Vigas

UNESP - Bauru/SP – 1309 - Estruturas de Concreto II – Vigas de Edifícios 1
VIGAS DE EDIFÍCIOS
1. INTRODUÇÃO
O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/2003 relativos às vigas contínuas de
edifícios. O tema faz parte do programa da disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II.
A norma NBR 6118, editada em março de 2003 pela ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE
NORMAS TÉCNICAS - ABNT, sob o título: PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO –
PROCEDIMENTO, tem 170 páginas. Esta norma substituiu as normas precedentes, NB 1/78 e
NBR 6118/1980.
A norma tem como objetivo fixar os requisitos básicos exigíveis para o projeto de estruturas
de concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve,
pesado ou outros especiais. Aplica-se às estruturas de concretos normais, com massa específica seca
maior que 2.000 kg/m3
e menor que 2.800 kg/m3
, do grupo I da NBR 8953 de resistência para o
concreto à compressão (C10 a C50). Excluem-se da norma os concretos massa e sem finos.
2. DEFINIÇÕES DE ESTADOS LIMITES
Uma estrutura de concreto armado bem projetada deve apresentar uma conveniente margem
de segurança contra a ruptura provocada pelas solicitações, deformações menores que as máximas
permitidas e durabilidade (não apresentar corrosão, fissuração excessiva, etc.), durante toda sua vida
útil.
Em resumo, o bom projeto estrutural deve garantir a estabilidade, o conforto e a
durabilidade da estrutura. Portanto, uma estrutura não preenche mais os requisitos de utilização
quando atinge o chamado “estado limite”. A NBR 6118/80 definia os estados limites “último” e de
“utilização”. A NBR 6118/2003 redefiniu o estado de utilização como de serviço (ELS),
classificando-o de acordo com o tipo de ocorrência na estrutura. Os estados limites de interesse às
estruturas de Concreto Armado, conforme o item 3.2 da norma, são apresentados a seguir.
2.1 Estado Limite Último (ELU): Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma
de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.
2.2 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a formação de
fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção

transversal for igual à resistência à tração na flexão, determinada de acordo com a NBR 12142
(fct,f).
2.3 Estado Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras se apresentam
com aberturas iguais aos máximos especificados no item 13.4.2.
2.4 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações
atingem os limites estabelecidos para a utilização normal, dados no item 13.4.2.
2.5 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE): Estado em que as vibrações atingem os
limites estabelecidos para a utilização normal da construção.
3. ANÁLISE ESTRUTURAL
No item 14 a NBR 6118/2003 apresenta uma série de informações relativas à Análise
Estrutural, como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de elementos lineares e de superfície, além
de vigas-parede, pilares-parede e blocos. Segundo a norma “o objetivo da análise estrutural é
determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de
estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). A análise estrutural permite estabelecer as
distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda
a estrutura.”
“A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar de
maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura e que permita
também representar a resposta não linear dos materiais. As condições de equilíbrio devem ser
necessariamente respeitadas. Análises locais complementares devem ser efetuadas nos casos em
que a hipótese da seção plana não se aplica.
As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria indeformada da
estrutura (teoria de 1a
ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos alterem de maneira
significativa os esforços internos (teoria de 2a
ordem).”
Teoria ou Análise de Primeira Ordem: o equilíbrio da seção é estudado na configuração
geométrica inicial (item 15.2).
Teoria ou Análise de Segunda Ordem: o equilíbrio da seção é estudado considerando a
configuração deformada (item 15.2).
“As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos,
classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural.

No item 14.5 a NBR 6118 apresenta cinco tipos de análise estrutural, os quais se
diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, observadas
as limitações correspondentes. Todos os modelos admitem que os deslocamentos da estrutura são
pequenos.
3.1 Análise Linear
Admite-se comportamento elástico-linear (vale a lei de Hooke – existe proporcionalidade
entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais num ciclo carregamento-
descarregamento) para os materiais. Na análise global (análise do conjunto da estrutura) as
características geométricas podem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos
estruturais. Em análises locais (análise de um elemento estrutural isolado) para cálculo dos
deslocamentos, na eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada.
O valor para o módulo de elasticidade deve, em princípio, ser considerado o secante (Ecs),
definido no item 8.2.8 da NBR 6118/2003.
Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação de
estados limites de serviço. É possível estender os resultados para verificações de estado limite
último, mesmo com tensões elevadas, desde que se garanta a ductilidade dos elementos estruturais.
3.2 Análise Linear com Redistribuição
Na análise linear com redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma análise
linear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de carregamento do estado limite último
(ELU). Nesse caso, as condições de equilíbrio e de ductilidade devem ser obrigatoriamente
satisfeitas. Todos os esforços internos devem ser recalculados de modo a garantir o equilíbrio de
cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição devem
ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutural, inclusive as condições de ancoragem e
corte de armaduras e os esforços a ancorar.
Cuidados especiais devem ser tomados com relação a carregamentos de grande
variabilidade.
As verificações de combinações de carregamento de estado limite de serviço (ELS) ou de
fadiga podem ser baseadas na análise linear sem redistribuição. De uma maneira geral é desejável
que não haja redistribuição de esforços em serviço.

3.3 Análise Plástica
A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem ser
consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rígido-plástico perfeito (figura 1) ou
elasto-plástico perfeito (figura 2).
y
σ
ε
σ
y
σy
σ
εy ε
Figura 1 – Material rígido-plástico perfeito. Figura 2 – Material elasto-plástico perfeito.
A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando:
a) se consideram os efeitos de segunda ordem global;
b) não houver suficiente ductilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas.
No caso de carregamento cíclico com possibilidade de fadiga deve-se evitar o cálculo
plástico.
3.4 Análise Não-Linear
Na análise não-linear considera-se o comportamento não-linear dos materiais.
Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser conhecidas
para que a análise não-linear possa ser efetuada, pois a resposta da estrutura depende de como ela
foi armada.
Condições de equilíbrio, de compatibilidade e de ductilidade devem ser necessariamente
satisfeitas. Análises não-lineares podem ser adotadas tanto para verificações de estados limites
últimos como para verificações de estados limites de serviço.
3.5 Análise por Meio de Elementos Físicos
Na análise de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir de ensaios
realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhança mecânica.

