Aula 2-vetores.pptx

2
Grandezas totalmente determinadas
por um valor numérico e uma unidade.
Ex.: volume, massa, densidade
Grandezas escalares
Grandezas que, além do valor numérico e
da unidade, precisam de uma orientação
espacial (direção e sentido).
Ex.: velocidade, aceleração, força.
Grandezas vetoriais

3
0 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
0
α= 30º
𝑨
𝑩

4
0 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
0
α= 30º
𝑨
𝑩
Para o vetor 𝑨, temos:
Módulo: | 𝑨| = A = 2
Direção: Horizontal
Sentido: Para a direita (leste)

5
0 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
0
α= 30º
𝑨
𝑩
Para o vetor 𝑩, temos:
Módulo: | 𝑩| = B ≅ 13
Direção: Aquela que forma 30º com o eixo x positivo
Sentido: Aproximadamente nordeste
Para o vetor 𝑨, temos:
Módulo: | 𝑨| = A = 2
Direção: Horizontal
Sentido: Para a direita (leste)

6
Considere dois vetores de
módulos a e b.
O vetor soma (também chamado
de resultante) será dado por:
1
𝒂
𝒃
Origem
(“bundinha”)
Extremidade
(“cabecinha”)

7
módulos a e b.
1 2
3
𝒂
𝒃
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
𝑺
Origem
(“bundinha”)
Extremidade
(“cabecinha”)
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
Regra do Polígono

8
Usando a Regra do Polígono
𝒂
𝒃
𝒄

9
Usando a Regra do Polígono
𝒂
𝒃
𝒄
𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝒂
𝒃 𝒄
𝑺

10
𝑨 𝑩
módulos a e b.

11
𝑨 𝑩
𝑅 = 𝐴 + 𝐵
módulos a e b.
𝑨
𝑩
𝑹

12
𝒂
𝒃
Usando a regra do paralelogramo, o
módulo do vetor resultante (soma)
será dado por:

13
𝒂
𝒃
Usando a regra do paralelogramo, o
módulo do vetor resultante (soma)
será dado por:
𝑺
𝒂
𝒃
α
θ α
D
E
F
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
θ + α = 180º
θ = 180º -α

14
𝒂
𝒃
𝑺
𝒂
𝒃
α
θ α
D
E
F
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
θ + α = 180º
θ = 180º -α
𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 𝜃
𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos 1800 − 𝛼
Pela lei dos cossenos no triangulo DEF, temos:
𝑆2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎𝑏 − cos 𝛼
𝑆2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 2𝑎𝑏. cos 𝛼
De acordo com a Trigonometria temos que
𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟖𝟎𝟎
− 𝜶 = − 𝒄𝒐𝒔 𝜶, logo:

15
Vetores na mesma direção e sentido
Casos particulares
𝒂
𝒃

16
Vetores na mesma direção e sentido
Casos particulares
𝒂
𝒃
𝒂 𝒃
𝑺
𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏. cos 00
𝑆2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 2𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏 2
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
Nesse caso temos α = 0º, logo:
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
Observação: Nesse caso, as equações
algébrica e vetorial coincidem

17
Vetores de mesma direção e sentidos
contrários
Casos particulares
𝒂
𝒃

18
Vetores de mesma direção e sentidos
contrários
Casos particulares
𝒂
𝒃 𝑺
𝑆2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 2𝑎𝑏. cos 1 800
𝑆2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑏 2
𝑆 = 𝑎 − 𝑏
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
Observação: Em termos vetoriais, foi feita
uma soma. Contudo, o valor (módulo) do
vetor soma (resultante) é dado pela
diferença entre os vetores
𝒂
𝒃

19
Vetores perpendiculares entre si
Casos particulares
𝑅2
= 𝐴2
+ 𝐵2
+ 2𝐴𝐵. cos 9 00
𝑅2 = 𝐴2 + 𝐵2
𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2
𝑹
𝑨
𝑩
𝑅 = 𝐴 + 𝐵

