Este documento resume um curso sobre Análise e Modelagem de Sistemas Dinâmicos, cobrindo: 1) Estabilidade de sistemas discretos e o critério de Jury para determinar estabilidade; 2) Resposta temporal de sistemas discretos definida por sua função de transferência; 3) Mapeamento de polos para análise gráfica da estabilidade.

1. Análise e Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Análise de Sistemas Discretos
Rafael A. Cordeiro
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Espírito Santo
ELE15951 - 1𝑜
semestre de 2023
R. A. Cordeiro rafael.cordeiro@ufes.br ELE15951 – 1𝑜 semestre/2023

2. Prefácio
Aulas anteriores
Modelagem de sistemas lineares em tempo contínuo e discreto
y Domínio da frequência (Laplace/Transformada Z)
y Domínio do tempo (Espaço de Estados)
Análise de sistemas lineares em tempo contínuo
y Estabilidade
y Resposta temporal
Aprendizagem esperada
Estabilidade de sistemas discretos
Critério de Jury
Resposta temporal
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3. Estabilidade
O conceito de estabilidade é equivalente para os tempos contínuo e discreto
Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI) discretos
Para sistemas lineares discretos, existe um único ponto de equilíbrio na origem
y Sistemas lineares são estáveis se para qualquer condição inicial, a saída 𝑦(𝑘) tender a zero
quando 𝑘 → ∞
y O sistema é instável se a saída “explode”, ou seja, se para alguma condição inicial a resposta
𝑦(𝑘), em módulo, tender a infinito quando o 𝑘 → ∞
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4. BIBO Estabilidade — Bounded-Input-Bounded-Output
O sistema é dito BIBO estável se uma entrada limitada em módulo sempre gerar uma
saída também limitada
Seja 𝑢(𝑘) ∶ |𝑢(𝑘)| ≤ 𝑀 < ∞, ∀𝑘 > 0, ℎ(𝑘) a resposta impulsiva de um sistema, e 𝑦(𝑘) a
saída. Portanto:
|𝑦(𝑘)| =
|
|
|
|
|
|
𝑘
∑
𝓁=0
ℎ(𝓁)𝑢(𝑘 − 𝓁)
|
|
|
|
|
|
≤
𝑘
∑
𝓁=0
|ℎ(𝓁)𝑢(𝑘 − 𝓁)|
≤
𝑘
∑
𝓁=0
|ℎ(𝓁)| |𝑢(𝑘 − 𝓁|
≤ 𝑀
𝑘
∑
𝓁=0
|ℎ(𝓁)|
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5. BIBO Estabilidade — Bounded-Input-Bounded-Output
Logo, para que a saída 𝑦(𝑘) seja limitada, é preciso que
𝑘
∑
𝓁=0
|ℎ(𝓁)| seja limitada quando
𝑘 → ∞. Ou seja, um sistema LTI discreto será BIBO estável se, e somente se:
∞
∑
𝓁=0
|ℎ(𝓁)| < ∞
Para que essa soma convirja quando 𝑘 → ∞, é necessário que lim
𝑘→∞
ℎ(𝑘) = 0
Exemplo: integração por Euler direto
0 𝑘𝑇𝑠 𝑘𝑇𝑠 + 𝑇𝑠
𝑦(𝑘)
𝑓(𝑘𝑇𝑠)
𝑓(𝑘𝑇𝑠 + 𝑇𝑠)
𝑡
𝑓
𝑌 (𝑧) =
𝑇𝑠
𝑧 − 1
𝐹(𝑧) ⇒ 𝐻(𝑧) = 𝑇𝑠𝑧−1 𝑧
𝑧 − 1
⇒ ℎ(𝑘) = 𝑇𝑠1(𝑘 − 1)
Condição BIBO estável:
∞
∑
𝓁=0
|ℎ(𝓁)| = 𝑇𝑠
∞
∑
𝓁=1
1 = ∞
y O sistema não é BIBO estável
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6. Resposta impulsiva
A função de transferência 𝐻(𝑧) =
𝑌 (𝑧)
𝑈(𝑧)
corresponde a resposta do sistema ao impulso.
