Espaços metricos

Notas do Curso de SMA-343 - Espa¸cos M´etricos
Prof. Wagner Vieira Leite Nunes
S˜ao Carlos 2.o semestre de 2008

Sumário
1 Introdu¸cão 5
2 Espa¸cos Métricos 7
2.1 Defini¸cões básicas e exemplos de espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Distância de um ponto a um subconjunto em um espa¸co métrico . . . . . . . . . 41
2.5 Distância entre dois subconjuntos de um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Imersões isométricas e isometrias entre espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Fun¸cões Cont´ınuas Definidas em Espa¸cos Métricos 53
3.1 Defini¸cão de fun¸cão cont´ınua em espa¸cos métricos e exemplos . . . . . . . . . . . 53
3.2 Propriedades elementares de fun¸cões cont´ınuas entre espa¸cos métricos . . . . . . 64
3.3 Homeomorfismos entre espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Métricas equivalentes em um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Transforma¸cões lineares e multilineares definidas em espa¸cos vetoriais normados . 100
4 Conjuntos Abertos, Fechados - Espa¸cos Topológicos 115
4.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Rela¸cões entre conjuntos abertos e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Espa¸cos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4 Conjuntos fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Conjuntos Conexos 165
5.1 Defini¸cões e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3 Conexão por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4 Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6 Limites 213
6.1 Limites de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.2 Sequências de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.4 Convergência e topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.5 Sequências de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.6 Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.7 Limites de fun¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3

4 SUM ÁRIO
7 Continuidade Uniforme de Fun¸cões em Espa¸cos Métricos 253
8 Espa¸cos Métricos Completos 263
8.1 Sequências de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.2 Espa¸cos métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.3 Espa¸cos de Banach e espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.4 Extensão de fun¸cões cont´ınuas ou uniformemente cont´ınuas . . . . . . . . . . . . 281
8.5 Completamente de um espa¸co métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.6 Espa¸co métricos topologicamente completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.7 O teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.8 Método das aproxima¸cões sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
9 Bibliografia 315

Cap´ıtulo 1
Introdu¸cão
Este trabalho poderá servir como notas de aula para cursos cujas ementas tratam de espa¸cos
métricos.
Serão exibidos todos os conceitos relacionados com o conteúdo acima, bem como propriedades
e aplica¸cões dos mesmos.
As referências ao final das notas poderão servir como material importante para o conteúdo
aqui desenvolvido.
5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO

Cap´ıtulo 2
Espa¸cos Métricos
5.08.2008 - 1.a
7.08.2008 - 2.a
2.1 Defini¸cões básicas e exemplos de espa¸cos métricos
Come¸caremos com a:
Defini¸cão 2.1.1 Seja M um conjunto não vazio.
Diremos que uma aplica¸cão
d : M × M → R
é uma métrica (ou distância) em M se as seguintes condi¸cões estão satisfeitas:
(d1) d(x, x) = 0;
(d2) se x, y ∈ M e x = y então d(x, y) > 0;
(d3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ M;
(d4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x, y, z ∈ M.
Observa¸cão 2.1.1
1. (d1) e (d2) implicam que d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ M e que d(x, y) = 0 se, e somente
se, x = y.
2. (d3) nos diz que d(x, y) é um fun¸cão simétrica nas variáveis x e y.
3. (d4) é conhecida como desigualdade triangular.
Este nome se deve ao fato que, na geometria euclideana, o comprimento de um lado de um
triângulo é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois lados do triângulo.
7

8 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS MÉTRICOS
x
y
z
d(x, z) < d(x, y) + d(y, z)
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.1.2 Se d é uma métrica em M então o par (M, d) será denominado espa¸co
métrico.
Observa¸cão 2.1.2 Quando não houver possibilidade de confusão nos referiremos ao espa¸co
métrico M (ao invés de (M, d)) deixando subentendido a métrica d a ser considerada.
Nota¸cão 2.1.1 Se (M, d) é um espa¸co métrico, os elementos de M serão ditos pontos de M.
A seguir daremos alguns exemplos de espa¸cos métricos.
Exemplo 2.1.1 Seja M um conjunto não vazio.
Consideremos a aplica¸cão d : M × M → R dada por
d(x, y) =
0, se x = y
1, se x = y
.
Afirmamos que d é uma métrica em M.
De fato, as condi¸cões (d1), (d2) e (d3) são verificadas facilmente e serão deixadas como
exerc´ıcio para o leitor.
Mostremos que (d4) ocorre.
Se x = z então temos que
d(x, z) = 0 ≤ d(x, y) + d(y, z)
independente de y ∈ M (pois d(x, y), d(y, z) ≥ 0).
Se x = z então temos que
d(x, z) = 1 ≤ d(x, y) + d(y, z) (∗)
independente de y ∈ M (pois se y = z teremos d(x, y) = 0 mas como y = x = z segue que
d(y, z) = 1 assim (*) ocorrerá; de modo semelhante se y = z).
Portanto vale (d4), ou seja, d é uma métrica em M.

2.1. DEFINIÇ ÕES B ÁSICAS E EXEMPLOS DE ESPAÇOS MÉTRICOS 9
Observa¸cão 2.1.3 A métrica acima é denominada métrica zero-um.
Exemplo 2.1.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e S ⊆ M não vazio.
Então tomando-se a restri¸cão de d sobre S, isto é, d|S : S × S → R dada por d|S(x, y)
.
=
d(x, y) para x, y ∈ S então segue que d|S é uma métrica em S.
A veririfica¸cão que (d1)-(d4) valem para d|S será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Observa¸cão 2.1.4 No caso acima S será dito subespa¸co (métrico) de M e a métrica d|S
será dita métrica induzida pela métrica d de M.
Exemplo 2.1.3 Seja M = R e
d : R × R → R
dada por
d(x, y)
.
= |x − y|
para x, y ∈ R.
Então d é uma métrica em R pois (d1)-(d4) são conseqüências das propriedades elementares
da fun¸cão valor absoluto (a verifica¸cão disto será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Observa¸cão 2.1.5 No caso acima diremos que a métrica d é a métrica usual de R.
Podemos generalizar o exemplo acima, a saber:
Exemplo 2.1.4 Seja M = Rn.
Podemos considerar as seguintes aplica¸cões
d, d , d : Rn
× Rn
→ R, j = 1, 2, 3 :
1. d(x, y)
.
= (x1 − y1)2 + · · · (xn − yn)2 =
n
i=1
(xi − yi)2
1
2
.
2. d (x, y)
.
= |x1 − y1| + · · · |xn − yn| =
n
i=1
|xi − yi|.
3. d (x, y)
.
= max{|x1 − y1|, · · · , |xn − yn|} = max
1≤i≤n
|xi − yi|.
As aplica¸cões d, d , d são métricas em Rn.
De fato, elas cumprem as condi¸cões (d1),(d2) e (d3) (isto será deixado como exerc´ıcio para
o leitor).
A condi¸cão (d4) é facilmente verificada para d e d (isto será deixado como exerc´ıcio para
o leitor).
A condi¸cão (d4) para d será verificada num exemplo a seguir.
1. A métrica d acima definida será denominada métrica euclideana.
Ela provém da fórmula da distância entre dois pontos (em coordenadas cartesianas) que é
uma conseqüência do Teorema de Pitágoras (a verifica¸cão disto será deixado como exerc´ıcio
para o leitor).
Devido a este fato a métrica d será dita métrica usual de Rn.

2. Se n = 2 a métrica d é a que dá a distância entre os pontos p e q do plano (ou seja, o
comprimento do segmento de reta que une os pontos p e q, vide figura abaixo).
p
q
d(p, q)
A métrica d nos dá a distância entre dois pontos do plano utilizando-se dos catetos de um
triângulo retângulo determinado pelos pontos p e q (vide figura abaixo).
p
q
r
' E
T
c
‰
w
d (p, q)
A métrica d nos dá a distância entre dois pontos do plano utilizando-se o comprimento
do maior cateto de um triângulo retângulo determinado pelos pontos p e q (vide figura
abaixo).
p
q
r
' E
‰
d (p, q)
Geometricamente, temos a seguinte configura¸cão para as três distâncias acima:

p
q
d(p, q)
d (p, q)
E'
E'
T
c
W
w
d (p, q)
3. Se n = 2 temos o plano R2 cujos elementos serão representados por (x, y) ou (u, v), onde
x, y, u, v ∈ R.
4. Em algumas situa¸cões identificamos R2 com C, o conjunto dos números complexos por
meio da correspondência (x, y) → x + iy, onde i2 .
= −1.
5. Se n = 3 temos o espa¸co R2 cujos elementos serão representados por (x, y, z) ou (u, v, w),
onde x, y, z, u, v, w ∈ R.
Com isto temos a
Proposi¸cão 2.1.1 Consideremos d, d , d as métricas definidas no exemplo (2.1.4).
Então, para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y).
Demonstra¸cão:
Observemos que para todo a, b ≥ 0 temos que:
√
a + b ≤
√
a +
√
b (∗).
De fato, pois
[
√
a +
√
b]2
= [
√
a]2
+ 2
√
a
√
b + [
√
b]2
= a + 2
√
a
√
b + b ≥ a + b.
Portanto
√
a + b ≤
√
a +
√
b como afirmamos.
Observemos que para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) = max
1≤i≤n
|xi − yi|
[|a|=
√
a2]
= max
1≤i≤n
(xi − yi)2 ≤


n
j=1
(xj − yj)2


1
2
= d(x, y),
d(x, y) =


n
j=1
(xj − yj)2


1
2
(∗)
≤
n
j=1
(xj − yj)2
[
√
a2=|a|]
=
n
j=1
|xj − yj| = d (x, y) e
d (x, y) =
n
j=1
|xj − yj| ≤
n
j=1
max
1≤j≤n
{|xj − yj|} = max
1≤j≤n
{|xj − yj|}
n
j=1
1
= max
1≤j≤n
{|xj − yj|}.n = n.d (x, y)

completando a demonstra¸cão.
Para o próximo exemplo introduziremos a seguinte defini¸cão:
Defini¸cão 2.1.3 Seja X um conjunto não vazio.
Diremos que uma fun¸cão f : X → R é limitada se existir k = kf > 0 tal que
|f(x)| ≤ k, para todo x ∈ X.
Denotaremos por B(X; R) o conjunto formado por todas as fun¸cões, f : X → R que são
limitadas, isto é,
B(X; R)
.
= {f : X → R : f é limitada}.
Com isto temos o:
Exemplo 2.1.5 Na situa¸cão acima temos que B(X; R) tornar-se-á um espa¸co vetorial sobre R
com as opera¸cões usuais de adi¸cão de fun¸cões e multiplica¸cão de número real por fun¸cão (isto
será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Definimos
d : B(X; R) × B(X; R) → R
por
d(f, g)
.
= sup
x∈X
|f(x) − g(x)|,
onde f, g ∈ B(X; R).
Afirmamos que d é uma métrica em B(X; R).
De fato:
1. Se f ∈ B(X; R) então
d(f, f) = sup
x∈X
|f(x) − f(x)| = 0,
mostrando que vale (d1);
2. Se f, g ∈ B(X; R) e f = g então existe x0 ∈ X tal que f(x0) = g(x0).
Assim
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| ≥ |f(x0) − g(x0)| > 0,
3. Se f, g ∈ B(X; R) então
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| = sup
x∈X
| − [g(x) − f(x)]| = sup
x∈X
|g(x) − f(x)| = d(g, f),
4. Se f, g, h ∈ B(X; R) então para cada x ∈ X temos que
|f(x) − g(x)| = |[f(x) − h(x)] + [h(x) − g(x)]|
[|a+b|≤|a|+|b|]
≤ |f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|.
Logo

d(f, g) = sup
x∈X
{|f(x) − g(x)|} ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|}. (∗)
Sabemos que se A e B são limitados superiormente em R então A + B é limitado superi-
ormente em R e
sup[A + B] ≤ sup A + sup B.
Aplicando isto ao lado direito de (*) obteremos
d(f, g) ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup
x∈X
{|f(x) − h(x)|} + sup
x∈X
{|h(x) − g(x)|}
= d(f, h) + d(h, g),
mostrande que (d4) é verdadeira.
Deste completamos a prova que d é uma métrica em B(X; R).
1. A métrica definida no exemplo acima é denominada métrica da convergência uniforme
ou métrica do sup.
2. Para ilustrar, se X
.
= [0, 1], f, g : [0, 1] → R são dadas por f(x) = x e g(x) = x2, x ∈ [0, 1]
então, geometricamente, d(f, g) será o comprimento da maior corda vertical unindo os
pontos dos gráficos das fun¸cões f e g (vide figura abaixo).
T
E
1
1
f
g
c
d(f, g) = |f( 1
2
) − g( 1
2
)| = 1
2
− 1
2
2
= 1
4
x
y
TC
1
2
3. Vale observar que se X = {1, 2, · · · , n} então toda fun¸cão f : X → R será limitada (pois
|f(x)| ≤ kf
.
= max
1≤i≤n
|f(i)|, x ∈ X), ou seja, f ∈ B(X; R).
Logo podenos identificar f com a n-upla (x1, x2, · · · , xn) onde xi
.
= f(i), 1 ≤ i ≤ n.
Portanto B(X; R) pode ser identificado com Rn.
Neste caso a métrica d em B(X; R) definida no exemplo acima, induzirá a métrica d em
Rn, pois
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x) − g(x)| = max
1≤i≤n
|f(i) − g(i)| = max
1≤i≤n
|xi − yi| = d (x, y),
onde xi = f(i), yi = g(i), i = 1, · · · , n.
Conclusão, temos a seguinte identifica¸cão: (B(X; R), d) = (Rn, d ).