A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a
correta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser justificada
por modelo teórico do equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados.
Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as
margens de segurança prescritas nesta Norma. Caso contrário, quando só for possível avaliar o valor
médio dos resultados, deve ser ampliada a margem de segurança referida nesta Norma, cobrindo a
favor da segurança nas variabilidades avaliadas por outros meios.
Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os estados limites últimos e de
serviço a serem empregados na análise da estrutura.
Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da
estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios.
Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão
fora do escopo desta Norma.
4. DEFINIÇÃO DE VIGA
São elementos lineares em que a flexão é preponderante (item 14.4.1.1). Elementos lineares
são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão
da seção transversal, sendo também denominada barras.
5. VÃO EFETIVO
O vão efetivo (item 14.6.2.4), o qual substitui o chamado vão teórico da norma anterior
(NBR 6118/80), pode ser calculado pela expressão:
= + a
ef
l 0
l 1 + a2 (Eq. 1)
com: a1 e a
⎩
⎨
⎧
≤
h
3
,
0
2
/
t1
2
⎩
⎨
⎧
≤
h
3
,
0
2
/
t2
As dimensões 0
l , t1, t2 e h estão indicadas na figura 3.

h
0
l
t1 t2
Figura 3 – Dimensões consideradas no cálculo do vão efetivo das vigas.
6. ALTURA E LARGURA DAS VIGAS
De modo geral, a preferência dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem
embutidas nas paredes de vedação, de tal forma que não possam ser percebidas visualmente. Para
que isso ocorra, a largura das vigas deve ser escolhida em função da espessura final da parede, a
qual depende basicamente das dimensões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria
(tijolo maciço, bloco furado, etc.). Deve também ser considerada a espessura da argamassa de
revestimento (reboco), nos dois lados da parede. O revestimento de argamassa no interior do Estado
de São Paulo tem usualmente a espessura de 1,5 cm a 2,0 cm.
Existe no comércio uma infinidade de unidades de alvenaria, com as dimensões as mais
variadas, tanto para os blocos de seis como para os de oito furos, como também para os tijolos
maciços. Antes de se definir a largura da viga é necessário, portanto, definir o tipo e as dimensões
da unidade de alvenaria, levando-se em consideração a posição em que a unidade será assentada.
No caso de construções de pequeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde é
usual se construir primeiramente as paredes de alvenaria, para em seguida serem construídos os
pilares, as vigas e as lajes, é interessante escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem
os revestimentos, ou seja, igual à dimensão da unidade que resulta na largura da parede.
A altura das vigas depende de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, o
carregamento e a resistência do concreto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência

mecânica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma viga
como mostrado na figura 4, para concretos do tipo C-20 e C-25, uma indicação prática para a
estimativa da altura das vigas de concreto armado é dividir o vão efetivo por doze, isto é:
12
h
e
12
h
2
,
ef
2
1
,
ef
1
l
l
=
= (Eq. 2)
Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser
considerados valores maiores que doze na Eq. 2.
h1 h 2
ef, 1 ef, 2
l l
Figura 4 – Valores práticos para estimativa da altura das vigas.
A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm.
A altura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma
certa padronização, a fim de evitar várias alturas diferentes.
7. INSTABILIDADE LATERAL DE VIGAS
A segurança à instabilidade lateral de vigas (item 15.10) deve ser garantida por meio de
procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar, para vigas de
concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, as seguintes condições:
b ≥ /50 (Eq. 3)
0
l
b ≥ βfl h (Eq. 4)
onde: b = largura da zona comprimida;
h = altura total da viga;
0
l = comprimento do flange comprimido, medido entre suportes que garantam o
contraventamento lateral;
βfl = coeficiente que depende da forma da viga, conforme mostrado na Tabela 1.

Tabela 1 – Valores de βfl .
Tipologia da viga Valores de βfl
b b b
0,40
b b
0,20
Onde o hachurado indica zona comprimida.
8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS
USUAIS DE EDIFÍCIOS
No item 14.6.7 a NBR 6118 apresenta três aproximações permitidas no cálculo de vigas
contínuas. Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares,
para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais.
a) não devem ser considerados momentos fletores positivos menores que os que se obteriam se
houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos (figura 5);
MA 1,c
M B
M MC
MD
M M
VÃO EXTREMO
1,i
M 3,i
M
2,i
M
A
M
>
MB MC MD
M1,c
M1,i
{ >{ 2,i
M
2,c
M
>{ 3,i
M
3,c
M
VÃO INTERNO
3,c
2,c
Figura 5 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas.

b) quando a viga for solidária com o pilar interno e a largura do apoio, medida na direção do eixo da
viga (bint), for maior que a quarta parte da altura do pilar (le), não pode ser considerado momento
negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio (figura 6);
int
b
l l
l l
ef ef
ef
ef
Se bint > le/4
Se bint ≤ le/4
Figura 6 – Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas.
c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga,
deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento
perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas Equações 5, 6 e 7.
Neste caso, consideram-se inicialmente os pilares extremos como apoios simples. Os apoios
internos seguem a regra do item b definido anteriormente, e assim define-se o esquema estático ao
longo de toda a viga. Todos os momentos fletores são calculados para a viga assim esquematizada
(figura 7). O momento fletor de ligação entre a viga e os pilares extremos é calculado fazendo-se o
equilíbrio do momento fletor de engastamento perfeito no nó extremo (figura 7), o que pode ser
feito rapidamente aplicando-se a Eq. 5. Os momentos fletores que atuam nos lances inferior e
superior do pilar extremo (figura 8), são obtidos pelas Eq. 6 e 7.

+
-
+
-
Mlig lig
M
- -
+
eng
M Meng
-
Figura 7 – Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no pilar extremo.
1
2 Msup
M viga
M sup
1
2 Minf
Minf
TRAMO EXTREMO
PILAR DE EXTREMIDADE
NÍVEL i
NÍVEL (i + 1)
NÍVEL (i - 1)
+ 1
2 Mi,inf
(i -1),sup
M
+ 1
2 M
Mi,sup (i + 1),inf
(i + 1),sup
M + 1
2 M
i,inf
i,sup
M + 1
2 M
(i + 1),inf
Figura 8 – Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo.
Os momentos fletores são os seguintes:
- na viga:
sup
inf
vig
sup
inf
eng
lig
r
r
r
r
r
M
M
+
+
+
= (Eq. 5)
- no tramo superior do pilar:
sup
inf
vig
sup
eng
p
sup,
r
r
r
r
M
M
+
+
= (Eq. 6)

- no tramo inferior do pilar:
sup
inf
vig
inf
eng
p
inf,
r
r
r
r
M
M
+
+
= (Eq. 7)
com: rinf = rigidez do lance inferior do pilar;
rsup = rigidez do lance superior do pilar;
rvig = rigidez do vão extremo da viga;
Meng = momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo, considerando
engastamento perfeito no pilar interno.
A rigidez é a relação entre o momento de inércia da seção transversal do elemento e o
comprimento do vão:
i
i
i
I
r
l
= (Eq. 8)
onde: ri = rigidez do elemento i no nó considerado (figura 9).
vig
l
2
inf
l
2
sup
l
Figura 9 – Aproximação em apoios extremos.
O método de cálculo com aplicação das Equações 5, 6 e 7 é simples de ser executado e não
requer computadores com programas. Segundo a NBR 6118/2003, “Alternativamente, o modelo de
viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga,
mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários.”

