O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de geometria como pontos, retas, planos, ângulos e suas medidas. Também aborda conceitos como segmentos de reta, posições relativas de retas e operações com medidas de ângulos. O documento é utilizado como material de apoio no programa de certificação de pessoal de caldeiraria do SENAI-ES.
Apostila cálculos de caldeiraria cald'nazzaNazareno Fraga
Este documento contém números aleatórios sem contexto ou significado aparente. Não é possível extrair informações essenciais ou de alto nível deste conjunto de dados.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de geometria como pontos, retas, planos, ângulos e suas medidas. Também aborda conceitos como segmentos de reta, colinearidade, congruência e operações com medidas de ângulos. O documento é parte de um programa de certificação em caldeiraria do SENAI-ES e foi elaborado em parceria com a Companhia Siderúrgica de Tubarão.
Este documento fornece instruções passo-a-passo para vários métodos de traçados geométricos, incluindo como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes e circunferências inscritas em figuras geométricas. O documento foi elaborado pela SENAI e CST para fins de capacitação em caldeiraria.
1) O documento apresenta cálculos para dimensionar tubulações em uma planta industrial, considerando que a altura e o deslocamento devem ter a mesma medida de 1500mm.
2) São fornecidos os diâmetros do tubo e da curva de 8 polegadas, bem como o raio médio da curva de 304,8mm e o ângulo de inclinação de 45°.
3) Os cálculos determinam o comprimento da diagonal da tubulação, o desconto necessário para as curvas de 45° e o comprimento final do tubo, considerando o des
O documento fornece informações sobre ferramentas e acessórios utilizados em caldeiraria, incluindo chaves de boca, torquímetros, chaves de impacto, talhadeiras, chaves de grifo, compassos, réguas, martelos, serras, lixadeiras, brocas, talhas e alicates. O texto descreve cada ferramenta e fornece detalhes sobre sua utilização e classificação.
Este documento fornece instruções passo-a-passo para vários métodos de traçados geométricos, incluindo como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes e circunferências inscritas em figuras geométricas. O documento foi elaborado pela SENAI e CST para capacitação em caldeiraria.
Apostila cálculos de caldeiraria cald'nazzaNazareno Fraga
Este documento contém números aleatórios sem contexto ou significado aparente. Não é possível extrair informações essenciais ou de alto nível deste conjunto de dados.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de geometria como pontos, retas, planos, ângulos e suas medidas. Também aborda conceitos como segmentos de reta, colinearidade, congruência e operações com medidas de ângulos. O documento é parte de um programa de certificação em caldeiraria do SENAI-ES e foi elaborado em parceria com a Companhia Siderúrgica de Tubarão.
Este documento fornece instruções passo-a-passo para vários métodos de traçados geométricos, incluindo como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes e circunferências inscritas em figuras geométricas. O documento foi elaborado pela SENAI e CST para fins de capacitação em caldeiraria.
1) O documento apresenta cálculos para dimensionar tubulações em uma planta industrial, considerando que a altura e o deslocamento devem ter a mesma medida de 1500mm.
2) São fornecidos os diâmetros do tubo e da curva de 8 polegadas, bem como o raio médio da curva de 304,8mm e o ângulo de inclinação de 45°.
3) Os cálculos determinam o comprimento da diagonal da tubulação, o desconto necessário para as curvas de 45° e o comprimento final do tubo, considerando o des
O documento fornece informações sobre ferramentas e acessórios utilizados em caldeiraria, incluindo chaves de boca, torquímetros, chaves de impacto, talhadeiras, chaves de grifo, compassos, réguas, martelos, serras, lixadeiras, brocas, talhas e alicates. O texto descreve cada ferramenta e fornece detalhes sobre sua utilização e classificação.
Este documento fornece instruções passo-a-passo para vários métodos de traçados geométricos, incluindo como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes e circunferências inscritas em figuras geométricas. O documento foi elaborado pela SENAI e CST para capacitação em caldeiraria.
1) O documento fornece instruções passo-a-passo para realizar vários traçados geométricos, como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes, dividir ângulos em partes iguais e traçar circunferências tangentes.
2) Inclui também desenhos de figuras geométricas como losango, círculo, triângulo, retas e ângulos.
3) Fornece detalhes sobre como desenvolver superfícies como cilindros, cones, pir
Este documento fornece instruções detalhadas para vários processos de desenho técnico, incluindo construção geométrica, interseções, desenvolvimento de superfícies e transformações. Ele contém mais de 165 entradas, cobrindo tópicos como traçar circunferências, elipses, espiras e curvas cônicas; desenvolvimento de cilindros, cones e outras superfícies; e interseções geométricas complexas.
O documento fornece uma fórmula para calcular as medidas L1 a L9 da curva de gomos com base nos valores de RM, r e nos ângulos. A fórmula é usada para calcular L1 = 40,2 mm. Os valores de L2 a L9 são então listados.
Algumas ferramentas usadas na Caldeiraria - SENAIJeesiel Temóteo
Este documento descreve diversas ferramentas de medição e corte usadas em trabalhos mecânicos e de construção civil, incluindo réguas, esquadros, níveis e brocas. Réguas são construídas em aço e variam em comprimento, enquanto esquadros formam ângulos retos. Níveis são usados para alinhar peças. Brocas, feitas de aço carbono ou rápido, perfuram furos cilíndricos e variam em formato como helicoidal ou de centrar.
O documento apresenta um caderno de exercícios para programação de tornos CNC da marca ROMI. Inclui exercícios sobre sistemas de coordenadas, funções de interpoalção, arredondamento, torneamento passo-a-passo, ciclos de desbaste e roscamento. Fornece instruções detalhadas para cada exercício com o objetivo de treinar programação de tornos CNC.
Leitura e interpretação de desenho técnico mecânico senaiRenaldo Adriano
Este documento trata de leitura e interpretação de desenho técnico mecânico e contém instruções sobre:
1) Identificação de vistas principais de uma peça (frente, cima, laterais);
2) Regras de representação de projeções, linhas tracejadas e outros símbolos;
3) Identificação e leitura de cotas, símbolos e materiais.
O documento fornece exemplos e exercícios para que o leitor aprenda a ler e interpretar desenhos técnicos mecânic
O documento calcula os valores necessários para uma derivação em tubulação a 70 graus. Fornece as fórmulas para calcular os valores de K, B, J e P. Explica como calcular o valor de L0 usando o raio R, o cosseno e o seno do ângulo. Fornece os valores calculados para L1, L2, L3, L4, L5 e L6.
1) O documento fornece instruções sobre como executar operações de torneamento cilíndrico externo na placa universal.
2) A operação é dividida em duas fases: desbaste e dar acabamento.
3) São fornecidos detalhes sobre como preparar a peça e a ferramenta, marcar medidas e executar os passes de corte.
O documento apresenta uma fórmula para calcular a boca de lobo inclinada em qualquer ângulo, considerando a altura H, o raio R e o ângulo de inclinação a. A fórmula é: 6A=((H + Cos 000 x r x Cos a) - √(R2-(Sen 000 x r)2)):Sen a. Exemplos numéricos são fornecidos para ângulos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150° e 180°.
1) O documento discute a importância do desenho como ferramenta de comunicação e como sua capacidade pode ser desenvolvida desde as primeiras fases de aprendizagem.
2) Ele fornece detalhes sobre os materiais básicos necessários para a execução de desenhos técnicos, como pranchetas, réguas, esquadros e papel.
3) Normas e padronização são importantes para desenhos técnicos para permitir o entendimento universal.
O documento apresenta cálculos para um chapeu chinês com raio de 600mm e altura de 500mm. Os cálculos determinam que o raio total é de 781,02mm e o diâmetro total é de 1562,04mm. A área do arco é de 1137,40mm2.
