1) O documento apresenta um resumo de um curso sobre espaços métricos, incluindo definições básicas, exemplos e propriedades de espaços métricos, funções contínuas em espaços métricos e limites.
2) São definidos os conceitos de métrica, espaço métrico, bolas abertas e fechadas, subconjuntos limitados, distância entre pontos e subconjuntos, imersões isométricas e isometrias.
3) São apresentados exemplos de espaços métricos como Rn com várias
5. Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
Este trabalho poder´a servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espa¸cos
m´etricos.
Ser˜ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conte´udo acima, bem como propriedades
e aplica¸c˜oes dos mesmos.
As referˆencias ao final das notas poder˜ao servir como material importante para o conte´udo
aqui desenvolvido.
5
7. Cap´ıtulo 2
Espa¸cos M´etricos
5.08.2008 - 1.a
7.08.2008 - 2.a
2.1 Defini¸c˜oes b´asicas e exemplos de espa¸cos m´etricos
Come¸caremos com a:
Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ao vazio.
Diremos que uma aplica¸c˜ao
d : M × M → R
´e uma m´etrica (ou distˆancia) em M se as seguintes condi¸c˜oes est˜ao satisfeitas:
(d1) d(x, x) = 0;
(d2) se x, y ∈ M e x = y ent˜ao d(x, y) > 0;
(d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M;
(d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M.
Observa¸c˜ao 2.1.1
1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somente
se, x = y.
2. (d3) nos diz que d(x, y) ´e um fun¸c˜ao sim´etrica nas vari´aveis x e y.
3. (d4) ´e conhecida como desigualdade triangular.
Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de um
triˆangulo ´e sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triˆangulo.
7
8. 8 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
x
y
z
d(x, z) < d(x, y) + d(y, z)
Com isto temos a:
Defini¸c˜ao 2.1.2 Se d ´e uma m´etrica em M ent˜ao o par (M, d) ser´a denominado espa¸co
m´etrico.
Observa¸c˜ao 2.1.2 Quando n˜ao houver possibilidade de confus˜ao nos referiremos ao espa¸co
m´etrico M (ao inv´es de (M, d)) deixando subentendido a m´etrica d a ser considerada.
Nota¸c˜ao 2.1.1 Se (M, d) ´e um espa¸co m´etrico, os elementos de M ser˜ao ditos pontos de M.
A seguir daremos alguns exemplos de espa¸cos m´etricos.
Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto n˜ao vazio.
Consideremos a aplica¸c˜ao d : M × M → R dada por
d(x, y) =
0, se x = y
1, se x = y
.
Afirmamos que d ´e uma m´etrica em M.
De fato, as condi¸c˜oes (d1), (d2) e (d3) s˜ao verificadas facilmente e ser˜ao deixadas como
exerc´ıcio para o leitor.
Mostremos que (d4) ocorre.
Se x = z ent˜ao temos que
d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z)
independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0).
Se x = z ent˜ao temos que
d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z) (∗)
independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x = z segue que
d(y, z) = 1 assim (*) ocorrer´a; de modo semelhante se y = z).
Portanto vale (d4), ou seja, d ´e uma m´etrica em M.
9. 2.1. DEFINIC¸ ˜OES B ´ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 9
Observa¸c˜ao 2.1.3 A m´etrica acima ´e denominada m´etrica zero-um.
Exemplo 2.1.2 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e S ⊆ M n˜ao vazio.
Ent˜ao tomando-se a restri¸c˜ao de d sobre S, isto ´e, d|S : S × S → R dada por d|S(x, y)
.
=
d(x, y) para x, y ∈ S ent˜ao segue que d|S ´e uma m´etrica em S.
A veririfica¸c˜ao que (d1)-(d4) valem para d|S ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Observa¸c˜ao 2.1.4 No caso acima S ser´a dito subespa¸co (m´etrico) de M e a m´etrica d|S
ser´a dita m´etrica induzida pela m´etrica d de M.
Exemplo 2.1.3 Seja M = R e
d : R × R → R
dada por
d(x, y)
.
= |x − y|
para x, y ∈ R.
Ent˜ao d ´e uma m´etrica em R pois (d1)-(d4) s˜ao conseq¨uˆencias das propriedades elementares
da fun¸c˜ao valor absoluto (a verifica¸c˜ao disto ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Observa¸c˜ao 2.1.5 No caso acima diremos que a m´etrica d ´e a m´etrica usual de R.
Podemos generalizar o exemplo acima, a saber:
Exemplo 2.1.4 Seja M = Rn.
Podemos considerar as seguintes aplica¸c˜oes
d, d , d : Rn
× Rn
→ R, j = 1, 2, 3 :
1. d(x, y)
.
= (x1 − y1)2 + · · · (xn − yn)2 =
n
i=1
(xi − yi)2
1
2
.
2. d (x, y)
.
= |x1 − y1| + · · · |xn − yn| =
n
i=1
|xi − yi|.
3. d (x, y)
.
= max{|x1 − y1|, · · · , |xn − yn|} = max
1≤i≤n
|xi − yi|.
As aplica¸c˜oes d, d , d s˜ao m´etricas em Rn.
De fato, elas cumprem as condi¸c˜oes (d1),(d2) e (d3) (isto ser´a deixado como exerc´ıcio para
o leitor).
A condi¸c˜ao (d4) ´e facilmente verificada para d e d (isto ser´a deixado como exerc´ıcio para
o leitor).
A condi¸c˜ao (d4) para d ser´a verificada num exemplo a seguir.
Observa¸c˜ao 2.1.6
1. A m´etrica d acima definida ser´a denominada m´etrica euclideana.
Ela prov´em da f´ormula da distˆancia entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que ´e
uma conseq¨uˆencia do Teorema de Pit´agoras (a verifica¸c˜ao disto ser´a deixado como exerc´ıcio
para o leitor).
Devido a este fato a m´etrica d ser´a dita m´etrica usual de Rn.
10. 10 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
2. Se n = 2 a m´etrica d ´e a que d´a a distˆancia entre os pontos p e q do plano (ou seja, o
comprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo).
p
q
d(p, q)
A m´etrica d nos d´a a distˆancia entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de um
triˆangulo retˆangulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo).
p
q
r
' E
T
c
‰
w
d (p, q)
A m´etrica d nos d´a a distˆancia entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimento
do maior cateto de um triˆangulo retˆangulo determinado pelos pontos p e q (vide figura
abaixo).
p
q
r
' E
‰
d (p, q)
Geometricamente, temos a seguinte configura¸c˜ao para as trˆes distˆancias acima:
11. 2.1. DEFINIC¸ ˜OES B ´ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 11
p
q
d(p, q)
d (p, q)
E'
E'
T
c
W
w
d (p, q)
3. Se n = 2 temos o plano R2 cujos elementos ser˜ao representados por (x, y) ou (u, v), onde
x, y, u, v ∈ R.
4. Em algumas situa¸c˜oes identificamos R2 com C, o conjunto dos n´umeros complexos por
meio da correspondˆencia (x, y) → x + iy, onde i2 .
= −1.
5. Se n = 3 temos o espa¸co R2 cujos elementos ser˜ao representados por (x, y, z) ou (u, v, w),
onde x, y, z, u, v, w ∈ R.
Com isto temos a
Proposi¸c˜ao 2.1.1 Consideremos d, d , d as m´etricas definidas no exemplo (2.1.4).
Ent˜ao, para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y).
Demonstra¸c˜ao:
Observemos que para todo a, b ≥ 0 temos que:
√
a + b ≤
√
a +
√
b (∗).
De fato, pois
[
√
a +
√
b]2
= [
√
a]2
+ 2
√
a
√
b + [
√
b]2
= a + 2
√
a
√
b + b ≥ a + b.
Portanto
√
a + b ≤
√
a +
√
b como afirmamos.
Observemos que para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) = max
1≤i≤n
|xi − yi|
[|a|=
√
a2]
= max
1≤i≤n
(xi − yi)2 ≤
n
j=1
(xj − yj)2
1
2
= d(x, y),
d(x, y) =
n
j=1
(xj − yj)2
1
2
(∗)
≤
n
j=1
(xj − yj)2
[
√
a2=|a|]
=
n
j=1
|xj − yj| = d (x, y) e
d (x, y) =
n
j=1
|xj − yj| ≤
n
j=1
max
1≤j≤n
{|xj − yj|} = max
1≤j≤n
{|xj − yj|}
n
j=1
1
= max
1≤j≤n
{|xj − yj|}.n = n.d (x, y)
12. 12 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
completando a demonstra¸c˜ao.
Para o pr´oximo exemplo introduziremos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 2.1.3 Seja X um conjunto n˜ao vazio.
Diremos que uma fun¸c˜ao f : X → R ´e limitada se existir k = kf > 0 tal que
|f(x)| ≤ k, para todo x ∈ X.
Denotaremos por B(X; R) o conjunto formado por todas as fun¸c˜oes, f : X → R que s˜ao
limitadas, isto ´e,
B(X; R)
.
= {f : X → R : f ´e limitada}.
Com isto temos o:
Exemplo 2.1.5 Na situa¸c˜ao acima temos que B(X; R) tornar-se-´a um espa¸co vetorial sobre R
com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de fun¸c˜oes e multiplica¸c˜ao de n´umero real por fun¸c˜ao (isto
ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Definimos
d : B(X; R) × B(X; R) → R
por
d(f, g)
.
= sup
x∈X
|f(x) − g(x)|,
onde f, g ∈ B(X; R).
Afirmamos que d ´e uma m´etrica em B(X; R).
De fato:
1. Se f ∈ B(X; R) ent˜ao
d(f, f) = sup
x∈X
|f(x) − f(x)| = 0,
mostrando que vale (d1);
2. Se f, g ∈ B(X; R) e f = g ent˜ao existe x0 ∈ X tal que f(x0) = g(x0).
Assim
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| ≥ |f(x0) − g(x0)| > 0,
mostrando que vale (d2);
3. Se f, g ∈ B(X; R) ent˜ao
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| = sup
x∈X
| − [g(x) − f(x)]| = sup
x∈X
|g(x) − f(x)| = d(g, f),
mostrando que vale (d3);
4. Se f, g, h ∈ B(X; R) ent˜ao para cada x ∈ X temos que
|f(x) − g(x)| = |[f(x) − h(x)] + [h(x) − g(x)]|
[|a+b|≤|a|+|b|]
≤ |f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|.
Logo
13. 2.1. DEFINIC¸ ˜OES B ´ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 13
d(f, g) = sup
x∈X
{|f(x) − g(x)|} ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}. (∗)
Sabemos que se A e B s˜ao limitados superiormente em R ent˜ao A + B ´e limitado superi-
ormente em R e
sup[A + B] ≤ sup A + sup B.
Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos
d(f, g) ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)|} + sup
x∈X
{|h(x) − g(x)|}
= d(f, h) + d(h, g),
mostrande que (d4) ´e verdadeira.
Deste completamos a prova que d ´e uma m´etrica em B(X; R).
Observa¸c˜ao 2.1.7
1. A m´etrica definida no exemplo acima ´e denominada m´etrica da convergˆencia uniforme
ou m´etrica do sup.
2. Para ilustrar, se X
.
= [0, 1], f, g : [0, 1] → R s˜ao dadas por f(x) = x e g(x) = x2, x ∈ [0, 1]
ent˜ao, geometricamente, d(f, g) ser´a o comprimento da maior corda vertical unindo os
pontos dos gr´aficos das fun¸c˜oes f e g (vide figura abaixo).
T
E
1
1
f
g
c
d(f, g) = |f( 1
2
) − g( 1
2
)| = 1
2
− 1
2
2
= 1
4
x
y
TC
1
2
3. Vale observar que se X = {1, 2, · · · , n} ent˜ao toda fun¸c˜ao f : X → R ser´a limitada (pois
|f(x)| ≤ kf
.
= max
1≤i≤n
|f(i)|, x ∈ X), ou seja, f ∈ B(X; R).
Logo podenos identificar f com a n-upla (x1, x2, · · · , xn) onde xi
.
= f(i), 1 ≤ i ≤ n.
Portanto B(X; R) pode ser identificado com Rn.
Neste caso a m´etrica d em B(X; R) definida no exemplo acima, induzir´a a m´etrica d em
Rn, pois
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| = max
1≤i≤n
|f(i) − g(i)| = max
1≤i≤n
|xi − yi| = d (x, y),
onde xi = f(i), yi = g(i), i = 1, · · · , n.
Conclus˜ao, temos a seguinte identifica¸c˜ao: (B(X; R), d) = (Rn, d ).
14. 14 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
12.08.2008 - 3.a
Para o pr´oximo exemplo precisaremos da:
Defini¸c˜ao 2.1.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que uma fun¸c˜ao . :→ R ´e uma norma em E se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao
verificadas:
(n1) Se x ∈ E ´e tal que x = 0 ent˜ao x = 0;
(n2) Se λ ∈ R e x ∈ E ent˜ao λ x = |λ| x ;
(n3) Se x, y ∈ E ent˜ao x + y ≤ x + y .
Observa¸c˜ao 2.1.8 Suponhamos que . seja uma norma em E, espa¸co vetorial sobre R.
1. Observemos para todo x ∈ E temos que
0 = 0.x
(n2)
= |0| x = 0 e − x = (−1).x
(n2)
= | − 1| x = x (∗).
2. Se x ∈ E temos
0 = x + (−x)
(n3)
≤ x + − x
(∗)
= x + x = 2 x .
Logo x ≥ 0, para todo x ∈ E.
3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se x ∈ E, x = 0 ent˜ao x > 0.
Com isto temos a
Defini¸c˜ao 2.1.5 Um espa¸co vetorial normal ´e um par (E, . ) onde E ´e um espa¸co vetorial
sobre R e . ´e uma norma definida em E.
A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados.
Exemplo 2.1.6 Consideremos em Rn as seguintes fun¸c˜oes . , . , . : Rn → R dadas por
x
.
=
n
i=1
x2
i , x
.
=
n
i=1
|xi|, x
.
