1. O documento apresenta os fundamentos da disciplina de Teoria de Estruturas II, que analisa estruturas hiperestáticas. 2. São apresentados os objetivos, referências bibliográficas, avaliações e programa da disciplina. 3. São discutidos os conceitos de estruturas isostáticas, hipostáticas e hiperestáticas, assim como vantagens e desvantagens destas últimas. Dois métodos de análise de estruturas hiperestáticas são introduzidos: Método das Forças e Método dos Deslocamentos.

1. 1
Teoria de Estruturas II
- Estruturas hiperestáticas –
Prof. Marcelo Lopes Martins Borges
26/janeiro/2015
Centro Universitário do Leste de Minas Gerais
UNILESTE

2. 2
Objetivo
Fornecer os fundamentos da análise estrutural através do
cálculo de esforços e deslocamentos em estruturas
hiperestáticas utilizando-se o Método das Forças e o Método
dos Deslocamentos.

3. 3
Referências bibliográficas
• SORIANO, Humberto Lima, LIMA, Silvio de Souza. Análise de Estruturas –
Método das Forças e Método dos Deslocamentos.
• SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Deformações em
Estruturas – Método das Forças. Volume 2.
• SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Método das
Deformações – Processo de Cross. Volume 3.
• MARTHA, Luiz Fernando. Métodos Básicos da Análise de Estruturas.

4. 4
Avaliações
• Primeira avaliação: 20 pontos.
• Segunda avaliação: 25 pontos.
• Terceira avaliação: 25 pontos.
• Trabalhos: 20 pontos.
• PI: 10 pontos.
• Total: 100 pontos.

5. 5
Programa
1 – Introdução
2 – Métodos para análise de estruturas hiperestáticas
3 – Método das forças
4 – Método dos deslocamentos
5 – Processo de Cross
6 – Equação dos três momentos
7 – Introdução ao estudo dos cabos (complemento da Teoria de
Estruturas I)

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1 – Introdução
Quando uma estrutura possuir muitas reações externas e/ou forças internas a
serem determinadas usando apenas as equações de equilíbrio estático, ela
será estaticamente indeterminada.
Até o início do século XX, as estruturas estaticamente indeterminadas eram
evitadas o máximo possível pela maioria dos engenheiros.
O que fez mudar esta situação foi o avanço nos métodos de análise.

7. 7
1 – Introdução
A partir de uma breve revisão, as estruturas são classificadas quanto à
estaticidade e estabilidade.
1 – Os apoios são em número estritamento necessário para impedir todos os
movimentos possíveis da estrutura
O número de reações de apoio (número de
incógnitas) é igual ao número de
equações de equilíbrio.
Estrutura isostática - equilíbrio estável.

8. 8
1 – Introdução
2 – Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os
movimentos possíveis da estrutura
O número de reações de apoio (número de incógnitas) é inferior ao número
de equações.
O número de reações de apoio não impedi os deslocamentos de corpos
rígidos.
Estrutura hipostática - equilíbrio instável.
São estruturas inadmissíveis para as
construções.

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1 – Introdução
3 – Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os
movimentos possíveis da estrutura
O número de reações de apoio (número de incógnitas) é superior ao número
de equações de equilíbrio, não sendo possível a sua determinação.
Sistema indeterminado, sendo necessário o uso das equações de
compatibilidade de deformações.
Estrutura hiperestática - equilíbrio estável.

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1 – Introdução

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1 – Introdução
Na Teoria de Estruturas II, a análise se restringe ao estudo das estruturas em
barras, desenvolvendo métodos e processos de determinação de esforços
seccionais (tensões), deslocamentos e reações de apoio, com ênfase nas
denominadas estruturas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas.
Apesar da resolução da estrutura hiperestática ser complexa, a maioria das
estruturas é estaticamente indeterminada.
A seguir tem-se a comparação entre as estruturas isostáticas e hiperestáticas.

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1 – Introdução
1 - Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm, em geral, uma
distribuição mais otimizada ao longo da estrutura.
Isto pode levar a menores
valores para os esforços
máximos.

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1 – Introdução
2 – Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por
parte do analista estrutural.
Na Figura (a), as colunas são muito mais rígidas do que a viga, fazendo com
que as rotações das extremidades da viga sejam muito pequenas, se
aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas.