No caso de se introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos, a viga fica vinculada ao
apoio extremo por meio de um engastamento elástico (mola). Esta solução é mais consistente que a
opção anterior, porém, o cálculo manual fica dificultado.
A rigidez da mola é avaliada pela equação:
Kmola = Kp,sup + Kp,inf (Eq. 9)
onde: Kp,sup = rigidez do lance superior do pilar extremo;
Kp,inf = rigidez do lance inferior do pilar extremo;
sendo:
sup
,
e
sup
sup
,
p
EI
4
K
l
= e
inf
,
e
inf
inf
,
p
EI
4
K
l
= (Eq. 10)
com: E = módulo de elasticidade secante do concreto;
I = momento de inércia do lance do pilar;
le = comprimento de flambagem do lance inferior ou superior do pilar.
Em pavimentos tipos de edifícios, devido à continuidade do pilar nos pavimentos tem-se:
Kp,sup = Kp,inf
e
mola
EI
8
K
l
= (Eq. 11)
“A adequabilidade do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa
dos resultados obtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos
nós viga-pilar, especialmente nos modelos mais simples, como o de vigas contínuas.”
9. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES
“O diagrama de momentos fletores pode ser arredondado sobre os apoios e pontos de
aplicação de forças consideradas como concentradas. Esse arredondamento pode ser feito de
maneira aproximada”, conforme indicado na figura 10.

∆M
∆M
∆M
1
1
∆M
∆M
2
2
l/2 l/2
R1 R 2
= l
R - R
______
2
4
∆M = l/4
1 R1
= l/4
∆M2 2
R
∆M
∆M'
∆M'
l
R
= l/8
R
∆M'
1
Figura 10 - Arredondamento do diagrama de momentos fletores.
10. LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS E CONDIÇÕES DE
DUCTILIDADE
Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é
importante garantir boas condições de ductilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de
compressão que garanta a posição adequada da linha neutra (x), respeitando-se os limites indicados
abaixo.
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da
posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais
com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a
posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.
No item 14.6.4.3 a NBR 6118 define os limites para a redistribuição de momentos fletores e
as condições de ductilidade de uma viga. Uma redistribuição comumente feita na prática é a
diminuição dos momentos fletores negativos nos apoios intermediários das vigas contínuas. Isso
possibilita uma aproximação nos valores desses momentos com os momentos fletores positivos nos
vãos, o que leva a seções transversais de menores dimensões e um projeto mais econômico.

A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforços
solicitantes ao longo da viga, o que deve ser levado em consideração no dimensionamento da viga
em toda a sua extensão.
A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no
ELU. Quanto menor for a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil da seção (x/d), tanto
maior será essa capacidade.
Para melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com
outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços
solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
a) x/d ≤ 0,50 para concreto com fck ≤ 35 MPa (C35); ou
b) x/d ≤ 0,40 para concreto com fck > 35 MPa. (Eq. 12)
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como
por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.
Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para δM,
em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição
da linha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δM, deve ser dada por:
a) δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa (C35); ou
b) δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa. (Eq. 13)
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:
a) δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis;
b) δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso. (Eq. 14)
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma, desde que a
estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não-linear ou de análise plástica, com
verificação explícita da capacidade de rotação de rótulas plásticas.
A figura 11 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno. A
diminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante, pois permite que se faça uma
aproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão anterior da norma (NB1/78) era
permitido plastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fletor negativo nos apoios internos de
vigas contínuas.

Plastificação do momento negativo
Acréscimo no momento positivo
Acréscimo no momento positivo
Figura 11 – Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas.
Quando o momento é de equilíbrio, como no caso de vigas em balanço por exemplo, a
plastificação logicamente não é permitida.
11. ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS
Nos itens 17.3.5 e 18 a NBR 6118 estabelece diversas prescrições relativas à armadura
longitudinal mínima e máxima e armadura de pele.
11.1 Armadura Mínima de Tração
“A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser
determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a
seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,15 %.”
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup (Eq. 15)
onde: W0 = módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais
tracionada;
fctk,sup = resistência característica superior do concreto à tração:
fctk,sup = 1,3 fct,m com 3 2
ck
m
,
ct f
3
,
0
f = (MPa)
O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas
mínimas de armadura da Tabela 2.

Tabela 2 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas.
Valores de ρmín (%) (As,mín/Ac) (1)
Forma da seção
fck
ωmín
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T
(mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T
(mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575
(1) Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses
fatores sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.
NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa
colaborante.
Em elementos estruturais superdimensionados pode ser utilizada armadura menor que a
mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a
determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações
possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques
de apoio. Deve-se ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de
limitação de fissuração.
11.2 Armadura de Pele
“A mínima armadura lateral deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e
composta por barras de alta aderência (η1 ≥ 2,25) com espaçamento não maior que 20 cm.
Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da
armadura de pele.”
A armadura de pele, conforme mostrada na figura 12, deve ser disposta de modo que o
afastamento entre as barras não ultrapasse d/3 e 20 cm.
11.3 Armadura Longitudinal Máxima
“A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que
4 % Ac , calculada na região fora da zona de emendas.”

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
b
d
h > 60 cm
w
Figura 12 – Disposição da armadura de pele.
11.4 Armadura de Suspensão
A NBR 6118 prescreve que, “Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga
por outras vigas ou elementos discretos que nela se apóiem ao longo ou em parte de sua altura, ou
fiquem nela penduradas, deve ser colocada armadura de suspensão.”
Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, se
direto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na figura 13, a carga da viga vai direto para o
apoio, como no caso de um pilar, por exemplo. No apoio indireto, a carga vai da viga que é
suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte.
Figura 13 – Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000).

Segundo FUSCO (2000), “nos apoios indiretos, o equilíbrio de esforços internos da viga
suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionando
como um tirante interno, que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior da
viga suporte, até o seu banzo superior.” A força F no tirante interno está indicada na figura 14. A
armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a
totalidade da reação de apoio da viga que é suportada.
Figura 14 – Esquema de treliça em apoios indiretos (FUSCO, 2000).
A figura 15 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. As
trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada à
armadura.
Figura 15 – Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000).

Na figura 16 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoios indiretos.
A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como isso normalmente é
difícil de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser colocada na região vizinha ao
cruzamento, tão próxima quanto possível.
Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível, a armadura de suspensão
pode ser dimensionada para a força Rtt , de valor:
2
1
apoio
tt
h
h
R
R = (Eq. 16)
com h1 ≤ h2
onde: h1 = altura da viga que apóia;
h2 = altura da viga suporte.
Figura 16 – Detalhes da armadura de suspensão (FUSCO, 2000).

