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MATEMÁTICA FINANCEIRA
MARCOS LUCIANO
1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática financeira é a parte da
matemática que analisa o comportamento de
um valor monetário (dinheiro, nota promissória,
duplicata) em relação ao tempo. Basicamente
temos duas situações:
• Projeção do valor monetário a partir de
uma data atual (presente) para uma
data futura → operação de juros;
• Projeção do valor monetário a partir de
uma data futura para uma data atual →
operação de desconto.
Regimes de correção (capitalização)
 Regime Simples: a correção (a taxa)
ocorre sempre sobre o valor inicial do
valor monetário, independentemente do
tempo que o valor será corrigido;
 Regime Composto: a correção (a taxa)
ocorre sempre sobre o valor obtido no
período anterior, ou seja, sobre o valor
do capital acrescido dos juros obtidos
no período anterior.
Operação de Juros.
Elementos da operação de Juros:
 C: capital, valor monetário atual,
principal → É a quantia que se
empresta ou que se toma emprestada,
para devolução em uma data futura
também chamada de principal;
 n: é o período durante o qual o capital
fica aplicado; é o período da operação;
 M: montante, valor monetário futuro,
resultado da projeção do capital,
sempre maior que o capital; é a soma
do capital com os juros (M = C + J);
 J: é a importância que se recebe ou se
paga, como compensação, quando se
empresta ou se torna emprestada certa
quantia por certo tempo. É calculado
pela diferença entre o montante e o
capital (J = M – C);
 i: taxa, valor percentual, seguido de
uma unidade de tempo, que altera o
dinheiro no tempo.
JUROS SIMPLES
Na capitalização simples a taxa de juros incide
apenas sobre o capital inicial (principal ou valor
presente).
Exemplo: Dado um capital C= 100; aplicado a
uma taxa i = 10% ao período, teremos:
 No final do primeiro período de
aplicação:
Juro j1 = e o montante M1 =
 No final do segundo período de
aplicação:
Juro j2 = e o montante M2 =
 No final do terceiro período de
aplicação:
Juro j3 = e o montante M3 =
Fórmula para o cálculo dos juros simples:
Fórmula para o cálculo do Montante:
Observações:
 Taxa e tempo devem sempre estar na
mesma unidade de tempo.
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2
 Caso taxa e tempo não estejam na
mesma unidade tempo, devemos
operar a transformação no tempo ou na
taxa. Caso a alteração seja na taxa
utilizamos o conceito das TAXAS
PROPORCIONAIS (exclusivo do regime
simples): que consiste em alterar a taxa
para o período desejado através das
operações de multiplicação ou divisão.
Exemplos:
Exemplos:
 A taxa é normalmente é indicada
percentualmente, mas realizamos os
cálculos na forma centesimal
(fracionária) ou decimal (unitária);
• A expressão rendimento significa juros.
• Os juros são diretamente proporcionais
ao capital aplicado (C), à taxa da
operação (i) e ao tempo da operação.
• Juro comercial ou juro ordinário
(convenção comercial) considera o ano
com 360 dias e o mês com 30 dias
(regra normalmente utilizada nas
questões de juros simples).
 Juro exato: o ano possui 365 dias e o
mês possui a quantidade de dia que lhe
é própria.
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E
LOGÍSTICA JÚNIOR TRANSPORTE
MARÍTIMO CESGRANRIO 2010) O valor dos
juros simples obtidos por um capital de R$
1.500,00, durante 4 anos, à taxa de 8% ao ano
é, em reais, de
(A) 320,00
(B) 480,00
(C) 540,73
(D) 1.980,00
(E) 2.040,73
RESOLUÇÃO:
02. (APOFP SP ESAF 2009) Um capital
unitário aplicado a juros gerou um montante de
1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa
de juros simples anual de aplicação deste
capital?
