Lugar das raizes

1. UD-S·
LUGAR DAS RAizES ]
--~-
OBJETIVO
Apresentar os fundamentos basicos e a forma de emprcgo do metodo do
LUGAR DAS RAIZES em sistemas de controlc lincares,continuos e invariantes
no tempo.
SUMARIO (D/AZZO, CAPiTULO 7)
5.1 Introdu<;ao
5.2 Representa<;3.o das raizes de uma equa<;ao caracteristica
5.3 .Analise qualitativa do lugar das raizes
5.4 Procedimcnto resumido do metodo do lugar c1as raizes
5.5 Fun<;ao de transfercncia a malha aberta
5.6 Palos da rela<;ao cle controle
5.7 Propriedades geometricas do lugar das raizes
5.S Exercicio
PRE-REQUISITOS
UD-I a UD-4
5.1 INTRODU(:AO
Para 0 projelista de sistemas de controle c esscncial a car~lciclaclc (/c
preyer 0 desempcnho do sistema por meio cle um metodo de a!l{~lisc que scja
simples..
Edesejclvel, tambcm, que eSSJ anilisc indique como ajLlst8r OLl comoenS,ll"
o sistema, a fim de obter as caractcrlsticas de desempcnho clescj8das.
94

2. A primeira duvida que 0 projetista deseja sanar a respeito de um si:;tern:1
e sobre a sua estabilidade. Enquanto 0 criterio de Routh indica sc 0 sistema e
estave1 ou nao, 0 Metododo Lugar das Raizes revela, a1cm disso, seu grau de
estabilidade.
Em 1942 W. R. Evans, em sua tese de mestrado, concebeu 0 Metodo do
Lugar das Raizcs.
LUGAR DAS RAIZES grafico das raizcs da cquac;ao caractCrtstIca de um
sistema a malha fechada, em func;ao dv ganho.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL: os palos cia relac;ao de controle C(;;)IR(s)
(modos cia rcsposta transitaria) se
relacionam com os palos e zeros cia fun<;ao
de transfc.Jcncia a malha abena G(s).H(s) e
com 0 ganho K
VANTAG EM : as raizes da cquac;ao caractcnstIca podem ser obtidas
diretamente. Oai resulta a soluc;ao completa da rc::;posla
transitaria e da resposta em regime permanente cia v;:ri8vel
controlada c(t).
5.2 REPRESENTACAO DAS RAIZESDE UMA EQUACAO
CARACTERISTICA
Toma-se como exemplo 0 sistema de contro!e de posic;ao abaixo :
R(S) E (S) ~
B (S)
C(S)
G(S) = S(;+ 2)
Sua fun<;ao de transfercncia a malha fcchada ( relac;:ao de conlrole ) C:
C(s) CD~
I
·K K
(7.3)
2 :; I
R(s) 5 ( 5 + 2) + K
+ ') r (U
S + 2 s + K s - '> II 5 + CDI~
onde CDn /K ( I/iK c 0</«00
o problema que se aprCslnta (~: delelillil1:1(:F (Jizes dJ eqll:l(;:i(
caractcrisllca f':-!J3 lodos os v(;lll'[T:-; de .f.( e rcprcscl1i:i-1J:-' !"j() r :1110 S
-I ± Jl - K
95

3. a) K=O
51,2 sao, tambem,
aberta G(5)H(5).
os palos da fun~ao de transferencia a malha
b) K = 1 51,2 =-1
c) 0 < K < 1 as raizes 51,2
0> 51>-1 -2 < 52 <-I
sc situam sobre 0 eixo real negativo do planu s.
d) K> 1 as raizes sao complexas e conjugadas.
SI,2=a ±jWd- -(wn +jw"JI-(2 - -I ±jJK-I
f j",
K
Pianos
Tabcla 7.1 Localizn~ao das rail.cs j2.0
para a cqua~:io caracteristica
s~ + 2s + K = 0 j.Q
K s,
?.Q jl,O
o -0 .. jO -2.0 - jO
K~9 ~ 1.9 K-Q
-O~~ -0,293 -I- jO -1.701- jO -2 -I Qj (J
0.75
1,0
-0,5
-1.0
-I- jO
-I- jO
-1,5
-1.0
- jO
- iO t ?.Q -jl.O
~,O
J.O
-1.0
-1,0
.. j 1.0
-I- jl.414
-1.0
-1,0
-jt,O
-jl,414
j.Q
-j2.0
K
I
Flg. 7.2 Tra~ado de todas as rail.es da cqua~50 caracterfstica s' + 2s + K = 0 para 0 .;; K .;; co. Os
valorcs de K cstiio subJinhados.
D'Al.zo/m
Sobre as curvas, constituidas de dois ramos, situam-se todas as possivcis
raizes da equac;iio caracteristica quando K assume valorcs de 0 a <Xl
Cada ramo cgraduado em func;ao do padimetro K (valoree; sublinhados).
As sctas assinalam a direc;ao dos valores cresccntes de K.
Essas curvas constitucm-sc no trac;ado do lugar das raizes cia relaC;30 de
controle (7.3).
Concluido 0 trac;ado, podem scr sclecionadas as ralzes que melhar
atcndcm as cspecificac;6es de dcsempenho do sistema.
96

4. A partir do grafico pode ser detcrminado 0 valor de K correspondente as
raizes selccionadas.
Escolhidas as raizes, pode ser obtida a resposta no dominio do tempo.
A partir do lugar das raizes de urn sistema de controle pode-se determinar
a varia<;ao no descmpenho do sistema com rela<;ao a uma varia<;ao do padimctro
K.
Como ilustra<;ao, a seguir canalisado 0 lugar das raizes do exemplo da
pagina 95, sendo apresentadas as propriedades vinculadas ao aumcnto do g;lOho
K do sistema.
1) Diminuiyao do rator de amortccimento ( acarrctando allmento da
ultrapassagem maxima Me da resposta no dominio do tempo.
Equa<;ao caracteristica: b2 S2 + hi S + ho = 0
AMORTECIMENTO EFETIVO bI bI
( - (3.34)
AMORTECIMENTO CRITICO =!7; = 2 Jb b2 o
2 1
( ­
2 jI:7{ jK
Outra abordagem para visualizar a diminui<;ao de ( com 0 aumcnto de K:
(J = (3..3.3)
( =
(J = econstante; W n aumenta com K.
(n
Plano s
a
Fig. 7.3 Lugar das ralZ:cs rcferenlc ao sistema dc rosi<;ao da Fig. 7.1
Iss/D'AZZO
97

