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Matemática
 Matriz
D efinição e N otação
               a11   a12 ... a1n 
              a                   
                      a22 ... a2 n 
               21
               .      .    .   . 
               .      .    .   . 
                                  
               .      .    .   . 
              am1
                     am 2 ... amn 
                                   
Chamamos de Matriz a todo conjunto de “valores”,
 dispostos em linhas e colunas. Representamos
matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
             Prof. Neydiwan - Matemática
M atriz L inha
   A = [ − 4 2 1 0]

É toda matriz que possui apenas uma linha.


           Prof. Neydiwan - Matemática
M atriz C oluna
                5 
                4 
            B=  
                − 10
                
É toda matriz que possui apenas uma coluna.

           Prof. Neydiwan - Matemática
M atriz Q uadrada
        −1 2 0 
         5 2 − 6
      C=        
        − 5 0 2 
                
É toda matriz onde o número de linhas é igual
           ao número de colunas.
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M atriz D iagonal
         5              0        0
         0
      D =               4         
                                  0
         0
                        0        1
                                   
É toda matriz quadrada onde os termos que não
     estão na diagonal principal são nulos.
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M atriz I dentidade
            1               0       0
            0
         D =                1        
                                     0
            0
                            0       1
                                      
É toda matriz quadrada onde os termos que estão na
  diagonal principal são iguais a 1 e os outros são
                       nulos.
              Prof. Neydiwan - Matemática
M atriz T ransposta
    1     0     2
    3             
        −4      −1            1 3 0 6 0
E = 0   5       −1            0 − 4 5 0 0
                            E =
                             T

                                            
    6   0       1             2 − 1 − 1 1 6
                                             
    0
          0     6
 É toda matriz onde os termos que estão na posição
 de linha são transpostos para a posição de coluna.
               Prof. Neydiwan - Matemática
I gualdade de M atrizes
Duas matrizes são iguais quando todos os elementos
            correspondentes são iguais.
    x + 1 0      5 0
A=          e B=     , sendo A = B, então :
    log x 1      2 1

        x+1= 5                    log x =2

              Prof. Neydiwan - Matemática
M atrizes
          2 − 1 5        4 − 1 2
       A=         e B = 0 5 0 , então A + B
          0 7 1                 

2 − 1 5 4 − 1 2 2 + 4 − 1 + (−1) 5 + 2 6 − 2 7 
 0 7 1 +  0 5 0  =  0 + 0 7+5          = 0 12 1 
                                      1+ 0 
                                                  

    Para realizarmos estas operações entre matrizes,
   precisamos ter matrizes de mesma ordem e realizar
      as respectivas operações com os elementos
                   correspondentes.
                 Prof. Neydiwan - Matemática
N úmero
                       − 1 2
    Seja a matriz A =        , realize 2 A.
                        0 5
       − 1 2  2.(− 1) 2.2  − 2 4 
    2.       =              =          
       0 5  2.0 2.5  0 10
 Para realizarmos o produto de uma constante por
uma matriz, basta multiplicarmos todos os elementos
                pela constante dada.
              Prof. Neydiwan - Matemática
M ultiplicação de M atrizes
                   Amxn .Bnxp = Cmxp
                                     7 
                1      2    3      8 
             A =              e B = 
                4      5    6
                                     9 
                                      
                   7 
 1   2   3              1.7 + 2.8 + 3.9        50 
 4   5     .8  = 4.7 + 5.8 + 6.9 = 121
          6 2 x 3
                  9 3 x1                  2 x1   2 x1
                    
Para realizarmos o produto A.B, o número de linhas
de B tem que ser igual ao número de colunas de A.
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P ropriedades de M atrizes
  1− ( A + B) + C = A + ( B + C )
   2− A+ B = B + A
   3− A+ M = A
   4 − A + A' = 0

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P ropriedades de M atrizes
   1 − a.( b. A) = ( a.b ). A
   2 − a.( A + B ) = a. A + a.B
   3 − ( a + b ). A = a. A + b. A
   4 − 1. A = A
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P ropriedades de M atrizes
 1 − ( A.B ) .C = A( B.C )
 2 − ( A + B ) .C = C.( A + B ) = C. A + C.B
 3 − ( k . A) .B = A.( k .B ) = k .( A.B )


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P ropriedades de M atrizes
    1− ( A ) = A
          t t