A função de transferência pode ser escrita, de forma geral, como:
𝐻(𝑧) =
𝑏𝑚𝑧𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑧𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑧 + 𝑏0
𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑧 + 𝑎0
= 𝐾
∏𝑚
𝑖=1(𝑧 − 𝑧𝑖)
∏𝑛
𝑖=1(𝑧 − 𝑝𝑖)
y K é o ganho do sistema
y 𝑧𝑖 são os zeros do sistema, solução da equação do numerador
y 𝑝𝑖 são os polos do sistema, solução da equação do denominador (equação característica)
Desenvolvendo o sistema por equações parciais, temos que a resposta impulsiva pode ser
escrita como
ℎ(𝑘) =
𝑘
∑
𝑖=0
𝐾𝑖𝑝𝑘
𝑖
y 𝐾𝑖 pode ser um polinômio em 𝑘 dependendo da multiplicidade do polo
y Polos complexos aparecem em pares complexo conjugados
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7. Análise de Polos
𝐻(𝑧) =
𝑧
𝑧 − 𝑝
⇒ ℎ(𝑘) = 𝑝𝑘
Para 0 < 𝑝 < 1, tem-se lim
𝑘→∞
𝑝𝑘
= 0, portanto a resposta impulsiva tende a zero e o sistema
é estável
Para p = 1, tem-se lim
𝑘→∞
1𝑘
= 1, e a resposta impulsiva não tende a zero e nem tende a
infinito, caracterizando um sistema marginalmente estável
Para p > 1, tem-se lim
𝑘→∞
𝑝𝑘
= ∞, portanto a resposta impulsiva “explode” e o sistema é
instável
As conclusões acima são idênticas para 𝑝 negativo
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8. Análise de Polos
O sistema será BIBO estável se, e somente se, o módulo de todos os polos do sistema
forem menor que 1.
y BIBO Estável ⇔ |𝑝𝑖| < 1, ∀𝑖
Se ao menos um dos polos tiver módulo maior que 1, o sistema é instável
Para o caso onde o módulo é igual a 1:
y Se 𝑝 = 1, então ℎ(𝑘) é constante.
y Se 𝑝 ≠ 1, então ℎ(𝑘) será oscilatório.
Nos casos acima, a condição inicial não tende a zero, mas também não diverge. Diz-se
então que o sistema é marginalmente estável
No caso de |𝑝| = 1 com multiplicidade maior que 1, então a resposta impulsíva cresce com
o tempo e o sistema se torna instável.
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9. Mapa de Polos e Zeros
Estabilidade pelo mapeamento dos polos
−2 0 2
−2
0
2
Im
Re
Estável
Marg. Estável
Instável
O sistema será estável se todos os polos se encontram
dentro do círculo unitário
O sistema será instável se um destes dois casos ocorrerem:
y Existir ao menos um polo fora do círculo unitário
y Existir polos de multiplicidade maior do que 1 sobre o
círculo unitário
O sistema será marginalmente estável se não for instável e
houver polos de multiplicidade 1 sobre o circulo unitário
Sistema em Espaço de Estados
Para sistemas em espaço de estados, basta verificar o
mapeamento dos autovalores da matriz 𝑨𝑑
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10. Critério de Jury
Critério de Jury é o equivalente discreto ao critério de Routh-Hurwitz para determinar a
estabilidade
Condição necessária e suficiente para a estabilidade
Seja o polinômio característico de um sistema SISO:
𝜙(𝑧) = 𝑎𝑛𝑧𝑛
+ 𝑎𝑛−1𝑧𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2
+ 𝑎𝑛−3𝑧𝑛−3
+ ⋯ 𝑎2𝑧2
+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0 .