5. . ' .. '
",
. ',.:
2) Autnento da freqGencia natural nao amorte~idacun.
(7.3)
3) Aumento da freqGencia natural amortecida CUd.
(2.32)
4) Ncnhuma influencia sobre 0 amortecimento ae taxa de decairnento ), que
permanece constante para todos os valores de ganho K acima de 1.
:- bi
a - - - (3.33)
2 b2
-2a - - - -1
2. 1
5) Urn sistema linear simples de segunda ordem, qualquer que seja 0 aumento do
ganhoK, pcrmanecc cstavel. '
,', Para sc obler 0 tra9ado do Lugar das Raizes para sistemas mais
complexos que 0 do cxemplo, podem ser empregadas as Propricdadcs
GconH~tricas do Lugar das Raizes (item 5.7) ou Mctodos CompuUi.cionC;lis
(MATLAB). "
5.3 ANALISE QUALITATIVA DO LUGAR DAS RAizES
A fun9ao de transfercncia do canal direto do sistema de scgunda ordcm
da SC9aO prccedente tcrn a forma gcral mostracla abaixo :
K
(Fig 7.4(n))G(s) = s (s + 1 / T )
1
Acrescentando-se urn zero, G(s) passa a tcr a forma mostradn abaixo :
(Fig 7.4(b))
Acresccntando-se um polo, em vez de um zero, G(s) sc torna :
K
(Fig 7.4(<:))Gp(s) = s (s + I / T1
)( S + 1/ T2
)
98

6. jw
" I~
I
K Plano s
I
K" :K~OK·Q
- - ( 1
_liTj
K
G(s); K Hen; I lal
s(.• + IITtl I0:
jw
A parte do lugar das raizes fora do
eixo real eum circulo ccnlrado
no zero z ; - lIT, e com raio
Plano s
KcQKu
(1
G(s); K(s + liT:! H(s) = I lbl j",
s( .• t IITtl
I
.?: K,
K Pianos
K-Q K~Q
~-K -lITJ -IITj
K,K
G(s); s(s + IIT,)(s + lIT.>! IJ (..) = 1
Fig 7.4 ( D'AZZO ) Lugar d:l.S Raizcs de C(s){R(s)
CONCLUSOES
1) A introduy3.o dc urn zero a esquerda dos polos tcm por efeito deslocar 0 lugar
das raizes para a esquerda, tendendo a tornar 0 sistema mais estavci c com
menor tempo de acomoda~3.o (s.
Os ramos verticais do lugar das ralzes dc C(s)jR(s) foram afastados do cixo
imaginario.
Para K> Krx as raizes se situam mais a esquerda do plano s que no sistema
original, pro'ocando decaimcnto mais rapido do transitorio c mdtOr
cstabilidadc do sistema.
2) A introduy3.o de urn polo it esqucrda tern por efeito dcslocar 0 lugar das rJiles
para a direita, tendcndo a tamar 0 sistema menos csulvcl c com maior tCIll po
de acomodac;:3.o (s.
Os ramos vcrticais do lugar das r2llCS de C(s)jR(s) forJnl desiocados para a
dircitll.
Para K > K y duas das tres ralles [ocalizam-sc no semiplano s da direita,
garantindo a lnstabilidadc do sistenl.1.
99

7. Para K > K pas raizes cst~o.mais praximasdoeixo.imaginario que' no sistema
original, provocandodecaimento mais lento do·· transitario .; e menor
est~bilidade do sistema. . ;.,1
5.4 PROCEDIMENTO RESUMIDO
Eapresentadoa seguir 0 procedimento geral para a aplica<;no do metodo
do Lugar dasRaizes.
1) Determinar a fun<;ao de t~ansferencia a malha aberta G(s)H(s) do sistema.
2) Fatorar 0 numerador eo denominador el(; G(s)H(s) em termos da forma
s + a, ondc a pode ser real ou complexo.
3) Assinalar os palos e zeros de G(s)H(s) no plano s = (J + j w.
4) Os palos e zeros de G(s)H(s) determinam as raizes da equa<;ao caracteristica
[I + G(s)H(s) = 0 ] da fun<;ao de transfercncia a malha fechada.
Emprcgandopropriedades geom6tricas ou .programa de compiltador,
.determinar 0 lugar descrito pelas raizesda cqu~l<;ao caracteristica.'
5) (]raduar 0 lugar das raizes em fun<;ao dos valores do ga·nho K.
a) Se 0 ganho for preestabclecido, sabe-se imediatamentc a localiza<;ao das
raizes ..
b) Se a localiza<;ao das raizes de 1 + G(s)H(s) = °for estabelecida, pode-se
obtcr oganho K.
6) Determinadas as raizes de 1+ G(s)H(s) = 0, pode-se calclllar a rcsposta do
sistema tomando-se a transformada inversa de Laplace.
7) Sc a resposta nao atender as especifica<;oes de desempenho desejadas,
determinar a forma que 0 lugar das raizes deveria nprcscntar para ntendc-Ias.
8) Sintetizar a estrUtllra a ser acrescentada no sistema a tim de produzir a
moditica<;ao pretcndida do lugar das rnizes original. Compensa<;uo do Lugar
das Raizes. " .
100

8. 5.5 FUNCAO DE TRANSFERENCIA A MALHA ABERTA
A funC;30 de transfercncia a malha aberta tern a forma:
K (s + a ) ... (s + ah) ... (s + a )
G(s)H(s) = -m----------­w
(7.12)
S (s + bI ) ... (s + be) ... (s + bu )
- podem ser reais ou complexos;
- podem cstar localizados no scmiplano s da esquerda cjou no
semiplano s da direita.
K pode ser positivo, ou negativo. Nesta cadeira, contudo, so sera usado j( > O.
SENSIBILIDADE DE MALHA ou FATOR DE GANHO C0 valor de
K quando a func;ao de transfercncia a malha aberta tern a forma acima :
fatorada com todos os cocficicntcs de s iguais a urn.
NOTA<;AO:
Zi -) zeros ai de G(s)H(s)
Pi -) palos bi de G(s)H(s)
Pode-se agora rcescrever ( 7. 12) :
w
K n (s - zh)
K(S-ZI)"'(S-zw) 11=1
G(s)H(s) = U
(7.14)
Sill (s - PI ) ... (s - P )u Sill n (s - Pc)
e=1
7! - produtorio.
m - multiplicidade dos palos de G(s)H(s) em s = O.
w - grau do numerador = quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
II - quantidade de palos de G(s)H(s), fora da origem.
11 - grau do denominador 11 = m + ll.
101

9. 5.6 POLOS DA RELACAO DE CONTROLE
Scjam c
Entao a func;:ao de transfercncia a malha aberta desse sistema sera:
(7.17)
( Foi cmpregada a notac;:ao Xi == Xb) )
A Rclac;:ao de Controlc dcsse sistema scr:5. :
C(s) A(s) G(s)
(7.1 S)=
R(s) B(s) I + G(s)H(s)
C(s) P(s)
(7.20)
R(s) Q(s)
o polinomio caracterlstico, por sua vez, sera:
Dj D2 + KcKHN, N2
B(s) (7.19)
D1 D2
Os zeros do polinomio caractenstlco B(s) sao os palos da relcl<;ao de
controlc C(s)/R(s). Eles dcterminam a forma da resposta transiU)ria do sistema,
produzindo componentes transitarios de c(t) que pcrtencem ~ls categorias
apresentadas na tabela 7.2.
o numerador P(s) de (7.20) apenas modifica a constante que multiplica
os componcntes dJ tabela 7.2.
Doravantc, KH = 1 . Logo, K = Kc => ganhos iguais para: canal
dircto G(s) , malha aberta G(s)H(s) , rnalha fechacla C(s) / R(s) e rolinomio
caracteristico B(s).
102