12.08.2008 - 3.a
Para o próximo exemplo precisaremos da:
Defini¸cão 2.1.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que uma fun¸cão . :→ R é uma norma em E se as seguintes condi¸cões são
verificadas:
(n1) Se x ∈ E é tal que x = 0 então x = 0;
(n2) Se λ ∈ R e x ∈ E então λ x = |λ| x ;
(n3) Se x, y ∈ E então x + y ≤ x + y .
Observa¸cão 2.1.8 Suponhamos que . seja uma norma em E, espa¸co vetorial sobre R.
1. Observemos para todo x ∈ E temos que
0 = 0.x
(n2)
= |0| x = 0 e − x = (−1).x
(n2)
= | − 1| x = x (∗).
2. Se x ∈ E temos
0 = x + (−x)
(n3)
≤ x + − x
(∗)
= x + x = 2 x .
Logo x ≥ 0, para todo x ∈ E.
3. Segue de (n1) e do item 2. acima segue que se x ∈ E, x = 0 então x > 0.
Com isto temos a
Defini¸cão 2.1.5 Um espa¸co vetorial normal é um par (E, . ) onde E é um espa¸co vetorial
sobre R e . é uma norma definida em E.
A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos vetoriais normados.
Exemplo 2.1.6 Consideremos em Rn as seguintes fun¸cões . , . , . : Rn → R dadas por
x
.
=
n
i=1
x2
i , x
.
=
n
i=1
|xi|, x
.
= max
1≤i≤n
|xi|,
onde x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que as fun¸cões . , . acima são normas
em Rn.
Além disso será deixado para o leitor a verifica¸cão que . satisfaz as condi¸cões (n1), (n2).
Logo adiante mostraremos que . também satisfaz a condi¸cão (n3) e portanto também será
uma norma em Rn.
Outro exemplo importante é

Exemplo 2.1.7 No exemplo (2.1.5) acima podemos considerar a fun¸cão
. : B(X; R) → R
dada por
f
.
= sup
x∈X
|f(x)|, f ∈ B(X; R).
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que . é uma norma em B(X; R), ou seja,
(B(X; R), . ) é um espa¸co vetorial normado.
Tal norma será denomiada de norma da convergência uniforme (ou do sup) em
B(X; R).
Podemos agora obter uma cole¸cão de exemplos de espa¸cos métricos, a saber:
Exemplo 2.1.8 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
Consideremos a fun¸cões d : E × E → R dada por
d(x, y)
.
= x − y , x, y, ∈ E.
Afirmamos que d é um métrica em E.
De fato:
1.
d(x, x) = x − x = 0
[Observa¸cão (2.1.8) item 1.]
= 0,
ou seja, vale (d1);
2. Se x = y temos que x − y = 0, logo
d(x, y) = x − y
[observa¸cão (2.1.8) item 3.]
> 0,
ou seja, vale (d2);
3. Se x, y ∈ E temos que
d(x, y) = x − y
[observa¸cão (2.1.8) item 1.]
= − (x − y) = y − x = d(y, x),
ou seja, vale (d3);
4. Se x, y, z ∈ E temos que
d(x, z) = x − z = (x − y) + (y − z)|
(n4)
≤ x − y + y − z = d(x, y) + d(y, z),
ou seja, vale (d4).
Portanto d é um métrica em E e assim (E, d) é um espa¸co métrico.

1. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial normado é um espa¸co métrico (onde
a métrica será a métrica do exemplo acima).
Neste caso diremos que a métrica d provém da norma . .
Por exemplo, as métricas d, d , d de Rn provém das normas . , . , . , respectiva-
mente (será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão destes fatos).
De modo semelhante temos que a métrica
d(f, g) = f − g
definida em B(X; R) (onde a norma . é a do exemplo (2.1.7)) é proveniente da norma
da convergência uniforme.
2. Pergunta-se:
Seja E é um espa¸co vetorial sobre R e d é um métrica em E.
Existirá uma norma em E de modo que a métrica dada d provém dessa norma? ou seja,
uma métrica qualquer definida E provém de alguma norma definida em E?
Infelizmente isto é falso, ou seja, existem espa¸cos vetoriais que possuem métricas que não
provém de normas definidas no espa¸co vetorial em questão.
O exerc´ıcio 3 da 1.a lista de exerc´ıcios nos dá uma condi¸cão necessaria e suficiente para
que um métrica em um espa¸co vetorial seja proveniente de uma norma do espa¸co vetorial
em questão.
Mais precisamente temos que:
Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Uma métrica, d, em E provém de uma norma em E se, e somente se,
d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = |λ|d(x, y),
para todo x, y, a ∈ E e λ ∈ R.
No exerc´ıcio 4 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor é convidado a produzir um exemplo de
espa¸co vetorial que possua uma métrica que não provém de nenhuma norma definida no
espa¸co vetorial em questão.
3. Observemos também que se (E, . ) é um espa¸co vetorial normado então para todo x ∈ E
temos
d(x, 0) = x − 0 = x ,
isto é, a norma do vetor x ∈ E é a distância do ponto x ∈ E à origem 0 ∈ E.
Para considerar uma outra classe de exemplos precisaremos da
Defini¸cão 2.1.6 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que a fun¸cão
< ., . >: E × E → R
é um produto interno (ou escalar) em E se satisfas as seguintes condi¸cões:
(p1) Para x, x , y ∈ E temos
< x + x , y >=< x, y > + < x , y >;

(p2) Para x, y ∈ E e λ ∈ R temos
< λx, y >= λ < x, y >;
(p3) Para x, y ∈ E temos
< x, y >=< y, x >;
(p4) Para x ∈ E, x = 0 temos
< x, x >> 0.
Neste caso diremos que (E, < ., . >) é um espa¸co com produto interno (ou escalar).
1. Se (E, < ., . >) é um espa¸co com produto interno então para x, y, y ∈ E e λ ∈ R temos
que
< x, y + y >
(p3)
= < y + y , x >
(p1)
= < y, x > + < y , x >
(p3)
= < x, y > + < x, y >
e
< x, λy >
(p3)
= < λy, x >
(p2)
= λ < y, x >
(p3)
= λ < x, y >, (∗)
ou seja, < ., . > é linear em cada uma das suas entradas (denominada bilinear).
2. De (p4) temos que se x ∈ E e < x, x >= 0 então x = 0.
Logo temos que
< x, x >≥ 0
para todo x ∈ E e < x, x >= 0 se, e somente se, x = 0.
No curso de Álgebra Linear dir´ıamos que a fun¸cão < ., . > é bilinear, simétrica e positiva
definida.
A seguir exibiremos alguns exemplos de espa¸cos com produto interno:
Exemplo 2.1.9 Seja E = Rn e definamos
< ., . >: Rn
× Rn
→ R
por
< x, y >
.
= x1y1 + · · · + xnyn =
n
i=1
xi yi,
onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ Rn.
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que a fun¸cão < ., . > definida acima
satisfaz as condi¸cões (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, < ., . > é um porduto interno em Rn.
Outro exemplo importante é:

Exemplo 2.1.10 Seja C([a, b]; R) = {f : [a, b] → R; f cont´ınua em [a, b]}.
Pode-se mostrar que C([a, b]; R) munido das opera¸cões usuais de adi¸cão de fun¸cões e multi-
plica¸cão de número real por fun¸cão é um espa¸co vetorial.
Para isto basta mostrar que C([a, b]; R) é um subsepa¸co vetorial de B([a, b]; R) (a verifica¸cão
deste fato será deixado como exerc´ıcio para o leitor; lembremos que se f é cont´ınua em [a, b]
então f será limitada).
Considere a seguinte fun¸cão
< ., . >: C([a, b]; R) × C([a, b]; R) → R
dada por:
< f, g >
.
=
b
a
f(x)g(x) dx,
se f, g ∈ C([a, b]; R).
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que < ., . > definida acima satisfaz as
condi¸cões (p1),(p2),(p3) e (p4), ou seja, é um produto interno em C([a, b]; R) .
Com isto temos uma cole¸cão de espa¸cos vetoriais normados (e portanto, de espa¸cos métricos),
a saber:
Exemplo 2.1.11 Seja (E, < ., . >) um espa¸co vetorial com produto interno.
Considere a fun¸cão
. : E → R
dada por
x
.
= < x, x >, (∗)
para x ∈ E.
Afirmamos que . é uma norma em E.
De fato:
1. Se x ∈ E e x = 0 então
x = < x, x >
(p4), <x,x>0
= 0,
isto é, vale (n1);
2. Se x ∈ E e λ ∈ R então
λx = < λx, λx >
[ (p1) e a observa¸cão (2.1.10) (*)]
= λ2 < x, x > =
√
λ2 < x, x > = |λ| x ,
isto é, vale (n2);
3. Nesta situa¸cão temos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, a saber: se (E, < ., . >) espa¸co
vetorial com produto interno então para todo x, y ∈ E temos que
| < x, y > | ≤ x y .
De fato:
Se x = 0 valerá a igualdade, logo será verdadeira.

Se x = 0 podemos definir
λ
.
=
< x, y >
x 2
e z
.
= y − λx.
Observemos que
< z, x > =< y − λx, x >=< y, x > −λ < x, x >=< y, x > −
< x, y >
< x, x >
< x, x >
=< x, y > − < x, y >= 0,
(isto é, os vetores em questão são ortogonais).
Logo
y 2
=< y, y >=< z + λx, z + λx >=< z, z > +λ < z, x > +λ < x, z > +λ2
< x, x >
[<x,z>=<z,x>=0]
= z 2
+ λ2
x 2
.
Logo
λ2
x 2
≤ y 2
,
ou seja,
< x, y >
x 2
2
x 2
≤ y 2
,
isto é,
< x, y >2
≤ x 2
y 2
implicando a desigualdade acima, como quer´ıamos demonstrar.
4. Utilizando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
x + y 2
< x + y, x + y >=< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y >
= x 2
+ 2 < x, y > + y 2
≤ x 2
+ 2 x y + y 2
= ( x + y )2
,
inplicando que
x + y ≤ x + y ,
ou seja , vale (n3).
Com isto temos que . é uma norma em E.
5. Segue do item acima que a aplica¸cão d do exemplo (2.1.4) satisfaz a condi¸cão (d4), ou
seja, será uma métrica em Rn, como hav´ıamos afirmado.
1. No caso acima diremos que a norma (*) definida acima é uma norma que provém do
produto interno de E.
2. O exemplo acima nos mostra que todo espa¸co vetorial com produto interno pode tornar-se
um espa¸co vetorial normado (com a norma que provém do produto interno dado).

3. Pergunta-se:
Seja E um espa¸co vetorial normado.
Toda norma de E provém de um produto interno?
A resposta é negativa, isto é, existem espa¸cos vetoriais que possuem normas que não
provém de nenhum produto interno no espa¸co vetorial em questão.
No exerc´ıcio 5 da 1.a lista de exerc´ıcios o leitor é convidado a mostrar que em B(X; R) a
norma da convergência uniforme não provém de um produto interno.
Um outro exemplo pode ser obtido utilizando-se o item abaixo.
4. Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que: [Ex1.1 - +0.5]
Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
A norma . de E provém de um produto interno se, e somente se, temos que
x + y 2
+ x − y 2
= 2[ x 2
+ y 2
],
para tod x, y ∈ E, que é conhecida como lei do paralelogramo.
5. Logo a norma . em R2 não provém de um produto interno pois tomando-se x = (1, 0)
e y = (0, 1) temos que estes vetores não satisfazem a lei do paralelogramo (verifique!).
6. Como conseqüência do que vimos acima todo espa¸co vetorial com produto interno é um
espa¸co métrico (basta tomar a métrica que provém da norma que é proveniente do produto
interno).
Para concluir a se¸cão temos o:
Exemplo 2.1.12 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) dois espa¸cos métricos.
Em M × N podemos considerar as seguinte fun¸cões
d, d , d : [M × N] × [M × N] → R
dadas por:
d(z, z )
.
= [dM (x, x )]2 + [dN (y, y )]2;
d (z, z )
.
= dM (x, x ) + dN (y, y );
d (z, z )
.
= max{dM (x, x ), dN (y, y )},
onde z = (x, y), z = (x , y ) ∈ M × N.
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d, d , d são metricas em M × N.
1. Podemos generalizar o exemplo acima para um produto finito de espa¸cos métricos.
Mais precisamente, se (M1, d1), (M2, d2), · · · , (Mn, dn) são n-espa¸cos métricos então pode-
mos definir as seguintes métricas no produto cartesiano M1 × M2 × · · · × Mn:

2.2. BOLAS ABERTAS, BOLAS FECHADAS E ESFERAS EM ESPAÇOS MÉTRICOS 21
d(x, y)
.
= [d1(x1, y1)]2 + · · · + [dn(xn, yn)]2 =
n
j=1
[dj(xi, yi)]2;
d (x, y)
.
= d1(x1, y1) + · · · + dn(xn, yn) =
n
j=1
dj(xi, yi);
d (x, y)
.
= max{d1(x1, y1), · · · , dn(xn, yn)} = max
1≤j≤n
{dj(xi, yi)},
onde x = (x1, x2, · · · , xn), y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ M1 × M2 × · · · × Mn.
A verifica¸cão será deixcada como exerc´ıcio para o leitor.
2. A métrica d definida acima será dita métrica produto em M
.
= M1 × M2 × · · · × Mn.
A métrica d definida acima será dita métrica da soma em M
.
= M1 × M2 × · · · × Mn.
A métrica d definida acima será dita métrica do máximo em M
.
= M1 ×M2 ×· · ·×Mn.
3. De modo análogo ao feito na proposi¸cão (2.1.1) pode-se mostrar (será deixado como exer-
c´ıcio para o leitor) que para todo x, y, ∈ M1 × M2 × · · · × Mn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y).
4. Quando M1 = M2 = · · · = Mn = R reobteremos o espa¸co euclideano Rn como produto
cartesiano de n cópias do esp¸cao métrico R.
14.08.2008 - 4.a
2.2 Bolas abertas, bolas fechadas e esferas em espa¸cos métricos
Come¸caremos introduzindo a:
Defini¸cão 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e r > 0.
Definimos a bola aberta de centro em a e raio r, denotada por B(a; r) como sendo o
seguinte subconjunto de M:
B(a; r)
.
= {x ∈ M : d(x, a) < r}.
a
Qr
Definimos a bola fechada de centro em a e raio r, denotada por B[a; r] como sendo o
seguinte subconjunto de M:
B[a; r]
.
= {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}.

a
r
u
Definimos a esfera de centro em a e raio r, denotada por S(a; r) como sendo o seguinte
subconjunto de M:
S(a; r)
.
= {x ∈ M : d(x, a) = r}.
a
r
T
1. A bola aberta de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distância ao
ponto a é menor do que r.
A bola fechada de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distância ao
ponto a é menor ou igual do que r.
A esfera aberta de centro em a e raio r é o conjunto dos pontos de M cuja a distância ao
ponto a é igual r.
2. É fácil ver que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor)
B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r),
onde a reunião é disjunta, isto é, B(a; r) ∩ S(a; r) = ∅.
3. Se M = E é um espa¸co vetorial e a métrica d provém de uma norma . em E, então
segue que
B(a; r)
.
= {x ∈ E : x − a < r},
B[a; r]
.
= {x ∈ E : x − a ≤ r},
S(a; r)
.
= {x ∈ E : x − a = r}.
Temos o seguinte resultado:

