O documento discute uma dúvida sobre a expansão de Taylor de um polinômio p(x) em termos de suas derivadas em um ponto a. A dúvida é respondida, explicando que a expansão decorre da unicidade do polinômio de Taylor para funções n+1 vezes deriváveis, como é o caso de p(x).

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - DÚVIDA
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje publicarei mais uma dúvida resolvida que foi compartilhada na lista
PUC-RIO

3. DÚVIDA
Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o exercício abaixo:
Seja p: R--> R um polinômio de grau n. Mostre que para a, x em R, pode-se
escrever:
p(x) = p(a) + p´(a)(x-a) + [p´´(a)(x-a)^2]/2 +...+[p^(n)(a)(x-a)^n]/n!
Notação: p^(i)(a) = i-ésima derivada de p em a.
PS: Fiquei até um pouco receoso em colocar essa dúvida aqui na lista, pois
parece ser tão imediata usando o Polinômio de Taylor com Resto de Lagrange,
mas infelizmente não consegui resolvê-la.

4. SOLUÇÃO
Acho que isso decorre da unicidade do polinômio de Taylor de uma funcao n+1
vezes derivável, que é o caso de p(x).
Nesse caso, o resto de Lagrange eh p^(n+1)(a + t(x - a))*(x-a)^(n+1)/(n+1)! = 0,
pois a (n+1)-ésima derivada de p(x) é a função identicamente nula.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200406/msg00021.html