10. Tabcla 7.2 - Resposta c(t) no dominio do tempo.
I
FATOR 1'0 DE~OiIE'ADOR
C(s)
DE R(s)
s
TRANSfORMADA ll'NERSA
DE LAPLACE
/(-I(t)
fORMA
DO SI~AL
DEGRAU
_o-
I
I
s+
I
T
1
e-T f
EXPO;,Ei"CIAL
DECRESCEi"TE
I
52 + :2 ( OJ" 5 + (wS C( -; w"f) sent OJ" J (I _ (2) t+ 0) SEiOIDE
AMORTECID;
(OIule « I)
J
o principio fund3mental do metodo do lugar das raizes repousa no fato
de qlie os palos da rclaliao de controlc C(s) I R(s) se relacionam com os palos c
zeros da fllnc;ao de transfercncia a malha aberta G(s)H(s) e com a sensibiliclade
de malha K.
C(s) K Nt D2
(7.20)
R(s) = D1 D2 + [( N1 N2
KJV1 N2
(7.17)G(s)H(s) = - - ­
D[ D2
Os palos de C(s) / R(s) siio valores de 5 ql1e sa tisfazem ~1
D l D2 + K N1 N2 = O.
a) ParJ [( ~ 0 => D , D2 = 0 [ palos de G(s)H(s) ].
b) ParJ K ~ 00 => K N1 N2 = 0 [ zeros de G(s)H(s) ].
CONCLUSAO
PJra K variando de zero a 00,0 !ugar das raizes de C(s) / R(s) lrllCla
sell caminho nos palos de C(s)H(s) e tCfminCl-o nos zeros de C(s)H(s).
103

11. As raizes da cqua9ao caracteristica B(s) = °podem ser determinadas a
partir dc(7.22) :
°B(s) = I + G(s)H(s) = (7.21)
Dc (7.14) :
K (s - 21 ) ( S - 2w )
(7.22)G(s)H(s) - - -1
sm ( S - PI) ... (s - P )u
Dcssa forma, enquanto K assume valores de zero a 00, a funr;ao de
transferencia a malha aberta G(s)H(s) deve manter-se sempre igual a -1.
Os valores de s que satisfazcm a ( 7.22 ) para todos as valores de K sao
as palos de C(s) I R(s) [vcr (7.18) ].
A§ curvas descritas par csses valores Je s sao denominadas LUGAR
DAS RA£ZES de C(s) I R(s) .
A seguir sao determinadas as condiyoes de obtcnyaodo lugar das raizes
para valores positivos da sensibilidade de malha K.
A forma geral de G(s)H(s) , al6m de ( 7.12 ) e ( 7.14 ), pode tambcm scr:
G(s)H(s) = Fe- j f3 = I G(s)H(s) I e- j (J
A partir da identidade de Euler, ejO = cos e + j sen 0, 0 segundo
membra de (7.22), -I, pode ser expresso da seguinte forma:
-1 = i (I + 2 h ) 1f ; h = 0, ± I, ± 2, ...
A equa9ao (7.22) csatisfeita unicamentc para valores de s para as quais
se tern :
ej (1 + 2 Jz ) 1f
I G(s)H(s) I e-)P -I
onde I G(s)H(s) I ­
-fJ - (1 - 2/i)rr (7.23)
CONCLUSOES
Para que um certo valor de s seja uma raiz da equa<;:.ao catacteristica
B(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 ( ou urn polo da rcla<;:ao de controlc C(s) I R(s) ) c
necessario que:
I) 0 modulo de G(s)H(s), fun<;:ao da variavel complexa s, seja sempre igual a 1.
2) 0 angulo de fase de G(s)H(s) seja sempre urn multiplo impar de rr (180°).
104

12. As conclusoes anteriores podem ser formalmente cxpressas e trad uzidas
par duas condiyoes :
I) CONDIC;AO DE MODULO
(7.24)I I G(s)H(s) I = I I
2) CONDICAO ANGULAR
Arg[ G(s)H(s)] = (1 + 2 h ) 1800
h = 0, ± I, ± 2, '" (7.25)
Essas sao as duas condi<;oes cujo atendlmento define a lugar d2S raizes
para todos as valores de K, de zero a infinj~o,em sistemas de controle com
rcalimenta<;ao negativa.
APLICAC;Ao DAS CONDIC;OES ANGULAR E DE MODULO
Considere-se urn sistema de controle com fun<;ao de transfercnci;":l 3. malha
abcrta da forma:
(7.28)G(s)H(s)
A figura 7.6 aprcscnta os polos e zeros desse G(s)H(s) locados no plano
s.
Um polo ou zero de multiplicidade 171 = 2, 3,4, ... c assim indicado no
diagrama :
jW
polo: X J,n zero: OJIn
s
s- Pi s
~--------=---f-----f-;.-}----l--------7<;--'----------OiE-----~>
~
P-==U-J'W X Fig 7.G Diagram:! de p(')/os c Zeros de ( 7.'28 ).3 d
iOS

13. Para urn dado valor de 5 os termos de 5,5 - Pi e 5 - Zi sao representados
por segmentos de reta orientados. Como exemplo, para 5 =- 4 + j 4 e
PI = -1, tem-se :
5 - PI = - 3 + j 4
2 2
I s - PI I = J3 + 4 = 5
l
cPt = Arg(s - PI) = tg- ( 4 ) = 126,87°
3
A partir da locac;ao dos palos e zeros de G(s)H(s) pode-se obter 0 trs.c;ado
do lugar das raizes de C(s) / R(s) testando, para varios pontos do plano s, se cada
urn deles pertence ou nao a esse lugar.
Isso c feito verificando se caela ponto nendc ou nao, simultaneamentc,
as condic;6es angular e de modulo.
FORMA GERAL DE G(s)H(s)
K (s - 2 1 ) (S - 2 J
G(s)H(s)
u
(7.14)
Slrl ( s - PI) (S - Pu )
CONDIc;AO DE MODULO I G(s)H(s) I = (7.29)
I K I I s - zi I I s - IZw
(7.31 )
I snl I I s - PI I ... I s - Pu I
SENSIBILIDADE DE MALHA
I Sill I , s - PI I I s - Pu I
(7.33)I K I ­
I s - 2 1 I I s - 2ev I
CONDI(:AO ANGULAR
Arg[ C(s)H(s) ] = - 0 = ( I + 2 h ) 180
0
/z = 0, + 1, ± 2, ... (7.30)
. ", _~o.dos os anguJos sao considcrados positivos quando mcdidos no 5cntido
...- .0. 0

