O documento discute o Teorema de Church-Rosser, que estabelece que se duas expressões-λ podem ser reduzidas a termos iguais, então existe um termo comum a que ambas podem ser reduzidas. Isso significa que a ordem das substituições em um polinômio não afeta o resultado final. O teorema garante a consistência do cálculo-λ ao assegurar que diferentes caminhos de redução levam ao mesmo resultado.

1. Combinadores
Teorema de Church-Rosser
Motivação
 Tendo-se umpolinômiocomduasvariáveisx e ypara calculá-lo,é indiferenteaordem
com a qual substituem-sex e ypor seusvaloresouo resultadofinal nãoé afetado
 A ordemdas substituiçõesnãoafetaoresultadofinal,casoasubstituiçãosejadefinida
 Corretamente
 Para quaisquerexpressões-λ,P,Qe R, e variáveisx e y,tem-se que
(λx.( λy.P)R)Q → [Q/x] (λy.P)R ≈ ([Q / x] λy.P)[Q / x]R
≈ (λz.[Q / x]{z / y}P)[Q / x]R → [[Q / x]R / z][Q / x]{z / y}P
 Ao mesmo tempo, tem-se
(λx.( λy.P)R)Q → (λx.[R / y]P)Q → [Q / x][R / y]P
 De acordo com o teorema de Church-Rosser, ambos os resultados devem ser iguais
-> Versão I
 Teorema – Se E → M e E → N, então existe algum Z tal que M → Z e N → Z
 Corolário – Se E → M e E → N, estando M e N em forma normal, então M N
-> Versão II
 Teorema – Se M = N, então existe algum Z tal que M → Z e N → Z
-> Versão III
 Corolário A – Se N está em forma normal e M = N, então M → N
Duas expressões-λ iguais em forma normal são α-congruentes
 Para duas expressões-λ quaisquer, M e N, é sempre decidível se M ≈ N ou
não
-> Versão IV
 Corolário B – Se M = N, então ambas M e N têm a mesma forma normal (sob α -
congruência) ou senão ambas não têm formal normal
 A questão da igualdade de expressões-
decidir se elas têm ou não formas normais
 Infelizmente, não é decidível em geral

2. Definição 1
1. Uma função numérica é uma aplicação f : N → N para algum p > 0.
2. Uma função f com p argumentos é λ - definível se existe um λ - termo
fechado F tal que
3. ... =
p
N