as raízes de 𝜙(𝑧) estarão dentro do círculo unitário se, e somente se, as seguintes condições
forem satisfeitas:
1 𝜙(1) > 0
2 (−1)𝑛
𝜙(−1) > 0
3 |𝑎0| < |𝑎𝑛|
4 |𝑏𝑖,0| > |𝑏𝑖,𝑛−𝑖|, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 2
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11. Tabela de Jury
Linha i 𝑧0
𝑧1
𝑧2
𝑧3
⋯ 𝑧𝑛−1
𝑧𝑛
𝑖 = 0
𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−3 ⋯ 𝑎1 𝑎0
𝑖 = 1
𝑏1,0 𝑏1,1 𝑏1,2 𝑏1,3 ⋯ 𝑏1,𝑛−1
𝑏1,𝑛−1 𝑏1,𝑛−2 𝑏1,𝑛−3 𝑏1,𝑛−4 ⋯ 𝑏1,0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑖 = 𝑛 − 2
𝑏𝑛−2,0 𝑏𝑛−2,1 𝑏𝑛−2,2
𝑏𝑛−2,2 𝑏𝑛−2,1 𝑏𝑛−2,0
Sendo:
𝑏𝑖,𝑗 =
|
|
|
|
|
𝑏𝑖−1,0 𝑏𝑖−1,𝑛−𝑖+1−𝑗
𝑏𝑖−1,𝑛−𝑖+1 𝑏𝑖−1,𝑗
|
|
|
|
|
= 𝑏𝑖−1,0𝑏𝑖−1,𝑗 − 𝑏𝑖−1,𝑛−𝑖+1−𝑗𝑏𝑖−1,𝑛−𝑖+1
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12. Critério de Jury
Exemplo 1: 𝐺(𝑧) =
𝑁(𝑧)
𝑧4 − 1.2𝑧3 + 0.07𝑧2 + 0.3𝑧 − 0.08
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13. Critério de Jury
Exemplo 1: 𝐺(𝑧) =
𝑁(𝑧)
𝑧4 − 1.2𝑧3 + 0.07𝑧2 + 0.3𝑧 − 0.08
𝜙(1) = 0.09 > 0 (ok!); (−1)4
𝜙(−1) = 1.89 (ok!); | − 0.08| < |1| (ok!)
Linha i 𝑧0
𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑧4
𝑖 = 0
−0.08 0.3 0.07 −1.2 1
1 −1.2 0.07 0.3 −0.08
𝑖 = 1
−0.9936 1.176 −0.0756 −0.204
−0.204 −0.0756 1.176 −0.9936
𝑖 = 1
0.9456 −1.1839 0.3150
0.3150 −1.1839 0.9456
Linha 1: | − 0.9936| > | − 0.204| (ok!)
Linha 2: |0.9456| > |0.3150| (ok!)
Logo os critérios são satisfeitos e o sistema é estável. 𝜙(𝑧) = (𝑧 − 0.8)(𝑧 + 0.5)(𝑧 − 0.5)(𝑧 − 0.4)
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14. Critério de Routh-Hurwitz
O critério de Routh-Hurwitz fornecia mais informações com relação aos polos
É possível usar o critério de Routh-Hurwitz para sistemas discretos transformando-os em
contínuo
É preciso utilizar um método que garanta o mapeamento dos polos
y Método de Tustin (bilateral): 𝑧 =
𝑠 + 1
𝑠 − 1
(independe da amostragem)
Note que para 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔, temos |𝑧|2
=
(𝜎 + 1)2 + 𝜔2
(𝜎 − 1)2 + 𝜔2
. Portanto:
𝜎 < 0 ⇒ |𝑧|2
< 1, portanto estável
𝜎 > 0 ⇒ |𝑧|2
> 1, portanto instável
𝜎 = 0 ⇒ |𝑧|2
= 1, portanto marginalmente estável
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15. Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo 2: 𝐺(𝑧) =
1
𝑧2 − 0.25
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16. Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo 2: 𝐺(𝑧) =
1
𝑧2 − 0.25
Utilizando 𝑧 =
𝑠 + 1
𝑠 − 1
, chega-se em 𝐺(𝑠) =
𝑠2 − 2𝑠 + 1
0.75𝑠2 + 2.5𝑠 + 0.75
. Aplicando o critério de
Routh-Hurwitz:
𝑠2
: 0.75 0.75 0
𝑠1
: 2.5 0 0
𝑠0
: 0.75 0 0
Primeira coluna 0.75 → 2.5 → 0.75. Não há troca de sinais e o sistema é estável.