O documento descreve como calcular o deslocamento necessário da contraponta para tornear peças cônicas usando a técnica do desalinhamento da contraponta. Existem três métodos para calcular o deslocamento: 1) usando os diâmetros maior e menor e o comprimento da parte cônica, 2) usando a conicidade percentual, e 3) usando a conicidade proporcional. Vários exemplos ilustram como aplicar cada método.
Este documento fornece instruções detalhadas sobre como traçar vários elementos geométricos como retas, ângulos, paralelas, perpendiculares e circunferências. Ele também mostra como dividir essas figuras em partes iguais e inscrever figuras geométricas dentro delas, como triângulos, quadrados e pentágonos. O documento foi elaborado pelo SENAI e CST para fins educacionais de programação de caldeiraria.
ELEMENTOS DE MAQUINAS ELEMENTOS DE TRANSMISSÃO ACOPLAMENTOS ordenaelbass
O documento discute os diferentes tipos de acoplamentos mecânicos, incluindo fixos (rígidos com flanges parafusadas, luva de compressão e de discos), elásticos (de pinos, perflex, de garras, de fita de aço e de dentes arqueados) e móveis. Também aborda tópicos como montagem, alinhamento de eixos e lubrificação de acoplamentos.
O documento é um caderno de exercícios de desenho técnico mecânico contendo 27 páginas com 17 exercícios relacionados a escalas, projeções, perspectivas, cortes e cotagem de peças mecânicas. As instruções solicitam o desenvolvimento dos exercícios em folhas padronizadas para execução de treinos ou avaliações.
Calculo do quadrado_para_redondo_inclinado_45ºmarcostmz
O documento apresenta cálculos para determinar as medidas de um quadrado redondo inclinado a 45°. Fornece as fórmulas para calcular as medidas A, B, C e D usando seno, cosseno, altura total e altura do centro. Também mostra como alterar os cálculos para ângulos de 30°, 60° e 90° e diferentes alturas.
Mecânica - Noções Básicas Elementos de MáquinasJean Brito
O documento discute diferentes tipos de elementos de máquinas como parafusos, porcas, arruelas, engrenagens, polias e correias. Detalha os tipos de parafusos como sem porca, com porca, prisioneiro e auto-atarraxante. Também descreve engrenagens, polias, correias e correntes usadas para transmissão de movimento em máquinas.
O documento descreve diferentes tipos de rolamentos rígidos de esferas, incluindo seus tamanhos, características e aplicações. Apresenta tabelas comparativas do desempenho de rolamentos blindados e vedados e especificações técnicas de rolamentos de uma carreira, incluindo dimensões, índices de carga e velocidades limite.
O documento descreve um programa de certificação de pessoal de caldeiraria realizado em parceria entre o SENAI e a Companhia Siderúrgica de Tubarão no Espírito Santo. O programa abrange conteúdos de matemática aplicada à caldeiraria, como geometria, medidas e trigonometria.
O documento apresenta questões sobre números, tabelas, figuras geométricas e suas propriedades. Inclui perguntas sobre quantidades, medidas, códigos e ordem. Apresenta uma tabela com população brasileira por região e questões sobre prisma e pirâmide.
1) O documento fornece instruções passo-a-passo para realizar vários traçados geométricos, como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes, dividir ângulos em partes iguais e traçar circunferências tangentes.
2) Inclui também desenhos de figuras geométricas como losango, círculo, triângulo, retas e ângulos.
3) Fornece detalhes sobre como desenvolver superfícies como cilindros, cones, pir
Este documento fornece instruções detalhadas para vários processos de desenho técnico, incluindo construção geométrica, interseções, desenvolvimento de superfícies e transformações. Ele contém mais de 165 entradas, cobrindo tópicos como traçar circunferências, elipses, espiras e curvas cônicas; desenvolvimento de cilindros, cones e outras superfícies; e interseções geométricas complexas.
O documento fornece uma fórmula para calcular as medidas L1 a L9 da curva de gomos com base nos valores de RM, r e nos ângulos. A fórmula é usada para calcular L1 = 40,2 mm. Os valores de L2 a L9 são então listados.
Algumas ferramentas usadas na Caldeiraria - SENAIJeesiel Temóteo
Este documento descreve diversas ferramentas de medição e corte usadas em trabalhos mecânicos e de construção civil, incluindo réguas, esquadros, níveis e brocas. Réguas são construídas em aço e variam em comprimento, enquanto esquadros formam ângulos retos. Níveis são usados para alinhar peças. Brocas, feitas de aço carbono ou rápido, perfuram furos cilíndricos e variam em formato como helicoidal ou de centrar.
O documento apresenta um caderno de exercícios para programação de tornos CNC da marca ROMI. Inclui exercícios sobre sistemas de coordenadas, funções de interpoalção, arredondamento, torneamento passo-a-passo, ciclos de desbaste e roscamento. Fornece instruções detalhadas para cada exercício com o objetivo de treinar programação de tornos CNC.
Leitura e interpretação de desenho técnico mecânico senaiRenaldo Adriano
Este documento trata de leitura e interpretação de desenho técnico mecânico e contém instruções sobre:
1) Identificação de vistas principais de uma peça (frente, cima, laterais);
2) Regras de representação de projeções, linhas tracejadas e outros símbolos;
3) Identificação e leitura de cotas, símbolos e materiais.
O documento fornece exemplos e exercícios para que o leitor aprenda a ler e interpretar desenhos técnicos mecânic
O documento calcula os valores necessários para uma derivação em tubulação a 70 graus. Fornece as fórmulas para calcular os valores de K, B, J e P. Explica como calcular o valor de L0 usando o raio R, o cosseno e o seno do ângulo. Fornece os valores calculados para L1, L2, L3, L4, L5 e L6.
1) O documento fornece instruções sobre como executar operações de torneamento cilíndrico externo na placa universal.
2) A operação é dividida em duas fases: desbaste e dar acabamento.
3) São fornecidos detalhes sobre como preparar a peça e a ferramenta, marcar medidas e executar os passes de corte.
O documento apresenta uma fórmula para calcular a boca de lobo inclinada em qualquer ângulo, considerando a altura H, o raio R e o ângulo de inclinação a. A fórmula é: 6A=((H + Cos 000 x r x Cos a) - √(R2-(Sen 000 x r)2)):Sen a. Exemplos numéricos são fornecidos para ângulos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150° e 180°.
1) O documento discute a importância do desenho como ferramenta de comunicação e como sua capacidade pode ser desenvolvida desde as primeiras fases de aprendizagem.
2) Ele fornece detalhes sobre os materiais básicos necessários para a execução de desenhos técnicos, como pranchetas, réguas, esquadros e papel.
3) Normas e padronização são importantes para desenhos técnicos para permitir o entendimento universal.
O documento apresenta cálculos para um chapeu chinês com raio de 600mm e altura de 500mm. Os cálculos determinam que o raio total é de 781,02mm e o diâmetro total é de 1562,04mm. A área do arco é de 1137,40mm2.
O documento descreve como calcular o deslocamento necessário da contraponta para tornear peças cônicas usando a técnica do desalinhamento da contraponta. Existem três métodos para calcular o deslocamento: 1) usando os diâmetros maior e menor e o comprimento da parte cônica, 2) usando a conicidade percentual, e 3) usando a conicidade proporcional. Vários exemplos ilustram como aplicar cada método.
Este documento fornece instruções detalhadas sobre como traçar vários elementos geométricos como retas, ângulos, paralelas, perpendiculares e circunferências. Ele também mostra como dividir essas figuras em partes iguais e inscrever figuras geométricas dentro delas, como triângulos, quadrados e pentágonos. O documento foi elaborado pelo SENAI e CST para fins educacionais de programação de caldeiraria.