14. ...
(7.32)
- {J = I ( fases dos termos do nurrierador ) - I ( fases
deno
dos
minad
tcrmos
)or
do
(":'.34)
{J = I: ( fases dos termos do dcnominador ) - I: ( fases dos termos do
- {J = Arg(s - ZI) + ... + Arg(s - Zw) -m Arg(s) - .Arg(s - PI) - - Arg~.s - {Ju)
numerador)
Como /z pode ser posltivo ou negativo, entao :
( 1 + 2 h) 1800
Arg(DENOMINADOR) Arg(NUMERADOR) -j (7.35)
( I + 2 h ) 1800
= L ¢j L t/J,
Excmpld 5.1 :
K ( 1 + 0,25 5 )o
G(5)H(s) = (7.36)
( I + 5) ( I + 0,5 5) ( I + 0,2 5 )
Descja-se determinar 0 lugar de todos os palos posslyeis de C(5) / R(s)
para 0 sistema de eontrolc com a furH;ao de transfercneia a malha aberta ae;ma.
1) Exprcssar G(5)H(s) de aeordo com sua forma geral (7.14).
Ko·0,25 (s + 4 )
G(s)H(s)
0,5.0,2 (s+ 1 )(S+2)(5+5)
K(s+4)
G(s)H(s) (7.37)
(s+ l )(5+2)(s+5)
onde K = 2,5Ko
2) Assinalar os palos e zeros de G(s)H(s) no plano eomplcxo.
jW
r<x~ro O'i: TEST E ~
lJ
./'
-~ i '/
//// I
PL ANO S
/ / I ,
/ (j J j 1
I! " !>' l
/' / I
/('¢ / ", ~1J~ ...-:r ~ji
_ _---:)<~:----'-i-:;~c;(~._--c'-----X-~l-----,-,'i;--'----f---t>- cr
- 5 - .- 2 - Li
fig 7.7 CO(lstn/(;:lo do Liag!;uiI; de Palos e Zeros de G(s)!l(s).
!07

15. 3) Assinalar urn ponto de teste no plano s :
o ponto de teste eligado a todos os polos c zeros de malha aberta por meio
de segmentos orientados.
<Pi - fases dos termos do denominador (polos).
t/!i - fases dos termos do numerador (zeros).
Ii - comprimento dos scgmentos oricntados originados de fatorcs do
denominador (polos).
(Ii) - idem, do numerador (zeros).
4) Testar se 0 ponto anterior pcrtcnce ao lugar das raizes.
Para tal cmprega-se a condiyao angular:
(7.3~)
Sc 0 ponto satisfaz a condic;3.o angular, entao pcrtcnce ao Jugar das raizes.
5) Repetir 3) c 4).
Faze-Io ate obter uma quantidadc de pontos pcrtencentcs ao lugu das ralzes
qua possibilite traya-Io.
6) Graduar 0 lugar das raizes em funyao da scnsibilidadc de malba K.
(7.39)IKI
Seja 51 urn ponto que satisfaz a condiyao angular. Entao:
11 = 151 + 11 12 = 151 + 21
13 = 151 + S I (II) = 15 + 4 1
""1
jw
1
,K
I
Plano J
}:
(a) I j
"'.
108

16. OBSERVA<;OES
a) E importante ressaltar que 0 lugar das raizes foi graduado em func;ao de K e
nao de Ko. K = 2,S.Ko. Comparar express6es (7.36) e (7.37).
b) A simetria do JugaI' das raizes em reJac;ao ao eixo real facilita tanto sua
construc;ao quanto sua graduac;ao em func;ao da sensibilidade de malha K.
c) Os procedimentos 3, 4 C 5 sao extremamente trabaJhosos. A proxima sec;ao
apresenta as propriedades geometricas do JugaI' das raizes, que facilitam muito
seu trac;ado.
5.7 PROPRIEDADES GEOMETRICAS DO LUGAR DAS RAIZES
A aplicac;ao do metoda do lugar das raizes e muito facilitada pclo
emprego de suas propriedades como regras de constrw;ao do lugar.
Tais propriedades sao baseadas na interpretac;ao da conctic;ao angular e
na analise da cCJuac;ao caracteristica para K> O.
I) NUMERO DE RAMOS
"0 ntlmero de ramos clo lugar de Evans cigual ao nUnlero de palos da
func;ao de transferencia a malha abena G(s)H(s)."
o numero de palos de G(s)H(s) deterlnina 0 grau do polinomio caracteristico
I + G(s)H(s). (7.14), (7.17) e (7.19).
A eCJuac;ao caracteristica B(s) = 0 e de grau n = m + u.
m - Quantidade de palos de G(s)H(s) na origem.
u - Quan ticlade de palos de G(s)H(s) fora da origem.
Hel, portanto, 11 raizes. Cad<l r[liz e uma func;ao continua cia scnsibilicladc <.Jc
malha K.
Como K vari<l continuamente de zero a infinito, cada raiz clesclcve lIIlla CUIV:l
continua.
Ha, entao, n curvas ou ramos no lugar das raizes complcto.
109

17. 2) TRECHa SaBRE a Elxa REAL
liSe 0 numero totaL...cle-P61os e zeros reais adircita do ponto de teste 5
~obrc 0 eixo real eimpar, esse ponto pertenee ao lugaL" ~ ­
jW
PLANO 5
~ef-++---x:X:--~X~-8f--t----------7<XI:------:-----:K-----1~ (J
Z2 P3 ~ Zt 52 11
Fig7.9 Dctcrlllina~ao do lugar soore 0 cixo real.
Para 0 ponto de teste 51 da figura 7.9 0 atendimento da eondi<;ao angular
impliea em scr vercladeiro :
a) A eontribui<;ao angular de todos os palos e zeros sobre 0 eixo real acsquerJa
de 51 Cnula.
b) A eontribui<;ao angular de eada par de palos ou zeros eomplexos eonjugados c
de 360°,
c) A contribui<;ao de cada polo ou zero sobre 0 eixo real il clireita de SI Cde 180°.
cPo = 180
o
Entr<lndo em (7.41) : 1800
+ 3600
= (I + 2/Z)180°.
Portanto, SI pertcnce ao lugar c18S raizes
Para 0 ponto de teste 52 tem-se alteray-ao arenas em <P'
q;I = 180
0
Entranclo em (7.41): [800
x 2 + 3600
¥ (I + 7...iz) 180°.
Portanto, 52 nao pertence ao lugar das [;llzes.
110

18. 3) PONTOS TERMINAlS
"Os pontos de partida ( I( = 0) sao as palos de malha aberta, os pontos
terminais ( I( = 00 ) sao as zeros de malha aberta, e as pontos nc) infinito s50
considerados zeros equivalcntes de rnultipliciclade n - W n.
o valor da sensibilidade de rnalha I( que satisfaz a condir;.1o de
modulo cdada par (7.33) e tern a forma geral (7.43) :
15
m
I.15 - PI I ... Is - Pu I
II(I = - - - - - - - (7.33)
Is - zl I ... Is - Zw I
In - quantidade de palos de G(s)H(s) na origem.
II - quantidacle de palos de G(s)H(s) fora do. origem.
w - quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
n - quantidade total de palos de G(s)H(s). (n = m + ll)
Il
n Is-Pcl
I( = _c_=_I _
(7.43)w
n 15 - Zh I
h=1
Obs : para 0 ~ K ~ 00 -4 IK I = K
Il
n 15 - pcl
c=1
K=----­(7.43 )
n
w
15 - zhl
h = 1
a) Quando 5 = pc -+ K = O.
b) Quando 5 = Zh -4 K = 00.
Comparar a) e b) com a p:igina 103.
c) Quando n > w, 5 = 00 -4 K = 00, equivalendo a "zero no infinito".
K ( 5 - zl) ... (s - Zeo )
C(s)H(s) = (7.! ..nIII .
s (5 - PI) ... (5 - flu)
Examinando (7.14) observa-se que C(s)H(s) possui w zeros Ci,;ilOS C Il - C!)
zeros no infinito (n = m + u).
III

