Cap 2. Equilíbrio de um corpo rígido.pdf

Equilíbrio de corpos
rígidos. Elementos de
isostática.
Mecânica e Resistência de Materiais
FACULDADE DE ENGENHARIA
Licenciatura em Engenharia de Energias Renováveis
MSc. Naresse Inguane, Eng.
Email: yngcontacto@gmail.com
1

2. Equilíbrio de um corpo
indeformável (RÍGIDO)
▪ Todo sólido submetido à ação de forças se deforma, entretanto, na prática, a
natureza do problema em estudo, muitas vezes permite abstração desta deformação
e considerar o sólido como um corpo rígido.
▪ Corpo rígido é todo sólido capaz de receber forças sem se deformar.
▪ Seja um corpo rígido contido em um plano e cujos deslocamentos possíveis
também estejam contidos neste plano. Neste caso este corpo rígido estará em
equilíbrio se e somente se as três equações fundamentais da estática forem
satisfeitas:
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▪ 1 - A soma das componentes horizontais de todas as forças aplicadas a este corpo
rígido é nula.
▪ 2 - A soma das componentes verticais de todas as forças aplicadas a este corpo
rígido é nula.
▪ 3 - A soma dos momentos, em qualquer ponto do corpo rígido, oriundos de todas
as forças aplicadas a este corpo rígido, é nula.
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▪ Sendo o MOMENTO (Mo) definido pelo produto da força (F) pela distância (z)
do ponto considerado (O) à linha de acção desta força.
▪ Esta distância é conhecida por BRAÇO DE ALAVANCA.
▪ As unidades usuais de momento são: N.m, N.cm, N.mm e etc.
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▪ O corpo rígido descrito anteriormente é na realidade uma abstração, entretanto
grande parte das estruturas podem ser estudadas como um conjunto de estruturas
menores que se comportam da forma descrita acima.
▪ Estas estruturas são ditas estruturas planas pois estão contidas em um plano com
deslocamentos exclusivamente neste plano.
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▪ A titulo de exemplo, pode-se obter as forças Fl , F2 e F3 para que o corpo rígido da
figura 11 esteja em equilíbrio.
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LIGACOES E APOIOS (VINCULOS)
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▪ Entende-se por apoio, o elemento de vinculação (vínculo) da estrutura
propriamente dita com o solo ou qualquer outro elemento da infra-estrutura
(pilares, vigas, etc.).
▪ Realizam as ligações do corpo rígido com o exterior, constrangendo translações e
rotações dando origem as reacções do exterior sobre o corpo rígido.
▪ Existem vários tipos de apoio, sendo os mais utilizados: o apoio móvel, o apoio
fixo, o engastamento móvel e o engastamento fixo.

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▪ APOIO MÓVEL
▪ Pode ser formado por dois berços (superior e inferior), um rolo entre eles que
permite a rotação e dois outros rolos nos quais se apoia o berço inferior, permitindo
a translação do conjunto sobre a superfície de apoio.
▪ O sistema possui dois graus de liberdade, isto é, ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO
PARALELA À SUPERFÍCIE DE APOIO.

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▪ APOIO MÓVEL
▪ O sistema possui apenas uma reacção cuja direção é perpendicular à superfície de
apoio e passa pelo centro do rolo que dá formação a rótula.

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▪ APOIO FIXO
▪ O apoio fixo difere do apoio móvel apenas por não permitir a translação pode ser
montado em laboratório, conforme representação da figura 17.
▪ O sistema possui somente um grau de liberdade, a rotação.
▪ Sua reacção é de direcção desconhecida, podendo ser decomposta em duas, uma
perpendicular e outra paralela à superfície de apoio.

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▪ APOIO FIXO
▪ Sua reacção é de direção desconhecida, podendo ser decomposta em duas, uma
perpendicular e outra paralela à superfície de apoio.

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▪ ENGASTAMENTO MÓVEL
▪ Um engastamento móvel possui somente um grau de liberdade, ou seja, a
translação paralela à superfície de apoio.
▪ Sua reacção é definida por um momento, dito momento de engastamento, que
impede a rotação, e uma reacção perpendicular à superfície de apoio passando pelo
eixo médio dos rolos, que impede a translação na direção deste eixo.

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▪ O engastamento fixo é um tipo de apoio, que não possui grau de liberdade.
▪ Sua reacção é definida através de três parâmetros: reacção perpendicular,
reacção paralela ao eixo longitudinal da peça e momento de engastamento.