(A) 4%
(B) 10%
(C) 60%
(D) 54%
(E) 48%
RESOLUÇÃO:
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3
03. (SEFAZ CE ESAF 2006) Qual o capital que
aplicado a juros simples à taxa de 2,4 ao mês
rende R$ 1.608,00 em 100 dias?
(A) R$ 20.000,00.
(B) R$ 20.100,00.
(C) R$ 20.420,00.
(D) R$ 22.000,00.
(E) R$ 21.400,00.
RESOLUÇÃO:
04. (CVM ESAF 2010 - ADAPTADA) Qual o
valor mais próximo do montante que atinge
uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e
meio depois, a uma taxa de juros simples de
1,5% ao mês?
(A) R$ 2.115,00
(B) R$ 2.092,00
(C) R$ 2.090,00
(D) R$ 2.135,00
(E) R$ 2.120,00
RESOLUÇÃO:
05. (ESCRITURÁRIO BANCO DO BRASIL
FCC 2006) Um televisor é vendido em uma loja
onde o comprador pode escolher uma das
seguintes opções:
I. R$ 5.000,00, à vista sem desconto.
II. R$ 1.000,00 de entrada e um
pagamento no valor de R$ 4.500,00 em
1 (um) mês após a data da compra.
A taxa de juros mensal cobrada pela loja no
pagamento da segunda opção, que vence em 1
(um) mês após a data da compra, é de
(A) 30%
(B) 25%
(C) 20%
(D) 15%
(E) 12,5%
RESOLUÇÃO:
06. (AFRF ESAF) A quantia de R$ 10.000,00
foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de
abril ao dia 5 de setembro do corrente ano.
Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano,
desprezando os centavos.
(A) R$ 705,00
(B) R$ 725,00
(C) R$ 715,00
(D) R$ 720,00
(E) R$ 735,00
RESOLUÇÃO:
CAPITAL MÉDIO, TAXA MÉDIA E TEMPO
MÉDIO
Um conjunto de aplicações completo, em que
se conhece o capital, a taxa e o tempo de cada
uma das aplicações é um grupo de n
aplicações. O objetivo é determinar o capital
médio, a taxa média ou o tempo médio para
que essas aplicações produzam os mesmos
juros caso fosse feita uma única aplicação.
Vejamos um conjunto completo com 3
aplicações:
O cálculo do capital médio é dado pela
seguinte relação:
O cálculo do taxa média é dado pela seguinte
relação:
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4
O cálculo do prazo médio é dado pela seguinte
relação:
Exigência das fórmulas: as taxas devem estar
na mesma unidade e os tempos devem estar
na mesma unidade.
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (AFRF ESAF) Os capitais de R$ 2.000,00,
R$ 3.000,00, R$1.500,00 e R$ 3.500,00 são
aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples,
durante 2, 3, 4 e 6 meses, respectivamente.
Obtenha o prazo médio de aplicação desses
capitais.
(A) 4 meses
(B) 4 meses e 5 dias
(C) 3 meses e 22 dias
(D) 2 meses e 20 dias
(E) 8 meses
RESOLUÇÃO:
DESCONTO SIMPLES
Quando um título de crédito (duplicata, nota
promissória) é quitado antes da data de
vencimento acordada, gera para aquele que
paga o direito a um desconto pela antecipação
do pagamento. De uma forma geral, acontece
o pagamento antecipado de um título antes da
data acordada para o pagamento em data
futura.
Operação de Desconto.
Elementos da operação de Desconto.
 N: valor nominal → É o valor do título
na data de vencimento. Conhecido
como: valor futuro, valor de face, valor
do título, valor da duplicata, valor da
promissória, valor do cheque;
 n: é o prazo de antecipação; é o
período da operação;
 D: é o valor da redução, do abatimento
que se obtém pela antecipação do
pagamento do título. Reduz o valor
nominal;
 A: valor atual → é o valor do título na
data em que é quitado, antes de sua
data de vencimento. Conhecido como:
valor presente, valor atual, valor líquido,
valor após o desconto, valor reduzido,
valor descontado. Vale a seguinte
relação, independente da modalidade
do desconto: A = N - D;
 i: taxa de desconto, valor percentual,
seguido de uma unidade de tempo.