ELEMENTOS DE MAQUINAS ELEMENTOS DE TRANSMISSÃO ACOPLAMENTOS ordenaelbass
O documento discute os diferentes tipos de acoplamentos mecânicos, incluindo fixos (rígidos com flanges parafusadas, luva de compressão e de discos), elásticos (de pinos, perflex, de garras, de fita de aço e de dentes arqueados) e móveis. Também aborda tópicos como montagem, alinhamento de eixos e lubrificação de acoplamentos.
O documento é um caderno de exercícios de desenho técnico mecânico contendo 27 páginas com 17 exercícios relacionados a escalas, projeções, perspectivas, cortes e cotagem de peças mecânicas. As instruções solicitam o desenvolvimento dos exercícios em folhas padronizadas para execução de treinos ou avaliações.
Calculo do quadrado_para_redondo_inclinado_45ºmarcostmz
O documento apresenta cálculos para determinar as medidas de um quadrado redondo inclinado a 45°. Fornece as fórmulas para calcular as medidas A, B, C e D usando seno, cosseno, altura total e altura do centro. Também mostra como alterar os cálculos para ângulos de 30°, 60° e 90° e diferentes alturas.
Mecânica - Noções Básicas Elementos de MáquinasJean Brito
O documento discute diferentes tipos de elementos de máquinas como parafusos, porcas, arruelas, engrenagens, polias e correias. Detalha os tipos de parafusos como sem porca, com porca, prisioneiro e auto-atarraxante. Também descreve engrenagens, polias, correias e correntes usadas para transmissão de movimento em máquinas.
O documento descreve diferentes tipos de rolamentos rígidos de esferas, incluindo seus tamanhos, características e aplicações. Apresenta tabelas comparativas do desempenho de rolamentos blindados e vedados e especificações técnicas de rolamentos de uma carreira, incluindo dimensões, índices de carga e velocidades limite.
O documento descreve um programa de certificação de pessoal de caldeiraria realizado em parceria entre o SENAI e a Companhia Siderúrgica de Tubarão no Espírito Santo. O programa abrange conteúdos de matemática aplicada à caldeiraria, como geometria, medidas e trigonometria.
O documento apresenta questões sobre números, tabelas, figuras geométricas e suas propriedades. Inclui perguntas sobre quantidades, medidas, códigos e ordem. Apresenta uma tabela com população brasileira por região e questões sobre prisma e pirâmide.
Este documento fornece instruções passo-a-passo para realizar vários traçados geométricos, incluindo como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes, círculos e polígonos regulares inscritos em círcunferências. O documento foi elaborado pela SENAI e CST para fins de capacitação em caldeiraria.
Este documento fornece instruções detalhadas sobre como traçar vários elementos geométricos como retas, ângulos, paralelas, perpendiculares e circunferências. Ele também mostra como dividir essas figuras em partes iguais e inscrever figuras geométricas dentro delas, como triângulos, quadrados e pentágonos. O documento foi elaborado pelo SENAI e CST para fins educacionais de treinamento em caldeiraria.
Este documento fornece instruções passo-a-passo para vários métodos de traçados geométricos, incluindo como construir perpendiculares, paralelas, ângulos iguais, bissetrizes e circunferências inscritas em figuras geométricas. O documento foi elaborado pela SENAI e CST para fins de capacitação em caldeiraria.
O documento apresenta informações sobre desenhos elétricos, incluindo símbolos gráficos, diagramas elétricos prediais e industriais, e partida de motores. É um material didático produzido pelo SENAI do Espírito Santo para capacitar profissionais em leitura e execução de esquemas elétricos.
O documento apresenta informações sobre desenhos elétricos, incluindo símbolos gráficos e diagramas elétricos prediais e industriais. É descrito o funcionamento de partida de motores como partida direta, chave estrela-triângulo e compensador de partida. O texto fornece exemplos de diagramas elétricos residenciais e industriais.
O documento apresenta informações sobre desenhos elétricos, incluindo símbolos gráficos e diagramas elétricos prediais e industriais. É descrito o funcionamento de partida de motores como partida direta, chave estrela-triângulo e compensador de partida. O texto fornece exemplos de diagramas elétricos residenciais e industriais.
O documento apresenta informações sobre desenhos elétricos, incluindo símbolos gráficos, diagramas elétricos prediais e industriais, e partida de motores. É um material didático produzido pelo SENAI para capacitar profissionais em leitura e execução de esquemas elétricos de acordo com normas técnicas.
O documento apresenta informações sobre desenhos elétricos e símbolos gráficos utilizados em esquemas elétricos de acordo com normas brasileiras. Inclui exemplos de diagramas elétricos prediais e industriais, partida de motores e exercícios. Também lista as principais siglas de normas nacionais e internacionais relacionadas a desenhos elétricos.
O documento apresenta informações sobre desenhos elétricos e símbolos gráficos utilizados em esquemas elétricos de acordo com normas brasileiras. Inclui exemplos de diagramas elétricos prediais e industriais, partida de motores e exercícios. Também lista as principais siglas de normas nacionais e internacionais relacionadas a desenhos elétricos.
1) O documento é um teste de avaliação de geografia para o 7o ano que inclui questões sobre mapas, suas classificações e utilidades, projeções cartográficas e escalas.
2) Pede aos estudantes para associar diferentes tipos de mapas a suas classificações e utilidades e identificar elementos e leitura de mapas.
3) Solicita também a ordenação de escalas cartográficas por ordem decrescente e cálculo de distâncias reais com base em escalas de mapas.
Ficha sobre teoria de matematica convertidoDiogo Ana
Este documento contém 17 perguntas sobre conceitos matemáticos do 7o ano como abcissas, valor absoluto, potências, funções, ângulos e proporcionalidade. As perguntas abordam tópicos como coordenadas cartesianas, operações com sinais e raízes, tipos de ângulos, representação de funções e definição de proporcionalidade direta.
O documento apresenta um conjunto de exercícios de fixação em matemática do 8o ano do ensino fundamental. Os exercícios incluem identificar sólidos geométricos, exemplificar a diferença entre círculos e circunferências, identificar elementos de círculos e circunferências, escrever números em notação científica e forma decimal, resolver problemas envolvendo veículos e números, e resolver sistemas de equações pelo método da adição.
O documento apresenta um conjunto de exercícios de fixação sobre Matemática do 8o ano do ensino fundamental. Os exercícios abordam tópicos como sólidos geométricos, círculos e circunferências, notação científica, conversão entre notações decimal e científica e resolução de problemas e sistemas numéricos.
A ficha de trabalho de matemática contém 11 exercícios sobre simetria, classificação de triângulos, propriedades de quadriláteros e construção de figuras geométricas. Os alunos devem identificar casos de simetria, contar eixos de simetria, completar figuras simétricas, desenhar e classificar triângulos, identificar afirmações verdadeiras ou falsas sobre triângulos, e construir figuras como quadrados, paralelogramos e losangos com base em propriedades dadas.
Este documento fornece uma série de questões sobre porcentagens, escalas, proporcionalidade direta, estatística e áreas. As questões incluem gráficos circulares, descontos em compras, escalas em desenhos, tabelas de proporcionalidade direta, frequências absolutas de dados estatísticos, probabilidades de objetos aleatórios em um estojo, e cálculos de área e perímetro de figuras geométricas.
1) O documento é uma ficha de trabalho sobre figuras planas e geometria para preparação de uma prova final do 6o ano. Contém 16 questões sobre ângulos, triângulos, polígonos e circunferências.
2) As questões abordam classificação e cálculo de ângulos, construção e classificação de triângulos de acordo com lados e ângulos, propriedades de polígonos congruentes e equivalentes, noções sobre raios, diâmetros e cordas de circunferências.
