21 - Noções de Matemática Financeira

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21 - Noções de Matemática Financeira

  1. 1. ~ 1 ~ 21 – Noções de Matemática Financeira PORCENTAGEM Ao escrevermos 13% lemos “treze por cento” e significa que estamos considerando 13 partes em cada 100. 13 13% = 100 é uma razão centesimal (razão de consequente 100) Razões como essa de consequente igual a 100 são denominadas de taxas percentuais. O valor correspondente à taxa percentual é chamado de porcentagem. Exemplos: 1. 10% de 70 é igual a 7 10 x 70 = 7 porcentagem 100  2. 25% de 100 é igual a 25 25 x 100 = 25 porcentagem 100  Pelos dois últimos exemplos notamos que: aplicando uma taxa percentual que chamamos de i sobre um valor C , determinamos uma porcentagem p . C corresponde ao inteiro 100% p corresponde à fração i% Sendo uma regra de três simples e direta, escrevemos: C 100 = p i Utilizando esta expressão podemos calcular o valor da porcentagem p ou da taxa percentual i ou do capital (principal) C , conhecido o valor das outras duas. Exemplos: 1. Numa cidade de 5 000 habitantes, 1 200 são mulheres. Determinar a taxa percentual de mulheres. C = 5 000 C 100 Em = , isolando i temos: p ip = 1 200 100pi = ? i = C 100 1 200 i = = 24% 5 000  2. Um quadrado tem uma área igual a 2 9 m . Se aumentarmos o lado de 50%, qual o valor da área desse novo quadrado? A área do quadrado é 2 A = = 9 = 9 = 3m  2 = C = 3 C 100 Em = , isolando p temos: p ii = 50% C ip = ? (aumento) p = 100 3 50 p = = 1,5 p = 1,5 100 novo lado = 3 + 1,5 = 4,5 m nova área = 4,5 4,5 = 20,25 m    
  2. 2. ~ 2 ~ 3. Num cercado, 25% dos animais são cavalos; 40% são bois e há 70 carneiros. Qual o total de animais? total percentual = 100% taxa percentual dos carneiros = 100 - 25 - 40 = 35% i = 35% C 100 Em = , isolando C temos: p ip = 70 100pC = ? (total de animais) C = i 100 70 C = = 200 35  4. Qual é o valor da taxa percentual se 2 i = (10%) + 100% ? Lembrando que 10 10% = 100 e 100 100% = 100 , substituímos: 2 2 10 100 1 1 1 + 100 101 i = + = + 1 = + 1 = = = 101% 100 100 10 100 100 100             EXERCÍCIOS 111))) Calcular o valor de 3,8% de R$ 2 000,00. 222))) Qual a taxa percentual que 125 representa de 250 ? 333))) Uma pessoa aplicou R$ 13 000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor aplicado. Qual foi o valor do seu rendimento? 444))) O valor de uma passagem de ônibus foi majorado de R$ 1,10 para R$ 1,35 . Qual foi a taxa percentual aproximada do aumento? 555))) Numa classe 40% dos alunos são meninas e os meninos são 27 . Calcule o número de alunos desta classe. 666))) Comprando uma calça à vista, obtenho um desconto de R$ 9,00 correspondente a 20% do seu preço. Calcule o preço da calça. 777))) Se a área de um círculo foi aumentada de 2 314cm para 2 490,625cm , qual foi a taxa percentual de aumento dada ao seu raio? Dado 156,25 = 12,5. 888))) Um livro tem marcado seu preço na capa: R$ 36,00 e é vendido pelas livrarias com 30% de lucro sobre o preço da capa. Quanto lucrou um livreiro que vendeu 280 desses livros? 999))) Três cidades devem fornecer ao exército 4 800 homens. A primeira tem 30 000 habitantes; a segunda 50 000 e a terceira 80 000. Quantos homens deve fornecer cada cidade? Sugestão: total = 30 000 + 50 000 + 80 000 = 160 000 percentual da 1ª cidade = 3 000 000 : 160 000 = 18,75% 111000))) Calcule o valor da taxa percentual 2 i = (100%) . JUROS O pagamento feito pelo uso de dinheiro tomado emprestado ou aplicado, nos dá uma idéia de juros. O dinheiro tomado emprestado ou aplicado é chamado de capital ou principal; o dinheiro pago pela utilização desse capital recebe o nome de juro, que é função do número de períodos de tempo t ou n e de taxa de juros i. TAXA DE JUROS Taxa percentual corresponde ao juro do capital $ 100 no período determinado pela unidade de tempo. Exemplo: i = 3% a.m. (ao mês), significa que a cada $ 100 aplicados rendem $ 3 de juros por mês.