= max
1≤i≤n
|xi|,
onde x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que as fun¸c˜oes . , . acima s˜ao normas
em Rn.
Al´em disso ser´a deixado para o leitor a verifica¸c˜ao que . satisfaz as condi¸c˜oes (n1), (n2).
Logo adiante mostraremos que . tamb´em satisfaz a condi¸c˜ao (n3) e portanto tamb´em ser´a
uma norma em Rn.
Outro exemplo importante ´e
15. 2.1. DEFINIC¸ ˜OES B ´ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 15
Exemplo 2.1.7 No exemplo (2.1.5) acima podemos considerar a fun¸c˜ao
. : B(X; R) → R
dada por
f
.
= sup
x∈X
|f(x)|, f ∈ B(X; R).
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que . ´e uma norma em B(X; R), ou seja,
(B(X; R), . ) ´e um espa¸co vetorial normado.
Tal norma ser´a denomiada de norma da convergˆencia uniforme (ou do sup) em
B(X; R).
Podemos agora obter uma cole¸c˜ao de exemplos de espa¸cos m´etricos, a saber:
Exemplo 2.1.8 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
Consideremos a fun¸c˜oes d : E × E → R dada por
d(x, y)
.
= x − y , x, y, ∈ E.
Afirmamos que d ´e um m´etrica em E.
De fato:
1.
d(x, x) = x − x = 0
[Observa¸c˜ao (2.1.8) item 1.]
= 0,
ou seja, vale (d1);
2. Se x = y temos que x − y = 0, logo
d(x, y) = x − y
[observa¸c˜ao (2.1.8) item 3.]
> 0,
ou seja, vale (d2);
3. Se x, y ∈ E temos que
d(x, y) = x − y
[observa¸c˜ao (2.1.8) item 1.]
= − (x − y) = y − x = d(y, x),
ou seja, vale (d3);
4. Se x, y, z ∈ E temos que
d(x, z) = x − z = (x − y) + (y − z)|
(n4)
≤ x − y + y − z = d(x, y) + d(y, z),
ou seja, vale (d4).
Portanto d ´e um m´etrica em E e assim (E, d) ´e um espa¸co m´etrico.
Observa¸c˜ao 2.1.9
16. 16 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
1. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial normado ´e um espa¸co m´etrico (onde
a m´etrica ser´a a m´etrica do exemplo acima).
Neste caso diremos que a m´etrica d prov´em da norma . .
Por exemplo, as m´etricas d, d , d de Rn prov´em das normas . , . , . , respectiva-
mente (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸c˜ao destes fatos).
De modo semelhante temos que a m´etrica
d(f, g) = f − g
definida em B(X; R) (onde a norma . ´e a do exemplo (2.1.7)) ´e proveniente da norma
da convergˆencia uniforme.
2. Pergunta-se:
Seja E ´e um espa¸co vetorial sobre R e d ´e um m´etrica em E.
Existir´a uma norma em E de modo que a m´etrica dada d prov´em dessa norma? ou seja,
uma m´etrica qualquer definida E prov´em de alguma norma definida em E?
Infelizmente isto ´e falso, ou seja, existem espa¸cos vetoriais que possuem m´etricas que n˜ao
prov´em de normas definidas no espa¸co vetorial em quest˜ao.
O exerc´ıcio 3 da 1.a lista de exerc´ıcios nos d´a uma condi¸c˜ao necessaria e suficiente para
que um m´etrica em um espa¸co vetorial seja proveniente de uma norma do espa¸co vetorial
em quest˜ao.
Mais precisamente temos que:
Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Uma m´etrica, d, em E prov´em de uma norma em E se, e somente se,
d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = |λ|d(x, y),
para todo x, y, a ∈ E e λ ∈ R.
No exerc´ıcio 4 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor ´e convidado a produzir um exemplo de
espa¸co vetorial que possua uma m´etrica que n˜ao prov´em de nenhuma norma definida no
espa¸co vetorial em quest˜ao.
3. Observemos tamb´em que se (E, . ) ´e um espa¸co vetorial normado ent˜ao para todo x ∈ E
temos
d(x, 0) = x − 0 = x ,
isto ´e, a norma do vetor x ∈ E ´e a distˆancia do ponto x ∈ E `a origem 0 ∈ E.
Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da
Defini¸c˜ao 2.1.6 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que a fun¸c˜ao
< ., . >: E × E → R
´e um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condi¸c˜oes:
(p1) Para x, x , y ∈ E temos
< x + x , y >=< x, y > + < x , y >;
17. 2.1. DEFINIC¸ ˜OES B ´ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 17
(p2) Para x, y ∈ E e λ ∈ R temos
< λx, y >= λ < x, y >;
(p3) Para x, y ∈ E temos
< x, y >=< y, x >;
(p4) Para x ∈ E, x = 0 temos
< x, x >> 0.
Neste caso diremos que (E, < ., . >) ´e um espa¸co com produto interno (ou escalar).
Observa¸c˜ao 2.1.10
1. Se (E, < ., . >) ´e um espa¸co com produto interno ent˜ao para x, y, y ∈ E e λ ∈ R temos
que
< x, y + y >
(p3)
= < y + y , x >
(p1)
= < y, x > + < y , x >
(p3)
= < x, y > + < x, y >
e
< x, λy >
(p3)
= < λy, x >
(p2)
= λ < y, x >
(p3)
= λ < x, y >, (∗)
ou seja, < ., . > ´e linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear).
2. De (p4) temos que se x ∈ E e < x, x >= 0 ent˜ao x = 0.
Logo temos que
< x, x >≥ 0
para todo x ∈ E e < x, x >= 0 se, e somente se, x = 0.
No curso de ´Algebra Linear dir´ıamos que a fun¸c˜ao < ., . > ´e bilinear, sim´etrica e positiva
definida.
A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos com produto interno:
Exemplo 2.1.9 Seja E = Rn e definamos
< ., . >: Rn
× Rn
→ R
por
< x, y >
.
= x1y1 + · · · + xnyn =
n
i=1
xi yi,
onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn.
Ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que a fun¸c˜ao < ., . > definida acima
satisfaz as condi¸c˜oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < ., . > ´e um porduto interno em Rn.
Outro exemplo importante ´e:
18. 18 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Exemplo 2.1.10 Seja C([a, b]; R) = {f : [a, b] → R; f cont´ınua em [a, b]}.
Pode-se mostrar que C([a, b]; R) munido das opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de fun¸c˜oes e multi-
plica¸c˜ao de n´umero real por fun¸c˜ao ´e um espa¸co vetorial.
Para isto basta mostrar que C([a, b]; R) ´e um subsepa¸co vetorial de B([a, b]; R) (a verifica¸c˜ao
deste fato ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor; lembremos que se f ´e cont´ınua em [a, b]
ent˜ao f ser´a limitada).
Considere a seguinte fun¸c˜ao
< ., . >: C([a, b]; R) × C([a, b]; R) → R
dada por:
< f, g >
.
=
b
a
f(x)g(x) dx,
se f, g ∈ C([a, b]; R).
Ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que < ., . > definida acima satisfaz as
condi¸c˜oes (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, ´e um produto interno em C([a, b]; R) .
Com isto temos uma cole¸c˜ao de espa¸cos vetoriais normados (e portanto, de espa¸cos m´etricos),
a saber:
Exemplo 2.1.11 Seja (E, < ., . >) um espa¸co vetorial com produto interno.
Considere a fun¸c˜ao
. : E → R
dada por
x
.
= < x, x >, (∗)
para x ∈ E.
Afirmamos que . ´e uma norma em E.
De fato:
1. Se x ∈ E e x = 0 ent˜ao
x = < x, x >
(p4), <x,x>0
= 0,
isto ´e, vale (n1);
2. Se x ∈ E e λ ∈ R ent˜ao
λx = < λx, λx >
[ (p1) e a observa¸c˜ao (2.1.10) (*)]
= λ2 < x, x > =
√
λ2 < x, x > = |λ| x ,
isto ´e, vale (n2);
3. Nesta situa¸c˜ao temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se (E, < ., . >) espa¸co
vetorial com produto interno ent˜ao para todo x, y ∈ E temos que
| < x, y > | ≤ x y .
De fato:
Se x = 0 valer´a a igualdade, logo ser´a verdadeira.
19. 2.1. DEFINIC¸ ˜OES B ´ASICAS E EXEMPLOS DE ESPAC¸OS M´ETRICOS 19
Se x = 0 podemos definir
λ
.
=
< x, y >
x 2
e z
.
= y − λx.
Observemos que
< z, x > =< y − λx, x >=< y, x > −λ < x, x >=< y, x > −
< x, y >
< x, x >
< x, x >
=< x, y > − < x, y >= 0,
(isto ´e, os vetores em quest˜ao s˜ao ortogonais).
Logo
y 2
=< y, y >=< z + λx, z + λx >=< z, z > +λ < z, x > +λ < x, z > +λ2
< x, x >
[<x,z>=<z,x>=0]
= z 2
+ λ2
x 2
.
Logo
λ2
x 2
≤ y 2
,
ou seja,
< x, y >
x 2
2
x 2
≤ y 2
,
isto ´e,
< x, y >2
≤ x 2
y 2
implicando a desigualdade acima, como quer´ıamos demonstrar.
4. Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
x + y 2
< x + y, x + y >=< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y >
= x 2
+ 2 < x, y > + y 2
≤ x 2
+ 2 x y + y 2
= ( x + y )2
,
inplicando que
x + y ≤ x + y ,
ou seja , vale (n3).
Com isto temos que . ´e uma norma em E.
5. Segue do item acima que a aplica¸c˜ao d do exemplo (2.1.4) satisfaz a condi¸c˜ao (d4), ou
seja, ser´a uma m´etrica em Rn, como hav´ıamos afirmado.
Observa¸c˜ao 2.1.11
1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima ´e uma norma que prov´em do
produto interno de E.
2. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial com produto interno pode tornar-se
um espa¸co vetorial normado (com a norma que prov´em do produto interno dado).
20. 20 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
3. Pergunta-se:
Seja E um espa¸co vetorial normado.
Toda norma de E prov´em de um produto interno?
A resposta ´e negativa, isto ´e, existem espa¸cos vetoriais que possuem normas que n˜ao
prov´em de nenhum produto interno no espa¸co vetorial em quest˜ao.
No exerc´ıcio 5 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor ´e convidado a mostrar que em B(X; R) a
norma da convergˆencia uniforme n˜ao prov´em de um produto interno.
Um outro exemplo pode ser obtido utilizando-se o item abaixo.
4. Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que: [Ex1.1 - +0.5]
Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
A norma . de E prov´em de um produto interno se, e somente se, temos que
x + y 2
+ x − y 2
= 2[ x 2
+ y 2
],
para tod x, y ∈ E, que ´e conhecida como lei do paralelogramo.
5. Logo a norma . em R2 n˜ao prov´em de um produto interno pois tomando-se x = (1, 0)
e y = (0, 1) temos que estes vetores n˜ao satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!).
6. Como conseq¨uˆencia do que vimos acima todo espa¸co vetorial com produto interno ´e um
espa¸co m´etrico (basta tomar a m´etrica que prov´em da norma que ´e proveniente do produto
interno).
Para concluir a se¸c˜ao temos o:
Exemplo 2.1.12 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espa¸cos m´etricos.
Em M × N podemos considerar as seguinte fun¸c˜oes
d, d , d : [M × N] × [M × N] → R
dadas por:
d(z, z )
.
= [dM (x, x )]2 + [dN (y, y )]2;
d (z, z )
.
= dM (x, x ) + dN (y, y );
d (z, z )
.
= max{dM (x, x ), dN (y, y )},
onde z = (x, y), z = (x , y ) ∈ M × N.
Ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d, d , d s˜ao metricas em M × N.
Observa¸c˜ao 2.1.12
1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa¸cos m´etricos.
Mais precisamente, se (M1, d1), (M2, d2), · · · , (Mn, dn) s˜ao n-espa¸cos m´etricos ent˜ao pode-
mos definir as seguintes m´etricas no produto cartesiano M1 × M2 × · · · × Mn:
21. 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS 21
d(x, y)
.
= [d1(x1, y1)]2 + · · · + [dn(xn, yn)]2 =
n
j=1
[dj(xi, yi)]2;
d (x, y)
.
= d1(x1, y1) + · · · + dn(xn, yn) =
n
j=1
dj(xi, yi);
d (x, y)
.
= max{d1(x1, y1), · · · , dn(xn, yn)} = max
1≤j≤n
{dj(xi, yi)},
onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ M1 × M2 × · · · × Mn.
A verifica¸c˜ao ser´a deixcada como exerc´ıcio para o leitor.
2. A m´etrica d definida acima ser´a dita m´etrica produto em M
.
= M1 × M2 × · · · × Mn.
A m´etrica d definida acima ser´a dita m´etrica da soma em M
.
= M1 × M2 × · · · × Mn.
A m´etrica d definida acima ser´a dita m´etrica do m´aximo em M
.
= M1 ×M2 ×· · ·×Mn.
3. De modo an´alogo ao feito na proposi¸c˜ao (2.1.1) pode-se mostrar (ser´a deixado como exer-
c´ıcio para o leitor) que para todo x, y, ∈ M1 × M2 × · · · × Mn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y).
4. Quando M1 = M2 = · · · = Mn = R reobteremos o espa¸co euclideano Rn como produto
cartesiano de n c´opias do esp¸cao m´etrico R.
14.08.2008 - 4.a
2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos m´etricos
Come¸caremos introduzindo a:
Defini¸c˜ao 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico, a ∈ M e r > 0.
Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o
seguinte subconjunto de M:
B(a; r)
.
= {x ∈ M : d(x, a) < r}.
a
Qr
Definimos a bola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo o
seguinte subconjunto de M:
B[a; r]
.
= {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}.
22. 22 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
a
r
u
Definimos a esfera de centro em a e raio r, denotada por S(a; r) como sendo o seguinte
subconjunto de M:
S(a; r)
.
= {x ∈ M : d(x, a) = r}.
a
r
T
Observa¸c˜ao 2.2.1
1. A bola aberta de centro em a e raio r ´e o conjunto dos pontos de M cuja a distˆancia ao
ponto a ´e menor do que r.