3) A ficha inclui também exerc
O documento discute alinhamento de máquinas rotativas, definindo tipos de desalinhamento, métodos de alinhamento como relógio comparador e régua, processo de alinhamento, fórmula para calcular calços e sequência de operações. O objetivo do alinhamento é garantir bom funcionamento dos equipamentos eliminando vibrações.
Cilindro de revolução - revisões - 6.º anoProfcris 81
Este documento fornece um conjunto de exercícios sobre círculos e cilindros de revolução para estudantes do 6o ano. Os exercícios incluem identificar figuras que podem ser planificações de superfícies cilíndricas, calcular diâmetros, raios e perímetros de círculos, e resolver problemas envolvendo circunferências e cilindros.
Bibliografia, gabaritos das perguntas e exercíciosRenaldo Adriano
O documento apresenta uma bibliografia de referências sobre ensaios não destrutivos, incluindo livros, apostilas e cursos sobre ultrassom, líquidos penetrantes, partículas magnéticas, radiografia e ensaios mecânicos de materiais.
1) O documento descreve os procedimentos para realizar um ensaio por raios gama, incluindo como determinar o tempo de exposição usando um gráfico que correlaciona fator de exposição, espessura da peça e densidade radiográfica desejada.
2) É explicado que os raios gama são emitidos continuamente pela fonte radioativa e requerem uma blindagem para proteção, diferentemente dos raios-X que podem ser desligados.
3) São detalhados os passos para preparar e realizar o ensaio por ra
O documento descreve os princípios e procedimentos do teste de raios-X, incluindo: (1) a geometria da exposição e como a distância afeta a imagem, (2) a lei da inversão do quadrado da distância que rege como a intensidade da radiação é reduzida com o aumento da distância, e (3) os passos para determinar o tempo de exposição usando curvas fornecidas pelo fabricante do equipamento.
Este documento discute a radiografia industrial, incluindo como ela funciona, os tipos de radiação usados e sua geração, e os requisitos para qualidade e sensibilidade da imagem radiográfica. A radiografia industrial usa os mesmos princípios da radiografia clínica para detectar defeitos em materiais colocando o item entre uma fonte de radiação e um filme. Ela trabalha com doses maiores de radiação e requer segurança.
Este documento explica as técnicas de ensaio por ultra-som, incluindo o equipamento necessário e os procedimentos de calibração e inspeção. Discute quatro técnicas de ensaio (transparência, pulso-eco, duplo cristal e transdutores angulares) e fornece instruções detalhadas sobre como realizar um ensaio de ultra-som em um bloco de aço usando um transdutor normal e angular.
[1] O documento discute o ultra-som, explicando que morcegos usam ecos de ultra-som para se orientar e que o ultra-som é usado em testes não destrutivos de materiais. [2] É explicado o que são ondas, como se propagam, e os principais elementos de uma onda. [3] O documento também explica o que é ultra-som, como é gerado, e como o teste por ultra-som funciona usando transdutores de cristal piezoelétrico.
O documento descreve o processo de ensaio por partículas magnéticas para detectar defeitos em materiais ferromagnéticos. O ensaio envolve limpar a superfície da amostra, magnetizá-la para criar um campo magnético, aplicar partículas magnéticas e inspecionar onde as partículas se acumulam para revelar defeitos. O campo magnético é criado usando diferentes técnicas como bobinas eletromagnéticas dependendo da orientação desejada das linhas de fluxo.
Este documento descreve a história e o processo do teste de líquidos penetrantes, um método não destrutivo para detectar trincas e defeitos na superfície de peças. O teste envolve limpar a superfície, aplicar um líquido penetrante, remover o excesso, aplicar um revelador para visualizar defeitos sob luz branca ou negra, e limpar os resíduos. O teste é simples de executar e pode detectar defeitos muito finos, embora só funcione em superfícies abertas.
O documento discute os ensaios visuais como método de ensaio não destrutivo. Ele explica que o ensaio visual dos metais foi o primeiro método aplicado e é o mais barato, utilizado em todos os ramos da indústria. Também descreve os principais instrumentos ópticos usados como lupas, microscópios e tuboscópios, além de fatores que influenciam os ensaios visuais como iluminação, limpeza da superfície e fadiga dos inspetores.
O documento discute o ensaio de impacto a baixas temperaturas. Ele descreve o que é a temperatura de transição, como ela é representada graficamente e quais fatores a afetam. A temperatura de transição é aquela em que a fratura muda de dúctil para frágil ou vice-versa. Materiais com estrutura CFC como cobre e alumínio não são afetados pela temperatura no ensaio de impacto.
1) O documento discute ensaios de impacto em materiais, que medem a capacidade de um material absorver energia de forma dinâmica.
2) Existem dois tipos principais de corpos de prova usados nesses ensaios: Charpy e Izod, que diferem na forma e posição do entalhe.
3) Fatores como velocidade do impacto, presença de trincas, e temperatura podem fazer com que materiais dúcteis se rompam de forma frágil ao invés de dúctil.
O documento fornece uma introdução sobre o que é fadiga, como ela ocorre e como é medida através de ensaios de fadiga. Fatores que influenciam a resistência à fadiga como tratamentos de superfície, forma da peça e tratamentos térmicos são discutidos, assim como como a resistência pode ser melhorada.
O documento descreve diferentes tipos de ensaios de fluência, incluindo: (1) ensaio de fluência, no qual a deformação é medida sob tensão e temperatura constantes por longos períodos; (2) ensaio de ruptura por fluência, semelhante ao anterior mas levando o corpo de prova à ruptura; e (3) ensaio de relaxação, no qual a tensão cai para manter a deformação constante.
Este documento descreve o método de ensaio de dureza Vickers. Ele foi desenvolvido por Smith e Sandland em 1925 para superar limitações dos ensaios de dureza Brinell e Rockwell. O ensaio Vickers usa um penetrador de diamante em forma de pirâmide para medir a dureza de um material com base na relação entre a força aplicada e a área da impressão deixada. O documento explica como calcular a dureza Vickers a partir das medidas das diagonais da impressão e as vantagens deste método em fornecer uma
Este documento descreve o método de ensaio de dureza Rockwell, desenvolvido por Rockwell em 1922. O método aplica cargas em etapas usando penetradores esféricos ou cônicos para medir a dureza de metais. O documento explica o processo de ensaio, os equipamentos, as escalas e como interpretar os resultados de dureza Rockwell.
Este documento discute o método de ensaio de dureza Brinell. Ele explica que a dureza Brinell é calculada usando a carga aplicada e a área da impressão deixada por uma esfera no material. Também fornece detalhes sobre como escolher as condições apropriadas para o ensaio, como o diâmetro da esfera e a carga, com base na dureza e espessura do material.
O documento discute o ensaio de torção, no qual um corpo cilíndrico é submetido a forças de rotação que causam torção. É explicado o que é momento torsor e como ele causa deformação elástica no material. O documento também descreve os equipamentos de ensaio, propriedades avaliadas e fraturas típicas observadas.
O documento descreve o ensaio de embutimento, que avalia a ductilidade de chapas metálicas para estampagem. Dois métodos são descritos: o ensaio Erichsen, que mede a profundidade do copo formado pelo punção; e o ensaio Olsen, que também considera a carga aplicada no momento da ruptura.
O documento descreve os ensaios de dobramento e flexão realizados em materiais. O ensaio de dobramento fornece uma indicação qualitativa da ductilidade do material e é realizado dobrando o corpo de prova até um ângulo determinado. O ensaio de flexão mede propriedades mecânicas como tensão de flexão e módulo de elasticidade, e é realizado aplicando uma carga no corpo de prova apoiado em dois pontos.