Proposi¸cão 2.2.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, X ⊆ M um subsepa¸co (métrico) de M,
a ∈ X e r > 0.
Denotemos por BX(a; r) a bola aberta de centro em a e raio r em X.
Então
BX(a; r) = B(a; r) ∩ X,
onde B(a; r) é a bola aberta de centro em a e raio r em M.
Reciprocamente, dada a bola aberta de centro em a e raio r em M então B(a; r)∩X é a bola
aberta de centro em a e raio r em X, ou seja,
B(a; r) ∩ X = BX(a; r).
M
X
a
…r
©
BX (a; r)
B
B(a; r)
Demonstra¸cão:
Observemos que
BX(a; r) = {x ∈ X : dX(x, a) < r} = {y ∈ M : d(y, a) < r} ∩ X = B(a : r) ∩ X,
completando deste modo a demonstra¸cão do resultado.
De modo semelhante podemos provar a:
Proposi¸cão 2.2.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, X ⊆ M um subsepa¸co (métrico) de M,
a ∈ X e r > 0.
Denotemos por BX[a; r] e SX(a; r) a bola fechada e esfera de centro em a e raio r em X,
respectivamente.
Então
BX[a; r] = B[a; r] ∩ X, SX[a; r] = S(a; r) ∩ X
onde B[a; r], S(a; r) são a bola fechada e a esfera de centro em a e raio r em M, respectivamente.
Reciprocamente, dada a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em M então
B[a; r] ∩ X, ou S(a; r) ∩ X é a bola fechada, ou a esfera, de centro em a e raio r em X,
respectivamente ou seja,
B[a; r] ∩ X = BX[a; r], S(a; r) ∩ X = SX[a; r].
Demonstra¸cão:
A demonstra¸cão será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Para ilustrar temos os seguintes exemplos:

Exemplo 2.2.1 Consideremos R2 com a métrica usual e X = S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 = 1}.
Seja a ∈ S1 e r > 0.
Da proposi¸cão (2.2.1) segue que BS1 (a; r) será um arco (sem os extremos) da circunferência
S1 cujo ponto médio (no arco) será o ponto a (vide figura abaixo).
E
T
x
y
ES1
a
T
r
W
BR2 (a : r)c
BS1 (a; r)
De modo semelhante, da proposi¸cão (2.2.2) segue que BS1 [a; r], SS1 (a; r) são o arco (com os
extremos) da circunferência S1 cujo ponto médio será o ponto a e os pontos extremos do mesmo
arco, respectivamente (vide figura abaixo).
E
T
x
y
ES1
a
T
r
W
BR2 [a : r]c
BS1 [a; r]
B
z
SS1 (a; r)
Exemplo 2.2.2 Sejam M = ∅ munido da métrica zero-um, a ∈ M e r > 0.

Então
Se r > 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[d(x,a)≤1<r]
= M,
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[d(x,a)≤1<r]
= M;
Se r < 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[r<1]
= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a},
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[r<1]
= {x ∈ M : d(x, a) = 0} = {a};
Se r = 1 temos que: B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r}
[r<1]
= {a},
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r}
[r=1]
= M,
Como conseqüência temos que
S(a, r) = B[a; r] B(a; r) = ∅, se r = 1, S(a; 1) = B[a; 1] B(a; 1) = M − {a}.
Exemplo 2.2.3 Sejam R com a métrica usual, a ∈ R e r > 0.
Então:
B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = {x ∈ M : |x − a| < r} = (a − r, a + r), ou seja, um intervalo aberto,
B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = {x ∈ M : |x − a| ≤ r} = [a − r, a + r], ou seja, um intervalo fechado;
S(a, r) = B[a; r] B(a; r) = {a − r, a + r}, ou seja, os extremos do intervalo.
Geometricamente temos:
E
a
a + ra − r
Bola aberta de centro em a e raio r
E
a + ra − r a
Bola fechada de centro em a e raio r
E
a + r
a
a − r
Esfera de centro em a e raio r
Exemplo 2.2.4 Consideremos em R2 as métricas d, d , d definidas no exemplo (2.1.4).
Sejam a = (a1, a2) ∈ R2 e r > 0. Então:
B(a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d[(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: (x − a1)2 + (y − a2)2 < r}
= {(x, y) ∈ R2
: (x − a1)2
+ (y − a2)2
< r2
},
isto é, a região interior de um c´ırculo de centro no ponto a e raio r (veja figura abaixo).

a = (a1, a2)
Q
r
B (a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d [(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: |x − a1| + |y − a2| < r}
isto é, a região interior do quadrado de centro em a e cujas diagonais
são paralelas aos eixos coordenados (veja figura abaixo).
Observemos que
|x − a1| + |y − a2| = r se, e somente se,



x − a1 + y − a2 = r
−(x − a1) + y − a2 = r
−(x − a1) − (y − a2) = r
x − a1 − (y − a2) = r
que são as quatro retas que determinam o losango abaixo.
E
T
a = (a1, a2)
' x − a1 − y + a2 = r
' x − a1 + y − a2 = rE−x + a1 + y − a2 = r
E−x + a1 − y + a2 = r
(a1, a2 − r)
(a1 + r, a2)(a1 − r, a2)
(a1, a2 + r)
B (a; r) = {(x, y) ∈ R2
: d [(x, y), (a1, a2)] < r} = {(x, y) ∈ R2
: max{|x − a1|, |y − a2|} < r}
= {(x, y) ∈ R2
: |x − a1| < r e |y − a2| < r} = (a1 − r, a1 + r) × (a2 − r, a2 + r)
isto é, a região interior do quadrado [a1 − r, a1 + r] × [a2 − r, a2 + r]) (veja figura abaixo).

a = (a1, a2)
E
T
a1 − r a1 + ra1
a2 − r
a2 + r
a2
Observa¸cão 2.2.2 Geometricamente, o exemplo (2.2.4) ilustra que uma bola (aberta ou fechada)
pode não corresponder ao que pensamos (por exemplo, uma bola ser um quadrado!).
Exemplo 2.2.5 Seja (B([a, b]; R)), d) onde d é a métrica do sup (veja exemplo (2.1.5)).
Sejam f ∈ B([a, b]; R)) e r > 0.
Observemos que g ∈ B(f; r) se, e somente se,
r > d(f, g) = sup
x∈[a,b]
|f(x) − g(x)|
que implicará
|f(x) − g(x)| < r, para todo x ∈ [a, b],
ou ainda,
f(x) − r < g(x) < f(x) + r, para todo x ∈ [a, b].
Geometricamente podemos interpretar isso da seguinte forma: encontremos a representa¸cão
gráfica do gráfico de f, isto é,
G(f)
.
= {(x, f(x)) : x ∈ [a, b]}.
Encontremos a faixa de amplitude 2r em torno do gráfico de f, isto é, o conjunto
F2r(f)
.
= {(x, y) : a ≤ x ≤ b, f(x) − r < y < f(x) + r}.

T
E
G(f)
f(x)
x
c
T
T
c
r
r
F2r(f)

Deste modo, se g ∈ B(f; r) então o gráfico de g estará contido na faixa de amplitude 2r em
torno do gráfico de f, isto é, G(g) ⊆ F2r(f).
Geometricamente temos
T
E
G(f)
f(x)
x
c
T
T
c
r
r
G(g)
Observa¸cão 2.2.3 No exemplo acima, pode ocorrer de G(g) ⊆ F2r(f) e d(f, g) = r.
Para ver isto basta considerar f(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] e g(x) =
x, 0 ≤ x 1
0, x = 1
.
Neste caso
d(f, g) = sup
0≤x≤1
|f(x) − g(x)| = 1,
logo g ∈ B(f; 1) mas G(g) está contido em F2(f) (veja figura abaixo).

E
T
G(f)
G(g)
F2r(f)
A
Exemplo 2.2.6 Seja M
.
= {z = (x, y) ∈ R2 : z ≤ 1} subespa¸co (métrico) de R2 munido da
métrica usual.
Logo se r 1 temos que BM (0; r) = BM [0; r] = M e assim SM (0; r) = ∅.
Exemplo 2.2.7 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos e M
.
= M1 × · · · Mn munido da
métrica do máximo (isto é, d da observa¸cão (2.1.12) itens 1. e 2.).
Sejam a = (a1, · · · , an) ∈ M e r 0.
Então
B(a; r) = {x ∈ M : d (x, a) r} = {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn : max
1≤i≤n
di(xi, ai) r}
= {(x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn : di(xi, ai) r, para todo i = i, · · · , n}
= {x1 ∈ M1 : d1(x1, a1) r} × · · · × {xn ∈ Mn : dn(xn, an) r}
= BM1 (a1; r) × · · · × BMn (an; r)
De modo semelhante (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) temos
B[a; r] = BM1 [a1; r] × · · · × BMn [an; r]
Logo acabamos de mostrar que a bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano com a métrica
do máximo é o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores do
produto cartesiano.
1. Se no exemplo acima mudarmos a métrica do máximo pela métrica produto ou pela métrica
da soma a afirma¸cão será falsa, isto é, uma bola aberta (ou fechada) no produto cartesiano
pode não ser o produto cartesiano das bolas abertas (ou fechadas) em cada um dos fatores
do produto cartesiano.
Como exerc´ıcio para o leitor deixaremos que o mesmo encontre um contra-exemplo em R2.

2. Se considerarmos R3 como sendo o produto cartesiano de R2 × R onde R2 e R estão
munidos das correspondentes métricas euclieanas e tormarmos em R3 = R2 × R a métrica
d[(x, t), (x , t )]
.
= max{dR2 (x, x ), dR(t, t )},
onde (x, t), (x , t ) ∈ R2 × R então uma bola aberta, B(a; r) (ou fechadas) em R3 munido
da métrica d acima serão cilindros retos com base circular (contida no plano z = a), com
centro em a e raio r)e altura 2r.
De fato, pois se (A, a) ∈ R2 × R e r 0 então, do exemplo (2.2.7), segue que
BR2×R((A, a); r) = BR2 (A; r) × BR(a; r) = {(x, y) : x2
+ y2
r2
} × {t ∈ R : |t − a| r},
ou seja, o produto cartesiano do interior de um c´ırculo por um intervalo aberto que nos
dá, geometricamente, um cilindro reto com base circular.
T
B(0; r)
T
c
T
c
I
r
r
r
E
a
A verifica¸cão deste fato será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Temos a
Defini¸cão 2.2.2 Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Diremos que um ponto a ∈ M é um ponto isolado de M se existir uma bola aberta de M
que contenha somente o ponto a, isto é, existe r 0 tal que B(a; r) = {a}.
1. Um ponto a ∈ M é isolado em M se existe r 0 tal que não existem pontos diferentes do
ponto a a uma distância menor que r do próprio ponto.
2. Um ponto a ∈ M não é ponto isolado de M se toda bola aberta centrada em a contém,
pelo menos, um ponto de M diferente do ponto a, isto é, para todo r 0 temos
[B(a; r) ∩ M] {a} = ∅.
Consideremos os

Exemplo 2.2.8 Seja (M, d) um espa¸co métrico onde d é a métrica zero-um.
Então todo ponto de M é ponto isolado de M.
De fato, se a ∈ M e 0 r ≤ 1 então vimos no exemplo (2.2.2) que B(a; r) = {a}, mostrando
que a é ponto isolado de M.
Exemplo 2.2.9 Seja Z o conjunto formado por todos os números reais inteiros munido da
métrica usual induzida de R.
Afirmamos que todo ponto de Z é ponto isolado de Z.
De fato, se n ∈ Z e 0 r ≤ 1 então B(n; r) ∩ Z = {n} (pois B(n; r) = {x ∈ Z : |x − n|
r ≤ 1} = {n}), mostrando que n ∈ Z é ponto isolado de Z.
Exemplo 2.2.10 Seja P
.
= {0, 1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } munido da métrica usual induzida de R.
Observemos que o ponto 0 ∈ P não é um ponto isolado de P.
De fato, dado r 0 existe n0 ∈ N tal que n0
1
r
.
Logo
d(
1
n0
, 0) = |
1
n0
− 0| =
1
n0
r,
isto é,
1
n0
∈ [B(0; r) ∩ P] {0},
ou seja, 0 não é ponto isolado de P.
Por outro lado, qualquer outro ponto de P é ponto isolado de P.
De fato, se
1
n
∈ P então o ponto mais próximo dele em P é o ponto
1
n + 1
, cuja distância
a
1
n
é
1
n(n + 1)
(pois d(
1
n
,
1
n + 1
= |
1
n
−
1
n + 1
| =
(n + 1) − n
n(n + 1)
=
1
n(n + 1)
).
Logo se tomarmos
0 r
1
n(n + 1)
temos que se x ∈ P e
d(x,
1
n
) r
1
n(n + 1)
temos que x =
1
n
, ou seja,
[B(
1
n
; r) ∩ P] {
1
n
} = ∅,
mostrando que
1
n
é ponto isolado de P.
1
n
1
n−1
1
n+1
E'
1
n(n+1)
E' 1
(n−1)n
Observa¸cão 2.2.6 Se P
.
= {1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } munido da métrica usual induzida de R então,
segue do exemplo acima, que todo ponto de P é um ponto isolado de P.

Exemplo 2.2.11 Seja E um espa¸co vetorial normado com E = {0}.
Afirmamos que nenhum ponto de E é ponto isolado de E.
De fato, dado a ∈ E, para todo r 0 mostremos que
[B(a; r) ∩ E] {a} = ∅.
Para mostrar isso, consideremos y ∈ E, y = 0.
Logo o vetor
z
.
=
r
2 y
y
é diferente do vetor 0 e
z =
r
2 y
y =
r
2 y
y =
r
2
,
logo
0 z r.
Seja x
.
= a + z.
Então x = a (pois z = 0) e
x − a = z r,
ou seja,
x ∈ B(a; r) ∩ E e x = a,
mostrando que x ∈ [B(a; r) ∩ E] {a}, isto é,
[B(a; r) ∩ E] {a} = ∅.
Portanto todo ponto de E não é ponto isoldado de E.
~
a
r
By
b
x
.
= a + r
2 y
y
19.08.2008 - 5.a
Temos a
Defini¸cão 2.2.3 Diremos que um espa¸co métrico (M, d) é discreto se todo ponto de M é um
ponto isolado de M.
Exemplo 2.2.12 O exemplo (2.2.9) mostra que Z com a métrica usual induzida de R é um
espa¸co métrico discreto.