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▪ ENGASTAMENTO FIXO
▪ As reacções impedem as translações e o momento impede a rotação.

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▪ ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS
▪ Uma das condições para que uma estrutura seja segura, é que as condições de
apoio sejam estáveis.
▪ Entende-se por condição de apoio estável, como regra e portanto existindo
exceções, ditos casos especiais, qualquer combinação de apoios que forneça três
ou mais reações de apoio.

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▪ ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS
▪ Figura 24 apresenta alguns exemplos de condição de apoio estável.

CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
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▪ Quanto a combinação de apoios, externamente, as estruturas podem sem ser:
▪ Estruturas hipostáticas são as estruturas nas quais a combinação de apoios é
instável, portanto possuem em geral menos de três reações.
▪ Por terem combinação de apoio instável nunca devem ser utilizadas.

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▪ Estruturas isostáticas ou estruturas estaticamente determinadas são as
estruturas cuja combinação de apoios é estável, entretanto possuem apenas três
reacções, as quais podem ser obtidas através das três equações de equilíbrio.

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▪ Estruturas hiperestáticas ou estruturas estaticamente indeterminadas, são
estruturas que possuem uma combinação de apoios estável.
▪ Porém com mais de três reacções e portanto as três equações de equilíbrio não são
suficientes para obtê-las, assim necessitam equações suplementares oriundas da
compatibilidade de deslocamentos, para obter suas reações. Este tipo de estrutura
não será nosso objecto de estudo.

Resumo: Tipos de ligações
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Análise da isostaticidade
24
▪ Fórmula geral para a análise da isostaticidade
▪ Onde:
▪ n………... grau de isostaticidade
▪ t ……….. nº de ligações exteriores = nº de restrições de movimentos esteriores (reacções de apoio)
▪ r………… nº de ligações interiores = nº de restrições de movimentos em nós de ligação (rótulas e
nós rígidos)
▪ p ……….. nº de elementos estruturais
Se n=0 → estrutura isostática; n<0 → hipostatica e n>0 → hiperstatica

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▪ Fórmula geral para a análise da isostaticidade
▪ 1 - Uma rótula concorrida por m barras introduz (m-1)x2 ligações internas, ou seja, r= (m-1)x2.
▪ 2 - Uma nó rígido concorrido por m barras introduz (m-1)x3 ligações internas, ou seja, r= (m-1)x3.
Análise da isostaticidade

Resumo
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▪ A análise da isostaticidade de uma estrutura é independente do carregamento da mesma;
▪ É impossível calcular uma estrutura hipostática;
▪ Para as estruturas hiperestéticas não são permitidos movimentos contribuindo para uma destruição fácil;
▪ De uma forma geral para que uma estrutura no plano seja estável, são necessárias pelo menos três ligações
exteriores.
▪ Sendo esta última uma condição necessária mas não suficiente.
▪ Estruturas isostáticas (n=0)
▪ Estruturas hipostáticas (n<0)
▪ Estruturas hiperstátias (n>0)

2. Reacções de Apoio
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▪ Cargas coplanares
▪ Se o corpo estiver submetido a um sistema de forcas coplanares, existiram apenas os
componentes de força normal, de cisalhamento e momento flector.
▪ Se usarmos os eixos de coordenadas x, y, z, com origem definida no ponto O, como
mostrado no segmento da esquerda, então uma solução directa para N é obtida aplicando-
se σ 𝐹𝑥 = 0, e V é obtida directamente de σ 𝐹𝑦 = 0. O momento flector 𝑀𝑜 é determinado
directamente pela soma dos momentos em torno do ponto O, σ 𝑀𝑜 = 0, a fim de eliminar
os momentos provocados pelas incógnitas N e V.

2. Reacções do Apoio
▪ Procedimento de análise
▪ O método das secções é usado para determinar a resultante das cargas internas em um
ponto localizado na secção de um corpo. A aplicação do método das secções requer os
seguintes passos para obter tais resultantes.
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▪ As forças de superfície que se desenvolvem nos apoios ou pontos de contacto entre
corpos são chamadas reacções.
▪ Pode-se determinar o tipo de reacção do apoio imaginando o elemento a ele
acoplado como sendo transladado ou girado em uma direcção em particular.
▪ Se o apoio impede a translação em dada direcção, então deve ser desenvolvida uma
forca naquela direcção.
▪ Se a rotação for impedida, deve ser aplicado um conjugado sobre o elemento.
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2. Reacções de Apoio
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▪ Cargas coplanares
▪ Força normal, N: essa força actua perpendicularmente à área. É criada sempre que as forças externas
tendem a empurrar ou puxar duas partes do corpo.
▪ Força de Cisalhamento, V: localiza-se no plano da área e é criada quando as cargas externass tendem a
provocar o deslizamento das duas partes do corpo, uma sobre a outra.
▪ Momento de Torção ou Torque, T: esse efeito é criado quando as cargas externas tendem a torcer uma
parte do corpo em relação a outra.
▪ Momento Flecto, M: é provocado pelas cargas externas que tendem a flectir o corpo em relação ao eixo
localizado no plano da área.

