A pergunta era sobre quanto vale a soma de todos os divisores de 720. A resposta explica que 720 pode ser decomposto em 2^4 * 3^2 * 5, e que cada divisor será da forma 2^x * 3^y * 5^z, onde x pode ser 0-4, y pode ser 0-2, e z pode ser 0-1. Isso dá um total de 30 divisores. A soma deles é igual a 2418.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE: QUESTÕES
PUC-RIO - AMIGOS DO PONCE
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Na publicação de hoje, compartilharei uma dúvida sobre divisores publicada
na lista PUC-RIO..

3. DÚVIDA
Estou com problema e nao sei resolver fazendo alguma relação...quanto vale a
soma de todos os divisores de 720?

4. SOLUÇÃO
Decomponha 720 em fatores primos: 2^4 * 3^2 * 5.
Em seguida, observe que cada divisor será da forma 2^x * 3^y * 5^z, onde x
pertence a {0,1,2,3,4}, y a {0,1,2} e z a {0,1}.
Isso dá um total de 5*3*2 = 30 divisores, pelo princípio multiplicativo.
Agora, é só somar estes 30 divisores após agrupá-los de uma forma
inteligente.
Em outras palavras, fixe por exemplo, o fator primo 2 e some todos os
divisores que têm 2^0 = 1 em sua decomposição.

5. Esta soma será 1 + 3 + 3^2 + 5 + 3*5 + 3^2*5 = (1 + 3 + 3^2)*(1 + 5).
Em seguida, faça o mesmo para 2^1, 2^2, 2^3 e 2^4.
Você vai achar que a soma é:
(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4)*(1 + 3 + 3^2)*(1 + 5) = 31*13*6 = 2418.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200409/msg00365.html