11.5 Armaduras de Ligação Mesa-Alma
“Os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas de vigas devem ser verificados
com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do
comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras
necessárias para absorver as trações decorrentes desses efeitos.
As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas
como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A
seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na
alma, deve ser de 1,5 cm2
por metro.” A figura 17 mostra o posicionamento da armadura
transversal.
f
b
≥ 1,5 cm /m
2
Figura 17 – Armadura transversal à alma em seções transversais com mesa.
12. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA
As figuras 18 e 19 mostram a planta de fôrma e o corte esquemático da estrutura de concreto
de uma construção com dois pavimentos. Pede-se projetar e detalhar a armadura da viga VS1. São
conhecidos: concreto C20, aço CA-50 A, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, cnom = 2,0 cm, γrev = 19 kN/m3
,
γcontr = 21 kN/m3
, γconc = 25 kN/m3
.
OBSERVAÇÕES:
a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por blocos
cerâmicos de oito furos (com dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e
altura de 2,40 m;
b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2
;
c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kN/m2
;
d) piso cerâmico sobre a laje, com γpiso = 0,15 kN/m2
.

VS1 (19 x 60)
VS2 (19 x 70)
19/19
P1
VS3 (19 x 60)
VS4
(19
x
45)
VS5
(19
x
45)
VS6
(19
x
45)
19/30
P4
19/19
P7
19/30
P2 P3
19/19
P5
19/30
19/30
P8
P6
19/30
P9
19/19
719 719
523
523
Planta de Fôrma do Pavimento Superior
Esc. 1 : 50
45
16
Figura 18 – Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1.
30
255
60
240
60
300
300
P1
19/19 19/19
P2 P3
19/30
tramo 1 tramo 2
19 700 700
19
VB1 (19 x 30)
19
VS1 (19 x 60)
VC1 (19 x 60)
p = 24,15 kN/m
VS1 (19 x 60)
719 719
Figura 19 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1 e esquema
estático e carregamento considerados.

RESOLUÇÃO
A viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado da
estrutura, apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. Uma outra forma
de análise poderia ser feita considerando-se a viga VS1 como sendo parte de um pórtico plano,
como aquele mostrado na figura 19. Neste caso, haveria uma completa interação com as demais
vigas (VB1 e VC1) e com os pilares de apoio.
12.1 Vãos Efetivos
a) Laje
O vão efetivo da laje é de centro a centro dos apoios, portanto, igual a 523 cm.
b) Viga
O vão efetivo nos tramos 1 e 2 da viga são iguais. De acordo com a Eq. 1 valem:
a1 ∴ a
⎩
⎨
⎧
=
=
=
=
≤
cm
18
60
3
0
h
3
0
cm
5
9
2
19
2
t1
.
,
,
,
/
/
1 = 9,5 cm
a2 ∴ a
⎩
⎨
⎧
=
=
=
=
≤
cm
18
60
3
0
h
3
0
cm
5
9
2
19
2
t2
.
,
,
,
/
/
2 = 9,5 cm
lef = l0 + a1 + a2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cm
12.2 Estimativa da Altura da Viga
A largura da viga foi adotada igual à dimensão do bloco assentado na posição deitada, ou
seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa da viga foi aplicada a
Eq. 2:
9
,
59
12
719
12
h ef
=
=
=
l
cm ∴ h = 60 cm
Portanto, a viga será calculada inicialmente com seção transversal de 19 x 60 cm.
12.3 Instabilidade Lateral da Viga
Como a viga tem uma laje apoiada em toda a sua extensão, a estabilidade lateral está
garantida. A título de exemplo, caso não houvesse o travamento proporcionado pela laje, de acordo
com as Eq. 3 e 4 os limites para a largura da viga seriam:
b ≥ /50 = 700/50 = 14 cm ⇒ para b = 19 cm a equação estaria satisfeita.
0
l
b ≥ βfl h = 0,40 . 60 = 24 cm ⇒ para b = 19 cm a equação não estaria satisfeita.

12.4 Cargas na Laje e na Viga
Como se pode observar na figura 18, sobre a viga VS1 há a atuação da carga de uma laje
pré-fabricada, com vão efetivo de 523 cm.
Para a laje de piso do pavimento superior, considerou-se a laje do tipo pré-fabricada
treliçada, com altura total de 16 cm, peso próprio de 2,33 kN/m2
. A carga total por m2
da área da
laje é:
- peso próprio: gpp = 2,33 kN/m2
- revestimento teto: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m2
- contrapiso: gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2
- piso: gpiso = 0,15 kN/m2
- ação variável: q = 2,00 kN/m2
CARGA TOTAL: p = 5,40 kN/m2
Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua
extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3
, com espessura final de 23 cm
e altura de 2,40 m), de uma laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kN/m2
, e o peso próprio da
viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), a carga externa total atuante na VS1 é:
- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m
- parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m
- laje: glaje = 5,40 . (5,23/2) = 14,12 kN/m
CARGA TOTAL: p = 24,15 kN/m
12.5 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1
O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de
acordo com o esquema mostrado na figura 6, tem-se:
le = 300 cm (comprimento de flambagem do pilar)
le/4 = 300/4 = 75 cm
bint = 19 cm < le/4 = 75 cm ⇒ ∴ considerar apoio simples.
A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que le/4. De
acordo com a norma, isso ocorreria se a dimensão do pilar na direção da viga (bint) fosse grande o
suficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades, ou seja,
a viga seria considerada engastada no pilar P2.

A norma considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares
extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, a viga será considerada vinculada aos
pilares extremos P1 e P3 por meio de molas (engastamento elástico). O carregamento é
uniformemente distribuído em toda a extensão da viga (figura 20).
p = 24,15 kN/m
719 719
Figura 20 - Esquema estático e carregamento na viga.
12.6 Rigidez da Mola
A rigidez da mola é avaliada pela Eq. 9: Kmola = Kp,sup + Kp,inf
Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal
dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem:
Kp,sup = Kp,inf =
e
EI
4
l
A rigidez da mola vale portanto:
e
mola
EI
8
K
l
=
O módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser
avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2003, item 8.2.8):
Eci = 5.600 fck
1/2
= 5.600 . 201/2
= 25.044 MPa = 2504,4 kN/cm2
O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale:
Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2504,4 = 2128,7 kN/cm2
O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é:
Ip,sup = Ip,inf = 860
.
10
12
19
.
19
12
h
b 3
3
=
= cm4
Rigidez da mola:
e
mola
EI
8
K
l
= = 476
.
616
300
10860
.
7
,
2128
.
8
= kN.cm