▪ Reacções dos apoios
▪ Decidir primeiro qual segmento do corpo será considerado. Se esse segmento tiver um
apoio ou elemento de ligação com outro corpo (tipo rótula), então antes de seccionar o
corpo será necessário determinar as reacções que actuam sobre o segmento escolhido.
Desenhar o diagrama de corpo livre de todo o corpo e aplicar então as equações de
equilíbrio requeridas para obter as reacções que agem no segmento escolhido.
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▪ Diagrama de Corpo Livre
▪ Manter todas as cargas externas distribuídas, momentos binários, torques e forças que actuam sobre o corpo em
suas localizações extactas; traçar então uma secção imaginária através do corpo no ponto em que a resultante das
cargas internas será determinada.
▪ Se o corpo representa o elemento de uma estrutura ou dispositivo mecânico, a secção é, em geral, perpendicular
ao eixo longitudinal do elemento.
▪ Desenhar o diagrama de corpo livre de um dos segmentos cortados, indicando as resultantes desconhecidas N, V,
M e T na secção. Essas resultantes normalmente são colocadsa no ponto que representa o centro geométrico ou
centróide da área seccionada.
▪ Se o elemento está submetido a um sistema de forças coplanares, somente N, V e M actuam sobre o centroide.
▪ Definir os eixos de cooredenadas x, y, z com origem no centroide e mostrar os componentes da resultante que
actuam ao longo dos eixos. 33

▪ Diagrama de Corpo Livre
▪ Os momentos em torno de cada eixo de coordenadas, na secção em que as resultantes actuam, devem ser
somados; assim, é possível eliminar as forças desconhecidas N e V, permitindo uma solução directa de M.
▪ Se a solução das equações de equilíbrio resulta em valor negativo para uma resultante, o sentido de direcção
da resultante adoptado no diagrama de corpo livre é oposto ao sentido mostrado no caso real.
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CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
(ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS)
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▪ Estruturas isostáticas ou estruturas estaticamente determinadas são as
estruturas cuja combinação de apoios é estável, entretanto possuem apenas três
reacções, as quais podem ser obtidas através das três equações de equilíbrio.

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▪ Passos para o cálculo de reacções de apoio:
▪ 1º Passo – Traçado do diagrama do corpo livre
▪ 2º Passo–Análise de Isostaticidade
▪ 3ºPasso–Equações de equilíbrio

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▪ Passos para o cálculo de reacções de apoio:

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▪ t = 3 - reacções de apoio
▪ r = 0 - rótulas e nós rígidos
▪ p = 1 – um elemento estrutural
▪ n = 0
▪ n=L−(G+3)
▪ L=3 – número de incógnitas
▪ G=0 - número de rótulas
▪ n = 0

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▪ 3º Passo–Equações de equilíbrio
▪ Estabelecer um sentido positivo para todos os sentidos

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▪ Verificação:
▪ É feita usando uma equação diferente das que foram
usadas para o cálculo das reacções de apoio

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▪ Exemplo 2

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▪ Exemplo 2
▪ n=L−(G+3)
▪ L=4
▪ G=1
▪ n=0 ⟶A estrutura é isostática
▪ t = 3 - reacções de apoio
▪ r = (m-1)x2 = (2-1).2 = 2
▪ p = 1 – um elemento estrutural
▪ n = 4 + 2 – 3x2 = 6 – 6 = 0
- Uma rótula concorrida por m barras introduz (m-
1)x2 ligações internas, ou seja, r= (m-1)x2.

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Para que o corpo não se deforme é necessário que o momento
das forças de cada parte em relação a rótula (ponto C) seja
nulo, pois o corpo não deve rodar na rótula.

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Para que o corpo não se deforme é necessário que o momento
das forças de cada parte em relação a rótula (ponto C) seja
nulo, pois o corpo não deve rodar na rótula.
Verificação

Exercícios
45
▪ Calcular as reações de apoio, para as estruturas isostáticas,

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