Modalidades Desconto Simples.
O desconto simples possui as seguintes
modalidades:
 Desconto simples comercial ou por fora
(Df);
 Desconto simples racional ou por dentro
(Dd);
 Desconto simples comercial bancário
(Db).
Observação: Caso não seja mencionada a
modalidade do desconto, admite-se desconto
comercial.
DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU POR
FORA (Df)
É o desconto calculado sobre o valor nominal
(N). É importante ressaltar que o valor nominal
é o valor de referência do desconto comercial
(por fora).
Fórmula para o cálculo do desconto simples
comercial:
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5
Fórmula para o cálculo do valor atual simples
comercial:
EXERCÍCIOS EM AULA
01. (APE TCE RS FMP 2011) Um título no
valor nominal de R$ 10.000,00 está sendo
liquidado sessenta dias antes de seu
vencimento. Sabendo-se que o desconto é o
comercial simples e a taxa de desconto
utilizada é 5% ao mês, o valor do desconto é
(A) R$ 909,09.
(B) R$ 930,00.
(C) R$ 1.000,00.
(D) R$ 9.070,00.
(E) R$ 30.000,00.
RESOLUÇÃO:
02. (AUDITOR SEFAZ RJ FGV 2011) Um título
com valor de R$ 15.000,00 a vencer em 4
meses é descontado no regime de juros
simples a uma taxa de desconto “por fora” de
6,25% ao mês. O valor presente do título é
igual a
(A) R$ 9.750.
(B) R$ 12.000.
(C) R$ 11.769.
(D) R$ 10.850.
(E) R$ 11.250.
RESOLUÇÃO:
03. (FISCAL DE RENDAS SMF RJ ESAF
2010) Um título sofre um desconto simples por
fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu
vencimento a uma taxa de desconto de 2,5%
ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor
nominal do título?
(A) R$ 22.500,00
(B) R$ 25.000,00
(C) R$ 17.500,00
(D) R$ 20.000,00
(E) R$ 27.500,00
RESOLUÇÃO:
DÚVIDA SUA MENSAGEM
(AFRF ESAF 2002) Uma conta no valor de R$
2.000,00 deve ser paga em um banco na
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia
do vencimento implica uma multa fixa de 2%
sobre o valor da conta mais o pagamento de
uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil
de atraso, calculada como juros simples, sobre
o valor da conta. Calcule o valor do pagamento
devido no dia 22 do mesmo mês, considerando
que não há nenhum feriado bancário no
período.
(A) R$ 2.080,00
(B) R$ 2.084,00
(C) R$ 2.088,00
(D) R$ 2.096,00
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RESOLUÇÃO:

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Aula 1

  • 1. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática financeira é a parte da matemática que analisa o comportamento de um valor monetário (dinheiro, nota promissória, duplicata) em relação ao tempo. Basicamente temos duas situações: • Projeção do valor monetário a partir de uma data atual (presente) para uma data futura → operação de juros; • Projeção do valor monetário a partir de uma data futura para uma data atual → operação de desconto. Regimes de correção (capitalização)  Regime Simples: a correção (a taxa) ocorre sempre sobre o valor inicial do valor monetário, independentemente do tempo que o valor será corrigido;  Regime Composto: a correção (a taxa) ocorre sempre sobre o valor obtido no período anterior, ou seja, sobre o valor do capital acrescido dos juros obtidos no período anterior. Operação de Juros. Elementos da operação de Juros:  C: capital, valor monetário atual, principal → É a quantia que se empresta ou que se toma emprestada, para devolução em uma data futura também chamada de principal;  n: é o período durante o qual o capital fica aplicado; é o período da operação;  M: montante, valor monetário futuro, resultado da projeção do capital, sempre maior que o capital; é a soma do capital com os juros (M = C + J);  J: é a importância que se recebe ou se paga, como compensação, quando se empresta ou se torna emprestada certa quantia por certo tempo. É calculado pela diferença entre o montante e o capital (J = M – C);  i: taxa, valor percentual, seguido de uma unidade de tempo, que altera o dinheiro no tempo. JUROS SIMPLES Na capitalização simples a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial (principal ou valor presente). Exemplo: Dado um capital C= 100; aplicado a uma taxa i = 10% ao período, teremos:  No final do primeiro período de aplicação: Juro j1 = e o montante M1 =  No final do segundo período de aplicação: Juro j2 = e o montante M2 =  No final do terceiro período de aplicação: Juro j3 = e o montante M3 = Fórmula para o cálculo dos juros simples: Fórmula para o cálculo do Montante: Observações:  Taxa e tempo devem sempre estar na mesma unidade de tempo.