20
(UNIFENAS) Levando-se em consideração que cada quadradinho possua
aresta equivalente a uma unidade, qual será o valor da soma de todos os
vetores?
𝟏𝟑𝟎
A 𝟏𝟑𝟓
B 𝟏𝟒𝟎
C 𝟏𝟕𝟖
D 𝟏𝟗𝟎
E
#AFísicaÉTOP
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21
RESOLUÇÃO
𝐶 + 𝐸
𝐵 + 𝐹
#AFísicaÉTOP

22
RESOLUÇÃO: Somando os vetores resultantes, temos:
𝐶 + 𝐸
𝐵 + 𝐹
𝑅
𝑹 = 𝑩 + 𝑭 + 𝑪 + 𝑬
Logo,
𝑅2
= 132
+ 32
𝑅 = 178
Resposta: D
#AFísicaÉTOP

23
Determine o módulo da resultante dos vetores dados:
#AFísicaÉTOP

24
RESOLUÇÃO: Como a regra do paralelogramo nos permite que façamos a resultante
apenas de 2 em 2, então comecemos obtendo o vetor resultante entre a e b.
𝟏𝟐𝟎𝟎
𝑏
𝑎
𝑅𝑎𝑏
Usando a equação da regra do paralelogramo, temos:
𝑅𝑎𝑏
2
= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos 1 200
Logo: 𝑹𝒂𝒃 = 𝟓
𝑅𝑎𝑏
2
= 52
+ 52
+ 2 ⋅ 5 ⋅ 5
−1
2
𝑅𝑎𝑏
2
= 52 + 52 − 52
#AFísicaÉTOP

25
RESOLUÇÃO: Será feita agora a resultante entre os vetores c e Rab.
Dessa forma, temos:
Logo: 𝑹 = 𝟎
𝑅𝑎𝑏
𝑐
𝑅 = 𝑅𝑎𝑏 − 𝑐
𝑅 = 5 − 5
#AFísicaÉTOP

26
𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵
Por definição, o vetor oposto −𝑎 é
aquele que tem sentido contrário ao
do vetor 𝑎 , logo:
Uma subtração vetorial consistirá
então na seguinte operação:
𝑎 −𝑎
O vetor D é o resultante entre os
vetores A e o oposto de B
𝐴
𝐵
𝐴
-𝐵

27
𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵
Por definição, o vetor oposto −𝑎 é
aquele que tem sentido contrário ao
do vetor 𝑎 , logo:
Uma subtração vetorial consistirá
então na seguinte operação:
𝑎 −𝑎
O vetor D é o resultante entre os
vetores A e o oposto de B
𝐴
𝐵
𝐴
-𝐵
-𝐵 𝐴
𝐷 = 𝐴 − 𝐵

28
Considere os dois vetores 𝑎 e 𝑏 da figura, cujos módulos são iguais a 5 e 6.
Determine o módulo do vetor 𝑥 , tal que: 2𝑏 = 4𝑎 − 2𝑥 ⇒ 𝑥 = 2𝑎 − 𝑏
#AFísicaÉTOP

29
RESOLUÇÃO
2𝑏 = 4𝑎 − 2𝑥
𝑏 = 2𝑎 − 𝑥
𝑥 = 2𝑎 − 𝑏
𝑥 = 2𝑎 + −𝑏 600
1200
Representando os
vetores, temos:
2𝑎
−𝑏
𝑥
2𝑎
−𝑏
Resolvendo a equação
vetorial, temos:
#AFísicaÉTOP

30
RESOLUÇÃO
600
1200
2𝑎
−𝑏
𝑥
2𝑎
−𝑏
De acordo com a regra do
paralelogramo, temos:
𝑥2
= 2𝑎 2
+ 𝑏2
+ 2.2𝑎. 𝑏. cos 1 200
𝑥2 = 102 + 62 + 2.10.6. −
1
2
𝑥2 = 136 − 60
𝑥2 = 76 = 4.19
𝒙 = 𝟐 𝟏𝟗
#AFísicaÉTOP

