, a série é divergente.
(iii) L = 1, o teste nada revela.
Teste da Raiz
Considere a série ∞
n=1 an com an 0 sempre. Se o limite
L = limn→∞
(an)
1
n
existir, nito ou innito, então:
(i) L 1, a série é convergente.
(ii) L 1 ou L = ∞, a série é divergente.
(iii) L = 1, o teste nada revela.
Veja que isso é bem parecido com o teste da razão, com a única diferença
que os termos da seqüência nesse caso nunca podem ser negativos.
Dica! Se o teste da razão for inconclusivo (L = 1), o teste da raiz também
será, e vice-versa.
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5. Séries Absolutamente e Condicionalmente Convergentes
Uma série ∞
n=1 an é chamada absolutamente convergente se a série
∞
n=1 |an| for convergente.
Uma série pode ser convergente, mas não absolutamente convergente. Por
exemplo, a série
∞
n=1
(−1)n
n
é uma série alternada convergente, mas a série
∞
n=1
|(−1)n
|
|n|
=
∞
n=1
1
n
é uma sériep com p = 1, portanto divergente.
Uma série deste tipo é chamada condicionalmente convergente.
Teorema: Se uma série é absolutamente convergente, ela sempre
é convergente.
Séries de Potências
Uma série de potências centrada em torno de um número real x0 é uma
série do tipo
∞
n=0
cn(x − x0)n
= c0 + c1(x − x0) + c2(x − x0)2
+ · · ·
Para uma série deste tipo existem 3 a tão somente 3 possibilidades:
(i) A série converge apenas para x = x0.
(ii) A série converge para todo x.
(iii) Existe um número R 0, chamado raio de convergência, tal que a
série converge se |x − x0| R e diverge se |x − x0| R.
O raio de convergência pode ser calculado como
R = limn→∞
|an|
|an+1|
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6. desde que exista, nito ou innito. Se R é nito, a série converge no intervalo
]x0 − R, x0 + R[. Note que o intervalo é aberto, pois inicialmente nada se
pode armar sobre a convergência nos extremos.
Séries de Taylor
A série de Taylor de uma função F(x) em torno de um número real x0 é
dada por
F(x) =
∞
n=0
F(n)
(x0)
n!
(x − x0)n
onde F(n)
(x0) é a derivada de ordem n da função calculada em x = x0. Note
que isso é uma série de potências com coecientes dados por cn = F(n)
(x0).
A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, onde x0 = 0.
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