12.7 Esforços Solicitantes
Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado qualquer programa
computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado PPLAN3,
originário da EESC-USP.
A figura 21 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para a viga em análise.
y
24,15 kN/m
1 2 3 4 5
1 2 3 4
x
359,5 359,5
719 719
359,5 359,5
Figura 21 – Numeração dos nós e barras da viga.
O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:
OPTE,0,2,0,0,2,
CONCRETO II
VIGA EXEMPLO
VS 1 (19 x 60)
NOGL
1,5,1,0,0,1438,0,
RES
1,1,1,2,0,0,616476,
5,1,1,2,0,0,616476,
3,1,1,
BARG
1,4,1,1,1,2,1,1,1,
PROP
1,1,1140,342000,60,
MATL
1,2128,
FIMG
CARR1
CBRG
1,4,1,1,-0.2415,1,
FIMC
FIME
A figura 22 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores
característicos máximos) obtidos no programa PPLAN3. A listagem dos resultados calculados pelo
programa encontra-se no Anexo I.
A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,43 cm) é próxima à flecha máxima no vão e
serve como indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais próximo da flecha máxima
poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado na figura 21.

~
1375
68,0
180
+
8189 8189
14918
- -
288
105,7
105,7
(kN.cm)
k
M
1375
68,0
V (kN)
k
~
288
30
Figura 22 – Diagrama de esforços característicos.
No caso dos momentos fletores positivos deve-se comparar o valor mostrado na figura 22
com o momento positivo obtido considerando-se o vão engastado no apoio interno (pilar P2), como
mostrado na figura 23.
719
p = 24,15 kN/m
Figura 23 – Esquema estático para obtenção do momento positivo
considerando engate no apoio interno.
O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:
OPTE,0,2,0,0,2,
CONCRETO II
MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO
VS 1 (19 x 60)
NOGL
1,2,1,0,0,719,0,
RES
1,1,1,
3,1,1,1,
BARG
1,2,1,1,1,2,1,1,1,
PROP
1,1,1140,342000,60,

MATL
1,2128,
FIMG
CARR1
CBRG
1,2,1,1,-0.2415,1,
FIMC
FIME
O máximo momento positivo para o esquema mostrado na figura 23, conforme o arquivo de
dados acima, resulta 8189 kN.cm. Esse momento é igual ao momento máximo positivo obtido para
a viga contínua mostrada na figura 21.
12.8 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal. Para a armadura longitudinal
serão adotados diferentes valores para a altura útil d, em função do valor do momento fletor.
12.8.1 Armadura Mínima
A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com a Eq. 15:
Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup
87
,
2
20
3
,
0
.
3
,
1
f
3
,
0
.
3
,
1
f
3
,
1
f 3 2
3 2
ck
m
,
ct
sup
,
ctk =
=
=
= MPa
342000
12
60
.
19
12
h
b
I
3
3
=
=
= cm3
11400
30
342000
y
I
W0 =
=
= cm3
(no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)
Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,287 = 2617 kN.cm
Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:
d
2
w
c
M
d
b
K = = 0
,
22
2617
55
.
19 2
= ⇒ da Tabela de Kc e Ks tem-se Ks = 0,023.
d
M
K
A d
s
s = = 09
,
1
55
2617
023
,
0 = cm2
Conforme a Tabela 2, para seção retangular e concreto C20, a taxa mínima de armadura
(ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:
As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm2
> 1,09 cm2
(2 φ 10 mm = 1,60 cm2
)

12.8.2 Armadura de Pele
A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No
entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será
colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR
6118/80), em cada face da viga:
As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm2
4 φ 4,2 mm = 0,68 cm2
em cada face, distribuídos ao longo da altura.
12.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão
Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores
máximos, positivos e negativos.
12.8.3.1 Momento Fletor Negativo
a) Apoio interno (P2)
Mk = - 14.918 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (-14.918) = - 20.885 kN.cm
Para a altura da viga de 60 cm será adotada a
altura útil de 55 cm:
d
2
w
c
M
d
b
K = = 8
,
2
20885
55
.
19 2
=
Da Tabela de Kc e Ks tem-se:
βx = x/d = 0,44, Ks = 0,028 e domínio 3.
d
M
K
A d
s
s = = 63
,
10
55
20885
028
,
0 = cm2
5 φ 16 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm2
8 φ 12,5 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm2
(escolha
indicada para construções de pequeno porte).
8φ12,5
1φ10
eh
Conforme descrito no item 10 (Eq. 10), deve-se ter βx = x/d ≤ 0,50. Neste caso, com βx = x/d
= 0,44, o limite está satisfeito, o que deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção.
A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25
mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5
mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:
( )
[ ] 0
3
3
25
1
4
5
0
0
2
2
19
eh ,
,
.
,
,
=
+
+
−
= cm
distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador.

b) Apoios extremos (P1 e P3)
Mk = - 1.375 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.375) = - 1925 kN.cm
d
2
w
c
M
d
b
K = = 1
,
32
1925
57
.
19 2
=
βx = x/d = 0,04, Ks = 0,023 e domínio 2.
d
M
K
A d
s
s = = 78
,
0
57
1925
023
,
0 = cm2
< As,mín
(As,mín = 1,60 cm2
→ 2 φ 10 mm)
2φ10
12.8.3.2 Momento Fletor Positivo
Mk = 8.189 kN.cm
Md = γf . Mk = 1,4 . 8.189 = 11.465 kN.cm
Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de
espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição da capa para formar a mesa da
seção T, de modo que a viga é então calculada como seção retangular.
d
2
w
c
M
d
b
K = = 4
,
5
11465
57
.
19 2
=
βx = x/d = 0,21 < 0,50, Ks = 0,025 e domínio 2.
d
M
K
A d
s
s = = 03
,
5
57
11465
025
,
0 = cm2
2 φ 16 + 2 φ 8 mm = 5,00 cm2
4 φ 12,5 = 5,00 cm2
(escolha indicada para
construções de pequeno porte).
4φ12,5
12.8.4 Armadura Longitudinal Máxima
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que
4 % Ac, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, a maior taxa de
armadura longitudinal ocorre na região próxima ao pilar interno: As = 10,80 cm2
para o momento
negativo e As = 5,00 cm2
para o momento positivo, com armadura total de 15,80 cm2
. A armadura
máxima permitida é:
As,máx = 0,04 . 19 . 60 = 45,60 cm2
, que é, portanto, muito superior à área total de 15,80 cm2
.