A bola fechada de centro em a e raio r ´e o conjunto dos pontos de M cuja a distˆancia ao
ponto a ´e menor ou igual do que r.
A esfera aberta de centro em a e raio r ´e o conjunto dos pontos de M cuja a distˆancia ao
ponto a ´e igual r.
2. ´E f´acil ver que (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor)
B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r),
onde a reuni˜ao ´e disjunta, isto ´e, B(a; r) ∩ S(a; r) = ∅.
3. Se M = E ´e um espa¸co vetorial e a m´etrica d prov´em de uma norma . em E, ent˜ao
segue que
B(a; r)
.
= {x ∈ E : x − a < r},
B[a; r]
.
= {x ∈ E : x − a ≤ r},
S(a; r)
.
= {x ∈ E : x − a = r}.
Temos o seguinte resultado:
24. 24 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 com a m´etrica usual e X = S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 = 1}.
Seja a ∈ S1 e r > 0.
Da proposi¸c˜ao (2.2.1) segue que BS1 (a; r) ser´a um arco (sem os extremos) da circunferˆencia
S1 cujo ponto m´edio (no arco) ser´a o ponto a (vide figura abaixo).
E
T
x
y
ES1
a
T
r
W
BR2 (a : r)c
BS1 (a; r)
De modo semelhante, da proposi¸c˜ao (2.2.2) segue que BS1 [a; r], SS1 (a; r) s˜ao o arco (com os
extremos) da circunferˆencia S1 cujo ponto m´edio ser´a o ponto a e os pontos extremos do mesmo
arco, respectivamente (vide figura abaixo).
E
T
x
y
ES1
a
T
r
W
BR2 [a : r]c
BS1 [a; r]
B
z
SS1 (a; r)
Exemplo 2.2.2 Sejam M = ∅ munido da m´etrica zero-um, a ∈ M e r > 0.
25. 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS 25
Ent˜ao
Se r > 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[d(x,a)≤1<r]
= M,
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[d(x,a)≤1<r]
= M;
Se r < 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[r<1]
= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a},
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[r<1]
= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a};
Se r = 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[r<1]
= {a},
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[r=1]
= M,
Como conseq¨uˆencia temos que
S(a, r) = B[a; r] B(a; r) = ∅, se r = 1, S(a; 1) = B[a; 1] B(a; 1) = M − {a}.
Exemplo 2.2.3 Sejam R com a m´etrica usual, a ∈ R e r > 0.
Ent˜ao:
B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : |x − a| < r} = (a − r, a + r), ou seja, um intervalo aberto,
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : |x − a| ≤ r} = [a − r, a + r], ou seja, um intervalo fechado;
S(a, r) = B[a; r] B(a; r) = {a − r, a + r}, ou seja, os extremos do intervalo.
Geometricamente temos:
E
a
a + ra − r
Bola aberta de centro em a e raio r
E
a + ra − r a
Bola fechada de centro em a e raio r
E
a + r
a
a − r
Esfera de centro em a e raio r
Exemplo 2.2.4 Consideremos em R2 as m´etricas d, d , d definidas no exemplo (2.1.4).
Sejam a = (a1, a2) ∈ R2 e r > 0. Ent˜ao:
B(a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d[(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: (x − a1)2 + (y − a2)2 < r}
= {(x, y) ∈ R2
: (x − a1)2
+ (y − a2)2
< r2
},
isto ´e, a regi˜ao interior de um c´ırculo de centro no ponto a e raio r (veja figura abaixo).
26. 26 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
a = (a1, a2)
Q
r
B (a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d [(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: |x − a1| + |y − a2| < r}
isto ´e, a regi˜ao interior do quadrado de centro em a e cujas diagonais
s˜ao paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo).
Observemos que
|x − a1| + |y − a2| = r se, e somente se,
x − a1 + y − a2 = r
−(x − a1) + y − a2 = r
−(x − a1) − (y − a2) = r
x − a1 − (y − a2) = r
que s˜ao as quatro retas que determinam o losango abaixo.
E
T
a = (a1, a2)
' x − a1 − y + a2 = r
' x − a1 + y − a2 = rE−x + a1 + y − a2 = r
E−x + a1 − y + a2 = r
(a1, a2 − r)
(a1 + r, a2)(a1 − r, a2)
(a1, a2 + r)
B (a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d [(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: max{|x − a1|, |y − a2|} < r}
= {(x, y) ∈ R2
: |x − a1| < r e |y − a2| < r} = (a1 − r, a1 + r) × (a2 − r, a2 + r)
isto ´e, a regi˜ao interior do quadrado [a1 − r, a1 + r] × [a2 − r, a2 + r]) (veja figura abaixo).
27. 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS 27
a = (a1, a2)
E
T
a1 − r a1 + ra1
a2 − r
a2 + r
a2
Observa¸c˜ao 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada)
pode n˜ao corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!).
Exemplo 2.2.5 Seja (B([a, b]; R)), d) onde d ´e a m´etrica do sup (veja exemplo (2.1.5)).
Sejam f ∈ B([a, b]; R)) e r > 0.
Observemos que g ∈ B(f; r) se, e somente se,
r > d(f, g) = sup
x∈[a,b]
|f(x) − g(x)|
que implicar´a
|f(x) − g(x)| < r, para todo x ∈ [a, b],
ou ainda,
f(x) − r < g(x) < f(x) + r, para todo x ∈ [a, b].
Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representa¸c˜ao
gr´afica do gr´afico de f, isto ´e,
G(f)
.
= {(x, f(x)) : x ∈ [a, b]}.
Encontremos a faixa de amplitude 2r em torno do gr´afico de f, isto ´e, o conjunto
F2r(f)
.
= {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(x) − r < y < f(x) + r}.
Geometricamente temos:
28. 28 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
T
E
G(f)
f(x)
x
c
T
T
c
r
r
F2r(f)
Deste modo, se g ∈ B(f; r) ent˜ao o gr´afico de g estar´a contido na faixa de amplitude 2r em
torno do gr´afico de f, isto ´e, G(g) ⊆ F2r(f).
Geometricamente temos
T
E
G(f)
f(x)
x
c
T
T
c
r
r
G(g)
Observa¸c˜ao 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer de G(g) ⊆ F2r(f) e d(f, g) = r.
Para ver isto basta considerar f(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] e g(x) =
x, 0 ≤ x 1
0, x = 1
.
Neste caso
d(f, g) = sup
0≤x≤1
|f(x) − g(x)| = 1,
logo g ∈ B(f; 1) mas G(g) est´a contido em F2(f) (veja figura abaixo).
29. 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS 29
E
T
G(f)
G(g)
F2r(f)
A
Exemplo 2.2.6 Seja M
.
= {z = (x, y) ∈ R2 : z ≤ 1} subespa¸co (m´etrico) de R2 munido da
m´etrica usual.
Logo se r 1 temos que BM (0; r) = BM [0; r] = M e assim SM (0; r) = ∅.
Exemplo 2.2.7 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos m´etricos e M
.
= M1 × · · · Mn munido da
m´etrica do m´aximo (isto ´e, d da observa¸c˜ao (2.1.12) itens 1. e 2.).
Sejam a = (a1, · · · , an) ∈ M e r 0.
Ent˜ao
B(a; r) = {x ∈ M : d (x, a) r} = {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn : max
1≤i≤n
di(xi, ai) r}
= {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn : di(xi, ai) r, para todo i = i, · · · , n}
= {x1 ∈ M1 : d1(x1, a1) r} × · · · × {xn ∈ Mn : dn(xn, an) r}
= BM1 (a1; r) × · · · × BMn (an; r)
De modo semelhante (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) temos
B[a; r] = BM1 [a1; r] × · · · × BMn [an; r]
Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a m´etrica
do m´aximo ´e o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do
produto cartesiano.
Observa¸c˜ao 2.2.4
1. Se no exemplo acima mudarmos a m´etrica do m´aximo pela m´etrica produto ou pela m´etrica
da soma a afirma¸c˜ao ser´a falsa, isto ´e, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano
pode n˜ao ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores
do produto cartesiano.
Como exerc´ıcio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo em R2.
30. 30 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 × R onde R2 e R est˜ao
munidos das correspondentes m´etricas euclieanas e tormarmos em R3 = R2 × R a m´etrica
d[(x, t), (x , t )]
.
= max{dR2 (x, x ), dR(t, t )},
onde (x, t), (x , t ) ∈ R2 × R ent˜ao uma bola aberta, B(a; r) (ou fechadas) em R3 munido
da m´etrica d acima ser˜ao cilindros retos com base circular (contida no plano z = a), com
centro em a e raio r)e altura 2r.
De fato, pois se (A, a) ∈ R2 × R e r 0 ent˜ao, do exemplo (2.2.7), segue que
BR2×R((A, a); r) = BR2 (A; r) × BR(a; r) = {(x, y) : x2
+ y2
r2
} × {t ∈ R : |t − a| r},
ou seja, o produto cartesiano do interior de um c´ırculo por um intervalo aberto que nos
d´a, geometricamente, um cilindro reto com base circular.
T
B(0; r)
T
c
T
c
I
r
r
r
E
a
A verifica¸c˜ao deste fato ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Temos a
Defini¸c˜ao 2.2.2 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico.
Diremos que um ponto a ∈ M ´e um ponto isolado de M se existir uma bola aberta de M
que contenha somente o ponto a, isto ´e, existe r 0 tal que B(a; r) = {a}.
Observa¸c˜ao 2.2.5
1. Um ponto a ∈ M ´e isolado em M se existe r 0 tal que n˜ao existem pontos diferentes do
ponto a a uma distˆancia menor que r do pr´oprio ponto.
2. Um ponto a ∈ M n˜ao ´e ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a cont´em,
pelo menos, um ponto de M diferente do ponto a, isto ´e, para todo r 0 temos
[B(a; r) ∩ M] {a} = ∅.
Consideremos os
31. 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS 31
Exemplo 2.2.8 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico onde d ´e a m´etrica zero-um.
Ent˜ao todo ponto de M ´e ponto isolado de M.
De fato, se a ∈ M e 0 r ≤ 1 ent˜ao vimos no exemplo (2.2.2) que B(a; r) = {a}, mostrando
que a ´e ponto isolado de M.
Exemplo 2.2.9 Seja Z o conjunto formado por todos os n´umeros reais inteiros munido da
m´etrica usual induzida de R.
Afirmamos que todo ponto de Z ´e ponto isolado de Z.
De fato, se n ∈ Z e 0 r ≤ 1 ent˜ao B(n; r) ∩ Z = {n} (pois B(n; r) = {x ∈ Z : |x − n|
r ≤ 1} = {n}), mostrando que n ∈ Z ´e ponto isolado de Z.
Exemplo 2.2.10 Seja P
.
= {0, 1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } munido da m´etrica usual induzida de R.
Observemos que o ponto 0 ∈ P n˜ao ´e um ponto isolado de P.
De fato, dado r 0 existe n0 ∈ N tal que n0
1
r
.
Logo
d(
1
n0
, 0) = |
1
n0
− 0| =
1
n0
r,
isto ´e,
1
n0
∈ [B(0; r) ∩ P] {0},
ou seja, 0 n˜ao ´e ponto isolado de P.
Por outro lado, qualquer outro ponto de P ´e ponto isolado de P.
De fato, se
1
n
∈ P ent˜ao o ponto mais pr´oximo dele em P ´e o ponto
1
n + 1
, cuja distˆancia
a
1
n
´e
1
n(n + 1)
(pois d(
1
n
,
1
n + 1
= |
1
n
−
1
n + 1
| =
(n + 1) − n
n(n + 1)
=
1
n(n + 1)
).
Logo se tomarmos
0 r
1
n(n + 1)
temos que se x ∈ P e
d(x,
1
n
) r
1
n(n + 1)
temos que x =
1
n
, ou seja,
[B(
1
n
; r) ∩ P] {
1
n
} = ∅,
mostrando que
1
n
´e ponto isolado de P.
1
n
1
n−1
1
n+1
E'
1
n(n+1)
E' 1
(n−1)n
Observa¸c˜ao 2.2.6 Se P
.
= {1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } munido da m´etrica usual induzida de R ent˜ao,
segue do exemplo acima, que todo ponto de P ´e um ponto isolado de P.
32. 32 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Exemplo 2.2.11 Seja E um espa¸co vetorial normado com E = {0}.
Afirmamos que nenhum ponto de E ´e ponto isolado de E.
De fato, dado a ∈ E, para todo r 0 mostremos que
[B(a; r) ∩ E] {a} = ∅.
Para mostrar isso, consideremos y ∈ E, y = 0.
Logo o vetor
z
.
=
r
2 y
y
´e diferente do vetor 0 e
z =
r
2 y
y =
r
2 y
y =
r
2
,
logo
0 z r.
Seja x
.
= a + z.
Ent˜ao x = a (pois z = 0) e
x − a = z r,
ou seja,
x ∈ B(a; r) ∩ E e x = a,
mostrando que x ∈ [B(a; r) ∩ E] {a}, isto ´e,
[B(a; r) ∩ E] {a} = ∅.
Portanto todo ponto de E n˜ao ´e ponto isoldado de E.
Geometricamente temos:
~
a
r
By
b
x
.
= a + r
2 y
y
19.08.2008 - 5.a
Temos a
Defini¸c˜ao 2.2.3 Diremos que um espa¸co m´etrico (M, d) ´e discreto se todo ponto de M ´e um
ponto isolado de M.
Exemplo 2.2.12 O exemplo (2.2.9) mostra que Z com a m´etrica usual induzida de R ´e um
espa¸co m´etrico discreto.
33. 2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS 33
Exemplo 2.2.13 A observa¸c˜ao (2.2.6) mostra que P = {1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } com a m´etrica
usual induzida de R ´e um espa¸co m´etrico discreto.
Exemplo 2.2.14 Seja M um conjunto n˜ao vazio e d a m´etrica zero-um em M.