14. 14
1 – Introdução
Na Figura (c), a viga é
muito mais rígida que as
colunas, a ponto destas
não oferecerem
impedimento às rotações
das extremidades das vigas,
que se aproxima do comportamento
de uma viga simplesmente apoiada.
A Figura (b) representa
um caso intermediário.

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1 – Introdução
Na estrutura isostática, as reações de apoio e o diagrama de momentos
fletores independem dos parâmetros de rígidez relativos entre vigas e
colunas.
O diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações,
e da geometria da estrutura, sendo considerado uma vantagem para este
tipo de estrutura.
Outra vantagem é acomodar
pequenas deformações.

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1 – Introdução
Vantagens das estruturas hiperestáticas
1 – Economia de materiais
Um elemento estrutural de um determinado tamanho pode suportar mais
cargas sendo parte de uma estrutura continua do que se for simplesmente
apoiado.
Estruturas continuas de concreto ou aço são de menor custo sem as juntas, os
pinos e tudo o mais necessário para torná-las estaticamente determinadas,
como era frequentemente a prática no passado.

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1 – Introdução
Vantagens das estruturas hiperestáticas
2 – Coeficientes de segurança maiores
Quando partes de estruturas estaticamente indeterminadas são submetidas a
tensões acima de seus limites, frequentemente elas possuem a capacidade
de redistribuir partes daquelas tensões para áreas menos solicitadas.
Há uma redistribuição dos momentos na estrutura.
Esse comportamento é semelhante ao caso no qual três homens estão
caminhando com um tronco em seus ombros e um dos homens fica cansado
e abaixa um pouco seu ombro. O resultado é a redistribuição da carga para os
outros homens com modificações adequadas das reações, esforços cortantes
e momentos fletores ao longo do tronco.

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1 – Introdução
Vantagens das estruturas hiperestáticas
3 – Maior rigidez e menores deslocamentos transversais
Estruturas estaticamente indeterminadas são mais rígidas e apresentam
menores deflexões do que estruturas estaticamente determinadas. Devido a
sua continuidade, elas são mais espessas e possuem maior estabilidade em
relação a todos os tipos de cargas (horizontais, verticais, móveis).
4 – Estruturas mais atraentes

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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
1 – Recalque dos apoios
Podem causar variações nos momentos fletores, esforços cortantes, forças de
reação e forças nos elementos estruturais.
2 – Desenvolvimento de outras tensões
A modificação das posições relativas dos elementos estruturais causada por
variações de temperatura, má fabricação ou deformações internas dos
elementos estruturais sob a ação de cargas pode ocasionar variações
significativas das forças ao longo da estrutura.

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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
3 – Dificuldade de análise e projeto
As forças em estruturas estaticamente indeterminadas não dependem
apenas de suas dimensões, mas também das propriedades elásticas e
geométricas de sua seção transversal (módulo de elasticidade, momentos de
inércia e áreas).
Essa situação representa uma dificuldade de projeto: as forças não podem ser
determinadas até que as dimensões dos elementos estruturais sejam
conhecidos, e as dimensões dos elementos estruturais não podem ser
determinados até que suas forças sejam conhecidas.

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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
O problema é tratado admitindo-se dimensões dos elementos estruturais e
calculando-se as forças, projetando-se os elementos para essas forças e
calculando-se as forças para as novas dimensões e assim por diante, até que o
projeto final seja obtido.
O projeto por esse método – o método das aproximações sucessivas – toma
mais tempo do que o projeto de uma estrutura estaticamente determinada
correspondente.

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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
4 – Tensões reversas
Geralmente, ocorrem mais forças reversas em estrutura estaticamente
indeterminadas do que em estrutura estaticamente determinada. Pode ser
necessário material adicional em determinadas seções para que sejam
resistidas condições de carregamento diferentes e para evitar falhas por
fadiga.

23. 23
2 – Métodos
Estruturas estaticamente indeterminadas possuem mais forças desconhecidas
do que equações de equilíbrio estático, sendo necessário equações
adicionais. As forças além das necessárias para manter a estrutura estável são
denominadas forças redundantes, e podem ser forças de reação ou forças nos
elementos que fazem parte da estrutura.
Para a análise de estruturas hiperestáticas, têm-se dois métodos principais:
• Método das forças ou da flexibilidade ou da compatibilidade (MF)
As redundantes estáticas são selecionadas e removidas da estrutura de forma
que reste uma estrutura estável e estaticamente determinada.