19. 4) ASSINTOTAS QUANDO s TENDE PARA INFINITO
"Existem n - w assintotas do lugar das raizes, e seus angulos sao dados
por (7.49).1
1
( 1 + 21z ) 180
0
Y= (7.49)
n-w
IZ - quantidade total de polosde G(5)H(s).
w - quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
Scja:
OJ
K n (s - z/z)
G(s)H(s) = __~:_=_l _ (7.14)
n (s-Pc)
c=1
Tomando-se 0 limite de G(s)H(s) quando s ~ 00 :
lim G(s)H(s) = II~OJ (7.4~)
S ->00 S
Oa eq uac;ao caracteristica B(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 tem-se G(s)H(s) = -1.
II -OJ
S
K
= -1 - K
n-OJ
=s (7.44)
I - K I = Isn -w ICondic;ao de modulo:
Condic;ao angular: Arg( -1..1 = Arg(s"-w)
Dc (7.47) : (Il - w) Arg(s) = ( 1+ 21z )1800
- (I + 2h)180°
(7.45)
(7.47)
Entao, y = Arg(s) quando s ~ co.
Seja y 0 angulo da assintota com 0 eixo real.
Y=
(1 + 2h) 180
0
n-w (7.49)

20. jW
PLANO
S
Fig 7.10 - Condi~iio assintotica par:! grandcs ya(orcs de s.
a) n - w = I b) n - w = 2
jW
j..J
c) IZ - w = 3 d) IZ - W = 4
jW jw
t
1=60° y=- 45°1
_~'-----_ _H-~----L..L.L...L-l ---t-_~(f
113

21. 5) PONTO DE INTERSEC;AO DAS ASSINTOTAS SOBRE 0 EIXO REf.~L
"0 ponto de interse~ao das assintotas sabre a eixo real Cuo, dado par
(7.50)".
n-w (7.50)
Esse resultado pode ser obtido a partir da teol'ia das equac;6es.
6) PONTOS DE PARTIDA E DE CHEGADA SOBRE 0 EIXO REAL
"Uma vez que K comep com valor zero nos polos e aUnlenta de -:alar
a medida que a lugar se afasta deles, ha um ponto em algum local entre as
polos onde as valores de K dos dais ramos alcanc;a simultaneamente 0 seu
maximo. Esse Ca chamado ponto de partida."
"Uma vcz que K termina com valor inftnito nos zeros finitos au nao, e
Qiminui de valor amedida que 0 lugar se afasta dclcs, ha um ponto em algum
local entre as zeros onde as valores de K dos dois ramos alcanya
simultaneamente a sell valor minimo. Esse C0 chamado ponto de chegacla."
I
I
I
I
IPonlo de
I inflcxao I I
I I I"K
. - -.. .M<ix. I
I
I I ---K10-­Min. __ ; _
! 1 = a I : K ~ _I I : '
I ~ K .'-... 1 . '- I 1 I
_'~_-_K -+'-I/_S_2-..{,~ =_~_~~. ; "'. I / K - 0
o
l? Pz" PI~ PoII '51
K = 0
(0)
j
K
~I
t
K!
f 111I I
I
!
;",
i .'K
I I
I Min. - - _.
J!f;' ~ !
._-- ... 0.. '/j
s,
Fig. 7.11 Tra<;Juo de I: ;'usus a C OS Ircchos do lugar eJas raizes correspondcnlcs para (a) Fig. 7.)a ~
(b) fig. 7.51,.
114

22. o tra<;ado de K versus u, referente ao trecho do lugar das raizes
compreendido entre urn polo e urn zero, recai em uma das seguintes catcgorias:
a) 0 tra<;ado indica c1aramente urn pica e uma depressao, conforme ilustrado
na parte direita da fig 7.11 (b), trecho entre PI e Z!. 0 pica representa um
valor de K maximo que satisfaz it condi<;ao de ponto de partida. A
depressao representa urn valor de K minimo que satisfaz ~1 condiyao de
ponto de chegada.
b) 0 tra<;ado contcm urn POQ.t9 deioflexQo._Os pontos de partida e de c~:egada
sao coincidentes, conforme mostrado na parte central da fig 7.11(a), trccho
en tre Zj e P2.
c) 0 tra<;ado nao indica combina<;ao pico-depressao e mostra c1at'amente a
impossibilidade de existencia de pontos de inflexao. Ncsse caso nao ha
pontos de partida ou de chcgada.
Equa<;ao caracteristica: B(5) = 1 + G(5)H(5) = 0 G(5)H(5) = -1
Entrando com (7.14) :
OJ
K n (5 - ZIi)
Ii = 1
II
-1
n (5 - Pc)
c=1
n
II
(5 - pJ
c=
K
Deriva-se a expressao acima em rclayao a s e igua la-se 0 resultadu a
zero. As raizes assim obtidas corespondem aos valores m[lximos au min~mos
da sensibilidade de malha K, ou respectivamcntc aos pontos de rartida ou de
chegada do lugar de Evans.
115

23. jw .
jw
PIanos
(f
(0)
K-~ K=Q
(h I
fig. 7.5 Diversas conr;gura~6es de lugar das ralzes:
(a) 1(s + IIT,)(., + lIT.)
G(s)lI(s) = .,(s + IIT,)(s 7 liT,)
K(s + IIT,)(s + tIL)
G(.,)Hen = (s + iT~if5+ -'/"=To-,)::':"(s-+--;'-;"OIT:;;-,-J
(c) K (s + lIT,)
EXEMPLO 5.2
KScja : G(s)H(s) = - - - - - -I
... s(s+1)(s+2)
K = -S(5 + 1)(5 + 2)
K = -S3 - 3s2 - 25
dK
-- = -352
- 65-2
d5
lUi

24. 6 ± J36 - 24
.: 51 = -0,423
-6 52 = -1,577
jW
t
-2 -i !-0,423
A raiz 52 edescartada pela propriedadc 2, uma vez que 0 trecho entre
os palos -1 e -2 nao pertence ao lugar das raizes
51 C, portanto, 0 ponto de partida, 0 maximo valor de K entre os p<')los
oe -1.
7) ANGULO DE CHEGADA OU DE PARTIDA DE RAIES COMPLEXAS
"0 angulo de partida <P de urn polo complcxo cigual a 180° mais a
soma das contribuir;6es angulares dos zeros finitos menos a soma das
contribui~6es angulares dos demais palos."
0
<Pi - L11
- L(DEMArs <p) + (I + 2h) 180
"0 angulo de chcgada if; de urn zero complexo c igual a soma das
contribui~6es angulares dos palos menos a soma das contribui<;:6es angulares
dos demais zeros, menos 180°."
IIi L<p - L(DEMArS if;) - ( 1 + 217) 180
0
Obs : os palos c zeros citados sao de malha aberta.
117

