Na publicação de hoje veremos a resolução de um problema bem interessante publicado na lista PUC-RIO.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - PROBLEMA INTERESSANTE DE PA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Na publicação de hoje veremos a resolução de um problema bem interessante
publicado na lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para que
qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois
termos, da mesma progressão.

4. SOLUÇÃO
Condição necessária e suficiente: 0 pertence à PA.
Se 0 pertence à PA, então, de duas uma:
a PA é constante (razão = 0)
ou
a razão será igual ao menor termo positivo.
Em todo caso, os termos da PA serão da forma n*r (r = razão) e, portanto, todo
termo será soma de dois termos (por exemplo, n*r = (n-1)*r + 1*r).

5. Por outro lado, se cada termo é igual a soma de dois outros termos, então,
pondo:
a = menor termo não-negativo da PA, temos que, dado um inteiro n, vão existir
inteiros x e y tais que:
a + n*r = (a + x*r) + (a + y*r) ==>
a = (n - x - y)*r ==>
r | a ==>
r <= a.
Se r < a, então a - r pertence à PA e é positivo ==>
contradição, pois a é o menor termo não-negativo da PA ==>
r = a ==>
0 = a - r pertence à PA.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200407/msg00026.html