31
Decomposição de um vetor
cos 𝜃 =
𝑎𝑥
𝑎
𝑎𝑥 = 𝑎. cos 𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎
𝑎𝑦 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝜃
Considere um vetor 𝒂 .
Decompor esse vetor significa obter suas
projeções nos eixos perpendiculares, de tal
forma que:
𝑎
𝑎𝑦
𝑎𝑥
θ
𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦
𝑎2
= 𝑎𝑥
2
+ 𝑎𝑦
2
Para as componentes do vetor temos:

32
(UFLA) Os 3 vetores representados figura têm resultante nula. Quais os módulos
dos vetores 𝑎 e 𝑐 , sabendo que 𝑏 = 6
𝟑 𝒆
𝟑 𝟐 + 𝟔
𝟐
A
𝟔
𝟐
𝒆 𝟐 𝟑
B
𝟑 𝟐 𝒆 𝟑
C
𝟔 𝒆 𝟑
D
𝟑 𝒆 𝟑 𝟐
E
#AFísicaÉTOP

33
RESOLUÇÃO: Fazendo a decomposição dos vetores “a” e “b”, temos:
600
𝑏𝑋 = 𝑏. cos 60°
𝑏𝑋 = 6.
1
2
𝑏𝑋 =
6
2
𝑏𝑌 = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛 600
𝑏𝑌 = 6.
3
2
𝑏𝑌 =
3 2
2
𝑏
𝑏𝑌
𝑏𝑋
#AFísicaÉTOP

34
RESOLUÇÃO: Fazendo a decomposição dos vetores “a” e “b”, temos:
450
𝑎𝑋 = 𝑎. cos 4 50
𝑎𝑋 =
𝑎 2
2
Teremos o mesmo valor
para a componente y
𝑎
𝑎𝑌
𝑎𝑋
#AFísicaÉTOP

35
RESOLUÇÃO
𝑎𝑌 = 𝑏𝑌
𝑎 2
2
=
3 2
2
𝑎 = 3
𝑐 = 𝑎𝑋 + 𝑏𝑋
𝑐 =
3 2
2
+
6
2
𝑐 =
3 2 + 6
2
𝑏𝑌
𝑏𝑋
𝑎𝑌
𝑎𝑋
𝑐
Como a resultante dos três
deve ser nula, temos:
Eixo Y Eixo X
Resposta: A
#AFísicaÉTOP

36
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
O vetor então terá a seguinte representação:

37
𝑎 = 3𝑖 + 2𝑗 𝑏 = −2𝑖 − 4𝑗
𝒂
𝒃

38
(UEFS) Grandezas vetoriais são frequentemente expressas em termos de vetores unitários
que são os que não possuem dimensão, mas têm módulo igual a +1 e são utilizados para
especificar uma determinada direção e sentido, não tendo nenhum outro significado físico.
Considerando-se os três vetores velocidades:
𝑣1 = 2𝑖 + 4𝑗
𝑚
𝑠
𝑣2 = −3𝑖 − 4𝑗
𝑚
𝑠
𝑣3 = 𝑖 + 𝑗
𝑚
𝑠
Então o vetor 𝑣 = 2𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣3 tem módulo, em m/s, de, aproximadamente:
14,5
A 14,7
B 14,9
C 15,1
D 15,3
E
#AFísicaÉTOP

39
RESOLUÇÃO: A velocidade pedida será:
𝑣 = 2𝑣1 − 𝑣2 + 𝑣3
𝑣 = 2 2𝑖 + 4𝑗 − −3𝑖 − 4𝑗 + 𝑖 + 𝑗
𝑣 = 8𝑖 + 13𝑗
8
13
𝑣2
= 82
+ 132
𝑣2 = 233
𝑣 ≅ 15,3
𝑣
Logo:
Resposta: E
#AFísicaÉTOP

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