Este documento discute ensaios de compressão mecânica. Ele explica como os ensaios de compressão são semelhantes aos de tração e fornecem informações sobre deformação elástica e plástica. Também discute limitações dos ensaios de compressão em metais e como são usados para avaliar propriedades de materiais frágeis e produtos acabados como tubos e molas.
3. Espírito Santo
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Sumário
Introdução à Geometria ......................................................... 03
Ângulos ................................................................................. 11
Triângulos ............................................................................. 29
Congruência de triângulos .................................................... 47
Quadriláteros ......................................................................... 53
Polígonos Convexos ............................................................. 67
Circunferência e Círculo ........................................................ 75
Sistema Métrico Decimal - Medidas de Massas .................... 89
Medidas não decimais ........................................................... 95
Produto Cartesiano .............................................................. 101
Função do 1º grau ................................................................ 111
Relações Métricas nos Triângulos Retângulos ..................... 121
Razões trigonométricas ........................................................ 137
Relações Métricas num Triângulo qualquer ......................... 147
Relações métricas na Circunferência ................................... 155
Polígonos Regulares ............................................................ 167
Área de Polígonos ................................................................ 177
Medida da circunferência e área do círculo .......................... 183
Bibliografia ........................................................................... 193
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 5
4. Espírito Santo
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Introdução à Geometria
Ponto, Reta e Plano
Representação:
• Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...
• Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...
• Plano - letras gregas minúsculas: α, β, γ, ...
A
ponto reta α
plano
Considerações importantes:
a) Numa reta há infinitos pontos.
r r
b) Num plano há infinitos pontos.
α α
b) Num plano existem infinitas retas.
m
r
s
n
t
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CST
6 Companhia Siderúrgica de Tubarão
6. Espírito Santo
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__
Pontos Colineares
Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados
colineares.
S
A B C R T
Os pontos A, B e C são colineares Os pontos R, S e T não são colineares
Figura Geométrica
• Toda figura geométrica é um conjunto de pontos.
• Figura geométrica plana é uma figura em que todos os
seus pontos estão num mesmo plano.
Exercícios
1) Quais são os elementos fundamentais da Geometria ?
2) Quantos pontos podemos marcar num plano ?
3) Quantas retas podemos traçar num plano ?
4) Por dois pontos distintos quantas retas podemos traçar ?
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CST
8 Companhia Siderúrgica de Tubarão
7. Espírito Santo
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__
5) Observe a figura e responda:
M R P
r
A
Q S N s
a) Quais dos pontos pertencem à reta r ?
b) Quais dos pontos pertencem à reta s ?
c) Quais dos pontos pertencem às retas r e s ?
6) Observe a figura e complete:
a) Os pontos A, F e ___ são colineares.
b) Os pontos E, F e ___ são colineares.
c) Os pontos C, ___ e E são colineares.
d) os pontos ___, B e C são colineares.
E
D
F
A B C
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 9
8. Espírito Santo
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__
Posições relativas de duas Retas no Plano
Duas retas distintas contidas em um plano podem ser:
a) retas concorrentes: quando têm um único ponto comum.
A r
r∩s={A}
s
a) retas paralelas: quando não têm ponto comum.
r
s r∩s=∅
Exercícios
1) Quais das afirmações abaixo são verdadeiras ?
a) r e s são concorrentes
b) r e t são concorrentes
c) s e t são paralelas
d) s e p são paralelas
r s t
p
s∩t=∅
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CST
10 Companhia Siderúrgica de Tubarão
9. Espírito Santo
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Semi-reta
Um ponto P qualquer de uma reta r divide esta reta em duas
partes denominadas semi-retas de origem P.
semi-reta semi-reta
P r
Para distinguir as semi-retas, vamos marcar os pontos A e B
pertencentes a cada semi-reta.
B P A r
PA - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto A.
PB - semi-reta de origem P e que passa pelo ponto B.
Segmento
Um segmento de reta de extremidades A e B é o conjunto dos
pontos que estão entre elas, incluindo as extremidades.
A B
Indica-se o segmento AB por AB
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 11
10. Espírito Santo
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__
Segmentos Consecutivos
Dois segmentos de reta que têm uma extremidade comum são
chamados consecutivos.
Exemplo:
B
A C P Q R
AB e BC são consecutivos PQ e QR são consecutivos
Segmentos Colineares
Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma
reta.
Exemplo:
A B C D P Q R
AB e CD são colineares PQ e QR são colineares (e consecutivos)
Segmentos Congruentes
Dois segmentos de reta são congruentes quando possuem
medidas iguais.
Indicação: A B
4 cm
AB ≅ CD
Significa: AB é congruente a CD C 4 cm D
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CST
12 Companhia Siderúrgica de Tubarão
11. Espírito Santo
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Ponto médio de um segmento
Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AB se M
está entre A e B e AB ≅ CD .
A M B
Exercícios
1) Observe a figura abaixo e escreva se os segmentos são
consecutivos, colineares ou adjacentes (consecutivos e
colineares):
C
A B D E F G
a) AB e BC = e) AB e EF =
b) AB e DE = f) DE e EF =
c) BC e CD = g) EF e FG =
d) CD e DE = h) AB e FG =
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__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 13
12. Espírito Santo
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2) Observe a figura e responda:
A
5
E 7 F 3 G
2
8
B C D
12
a) Qual a medida do segmento EG ?
b) Qual a medida do segmento AB ?
c) Qual a medida do segmento CD ?
2) Na figura abaixo, M é o ponto médio de AB e N é o ponto
médio de BC . Se AB mede 6cm e BC mede 4cm.
A M B N C
a) Qual é a medida de AM ?
b) Qual é a medida de BN ?
c) Qual é a medida de MN ?
d) Qual é a medida de AN ?
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__
CST
14 Companhia Siderúrgica de Tubarão
13. Espírito Santo
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__
Ângulos
Definição
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e
não-colineares.
Na figura:
• O é o vértice.
B
• OA e OB são os lados
o
lad
vértice
O lado A
Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplesmente Ô.
Pontos internos e Pontos externos a um Ângulo
Seja o ângulo AÔB
• Os pontos C, D e E são alguns dos pontos
internos ao ângulo AÔB.
G B
• Os pontos F, G, H e I são alguns dos pontos
F C externos ao ângulo AÔB.
O D
E
H
I
A
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__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 15
14. Espírito Santo
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Medida de uma ângulo
Um ângulo pode ser medido de um instrumento chamado
transferidor e que tem do grau como unidade. O ângulo AÔB
da figura mede 40 graus.
Indicação:
m (AÔB) = 40º
A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segunda.
1 grau tem 60 minutos (indicação: 1º = 60’)
1 minuto tem 60 segundos (indicação: 1’ = 60”)
Simbolicamente:
• Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40’
• Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é
indicado por 12º 20’ 45”.
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CST
16 Companhia Siderúrgica de Tubarão
15. Espírito Santo
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Exercícios
1) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo
transferidor:
a) m (AÔB) = a) m (AÔB) =
b) m (AÔB) = b) m (AÔB) =
c) m (AÔB) = c) m (AÔB) =
d) m (AÔB) = d) m (AÔB) =
Operações com medidas de ângulos
Adição
1) Observe os exemplos:
17º 15’ 10”
17º 15’ 10” + 30º 20’ 40” + 30º 20’ 40”
47º 35’ 50”
2)
13º 40’
+ 30º 45’
13º 40’ + 30º 45’ 43º 85’
+ 1º 25’
44º 25’
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 17
17. Espírito Santo
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Multiplicação de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
1) 2)
17º 15’ x 2 24º 20’ x 3
17º 15’ 24º 20’
x 2 x 3
34º 30’ 72º 60’
1º
73º
Nota: “Não há multiplicação entre ângulos.” 90º x 90º = ?