  • 2. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 2  Caso taxa e tempo não estejam na mesma unidade tempo, devemos operar a transformação no tempo ou na taxa. Caso a alteração seja na taxa utilizamos o conceito das TAXAS PROPORCIONAIS (exclusivo do regime simples): que consiste em alterar a taxa para o período desejado através das operações de multiplicação ou divisão. Exemplos: Exemplos:  A taxa é normalmente é indicada percentualmente, mas realizamos os cálculos na forma centesimal (fracionária) ou decimal (unitária); • A expressão rendimento significa juros. • Os juros são diretamente proporcionais ao capital aplicado (C), à taxa da operação (i) e ao tempo da operação. • Juro comercial ou juro ordinário (convenção comercial) considera o ano com 360 dias e o mês com 30 dias (regra normalmente utilizada nas questões de juros simples).  Juro exato: o ano possui 365 dias e o mês possui a quantidade de dia que lhe é própria. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA JÚNIOR TRANSPORTE MARÍTIMO CESGRANRIO 2010) O valor dos juros simples obtidos por um capital de R$ 1.500,00, durante 4 anos, à taxa de 8% ao ano é, em reais, de (A) 320,00 (B) 480,00 (C) 540,73 (D) 1.980,00 (E) 2.040,73 RESOLUÇÃO: 02. (APOFP SP ESAF 2009) Um capital unitário aplicado a juros gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de aplicação deste capital? (A) 4% (B) 10% (C) 60% (D) 54% (E) 48% RESOLUÇÃO:
  • 3. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 3 03. (SEFAZ CE ESAF 2006) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4 ao mês rende R$ 1.608,00 em 100 dias? (A) R$ 20.000,00. (B) R$ 20.100,00. (C) R$ 20.420,00. (D) R$ 22.000,00. (E) R$ 21.400,00. RESOLUÇÃO: 04. (CVM ESAF 2010 - ADAPTADA) Qual o valor mais próximo do montante que atinge uma dívida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês? (A) R$ 2.115,00 (B) R$ 2.092,00 (C) R$ 2.090,00 (D) R$ 2.135,00 (E) R$ 2.120,00 RESOLUÇÃO: 05. (ESCRITURÁRIO BANCO DO BRASIL FCC 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opções: I. R$ 5.000,00, à vista sem desconto. II. R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em 1 (um) mês após a data da compra. A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de (A) 30% (B) 25% (C) 20% (D) 15% (E) 12,5% RESOLUÇÃO: 06. (AFRF ESAF) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. (A) R$ 705,00 (B) R$ 725,00 (C) R$ 715,00 (D) R$ 720,00 (E) R$ 735,00 RESOLUÇÃO: CAPITAL MÉDIO, TAXA MÉDIA E TEMPO MÉDIO Um conjunto de aplicações completo, em que se conhece o capital, a taxa e o tempo de cada uma das aplicações é um grupo de n aplicações. O objetivo é determinar o capital médio, a taxa média ou o tempo médio para que essas aplicações produzam os mesmos juros caso fosse feita uma única aplicação. Vejamos um conjunto completo com 3 aplicações: O cálculo do capital médio é dado pela seguinte relação: O cálculo do taxa média é dado pela seguinte relação:
  • 4. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 4 O cálculo do prazo médio é dado pela seguinte relação: Exigência das fórmulas: as taxas devem estar na mesma unidade e os tempos devem estar na mesma unidade. EXERCÍCIOS EM AULA 01. (AFRF ESAF) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante 2, 3, 4 e 6 meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. (A) 4 meses (B) 4 meses e 5 dias (C) 3 meses e 22 dias (D) 2 meses e 20 dias (E) 8 meses RESOLUÇÃO: DESCONTO SIMPLES Quando um título de crédito (duplicata, nota promissória) é quitado antes da data de vencimento acordada, gera para aquele que paga o direito a um desconto pela antecipação do pagamento. De uma forma geral, acontece o pagamento antecipado de um título antes da data acordada para o pagamento em data futura. Operação de Desconto. Elementos da operação de Desconto.  N: valor nominal → É o valor do título na data de vencimento. Conhecido como: valor futuro, valor de face, valor do título, valor da duplicata, valor da promissória, valor do cheque;  n: é o prazo de antecipação; é o período da operação;  D: é o valor da redução, do abatimento que se obtém pela antecipação do pagamento do título. Reduz o valor nominal;  A: valor atual → é o valor do título na data em que é quitado, antes de sua data de vencimento. Conhecido como: valor presente, valor atual, valor líquido, valor após o desconto, valor reduzido, valor descontado. Vale a seguinte relação, independente da modalidade do desconto: A = N - D;  i: taxa de desconto, valor percentual, seguido de uma unidade de tempo. Modalidades Desconto Simples. O desconto simples possui as seguintes modalidades:  Desconto simples comercial ou por fora (Df);  Desconto simples racional ou por dentro (Dd);  Desconto simples comercial bancário (Db). Observação: Caso não seja mencionada a modalidade do desconto, admite-se desconto comercial. DESCONTO SIMPLES COMERCIAL OU POR FORA (Df) É o desconto calculado sobre o valor nominal (N). É importante ressaltar que o valor nominal é o valor de referência do desconto comercial (por fora). Fórmula para o cálculo do desconto simples comercial:
  • 5. www.cers.com.br CVM MATEMÁTICA FINANCEIRA MARCOS LUCIANO 5 Fórmula para o cálculo do valor atual simples comercial: EXERCÍCIOS EM AULA 01. (APE TCE RS FMP 2011) Um título no valor nominal de R$ 10.000,00 está sendo liquidado sessenta dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que o desconto é o comercial simples e a taxa de desconto utilizada é 5% ao mês, o valor do desconto é (A) R$ 909,09. (B) R$ 930,00. (C) R$ 1.000,00. (D) R$ 9.070,00. (E) R$ 30.000,00. RESOLUÇÃO: 02. (AUDITOR SEFAZ RJ FGV 2011) Um título com valor de R$ 15.000,00 a vencer em 4 meses é descontado no regime de juros simples a uma taxa de desconto “por fora” de 6,25% ao mês. O valor presente do título é igual a (A) R$ 9.750. (B) R$ 12.000. (C) R$ 11.769. (D) R$ 10.850. (E) R$ 11.250. RESOLUÇÃO: 03. (FISCAL DE RENDAS SMF RJ ESAF 2010) Um título sofre um desconto simples por fora de R$ 2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? (A) R$ 22.500,00 (B) R$ 25.000,00 (C) R$ 17.500,00 (D) R$ 20.000,00 (E) R$ 27.500,00 RESOLUÇÃO: DÚVIDA SUA MENSAGEM (AFRF ESAF 2002) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. (A) R$ 2.080,00 (B) R$ 2.084,00 (C) R$ 2.088,00 (D) R$ 2.096,00 (E) R$ 2.100,00 RESOLUÇÃO: