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Aula 2-vetores.pptx
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- 2. 2 Grandezas totalmente determinadas porum valor numérico e uma unidade. Ex.: volume, massa, densidade Grandezas escalares Grandezas que, além do valor numérico e da unidade, precisam de uma orientação espacial (direção e sentido). Ex.: velocidade, aceleração, força. Grandezas vetoriais
- 3. 3 0 1 23 4 5 6 7 4 3 2 1 0 α= 30º 𝑨 𝑩
- 4. 4 0 1 23 4 5 6 7 4 3 2 1 0 α= 30º 𝑨 𝑩 Para o vetor 𝑨, temos: Módulo: | 𝑨| = A = 2 Direção: Horizontal Sentido: Para a direita (leste)
- 5. 5 0 1 23 4 5 6 7 4 3 2 1 0 α= 30º 𝑨 𝑩 Para o vetor 𝑩, temos: Módulo: | 𝑩| = B ≅ 13 Direção: Aquela que forma 30º com o eixo x positivo Sentido: Aproximadamente nordeste Para o vetor 𝑨, temos: Módulo: | 𝑨| = A = 2 Direção: Horizontal Sentido: Para a direita (leste)
- 6. 6 Considere dois vetoresde módulos a e b. O vetor soma (também chamado de resultante) será dado por: 1 𝒂 𝒃 Origem (“bundinha”) Extremidade (“cabecinha”)
- 7. 7 Considere dois vetoresde módulos a e b. O vetor soma (também chamado de resultante) será dado por: 1 2 3 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝑺 Origem (“bundinha”) Extremidade (“cabecinha”) 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 Regra do Polígono
- 8. 8 Usando a Regrado Polígono 𝒂 𝒃 𝒄
- 9. 9 Usando a Regrado Polígono 𝒂 𝒃 𝒄 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝒂 𝒃 𝒄 𝑺
- 10. 10 𝑨 𝑩 Considere doisvetores de módulos a e b. O vetor soma (também chamado de resultante) será dado por:
- 11. 11 𝑨 𝑩 𝑅 =𝐴 + 𝐵 Considere dois vetores de módulos a e b. O vetor soma (também chamado de resultante) será dado por: 𝑨 𝑩 𝑹
- 12. 12 𝒂 𝒃 Usando a regrado paralelogramo, o módulo do vetor resultante (soma) será dado por:
- 13. 13 𝒂 𝒃 Usando a regrado paralelogramo, o módulo do vetor resultante (soma) será dado por: 𝑺 𝒂 𝒃 α θ α D E F 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 θ + α = 180º θ = 180º -α
- 14. 14 𝒂 𝒃 𝑺 𝒂 𝒃 α θ α D E F 𝑆 =𝑎 + 𝑏 θ + α = 180º θ = 180º -α 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 𝜃 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 1800 − 𝛼 Pela lei dos cossenos no triangulo DEF, temos: 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 − cos 𝛼 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏. cos 𝛼 De acordo com a Trigonometria temos que 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟖𝟎𝟎 − 𝜶 = − 𝒄𝒐𝒔 𝜶, logo:
- 15. 15 Vetores na mesmadireção e sentido Casos particulares 𝒂 𝒃
- 16. 16 Vetores na mesmadireção e sentido Casos particulares 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝑺 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏. cos 00 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏 2 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 Nesse caso temos α = 0º, logo: 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 Observação: Nesse caso, as equações algébrica e vetorial coincidem
- 17. 17 Vetores de mesmadireção e sentidos contrários Casos particulares 𝒂 𝒃
- 18. 18 Vetores de mesmadireção e sentidos contrários Casos particulares 𝒂 𝒃 𝑺 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏. cos 1 800 𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑏 2 𝑆 = 𝑎 − 𝑏 Nesse caso temos α = 180º, logo: 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 Observação: Em termos vetoriais, foi feita uma soma. Contudo, o valor (módulo) do vetor soma (resultante) é dado pela diferença entre os vetores 𝒂 𝒃
- 19. 19 Vetores perpendiculares entresi Casos particulares 𝑅2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵. cos 9 00 𝑅2 = 𝐴2 + 𝐵2 𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 Nesse caso temos α = 90º, logo: 𝑹 𝑨 𝑩 𝑅 = 𝐴 + 𝐵
- 20. 20 (UNIFENAS) Levando-se emconsideração que cada quadradinho possua aresta equivalente a uma unidade, qual será o valor da soma de todos os vetores? 𝟏𝟑𝟎 A 𝟏𝟑𝟓 B 𝟏𝟒𝟎 C 𝟏𝟕𝟖 D 𝟏𝟗𝟎 E #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 21. 21 RESOLUÇÃO 𝐶 + 𝐸 𝐵+ 𝐹 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 22. 22 RESOLUÇÃO: Somando osvetores resultantes, temos: 𝐶 + 𝐸 𝐵 + 𝐹 𝑅 𝑹 = 𝑩 + 𝑭 + 𝑪 + 𝑬 Logo, 𝑅2 = 132 + 32 𝑅 = 178 Resposta: D #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 23. 23 Determine o móduloda resultante dos vetores dados: #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 24. 24 RESOLUÇÃO: Como aregra do paralelogramo nos permite que façamos a resultante apenas de 2 em 2, então comecemos obtendo o vetor resultante entre a e b. 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑏 𝑎 𝑅𝑎𝑏 Usando a equação da regra do paralelogramo, temos: 𝑅𝑎𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos 1 200 Logo: 𝑹𝒂𝒃 = 𝟓 𝑅𝑎𝑏 2 = 52 + 52 + 2 ⋅ 5 ⋅ 5 −1 2 𝑅𝑎𝑏 2 = 52 + 52 − 52 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 25. 25 RESOLUÇÃO: Será feitaagora a resultante entre os vetores c e Rab. Dessa forma, temos: Logo: 𝑹 = 𝟎 𝑅𝑎𝑏 𝑐 𝑅 = 𝑅𝑎𝑏 − 𝑐 𝑅 = 5 − 5 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 26. 26 𝐷 = 𝐴− 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 Por definição, o vetor oposto −𝑎 é aquele que tem sentido contrário ao do vetor 𝑎 , logo: Uma subtração vetorial consistirá então na seguinte operação: 𝑎 −𝑎 O vetor D é o resultante entre os vetores A e o oposto de B 𝐴 𝐵 𝐴 -𝐵
- 27. 27 𝐷 = 𝐴− 𝐵 = 𝐴 + −𝐵 Por definição, o vetor oposto −𝑎 é aquele que tem sentido contrário ao do vetor 𝑎 , logo: Uma subtração vetorial consistirá então na seguinte operação: 𝑎 −𝑎 O vetor D é o resultante entre os vetores A e o oposto de B 𝐴 𝐵 𝐴 -𝐵 -𝐵 𝐴 𝐷 = 𝐴 − 𝐵