𝑠⋆
= −3, 0, −0, 33. Original: 𝑧⋆
= ±0.05
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17. Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo 3: 𝐺(𝑧) =
1
𝑧3 − 1.2𝑧2 − 1.375𝑧 − 0.25
R. A. Cordeiro rafael.cordeiro@ufes.br ELE15951 – 1𝑜 semestre/2023 14/18

18. Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo 3: 𝐺(𝑧) =
1
𝑧3 − 1.2𝑧2 − 1.375𝑧 − 0.25
Utilizando 𝑧 =
𝑠 + 1
𝑠 − 1
, chega-se em 𝜙(𝑠) = −1.875𝑠3
+ 3.875𝑠2
+ 4.875𝑠 + 1.125. Aplicando
o critério de Routh-Hurwitz:
𝑠3
: −1.875 4.875 0
𝑠2
: 3.875 1.125 0
𝑠1
: 5.419 0 0
𝑠0
: 1.125 0 0
Primeira coluna −1.875 → 3.875 → 5.419 → 1.125. Há uma troca de sinal e o sistema é
instável com 1 polos no SPD.
𝑠⋆
= −0, 6, −0, 33, 3, 0. Original: 𝑧⋆
= −0, 5199, −0, 2448, 1, 9646.
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19. Resposta de Sistemas Dinâmicos Discretos
Assim como no caso contínuo, a função de transferência (no caso, em Z) descreve a
resposta de um sistema dinâmico LTI-SISO discreto
Os polos (solução da equação característica) determinam a estabilidade do sistema
y y O sistema é estável se, e somente se, todos os polos estiverem dentro do círculo
unitário
A posição dos polos e zeros determinam o comportamento temporal do sistema
Entretanto, não existe uma solução analítica padrão que relacione o valor dos polos dos
sistemas discretos com relação ao seu comportamento
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20. Resposta de Sistemas Dinâmicos Discretos
Características da resposta
Não há uma relação direta entre os polos discretos e a características temporal da
resposta
y Tempo de subida, sobre-impuso, tempo de estabilização, ...
Alternativa: utilizar um mapeamento de polos e zeros para caracterizar o sistema discreto
com relação a seus polos
Como visto anteriormente, a discretização por ZOH transcreve o comportamento temporal
do sistema contínuo em tempo discreto
A relação de polos na discretização por ZOH é traduzida por: 𝑧 = 𝑒𝑠
𝑇𝑠
Assim é possível utilizar a mesma caracterização do caso contínuo
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21. Resposta de Sistemas Dinâmicos Discretos
Exemplo
Determine uma função de transferência discreta de segunda ordem (𝑇𝑠 = 0.1s) que apresente máximo
sobre-impulso 25%, tempo de estabilização a 2% de 4s e resposta estacionário 𝑦𝑠𝑠 = 1.
𝑀𝑝 = 0.25 ⇒ 𝜁 =
− ln(𝑀𝑝)
√
𝜋2 + ln2
(𝑀𝑝)
= 0.4037
𝑡𝑠2 = 4 → 𝜔𝑛 =
4
𝜁𝑡𝑠2
= 2.477
𝑠1.2 = −𝜁𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛
√
1 − 𝜁2 = −1 ± 𝑗2.27 ⇒ 𝑧1,2 = 𝑒𝑠1,2𝑇𝑠 = 0.88 ± 𝑗0.2
𝐺(𝑧) =
𝐾
(𝑧 − 𝑧1)(𝑧 − 𝑧2)
=
𝐾
𝑧2 − 1.763𝑧 + 0.8187
Teorema do valor final: 𝑦𝑠𝑠 = lim
𝑧→1
(𝑧 − 1)𝑌 (𝑧) = (𝑧 − 1)𝐺(𝑧)
𝑧
𝑧 − 1
=
𝐾
0.0557
Para ganho unitário: 𝐺(𝑧) =
0.0557
𝑧2 − 1.763𝑧 + 0.8187
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22. Resposta de Sistemas Dinâmicos Discretos
Exemplo
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.5
1
1.5
1.251
𝑘 = 35 (𝑡 = 3.5s)
𝑘
𝑦(𝑘) Resposta ao degrau
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