12.9 Armadura Transversal ao Esforço Cortante
A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas
desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (2004). Por se tratar de seção retangular, será
considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°.
12.9.1 Pilar Interno P2
Vk = 105,7 kN.cm
Vd = γf . Vk = 1,4 . 105,7 = 148,0 kN
a) Verificação das Bielas de Compressão
Da Tabela 2 da apostila de cortante em viga, para o concreto C20, determina-se a força
cortante última ou máxima:
VRd2 = θ
θ cos
.
sen
.
d
.
b
71
,
0 w = 0,71 . 19 . 55 . sen 38 . cos 38 = 360,0 kN
→
=
<
= kN
0
,
360
V
0
,
148
V 2
Rd
Sd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.
b) Cálculo da Armadura Transversal
Da Tabela 2, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante
correspondente à armadura mínima é:
VSd,mín = 1
c
w V
g
cot
.
d
.
b
.
035
,
0 +
θ
0
c
2
Rd
Sd
2
Rd
0
c
1
c
V
V
V
V
V
V
−
−
=
Com Vc0 :
3
,
69
55
.
19
4
,
1
.
10
20
3
,
0
7
,
0
6
,
0
d
b
f
6
,
0
V
3 2
w
ctd
0
c =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
= KN
5
,
50
3
,
69
0
,
360
0
,
148
0
,
360
3
,
69
V 1
c =
−
−
= kN
VSd,mín = 3
,
97
5
,
50
38
g
cot
.
55
.
19
.
035
,
0 =
+ kN
→
=
>
= kN
3
,
97
V
0
,
148
V mín
,
Sd
Sd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd
Da equação para Asw na Tabela 2 da apostila de cortante em vigas (concreto C20):
Asw =
( )
θ
−
g
cot
.
d
V
V
55
,
2 1
c
Sd
=
( ) 53
,
3
38
g
cot
.
55
5
,
50
0
,
148
55
,
2 =
−
cm2
/m
A armadura mínima é calculada pela equação:
w
ywk
ctm
mín
,
sw b
f
f
20
A = (cm2
/m), com 21
,
2
20
3
,
0
f
3
,
0
f 3 2
3 2
ck
ctm =
=
= MPa

68
,
1
19
.
50
221
,
0
.
20
A mín
,
sw =
= cm2
/m
Como Asw = 3,53 cm2
/m > Asw,mín = 1,68 cm2
/m ⇒ deve-se dispor a armadura calculada.
12.9.2 Pilares Extremos P1 e P3
Vk = 68,0 kN.cm
Vd = γf . Vk = 1,4 . 68,0 = 95,2 kN
A favor da segurança, será mantido o mesmo valor para d (55 cm) do pilar interno. Portanto,
tem-se os valores de VRd2 = 360,0 kN e Vc0 = 69,3 kN.
a) Verificação das Bielas de Compressão
→
=
<
= kN
0
,
360
V
2
,
95
V 2
Rd
Sd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.
b) Cálculo da Armadura Transversal
Da Tabela 2, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante
correspondente à armadura mínima é:
VSd,mín = 1
c
w V
g
cot
.
d
.
b
.
035
,
0 +
θ
0
c
2
Rd
Sd
2
Rd
0
c
1
c
V
V
V
V
V
V
−
−
= 1
,
63
3
,
69
0
,
360
2
,
95
0
,
360
3
,
69 =
−
−
= kN
VSd,mín = =
+ 1
,
63
38
g
cot
.
55
.
19
.
035
,
0 109,9 kN
kN
9
,
109
V
2
,
95
V mín
,
Sd
Sd =
<
= ⇒ portanto, deve-se dispor a armadura mínima
(Asw,mín = 1,68 cm2
/m).
12.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal
a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 190/10 ≤ 19 mm
b) Espaçamento máximo:
0,67 VRd2 = 0,67 . 360,0 = 241,2 kN
VSd,P2 = 148,0 < 241,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
VSd,P1,P3 = 95,2 < 241,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm
c) Espaçamento transversal entre os ramos do estribo:
0,20 VRd2 = 0,20 . 360,0 = 72,0 kN
VSd,P2 = 148,0 > 72,0 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm
VSd,P1,P3 = 95,2 > 72,0 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm
0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm ⇒ Portanto, s ≤ 33 cm

d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos
d1) Pilar P2 (Asw = 3,53 cm2
)
Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm =
0,20 cm2
), tem-se:
0353
,
0
s
Asw
= cm2
/cm ⇒ 0353
,
0
s
40
,
0
= ⇒ s = 11,3 cm
d2) Pilares P1 e P3 (Asw = Asw,mín = 1,68 cm2
)
Para a armadura mínima de 1,68 cm2
/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:
0168
,
0
s
Asw
= cm2
/cm ⇒ 0168
,
0
s
40
,
0
= ⇒ s = 23,8 cm
A figura 23 mostra a disposição dos estribos ao longo da viga.
N1 - 76 φ 5 mm C = 152
56
15
154 154
148,0
431
Sd,mín
V = 97,3
148 x = 283
N1-14 c/ 11 N1-14 c/ 11
N1-24 c/ 23 N1-24 c/ 23
Figura 23 – Detalhamento dos estribos verticais no comprimento total da viga.
12.10 ANCORAGEM DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS
12.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3
Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de cálculo
II:
= 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90)
)
g
cot
g
(cot
d
5
,
0
a α
−
θ
=
l
al = 36,5 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm
Conforme a Eq. 16 da apostila de Ancoragem, a armadura a ancorar no apoio é:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
= Sd
Sd
yd
calc
s N
V
d
a
f
1
A l
, = 40
,
1
2
,
95
57
5
,
36
15
,
1
50
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
cm2
A armadura positiva do vão adjacente é composta por 4 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5 mm
posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios.
Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2
.
A armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada pela Eq. 17:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
=
≤
=
≥
2
M
M
e
negativo
M
se
A
4
1
2
M
M
e
negativo
ou
0
M
se
A
3
1
A
vão
apoio
apoio
vão
,
s
vão
apoio
apoio
vão
,
s
calc
,
s
Md,apoio = - 1.925 kN.cm < Md,vão/2 = 11.465/2 = 5.732,3 kN.cm
Portanto, As, calc ≥ 1/3 As,vão = 5,03/3 = 1,68 cm2
As, calc = 1,40 cm2
< 1/3 As,vão = 1,68 cm2
⇒ portanto, ancorar 1,68 cm2
O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (lb,mín), conforme Eq. 18, é:
⎩
⎨
⎧ φ
5,5
+
≥
cm
6
r
mín
,
b
l
r = 5/2 φ = 2,5 . 1,25 = 3,1 cm (com r determinado na Tabela 1)
3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm
Comprimento de ancoragem efetivo:
lbe = b – c = 19 – 2 = 17 cm
Comprimento de ancoragem básico (Eq. 3):
bd
yd
b
f
f
4
φ
=
l
Resistência de aderência (Eq. 1):
fbd = η1 . η2 . η3 . fctd
com 3 2
ck
c
ctd f
3
,
0
.
7
,
0
f
γ
= = 11
,
0
20
10
.
4
,
1
3
,
0
.
7
,
0 3 2
= kN/cm2
b
c
As,ef
lbe
lb,nec
Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica:
fbd = 2,25 . 1,0 . 1,0 . 0,11 = 0,25 kN/cm2
54
25
,
0
15
,
1
50
4
25
,
1
b =
=
l cm
Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho (Eq. 4):