Exemplo 2.2.13 A observa¸cão (2.2.6) mostra que P = {1,
1
2
,
1
3
, · · · ,
1
n
, · · · } com a métrica
usual induzida de R é um espa¸co métrico discreto.
Exemplo 2.2.14 Seja M um conjunto não vazio e d a métrica zero-um em M.
Então (M, d) é um espa¸co métrico discreto, pois se a ∈ M então para 0 r ≤ 1 temos, do
Exemplo (2.2.2), que B(a; r) = {a}, ou seja todo ponto de M é ponto isolado de M, portanto
M é um espa¸co métrico discreto.
Diremos que um subconjunto X ⊆ M é discreto se X como subsepa¸co (métrico) de M for
um espa¸co métrico discreto.
Observa¸cão 2.2.7 Na situa¸cão acima, X é um espa¸co métrico discreto se, e somente se, para
cada x ∈ X existe r 0 tal que B(x; r) ∩ X = {x} (pois, da proposi¸cão (2.2.1) temos que
B(x; r) ∩ X = BX(x; r)).
Exerc´ıcio 2.2.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e X um subconjunto finito de M.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor mostrar que X é um subconjunto discreto de M.
Para finalizar a se¸cão temos a:
Proposi¸cão 2.2.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico, a, b ∈ M com a = b.
Consideremos r, s 0 tais que
r + s ≤ d(a, b).
Então as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) são disjuntas (veja figura abaixo), isto é,
B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅.
a
b
E '
r
s
E'
d(a, b) r + s
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B(a; r) ∩ B(b; s).
Logo
d(a, x) r e d(b, x) s.
Portanto
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) r + s ≤ d(a, b),
ou seja, d(a, b) d(a, b), o que é um absurdo.
Logo
B(a; r) ∩ B(b; s) = ∅

como quer´ıamos mostrar.
De modo semelhante temos a:
Proposi¸cão 2.2.4 Na situa¸cão da proposi¸cão acima, se
r + s d(a, b)
então as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] são disjuntas , isto é,
B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que existe x ∈ B[a; r] ∩ B[b; s].
Logo
d(a, x) ≤ r e d(b, x) ≤ s.
Portanto
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ r + s d(a, b),
ou seja, d(a, b) d(a, b), o que é um absurdo.
Logo
B[a; r] ∩ B[b; s] = ∅
2.3 Subconjuntos limitados de um espa¸cos métricos
Iniciaremos com a
Diremos que um subconjunto X ⊆ M, não vazio, é limitado em M se existir c 0 tal que
d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.
Observa¸cão 2.3.1 Se X ⊆ M é limitado em M então podemos considerar o conjunto
D
.
= {a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ X} ⊆ R.
Como X é limitado em M segue que D é não vazio e limitado superiormente (ou seja, existe
c ∈ R tal que c ∈ D).
Como todo subconjunto limitado superiormente em R admite supremo, segue que existe
0 ≤ sup D ∞.
Logo podemos introduzir a
Defini¸cão 2.3.2 Na situa¸cão acima, sup D será denominado diâmetro de X e indicado por
diam(X), ou seja,
diam(X) = sup{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para x, y ∈ X}.

2.3. SUBCONJUNTOS LIMITADOS DE UM ESPAÇOS MÉTRICOS 35
1. Se X ⊆ M não for limitado em M escreveremos
diam(X)
.
= ∞.
Isto significa que para todo c 0 existem xc, yc ∈ X tal que d(xc, yc) c.
2. Se X ⊆ M for limitado então
d(x, y) ≤ diam(X), para todo x, y, ∈ X.
3. É fácil mostrar que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se X ⊆ M for limitado
em M e Y ⊆ X então Y ⊆ M é limitado em M e
diam(Y ) ≤ diam(X).
Consideremos alguns exemplos
Exemplo 2.3.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico.
Então toda bola aberta (ou fechada; ou esfera) é subconjunto limitado de M e seu diâmetro
é menor ou igual ao dobro do seu raio.
De fato, seja a ∈ M e r 0.
Se x, y ∈ B(a; r) então
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r
mostrando que B(a; r) é um subconjunto limitado de M.
Além disso segue que 2r é um limitante superior do conjunto
{a ∈ R : d(x, y) ≤ a, para todo x, y ∈ B(a; r)}.
Portanto
diam[B(a; r)] ≤ 2r,
como afirmamos acima.
Vale o análogo para a bola fechada B[a; r] e para a esfera S(a; r) (será deixado como exerc´ıcio
para o leitor).
Observa¸cão 2.3.3 Em geral, não podemos garantir que o diâmetro da bola aberta (ou fechada,
ou esfera) seja igual ao dobro do seu raio, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos Z com a métrica usual induzida de R, r = 1 e n ∈ Z.
Como vimos no Exemplo (2.2.9) temos que B(n; 1) = {n} cujo diâmetro é zero (que é menor
que 2).
Quando vale a igualdade?
O exemplo a seguir responde esta questão:
Exemplo 2.3.2 Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E = {0}.
Afirmamos que toda bola aberta (ou fechada, ou esfera) tem diâmetro igual ao dobro do raio
da mesma, isto é,
diam(B(a; r)) = 2r (ou diam(B[a; r]) = 2r, diam(S(a; r)) = 2r).

De fato, sejam a ∈ E e r 0.
Sabemos que B(a; r) é um subconjunto limitado de E e que diam[B(a; r)] ≤ 2r.
Mostremos que se 0 s 2r então s não poderá ser pode ser diâmetro de B(a; r), ou seja,
existem x1, y1 ∈ B(a; r) tal que d(x1, y1) s.
Consideremos y ∈ E tal que y = 0 e seja t ∈ R tal que
s 2t 2r, ou seja, 0
s
2
t r.
Observemos que o vetor
x
.
=
t
y
y ∈ E
tem a seguinte propriedade:
x =
t
y
y = t
y
y
= t,
ou seja, x = t r.
Afirmamos que os vetores
x1
.
= a + x, x2
.
= a − x ∈ B(a; r).
De fato,
d(a + x, a) = (a + x) − a = x = t r
e, de modo semelhante, temos
d(a − x, a) = (a − x) − a = − x = x = t r.
Além disso
d(a + x, a − x) = (a + x) − (a − x) = 2x = 2 x = 2t s,
ou seja, d(x1, y1) s.
Logo todo s ∈ (0, 2r) não poderá ser o diâmetro da bola aberta B(a; r).
a
u
r

y

©
x1 = a + t y
y
y1 = a − t y
y
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor o
Exerc´ıcio 2.3.1 Mostrar que, na situa¸cão acima, temos
diam[B[a; r]] = 2r e diam[S(a; r)] = 2r.

1. Dado um espa¸co métrico qualquer (mesmo sendo não limitado) podemos considerar subes-
pa¸cos (métricos) do mesmo que sejam limitados.
Basta considerarmos os subconjunto limitados do mesmo e colocar a métrica induzida do
espa¸co métrico dado neste subconjunto.
2. Seja E um espa¸co vetorial normado tal que E = {0}.
Então E não é limitado.
De fato, consideremos x ∈ E, x = 0 e definamos, para cada n ∈ N,
xn
.
=
2n
x
x.
Observemos que
xn =
2n
x
x = 2n
x
x
= 2n n,
logo
d(xn, 0) = xn − 0 = xn n,
mostrando que E não é limitado.
3. Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Vale observar que um subconjunto X ⊆ M é limitado em M se, e somente se, X está
contido em alguma bola aberta de M, isto é, existe a ∈ M e r 0 tal que X ⊆ B(a; r).
De fato, se existe a ∈ M e r 0 tal que X ⊆ B(a; r) então para todo x, y ∈ X temos que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) r + r = 2r,
ou seja, X é limitado (e seu diâmentro é menor ou igual a 2r).
Reciprocamente, se X é limitado em M então existe c 0 tal que
d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X.
Consideremos x0 ∈ X.
Temos que
d(x, x0) ≤ c para todo x ∈ X,
assim se X ⊆ B(x0; c), ou seja X está contido em uma bola aberta de M, como quer´ıamos
mostrar.
Temos a
Proposi¸cão 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X, Y ⊆ M limitados em M.
Então X ∪ Y e X ∩ Y são limitados em M.

Demonstra¸cão:
Observemos que X ∩ Y ⊆ X e como X é limitado em M segue, da Observa¸cão (2.3.2) item
3., que X ∩ Y também será limitado em M.
Se X = ∅ ou Y = ∅ segue que X ∪ Y = Y ou X ∪ Y = X, respectivamente, implicando que
X ∪ Y é limitado.
Logo podemos supor, sem perda de generalidade, que X, Y = ∅.
Como X, Y são limitados em M existem c, d 0 e a, b ∈ M tais que
d(x, a) ≤ c e d(y, b) ≤ d
para todo x ∈ X e y ∈ Y .
Considere
k
.
= c + d + d(a, b) 0.
Logo se x ∈ X e y ∈ Y temos que
d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ c + d(a, b) + d = k.
Portanto se x, y ∈ X ∪ Y temos que:
Se x, y ∈ X temos que d(x, y) ≤ c k
Se x, y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ c k
Se x ∈ X e y ∈ Y temos que d(x, y) ≤ k,
ou seja, d(x, y) ≤ k para todo x, y ∈ X ∪ Y , mostrando que X ∪ Y é limitado em M.
Como conseqüência temos o:
Corolário 2.3.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X1, X2, · · · , Xn ⊆ M limitados em M.
Então X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn e X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn são limitados em M.
Demonstra¸cão:
Utiliza-se indu¸cão matemática e a proposi¸cão acima (será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Como outra conseqüência imediata temos que
Corolário 2.3.2 Seja (M, d) espa¸co métrico. Todo subconjunto finito de M é limitado.
Demonstra¸cão:
Basta observar que se X é um subconjunto finito de M ele será uma reunião finita dos
conjuntos formados por cada um dos seus pontos e como o conjunto formado por um ponto é
limitado segue, do corolário acima, que X será limitado em M.
Nota¸cão 2.3.1 Dada uma fun¸cão f : X → Y denotaremos seu conjunto imagem por f(X),
isto é,
f(X)
.
= {f(x) : x ∈ X} ⊆ Y.
Podemos agora introduzir a

Defini¸cão 2.3.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X um subconjunto não vazio.
Diremos que uma fun¸cão f : X → M é limitada em X se seu conjunto imagem, f(X), for
um subconjunto limitado de M.
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 2.3.3 Seja R com a métrica usual e f : R → R dada por
f(x)
.
=
1
1 + x2
, x ∈ R.
Observemos que |f(x)| ≤ 1, para todo x ∈ R, logo f é uma fun¸cão limitada (neste caso temos
f(R) = (0, 1]).
A figura abaixo nos dá o gráfico de f.
E
T
G(f)
1
Exemplo 2.3.4 Na situa¸cão acima se considerarmos g : R → R dada por g(x)
.
= x2 para x ∈ R
temos que g(R) = [0, ∞) logo não será um subconjunto limitado de R, mostrando que a fun¸cão
g não será uma fun¸cão limitada.
A figura abaixo nos dá o gráfico de g.
E
T
G(g)
Exemplo 2.3.5 Se a métrica d em Rn provém de uma norma de Rn então d não é uma fun¸cão
limitada.
De fato, da Observa¸cão (2.3.4) item 2. temos que Rn não é limitado, logo
d(Rn
, Rn
) = [0, ∞) ⊆ R
não poderá ser um subconjunto limitado de R, logo a fun¸cão d não será uma fun¸cão limitada.

Podemos agora generalizar o exemplo (2.1.5) por meio do
Exemplo 2.3.6 Sejam X um conjunto não vazio e (M, dM ) um espa¸co métrico.
Indiquemos por B(X; M) o conjunto de todas as fun¸cões limitadas definidas em X e tomando
valores em M, isto é,
B(X; M)
.
= {f : X → M : f é limitada em X}.
Dadas f, g ∈ B(X; M) temos que o conjunto
{dM (f(x), g(x)) : x ∈ X}
é limitado em R.
De fato, como f e g são limitadas segue que f(X) e g(X) são subconjuntos limitados em M.
Logo da Proposi¸cão (2.3.1) segue que f(X) ∪ g(X) é um subconjunto limitado em M, ou
seja, {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} é limitado em R, portanto admite supremo.
Logo, dadas f, g ∈ B(X; M), podemos definir
d(f, g)
.
= sup
x∈X
{dM (f(x), g(x))}.
Pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que d é uma métrica em B(X; M)
que é denominada métrica da convergência uniforme ou métrica do sup.
1. Na situa¸cão acima podemos considerar o conjunto F(X; M) formado por todas as fun¸cões
definidas em X com valores em M.
Neste caso a métrica do sup não tem sentido em F(X; M) pois existem fun¸cões f, g : X →
M tais que o conjunto {dM (f(x), g(x)) : x ∈ X} não é limitado em R (logo não poderemos
considerar o supremo desse conjunto).
Nesta situa¸cão podemos decompor F(X; M) como uma reunião de espa¸cos métricos nos
quais podemos introduzir a métrica do sup.
Para mais detalhes ver [1] pag. 15.
2. Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
Pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que se f, g ∈ B(X; E) e λ ∈ R
então (f +g) ∈ B(X; E) e λf ∈ B(X; E), ou seja, B(X; E) tornar-se-á um espa¸co vetorial
sobre R.
Neste caso a métrica da convergência uniforme em B(X; E) provém da seguinte norma de
B(X; E):
f
.
= sup
x∈X
f(x) E, f ∈ B(X; E),
que é denominada norma da convergência uniforme ou do sup.
De fato, pois
d(f, g) = sup{dE(f(x), g(x)) : x ∈ X} = sup
x∈X
f(x) − g(x)) .

2.4. DIST ÂNCIA DE UM PONTO A UM SUBCONJUNTO EM UM ESPAÇO MÉTRICO41
2.4 Distância de um ponto a um subconjunto em um espa¸co
métrico
Observa¸cão 2.4.1 Como motiva¸cão consideremos o seguinte caso:
Em um plano consideremos X uma reta e a um ponto que não pertence à reta X.
Consideremos x0 ∈ X o pé da perpendicular à reta X que contém o ponto a (vide figura
abaixo).
x0
a
X
Seja x ∈ X tal que x = x0.
Então aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ∆ax0x (veja figura abaixo)
obtemos
[d(a, x)]2
= [d(a, x0)]2
+ [d(x0, x)]2
.
x0
a
X
x
Em particular temos que d(a, x) ≥ d(a, x0) para todo x ∈ X, ou seja, x0 é o ponto mais
próximo do ponto a que pertence à reta X.
Deste modo podemos escrever
d(a, x0) = inf
x∈X
{d(a, x)}.
Podemos generalizar este fato, para isto observemos que se (M, dM ) um espa¸co métrico, X ⊆ M
não vazio e a ∈ M então o conjunto {dM (x, a) : x ∈ X} ⊆ R é limitado inferiormente por 0
(pois dM (a, x) ≥ 0).
Logo admite ´ınfimo, assim temos a:
Defini¸cão 2.4.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, X ⊆ M, não vazio e a ∈ M.
Definimos a distância do ponto a ao conjunto X, indicada por d(a, X), como sendo
d(a, X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}.