Ent˜ao (M, d) ´e um espa¸co m´etrico discreto, pois se a ∈ M ent˜ao para 0 r ≤ 1 temos, do
Exemplo (2.2.2), que B(a; r) = {a}, ou seja todo ponto de M ´e ponto isolado de M, portanto
M ´e um espa¸co m´etrico discreto.
Defini¸c˜ao 2.2.4 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico.
Diremos que um subconjunto X ⊆ M ´e discreto se X como subsepa¸co (m´etrico) de M for
um espa¸co m´etrico discreto.
Observa¸c˜ao 2.2.7 Na situa¸c˜ao acima, X ´e um espa¸co m´etrico discreto se, e somente se, para
cada x ∈ X existe r 0 tal que B(x; r) ∩ X = {x} (pois, da proposi¸c˜ao (2.2.1) temos que
B(x; r) ∩ X = BX(x; r)).
Exerc´ıcio 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e X um subconjunto finito de M.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que X ´e um subconjunto discreto de M.
Para finalizar a se¸c˜ao temos a:
Proposi¸c˜ao 2.2.3 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico, a, b ∈ M com a = b.
Consideremos r, s 0 tais que
r + s ≤ d(a, b).
Ent˜ao as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) s˜ao disjuntas (veja figura abaixo), isto ´e,
B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅.
a
b
E '
r
s
E'
d(a, b) r + s
Demonstra¸c˜ao:
Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B(a; r) ∩ B(b; s).
Logo
d(a, x) r e d(b, x) s.
Portanto
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) r + s ≤ d(a, b),
ou seja, d(a, b) d(a, b), o que ´e um absurdo.
Logo
B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅
34. 34 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
como quer´ıamos mostrar.
De modo semelhante temos a:
Proposi¸c˜ao 2.2.4 Na situa¸c˜ao da proposi¸c˜ao acima, se
r + s d(a, b)
ent˜ao as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] s˜ao disjuntas , isto ´e,
B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅.
Demonstra¸c˜ao:
Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B[a; r] ∩ B[b; s].
Logo
d(a, x) ≤ r e d(b, x) ≤ s.
Portanto
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ r + s d(a, b),
ou seja, d(a, b) d(a, b), o que ´e um absurdo.
Logo
B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅
como quer´ıamos mostrar.
2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos m´etricos
Iniciaremos com a
Defini¸c˜ao 2.3.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico.
Diremos que um subconjunto X ⊆ M, n˜ao vazio, ´e limitado em M se existir c 0 tal que
d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.
Observa¸c˜ao 2.3.1 Se X ⊆ M ´e limitado em M ent˜ao podemos considerar o conjunto
D
.
= {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X} ⊆ R.
Como X ´e limitado em M segue que D ´e n˜ao vazio e limitado superiormente (ou seja, existe
c ∈ R tal que c ∈ D).
Como todo subconjunto limitado superiormente em R admite supremo, segue que existe
0 ≤ sup D ∞.
Logo podemos introduzir a
Defini¸c˜ao 2.3.2 Na situa¸c˜ao acima, sup D ser´a denominado diˆametro de X e indicado por
diam(X), ou seja,
diam(X) = sup{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para x, y ∈ X}.
35. 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC¸OS M´ETRICOS 35
Observa¸c˜ao 2.3.2
1. Se X ⊆ M n˜ao for limitado em M escreveremos
diam(X)
.
= ∞.
Isto significa que para todo c 0 existem xc, yc ∈ X tal que d(xc, yc) c.
2. Se X ⊆ M for limitado ent˜ao
d(x, y) ≤ diam(X), para todo x, y, ∈ X.
3. ´E f´acil mostrar que (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se X ⊆ M for limitado
em M e Y ⊆ X ent˜ao Y ⊆ M ´e limitado em M e
diam(Y ) ≤ diam(X).
Consideremos alguns exemplos
Exemplo 2.3.1 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico.
Ent˜ao toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) ´e subconjunto limitado de M e seu diˆametro
´e menor ou igual ao dobro do seu raio.
De fato, seja a ∈ M e r 0.
Se x, y ∈ B(a; r) ent˜ao
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r
mostrando que B(a; r) ´e um subconjunto limitado de M.
Al´em disso segue que 2r ´e um limitante superior do conjunto
{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ B(a; r)}.
Portanto
diam[B(a; r)] ≤ 2r,
como afirmamos acima.
Vale o an´alogo para a bola fechada B[a; r] e para a esfera S(a; r) (ser´a deixado como exerc´ıcio
para o leitor).
Observa¸c˜ao 2.3.3 Em geral, n˜ao podemos garantir que o diˆametro da bola aberta (ou fechada,
ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos Z com a m´etrica usual induzida de R, r = 1 e n ∈ Z.
Como vimos no Exemplo (2.2.9) temos que B(n; 1) = {n} cujo diˆametro ´e zero (que ´e menor
que 2).
Quando vale a igualdade?
O exemplo a seguir responde esta quest˜ao:
Exemplo 2.3.2 Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E = {0}.
Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diˆametro igual ao dobro do raio
da mesma, isto ´e,
diam(B(a; r)) = 2r (ou diam(B[a; r]) = 2r, diam(S(a; r)) = 2r).
37. 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC¸OS M´ETRICOS 37
Observa¸c˜ao 2.3.4
1. Dado um espa¸co m´etrico qualquer (mesmo sendo n˜ao limitado) podemos considerar subes-
pa¸cos (m´etricos) do mesmo que sejam limitados.
Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a m´etrica induzida do
espa¸co m´etrico dado neste subconjunto.
2. Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E = {0}.
Ent˜ao E n˜ao ´e limitado.
De fato, consideremos x ∈ E, x = 0 e definamos, para cada n ∈ N,
xn
.
=
2n
x
x.
Observemos que
xn =
2n
x
x = 2n
x
x
= 2n n,
logo
d(xn, 0) = xn − 0 = xn n,
mostrando que E n˜ao ´e limitado.
3. Seja (M, d) um espa¸co m´etrico.
Vale observar que um subconjunto X ⊆ M ´e limitado em M se, e somente se, X est´a
contido em alguma bola aberta de M, isto ´e, existe a ∈ M e r 0 tal que X ⊆ B(a; r).
De fato, se existe a ∈ M e r 0 tal que X ⊆ B(a; r) ent˜ao para todo x, y ∈ X temos que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r,
ou seja, X ´e limitado (e seu diˆamentro ´e menor ou igual a 2r).
Reciprocamente, se X ´e limitado em M ent˜ao existe c 0 tal que
d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.
Consideremos x0 ∈ X.
Temos que
d(x, x0) ≤ c para todo x ∈ X,
assim se X ⊆ B(x0; c), ou seja X est´a contido em uma bola aberta de M, como quer´ıamos
mostrar.
Temos a
Proposi¸c˜ao 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico e X, Y ⊆ M limitados em M.
Ent˜ao X ∪ Y e X ∩ Y s˜ao limitados em M.
38. 38 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Demonstra¸c˜ao:
Observemos que X ∩ Y ⊆ X e como X ´e limitado em M segue, da Observa¸c˜ao (2.3.2) item
3., que X ∩ Y tamb´em ser´a limitado em M.
Se X = ∅ ou Y = ∅ segue que X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X, respectivamente, implicando que
X ∪ Y ´e limitado.
Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y = ∅.
Como X, Y s˜ao limitados em M existem c, d 0 e a, b ∈ M tais que
d(x, a) ≤ c e d(y, b) ≤ d
para todo x ∈ X e y ∈ Y .
Considere
k
.
= c + d + d(a, b) 0.
Logo se x ∈ X e y ∈ Y temos que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ c + d(a, b) + d = k.
Portanto se x, y ∈ X ∪ Y temos que:
Se x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ c k
Se x, y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ c k
Se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ k,
ou seja, d(x, y) ≤ k para todo x, y ∈ X ∪ Y , mostrando que X ∪ Y ´e limitado em M.
Como conseq¨uˆencia temos o:
Corol´ario 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico e X1, X2, · · · , Xn ⊆ M limitados em M.
Ent˜ao X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn e X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn s˜ao limitados em M.
Demonstra¸c˜ao:
Utiliza-se indu¸c˜ao matem´atica e a proposi¸c˜ao acima (ser´a deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Como outra conseq¨uˆencia imediata temos que
Corol´ario 2.3.2 Seja (M, d) espa¸co m´etrico. Todo subconjunto finito de M ´e limitado.
Demonstra¸c˜ao:
Basta observar que se X ´e um subconjunto finito de M ele ser´a uma reuni˜ao finita dos
conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto ´e
limitado segue, do corol´ario acima, que X ser´a limitado em M.
Nota¸c˜ao 2.3.1 Dada uma fun¸c˜ao f : X → Y denotaremos seu conjunto imagem por f(X),
isto ´e,
f(X)
.
= {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.
Podemos agora introduzir a
39. 2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAC¸OS M´ETRICOS 39
Defini¸c˜ao 2.3.3 Sejam (M, d) espa¸co m´etrico e X um subconjunto n˜ao vazio.
Diremos que uma fun¸c˜ao f : X → M ´e limitada em X se seu conjunto imagem, f(X), for
um subconjunto limitado de M.
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 2.3.3 Seja R com a m´etrica usual e f : R → R dada por
f(x)
.
=
1
1 + x2
, x ∈ R.
Observemos que |f(x)| ≤ 1, para todo x ∈ R, logo f ´e uma fun¸c˜ao limitada (neste caso temos
f(R) = (0, 1]).
A figura abaixo nos d´a o gr´afico de f.
E
T
G(f)
1
Exemplo 2.3.4 Na situa¸c˜ao acima se considerarmos g : R → R dada por g(x)
.
= x2 para x ∈ R
temos que g(R) = [0, ∞) logo n˜ao ser´a um subconjunto limitado de R, mostrando que a fun¸c˜ao
g n˜ao ser´a uma fun¸c˜ao limitada.
A figura abaixo nos d´a o gr´afico de g.
E
T
G(g)
Exemplo 2.3.5 Se a m´etrica d em Rn prov´em de uma norma de Rn ent˜ao d n˜ao ´e uma fun¸c˜ao
limitada.
De fato, da Observa¸c˜ao (2.3.4) item 2. temos que Rn n˜ao ´e limitado, logo
d(Rn
, Rn
) = [0, ∞) ⊆ R
n˜ao poder´a ser um subconjunto limitado de R, logo a fun¸c˜ao d n˜ao ser´a uma fun¸c˜ao limitada.
40. 40 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.5) por meio do
Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto n˜ao vazio e (M, dM ) um espa¸co m´etrico.
Indiquemos por B(X; M) o conjunto de todas as fun¸c˜oes limitadas definidas em X e tomando
valores em M, isto ´e,
B(X; M)
.
= {f : X → M : f ´e limitada em X}.
Dadas f, g ∈ B(X; M) temos que o conjunto
{dM (f(x), g(x)) : x ∈ X}
´e limitado em R.
De fato, como f e g s˜ao limitadas segue que f(X) e g(X) s˜ao subconjuntos limitados em M.
Logo da Proposi¸c˜ao (2.3.1) segue que f(X) ∪ g(X) ´e um subconjunto limitado em M, ou
seja, {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} ´e limitado em R, portanto admite supremo.
Logo, dadas f, g ∈ B(X; M), podemos definir
d(f, g)
.
= sup
x∈X
{dM (f(x), g(x))}.
Pode-se mostrar (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que d ´e uma m´etrica em B(X; M)
que ´e denominada m´etrica da convergˆencia uniforme ou m´etrica do sup.
Observa¸c˜ao 2.3.5
1. Na situa¸c˜ao acima podemos considerar o conjunto F(X; M) formado por todas as fun¸c˜oes
definidas em X com valores em M.
Neste caso a m´etrica do sup n˜ao tem sentido em F(X; M) pois existem fun¸c˜oes f, g : X →
M tais que o conjunto {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} n˜ao ´e limitado em R (logo n˜ao poderemos
considerar o supremo desse conjunto).
Nesta situa¸c˜ao podemos decompor F(X; M) como uma reuni˜ao de espa¸cos m´etricos nos
quais podemos introduzir a m´etrica do sup.
Para mais detalhes ver [1] pag. 15.
2. Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
Pode-se mostrar (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se f, g ∈ B(X; E) e λ ∈ R
ent˜ao (f +g) ∈ B(X; E) e λf ∈ B(X; E), ou seja, B(X; E) tornar-se-´a um espa¸co vetorial
sobre R.
Neste caso a m´etrica da convergˆencia uniforme em B(X; E) prov´em da seguinte norma de
B(X; E):
f
.
= sup
x∈X
f(x) E, f ∈ B(X; E),
que ´e denominada norma da convergˆencia uniforme ou do sup.
De fato, pois
d(f, g) = sup{dE(f(x), g(x)) : x ∈ X} = sup
x∈X
f(x) − g(x)) .
41. 2.4. DIST ˆANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC¸O M´ETRICO41
2.4 Distˆancia de um ponto a um subconjunto em um espa¸co
m´etrico
Observa¸c˜ao 2.4.1 Como motiva¸c˜ao consideremos o seguinte caso:
Em um plano consideremos X uma reta e a um ponto que n˜ao pertence `a reta X.
Consideremos x0 ∈ X o p´e da perpendicular `a reta X que cont´em o ponto a (vide figura
abaixo).
x0
a
X
Seja x ∈ X tal que x = x0.
Ent˜ao aplicando o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo retˆangulo ∆ax0x (veja figura abaixo)
obtemos
[d(a, x)]2
= [d(a, x0)]2
+ [d(x0, x)]2
.
x0
a
X
x
Em particular temos que d(a, x) ≥ d(a, x0) para todo x ∈ X, ou seja, x0 ´e o ponto mais
pr´oximo do ponto a que pertence `a reta X.
Deste modo podemos escrever
d(a, x0) = inf
x∈X
{d(a, x)}.
Podemos generalizar este fato, para isto observemos que se (M, dM ) um espa¸co m´etrico, X ⊆ M
n˜ao vazio e a ∈ M ent˜ao o conjunto {dM (x, a) : x ∈ X} ⊆ R ´e limitado inferiormente por 0
(pois dM (a, x) ≥ 0).