Exercícios
1) Calcule os produtos:
a) 25º 10’ x 3 = a) 28º 30’ x 2 =
b) 44º 20’ x 2 = b) 12º 40’ x 3 =
c) 35º 10’ x 4 = c) 15º 30’ x 3 =
d) 16º 20’ x 3 = d) 14º 20’ x 5 =
Divisão de um ângulo por um número
Observe os exemplos:
36º 30’ ÷ 3 39º 20’ ÷ 4
36º 30’ 3 39º 20’ 4
0 0 12º 10’ 3º 180’ 9º 50’
200’
00
Nota: “Não há divisão entre ângulos.” 90º ÷ 20º = ?
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 19
18. Espírito Santo
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Exercícios
1) Calcule os quocientes:
a) 48º 20’ ÷ 4 = a) 55º ÷ 2 =
b) 45º 30’ ÷ 3 = b) 90º ÷ 4 =
c) 75º 50’ ÷ 5 = c) 22º 40’ ÷ 5 =
2) Calcule:
2 3
a) de 45º = a) de 48º 20’ =
3 4
5 3
b) de 84º = b) de 15º 20’ =
7 2
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são Congruentes se as suas medidas são iguais.
B
C
O 30º
30º
O
A D
Indicação: AÔB ≅ (significa: AÔB é congruente a CÔD)
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CST
20 Companhia Siderúrgica de Tubarão
19. Espírito Santo
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Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do
ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
A
O
M
B
Se AÔM ≅ MÔB, então OM é bissetriz de AÔB.
Exercícios
1) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OM é bissetriz do
ângulo dado.
a) b)
A A
4X + 5º 3X
O X + 20º
O
37º M M
B B
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 21
20. Espírito Santo
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2) Calcule x em cada caso, sabendo-se que OC é bissetriz do
ângulo dado.
a) b)
A
3X
C
O 5X - 20º
M x
- 5º
2
B
A
B
35º
O
Ângulos Reto, Agudo e Obtuso
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas
medidas:
• Ângulo reto é aquele cuja medida é 90º.
• Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90º.
• Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90º.
ÂNGULO RETO ÂNGULO AGUDO ÂNGULO OBTUSO
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CST
22 Companhia Siderúrgica de Tubarão
21. Espírito Santo
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__
Retas Perpendiculares
Quando duas retas se interceptam formando ângulos retos,
dizemos que elas são perpendiculares.
Indicação: r ⊥ s
Significa: r perpendicular a s.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é 90º.
A
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
B
O C
Exemplos:
• 65º e 25º são ângulos complementares, porque 65º + 25º = 90º
• 40º e 50º são ângulos complementares, porque 40º + 50º = 90º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 23
22. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Resolva as equações abaixo, onde a incógnita x é um
ângulo (medido em graus):
a) 2x = 90º e) 4 (x + 3º) = 20º
b) 4x + 10º = 90º f) (3x - 20º) + 50º = 90º
c) 5x - 20º = 1º + 2x g) 3 (x + 1º) = 2 (x + 7º)
d) x = 2 (90º - x) h) 2x + 2 (x + 1º) = 4º + 3 (x + 2º)
2) Observe o exemplo abaixo e resolva as seguintes questões:
• Calcular a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
dobro do seu complemento.
Solução:
Medida do ângulo = x
Medida do complemento do ângulo = 90º - x
x = 2 ( 90º - x )
Resolvendo a equação: x = 2 (90º - x)
x = 180º - 2x
x + 2x = 180º
3x = 180º
x = 60º
Resposta: 60º
a) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
complemento. Quanto mede esse ângulo ?
b) A medida de um é a metade da medida do seu
complemento. Calcule a medida desse ângulo.
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CST
24 Companhia Siderúrgica de Tubarão
23. Espírito Santo
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__
c) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao
triplo de seu complemento.
d) A diferença entre o dobro da medida de um ângulo e o seu
complemento é 45º. Calcule a medida desse ângulo.
e) A terça partes do complemento de um ângulo mede 20º.
Qual a medida do ângulo ?
f) Dois ângulos complementares têm suas medidas
expressas em graus por 3x + 25º e 4x - 5º. Quanto
medem esses ângulos ?
Ângulos Suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas
medidas é 180º.
m (AÔB) + m (BÔC) = 180º
B
A O C
Exemplos:
• 50º e 130º são ângulos suplementares, porque 50º + 130º = 180º
• 125º e 55º são ângulos suplementares, porque 125º + 55º = 180º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 25
24. Espírito Santo
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Exercícios:
1) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:
a)
3x - 10º
2x - 40º
2) Calcule x:
a)
5x - 4º
3x
2x 2x - 2º
3) A quarta parte da medida de um ângulo mede 30º. Calcule a
medida do seu suplemento.
4) A medida de um ângulo é igual à medida de seu
suplemento. Calcule esse ângulo.
5) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu
suplemento.
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__
CST
26 Companhia Siderúrgica de Tubarão
25. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
6) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do
suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
7) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do
suplemento desse ângulo é 250º
2
8) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a do
3
seu suplemento.
9) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é
110º. Quanto mede o ângulo ?
Ângulos opostos pelo vértice
Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a
dois, opostos pelo vértice.
Na figura:
∃
• â e c são opostos pelo vértice.
∃ ∃
• m e n são opostos pelo vértice.
∃
c
∃
m ∃
n
∃
a
_________________________________________________________________________________________________
__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 27
26. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Teorema
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Prova:
Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.
∃ ∃
( 1 ) m ( a ) + m ( c ) = 180º
∃ ∃
( 2 ) m ( b ) + m ( c ) = 180º
Comparando ( 1 ) e ( 2 ) :
∃ ∃ ∃ ∃
m (a ) + m ( c ) = m (b) + m ( c )
∃
m (a) = ∃
m (b)
∃ ∃
Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.
Exercícios:
1) Se x = 50º, determine y, m e n:
m
x y
n
2) Calcule os ângulos x, y, z e w da figura:
100º
y w
x 18º
z
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__
CST
28 Companhia Siderúrgica de Tubarão
27. Espírito Santo
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__
3) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:
y
x 80º
z y 60º 130º
z x
4) Observe o exemplo abaixo e determine o valor de x nas
seguintes questões:
Solução:
5x - 70º = 2x + 20º
5x - 70º 2x + 20º 5x - 2x = 20º + 70º
3x = 90º
x = 30º
a) b)
3x + 10º
x + 70º
2x
x + 50º
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__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 29
28. Espírito Santo
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__
c) d)
5 (x - 3º)
x x
+ 1º + 6º
2 3
4 (x - 3º)
Ângulos formados por duas retas paralelas e uma
transversal
Duas retas r e s, interceptadas pela transversal t, formam oito
ângulos.
t
2
A 1
r
3
4
6
B 5
s
7
8
Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são
assim denominados:
∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃ ∃
• Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7
∃ ∃ ∃ ∃
• Colaterais internos: 4 e 5, 3 e 6
∃ ∃ ∃ ∃
• Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7
∃ ∃ ∃ ∃
• Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5
∃ ∃ ∃ ∃
• Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8
_________________________________________________________________________________________________
__
CST
30 Companhia Siderúrgica de Tubarão
29. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Propriedades
Considere duas retas paralelas e uma transversal.
t
r
s
Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que
são válidas as seguintes propriedades:
• Os ângulos correspondentes são congruentes.
• Os ângulos alternos externos são congruentes.
• Os ângulos alternos internos são congruentes.
• Os ângulos colaterais externos são suplementares.
• Os ângulos colaterais internos são suplementares.
Exercícios
a)
t
2x
r
3x - 20º
s
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__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 31
31. Espírito Santo
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__
Triângulos
Conceito
Triângulo é um polígono de três lados.