21.08.2008 - 6.a
1. Das propriedades de ´ınfimo temos:
(a) Para todo x ∈ X temos que
d(a, X) ≤ d(a, x)
(isto é, d(a, X) é um limitante inferior do conjunto {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ R);
(b) Se d(a, X) c então existe x ∈ X tal que d(a, x) c (isto é, d(a, X) é o maior dos
limitantes inferiores).
2. Para todo x ∈ X temos que d(a, x) ≥ 0 logo
d(a, X) ≥ 0.
3. Observemos que se a ∈ X então
d(a, X) = 0.
De fato, se a ∈ X então 0 = d(a, a) ∈ {d(a, x) : x ∈ X}.
4. Além disso, se X ⊆ Y então
d(a, Y ) ≤ d(a, X).
Lembremos que se A ⊆ B então inf B ≤ inf A (*) (será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Logo, se X ⊆ Y então {d(x, a) : x ∈ X} ⊆ {d(y, a) : y ∈ Y }, assim de (*) temos que
d(a, Y ) = inf{d(y, a) : y ∈ Y } ≤ inf{d(x, a) : x ∈ X} = d(a, X),
5. Se d(a, X) = 0 isto não implica, necessariamente, que a ∈ X como vereremos em exemplos
a seguir.
O que podemos afirmar é que:
d(a, X) = 0 se, e somente se, dado ε 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) ε.
6. Vale observar que, em geral, não podemos substituir o ´ınfimo na defini¸cão acima pelo
m´ınimo, isto é, pode não existir um ponto em x0 ∈ X de tal modo que
d(a, X) = d(a, x0),
como veremos em exemplos a seguir.
A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e X = {x1, x2, · · · , xn} um subconjunto
finito de M.
Então
d(a, X) = inf{d(a, x) : x ∈ X}
[conjunto finito]
= inf
1≤i≤n
{d(a, xi)}
[conjunto finito]
= min
1≤i≤n
{d(a, xi)}.

Exemplo 2.4.2 Seja R2 como a métrica usual e S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} a circun-
ferência unitária de centro na origem e raio 1.
Então se z = (x, y) ∈ S1 e 0 = (0, 0) temos que
d(0, z) = (x − 0)2 + (y − 0)2 = x2 + y2 = 1,
ou seja, d(0, S1) = 1 (veja figura abaixo).
E
T
x
y
z = (x, y)
0 = (0, 0)
d(0, z) = 1
S1
‚
Exemplo 2.4.3 Seja R munido da métrica usual e X = (a, b) (= B(a + b−a
2 ; b−a
2 )).
Então temos que
d(a, X) = d(b, X) = 0.
Podemos provar isto diretamente ou utilizar o seguinte resultado geral:
Proposi¸cão 2.4.1 Sejam E um espa¸co vetorial normado, a ∈ E e r 0.
Então dado b ∈ E,
d(b, B(a; r)) = 0 se, e somente se, b ∈ B[a; r].
Demonstra¸cão:
(⇐=)
Suponhamos que b ∈ B[a; r], ou seja, b − a ≤ r.
Se tivermos b − a r seguirá que b ∈ B(a; r), logo d(b, B(a; r)) = 0.
Afirma¸cão: se b − a = r 0 então dado ε 0 afirmamos que existe x ∈ B(a; r) tal que
d(b, x) ε.
De fato, definamos
u
.
=
1
r
(b − a) ∈ E.
Segue que
u =
1
r
(b − a) =
1
r
b − a =
1
r
r = 1.
Escolhamos t ∈ (r − ε, r), assim 0 r − t ε.
Consideremos
x
.
= a + t.u ∈ E.

Temos que
d(x, a) = x − a = (a + t.u) − a = |t| u
[ u =1]
= t r,
ou seja, x ∈ B(a; r).
Além disso, temos
d(x, b) = b − x = b − (a + t.u) = (b − a) − t.u
[b−a=r.u]
= r.u − t.u = |r − t| u
[ u =1]
= r − t ε,
logo concluimos a prova da afirma¸cão acima. (veja figura abaixo).
b
a
b
!ε
“
r
x = a + tu
o
Logo dado ε 0 existe x ∈ B(a; r) tal que 0 ≤ d(b, x) ε, ou seja,
0 ≤ d(b, B(a; r)) ≤ d(b, x) ε,
isto é,
d(b, B(a; r)) = inf{d(b, x) : x ∈ B(a; r)} = 0.
(=⇒)
Reciprocamente, suponhamos que d(b, B(a; r)) = 0.
Seja p ∈ E tal que p ∈ B[a; r].
Afirmamos que d(p, B(a; r)) 0.
De fato, como p ∈ B[a; r] temos que
p − a r, logo p − a = r + c
para algum c 0.
Se x ∈ B(a; r) temos que x − a r e como
p − a ≤ p − x + x − a
segue que
d(p, x) = p − x ≥ p − a − x − a = (r + c) − x − a (r + c) − r = c,
ou seja, c é um limitante inferior do subconjunto
{d(p, x) : x ∈ B(a; r)} ⊆ R.
Como d(p, B(a; r)) é o ´ınfimo do conjunto acima segue que
d(p, B(a; r)) ≥ c 0,
concluindo a prova da afirma¸cão (veja figura abaixo).

T
a
p
T
r
c
Como d(b, B(a; r)) = 0, da afirma¸cão, segue que b ∈ B[a; r], como quer´ıamos demonstrar.
Observa¸cão 2.4.3 Em particular a afirma¸cão acima nos diz que podemos ter b ∈ E com
d(b, X) = 0 e b ∈ X (onde X = B(a; r)), como afirmamos anteriormente.
Temos a:
Proposi¸cão 2.4.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, a, b ∈ M e X ⊆ M não vazio. Então
|d(a, X) − d(b, X)| ≤ d(a, b).
A figura abaixo ilustra o resultado
X
d(a, X)
d(b, X)
d(a, b)
a
b
Demonstra¸cão:
A desigualdade acima é equivalente a
−d(a, b) ≤ d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b).
Observemos que para todo x ∈ X temos que
d(a, X) ≤ d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x),

ou seja,
d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, x),
ou ainda, o número real
d(a, X) − d(a, b)
é um limitante inferior do subconjunto {d(b, x) : x ∈ X} ⊆ R.
Da defini¸cão de ´ınfimo segue
d(a, X) − d(a, b) ≤ d(b, X), isto é, d(a, X) − d(b, X) ≤ d(a, b). (∗)
Observemos que para todo x ∈ X temos que
d(b, X) ≤ d(b, x) ≤ d(b, a) + d(a, x),
ou seja,
d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, x)
ou ainda, o número real
d(b, X) − d(a, b)
é um limitante inferior do subconjunto {d(a, x) : x ∈ X} ⊆ R.
Da defini¸cão de ´ınfimo segue
d(b, X) − d(a, b) ≤ d(a, X), isto é, d(a, X) − d(b, X) ≥ −d(a, b). (∗∗)
De (*) e (**) segue a desiguladade e a conclusão da prova.
Como conseqüência temos o
Corolário 2.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e a, b, x ∈ M. Então
|d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(a, b).
Demonstra¸cão:
Basta considerar X
.
= {x} na proposi¸cão acima e verificar que d(a, {x}) = d(a, x).
2.5 Distância entre dois subconjuntos de um espa¸co métrico
Temos a
Defini¸cão 2.5.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e X, Y ⊆ M não vazios.
Definimos a distância entre os conjuntos X e Y , indicada por d(X, Y ), como sendo
d(X, Y )
.
= inf{d(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }.
Consideremos o
Exemplo 2.5.1 Consideremos R com a métrica usua, X = (−∞, 0) e Y = (0, ∞).
Então dada ε 0 existem x ∈ X e y ∈ Y tal que
d(x, y) ε, ou seja, d(X, Y ) = 0.
Observemos que X ∩ Y = ∅ e mesmo assim d(X, Y ) = 0.

2.6. IMERS ÕES ISOMÉTRICAS E ISOMETRIAS ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS 47
Observa¸cão 2.5.1 Se (M, d) é um espa¸co métrico e X, Y ⊆ M não vazios então:
1. Se X ∩ Y = ∅ então d(X, Y ) = 0;
2. Observemos que
d(X, X) = 0 e d(X, Y ) = d(Y, X).
3. Pode ocorrer de d(X, Y ) = 0 e X ∩ Y = ∅.
Deixaremos para o leitor encontrar um exemplo onde isto ocorre.
2.6 Imersões isométricas e isometrias entre espa¸cos métricos
Come¸caremos pela
Defini¸cão 2.6.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é um imersão isométrica de M em N se
dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.
No caso acima diremos que a fun¸cão f preserva as distâncias de M e N, respectivamente.
Observa¸cão 2.6.1 Na situa¸cão acima se f : M → N é uma imersão isométrica temos que f é
injetora.
De fato, se f(x) = f(y) então
dM (x, y) = dN (f(x), f(y)) = 0,
logo x = y, mostrando que f é injetora.
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.6.2 Um imersão isométrica que é sobrejetora será denomiada isometria de M
em N.
1. Na situa¸cão acima f : M → N é ums isometria se, e somente se, f preserva as distâncias
de M e N e for sobrejetora.
2. Em particular se f : M → N é isometria então f é bijetora.
Logo admite fun¸cao inversa f−1 : N → M e esta também é uma isometria.
De fato, pois se w, z ∈ N temos que existe x, y ∈ M tal que z = f(x) e w = f(y) (pois f
é sobrejetora) assim
dM (f−1
(z), f−1
(w)) = dM (f−1
(f(x)), f−1
(f(y))) = dM (x, y)
[f é isometria]
= dN (f(x), f(y)) = dN (z, w),
mostrando que f−1 preserva as distâncias de N e M.

3. Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos e f : M → N, g : N → P imersões
isométricas de M em N e de N em P, respectivamente.
Então (g ◦ f) : M → P é uma imersão isométrica de M em P.
De fato, se x, y ∈ M temos que
dP ((g ◦ f)(x), (g ◦ f)(y)) = dP (g(f(x)), g(f(y)))
[g preserva distâncias]
= dN (f(x), f(y))
[f preserva distâncias]
= dM (x, y),
mostrando que g ◦ f preserva as distâncias de M e P.
4. Como conseqüência temos que composta de isometrias também será uma isometria entre
os respectivos espa¸cos métricos.
5. Toda imersão isométrica f : M → N define uma isometria de M sobre f(M) (pois neste
caso f : M → f(M) será sobrejetora e continuará a preservar as distâncias de M e N).
Com isto temos a:
Diremos que M e N são isométricos se existir uma isometria de M em N e neste caso
escreveremos M ∼ N.
Observa¸cão 2.6.3 1. Temos que M ∼ M (basta considerar a identidade de M em M);
2. Se M ∼ N então N ∼ M (pois, como vimos na Observa¸cão (2.6.2) item 2., a inversa de
uma isometria é uma isometria);
3. Se M ∼ N e N ∼ P então M ∼ P (pois, como vimos na Observa¸cão (2.6.2) item 3., a
composta de isometrias é uma isometria).
4. Os três itens acima nos dizem que ∼ é uma rela¸cão de equivalência no conjunto formado
por todos os espa¸cos métricos (isto é, ∼ satisfaz as propriedades: reflexiva, simétrica e
transitiva).
5. Se existir uma imerão isométrica f : M → N então temos que M ∼ f(M) (pois a fun¸cão
f : M → f(M) será sobrejetora e preservará as distâncias de M e f(M)).
26.08.2008 - 7.a
6. Sejam X um subconjunto não vazio, (M, dM ) um espa¸co métrico e f : X → M uma fun¸cão
injetora.
Nosso objetivo é introduzir uma métrica em X de tal modo que a fun¸cão f torne-se uma
imersão isométrica de X e M.
Para isto definamos
dX : X × X → R
por
dX(x, y)
.
= dM (f(x), f(y)), x, y ∈ X.
É fácil verificar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que dX é uma métrica em
X (precisamos usar do fato que f é injetora!) e deste modo a fun¸cão f tornar-se-á uma
imersão isométrica de (X, dX) em (M, dM ).

Podemos mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a métrica dX em X é a
única métrica que torna f uma imersão isométrica de X em M.
Com isto temos a:
Defini¸cão 2.6.4 Na situa¸cão acima diremos que a métrica dX é a métrica induzida por f
em X.
Observa¸cão 2.6.4 Um caso particular da situa¸cão acima é quando X ⊆ M, não vazio onde
(M, dM ) é um espa¸co métrico.
Neste caso se considerarmos a aplica¸cão inclusão
i : X → M dada por i(x)
.
= x, para x ∈ X,
temos que a fun¸cão i é injetora.
Logo podemos considerar em X a métrica induzida pela fun¸cão i que coincidirá com a métrica
induzida de M em X (pois dX(x, y) = dM (i(x), i(y)) = dM (x, y), para todo x, y ∈ X).
A seguir consideraremos alguns exemplos.
Exemplo 2.6.1 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.
Sejam a, u ∈ Rn tal que u = 1.
Consideremos a fun¸cão f : R → Rn dada por
f(t)
.
= a + t u, t ∈ R.
Afirmamos que f é um imersão isómétrica de R em Rn.
De fato, se t, s ∈ R temos que
dRn (f(t), f(s)) = f(t) − f(s) = (a + t u) − (a + s u) = (t − s) u
= |t − s| u
[ u =1]
= |t − s| = dR(t, s),
mostrando que a fun¸cão f preserva as distâncias de R e Rn.
1. Observemos que o gráfico de f é a reta que passa pelo ponto a = a ∈ Rn e tem a dire¸cão
do vetor unitário u ∈ Rn.
Em particular, f não é uma isometria de R em Rn se n = 1 (pois, neste caso, não é
sobrejetora).
2. Se n = 1 então f será isometria de R em R (isto será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
Exemplo 2.6.2 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn e a ∈ Rn.
Afirmamos que a fun¸cão f : Rn → Rn dada por
f(x)
.
= x + a, x ∈ Rn
,
é uma isometria de Rn em Rn.

De fato, se x, y ∈ Rn então
d(f(x), f(y)) = f(x) − f(y) = (x + a) − (y + a) = x − y = d(x, y),
mostrando que f preserva a distância em Rn (ou seja, é uma imersão isométrica de Rn em Rn).
Além disso f(Rn) = Rn pois se y ∈ Rn se tomarmos
x
.
= y − a
segue que
f(x) = x + a = (y − a) + a = y,
ou seja, f é sobrejetora, ou seja, f é uma isometria de Rn em Rn.
Com isto temos a
Defini¸cão 2.6.5 A fun¸cão f acima definida será denominada transla¸cão pelo vetor a.
Exemplo 2.6.3 Consideremos Rn com a metrica induzida por alguma norma de Rn.
Afirmamos que a fun¸cão f : Rn → Rn dada por
f(x)
.
= −x, x ∈ Rn
,
é uma isometria em Rn.
De fato, se x, y ∈ Rn então
d(f(x), f(y)) = f(x) − f(y) = (−x) − (−y) = − x + y = x − y = d(x, y),
mostrando que f preserva a distância em Rn (ou seja, é uma imersão isométrica de Rn em Rn).
Além disso f(Rn) = Rn pois se y ∈ Rn se tomarmos
x
.
= −y
segue que
f(x) = x = −(−y) = y,
ou seja, f é sobrejetora, isto é, f é uma isometria de Rn em Rn.
Com isto temos a
Defini¸cão 2.6.6 A fun¸cão f acima definida será denominada reflexão em torno da origem
de Rn.
1. Observemos que na situa¸cão acima, dados a, b ∈ Rn existe uma isometria f : Rn → Rn tal
que f(b) = a (basta considerar a transla¸cão f(x)
.
= x + (a − b)).
2. Podemos substituir o Rn por um espa¸co vetorial normado qualquer que os exemplos acima
continuarão válidos neste novo contexto.

Exemplo 2.6.4 Consideremos C o conjunto formado pelo números complexos munido da métrica
induzida pelo valor absoluto de um número complexo (isto é, se z = a+bi então z = x2 + y2
e assim a métrica será d(z1, z2) = z1 − z2 , z1, z2 ∈ C).
Sejam u ∈ C tal que u = 1 e a fun¸cão
f : C → C
dada por
f(z)
.
= u.z,
para z ∈ C (onde . é a multiplica¸cão de números complexos).
Afirmamos que f é uma isometria.
De fato, f é imersão isométrica em C, pois
d(f(z1), f(z2)) = f(z1) − f(z2) = u.z1 − u.z2 = u.(z1 − z2)
= u z1 − z2
[ u =1]
= z1 − z2 = d(z1, z2),
mostrando que f preserva a distância em C.
Além disso, se w ∈ C consideremos
z
.
=
w
u
∈ C.
Logo
f(z) = u.z = u.
w
u
= w,
mostrando que f é sobrejetora, portanto uma isometria de C em C.
Observa¸cão 2.6.7 A aplica¸cão f do exemplo acima é uma rota¸cão (no sentido horário) de um
ângulo θ =
π
2
se u = i e θ = arctg(
b
a
) se u = a + bi, se a = 0 (veja figura abaixo).
E
T C
z
f(z) = u.z
θ
Finalizaremos esta se¸cão com a
Proposi¸cão 2.6.1 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico limitado.
Então existe uma imersão isométrica ϕ : M → B(M; R), onde em B(M; R) consideraremos
a métrica induzida pela norma da convergência uniforme.

Demonstra¸cão:
Definamos ϕ : M → B(M; R) por
ϕ(x)
.
= dx,
onde dx : M → R é dada por
dx(y)
.
= dM (x, y)
(ou seja, a distância ao ponto x).
Como M é limitado segue que dx ∈ B(M; R), ou seja ϕ está bem definida.
Mostremos que ϕ preserva as ditâncias de M e B(M; R).
Observemos que se x, x , y ∈ M então
|dx(y) − dx (y)| = |d(x, y) − d(x , y)|
[corolário (2.4.1)]
≤ dM (x, x ),
assim
dB(M;R)(ϕ(x), ϕ(x )) = ϕ(x) − ϕ(x ) = dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)|≤dM (x, x ).
Por outro lado, se tomarmos y = x temos que
|dx(y) − dx (y)| = |dM (x, y) − dM (x , y)|
[y=x ]
= |dM (x, x ) − dM (x , x )| = dM (x, x ).
Logo
dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)|≥dM (x, x ),
portanto
dB(M; R)(dx, dx ) = dx − dx = sup
y∈M
|dx(y) − dx (y)| = dM (x, x ),
ou seja, ϕ preserva as distâncias de M e de B(M; R).
1. Pode-se provar um resultado análogo ao exibido acima retirando-se a hipótese de M ser
limitado.
Uma demonstra¸cão para esse fato pode ser encontrada em [1] pag. 20.
2. O resultado acima garante que todo espa¸co métrico pode ser imerso, isometricamente, em
um espa¸co vetorial normado.

Cap´ıtulo 3
Fun¸cões Cont´ınuas Definidas em
Espa¸cos Métricos
3.1 Defini¸cão de fun¸cão cont´ınua em espa¸cos métricos e exem-
plos
Temos a:
Defini¸cão 3.1.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é cont´ınua no ponto a se dado ε 0 existir
δ = δ(ε, a) 0 tal que
dM (x, a) δ implicar dN (f(x), f(a)) ε.
f(a)
~
ε
E
f
a
a δ
f(B(a; δ))
%
M
N
Diremos que f : M → N é cont´ınua em M se ela for cont´ınua em cada um dos pontos de
M.
1. Na situa¸cão acima, f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, se dado ε 0 existir
δ = δ(ε, a) 0 tal que
f(B(a; δ)) ⊆ B(f(a); ε),
ou seja, dada uma bola aberta de centro em f(a) e raio ε 0 em N, existe uma bola aberta
de centro em a e raio δ 0 em M, tal que a imagem pela fun¸cão f desta segunda bola
está contida na primeira bola.
53

54 CAPÍTULO 3. FUNÇ ÕES CONTÍNUAS DEFINIDAS EM ESPAÇOS MÉTRICOS
2. Se M ⊆ R e N = R munidos da métrica usual de R então f : M → R será cont´ınua em
a ∈ M se, e somente se, dado ε 0 existir δ = δ(ε, a) 0 tal que se x ∈ M e
a − δ x a + δ
implicar
f(a) − ε f(x) f(a) + ε,
ou seja,
f((a − δ, a + δ)) ⊆ (f(a) − ε, f(a) + ε),
pois as bolas abertas em R (com a métrica usual) da defini¸cão de contiuidade serão os,
respectivos, intervalos abertos obtidos acima.
T T
Ef
f(a)
a
a + δ
a − δ
f(a) + ε
f(a) − ε
A seguir exibiremos alguns exemplos.
Antes porém temos a:
Defini¸cão 3.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma fun¸cão f : M → N que tem
a seguinte propriedade: existe c 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Neste caso diremos que a fun¸cão f é lipschitziana em M.
A constante c será dita constante de Lipschitz da fun¸cão f.
Exemplo 3.1.1 Se f : M → N é lipschitiziana em M então f é cont´ınua em M.
De fato, como f é lipschitiziana em M existe c 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
Logo, dado ε 0 seja δ
.
=
ε
c
0.
Então se a ∈ M e dM (x, a) δ temos que
dN (f(x), f(a)) ≤ c dM (x, a) cδ ≤ c
ε
c
= ε,
mostrando que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a ∈ M.
Como a ∈ M é arbitrário segue que a fun¸cão f é cont´ınua em M.

3.1. DEFINIÇ ÃO DE FUNÇ ÃO CONTÍNUA EM ESPAÇOS MÉTRICOS E EXEMPLOS 55
Exemplo 3.1.2 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R.
Afirmamos que a aplica¸cão
fλ : E → E
dada por
fλ(x)
.
= λ.x, x ∈ E,
é lipschitiziana em E.
De fato,
dE(fλ(x),fλ(y)) = fλ(x), fλ(y) E = λ.x − λ.y E = λ(x − y) E
= |λ| x − y E = |λ|dE(x, y),
ou seja,
dE(fλ(x),fλ(y)) = |λ|dE(x, y), x, y ∈ E,
mostrando que a afirma¸cão é verdadeira.
Em particular, a aplica¸cão fλ : E → E sérá cont´ınua em E para cada λ ∈ R fixado.
1. Se f1, · · · , fn : E → E, onde E é um espa¸co vetorial normado, são lipschitzianas então
dados a1, · · · , an ∈ R temos que
f
.
= a1f1 + · · · anfn
também será uma aplica¸cão lipschitziana em E.
A verifica¸cão deste fato será deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Conclusão: combina¸cão linear de fun¸cões lipschitzianas é uma fun¸cão lipschitziana.
Em particular, a aplica¸cão f : E → E será cont´ınua em E.
2. Seja R munido da métrica usual.
Então f : R → R é lipschitiziana em M se, e somente se, existe c 0 tal que
|f(x) − f(y)|
|x − y|
=
dR(f(x), f(y))
dR(x, y)
≤ c, x, y ∈ R, x = y.
3. Observemos se f : I → R é diferenciável em I, um intervalo de R e |f (x)| ≤ c para todo
x ∈ I então a fun¸cão f é lipschitziana em I.
De fato, dados x, y ∈ I do Teorema do Valor Intermediário segue que existe ¯x ∈ [x, y] ( ou
[y, x]) tal que
f(x) − f(y)
x − y
= f (¯x).
Logo
|f(x) − f(y)|
|x − y|
= |f (¯x)| ≤ c,
ou seja, a fun¸cão f é lipschitziana em I, como afirmamos acima.
Conclusão: toda fun¸cão real, de variável real, diferenciável em um intervalo da reta e tal
que sua derivada é limitada neste intervalo é uma fun¸cão lipschitiziana no intervalo em
questão.

2.09.2008 - 8.a
Uma situa¸cão mais geral é dada pela
Defini¸cão 3.1.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸cão f é localmente lipschitziana em M se para cada a ∈ M existe
ra 0 tal que a restri¸cão da fun¸cão f a bola aberta B(a; ra) (isto é, f|B(a;ra)
) é uma fun¸cão
lischitziana, ou seja, existe c = c(B(a; ra)) 0 satisfazendo
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).
E
a
o ra
fx
y
f(x)
f(y)
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM (x, y)
Com isto temos o
Exemplo 3.1.3 Se f : M → N é localmente lipschitziana em M então f é cont´ınua em M.
De fato, dado a ∈ M seja ra 0 tal que restri¸cão da fun¸cão f a bola aberta B(a; ra) seja
uma fun¸cão lipschitziana, isto é, existe c = c(B(a; ra)) 0 tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ B(a; ra).
Dado ε 0 seja δ
.
= min{
ε
c
, ra} 0.
Logo se, dM (x, a) δ temos que
dN (f(x), f(a))
[dM (x,a)δ≤ra]
≤ c dM (x, a)c δ
[dM (x,a)δ≤ε
c
]
≤ c
ε
c
= ε,
mostrando que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a ∈ M.
Como a ∈ M é arbitrário segue que a fun¸cão f : M → N será cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.1.3 Se f1, · · · , fn :→ E, onde E é um espa¸co vetorial normado, são localmente
lipschitzianas em E então, dados a1, · · · , an ∈ R, temos que
f
.
= a1f1 + · · · anfn
também será localmente lipschitziana em E.
Conclusão: combina¸cão linear de fun¸cões localmente lipschitzianas num espa¸co vetorial nor-
mado é uma fun¸cão localmente lipschitziana neste espa¸co.
Em particular, a aplica¸cão f : E → E acima definida será cont´ınua em E.

Exemplo 3.1.4 Seja f : R → R dada por f(x)
.
= xn, x ∈ R e n ∈ N.
Afirmamos que f é localmente lispchitziana em R.
De fato, sejam x, y ∈ B(0; a), isto é, |x|, |y| ≤ a.
Então temos que
dR(f(x), f(y)) = |f(x) − f(y)| = |xn
− yn
| = |(x − y)(xn−1
+ xn−2
y + · · · xyn−2
+ yn−1
)|
≤ |x − y|[|x|n−1
+ |x|n−2
|y| + · · · |x||y|n−2
+ |y|n−1
]
≤ |x − y|[|a|n−1
+ |a|n−2
|a| + · · · |a||a|n−2
+ |a|n−1
n−parcelas
]
= nan−1
|x − y| = nan−1
dR(x, y),
ou seja, f é localmente lischitziana em R (a constante de Lipschitz será c
.
= nan−1).
Em particular, a aplica¸cão f : R → R será cont´ınua em R.
Observa¸cão 3.1.4 Do exemplo acima e da observa¸cão (3.1.3) segue que toda fun¸cão polinomial
p : R → R (isto é, se a1, · · · , an ∈ R temos que
p(x)
.
= a0 + a1x + · · · , anxn
, x ∈ R
é uma fun¸cão localmente lispchitziana em R e portanto será uma aplica¸cão cont´ınua em R.
Exemplo 3.1.5 Seja f : R∗ .
= R {0} → R dada por
r(x)
.
=
1
x
, x ∈ R∗
.
Para cada a 0 temos que f é lipschitiziana em Ra, onde Ra
.
= {x ∈ R : |x| ≥ a}.
De fato, se x, y ∈ Ra então |x|, |y| ≥ a logo,
dR(f(x), f(y)) = |f(x)−f(y)| = |
1
x
−
1
y
| = |
y − x
x.y
| =
1
|x|.|y|
|x−y|
[|x|,|y|≥a0]
≤
1
a2
|x−y| =
1
a2
dR(x, y),
mostrando que f é lipschitziana em Ra (basta tomar a constante de Lipschitz como sendo c
.
=
1
a2
)
para cada a 0.
Em particular, a aplica¸cão f : R∗ → R é cont´ınua em Ra para todo a 0, isto é, f é
cont´ınua em R∗.
Exemplo 3.1.6 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado, R com a métrica usual e λ ∈ R.
m : R × E → E
dada por
m(λ, x)
.
= λ.x, λ ∈ R, x ∈ E,
é localmente lipschitiziana em R × E onde no produto cartesiano R × E considerarmos a norma
da soma (isto é,
(λ, x) R×E = |λ| + x E,
(λ, x) ∈ R × E) e assim podemos tomar a métrica
dR×E[(λ, x), (β, y)] = |λ − β| + x − y E,

se (λ, x), (β, y) ∈ R × E).
De fato, dado (λ0, x0) ∈ R × E, fixado r 0, se
(λ, x), (β, y) ∈ B((λ0, x0); r) ⊆ R × E
temos que
|λ − λ0|, |β − β0| r e x − x0 E, y − x0 E r.
Logo
dE(m(λ, x), m(β, y)) = m(λ, x) − m(β, y) E = λ.x − β.y E = λ.x − λ.y + λy − β.y E
= λ.(x − y) + (λ − β).y E ≤ λ(x − y) E + (λ − β)y E
= |λ| x − y E + |λ − β| y E
[|λ|≤|λ−λ0|+|λ0|≤r+|λ0|]
≤ [r + |λ0|] x − y E + |λ − β| y E
[ y E≤ y−x0 E+ x0 E≤r+ x0 E]
≤ [r + |λ0|] x − y E + [r + x0 E]|λ − β|
≤ max{r + |λ0|, r + x0 E}[ x − y E + |λ − β|]
[c
.=max{r+|λ0|,r+ x0 E}]
= c[|λ − β| + x − y E]
= c dR×E[(λ, x), (β, y)]
Em particular, a aplica¸cão m : R × E → E será cont´ınua em R × E (munido da métrica
acima).
Exerc´ıcio 3.1.1 Em particular, vale o mesmo para multiplica¸cão de números reais ou multi-
plica¸cão de números reais por vetores de Rn.
Uma outra classe de fun¸cões importantes é dada pela
Diremos que a fun¸cão f é uma contra¸cão fraca se
dN (f(x), f(y)) ≤ dM ((x, y), x, y ∈ M.
e uma subclasse desta é dada pela
Diremos que a fun¸cão f é uma contra¸cão (forte) se existir c ∈ [0, 1) tal que
dN (f(x), f(y)) ≤ c dM ((x, y), x, y ∈ M.
1. É fácil de ver que toda contra¸cão forte é uma contra¸cão fraca.
2. Também é evidente que toda contra¸cão fraca ou forte é uma aplica¸cão lipschitiziana e
portanto cont´ınua em todo o espa¸co métrico.
Seguir daremos alguns exemplos de contra¸cões fracas.