  3. 3. ~ 3 ~ TAXA UNITÁRIA Corresponde ao juro do capital $ 1 no período determinado pela unidade de tempo. Exemplo: i = 0,15% a.a. (ao ano), significa que a cada $ 1 aplicados rende $ 0,15 de juro por ano. Nota: Para transformar a taxa percentual em taxa unitária basta dividir a taxa percentual por 100. Naturalmente, da unitária para a percentual multiplicamos a unitária por 100. Exemplos: percentual unitária 30% a.a. = 0,30 a.a. 1,5% a.m. = 0,015 a.m. CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS Os juros podem ser: juros simples ou juros compostos conforme o processo utilizado no seu cálculo. Juros simples quando os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial. Para definirmos juros compostos, vamos definir primeiramente montante: Montante = Capital + Juros Juros compostos quando ao final de cada período de capitalização, o montante se torna capital para o período seguinte e assim por diante. JUROS SIMPLES Seja o capital C aplicado à taxa unitária i durante um prazo de n períodos de tempo. Vamos determinar os juros simples decorrentes desta publicação. 1 1 período i C n períodos J Sendo a grandeza juros diretamente proporcional ao capital, à taxa e aos n períodos (tempo), podemos escrever: J = C i n  Cálculo do Montante Vimos que Importantíssimo: a) Para a utilização dessas duas expressões de juros e montante na resolução de problemas de juros simples, a taxa (i) e o prazo como número de períodos (n) devem referir-se à mesma unidade de tempo, ou seja, se o tempo está expresso em anos, a taxa tem que ser anual, se o tempo em meses, a taxa deve ser mensal e assim por diante. Caso contrário, devemos fazer as devidas conversões. b) A taxa de juros utilizada nas fórmulas de juros e montante deve ser sempre a taxa unitária. Montante Capital+ Juros M C + J, substituindo J = C i n temos: M C + C i n, colocando C em evidência: M C (1+i n)         
  4. 4. ~ 4 ~ Exemplos: 1. Calcular os juros simples produzidos pela aplicação de R$ 3 600,00 à taxa 15% a.a., durante 6 meses. C = R$ 3 600,00 i = 15% a.a. ÷ 100 temos a taxa unitária de 0,15 a.a. 6 1 n = 6 meses convertidos em anos temos = ano 12 2 J = ? J = C i n 1 J = 3 600 0,15 = 270 2 J = R$ 270,00     2. Qual o capital que produziu R$ 300,00 a 20% a.t. (ao trimestre) durante 9 meses? C = ? J = R$ 300,00 i = 20% a.t. ÷ 100 temos a taxa unitária de 0,20 a.t. n = 9 meses = 3 trimestres J = C i n ou C i n = J J C = i n 300 C = = 500 0,20 3 C = R$ 500,00       3. Determine o tempo em que aplicado o capital R$ 12 000,00 rendeu de juros de R$ 240,00 à taxa de 0,2% a.m.. C = R$ 12 000,00 J = R$ 240,00 i = 0,2% a.m. ÷ 100 = 0,002 a.m. n = ? J = C i n ou C i n = J J n = C i 240 n = = 10 12 000 0,002 n = 10 meses       4. Qual é a taxa mensal que aplicada ao capital de R$ 20 000,00 em 3 anos rende R$ 36 000,00? i = ? C = R$ 20 000,00 n = 3 anos 12 = 36 meses J = R$ 36 000,00 J = C i n J i = C n 36 000 i = = 0,05 20 000 36 i = 0,05 a.m. (taxa unitária) i = 0,05 100 = 5% a.m.      
  5. 5. ~ 5 ~ 5. Qual o montante que o capital de R$ 5 000,00 aplicado a uma taxa 3,6% a.m. atinge 20 dias?       M = ? C = R$ 5 000,00 i = 3,6% a.m. ÷ 30 = 0,12% a.d. (ao dia) ÷ 100 0 0012 a.d. n = 20 dias M = C 1 + i n M = 5 000 1 + 0,0012 20 M = 5 000 1 + 0,024 = 5 000 1,024 = 5 120 M = R$ 5 120,00 ,     EXERCÍCIOS 111111))) Depositei em um banco R$ 300,00 a 6% a.a. durante 3 meses. Quanto ganhei? 111222))) Qual o montante produzido por R$ 4 000,00 em 4 meses à taxa de 12% a.a.? 111333))) Durante quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 40 000,00 a 20% a.a. para obter uma importância de juros igual ao capital aplicado? 111444))) Calcule os juros simples resultantes da aplicação de R$ 3 000,00 a uma taxa de 15% a.a. por um período de 9 meses. 111555))) Quanto terei depois de 5 anos aplicando R$ 50 000,00 a 2% a.m. ? 111666))) Um investidor aplicou R$ 20 000,00 por 30 dias a uma taxa de 12% a.a.; R$ 25 000,00 por 42 dias a uma taxa de 15% a.a. e R$ 32 000,00 por 60 dias a uma taxa de 30% a.a.. Qual o total de juros que ele obteve? 