A
B C
Na figura acima:
• Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
• Os segmentos AB , BC e CA são os lados do triângulo.
∃ ∃ ∃
• Os ângulos A , B e C são ângulos internos do triângulos.
Indicamos um triângulo de vértices A, B e C por ∆ ABC.
_________________________________________________________________________________________________
__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 33
32. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Ângulo Externo
Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno.
A
m
C B
∃
Na figura acima m é um ângulo externo.
Perímetro
O perímetro de um triângulo é igual à soma das medidas dos
seus lados.
Perímetro ∆ ABC = AB + AC + BC
Classificação dos Triângulos
Quanto aos lados os triângulos se classificam em:
• Equilátero quando tem os três lados congruentes.
• Isósceles quando tem dois lados congruentes.
• Escaleno quando não tem lados congruentes.
A
A A
B C B C C B
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
_________________________________________________________________________________________________
__
CST
34 Companhia Siderúrgica de Tubarão
33. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em:
• Acutângulo quando tem três ângulos agudos
• Retângulo quando tem um ângulo reto.
• Obtusângulo quando tem um ângulo obtuso.
R R
R
S T S T S T
ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO
Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto
chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
A
Cateto Hipotenusa
B C
Cateto
_________________________________________________________________________________________________
__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 35
34. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Exercícios:
1) Determine o comprimento do lado BC , sabendo-se que o
perímetro do ∆ ABC é 48cm.
A
x 15
C 2x B
2) O perímetro do triângulo é 34 cm. Determine o comprimento
do menor lado.
R
x+7
x
S x+3 T
3) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos
ângulos:
A
A
A
100º
80º
60º 40º 45º 35º
B C C B B C
_________________________________________________________________________________________________
__
CST
36 Companhia Siderúrgica de Tubarão
35. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
4) Observe a figura e responda:
A
B C
a) Que nome recebe o lado BC ?
b) Que nome recebem os lados AB e AC ?
5) Que nome recebe o maior lado de um triângulo retângulo ?
Condição de existência de um Triângulo
Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos
outros dois lados.
Exemplo:
Seja o triângulo: A
4 cm
2 cm
B 3 cm C
_________________________________________________________________________________________________
__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 37
36. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das
medidas dos outros dois.
Assim: 2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
2 < 3 + 4 ou 2 < 7
Para verificar a citada propriedade, procure construir um
triângulo com as seguintes medidas: 7 cm, 4 cm e 2 cm.
4 cm
2 cm
A 7 cm B
É impossível, não ? Logo não existe o triângulo cujos lados
medem 7cm, 4cm e 2cm.
Elementos notáveis de um triângulo
• Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice
ao ponto médio do lado oposto.
R R
baricentro
me
dia
na
S M T S T
Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um
ponto chamado baricentro.
_________________________________________________________________________________________________
__
CST
38 Companhia Siderúrgica de Tubarão
37. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
• Bissetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um
ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse
ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.
R R
incentro
bis
set
riz
S T S T
P
Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um
ponto interior chamado incentro.
• Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular
traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu
prolongamento.
R R R
ortocentro
altura
altura
S T
S T
S T
Todo triângulo tem três alturas que se encontram em um ponto
chamado ortocentro.
_________________________________________________________________________________________________
__
SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 39
38. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos.
B B
80º 60º
60º
40º
30º
A C
A C
80º + 40º + 60º = 180º
30º + 60º + 90º = 180º
Note que: ∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
Vamos à demonstração desse teorema.
Teorema
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos
internos é igual a 180º.
Prova:
consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
A
s
^
1 ^
2
^
A
B C
_________________________________________________________________________________________________
__
CST
40 Companhia Siderúrgica de Tubarão
39. Espírito Santo
_________________________________________________________________________________________________
__
a) Pelo vértice A, traçamos a reta s paralela ao lado BC .
∃ ∃ ∃
m ( 1 ) + m ( A ) + m ( 2 ) = 180º 1
Note que: ∃ ∃
m ( 1 ) ≅ m ( B ) (alternos internos) 2
∃ ∃
m ( 2 ) ≅ m ( C ) (alternos internos) 3
b) Temos que:
c) Substituindo 2 e 3 em 1, temos:
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º
Exercícios:
1) Calcular x no triângulo abaixo:
B
80º
x 30º
A C
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Departamento Regional do Espírito Santo 41
43. Espírito Santo
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Teorema do ângulo externo
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.
Prova:
Consideremos um triângulo ABC. Vamos provar que
∃ ∃ ∃
m ( e ) = m ( A ) + m (B )
B
e
A C
a) ∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) + m ( C ) = 180º (pelo teorema anterior)
∃ ∃ ∃
m ( A ) + m ( B ) = 180º - m ( C ) 1
b) ∃ ∃
m ( e ) + m ( C ) = 180º
∃ ∃
m ( e ) = 180º - m ( C ) 2
Igualando 1 e 2 temos:
∃ ∃ ∃
m ( e ) = m ( A ) + m (B )
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Departamento Regional do Espírito Santo 45
47. Espírito Santo
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b)
A
75º
C
20º 15º
x
B D
4) O perímetro do triângulo da figura é 37cm. Qual a medida
do menor lado ?
A
3x 2x + 2
B C
2x
5) Com os segmentos de medidas 8cm, 7cm e 18cm podemos
construir um triângulo ? Por quê ?
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50. Espírito Santo
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Congruência de triângulos
Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se
for possível transportar um deles sobre o outro, de modo que
eles coincidam.
A A
B C B C
Definição
Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e
os ângulos correspondentes são congruentes.
Logo:
AB ≅ RS ∃ ∃
A ≅R
BC ≅ ST e ∃ ∃
⇔ B ≅ S
∆ ABC ≅ ∆ RST
CA ≅ TR ∃ ∃
C ≅ T
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CST
52 Companhia Siderúrgica de Tubarão
51. Espírito Santo
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Casos de congruência
O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por
finalidade estabelecer o menor número de condições para que
dois triângulos sejam congruentes.
1º CASO: L . L . L . (lado, lado, lado)
Dois triângulos que têm três lados respectivamente congruentes
são congruentes.
B F
2 cm 3 cm 2 cm 3 cm
A 4 cm C E 4 cm G
AB ≅ EF
AC ≅ EG ⇔ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
BC ≅ FG
2º CASO: L . A . L . (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formado
respectivamente congruentes são congruentes.
B F
5 cm 5 cm
30º 30º
C 6 cm A G 6 cm E
AB ≅ EF
∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
A ≅E
AC ≅ EG
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Departamento Regional do Espírito Santo 53
52. Espírito Santo
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3º CASO: A . L . A . (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos que têm um lado e dois ângulos adjacentes a
esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
B F
50º 40º 50º
A 3 cm C E 3 cm G
∃ ∃
A ≅E
AC ≅ EG ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
∃ ∃
C ≅ G
4º CASO: L . A . Ao . (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um
ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são
congruentes.
B F
50º 50º
30º 30º
A 5 cm C E 5 cm G
AC ≅ EG
∃ ∃ ⇒ ∆ ABC ≅ ∆ EFG
A ≅E
∃ ∃
B ≅F
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CST
54 Companhia Siderúrgica de Tubarão
56. Espírito Santo
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Quadrilátero
Conceito
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
No quadrilátero ao lado, destacamos:
A
• vértice: A, B, C, D
• lados: AB , BC , CD e DA
∃ ∃ ∃ ∃
• ângulos internos: A , B , C e D
D
• lados opostos: AB e CD , AD e BC
∃ ∃ ∃ ∃
• ângulos opostos: A e C , B e D
B
C
Lembre-se de que um quadrilátero é convexo quando qualquer
segmento com extremidades no quadrilátero está contido nele.