36
50
2
68
1
54
0
1
A
A
ef
s
calc
s
b
1
nec
b =
=
α
=
,
,
.
,
,
,
, l
l cm
Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem
gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,nec = 36 cm > lbe = 17 cm). Isto
significa que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é
fazer o gancho. O comprimento de ancoragem necessário, com gancho é (Eq. 4):
cm
25
36
7
0
g
nec
b =
= .
,
,
,
l
Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o
comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (lb,nec,g = 25
cm > lbe = 17 cm).
A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr,
como definido pela Eq. 19, ou colocar grampos:
calc
,
s
b
be
b
corr
,
s A
3
,
0
A
l
l
l
+
= = 73
2
68
1
54
3
0
17
54
,
,
.
,
=
+
cm2
Entre vários arranjos possíveis para atender a armadura corrigida, pode-se acrescentar um
grampo φ 5 mm às duas barras φ 12,5 mm. Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 + 2 φ 5 mm (1 grampo) = 2,90
cm2
Apenas como exemplo, caso se optasse pela colocação direta de grampos, a área de grampos
seria (Eq. 20):
gr
,
b
gr
be
gr
,
b
b
b
gr
be
ef
,
s
calc
,
s
grampo
,
s
3
,
0
3
,
0
A
A
A
l
l
l
l
l
l
+
φ
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
φ
−
−
=
Comprimento de ancoragem básico dos grampos, supondo diâmetro de 5 mm:
22
25
,
0
.
4
15
,
1
50
5
,
0
f
f
4 bd
yd
gr
,
b =
=
φ
=
l cm
Supondo a armadura efetiva composta por 2 φ 12,5 = 2,50 cm2
(com ganchos), a área para os
grampos resulta:
16
0
22
3
0
5
0
17
22
54
54
3
0
5
0
17
50
2
68
1
A grampo
s ,
.
,
,
.
,
,
,
,
, =
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
−
= cm2
Área da armadura total a ancorar: 2,50 + 0,16 = 2,66 cm2
. Armadura efetiva (escolhida): 2 φ
12,5 + 2 φ 5 (1 grampo) = 2,90 cm2
O detalhe da ancoragem está mostrado na figura 24.

Grampo
95 φ = 60 cm
gr
2 cm
2 φ 12,5
2,0
16,4
19
10
Figura 24 – Detalhe da ancoragem nos pilares extremos.
12.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2
Estendendo 2 φ 12,5 da armadura longitudinal positiva até o pilar interno (As,calc = As,ef =
2,50 cm2
), esta armadura deve ser superior à mínima, dada pela Eq. 17:
Md,apoio = - 20.885 kN.cm > Md,vão/2 = 11.465/2 = 5.732,3 kN.cm
Portanto, As, calc ≥ 1/4 As,vão = 5,03/4 = 1,26 cm2
As,ef = 2,50 cm2
> 1/4 As,vão = 1,26 cm2
As duas barras de 12,5 mm devem se estender 10φ além da face do apoio, como mostrado na
figura 36 da apostila de Ancoragem e Emendas.
12.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3
A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve
penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho
direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser
de 5φ, como indicado na figura 25.
35
φ
5 φ
35
cm
2 φ 10
Figura 25 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.

12.11 Detalhamento da Armadura Longitudinal
Teoricamente, os deslocamentos (al) do diagrama de momentos fletores são diferentes, em
função de terem sido adotados diferentes valores para a altura útil d. Simplificadamente, será
adotada a altura útil d de 57 cm para toda a extensão da viga, o que resulta para o deslocamento,
segundo o modelo de cálculo II:
= 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90)
)
g
cot
g
(cot
d
5
,
0
a α
−
θ
=
l
al = 36 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm
Comprimento de ancoragem básico (Eq. 3) para barras φ 12,5 mm em situação de má
aderência:
bd
yd
b
f
f
4
φ
=
l
Resistência de aderência (Eq. 1):
fbd = η1 . η2 . η3 . fctd
com 3 2
ck
c
ctd f
3
,
0
.
7
,
0
f
γ
= = 11
,
0
20
10
.
4
,
1
3
,
0
.
7
,
0 3 2
= kN/cm2
Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica:
fbd = 2,25 . 0,7 . 1,0 . 0,11 = 0,17 kN/cm2
78
17
0
15
1
50
4
25
1
b =
=
,
,
,
l cm
A figura 26 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito para
conhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e
negativa. O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fletores de
cálculo, deslocado no valor de al .

b
225
132
B
10φ 10φ
203
58
10φ
10φ
b
A
B
A
4φ12,5 + 1φ10
4φ12,5
al
centro do pilar
l = 78
l = 78
2φ12,5
2φ12,5
B
face externa do pilar
Figura 26 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.
Por simplicidade, a armadura negativa no apoio interno foi agrupada, sendo 4 φ 12,5 na
primeira camada com o mesmo comprimento, e 4 φ 12,5 mais 1 φ 10 nas segunda e terceira
camadas, tendo as cinco barras o mesmo comprimento. Outros diferentes arranjos ou agrupamentos
poderiam ser feitos, resultando barras com comprimentos diferentes.
A armadura positiva foi separada em dois grupos, cada um com 2 φ 12,5. Duas barras foram
estendidas até os apoios, e as outras duas foram cortadas antes dos apoios, conforme o cobrimento
do diagrama de momentos fletores.
Embora a norma não obrigue, foi colocada uma armadura de pele nas duas faces verticais da
viga, conforme cálculo mostrado no item 12.8.2.
A figura 27 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito
normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito
normalmente na escala de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento
final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada.
Num detalhe à parte podem ser colocados outros desenhos mostrando como devem ser
executados os ganchos, com os pinos de dobramento, etc.