111777))) Qual será o valor do capital acumulado após 11 meses e 10 dias, produzido por R$ 1 200,00 aplicados a 15% ao bimestre? 111888))) Qual o capital que a 5% a.a. rende R$ 2 500,00 em 4 bimestres? 111999))) A que taxa foi emprestado o capital de R$ 15 000,00, que em 3 anos rendeu R$ 1 800,00? 222000))) Qual foi o capital que aplicado em 6 meses à taxa de 18% a.a. produziu o montante de R$ 915 600,00? JUROS COMPOSTOS Vimos que no regime de capitalização composta, os juros do 1º período são calculados em função do capital inicial e incorporados a ele formam o novo capital para o cálculo dos juros do 2º período e assim por diante. Cálculo do Montante Seja um capital C aplicado a juros compostos, à taxa unitária i durante um determinado período n . No final de cada período teremos um montante M : No final do 1º período: 1J = C i 1M = C + Ci  1M = C 1 + i No final do 2º período:  2J = C 1 + i i    2M = C 1 + i + C 1 + i i   2 2M = C 1 + i No final do 3º período:   2 3J = C 1 + i i     2 2 3M = C 1 + i + C 1 + i i   3 3M = C 1 + i No final do n-ésimo período:   n nM = C 1 + i
  6. 6. ~ 6 ~ Exemplos: 1. Aplicando R$ 5 000,00 a juros compostos, a 8% a.m. durante 2 meses, qual o valor do montante e dos juros adquiridos?     n 2 2 C = R$ 5 000,00 M = C 1 + i i = 8% a.m. = 0,08 a.m. M = 5 000 1 + 0,08 n = 2 meses M = 5 000 1,08 M = ? M = 5 000 1,17 J = ? M = R$ 5 832,00 Como M = C + J, então J = M - C J = 5 832 - 5 000 J = R$ 832,00   2. Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 3% a.d. (ao dia), produz em 5 dias um montante de R$ 231,85? Dados: log 1,03 = 0,0128 e log 1,16 = 0,0642       n n 5 5 5 i = 3% a.d. = 0,03 a.d. M = C 1 + i ou C 1 + i = M n = 5 dias C 1 + 0,03 = 231,85 M = R$ 231,85 C = ? Chamando x = 1,03 e aplicando log: log x = log 1,03 log x = 5 log 1,03 log x = 5 0,0128 log x = 0,0   642 x = 1,16 231,85 C = 200 1 16 Então C = R$ 200,00   , 3. Por quanto tempo o capital de R$ 600,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 6% a.m. para que montante produzido seja de R$ 902,18? Dados: log 1,06 = 0,0253 e log 1,503 = 0,1771     n n n n n C = R$ 600,00 M = C 1 + i i = 6% a.m. = 0,06 a.m. 902,18 = 600 1 + 0,06 902,18 M = R$ 902,18 1,06 = 1,06 = 1,503 600 n = ? log 1,06 = log 1,503 log 1,503 n = log 1,06 0,1771 n = 7 n = 7 meses 0 0253,   
  7. 7. ~ 7 ~ 4. Que taxa devo aplicar ao capital de R$ 80 000,00 a juros capitalizados mensalmente durante 2 meses para obter os juros de R$ 16 800,00? Dados: log 1,21 = 0,0828 e log 1,10 = 0,04139             n 2 2 2 2 C = R$ 80 000,00 M = C 1 + i n = 2 meses 96 800 = 80 000 1 + i M = C + J = 80 000 + 96 800 = 1 + i 1 + i = 1,21 + 16 800 = R$ 96 800,00 80 000 i = ? log 1 + i = log 1,21 2 log 1 + i = 0,0828 log 1 +     0,0828 i = = 0,04139 2 1 + i = 1,10 i = 0,10 ou i = 10% a.m. EXERCÍCIOS 222111))) Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 200 000,00 capitalizados mensalmente durante 2 meses à taxa de 5% a.m.. 22) Aplicando R$ 65 000,00 a juros compostos durante 3 trimestres capitalizados mensalmente à taxa de 2% a.m., determine o montante resultante e os juros. Dados: log 1,02 = 0,0086 e log 1,1950 = 0,0774 . 23) Qual o capital que aplicado a juros compostos a 7,5% a.a. produz o montante de R$ 76 930,81 em 15 anos? Dados: log 1,075 = 0,0314 e log 2,9589 = 0,4711 . 24) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 15 000,00 a juros compostos a 4% a.m. para atingir o montante de R$ 18 249,79? Dados: log 1,04 = 0,0170 e log 1,22 = 0,0852. 25) O jovem Evaristo tomou emprestado de uma tia amiga R$ 5 000,00 à 25% a.m. Qual será o montante que irá pagar após 18 meses? Dados: log 1,25 = 0,09691 e log 55,51 = 1,7443 . 26) Descontando um título de valor nominal (montante) R$ 6 000,00 a 15% a.m. antecipado em 20 meses, qual o capital recebido? Dados: log 1,15 = 0,06069 e log 16,366 = 1,2139 . 27) A que taxa deve aplicar R$ 1 000,00 para obter o montante de R$ 1 266,00 após 8 meses? Dados: log 1,266 = 0,1024 e log 1,03 = 0,0128. 28) A que taxa deve aplicar R$ 12 000,00 para atingir o montante de R$ 30 000,00 após 19 meses? Dados: log 2,50 = 0,3979 e log 1,05 = 0,02094 .

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