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2 – Métodos
É escrita uma equação de compatibilidade para cada local de onde foi
removida uma redundante estática, e as equações resultantes são resolvidas
a fim de fornecerem os valores numéricos das redundantes. A seguir podem
ser usadas as equações da estática para calcular os esforços.

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2 – Métodos
• Método das deformações ou rigidez ou equilíbrio
Os deslocamentos dos nós necessários para descrever completamente a
configuração deformada da estrutura são usados em um conjunto de
equações simultâneas. Quando estas equações são resolvidas e os valores
desses deslocamentos encontrados, estes são substituídos nas relações força-
deformação de cada elemento estrutural para que sejam determinados vários
esforços internos.

26. 26
2 – Métodos

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2 – Métodos
Para estruturas muito indeterminadas estaticamente, como edifícios com
vários andares, o MF não é apropriado e útil para ser utilizado, sendo
indicado o MD. Contudo, o MF fornecerá um entendimento do
comportamento das estruturas indeterminadas.
O MD pode ser desenvolvido através do processo matricial, o qual é utilizado
na análise computacional.
Atualmente, a análise matricial através dos computadores substitui quase
completamente os métodos clássicos de análise nos escritórios de
engenharia, porém o estudo dos métodos clássicos oferece um melhor
entendimento do comportamento estrutural.

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2 – Métodos
“... Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de
estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de
projetos. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não
tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é
necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos
implementados, e que se tenha “sentimento de comportamento
das estruturas”. ...”
(Professor Humberto Lima Soriano, livro “Análise de Estruturas”, 2006)

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4 – Método das Forças
Sistemática
1. Grau de hiperestaticidade.
2. Escolha de um sistema isostático.
3. Cálculo dos deslocamentos (coeficientes de flexibilidade).
4. Resolução do sistema de equações de compatibilidade de
deslocamentos.
5. Obtenção dos esforços finais.

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
• Número de esforços desconhecidos (reações de apoio e esforços internos)
que supera o número de equações de equilíbrio disponível.
• Exemplo de cálculo do grau de hiperestaticidade
Pórtico plano com articulação (SORIANO, pgs. 75 e 76)
• A rótula em D expressa que não se tem
transmissão de momento fletor da barra CD
para a extremidade D das barras BD e DF.

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
• Na extremidade D da barra CD pode-se ter apenas esforço cortante e
esforço normal, quando se “abre” a parte fechada CDEF, representada na
figura b: gint = 2

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
• OU quando se “abre” a seção extrema esquerda da barra CD, têm-se,
nessa seção, momento fletor, esforço cortante e esforço normal. Isso é um
esforço seccional a mais que o caso precedente, mas tem-se também a
equação de equilíbrio adicional
• Logo gint = 3  1 = 2
0 CD
DM

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
• Na figura estão representados quatro reações de apoio. Como no presente
plano têm-se apenas 3 equações de equilíbrio da estática (Fx = 0 ,
Fy = 0, Mz = 0):
gext = 4 – 3 = 1
• Logo, o grau de indeterminação estática total é:
gtotal = gint + gext
gtotal = 1 + 2 = 3

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
Treliça plana
O grau de hiperestaticidade total pode ser determinado pela expressão:
b  r = 2  n  g
OU
g = b + r – 2 x n
onde: b = número de barras;
r = número de reações de apoio;
n = número de nós.

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
Exemplo:

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
Outra forma de se determinar o grau de hiperestaticidade para pórticos
planos é através do procedimento geral do prof. Luiz Fernando Martha:
g = (nº de incógnitas do problema estático) – (nº de equações de equilíbrio)
As incógnitas do problema estático dependem dos vínculos de apoio da
estrutura e da existência de ciclos fechados (anéis).

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
(nº de incógnitas do problema estático) =
(nº de componentes de reação de apoio) + 3 x (nº de anéis)
(nº de equações de equilíbrio) = (3 equações do equilíbrio global) + (nº de
equações vindas de articulações externas)
articulações externas = n – 1 se a articulação é completa na qual convergem n
barras
articulações externas = 1 se a articulação não for completa
Logo:
g = [(nº de componentes de reação de apoio) + 3 x (nº de anéis)] – [3 + (nº de
equações vindas de articulações externas)]

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade

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4 – Método das Forças
1º passo: grau de hiperestaticidade
Determinação do grau de hiperestaticidade para grelhas é análoga ao
procedimento adotado para pórticos planos
• Uma barra de grelha tem três esforços internos: esforço cortante,
momento fletor e momento torçor.