VS1 = VS3 (19 x 60)
N4 - 4φ12,5 C = 270 (2° cam)
N5 - 1φ10 C = 270 (3° cam)
N3 - 4φ12,5 C = 450
N1-14c/11
135
135
N2 - 2φ10 C = 576
N1-24c/23
35
10
P1
N8 - 2φ12,5 C = 742
N7 - 2φ12,5 C = 468
N6 - 2 x 4φ4,2 CORR
203
135
135
N1-14c/11
154
225
40
P2
N2 - 2φ10 C = 576
N1-24c/23
N8 - 2φ12,5 C = 742
N7 - 2φ12,5 C = 468
203
A
40
A
225
154
35
N1 - 76φ5mm c=152
10
56
4 N3
1 N5
2 x 4 N6
P3
15
2 N7
2 N8
4 N4
Figura 27 – Detalhamento final das armaduras da viga.
O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na figura 27 é o
mais comum na prática. No entanto, outros posicionamentos diferentes para as armaduras
longitudinais e para os estribos podem ser adotados. Por exemplo, a armadura longitudinal negativa
pode ser indicada acima do desenho da viga, a linha de indicação dos estribos pode ser indicada na
parte inferior da viga, e a armadura positiva como mostrada na figura 27. Esta forma de indicar as
armaduras, embora não seja a mais comum na prática, tem a vantagem de distanciar as armaduras
negativa e positiva, impedindo possíveis confusões.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento - NBR 6118, Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 170p.
BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina
1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de
Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 70p.
BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II.
Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual
Paulista, mar/2004, 42p.
FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p.

ANEXO I
LISTAGEM DE RESULTADOS - PROGRAMA PPLAN3
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92
PROJETO: CONCRETO II
CLIENTE: VIGA EXEMPLO
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60)
---------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DE COORDENADAS NODAIS
NO COORD X COORD Y IDENT
---------------------------------------------------------------------------
1 .000 .000 NOGL
2 359.500 .000 NOGL
3 719.000 .000 NOGL
4 1078.500 .000 NOGL
5 1438.000 .000 NOGL
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DE RESTRICOES NODAIS
NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT
---------------------------------------------------------------------------
1 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 RES
5 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 RES
3 1 1 0 RES
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS
NO NO COSSENO OPCAO
BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT
---------------------------------------------------------------------------
1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG
2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG
3 3 4 1 359.500 1.0000 1 BARG
4 4 5 1 359.500 1.0000 1 BARG

---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS
PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT
---------------------------------------------------------------------------
1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS
MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT
---------------------------------------------------------------------------
1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL
---------------------------------------------------------------------------
PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60)
---------------------------------------------------------------------------
NUMERO DE NOS.......................................................... 5
NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 3
NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 6
NUMERO DE BARRAS....................................................... 4
NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0
NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0
NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1
NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1
NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 9
MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1
LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6
NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 54
---------------------------------------------
I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I
I I
I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I
I I
---------------------------------------------
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS
SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS
PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92
PROJETO: CONCRETO II
CLIENTE: VIGA EXEMPLO
============================
PORTICO: VS1 (19 X 60)
============================

===========================================================================
COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS
NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R
===========================================================================
1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06
2 359.500 .000 0 0 0
3 719.000 .000 1 1 0
4 1078.500 .000 0 0 0
5 1438.000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06
===========================================================================
CARACTERISTICAS DAS BARRAS
NO ROT NO ROT COSSENO
BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR
===========================================================================
1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000
2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000
3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000
4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000
===========================================================================
PROPRIEDADES DAS BARRAS
PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP
===========================================================================
1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00
===========================================================================
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM
===========================================================================
1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) )
---------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------
GERACAO DE CARGAS EM BARRAS
BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT
---------------------------------------------------------------------------
1 1 -.2415 1.000 .000 CBRG
2 1 -.2415 1.000 .000 CBRG
3 1 -.2415 1.000 .000 CBRG
4 1 -.2415 1.000 .000 CBRG

---------------------------------------------------------------------------
ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO
---------------------------------------------------------------------------
NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0
NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 5
NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 4
NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0
SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000
SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -347.277
------------------------------------------------
I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I
I I
I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I
------------------------------------------------
===========================================================================
CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) )
===========================================================================
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DESLOCAMENTOS NODAIS
NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO
===========================================================================
1 .0000000 .0000000 .0022300
2 .0000000 -.4313680 -.0005575
3 .0000000 .0000000 .0000000
4 .0000000 -.4313680 .0005575
5 .0000000 .0000000 -.0022300
===========================================================================
ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR
===========================================================================
1 1 .000 67.983 -1374.769
2 .000 -18.837 7459.188
2 2 .000 -18.837 7459.188
3 .000 -105.656 -14918.380
3 3 .000 105.656 -14918.380
4 .000 18.837 7459.187
4 4 .000 18.837 7459.188
5 .000 -67.983 -1374.771

===========================================================================
RESULTANTES NODAIS
NO RESULT X RESULT Y MOMENTO
===========================================================================
1 .000 67.983 -1374.769
2 .000 .000 .000
3 .000 211.312 .000
4 .000 .000 .000
5 .000 67.983 1374.771
SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 347.277
SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -347.277
ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000088 %
===========================================================================
ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS
BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR
===========================================================================
1 0/10 .000 67.983 -1374.769
1 1/10 .000 59.301 913.145
1 2/10 .000 50.619 2888.944
1 3/10 .000 41.937 4552.628
1 4/10 .000 33.255 5904.196
1 5/10 .000 24.573 6943.649
1 6/10 .000 15.891 7670.988
1 7/10 .000 7.209 8086.211
1 8/10 .000 -1.473 8189.318
1 9/10 .000 -10.155 7980.312
1 10/10 .000 -18.837 7459.188
2 0/10 .000 -18.837 7459.188
2 1/10 .000 -27.519 6625.951
2 2/10 .000 -36.201 5480.597
2 3/10 .000 -44.882 4023.129
2 4/10 .000 -53.564 2253.545
2 5/10 .000 -62.246 171.847
2 6/10 .000 -70.928 -2221.968
2 7/10 .000 -79.610 -4927.897
2 8/10 .000 -88.292 -7945.942
2 9/10 .000 -96.974 -11276.100
2 10/10 .000 -105.656 -14918.380
3 0/10 .000 105.656 -14918.380
3 1/10 .000 96.974 -11276.100
3 2/10 .000 88.292 -7945.941
3 3/10 .000 79.610 -4927.896
3 4/10 .000 70.928 -2221.968
3 5/10 .000 62.246 171.846
3 6/10 .000 53.564 2253.545
3 7/10 .000 44.882 4023.129
3 8/10 .000 36.201 5480.598
3 9/10 .000 27.519 6625.952
3 10/10 .000 18.837 7459.189
4 0/10 .000 18.837 7459.188
4 1/10 .000 10.155 7980.310
4 2/10 .000 1.473 8189.317
4 3/10 .000 -7.209 8086.209
4 4/10 .000 -15.891 7670.986
4 5/10 .000 -24.573 6943.648
4 6/10 .000 -33.255 5904.194
4 7/10 .000 -41.937 4552.625
4 8/10 .000 -50.619 2888.941
4 9/10 .000 -59.301 913.143
4 10/10 .000 -67.983 -1374.772

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