25. ( b )
Fig 7.12 Condis;ao angubr 1l:lS proximidadcs de UlIl polo cOl1lplcxo.
A figura 7.12 apresenta, na parte (a), uma certa configurac;:ao de' pO!JS
c zeros de malha aberta. Deseja-se determinar 0 angulo de partida <P2 do lugar
(a)
das ralzes no polo P2. Uma regiao em. torno de P2 ccscolhida e ampliada na
parte (b). Essa rcgiao Csuficientemente pequena de modo a ter [2 muito menor
que [0, ft, [3 e (01'
Nessas condic;;6es, a contribuic;;ao angular de todos os polos e zeros,
exccto P2, C aproximadamcnte constante para todos os pontos no interior da
regiao.
A aplicac;:ao da condic;:ao angular conduz a :
(7.56)
o angulo de partida e, entao :
Esse resultado confirma a expressao da pagina anterior.
Para se determinar 0 5ngulo de ehegada t/Ji do lugar das ralzes em um
zero, 0 raciocinio canalogo ao desenvolvido aeima.
8) PONTO DE INTERSEC;AO COM 0 EIXO IMAGINARIO
"Quando 0 lugar dJS raizes atravessa 0 cixo imaginario em clircc;:30 ao
semiplano 5 da direita, 0 ponto de intersec;:ao eom 0 eixo imaginario pode ser
obtido Jtra'cs do algoritmo de Routh."
i
I
I
Rever item 4.2, paginas 69 a 76.
liS

26. ---
9) NAO INTERSECAO OU INTERSECAO DE' RAMOS DO LUGAR DAS
RAIZES
Seja :
n
n (s - pJ
c=!
(Vcr pagina l15)W(s) - - K =
As propriedades a seguir podem ser deduzidas a partir da teoria ctas
variaveis complexas.
a) "L!m valor de 5 que satisfaya a condiy?to angular pertence ao lugar das
ralzes.
Se, ncsseponto, dW(s) / ds::f. 0, entao ha urn unico ramo do lugar que passa
ali.
Nao ha, portanto, interseyocs de ramos do lugar nesse ponto."
b) "Se as primeiras y - 1 derivadas de W(s), com rclayao a 5, se anulam para
um dado ponto do lugar das raizes, havcn!. y
saindo desse ponto.
ramos chegando e y ramos
o angulo /y entre as direyoes de dais
ponto cdado por (7.62).
ramos adjacentes que cbcgam <10
o angulo By entre a direyao de dois ramos adjacentcs, urn cheg<1ndo e O!Jlro
saindo do ponto, cdado por (7.63)."
360
0
Paino.,
+
(7.62))'y = ±
A
.Oy Y
(J
y
'" I
180
0
(7.()J)By ±G(.I)H(5) = K , . yFig. 7.14 Lugar das ralzes rclativo a (5 + 2)(5 + 4)(5' + 65 + 10)
206
119

27. 10) INVARIANCIA DA SOMA DAS RAIZES DO SISTEMA
"Enquanto 0 ganho de K varia de zero a infinito, a soma das raizes
permanece constante."
Em outras palavras, a soma das raizes se conserva e e independcnte
de K.
Quando um sistema aprescnta vanos· ramos do lugar das raizes
tendendo para infinito, as direyoes dos ramos sao tais que a soma das raizcs
nao se altera. Urn ramo que se dirige para a direita exige, assim, um outro que
se dirige para a esquerda.
Sejam ti, j = 1,2, ... n, as ralZCS do ~.istema para urn valor qualq uer
da sensibilidade de malha K.
Pj, j = 1,2, '.. n, palos da funyao de transfercncia a malha aberta
G(s)H(s), sao valores partieulares de Ij para K = O.
Tem-se entao que:
(7.68)
11) DETERMINAC;AO DE RAIZES NO LUGAR DE EVANS
Pronto 0 trayado do lugar das raizes, empregam-se espeeifieayoes de
desempcnho do sistema para determinar a loealizac;ao das raizes domin:mtcs
que as atcndem.
A sensibilidadc de malha K, ncecssanCl para a obtcn<;5.o das rnizes
dominantes, pode ser entao cletcrminada a panir cla eondiyao de n1l:idu[o
(7.33).
As raizcs rcsUmtcs nos outros ramos do lugar poclcm ser dcterminacl~ls
de tres manciras :
a) Por tcntativas
Sobre cada urn dos ramos procura-se eneontrar, por tcntativJs, 0 ponto que
satisfaz J scnsibilidade cle malha rClaLlVJ its raizcs c10minantes clllprcg':lLldo
nova men te a eonclic;ao de mod ulo.
b) DivisJO da cqUGlyJO caracterrstica
Se todas as raizes sao eonhecidJS, execto uma reeli ou um par de (aizes
complcx3.s conjugacJas, diide-se a cquayao c(1ractcrlstica pelos t'atores que
representam as raizes conhccidas. 0 quocicnte fornece as raizes lestantes.
l20

28. c) Regra de Grant
Faz uso da 10!! propriedade geometrica do 1ugar das raizes : invari:lncia da
soma das raizes do sistema. A condiC;ao necessaria cque 0 den0minador
de G(s)H(s) seja de grau superior ao do numerador em pelo menos duas
unidades.
n-2?:.w
n - numero de palos de G(s)H(s).
w- numero de zeros finitos de G(s)H(s).
Se todas as raizes sao conhecidas, cxccto uma real, a cxprcssao (7.68)
permite sua obtenc;ao.
(7.68)
Sc todas as raizes sao eonhccidas, exccto urn par eomplcxo conjugado
r = (j ± j w, a exprcsao (7.68) foroeec a parte real (j. A parte ec,mplexa
j w pode entao ser obtida do grafico do lugar das raizes a partir dc' fJ.
MARGENS DE GANHO E DE FASE
( Distefano, paginas 90, 233 e 32 I )
MARGEM DE GANHO (MG), uma medicla de estabilidade relativa, e0 Cator
pelo qual 0 valor de projeto ( Kpr ) da sensibilidade de malha K C l11ultiplicado
para se obter 0 valor limite de K (Klim ), em que 0 lugar das raizes cruza 0 eixo
imaginario do plano 5, da esqucrda para a direita.
(13.16)
MARGEM DE FASE (MF), tambcm uma medida de estabilidade rclativa, C
definida como 1800
mais 0 angulo de fase da func;ao de transfcrcncia a malha
aberta no ganho unitario.
Obtcm-se 0 ponto j WI sobre 0 eixo imaginario para (1 qual
IG.(jwl)H(jWI) I = I para 0 valor de projeto KpR da scnsibilidadc de mall,) K.
(13.17)
121

29. EXEMPLO 5.3
a) Determinar a margen de ganho :
64
KPR = 8 MG = lvfG 8
8
Klim = 64
.1 pillI"
~~.' c_ K=8 ">..
a
Fig. B-24
8
b) Dcterminar a margem de rase: C(s)H(s) =
(s + 2)3
Fig. 13-25
- 8 , -[ WI = a(jWI + 2)3I
,-IfF = [800
EXEMPLO 5.4
c
-I; - ,I
,
Fig. 13-26 Fig. 13-2i
Detcrminar a margem de fase :
IG(jw,)H(;w ,) I
Ijwl(;w, + 4)21
=
=
II. . 24
I jC.')IUWI +
Ij(;)I( - WI 2
' = !
4/
+ 8jw, + [6)1 24
- jcu 1
3
122