- 28. 28 Considere os doisvetores 𝑎 e 𝑏 da figura, cujos módulos são iguais a 5 e 6. Determine o módulo do vetor 𝑥 , tal que: 2𝑏 = 4𝑎 − 2𝑥 ⇒ 𝑥 = 2𝑎 − 𝑏 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 29. 29 RESOLUÇÃO 2𝑏 = 4𝑎− 2𝑥 𝑏 = 2𝑎 − 𝑥 𝑥 = 2𝑎 − 𝑏 𝑥 = 2𝑎 + −𝑏 600 1200 Representando os vetores, temos: 2𝑎 −𝑏 𝑥 2𝑎 −𝑏 Resolvendo a equação vetorial, temos: #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 30. 30 RESOLUÇÃO 600 1200 2𝑎 −𝑏 𝑥 2𝑎 −𝑏 De acordo coma regra do paralelogramo, temos: 𝑥2 = 2𝑎 2 + 𝑏2 + 2.2𝑎. 𝑏. cos 1 200 𝑥2 = 102 + 62 + 2.10.6. − 1 2 𝑥2 = 136 − 60 𝑥2 = 76 = 4.19 𝒙 = 𝟐 𝟏𝟗 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 31. 31 Decomposição de umvetor cos 𝜃 = 𝑎𝑥 𝑎 𝑎𝑥 = 𝑎. cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑎𝑦 𝑎 𝑎𝑦 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝜃 Considere um vetor 𝒂 . Decompor esse vetor significa obter suas projeções nos eixos perpendiculares, de tal forma que: 𝑎 𝑎𝑦 𝑎𝑥 θ 𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 𝑎2 = 𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2 Para as componentes do vetor temos:
- 32. 32 (UFLA) Os 3vetores representados figura têm resultante nula. Quais os módulos dos vetores 𝑎 e 𝑐 , sabendo que 𝑏 = 6 𝟑 𝒆 𝟑 𝟐 + 𝟔 𝟐 A 𝟔 𝟐 𝒆 𝟐 𝟑 B 𝟑 𝟐 𝒆 𝟑 C 𝟔 𝒆 𝟑 D 𝟑 𝒆 𝟑 𝟐 E #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 33. 33 RESOLUÇÃO: Fazendo adecomposição dos vetores “a” e “b”, temos: 600 𝑏𝑋 = 𝑏. cos 60° 𝑏𝑋 = 6. 1 2 𝑏𝑋 = 6 2 𝑏𝑌 = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 600 𝑏𝑌 = 6. 3 2 𝑏𝑌 = 3 2 2 𝑏 𝑏𝑌 𝑏𝑋 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 34. 34 RESOLUÇÃO: Fazendo adecomposição dos vetores “a” e “b”, temos: 450 𝑎𝑋 = 𝑎. cos 4 50 𝑎𝑋 = 𝑎 2 2 Teremos o mesmo valor para a componente y 𝑎 𝑎𝑌 𝑎𝑋 #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 35. 35 RESOLUÇÃO 𝑎𝑌 = 𝑏𝑌 𝑎2 2 = 3 2 2 𝑎 = 3 𝑐 = 𝑎𝑋 + 𝑏𝑋 𝑐 = 3 2 2 + 6 2 𝑐 = 3 2 + 6 2 𝑏𝑌 𝑏𝑋 𝑎𝑌 𝑎𝑋 𝑐 Como a resultante dos três deve ser nula, temos: Eixo Y Eixo X Resposta: A #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 36. 36 𝑟 = 𝑥𝑖+ 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 O vetor então terá a seguinte representação:
- 37. 37 𝑎 = 3𝑖+ 2𝑗 𝑏 = −2𝑖 − 4𝑗 𝒂 𝒃
- 38. 38 (UEFS) Grandezas vetoriaissão frequentemente expressas em termos de vetores unitários que são os que não possuem dimensão, mas têm módulo igual a +1 e são utilizados para especificar uma determinada direção e sentido, não tendo nenhum outro significado físico. Considerando-se os três vetores velocidades: 𝑣1 = 2𝑖 + 4𝑗 𝑚 𝑠 𝑣2 = −3𝑖 − 4𝑗 𝑚 𝑠 𝑣3 = 𝑖 + 𝑗 𝑚 𝑠 Então o vetor 𝑣 = 2𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣3 tem módulo, em m/s, de, aproximadamente: 14,5 A 14,7 B 14,9 C 15,1 D 15,3 E #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com
- 39. 39 RESOLUÇÃO: A velocidadepedida será: 𝑣 = 2𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣3 𝑣 = 2 2𝑖 + 4𝑗 − −3𝑖 − 4𝑗 + 𝑖 + 𝑗 𝑣 = 8𝑖 + 13𝑗 8 13 𝑣2 = 82 + 132 𝑣2 = 233 𝑣 ≅ 15,3 𝑣 Logo: Resposta: E #AFísicaÉTOP https://www.afísicaéchocrivel.com