Um problema interessante publicado na lista PUC-RIO que vale a pena relembrar a sua resolução.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - PRINCÍPIO DAS CASAS DOS POMBOS!
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Um problema interessante publicado na lista PUC-RIO que vale a pena
relembrar a sua resolução.

3. PROBLEMA
Há 20 alunos na escola. Quaisquer dois deles têm um avô em comum.
Prove que há 14 deles tais que todos têm um avô em comum.

4. SOLUÇÃO
Tome o aluno A, cujos avós são X e Y.
Cada um dos 19 alunos restantes é neto de X ou de Y.
Logo, pelo menos 10 desses alunos devem ser netos de um deles, digamos X.
Isso dá 11 netos a X.
Se X tiver 14 ou mais netos, então acabou.
Suponhamos, portanto, que X tenha no máximo 13 netos (incluindo A).
Vamos chamá-los de A, B1, B2, ..., Br, onde 10 <= r <= 12.
Isso quer dizer que existem pelo menos 7 alunos que não são netos de X.
Logo, estes serão netos de Y.

5. Vamos chamá-los de C1, C2, ..., Cs, onde s >= 7.
Consideremos B1 e C1. B1 é neto de X e C1 é neto de Y.
Logo, ambos devem ter o outro avô em comum.
Vamos chamar este avô de Z.
Cada Bi (i >= 2) é neto de X e deve ter um avô em comum com C1.
Esse avô só pode ser Z, pois o outro avô de C1 e Y e Y <> X.
Logo, cada Bi (i >= 1) é neto de Z.

6. Analogamente, cada Cj (j>=1) também é neto de Z.
Isso dá a Z pelo menos r + s >= 10 + 7 = 17 > 14 netos.
E acabou...
A próxima pergunta talvez seja:
Qual o número máximo de avós que podem existir nestas condições?
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200405/msg00010.html