   2 − ( A + B) = A + B
                         t           t       t


   3 − ( k . A) = k . A
                 t               t


   4 − ( A.B ) = B . A
                     t       t           t


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I nversão de M atrizesé matriz
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A
inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.
                             −1
                      A. A = I n
  Calcule a inversa da matriz A =




Resolvendo os sistemas temos a matriz inversa de A.
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R esolução de E xercícios




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Aula de matrizes

  • 2. D efinição e N otação  a11 a12 ... a1n  a  a22 ... a2 n   21  . . . .   . . . .     . . . .  am1  am 2 ... amn   Chamamos de Matriz a todo conjunto de “valores”, dispostos em linhas e colunas. Representamos matrizes com letras maiúsculas do nosso alfabeto. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 3. M atriz L inha A = [ − 4 2 1 0] É toda matriz que possui apenas uma linha. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 4. M atriz C oluna  5   4  B=    − 10   É toda matriz que possui apenas uma coluna. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 5. M atriz Q uadrada −1 2 0   5 2 − 6 C=  − 5 0 2    É toda matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 6. M atriz D iagonal 5 0 0 0 D = 4  0 0  0 1  É toda matriz quadrada onde os termos que não estão na diagonal principal são nulos. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 7. M atriz I dentidade 1 0 0 0 D = 1  0 0  0 1  É toda matriz quadrada onde os termos que estão na diagonal principal são iguais a 1 e os outros são nulos. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 8. M atriz T ransposta 1 0 2 3   −4 −1  1 3 0 6 0 E = 0 5 −1  0 − 4 5 0 0 E = T    6 0 1  2 − 1 − 1 1 6   0  0 6 É toda matriz onde os termos que estão na posição de linha são transpostos para a posição de coluna. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 9. I gualdade de M atrizes Duas matrizes são iguais quando todos os elementos correspondentes são iguais.  x + 1 0  5 0 A=   e B=  , sendo A = B, então :  log x 1  2 1 x+1= 5 log x =2 Prof. Neydiwan - Matemática
  • 10. M atrizes  2 − 1 5  4 − 1 2 A=  e B = 0 5 0 , então A + B  0 7 1   2 − 1 5 4 − 1 2 2 + 4 − 1 + (−1) 5 + 2 6 − 2 7   0 7 1 +  0 5 0  =  0 + 0 7+5  = 0 12 1  1+ 0        Para realizarmos estas operações entre matrizes, precisamos ter matrizes de mesma ordem e realizar as respectivas operações com os elementos correspondentes. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 11. N úmero  − 1 2 Seja a matriz A =   , realize 2 A.  0 5  − 1 2  2.(− 1) 2.2  − 2 4  2.  =  =   0 5  2.0 2.5  0 10 Para realizarmos o produto de uma constante por uma matriz, basta multiplicarmos todos os elementos pela constante dada. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 12. M ultiplicação de M atrizes Amxn .Bnxp = Cmxp 7  1 2 3 8  A =  e B =  4 5 6 9    7  1 2 3   1.7 + 2.8 + 3.9   50  4 5  .8  = 4.7 + 5.8 + 6.9 = 121 6 2 x 3  9 3 x1   2 x1   2 x1   Para realizarmos o produto A.B, o número de linhas de B tem que ser igual ao número de colunas de A. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 13. P ropriedades de M atrizes 1− ( A + B) + C = A + ( B + C ) 2− A+ B = B + A 3− A+ M = A 4 − A + A' = 0 Prof. Neydiwan - Matemática
  • 14. P ropriedades de M atrizes 1 − a.( b. A) = ( a.b ). A 2 − a.( A + B ) = a. A + a.B 3 − ( a + b ). A = a. A + b. A 4 − 1. A = A Prof. Neydiwan - Matemática
  • 15. P ropriedades de M atrizes 1 − ( A.B ) .C = A( B.C ) 2 − ( A + B ) .C = C.( A + B ) = C. A + C.B 3 − ( k . A) .B = A.( k .B ) = k .( A.B ) Prof. Neydiwan - Matemática
  • 16. P ropriedades de M atrizes 1− ( A ) = A t t 2 − ( A + B) = A + B t t t 3 − ( k . A) = k . A t t 4 − ( A.B ) = B . A t t t Prof. Neydiwan - Matemática
  • 17. I nversão de M atrizesé matriz Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A inversível se existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I. −1 A. A = I n Calcule a inversa da matriz A = Resolvendo os sistemas temos a matriz inversa de A. Prof. Neydiwan - Matemática
  • 18. R esolução de E xercícios Prof. Neydiwan - Matemática