O documento discute uma questão sobre o limite de uma função f(x,y) quando (x,y) tende para (0,0). A função f(x,y) está entre 1 - x^2y/3 e 1. O autor conclui inicialmente que o limite não existe, mas o livro diz que o limite é 1. A solução explica que ao tomar limites, as desigualdades deixam de ser estritas e o limite pode ser 1.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - LIMITE DE DUAS VARIÁVEIS
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Seguindo nossas resoluções compartilhadas na lista PUC-RIO, acompanhe
esse pequeno problema matemático.

3. DÚVIDA
Esse é um problema do meu livro que me deixou intrigado.
Temos a função f(x,y) = arctan(xy)/(xy).
Se 1 - x^2*y/3 < f(x,y) < 1, o que podemos dizer de limite de f(x,y) quando (x,y)
-> (0,0)?
Minha tentativa foi passar os limites nos três membros da inequação:
lim_(x,y)->(0,0) 1 - x^2*y/3 = 1 e lim_(x,y)->(0,0) 1 = 1
Logo 1 < lim f(x,y) < 1. Na minha interpretação, tal limite não existe, pois não
existe um real L que seja estritamente menor e estritamente maior que 1, ao
mesmo tempo. O problema é que o livro diz que o tal limite é realmente 1.
Como proceder?

4. SOLUÇÃO
Apenas um detalhe: se f, g e h são funções de X em R, com X contido em R^n,
e se f(x) < g(x) < h(x) para todo x em X, então o máximo que dá pra concluir é
que:
lim(x->a) f(x) <= lim(x->a) g(x) <= lim(x->a) h(x), ou seja:
quando tomamos limites as desigualdades deixam de ser estritas.
Assim, no caso do seu problema, a conclusão é que o limite é de fato 1.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200404/msg00001.html