30. Com 0 auxilio de computador, calculadora programavel, metoda de Briot-Ruffini
ou por tentativas obtem-se': WI =1,35 .
Arg[GUI ,35)HUl ,35)] = Arg[ _ _ _24_ )2 ] =
;1 ,3)(jl ,3) + 4
. 1 35
= Arg(24) - Arg(jl ,35) - 2 Arg(j1 ,35 + 4) = 0° - 90° - 2 arctg -'_
4
Arg[GUI ,35)HUl ,35)J = -90° - 2 x 18,65° = ~ 127,3°
MF = 180° + Arg[G(jI,35)HU1,35)] = 180° - 127,3° MF = 52,7°
EXEMPLOS DE GRAFICOS DE LUGARES DAS RAIZES
Tnbela 8.1 Cole~a( de grMicos de !ugarcs d~s raizes simples
LocalizayOes do I Localizar;6es do
p61o-zero Oe malha- I G(s)H(s)
p61o-zero de malha­
G(s)H(s)
aberta e lugares I aberta e lugares
oas ralzes
I das raizos
jw t I
~bK is-
s
1~ s2
I
Ii
jw t
I
jw
jw,
.L­ I K,( ,
I Us~P
-P
I
U s2 ... w,2
- jWI
I
I jw J. I
I
1jw+ .
I
I I
----if
K(s~? )
I I
K
- ­
~
(S-fu}< ... wj 2
-0 0
S"-P
I f -jw,
Iz > p)
I I
I~
II
*~
K(s "zl I K
Is+p
I -p -z I U
II (s +P,)( S ~ P2 ) -PI -P2 1 0
(z < p)
123

31. ---­ .....,.
~/
, !
Tabela 8.2 Configurae,6es de polos e zeros de malha-aberta
TabeJa 803 Gr.ificos dos lugares das raizes de sistemas come lugares das raizes correspondentes
realimentae,:io negativa e com realimenta<;:iopositiva
jw 1
/'"
<vI
~
~I-) ~--
N
A
/ ~, /~
iWI j r/! ;L--J-- I ----,.o-x-:---'
~ ' 1
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I i ~ 'j I
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I 1 ' i
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I
iii:I x x : j
I
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...-/
;"'1
) -----,...----:::-f'.{- .. -{ ­ .,.
.' U
.
~1
)I
or---'
! I I

32. 5.8 EXERCicIO (D'AZZO, pag. 208)
Dcscja-sc determinar a resposta c(t) a uma entrada do tipo degrau
uniuirio, com fator de amortecimento ( = 0,5 para as raizes dominantes do
sistema de controle a seguir :
Kl i '·5G(s) = . H(s)
0,045 -I­5 ( 52 / 2600 + 5 / 26 + 1)
a) Expressar G(s)H(s) na forma geral (7.14)
2600 x 25 x K,
G(s)H(s) =
5 (52 + 1005 + ~.600) (5 + 25)
65000Kl
G(s)H(s) =
5 (5 + 25)( s + 50 - )10 ) (5 + 50 +)10)
b) Assinalar os palos c' zcros de malha aberta no plano complexo.
Palos:
*-----------­I .
53,4 = -50 ± )10 _150 - 5
I
Nao ha zeros finitos *-----------­
jW
+j /0
0
-jlO
REGRA 1 - NUMERO DE RAMOS
Como G(s)H(s) possui 4 palos, entao ha 4 ramos.
REGRA 2 - TRECHO SOBRE 0 EIXO REAL
o lugar existe sobre 0 eixo rcal entre 0 e -25.
REGRA 3 - PONTOS TERMINAlS
!1 = 4 palos }
n - W = 4 zeros no infinito
:D = 0 (nenhum zero finito)
?ontos de partida (K = 0) : os 4 palos de malha aberta do item "b".
. ontos de chegada (K = (0) : os 4 zeros no 00.
125

33. REGRA 4 - ASSINTOTAS QUANDO s -+ 00
n - ill = 4 -+ 4 assintotas
(1 + 211) 1800
Y = n - ill = (1 + 211)450
Y1,2 = ± 450
Y3,4 = ± 1350
REGRA 5 - PONTO DE INTERSEC;AO DAS ASSINTOTAS SOBRE 0
EIXO REAL
( (n (D
:z= ~e( Pc) - 1: ~e( Zh)
c= I h = I 0- 25 - 50 - so r
(Jo =. ----n---w--- = (Jo = -31,25
4
jW
" /
" 0; /
X "
t /
" / /
----------¥-"*"----~--p.()
- 50 / "'-- 5 0
/ '"X // '"
""/
REGRA 6 - PONTOS DE PARTIDA E DE CHEGADA SOBRE 0 EIXO
REAL
fY(5) = - K(5) = 5 (5 + 25) (5 + 50 - j 10) (s + 50 + j 10)
W(s) = s4 + 125 53 + 5100 52 + 65000 5
dW(5)
= 453
+ 3 x 125 52 + 2 x 5100 5 + 65000
d5
51 = - 45,95 }
Nao pertencem ao lugar das ralles.52 = - 38,64
53 = -9,15 Ponto de partida: -9,15.
Ponto de chcgada : nao hel.
REGRA 7 - ANGULO DE PARTIDA OU DE CHEGADA DE RAIZES
COMPLEXAS
)W
Para as palos 53 = -so + jlO :
cPo = arctg ( ~) = 168,70
-)0
~x~__'_Q~~...-l..l--~j?.o4>1 '= arclg ( _1~5 ) = !58,20
-~ -25
1-<10cP2 = 90°
116

34. cP3' = 0 ~,( 168,7° + 158,2° + 90°) + (1 + 21z) 1800
cP3 = -416,90
+ 5400
</h = 123,1 0
Para 0 polo S4 = -50 - j 10, por simetria com 0 eixo reaI ; </;4 = -123,1°
REGRA 8 - PONTO DE INTERSE(:AO COM 0 EIXO IMAGINARIO
C(5) (/(5)
R(5) = I' + (/(5)H(5)
K1
(/(5) = 5 ( 52 / 2600 + 5 / 26 + 1)
-
5 (52 + 100 5 + 2600)
H(5) = 0,04 : + 1 - s ~525
KG = 2600 K1 }
KIl = 25 Vcr pagina 102.
KG Kl/ = 65000 K1
~~
~ /
. C(s) 5 (52 + 100 5 + 2600)
.. R(s) 2600 K1 25
1+
S (52 + 100 5 + 2600) (5 + 25)
C(s) 2600 K1(5 + 25)
R(s) S(S2 + 1005 + 2600)(5 + 25) + 2600.K1.25
C(s) 2600 K1(s + 25)
R(s) S4 + 12553
+ 51 00S2 + 65000s + 65000K1~ ,
Ap1ica-se agora 0 ALGORITMO DE ROUTH ao POLINOMIO
CARACTERISTICO (denominador da funtyao de transfercncia a, malha
fcchada).
5100 65000 K1
520 (­ (apos divisao por 125 )
14,2 K1 (­ (apos divisao por 4580 )
520 - 14,2 K,
127

35. Raizcs puramcnte imaginarias ocorrerao quando uma linha do algoritmo for
nula.
·520
Linha 51 : 520 - 14,2K1 = a K1 = 3G,G
14,2
A EQUA<;AO AUXlLIAR c formada a partir da linha anterlor; neste caso,
linha 52.
Os PONTOS qE INTERSE=A.,0 do Juga!" das raizes com eixo imaginario serao,
assim, as RAIZES IMAG INARIAS obtidas a partir da cquac;ao auxillar,
empregando-se 0 valor de K1 que anulou uma das linhas do algoritmo.
52 + 14,2 x 36)6 = a 52 = -520
5 = ±j J)2fJ 5 ±j 22,8
Fator de amortecimcn to ( = 0,5
e = COS-I ( a= cos-la,s
Na figura abaixo c aprescntado 0 grMlco do lugar das ralzes rcsultantc com
e = 60° locado.
Plano 5
K
I~
Fig. 7.17 Lugar das ralles relativo a G(5)H(s) = 65.000 K,{(5(5 + 25)(5' + 100 5 + 2.6(0)J.
210
REGRA It - DETERMli;A=AO DE RAfzES NO LUGAR DE EVA;iS
A partir da cspcciflco<;:ao ek UCSCIllrcnho (= 0,) as [-aizcs c!Oll1lnJIllCS do
sistema SJO oblieJas (0 gr:l:lco Clcima :
.1"1,2 = - 6,6 ±jl [,4

36. A sensibilidade de malha K Cobtida a partir da condic;ao de modulo (pagina 106):
15 - pul (7.33)IKI =
15 - zd
K = 151 . '5 + 251. 15 + 50 - j 10 I . 15 + 50 + j 10 I - KG KJ[
Para 5, = -·6,6 + j 11,4 . obtcm-sc: K ~ 598800
=:> K = 598800
K .. 65000 Kr
1 65000
As duas raizes restantcs nos outros dois ramos podem ser obtidas Delos tres
mctodos ascguir.
a) POR TENTATIVAS
Muito trabalhoso.
Verpagina 120.
b) DIVISAO DA EQUA=AO CARACTERISTICA
A equac;ao caracteristica C0 polinomio caracteristico, da pagina 127, igualado
a zero :
54 + 12553 + 510052 + 650005 + 65000K1 = 0
Como K) = 9,2 , entao: 54 + 12553
+ 510052 + 650005 + 598800 - 0
o fator quadratico que representa as raizes dominantes e:
(5 + 6,6 - j 11,4)( 5 + 6,6 + j 11,4) = 52 + 13,25 + 173,5
Dividlndo 0 polinomio caracteristico pelo fator quaclrMico acim~, c
desprezando 0 resto cncontrado, obtcm-se 0 tcrmo quadratico rclativo as raizcs
nao dominan tes :
54 + 12553
+ 510052 + 650005 + 598800 ~ 2 112 34 -0
52 + 13,25 + I73,5 - 5 + 5 + )
As ralzes nao dominantes sao agora obtidas a partir do quociente cncontrado.
53,4 = - 56 + j 18
c) REGRA DE GRANT
Emprega a REG RA 10: invariancia da soma das raizes do sistema.
(7.68)
129

37. Como 0 denominador de G(5)H(5) Cquatro graus superior ao grau do numerador.
esta satisfeita a eondic;ao para 0 emprego dessa regra.
0- 25 + (-50 +)10) + (-50 -)10) =
= (-6,6 + ) 11,4) + (-6,6 - ) 11,4) + (0"3 + ) WdJ) + (0"4 - ) Wd.,J
Como as raizcs 53 c 54 eonstituem urn par eomplexo eonjugado, entao
0"3 = <J4 e Wd) = Wd,j.
Portanto, <J3.4 = -55,9
Esse valor difere muito poueo do obtido em "b" ( - 56 ); ali foi empregada lima
simplificac;ao.
A partir do valor da parte real, obtcm-se graf;eamente no lugar das raizes os
valores das partes imaginarias, iguais a + IS.
53,4 = -55,3 + ) 18
Rclac;ao de Controlc para a K1 = 9,2 :
A partir da pagina 102 tem-se :
C(s)
= (7.20)
R(5) Fatores determinados a partir do lugar das raizcs
Os fatores rclativos as quatro raizes eneontradas foram obticlos pan) uIn valor
de ganho de malha feehada KG = 2600 K1 , onde K1 = 9,2 ( vcr p:iginas 127 c
129 ).
Sendo iVl = 1 e D2 = (5 + 25), de aeordo eom as paginas 102 e 127, tcm-se :
C(5) 24040 (5 + 25 )
R(s) = (5 + 6,6 - j 11,4) (5 + 6,6 +j 11,4) (5 +55,9 - j 18) (s + 55,9 +j t8)
Rcsposta e(t) it entrada do tipo degrau uniulrio.
On ttltima exprcssao tcm-se :
C(s) = 24040 (s + 25) R(5)
(5 + 6,6 - j 11,4)(5 + 6,6 +) 1I,4)(s + 55,9 - ) I8)(5 + 55,() +j 1S)
I, t ~ 0 1r(t) => R(s) = 5{ 0, t < 0
24040 (5 + 25)
C(s)
5 (s + 6,6 - j 11,4)(5 + 6,6 +) 11,4)(5 + 55,9 -) 1S)(SL 55,9 +j I~)
130

38. C(s)
Ao
+
Al
-
S S + 6,6 - j 1l,4 s +
A~
+
A4
+ S + 55,9 - j 18 s + 55,9 + j 18
Aplicando os te6remas de Heaviside relativos a expa.nsao em fra~6es par::;iais
encontrados em D'AZZO, item 4.7, pagina 96, obtem-se :
Ao = 1,0 A3 = 0,14 Arg( - 63,90
)
A 2 C complexo conjugado de Al
D'AZZO, pagina 100.
A4 C complexo conjugado de A 3 }
Aplicando a transformada inversa de Laplace ohtcm-se :
°(Q termo erelativo ao estado estacionario da resposta.
°2Q termo deve-se as raizes dominantes s1,2'
°3,Q termo C devido as raizes nao dominantcs S3,4
U3,4 _ -55,9 = 8,47
au -6,6
A parte real das raizes nao dominantes nao chega a scr 10 vezcs ( porcrn 8,47 )
maior que a das raizes dominantes.
Vejamos como fica ria a resposta desprezando-as.
Abandonando 0 3Q
termo a resposta se rcduz a :
c(t) '" ( + 1,21 e-G,G I sen( 11,4 t (7.86)
1,0
0,5
Fig. 7.23 Trac;ado de eel) verslls I para as Eqs. (7.85) e (7.86).
A figura acima mostra como a inOucncia das ralzes 11:10 dO,11in:lntes
53,4 = -55,9 ± j 18 cpcquena, e desaparcce em quase urn dccimo do Lmpo que
o transitorio das ra'izes dominantes 51,2 = -6,6 ± j 11,4 leva para c1csaparcccr.
131
- l , S