B
A
A B C
D
D
C
Quadrilátero não-convexo
Quadrilátero convexo
Estudaremos apenas os quadriláteros convexos.
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CST
58 Companhia Siderúrgica de Tubarão
57. Espírito Santo
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Diagonal
O segmento que une dois vértices não consecutivos é chamado
diagonal.
D
Na figura, AC e BD são diagonais.
A C
B
Exercícios
1) Observe o quadrilátero e responda:
a) Quais são os lados ? M P
b) Quais são os vértices ?
c) Quais são os ângulos internos ?
d) Quais são as diagonais indicadas ?
N
O
2) Considere o quadrilátero ABCD.
a) Nomeie os dois pares de lados A B
opostos.
b) Nomeie os dois pares de ângulos
opostos. C D
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 59
58. Espírito Santo
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3) O perímetro de um quadrilátero mede 41cm. Quanto mede
cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2,
3x + 1 e 2x - 4 ?
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
ABCD é um quadrilátero convexo e a diagonal AC o divide em
dois triângulos.
Veja:
B
A
D C
A soma dos ângulos internos dos dois triângulos é a soma dos
ângulos internos do quadrilátero.
Logo:
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é
180º + 180º = 360º
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CST
60 Companhia Siderúrgica de Tubarão
60. Espírito Santo
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4) Calcule as medidas dos ângulos indicados com letras:
a) b)
R F
x 130º z
N
120º
E
y
130º 95º
110º x
M S
G H
5) Calcule x na figura:
80º
x
40º 20º
x + 20º
6) Calcule os ângulos internos de um quadrilátero sabendo que
x 3x
eles medem x, 2x, e .
2 2
Paralelogramos
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos
paralelos.
A C
Na figura, temos:
AB CD
AC BD
B D
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CST
62 Companhia Siderúrgica de Tubarão
61. Espírito Santo
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Tipos de Paralelogramos
• Retângulo - Possui quatro ângulos retos.
• Losango - Possui os quatro lados congruentes.
• Quadrado - Possui os quatro lados congruentes e os ângulos
retos.
Retângulos Losango Quadrado
Note que:
• Todo quadrado é um losango.
• Todo quadrado é um retângulo.
Teorema:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Prova:
Seja o paralelogramo ABCD. Vamos provar que
∃ ∃ ∃ ∃
A ≅ C eB ≅D
A C
^
^ 2
1
^
4
^
3
B D
a) Tracemos a diagonal BD e consideremos os triângulos
ABD e CDB.
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62. Espírito Santo
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b) Temos:
∃ ∃
• 1 ≅ 4 (alternos internos)
A.L.A.
• BD ≅ BD (comum) ∆ ABD ≅ ∆ CDB
∃ ∃
• 2 ≅ 3 (alternos internos)
∃
Então, os ângulos correspondentes são congruentes, ou seja: A
∃
≅ C.
∃ ∃
• 1≅ 4
⇒ ∃ ∃
1+ 4 ≅ ∃ ∃
2 + 3
∃ ∃
• 2 ≅ 3
∃ ∃
Logo: B ≅ D
Exercícios:
1) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
A B
y x
50º z
D C
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CST
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63. Espírito Santo
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2) Determinar as medidas de x, y e z no paralelogramo abaixo:
P Q
3x - 10º
x - 50º
R S
3) Observe a figura e calcule as medidas de x, y, z e w.
110º 70º
x w
z y
70º 110º
4) Baseado nos resultados do exercício anterior, responda:
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes?
5) Calcule os ângulos indicados nos paralelogramos seguintes:
a) b)
B C P Q
60º 142º
A D S R
6) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
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a) b)
R S R S
x + 70º 3x - 10º
2x + 10º 2x + 8º
T U T U
7) Calcule os valor de x nos paralelogramos abaixo:
a) b)
R S R S
3x
2x + 25º 5x + 20º
T U T U
7) Calcule os valor de x, y e z nos losangos abaixo:
a) b)
R R
x + 80º
S x U S y z U
5x 2x + 20º
T T
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CST
66 Companhia Siderúrgica de Tubarão
65. Espírito Santo
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Trapézio
Trapézio é o quadrilátero que possui dois lados paralelos (que
são chamados de base).
A base menor B
Na figura, temos:
altura
AB CD
C base maior D
A distância entre as bases chama-se altura.
Tipos de Trapézio
• Isósceles - Os lados não-paralelos são congruentes.
• Retângulo - Tem dois ângulos retos.
• Escaleno - Os lados não-paralelos não são congruentes.
E F E F E F
Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo Trapézio
Escaleno
G H G H
G H
Exercícios:
1) Num trapézio, como são chamados os lados paralelos ?
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66. Espírito Santo
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2) Calcule o valor de x nas figuras:
a) b)
R S R S
2x 2x x
x x 30º
T U T U
3) Calcule o valor de x nas figuras:
a) b)
R S R S
2x x
110º
x + 30º
T U T U
4) Responda:
a) Quantos lados possui um quadrilátero ?
b) Quantos vértices possui um quadrilátero ?
c) Quantas diagonais possui um quadrilátero ?
5) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um
quadrilátero?
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CST
68 Companhia Siderúrgica de Tubarão
71. Espírito Santo
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Elementos de um Polígono
Observe o polígono ABCDE:
• A, B, C, D, E são os vértices. B
• ∃ ∃ ∃ ∃ ∃
A , B , C , D , E são os ângulos internos. o vértice
lad
• AB , BC , CD , DE , EA são os lados. A C
E D
Nomes dos Polígonos
Segundo o número de lados, os polígonos recebem nomes
especiais:
nome nº de lados
triângulo ..................................................... 3
quadrilátero ................................................ 4
pentágono .................................................. 5
hexágono ................................................... 6
heptágono .................................................. 7
octógono .................................................... 8
eneágono ................................................... 9
decágono .................................................. 10
undecágono .............................................. 11
dodecágono .............................................. 12
pentadecágono ......................................... 15
icoságono .................................................. 20
• O número de lados de um polígono é igual ao número de
vértices.
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SENAI
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72. Espírito Santo
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Exercícios
1) Quais são os polígonos convexos ?
a) b) c)
2) Responda:
a) Quantos lados tem um hexágono ?
b) Quantos lados tem um undecágono ?
c) Quantos lados tem um polígono de 15 vértices ?
d) Quantos vértices tem um polígono de 9 lados ?
3) Como se chama um polígono de:
a) 5 lados ?
b) 12 lados ?
c) 7 vértices ?
d) 20 vértices ?
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A traçar as diagonais que partem de um mesmo vértice de um
polígono, nós o dividimos em triângulos, cujo número de
triângulos é sempre o número de lados menos dois.
Veja:
A
D 4 lados ⇒ 2 triângulos
2
1
B
C
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CST
74 Companhia Siderúrgica de Tubarão
73. Espírito Santo
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A
B 2 E
1
5 lados ⇒ 3 triângulos
3
C D
A
6 lado ⇒ 4 triângulos
. .
B F
1 4 . .
. .
. .
. .
2 3 . .
C . .
E
. .
. .
D n lados ⇒ ( n - 2 ) triângulos
Um polígono de n lados será dividido em (n - 2) triângulos. Logo,
para obter a soma de seus ângulos internos (Sn), basta
multiplicar o número de triângulos por 180º, ou seja:
Sn = ( n - 2 ) . 180º
Exemplo:
Calcular a soma dos ângulos internos do octógono ( n = 8 )
Solução:
Sn = ( n - 2 ) . 180º
S8 = ( 8 - 2 ) . 180º
S8 = 6 . 180º
S8 = 1080º
Resposta: 1080º
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SENAI
Departamento Regional do Espírito Santo 75