Exemplo 3.1.7 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e k ∈ N fixo.
Se f : M → N é dada por
f(x)
.
= k, para todo x ∈ M
então f é uma contra¸cão forte, pois
dN (f(x), f(y)) = dN (k, k) = 0 ≤
1
2
dM (x, y), x, y ∈ M,
(no caso escolhemos c
.
=
1
2
1).
Em particular, a aplica¸cão f : M → N é cont´ınua em M.
Exemplo 3.1.8 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M subespa¸co métrico de M.
A aplica¸cão de inclusão, i : X → M dada por i(x)
.
= x, x ∈ X é uma contra¸cão fraca pois
dM (i(x), i(y)) = dX(x, y), x, y ∈ X.
Em particular, a aplica¸cão i : X → M é cont´ınua em X.
Em geral temos o
Exemplo 3.1.9 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Se f : M → N é uma imersão isométrica então f é uma contra¸cão fraca pois
dN (f(x), f(y)) = dM (x, y), x, y ∈ M.
Em particular, a aplica¸cão f : M → N será cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.1.6 Como caso particular do exemplo acima temos que toda isometria é uma
contra¸cão fraca, logo cont´ınua em todo o espa¸co métrico.
Exemplo 3.1.10 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Independente de uma das três métricas que escolhamos para M × N (ver exemplo (2.1.12) e
observa¸cão (2.1.12) item 3.), para cada a ∈ M e b ∈ N se considerarmos as aplica¸cões
ib : M → M × N e ja : N → M × N
dadas por
ib(x)
.
= (x, b) e ja(y)
.
= (a, y),
então ib e ja são uma contra¸cões fracas.
De fato, pois
dM×N (ib(x1), ib(x2)) = dM×N [(x1, b), (x2, b)]
(∗)
≤ dM (x1, x2), x1, x2 ∈ M,
dM×N (ja(y1), ib(y2)) = dM×N [(a, y1), (a, y2)]
(∗∗)
≤ dN (y1, y2), y1, y2 ∈ N
mostrando a afirma¸cão acima.
Vale observar que as desigualdades (*) e (**) são válidas, independentementes, de qual das
três métricas que considerarmos no produto cartesiano (verifique!).
Em particular, as aplica¸cões ib : M → M × N e ja : N → M × N são cont´ınuas em M e N,
respectivamente.

Exemplo 3.1.11 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M não vazio.
Definamos dX : M → R por
dX(y)
.
= d(y, X), y ∈ M.
Afirmamos que dX é uma contra¸cão fraca.
De fato, se y1, y2 ∈ M temos que
dR(dX(y1), dX(y2)) = |dX(y1) − dX(y2)| = |d(y1, X) − d(y2, X)|
[proposi¸cão (2.4.2)]
≤ dM (y1, y2),
Em particular, a aplica¸cão dx : M → R é cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.1.7 Do exemplo acima segue que para cada x ∈ M temos que a aplica¸cão
dx : M → R dada por dx(y)
.
= dM (x, y), y ∈ M,
é uma contra¸cão fraca.
Para ver isto basta considerar X
.
= {x} ⊆ M.
Em particular, a aplica¸cão dx : M → R será cont´ınua em M.
Exemplo 3.1.12 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado.
A aplica¸cão . : E → R é uma contra¸cão fraca.
De fato, se x, y ∈ E temos que
dR( x , y ) = | x − y | = |dE(x, 0) − dE(y, 0)| ≤ |dE(x, y)| = x − y = dE(x, y),
Em particular, a aplica¸cão . : E → R é uma fun¸cão cont´ınua em E.
Exemplo 3.1.13 Seja (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos.
Pra cada i = 1, · · · n a aplica¸cão
pi : M1 × · · · × Mn → Mi, dada por pi(x)
.
= xi,
onde x = (x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn (conhecida como i-ésima proje¸cão) é uma contra¸cão
fraca onde podemos considerar no produto cartesiano M
.
= M1 ×· · ·×Mn qualquer uma das três
métricas da observa¸cão (2.1.12).
De fato, se xi, yi ∈ Mi temos que
dM1 (pi(x), pi(y)) = dMi (xi, yi) ≤ dM (x, y),
onde x = (x1, · · · , xi−1, xi, xi+1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yi−1, yi, yi+1, · · · , yn) ∈ M, mostrando
que a afirma¸cão é verdadeira.
Em particular, a aplica¸cão pi : M1 × · · · × Mn → Mi é cont´ınua em M1 × · · · × Mn para cada
i = 1, · · · , n.
Exemplo 3.1.14 Seja (M, dM ) espa¸co métrico.
Então a aplica¸cão
dM : M × M → R

é uma contra¸cão fraca se em M ×M considerarmos a métrica da soma ou do máximo em M ×M
(veja exemplo (2.1.12)).
De fato, se (x, y), (x , y ) ∈ M × M então
dR(dM (x, y), dM (x , y )) = |dM (x, y) − dM (x , y )| = |dM (x, y) − dM (x , y) + dM (x , y) − dM (x , y )|
≤ |dM (x, y) − dM (x , y)| + |dM (x , y) − dM (x , y )| ≤ dM (x, x ) + dM (y, y )
≤ dM×M [(x, y), (x , y )],
Em particular, a aplica¸cão dM : M × M → R será cont´ınua em M × M.
4.09.2008 - 9.a
Exemplo 3.1.15 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado e λ ∈ R.
s : E × E → E
dada por
s(x, y)
.
= x + y, x, y ∈ E,
é uma contra¸cão fraca onde em E×E estamos considerando a norma da soma (isto é, (x, y) E×E
.
=
x E + y E e sua respectiva métrica associada).
De fato,
dE(s(x, y), s(x , y )) = s(x, y) − s(x , y ) E = (x + y) − (x + y ) E = (x − x ) + (y − y ) E
≤ x − x + y − y E = (x, y) − (x , y ) E×E = dE×E((x, y), (x , y )).
Em particular, a aplica¸cão s : E × E → E será cont´ınua em E × E.
Exerc´ıcio 3.1.2 Em particular, vale o mesmo para soma números reais ou soma de vetores em
Rn e B(X; M) munido da métrica do sup.
Exemplo 3.1.16 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, a ∈ M, X um conjunto não vazio e
B(X; M) munido da métrica do sup.
Definamos a aplica¸cão
va : B(X; M) → M por va(f)
.
= f(a), f ∈ B(X; M).
Então va é uma contra¸cão em B(X; M).
De fato, se f, g ∈ B(X; M) temos que
dM (va(f), va(g) = dM (f(a), g(a)) ≤ sup{dM (f(x), g(x)) : x ∈ M} = dB(X;M)(f, g),
Em particular, a aplica¸cão va : B(X; M) → M será cont´ınua em B(X; M).

1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M um ponto isolado de M.
Afirmamos que f : M → N é cont´ınua em a ∈ M.
De fato, como a ∈ M é um ponto isolado de M, existe δ0 0 tal que B(a; δ0) ∩ M = {a}.
Dado ε 0 seja 0 δ ≤ δ0.
Se dM (x, a) δ ≤ δ0 temos que x = a logo
dN (f(x), f(a)) = dN (f(a), f(a)) = 0 ε,
2. Como conseqüência da observa¸cão acima temos que se (M, dM ) for um espa¸co discreto
(isto é, todo ponto dele é ponto isolado) então toda fun¸cão f : M → N é cont´ınua em M.
Em particular, a métrica de M é a métrica zero-um então vale o mesmo.
3. Por outro lado se (N, dN ) for um espa¸co discreto temos que: f : M → N cont´ınua em
M se, e somente se, para cada a ∈ M a fun¸cão f é constante em alguma bola aberta de
centro em a.
De fato, se a ∈ M então dado 0 ε ≤ 1 temos que B(f(a); ε) = {f(a)} assim para todo
δ 0 se x ∈ B(a; δ) para que f(x) ∈ B(f(a), ε) = {f(a)} deveremos ter f(x) = f(a) na
bola aberta B(a; δ), como afirmamos acima.
Em particular, a métrica de N é a métrica zero-um então vale o mesmo.
Temos a
Defini¸cão 3.1.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e a ∈ M.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é descont´ınua no ponto a se ela não for cont´ınua
no ponto a.
1. Na situa¸cão acima f é descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe ε 0 tal que
para todo δ 0 existe xδ ∈ M tal que
dM (xδ, a) δ mas dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε.
2. Um formula¸cão equivalente seria: f é descont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, existe
ε 0 tal que para todo n ∈ N existe xn ∈ M tal que
dM (xn, a)
1
n
mas dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.
Isto poderia ser dito da seguinte forma: existe uma seqüência (xn)n∈N em M que é con-
vergente para a em M tal que a seqüência (f(xn))n∈N em N não é convergente em N.
Vale observar que ainda não introduzimos a no¸cão de convergência de seqüências.
Na verdade isto será tratado num cáp´ıtulo mais adiante.

Exemplo 3.1.17 A fun¸cão f : R → R dada por f(x) =
1, se x ∈ Q
0, se x ∈ I
não é cont´ınua em
nenhum ponto de R.
De fato, sejam a ∈ Q e ε =
1
2
0.
Dado δ 0 consideremos x ∈ I tal que |x − a| δ, isto é, d(x, a) δ (veja figura abaixo).
E
a ∈ Q a + δa − δ
c
x ∈ I
Como f(x) = 0 e f(a) = 1 segue que
dR(f(x), f(a)) = |f(x) − f(a)| = |0 − 1| = 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que f não é cont´ınua em nenhum a ∈ Q.
Por outro lado, sejam a ∈ I e ε =
1
2
0.
Dado δ 0 consideremos x ∈ Q tal que |x − a| δ, isto é, d(x, a) δ (veja figura abaixo).
E
a ∈ I a + δa − δ
c
x ∈ Q
Como f(x) = 1 e f(a) = 0 segue que
dR(f(x), f(a)) = |f(x) − f(a)| = |1 − 0| = 1 ≥
1
2
= ε,
mostrando que f não é cont´ınua em nenhum a ∈ I.
Portanto f não é cont´ınua em nenhum ponto de R.
Observa¸cão 3.1.10 Observemos que no exemplo acima temos que f|Q
e f|I
são cont´ınuas (na
verdade a primeira é constante e igual a 0 e a segunda é constante e igual a 1).
Para f : M → N e X ⊆ M não vazio, o exemplo acima nos mostra a diferen¸ca entre:
1. f|X
: X → N cont´ınua em X;
2. f : M → N cont´ınua em todos os pontos de M.
Podemos sempre afirmar que na situa¸cão acima (b) implicará sempre em (a).
Mas, em geral, (a) pode não implicar em (b), como mostra o exemplo acima.
Exemplo 3.1.18 Consideremos f : R → R dada por
f(x) =
sen(1
x), se x = 0
0, se x = 0
.
Afirmamos que f é descont´ınua em x = 0.
De fato, seja ε =
1
2
0.

Dado δ 0 seja N0 ∈ N tal que N0 ≥
1
δ
.
Consideremos x ∈ R dado por
x
.
=
2
(2N0 + 1)π
.
Como (2N0 + 1)π 2N0 temos que
dR(x, 0) = x =
2
(2N0 + 1)π

2
2N0
=
1
N0
δ.
Mas
dR(f(x), f(0)) = |sen(
1
2
(2N0+1)π
) − 0| = |sen(
(2N0 + 1)π
2
)|
[sen(
(2N0+1)π
2
)=±1]
= 1 ≥
1
2
= ε,
Observa¸cão 3.1.11 Seja f : M → N e consideremos N1
.
= f(M) = {f(x) : x ∈ M} visto
como subsepa¸co métrico de N (ou seja, com a métrica induzida de N).
Definamos f1 : M → N1 por f1(x)
.
= f(x), x ∈ M.
Afirmamos que f é cont´ınua em M se, e somente se, f1 é cont´ınua em M.
A demonstra¸cão deste fato será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
3.2 Propriedades elementares de fun¸cões cont´ınuas entre espa¸cos
métricos
Come¸caremos pela
Proposi¸cão 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos e a ∈ M.
Se f : M → N é cont´ınua em a e g : N → P é cont´ınua em f(a) então g ◦ f : M → P é
cont´ınua em a.
Demonstra¸cão:
Dado ε 0, como g é cont´ınua no ponto f(a), existe λ 0 tal que se y ∈ N e
dN (y, f(a)) λ então dP (g(y), g(f(a))) ε. (∗)
Mas f é cont´ınua em a, logo dado λ 0 (obtido acima), existe δ 0 tal que se x ∈ M e
dM (x, a) δ então dN (f(x), f(a)) λ.
Logo, se f(x) ∈ N, de (*) temos
dP (g(f(x)), g(f(a))) λ,
mostrando que g ◦ f é cont´ınua em a, como quer´ıamos mostrar.
1. O resultado acima nos diz que a composta de duas fun¸cões cont´ınuas é uma fun¸cão
cont´ınua.