Logo admite ´ınfimo, assim temos a:
Defini¸c˜ao 2.4.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co m´etrico, X ⊆ M, n˜ao vazio e a ∈ M.
Definimos a distˆancia do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a, X), como sendo
d(a, X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}.
42. 42 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
21.08.2008 - 6.a
Observa¸c˜ao 2.4.2
1. Das propriedades de ´ınfimo temos:
(a) Para todo x ∈ X temos que
d(a, X) ≤ d(a, x)
(isto ´e, d(a, X) ´e um limitante inferior do conjunto {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ R);
(b) Se d(a, X) c ent˜ao existe x ∈ X tal que d(a, x) c (isto ´e, d(a, X) ´e o maior dos
limitantes inferiores).
2. Para todo x ∈ X temos que d(a, x) ≥ 0 logo
d(a, X) ≥ 0.
3. Observemos que se a ∈ X ent˜ao
d(a, X) = 0.
De fato, se a ∈ X ent˜ao 0 = d(a, a) ∈ {d(a, x) : x ∈ X}.
4. Al´em disso, se X ⊆ Y ent˜ao
d(a, Y ) ≤ d(a, X).
Lembremos que se A ⊆ B ent˜ao inf B ≤ inf A (*) (ser´a deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Logo, se X ⊆ Y ent˜ao {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ {d(y, a) : y ∈ Y }, assim de (*) temos que
d(a, Y ) = inf{d(y, a) : y ∈ Y } ≤ inf{d(x, a) : x ∈ X} = d(a, X),
como quer´ıamos mostrar.
5. Se d(a, X) = 0 isto n˜ao implica, necessariamente, que a ∈ X como vereremos em exemplos
a seguir.
O que podemos afirmar ´e que:
d(a, X) = 0 se, e somente se, dado ε 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) ε.
6. Vale observar que, em geral, n˜ao podemos substituir o ´ınfimo na defini¸c˜ao acima pelo
m´ınimo, isto ´e, pode n˜ao existir um ponto em x0 ∈ X de tal modo que
d(a, X) = d(a, x0),
como veremos em exemplos a seguir.
A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico, a ∈ M e X = {x1, x2, · · · , xn} um subconjunto
finito de M.
Ent˜ao
d(a, X) = inf{d(a, x) : x ∈ X}
[conjunto finito]
= inf
1≤i≤n
{d(a, xi)}
[conjunto finito]
= min
1≤i≤n
{d(a, xi)}.
43. 2.4. DIST ˆANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC¸O M´ETRICO43
Exemplo 2.4.2 Seja R2 como a m´etrica usual e S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} a circun-
ferˆencia unit´aria de centro na origem e raio 1.
Ent˜ao se z = (x, y) ∈ S1 e 0 = (0, 0) temos que
d(0, z) = (x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y2 = 1,
ou seja, d(0, S1) = 1 (veja figura abaixo).
E
T
x
y
z = (x, y)
0 = (0, 0)
d(0, z) = 1
S1
‚
Exemplo 2.4.3 Seja R munido da m´etrica usual e X = (a, b) (= B(a + b−a
2 ; b−a
2 )).
Ent˜ao temos que
d(a, X) = d(b, X) = 0.
Podemos provar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:
Proposi¸c˜ao 2.4.1 Sejam E um espa¸co vetorial normado, a ∈ E e r 0.
Ent˜ao dado b ∈ E,
d(b, B(a; r)) = 0 se, e somente se, b ∈ B[a; r].
Demonstra¸c˜ao:
(⇐=)
Suponhamos que b ∈ B[a; r], ou seja, b − a ≤ r.
Se tivermos b − a r seguir´a que b ∈ B(a; r), logo d(b, B(a; r)) = 0.
Afirma¸c˜ao: se b − a = r 0 ent˜ao dado ε 0 afirmamos que existe x ∈ B(a; r) tal que
d(b, x) ε.
De fato, definamos
u
.
=
1
r
(b − a) ∈ E.
Segue que
u =
1
r
(b − a) =
1
r
b − a =
1
r
r = 1.
Escolhamos t ∈ (r − ε, r), assim 0 r − t ε.
Consideremos
x
.
= a + t.u ∈ E.
44. 44 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Temos que
d(x, a) = x − a = (a + t.u) − a = |t| u
[ u =1]
= t r,
ou seja, x ∈ B(a; r).
Al´em disso, temos
d(x, b) = b − x = b − (a + t.u) = (b − a) − t.u
[b−a=r.u]
= r.u − t.u = |r − t| u
[ u =1]
= r − t ε,
logo concluimos a prova da afirma¸c˜ao acima. (veja figura abaixo).
b
a
b
!ε
“
r
x = a + tu
o
Logo dado ε 0 existe x ∈ B(a; r) tal que 0 ≤ d(b, x) ε, ou seja,
0 ≤ d(b, B(a; r)) ≤ d(b, x) ε,
isto ´e,
d(b, B(a; r)) = inf{d(b, x) : x ∈ B(a; r)} = 0.
(=⇒)
Reciprocamente, suponhamos que d(b, B(a; r)) = 0.
Seja p ∈ E tal que p ∈ B[a; r].
Afirmamos que d(p, B(a; r)) 0.
De fato, como p ∈ B[a; r] temos que
p − a r, logo p − a = r + c
para algum c 0.
Se x ∈ B(a; r) temos que x − a r e como
p − a ≤ p − x + x − a
segue que
d(p, x) = p − x ≥ p − a − x − a = (r + c) − x − a (r + c) − r = c,
ou seja, c ´e um limitante inferior do subconjunto
{d(p, x) : x ∈ B(a; r)} ⊆ R.
Como d(p, B(a; r)) ´e o ´ınfimo do conjunto acima segue que
d(p, B(a; r)) ≥ c 0,
concluindo a prova da afirma¸c˜ao (veja figura abaixo).
45. 2.4. DIST ˆANCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAC¸O M´ETRICO45
T
a
p
T
r
c
Como d(b, B(a; r)) = 0, da afirma¸c˜ao, segue que b ∈ B[a; r], como quer´ıamos demonstrar.
Observa¸c˜ao 2.4.3 Em particular a afirma¸c˜ao acima nos diz que podemos ter b ∈ E com
d(b, X) = 0 e b ∈ X (onde X = B(a; r)), como afirmamos anteriormente.
Temos a:
Proposi¸c˜ao 2.4.2 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico, a, b ∈ M e X ⊆ M n˜ao vazio. Ent˜ao
|d(a, X) − d(b, X)| ≤ d(a, b).
A figura abaixo ilustra o resultado
X
d(a, X)
d(b, X)
d(a, b)
a
b
Demonstra¸c˜ao:
A desigualdade acima ´e equivalente a
−d(a, b) ≤ d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b).
Observemos que para todo x ∈ X temos que
d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x),
46. 46 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
ou seja,
d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, x),
ou ainda, o n´umero real
d(a, X) − d(a, b)
´e um limitante inferior do subconjunto {d(b, x) : x ∈ X} ⊆ R.
Da defini¸c˜ao de ´ınfimo segue
d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, X), isto ´e, d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). (∗)
Observemos que para todo x ∈ X temos que
d(b, X) ≤ d(b, x) ≤ d(b, a) + d(a, x),
ou seja,
d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, x)
ou ainda, o n´umero real
d(b, X) − d(a, b)
´e um limitante inferior do subconjunto {d(a, x) : x ∈ X} ⊆ R.
Da defini¸c˜ao de ´ınfimo segue
d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, X), isto ´e, d(a, X) − d(b, X) ≥ −d(a, b). (∗∗)
De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclus˜ao da prova.
Como conseq¨uˆencia temos o
Corol´ario 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co m´etrico e a, b, x ∈ M. Ent˜ao
|d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(a, b).
Demonstra¸c˜ao:
Basta considerar X
.
= {x} na proposi¸c˜ao acima e verificar que d(a, {x}) = d(a, x).
2.5 Distˆancia entre dois subconjuntos de um espa¸co m´etrico
Temos a
Defini¸c˜ao 2.5.1 Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e X, Y ⊆ M n˜ao vazios.
Definimos a distˆancia entre os conjuntos X e Y , indicada por d(X, Y ), como sendo
d(X, Y )
.
= inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
Consideremos o
Exemplo 2.5.1 Consideremos R com a m´etrica usua, X = (−∞, 0) e Y = (0, ∞).
Ent˜ao dada ε 0 existem x ∈ X e y ∈ Y tal que
d(x, y) ε, ou seja, d(X, Y ) = 0.
Observemos que X ∩ Y = ∅ e mesmo assim d(X, Y ) = 0.
47. 2.6. IMERS ˜OES ISOM´ETRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPAC¸OS M´ETRICOS 47
Observa¸c˜ao 2.5.1 Se (M, d) ´e um espa¸co m´etrico e X, Y ⊆ M n˜ao vazios ent˜ao:
1. Se X ∩ Y = ∅ ent˜ao d(X, Y ) = 0;
2. Observemos que
d(X, X) = 0 e d(X, Y ) = d(Y, X).
3. Pode ocorrer de d(X, Y ) = 0 e X ∩ Y = ∅.
Deixaremos para o leitor encontrar um exemplo onde isto ocorre.
2.6 Imers˜oes isom´etricas e isometrias entre espa¸cos m´etricos
Come¸caremos pela
Defini¸c˜ao 2.6.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos.
Diremos que uma fun¸c˜ao f : M → N ´e um imers˜ao isom´etrica de M em N se
dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.
No caso acima diremos que a fun¸c˜ao f preserva as distˆancias de M e N, respectivamente.
Observa¸c˜ao 2.6.1 Na situa¸c˜ao acima se f : M → N ´e uma imers˜ao isom´etrica temos que f ´e
injetora.
De fato, se f(x) = f(y) ent˜ao
dM (x, y) = dN (f(x), f(y)) = 0,
logo x = y, mostrando que f ´e injetora.
Com isto temos a:
Defini¸c˜ao 2.6.2 Um imers˜ao isom´etrica que ´e sobrejetora ser´a denomiada isometria de M
em N.
Observa¸c˜ao 2.6.2
1. Na situa¸c˜ao acima f : M → N ´e ums isometria se, e somente se, f preserva as distˆancias
de M e N e for sobrejetora.
2. Em particular se f : M → N ´e isometria ent˜ao f ´e bijetora.
Logo admite fun¸cao inversa f−1 : N → M e esta tamb´em ´e uma isometria.
De fato, pois se w, z ∈ N temos que existe x, y ∈ M tal que z = f(x) e w = f(y) (pois f
´e sobrejetora) assim
dM (f−1
(z), f−1
(w)) = dM (f−1
(f(x)), f−1
(f(y))) = dM (x, y)
[f ´e isometria]
= dN (f(x), f(y)) = dN (z, w),
mostrando que f−1 preserva as distˆancias de N e M.
48. 48 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
3. Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos m´etricos e f : M → N, g : N → P imers˜oes
isom´etricas de M em N e de N em P, respectivamente.
Ent˜ao (g ◦ f) : M → P ´e uma imers˜ao isom´etrica de M em P.
De fato, se x, y ∈ M temos que
dP ((g ◦ f)(x), (g ◦ f)(y)) = dP (g(f(x)), g(f(y)))
[g preserva distˆancias]
= dN (f(x), f(y))
[f preserva distˆancias]
= dM (x, y),
mostrando que g ◦ f preserva as distˆancias de M e P.
4. Como conseq¨uˆencia temos que composta de isometrias tamb´em ser´a uma isometria entre
os respectivos espa¸cos m´etricos.
5. Toda imers˜ao isom´etrica f : M → N define uma isometria de M sobre f(M) (pois neste
caso f : M → f(M) ser´a sobrejetora e continuar´a a preservar as distˆancias de M e N).
Com isto temos a:
Defini¸c˜ao 2.6.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos.
Diremos que M e N s˜ao isom´etricos se existir uma isometria de M em N e neste caso
escreveremos M ∼ N.
Observa¸c˜ao 2.6.3 1. Temos que M ∼ M (basta considerar a identidade de M em M);
2. Se M ∼ N ent˜ao N ∼ M (pois, como vimos na Observa¸c˜ao (2.6.2) item 2., a inversa de
uma isometria ´e uma isometria);
3. Se M ∼ N e N ∼ P ent˜ao M ∼ P (pois, como vimos na Observa¸c˜ao (2.6.2) item 3., a
composta de isometrias ´e uma isometria).
4. Os trˆes itens acima nos dizem que ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto formado
por todos os espa¸cos m´etricos (isto ´e, ∼ satisfaz as propriedades: reflexiva, sim´etrica e
transitiva).
5. Se existir uma imer˜ao isom´etrica f : M → N ent˜ao temos que M ∼ f(M) (pois a fun¸c˜ao
f : M → f(M) ser´a sobrejetora e preservar´a as distˆancias de M e f(M)).
26.08.2008 - 7.a
6. Sejam X um subconjunto n˜ao vazio, (M, dM ) um espa¸co m´etrico e f : X → M uma fun¸c˜ao
injetora.
Nosso objetivo ´e introduzir uma m´etrica em X de tal modo que a fun¸c˜ao f torne-se uma
imers˜ao isom´etrica de X e M.
Para isto definamos
dX : X × X → R
por
dX(x, y)
.
= dM (f(x), f(y)), x, y ∈ X.
´E f´acil verificar (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que dX ´e uma m´etrica em
X (precisamos usar do fato que f ´e injetora!) e deste modo a fun¸c˜ao f tornar-se-´a uma
imers˜ao isom´etrica de (X, dX) em (M, dM ).
49. 2.6. IMERS ˜OES ISOM´ETRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPAC¸OS M´ETRICOS 49
Podemos mostrar (ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a m´etrica dX em X ´e a
´unica m´etrica que torna f uma imers˜ao isom´etrica de X em M.
Com isto temos a:
Defini¸c˜ao 2.6.4 Na situa¸c˜ao acima diremos que a m´etrica dX ´e a m´etrica induzida por f
em X.
Observa¸c˜ao 2.6.4 Um caso particular da situa¸c˜ao acima ´e quando X ⊆ M, n˜ao vazio onde
(M, dM ) ´e um espa¸co m´etrico.
Neste caso se considerarmos a aplica¸c˜ao inclus˜ao
i : X → M dada por i(x)
.
= x, para x ∈ X,
temos que a fun¸c˜ao i ´e injetora.
Logo podemos considerar em X a m´etrica induzida pela fun¸c˜ao i que coincidir´a com a m´etrica
induzida de M em X (pois dX(x, y) = dM (i(x), i(y)) = dM (x, y), para todo x, y ∈ X).
A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.6.1 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.
Sejam a, u ∈ Rn tal que u = 1.
Consideremos a fun¸c˜ao f : R → Rn dada por
f(t)
.
= a + t u, t ∈ R.
Afirmamos que f ´e um imers˜ao is´om´etrica de R em Rn.
De fato, se t, s ∈ R temos que
dRn (f(t), f(s)) = f(t) − f(s) = (a + t u) − (a + s u) = (t − s) u
= |t − s| u
[ u =1]
= |t − s| = dR(t, s),
mostrando que a fun¸c˜ao f preserva as distˆancias de R e Rn.
Observa¸c˜ao 2.6.5
1. Observemos que o gr´afico de f ´e a reta que passa pelo ponto a = a ∈ Rn e tem a dire¸c˜ao
do vetor unit´ario u ∈ Rn.
Em particular, f n˜ao ´e uma isometria de R em Rn se n = 1 (pois, neste caso, n˜ao ´e
sobrejetora).
2. Se n = 1 ent˜ao f ser´a isometria de R em R (isto ser´a deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Exemplo 2.6.2 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn e a ∈ Rn.
Afirmamos que a fun¸c˜ao f : Rn → Rn dada por
f(x)
.
= x + a, x ∈ Rn
,
´e uma isometria de Rn em Rn.
50. 50 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
De fato, se x, y ∈ Rn ent˜ao
d(f(x), f(y)) = f(x) − f(y) = (x + a) − (y + a) = x − y = d(x, y),
mostrando que f preserva a distˆancia em Rn (ou seja, ´e uma imers˜ao isom´etrica de Rn em Rn).
Al´em disso f(Rn) = Rn pois se y ∈ Rn se tomarmos
x
.
= y − a
segue que
f(x) = x + a = (y − a) + a = y,
ou seja, f ´e sobrejetora, ou seja, f ´e uma isometria de Rn em Rn.
Com isto temos a
Defini¸c˜ao 2.6.5 A fun¸c˜ao f acima definida ser´a denominada transla¸c˜ao pelo vetor a.
Exemplo 2.6.3 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.
Afirmamos que a fun¸c˜ao f : Rn → Rn dada por
f(x)
.
= −x, x ∈ Rn
,
´e uma isometria em Rn.
De fato, se x, y ∈ Rn ent˜ao
d(f(x), f(y)) = f(x) − f(y) = (−x) − (−y) = − x + y = x − y = d(x, y),
mostrando que f preserva a distˆancia em Rn (ou seja, ´e uma imers˜ao isom´etrica de Rn em Rn).
Al´em disso f(Rn) = Rn pois se y ∈ Rn se tomarmos
x
.
= −y
segue que
f(x) = x = −(−y) = y,
ou seja, f ´e sobrejetora, isto ´e, f ´e uma isometria de Rn em Rn.
Com isto temos a
Defini¸c˜ao 2.6.6 A fun¸c˜ao f acima definida ser´a denominada reflex˜ao em torno da origem
de Rn.
Observa¸c˜ao 2.6.6
1. Observemos que na situa¸c˜ao acima, dados a, b ∈ Rn existe uma isometria f : Rn → Rn tal
que f(b) = a (basta considerar a transla¸c˜ao f(x)
.
= x + (a − b)).
2. Podemos substituir o Rn por um espa¸co vetorial normado qualquer que os exemplos acima
continuar˜ao v´alidos neste novo contexto.
A verifica¸c˜ao deste fato ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor.
51. 2.6. IMERS ˜OES ISOM´ETRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPAC¸OS M´ETRICOS 51
Exemplo 2.6.4 Consideremos C o conjunto formado pelo n´umeros complexos munido da m´etrica
induzida pelo valor absoluto de um n´umero complexo (isto ´e, se z = a+bi ent˜ao z = x2 + y2
e assim a m´etrica ser´a d(z1, z2) = z1 − z2 , z1, z2 ∈ C).
Sejam u ∈ C tal que u = 1 e a fun¸c˜ao
f : C → C
dada por
f(z)
.
= u.z,
para z ∈ C (onde . ´e a multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos).
Afirmamos que f ´e uma isometria.
De fato, f ´e imers˜ao isom´etrica em C, pois
d(f(z1), f(z2)) = f(z1) − f(z2) = u.z1 − u.z2 = u.(z1 − z2)
= u z1 − z2
[ u =1]
= z1 − z2 = d(z1, z2),
mostrando que f preserva a distˆancia em C.
Al´em disso, se w ∈ C consideremos
z
.
=
w
u
∈ C.
Logo
f(z) = u.z = u.
w
u
= w,
mostrando que f ´e sobrejetora, portanto uma isometria de C em C.
Observa¸c˜ao 2.6.7 A aplica¸c˜ao f do exemplo acima ´e uma rota¸c˜ao (no sentido hor´ario) de um
ˆangulo θ =
π
2
se u = i e θ = arctg(
b
a
) se u = a + bi, se a = 0 (veja figura abaixo).
E
T C
z
f(z) = u.z
θ
Finalizaremos esta se¸c˜ao com a
Proposi¸c˜ao 2.6.1 Seja (M, dM ) um espa¸co m´etrico limitado.
Ent˜ao existe uma imers˜ao isom´etrica ϕ : M → B(M; R), onde em B(M; R) consideraremos
a m´etrica induzida pela norma da convergˆencia uniforme.
52. 52 CAP´ITULO 2. ESPAC¸OS M´ETRICOS
Demonstra¸c˜ao:
Definamos ϕ : M → B(M; R) por
ϕ(x)
.
= dx,
onde dx : M → R ´e dada por
dx(y)
.
= dM (x, y)
(ou seja, a distˆancia ao ponto x).
Como M ´e limitado segue que dx ∈ B(M; R), ou seja ϕ est´a bem definida.
Mostremos que ϕ preserva as ditˆancias de M e B(M; R).
Observemos que se x, x , y ∈ M ent˜ao
|dx(y) − dx (y)| = |d(x, y) − d(x , y)|
[corol´ario (2.4.1)]
≤ dM (x, x ),
assim
dB(M;R)(ϕ(x), ϕ(x )) = ϕ(x) − ϕ(x ) = dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)|≤dM (x, x ).
Por outro lado, se tomarmos y = x temos que
|dx(y) − dx (y)| = |dM (x, y) − dM (x , y)|
[y=x ]
= |dM (x, x ) − dM (x , x )| = dM (x, x ).
Logo
dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)|≥dM (x, x ),
portanto
dB(M; R)(dx, dx ) = dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)| = dM (x, x ),
ou seja, ϕ preserva as distˆancias de M e de B(M; R).
Observa¸c˜ao 2.6.8
1. Pode-se provar um resultado an´alogo ao exibido acima retirando-se a hip´otese de M ser
limitado.
Uma demonstra¸c˜ao para esse fato pode ser encontrada em [1] pag. 20.
2. O resultado acima garante que todo espa¸co m´etrico pode ser imerso, isometricamente, em
um espa¸co vetorial normado.
53. Cap´ıtulo 3
Fun¸c˜oes Cont´ınuas Definidas em
Espa¸cos M´etricos
3.1 Defini¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua em espa¸cos m´etricos e exem-
plos
Temos a:
Defini¸c˜ao 3.1.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M.
Diremos que uma fun¸c˜ao f : M → N ´e cont´ınua no ponto a se dado ε 0 existir
δ = δ(ε, a) 0 tal que
dM (x, a) δ implicar dN (f(x), f(a)) ε.
Geometricamente temos:
f(a)
~
ε
E
f
a
a δ
f(B(a; δ))
%
M
N
Diremos que f : M → N ´e cont´ınua em M se ela for cont´ınua em cada um dos pontos de
M.
Observa¸c˜ao 3.1.1
1. Na situa¸c˜ao acima, f ´e cont´ınua no ponto a se, e somente se, se dado ε 0 existir
δ = δ(ε, a) 0 tal que
f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε),
ou seja, dada uma bola aberta de centro em f(a) e raio ε 0 em N, existe uma bola aberta
de centro em a e raio δ 0 em M, tal que a imagem pela fun¸c˜ao f desta segunda bola
est´a contida na primeira bola.
53
54. 54 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
2. Se M ⊆ R e N = R munidos da m´etrica usual de R ent˜ao f : M → R ser´a cont´ınua em
a ∈ M se, e somente se, dado ε 0 existir δ = δ(ε, a) 0 tal que se x ∈ M e
a − δ x a + δ
implicar
f(a) − ε f(x) f(a) + ε,
ou seja,
f((a − δ, a + δ)) ⊆ (f(a) − ε, f(a) + ε),
pois as bolas abertas em R (com a m´etrica usual) da defini¸c˜ao de contiuidade ser˜ao os,
respectivos, intervalos abertos obtidos acima.
Geometricamente temos:
T T
Ef
f(a)
a
a + δ
a − δ
f(a) + ε
f(a) − ε
A seguir exibiremos alguns exemplos.
Antes por´em temos a:
Defini¸c˜ao 3.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e uma fun¸c˜ao f : M → N que tem
a seguinte propriedade: existe c 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Neste caso diremos que a fun¸c˜ao f ´e lipschitziana em M.
A constante c ser´a dita constante de Lipschitz da fun¸c˜ao f.
Exemplo 3.1.1 Se f : M → N ´e lipschitiziana em M ent˜ao f ´e cont´ınua em M.
De fato, como f ´e lipschitiziana em M existe c 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Logo, dado ε 0 seja δ
.
=
ε
c
0.
Ent˜ao se a ∈ M e dM (x, a) δ temos que
dN (f(x), f(a)) ≤ c dM (x, a) cδ ≤ c
ε
c
= ε,
mostrando que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua no ponto a ∈ M.
Como a ∈ M ´e arbitr´ario segue que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em M.
55. 3.1. DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO CONT´INUA EM ESPAC¸OS M´ETRICOS E EXEMPLOS 55
Exemplo 3.1.2 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R.
Afirmamos que a aplica¸c˜ao
fλ : E → E
dada por
fλ(x)
.
= λ.x, x ∈ E,
´e lipschitiziana em E.
De fato,
dE(fλ(x),fλ(y)) = fλ(x), fλ(y) E = λ.x − λ.y E = λ(x − y) E
= |λ| x − y E = |λ|dE(x, y),
ou seja,
dE(fλ(x),fλ(y)) = |λ|dE(x, y), x, y ∈ E,
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao fλ : E → E s´er´a cont´ınua em E para cada λ ∈ R fixado.
Observa¸c˜ao 3.1.2
1. Se f1, · · · , fn : E → E, onde E ´e um espa¸co vetorial normado, s˜ao lipschitzianas ent˜ao
dados a1, · · · , an ∈ R temos que
f
.
= a1f1 + · · · anfn
tamb´em ser´a uma aplica¸c˜ao lipschitziana em E.
A verifica¸c˜ao deste fato ser´a deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Conclus˜ao: combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes lipschitzianas ´e uma fun¸c˜ao lipschitziana.
Em particular, a aplica¸c˜ao f : E → E ser´a cont´ınua em E.
2. Seja R munido da m´etrica usual.
Ent˜ao f : R → R ´e lipschitiziana em M se, e somente se, existe c 0 tal que
|f(x) − f(y)|
|x − y|
=
dR(f(x), f(y))
dR(x, y)
≤ c, x, y ∈ R, x = y.
3. Observemos se f : I → R ´e diferenci´avel em I, um intervalo de R e |f (x)| ≤ c para todo
x ∈ I ent˜ao a fun¸c˜ao f ´e lipschitziana em I.
De fato, dados x, y ∈ I do Teorema do Valor Intermedi´ario segue que existe ¯x ∈ [x, y] ( ou
[y, x]) tal que
f(x) − f(y)
x − y
= f (¯x).
Logo
|f(x) − f(y)|
|x − y|
= |f (¯x)| ≤ c,
ou seja, a fun¸c˜ao f ´e lipschitziana em I, como afirmamos acima.
Conclus˜ao: toda fun¸c˜ao real, de vari´avel real, diferenci´avel em um intervalo da reta e tal
que sua derivada ´e limitada neste intervalo ´e uma fun¸c˜ao lipschitiziana no intervalo em
quest˜ao.
56. 56 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
2.09.2008 - 8.a
Uma situa¸c˜ao mais geral ´e dada pela
Defini¸c˜ao 3.1.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸c˜ao f ´e localmente lipschitziana em M se para cada a ∈ M existe
ra 0 tal que a restri¸c˜ao da fun¸c˜ao f a bola aberta B(a; ra) (isto ´e, f|B(a;ra)
) ´e uma fun¸c˜ao
lischitziana, ou seja, existe c = c(B(a; ra)) 0 satisfazendo
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).
Geometricamente temos:
E
a
o ra
fx
y
f(x)
f(y)
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM (x, y)
Com isto temos o
Exemplo 3.1.3 Se f : M → N ´e localmente lipschitziana em M ent˜ao f ´e cont´ınua em M.
De fato, dado a ∈ M seja ra 0 tal que restri¸c˜ao da fun¸c˜ao f a bola aberta B(a; ra) seja
uma fun¸c˜ao lipschitziana, isto ´e, existe c = c(B(a; ra)) 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).
Dado ε 0 seja δ
.
= min{
ε
c
, ra} 0.
Logo se, dM (x, a) δ temos que
dN (f(x), f(a))
[dM (x,a)δ≤ra]
≤ c dM (x, a)c δ
[dM (x,a)δ≤ε
c
]
≤ c
ε
c
= ε,
mostrando que a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua no ponto a ∈ M.
Como a ∈ M ´e arbitr´ario segue que a fun¸c˜ao f : M → N ser´a cont´ınua em M.
Observa¸c˜ao 3.1.3 Se f1, · · · , fn :→ E, onde E ´e um espa¸co vetorial normado, s˜ao localmente
lipschitzianas em E ent˜ao, dados a1, · · · , an ∈ R, temos que
f
.
= a1f1 + · · · anfn
tamb´em ser´a localmente lipschitziana em E.
A verifica¸c˜ao deste fato ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Conclus˜ao: combina¸c˜ao linear de fun¸c˜oes localmente lipschitzianas num espa¸co vetorial nor-
mado ´e uma fun¸c˜ao localmente lipschitziana neste espa¸co.
Em particular, a aplica¸c˜ao f : E → E acima definida ser´a cont´ınua em E.
57. 3.1. DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO CONT´INUA EM ESPAC¸OS M´ETRICOS E EXEMPLOS 57
Exemplo 3.1.4 Seja f : R → R dada por f(x)
.
= xn, x ∈ R e n ∈ N.
Afirmamos que f ´e localmente lispchitziana em R.
De fato, sejam x, y ∈ B(0; a), isto ´e, |x|, |y| ≤ a.
Ent˜ao temos que
dR(f(x), f(y)) = |f(x) − f(y)| = |xn
− yn
| = |(x − y)(xn−1
+ xn−2
y + · · · xyn−2
+ yn−1
)|
≤ |x − y|[|x|n−1
+ |x|n−2
|y| + · · · |x||y|n−2
+ |y|n−1
]
≤ |x − y|[|a|n−1
+ |a|n−2
|a| + · · · |a||a|n−2
+ |a|n−1
n−parcelas
]
= nan−1
|x − y| = nan−1
dR(x, y),
ou seja, f ´e localmente lischitziana em R (a constante de Lipschitz ser´a c
.
= nan−1).
Em particular, a aplica¸c˜ao f : R → R ser´a cont´ınua em R.
Observa¸c˜ao 3.1.4 Do exemplo acima e da observa¸c˜ao (3.1.3) segue que toda fun¸c˜ao polinomial
p : R → R (isto ´e, se a1, · · · , an ∈ R temos que
p(x)
.
= a0 + a1x + · · · , anxn
, x ∈ R
´e uma fun¸c˜ao localmente lispchitziana em R e portanto ser´a uma aplica¸c˜ao cont´ınua em R.
Exemplo 3.1.5 Seja f : R∗ .
= R {0} → R dada por
r(x)
.
=
1
x
, x ∈ R∗
.
Para cada a 0 temos que f ´e lipschitiziana em Ra, onde Ra
.
= {x ∈ R : |x| ≥ a}.
De fato, se x, y ∈ Ra ent˜ao |x|, |y| ≥ a logo,
dR(f(x), f(y)) = |f(x)−f(y)| = |
1
x
−
1
y
| = |
y − x
x.y
| =
1
|x|.|y|
|x−y|
[|x|,|y|≥a0]
≤
1
a2
|x−y| =
1
a2
dR(x, y),
mostrando que f ´e lipschitziana em Ra (basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c
.
=
1
a2
)
para cada a 0.
Em particular, a aplica¸c˜ao f : R∗ → R ´e cont´ınua em Ra para todo a 0, isto ´e, f ´e
cont´ınua em R∗.
Exemplo 3.1.6 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado, R com a m´etrica usual e λ ∈ R.
Afirmamos que a aplica¸c˜ao
m : R × E → E
dada por
m(λ, x)
.
= λ.x, λ ∈ R, x ∈ E,
´e localmente lipschitiziana em R × E onde no produto cartesiano R × E considerarmos a norma
da soma (isto ´e,
(λ, x) R×E = |λ| + x E,
(λ, x) ∈ R × E) e assim podemos tomar a m´etrica
dR×E[(λ, x), (β, y)] = |λ − β| + x − y E,
58. 58 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
se (λ, x), (β, y) ∈ R × E).
De fato, dado (λ0, x0) ∈ R × E, fixado r 0, se
(λ, x), (β, y) ∈ B((λ0, x0); r) ⊆ R × E
temos que
|λ − λ0|, |β − β0| r e x − x0 E, y − x0 E r.
Logo
dE(m(λ, x), m(β, y)) = m(λ, x) − m(β, y) E = λ.x − β.y E = λ.x − λ.y + λy − β.y E
= λ.(x − y) + (λ − β).y E ≤ λ(x − y) E + (λ − β)y E
= |λ| x − y E + |λ − β| y E
[|λ|≤|λ−λ0|+|λ0|≤r+|λ0|]
≤ [r + |λ0|] x − y E + |λ − β| y E
[ y E≤ y−x0 E+ x0 E≤r+ x0 E]
≤ [r + |λ0|] x − y E + [r + x0 E]|λ − β|
≤ max{r + |λ0|, r + x0 E}[ x − y E + |λ − β|]
[c
.=max{r+|λ0|,r+ x0 E}]
= c[|λ − β| + x − y E]
= c dR×E[(λ, x), (β, y)]
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao m : R × E → E ser´a cont´ınua em R × E (munido da m´etrica
acima).
Exerc´ıcio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplica¸c˜ao de n´umeros reais ou multi-
plica¸c˜ao de n´umeros reais por vetores de Rn.
Uma outra classe de fun¸c˜oes importantes ´e dada pela
Defini¸c˜ao 3.1.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸c˜ao f ´e uma contra¸c˜ao fraca se
dN (f(x), f(y)) ≤ dM ((x, y), x, y ∈ M.
e uma subclasse desta ´e dada pela
Defini¸c˜ao 3.1.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸c˜ao f ´e uma contra¸c˜ao (forte) se existir c ∈ [0, 1) tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Observa¸c˜ao 3.1.5
1. ´E f´acil de ver que toda contra¸c˜ao forte ´e uma contra¸c˜ao fraca.
2. Tamb´em ´e evidente que toda contra¸c˜ao fraca ou forte ´e uma aplica¸c˜ao lipschitiziana e
portanto cont´ınua em todo o espa¸co m´etrico.
Seguir daremos alguns exemplos de contra¸c˜oes fracas.
59. 3.1. DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO CONT´INUA EM ESPAC¸OS M´ETRICOS E EXEMPLOS 59
Exemplo 3.1.7 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e k ∈ N fixo.
Se f : M → N ´e dada por
f(x)
.
= k, para todo x ∈ M
ent˜ao f ´e uma contra¸c˜ao forte, pois
dN (f(x), f(y)) = dN (k, k) = 0 ≤
1
2
dM (x, y), x, y ∈ M,
(no caso escolhemos c
.
=
1
2
1).
Em particular, a aplica¸c˜ao f : M → N ´e cont´ınua em M.
Exemplo 3.1.8 Sejam (M, dM ) espa¸co m´etrico e X ⊆ M subespa¸co m´etrico de M.
A aplica¸c˜ao de inclus˜ao, i : X → M dada por i(x)
.
= x, x ∈ X ´e uma contra¸c˜ao fraca pois
dM (i(x), i(y)) = dX(x, y), x, y ∈ X.
Em particular, a aplica¸c˜ao i : X → M ´e cont´ınua em X.
Em geral temos o
Exemplo 3.1.9 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos.
Se f : M → N ´e uma imers˜ao isom´etrica ent˜ao f ´e uma contra¸c˜ao fraca pois
dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.
Em particular, a aplica¸c˜ao f : M → N ser´a cont´ınua em M.
Observa¸c˜ao 3.1.6 Como caso particular do exemplo acima temos que toda isometria ´e uma
contra¸c˜ao fraca, logo cont´ınua em todo o espa¸co m´etrico.
Exemplo 3.1.10 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos.
Independente de uma das trˆes m´etricas que escolhamos para M × N (ver exemplo (2.1.12) e
observa¸c˜ao (2.1.12) item 3.), para cada a ∈ M e b ∈ N se considerarmos as aplica¸c˜oes
ib : M → M × N e ja : N → M × N
dadas por
ib(x)
.
= (x, b) e ja(y)
.
= (a, y),
ent˜ao ib e ja s˜ao uma contra¸c˜oes fracas.
De fato, pois
dM×N (ib(x1), ib(x2)) = dM×N [(x1, b), (x2, b)]
(∗)
≤ dM (x1, x2), x1, x2 ∈ M,
dM×N (ja(y1), ib(y2)) = dM×N [(a, y1), (a, y2)]
(∗∗)
≤ dN (y1, y2), y1, y2 ∈ N
mostrando a afirma¸c˜ao acima.
Vale observar que as desigualdades (*) e (**) s˜ao v´alidas, independentementes, de qual das
trˆes m´etricas que considerarmos no produto cartesiano (verifique!).
Em particular, as aplica¸c˜oes ib : M → M × N e ja : N → M × N s˜ao cont´ınuas em M e N,
respectivamente.
60. 60 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
Exemplo 3.1.11 Sejam (M, dM ) espa¸co m´etrico e X ⊆ M n˜ao vazio.
Definamos dX : M → R por
dX(y)
.
= d(y, X), y ∈ M.
Afirmamos que dX ´e uma contra¸c˜ao fraca.
De fato, se y1, y2 ∈ M temos que
dR(dX(y1), dX(y2)) = |dX(y1) − dX(y2)| = |d(y1, X) − d(y2, X)|
[proposi¸c˜ao (2.4.2)]
≤ dM (y1, y2),
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao dx : M → R ´e cont´ınua em M.
Observa¸c˜ao 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cada x ∈ M temos que a aplica¸c˜ao
dx : M → R dada por dx(y)
.
= dM (x, y), y ∈ M,
´e uma contra¸c˜ao fraca.
Para ver isto basta considerar X
.
= {x} ⊆ M.
Em particular, a aplica¸c˜ao dx : M → R ser´a cont´ınua em M.
Exemplo 3.1.12 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
A aplica¸c˜ao . : E → R ´e uma contra¸c˜ao fraca.
De fato, se x, y ∈ E temos que
dR( x , y ) = | x − y | = |dE(x, 0) − dE(y, 0)| ≤ |dE(x, y)| = x − y = dE(x, y),
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao . : E → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em E.
Exemplo 3.1.13 Seja (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos m´etricos.
Pra cada i = 1, · · · n a aplica¸c˜ao
pi : M1 × · · · × Mn → Mi, dada por pi(x)
.
= xi,
onde x = (x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn (conhecida como i-´esima proje¸c˜ao) ´e uma contra¸c˜ao
fraca onde podemos considerar no produto cartesiano M
.
= M1 ×· · ·×Mn qualquer uma das trˆes
m´etricas da observa¸c˜ao (2.1.12).
De fato, se xi, yi ∈ Mi temos que
dM1 (pi(x), pi(y)) = dMi (xi, yi) ≤ dM (x, y),
onde x = (x1, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yi−1, yi, yi+1, · · · , yn) ∈ M, mostrando
que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao pi : M1 × · · · × Mn → Mi ´e cont´ınua em M1 × · · · × Mn para cada
i = 1, · · · , n.
Exemplo 3.1.14 Seja (M, dM ) espa¸co m´etrico.
Ent˜ao a aplica¸c˜ao
dM : M × M → R
61. 3.1. DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO CONT´INUA EM ESPAC¸OS M´ETRICOS E EXEMPLOS 61
´e uma contra¸c˜ao fraca se em M ×M considerarmos a m´etrica da soma ou do m´aximo em M ×M
(veja exemplo (2.1.12)).
De fato, se (x, y), (x , y ) ∈ M × M ent˜ao
dR(dM (x, y), dM (x , y )) = |dM (x, y) − dM (x , y )| = |dM (x, y) − dM (x , y) + dM (x , y) − dM (x , y )|
≤ |dM (x, y) − dM (x , y)| + |dM (x , y) − dM (x , y )| ≤ dM (x, x ) + dM (y, y )
≤ dM×M [(x, y), (x , y )],
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao dM : M × M → R ser´a cont´ınua em M × M.
4.09.2008 - 9.a
Exemplo 3.1.15 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R.
Afirmamos que a aplica¸c˜ao
s : E × E → E
dada por
s(x, y)
.
= x + y, x, y ∈ E,
´e uma contra¸c˜ao fraca onde em E×E estamos considerando a norma da soma (isto ´e, (x, y) E×E
.
=
x E + y E e sua respectiva m´etrica associada).
De fato,
dE(s(x, y), s(x , y )) = s(x, y) − s(x , y ) E = (x + y) − (x + y ) E = (x − x ) + (y − y ) E
≤ x − x + y − y E = (x, y) − (x , y ) E×E = dE×E((x, y), (x , y )).
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao s : E × E → E ser´a cont´ınua em E × E.
Exerc´ıcio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma n´umeros reais ou soma de vetores em
Rn e B(X; M) munido da m´etrica do sup.
Exemplo 3.1.16 Sejam (M, dM ) um espa¸co m´etrico, a ∈ M, X um conjunto n˜ao vazio e
B(X; M) munido da m´etrica do sup.
Definamos a aplica¸c˜ao
va : B(X; M) → M por va(f)
.
= f(a), f ∈ B(X; M).
Ent˜ao va ´e uma contra¸c˜ao em B(X; M).
De fato, se f, g ∈ B(X; M) temos que
dM (va(f), va(g) = dM (f(a), g(a)) ≤ sup{dM (f(x), g(x)) : x ∈ M} = dB(X;M)(f, g),
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Em particular, a aplica¸c˜ao va : B(X; M) → M ser´a cont´ınua em B(X; M).
Observa¸c˜ao 3.1.8
62. 62 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M um ponto isolado de M.
Afirmamos que f : M → N ´e cont´ınua em a ∈ M.
De fato, como a ∈ M ´e um ponto isolado de M, existe δ0 0 tal que B(a; δ0) ∩ M = {a}.
Dado ε 0 seja 0 δ ≤ δ0.
Se dM (x, a) δ ≤ δ0 temos que x = a logo
dN (f(x), f(a)) = dN (f(a), f(a)) = 0 ε,
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
2. Como conseq¨uˆencia da observa¸c˜ao acima temos que se (M, dM ) for um espa¸co discreto
(isto ´e, todo ponto dele ´e ponto isolado) ent˜ao toda fun¸c˜ao f : M → N ´e cont´ınua em M.
Em particular, a m´etrica de M ´e a m´etrica zero-um ent˜ao vale o mesmo.
3. Por outro lado se (N, dN ) for um espa¸co discreto temos que: f : M → N cont´ınua em
M se, e somente se, para cada a ∈ M a fun¸c˜ao f ´e constante em alguma bola aberta de
centro em a.
De fato, se a ∈ M ent˜ao dado 0 ε ≤ 1 temos que B(f(a); ε) = {f(a)} assim para todo
δ 0 se x ∈ B(a; δ) para que f(x) ∈ B(f(a), ε) = {f(a)} deveremos ter f(x) = f(a) na
bola aberta B(a; δ), como afirmamos acima.
Em particular, a m´etrica de N ´e a m´etrica zero-um ent˜ao vale o mesmo.
Temos a
Defini¸c˜ao 3.1.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M.
Diremos que uma fun¸c˜ao f : M → N ´e descont´ınua no ponto a se ela n˜ao for cont´ınua
no ponto a.
Observa¸c˜ao 3.1.9
1. Na situa¸c˜ao acima f ´e descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε 0 tal que
para todo δ 0 existe xδ ∈ M tal que
dM (xδ, a) δ mas dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε.
2. Um formula¸c˜ao equivalente seria: f ´e descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe
ε 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M tal que
dM (xn, a)
1
n
mas dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.
Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma seq¨uˆencia (xn)n∈N em M que ´e con-
vergente para a em M tal que a seq¨uˆencia (f(xn))n∈N em N n˜ao ´e convergente em N.
Vale observar que ainda n˜ao introduzimos a no¸c˜ao de convergˆencia de seq¨uˆencias.
Na verdade isto ser´a tratado num c´ap´ıtulo mais adiante.
63. 3.1. DEFINIC¸ ˜AO DE FUNC¸ ˜AO CONT´INUA EM ESPAC¸OS M´ETRICOS E EXEMPLOS 63
Exemplo 3.1.17 A fun¸c˜ao f : R → R dada por f(x) =
1, se x ∈ Q
0, se x ∈ I
n˜ao ´e cont´ınua em
nenhum ponto de R.
De fato, sejam a ∈ Q e ε =
1
2
0.
Dado δ 0 consideremos x ∈ I tal que |x − a| δ, isto ´e, d(x, a) δ (veja figura abaixo).
E
a ∈ Q a + δa − δ
c
x ∈ I
Como f(x) = 0 e f(a) = 1 segue que
dR(f(x), f(a)) = |f(x) − f(a)| = |0 − 1| = 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que f n˜ao ´e cont´ınua em nenhum a ∈ Q.
Por outro lado, sejam a ∈ I e ε =
1
2
0.
Dado δ 0 consideremos x ∈ Q tal que |x − a| δ, isto ´e, d(x, a) δ (veja figura abaixo).
E
a ∈ I a + δa − δ
c
x ∈ Q
Como f(x) = 1 e f(a) = 0 segue que
dR(f(x), f(a)) = |f(x) − f(a)| = |1 − 0| = 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que f n˜ao ´e cont´ınua em nenhum a ∈ I.
Portanto f n˜ao ´e cont´ınua em nenhum ponto de R.
Observa¸c˜ao 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q
e f|I
s˜ao cont´ınuas (na
verdade a primeira ´e constante e igual a 0 e a segunda ´e constante e igual a 1).
Para f : M → N e X ⊆ M n˜ao vazio, o exemplo acima nos mostra a diferen¸ca entre:
1. f|X
: X → N cont´ınua em X;
2. f : M → N cont´ınua em todos os pontos de M.
Podemos sempre afirmar que na situa¸c˜ao acima (b) implicar´a sempre em (a).
Mas, em geral, (a) pode n˜ao implicar em (b), como mostra o exemplo acima.
Exemplo 3.1.18 Consideremos f : R → R dada por
f(x) =
sen(1
x), se x = 0
0, se x = 0
.
Afirmamos que f ´e descont´ınua em x = 0.
De fato, seja ε =
1
2
0.
64. 64 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
Dado δ 0 seja N0 ∈ N tal que N0 ≥
1
δ
.
Consideremos x ∈ R dado por
x
.
=
2
(2N0 + 1)π
.
Como (2N0 + 1)π 2N0 temos que
dR(x, 0) = x =
2
(2N0 + 1)π
2
2N0
=
1
N0
δ.
Mas
dR(f(x), f(0)) = |sen(
1
2
(2N0+1)π
) − 0| = |sen(
(2N0 + 1)π
2
)|
[sen(
(2N0+1)π
2
)=±1]
= 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Observa¸c˜ao 3.1.11 Seja f : M → N e consideremos N1
.
= f(M) = {f(x) : x ∈ M} visto
como subsepa¸co m´etrico de N (ou seja, com a m´etrica induzida de N).
Definamos f1 : M → N1 por f1(x)
.
= f(x), x ∈ M.
Afirmamos que f ´e cont´ınua em M se, e somente se, f1 ´e cont´ınua em M.
A demonstra¸c˜ao deste fato ser´a deixada como exerc´ıcio para o leitor.
3.2 Propriedades elementares de fun¸c˜oes cont´ınuas entre espa¸cos
m´etricos
Come¸caremos pela
Proposi¸c˜ao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos m´etricos e a ∈ M.
Se f : M → N ´e cont´ınua em a e g : N → P ´e cont´ınua em f(a) ent˜ao g ◦ f : M → P ´e
cont´ınua em a.
Demonstra¸c˜ao:
Dado ε 0, como g ´e cont´ınua no ponto f(a), existe λ 0 tal que se y ∈ N e
dN (y, f(a)) λ ent˜ao dP (g(y), g(f(a))) ε. (∗)
Mas f ´e cont´ınua em a, logo dado λ 0 (obtido acima), existe δ 0 tal que se x ∈ M e
dM (x, a) δ ent˜ao dN (f(x), f(a)) λ.
Logo, se f(x) ∈ N, de (*) temos
dP (g(f(x)), g(f(a))) λ,
mostrando que g ◦ f ´e cont´ınua em a, como quer´ıamos mostrar.
Observa¸c˜ao 3.2.1
1. O resultado acima nos diz que a composta de duas fun¸c˜oes cont´ınuas ´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua.
65. 3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS ENTRE ESPAC¸OS M´ETRICOS65
2. Temos a seguinte caracteriza¸c˜ao geom´etrica para a demonstra¸c˜ao do resultado acima:
g(f(a))
”
ε
E
gf(a)
…
λ
g(B(f(a); λ))
‡
Ef
”
δ
f(B(a; δ))
c
a
Como conseq¨uˆencia temos
Corol´ario 3.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos m´etricos.
Se f : M → N ´e cont´ınua em a ∈ X ⊆ M ent˜ao f|X
: X → N ´e cont´ınua em a.
Demonstra¸c˜ao:
Sabemos que a aplica¸c˜ao inclus˜ao, i : X → M ´e cont´ınua em X (ver exemplo (3.1.8)).
Observemos que f|X
= f ◦ i.
Como f ´e cont´ınua em a segue, da proposi¸c˜ao acima, que f|X
= f ◦ i ser´a cont´ınua no ponto
a, completando a demosntra¸c˜ao do corol´ario.
Observa¸c˜ao 3.2.2 O corol´ario acima nos diz que a restri¸c˜ao de uma fun¸c˜ao cont´ınua a um
subconjunto do seu dom´ınio ser´a uma fun¸c˜ao cont´ınua nesse subconjunto.
Antes de prosseguir temos a
Observa¸c˜ao 3.2.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos m´etricos, f : M×N → P onde em
M × N consideramos uma das trˆes m´etricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do m´aximo).
Logo f ser´a cont´ınua em (a, b) ∈ M × N se dado ε 0 existe δ 0 tal que
dM×N ((x, y), (a, b)) δ implicar dP (f(x, y), f(a, b)) ε.
Neste caso ´e comum dizermos que f ´e cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b).
Temos tamb´em a:
Defini¸c˜ao 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos m´etricos, f : M × N → P e (a, b) ∈
M × N.
Diremos que f ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a 1.a vari´avel no ponto (a, b) se a aplica¸c˜ao
fb : M → P
dada por
fb(x)
.
= f(x, b), x ∈ M,
for cont´ınua no ponto a.
Diremos que f ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a 2.a vari´avel no ponto (a, b) se a aplica¸c˜ao
fa
: N → P
66. 66 CAP´ITULO 3. FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS DEFINIDAS EM ESPAC¸OS M´ETRICOS
dada por
fa
(y)
.
= f(a, y), y ∈ N,
for cont´ınua no ponto b.
Diremos que f ´e cont´ınua separadamente no ponto (a, b) se ela for cont´ınua em rela¸c˜ao
a cada uma das vari´aveis no ponto (a, b).
Observa¸c˜ao 3.2.4
1. Na situa¸c˜ao acima se f ´e cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b) ent˜ao temos que
fa
= f ◦ ja fb = f ◦ ib,
onde ib : M → M × N e ja : N → M × N s˜ao as aplica¸c˜oes de M, e de N, em M × N
dadas pelo exemplo (3.1.10), respectivamente.
Assim, como ib e ja s˜ao cont´ınuas em M e N, respectivamente, segue que que fa e fb s˜ao
cont´ınuas nos pontos a e b, respectivamente.
Portanto f ser´a cont´ınua separadamente no ponto (a, b).
2. N˜ao vale, em geral, a rec´ıproca do resultado acima, isto ´e, existem fun¸c˜oes f : M ×N → P
que s˜ao cont´ınuas separadamente no ponto (a, b) mas n˜ao s˜ao cont´ınuas (conjuntamente)
no ponto (a, b).
Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:
Seja
f : R × R → R
dada por
f(x)
.
=
xy
x2 + y2
, se (x, y) = (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
.
No ponto (0, 0) temos que f ´e cont´ınua separamente (pois f(x, 0) = 0 e f(0, y) = 0 para
todo x, y, ∈ R que s˜ao cont´ınuas em R).
Mas f n˜ao ´e cont´ınua (conjuntamente) no ponto (0, 0) pois se tomarmos a restri¸c˜ao da
fun¸c˜ao f `a reta y = ax, com a = 0 (que torna-se um espa¸co m´etrico com a m´etrica
induzida pela m´etrica de R2) ent˜ao teremos
f(x, ax) =
ax2
x2 + a2x2
=
a
1 + a2
= 0 se x = 0
e se x = 0 teremos que f(0, a.0) = (0, 0), mostrando que f ´e descont´ınua no ponto (0, 0).
Para o pr´oximo resultado precisaremos da
Defini¸c˜ao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2) espa¸cos m´etricos,
f : M → N1 × N2
dada por
f(x)
.
= (f1(x), f2(x)), x ∈ M
onde fj : M → Nj, j = 1, 2 s˜ao ditas fun¸c˜oes coordenadas da fun¸c˜ao f.
Neste caso escreveremos f = (f1, f2).
67. 3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS ENTRE ESPAC¸OS M´ETRICOS67
Com isto temos a
Proposi¸c˜ao 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2), N1×N2 espa¸cos m´etricos, onde no ´ultimo
consideramos uma das trˆes m´etricas usuais, f : M → N1 × N2 dada por f(x)
.
= (f1(x), f2(x)),
x ∈ M onde fj : M → Nj, j = 1, 2 e a ∈ M.
Ent˜ao f ´e cont´ınua no ponto a se, e somente se, f1 e f2 s˜ao cont´ınuas no ponto a.
Demonstra¸c˜ao:
Suponhamos que f ´e cont´ınua no ponto a.
Temos que
f1 = p1 ◦ f e f2 = p2 ◦ f,
onde pj : N1 × N2 → Nj, j = 1, 2 s˜ao as proje¸c˜oes em N1 e N2 definidas no exemplo (3.1.13),
respectivamente.
Como p1, p2 s˜ao cont´ınuas em N1 e N2, respectivamente, segue que f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em
a ∈ M.
Reciprocamente,
(i) Consideremos em N1 × N2 a m´etrica do m´aximo.
Se f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em a ∈ M ent˜ao dado ε 0 segue que existem δ1, δ2 0 tal que
se
dM (x, a) δi implicar´a dNi (fi(x), fi(a)) ε, i = 1, 2. (∗)
Seja δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
Assim, se dM (x, a) δ logo dM (x, a) δ1 e dM (x, a) δ2 e de (*) teremos
dN1×N2 (f(x), f(a)) = max{d1(f1(x), f1(a)), d2(f2(x), f2(a))} ε,
mostrando que f ´e cont´ınua no ponto a.
(ii) Se considerarmos em N1 × N2 a m´etrica da raiz quadrada temos que dado ε 0 existem
δ1, δ2 0 tal que se
dM (x, a) δi implicar´a dNi (fi(x), fi(a))
ε
√
2
, i = 1, 2. (∗)
tomando-se δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
Assim, se dM (x, a) δ logo dM (x, a) δ1 e dM (x, a) δ2 e de (*) teremos
dN1×N2 (f(x), f(a)) = [d1(f1(x), f1(a))]2 + [d2(f2(x), f2(a))]2 [
ε
√
2
]2 + [
ε
√
2
]2
=
ε2
2
+
ε2
2
=
√
ε2 = ε,
mostrando que f ´e cont´ınua no ponto a.
(iii) Se considerarmos em N1 × N2 a m´etrica da soma temos que dado ε 0 existem δ1, δ2 0
tal que se
dM (x, a) δi implicar´a dNi (fi(x), fi(a))
ε
2
, i = 1, 2. (∗)