3.2. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE FUNÇ ÕES CONTÍNUAS ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS65
2. Temos a seguinte caracteriza¸cão geométrica para a demonstra¸cão do resultado acima:
g(f(a))
”
ε
E
gf(a)
…
λ
g(B(f(a); λ))
‡
Ef
”
δ
f(B(a; δ))
c
a
Como conseqüência temos
Corolário 3.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Se f : M → N é cont´ınua em a ∈ X ⊆ M então f|X
: X → N é cont´ınua em a.
Demonstra¸cão:
Sabemos que a aplica¸cão inclusão, i : X → M é cont´ınua em X (ver exemplo (3.1.8)).
Observemos que f|X
= f ◦ i.
Como f é cont´ınua em a segue, da proposi¸cão acima, que f|X
= f ◦ i será cont´ınua no ponto
a, completando a demosntra¸cão do corolário.
Observa¸cão 3.2.2 O corolário acima nos diz que a restri¸cão de uma fun¸cão cont´ınua a um
subconjunto do seu dom´ınio será uma fun¸cão cont´ınua nesse subconjunto.
Antes de prosseguir temos a
Observa¸cão 3.2.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M×N → P onde em
M × N consideramos uma das três métricas usuais (da raiz quadrada, da soma ou do máximo).
Logo f será cont´ınua em (a, b) ∈ M × N se dado ε 0 existe δ 0 tal que
dM×N ((x, y), (a, b)) δ implicar dP (f(x, y), f(a, b)) ε.
Neste caso é comum dizermos que f é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b).
Temos também a:
Defini¸cão 3.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M × N → P e (a, b) ∈
M × N.
Diremos que f é cont´ınua em rela¸cão a 1.a variável no ponto (a, b) se a aplica¸cão
fb : M → P
dada por
fb(x)
.
= f(x, b), x ∈ M,
for cont´ınua no ponto a.
Diremos que f é cont´ınua em rela¸cão a 2.a variável no ponto (a, b) se a aplica¸cão
fa
: N → P

dada por
fa
(y)
.
= f(a, y), y ∈ N,
for cont´ınua no ponto b.
Diremos que f é cont´ınua separadamente no ponto (a, b) se ela for cont´ınua em rela¸cão
a cada uma das variáveis no ponto (a, b).
1. Na situa¸cão acima se f é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (a, b) então temos que
fa
= f ◦ ja fb = f ◦ ib,
onde ib : M → M × N e ja : N → M × N são as aplica¸cões de M, e de N, em M × N
dadas pelo exemplo (3.1.10), respectivamente.
Assim, como ib e ja são cont´ınuas em M e N, respectivamente, segue que que fa e fb são
cont´ınuas nos pontos a e b, respectivamente.
Portanto f será cont´ınua separadamente no ponto (a, b).
2. Não vale, em geral, a rec´ıproca do resultado acima, isto é, existem fun¸cões f : M ×N → P
que são cont´ınuas separadamente no ponto (a, b) mas não são cont´ınuas (conjuntamente)
no ponto (a, b).
Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:
Seja
f : R × R → R
dada por
f(x)
.
=



xy
x2 + y2
, se (x, y) = (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
.
No ponto (0, 0) temos que f é cont´ınua separamente (pois f(x, 0) = 0 e f(0, y) = 0 para
todo x, y, ∈ R que são cont´ınuas em R).
Mas f não é cont´ınua (conjuntamente) no ponto (0, 0) pois se tomarmos a restri¸cão da
fun¸cão f à reta y = ax, com a = 0 (que torna-se um espa¸co métrico com a métrica
induzida pela métrica de R2) então teremos
f(x, ax) =
ax2
x2 + a2x2
=
a
1 + a2
= 0 se x = 0
e se x = 0 teremos que f(0, a.0) = (0, 0), mostrando que f é descont´ınua no ponto (0, 0).
Para o próximo resultado precisaremos da
Defini¸cão 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2) espa¸cos métricos,
f : M → N1 × N2
dada por
f(x)
.
= (f1(x), f2(x)), x ∈ M
onde fj : M → Nj, j = 1, 2 são ditas fun¸cões coordenadas da fun¸cão f.
Neste caso escreveremos f = (f1, f2).

Com isto temos a
Proposi¸cão 3.2.2 Sejam (M, dM ), (N1, d1), (N2, d2), N1×N2 espa¸cos métricos, onde no último
consideramos uma das três métricas usuais, f : M → N1 × N2 dada por f(x)
.
= (f1(x), f2(x)),
x ∈ M onde fj : M → Nj, j = 1, 2 e a ∈ M.
Então f é cont´ınua no ponto a se, e somente se, f1 e f2 são cont´ınuas no ponto a.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que f é cont´ınua no ponto a.
Temos que
f1 = p1 ◦ f e f2 = p2 ◦ f,
onde pj : N1 × N2 → Nj, j = 1, 2 são as proje¸cões em N1 e N2 definidas no exemplo (3.1.13),
respectivamente.
Como p1, p2 são cont´ınuas em N1 e N2, respectivamente, segue que f1 e f2 são cont´ınuas em
a ∈ M.
Reciprocamente,
(i) Consideremos em N1 × N2 a métrica do máximo.
Se f1 e f2 são cont´ınuas em a ∈ M então dado ε 0 segue que existem δ1, δ2 0 tal que
se
dM (x, a) δi implicará dNi (fi(x), fi(a)) ε, i = 1, 2. (∗)
Seja δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
Assim, se dM (x, a) δ logo dM (x, a) δ1 e dM (x, a) δ2 e de (*) teremos
dN1×N2 (f(x), f(a)) = max{d1(f1(x), f1(a)), d2(f2(x), f2(a))} ε,
mostrando que f é cont´ınua no ponto a.
(ii) Se considerarmos em N1 × N2 a métrica da raiz quadrada temos que dado ε 0 existem
δ1, δ2 0 tal que se
dM (x, a) δi implicará dNi (fi(x), fi(a))
ε
√
2
, i = 1, 2. (∗)
tomando-se δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
dN1×N2 (f(x), f(a)) = [d1(f1(x), f1(a))]2 + [d2(f2(x), f2(a))]2 [
ε
√
2
]2 + [
ε
√
2
]2
=
ε2
2
+
ε2
2
=
√
ε2 = ε,
(iii) Se considerarmos em N1 × N2 a métrica da soma temos que dado ε 0 existem δ1, δ2 0
tal que se
dM (x, a) δi implicará dNi (fi(x), fi(a))
ε
2
, i = 1, 2. (∗)

tomando-se δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
dN1×N2 (f(x), f(a)) = d1(f1(x), f1(a)) + d2(f2(x), f2(a))
ε
2
+
ε
2
= ε,
Completamos assim a demonstra¸cão.
Corolário 3.2.2 Sejam (M1, d1), (M2, d2), (N1, d1), (N2, d2) espa¸cos métricos e f1 : M1 → N1,
f2 : M2 → N2 duas fun¸cões.
Se f1 e f2 são cont´ınuas em M1 e M2, respectivamente então a aplica¸cão
f1 × f2 : M1 × M2 → N1 × N2
(f1 × f2)(x1, x2)
.
= (f1(x1), f2(x2)), (x1, x2) ∈ M1 × M2
será cont´ınua em M1 × M2.
Demonstra¸cão:
Temos que as coordenadas de f1 × f2 são
(f1 × f2)1 = f1 ◦ p1 e (f1 × f2)2 = f2 ◦ p2,
onde pi : M1 ×M2 → Mi, i = 1, 2, são as proje¸cões de M1 ×M2 em Mi, i = 1, 2 que são cont´ınuas
em M1 × M2 ( ver exemplo (3.1.13) ).
Como f1 e f2 são cont´ınuas em M1 e M2, respectivamente, da proposi¸cão (3.2.1) segue que
(f1 × f2)1 e (f1 × f2)2 são cont´ınuas M1 × M2 e assim a proposi¸cão (3.2.2) implicará que f1 × f2
são cont´ınuas em M1 × M2 concluindo a demonstra¸cão do resultado.
Como conseqüência dos resultados acima temos a
Proposi¸cão 3.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, (E, . E) espa¸co vetorial normado, R com
a métrica usual, f, g : M → E, α, β : M → R cont´ınuas, com β(x) = 0 para x ∈ M.
Então as fun¸cões f + g, α.f : M → E são cont´ınuas em M e
α
β
: M → R é cont´ınua em M,
onde
(f + g)(x)
.
= f(x) + g(x), (α.f)(x)
.
= α.f(x), (
α
β
)(x)
.
=
α(x)
β(x)
,
para x ∈ M.
Demonstra¸cão:
Vimos anteriormente (exemplos (3.1.5), (3.1.15) e (3.1.6)) que as fun¸cões r : R {0} → R,
s : E × E → E e m : E → E dadas por
r(x)
.
=
1
x
, s(x, y)
.
= x + y, m(λ, x)
.
= λ.x,
onde x, y ∈ E e λ ∈ R, são cont´ınuas nos seus respectivos dom´ınios.

Com isto temos:
M
(f,g)
−→ E × E
s
−→ E
x −→ (f(x), g(x)) −→ f(x) + g(x)
,
logo f + g é cont´ınua em M;
M
(α,f)
−→ R × E
m
−→ E
x −→ (α(x), f(x)) −→ α(x).f(x)
,
logo α.f é cont´ınua em M e
M
(α,β)
−→ R × R {0}
(id,r)
−→ R × R
m
−→ R
x −→ (α(x), β(x)) −→ (α(x), 1
β(x) ) −→ α(x). 1
β(x)
,
logo
α
β
é cont´ınua em M (onde id : R → R é a aplica¸cão identidade, isto é id(x) = x, x ∈ R),
completando a demonstra¸cão do resultado.
Como conseqüência imediata temos o
Corolário 3.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, R com a métrica usual, f, g : M → R cont´ınuas
em M.
Então as fun¸cões f +g, f.g : M → R são cont´ınuas em M e
f
g
: M {x ∈ M : g(x) = 0} → R
é cont´ınua no seu dom´ınio.
Para finalizar a se¸cão temos a
1. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos.
Denotaremos por C(M; N) o conjunto formado por todas as fun¸cões cont´ınuas de M em
N, isto é,
C(M; N)
.
= {f : M → N : f é cont´ınua em M}.
Denotaremos por C0(M; N) o conjunto formado por todas as fun¸cões cont´ınuas de M em
N que são limitadas, isto é,
C0(M; N)
.
= {f : M → N : f é cont´ınua e limitadas em M} ⊆ C(M; N).
Neste último podemos introduzir uma métrica da seguinte forma:
Consideremos
d : C0(M; N) × C0(M; N) → R
definida da seguinte forma: se f, g ∈ C0(M; N)
d(f, g)
.
= sup{dN (f(x), g(x)) : x ∈ M}.
Ficará a como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d é uma métrica em C0(M; N).

2. Em C0([a, b]; R) podemos considerar a norma
f
.
= sup
x∈[a,b]
|f(x)|, f ∈ C0([a, b]; R)
e assim temos a métrica associada a esta norma que será denotada por dsup.
Por outro lado, sabemos que toda fun¸cão cont´ınua f : [a, b] → R é (Riemann)-integrável
em [a, b].
Em particular, existe
b
a
|f(x)| dx.
Afirmamos que
f 1
.
=
b
1
|f(x)| dx, f ∈ C0([a, b]; R)
também é uma norma em C0([a, b]; R).
As propriedades (n2) e (n3) serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
Mostremos que (n1) ocorre.
Para isto seja f ∈ C0([a, b]; R) tal que f = 0, ou seja, existe x0 ∈ [a, b].
Do Cálculo 1 sabemos que se uma fun¸cão é cont´ınua e não-negativa tem integral nula se,
e somente se, ela for identicamente nula.
Logo segue que, se f = 0 (*) temos que
b
a
|f(x)| dx = 0 pois se fosse zero dever´ıamos ter
|f(x)| = 0 para todo x ∈ [a, b] implicando que f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b], contrariando
(*)), com isto obtemos (n1).
Logo podemos considerar a métrica associada a norma . 1 (que será denominada métrica
da integral em f ∈ C0([a, b]; R)).
3. Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e (E, . E) espa¸co vetorial normado.
Então é fácil ver que C0(M; E) é um subespa¸co vetorial do espa¸co vetorial B(M; N).
16.09.2008 - 10.a
3.3 Homeomorfismos entre espa¸cos métricos
Observa¸cão 3.3.1 O objetivo desta se¸cão é estudar fun¸cões bijetoras e cont´ınuas que admitam
fun¸cão inversa cont´ınua.
Ao contrário do que ocorre em Álgebra Linear (onde a inversa de uma transforma¸cão linear é,
necessariamente, uma transforma¸cão linear) e da Álgebra (onde a inversa de um homomorfismo
é, necessariamente, um homomorfismo) na Topologia existem fun¸cões cont´ınuas e bijetoras cujas
fun¸cões inversas não são cont´ınuas, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo 3.3.1 Consideremos (M, d) onde M = R e dM é a métrica zero-um e R com a métrica
usual.
Tomemos a aplica¸cão identidade i : M → R, dada por i(x)
.
= x, x ∈ M.
Observemos que neste caso aplica¸cão i é bijetora e cont´ınua (veja observa¸cão (3.1.8 item
2.)
Afirmamos que a fun¸cão inversa associada a i, que é a aplica¸cão i−1 : R → M dada por
i−1(y)
.
= y, y ∈ R, não é cont´ınua em qualquer ponto de R pois a métrica em M é a métrica
zero-um (ver oberva¸cão (3.1.8) item 3.).

3.3. HOMEOMORFISMOS ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS 71
A seguir exibiremos um outro exemplo menos artificial
Exemplo 3.3.2 Sejam M
.
= [−1, 0] ∪ (1, ∞) e N = [0, ∞) ambos com a métrica usual induzida
de R.
Consideremos f : M → N dada por
f(x) = x2
, x ∈ M.
Temos que f é uma aplica¸cão bijetora e cont´ınua em M (será deixado como exerc´ıcio para
o leitor a verifica¸cão deste fatos - veja gráfico de f na figua abaixo).
TN
E
M
−1
1
1 x
f(x)
A fun¸cão inversa associada a f será f−1 : N → M dada por
f−1
(y)
.
=
−
√
y, 0 ≤ y ≤ 1
√
y, y 1
cujo gráfico é dado pela figura abaixo.
E
T
1
1
−1
M
Ny
f−1
(y)
Observemos que f−1 não é cont´ınua em y = 1.
De fato, dado ε =
1
2
0, para todo δ 0 seja z ∈ (1, 1 + δ).

Logo z ∈ B(1; δ) mas
dR(f−1
(z), f−1
(1)) = |f−1
(z) − f−1
(1)|
[f−1(1)=−1]
= |f−1
(z) + 1| = f−1
(z) + 1
1
2
= ε,
mostrando que f−1(z) ∈ B(f−1(1); ε).
Portanto f−1 não será cont´ınua no ponto y = −1.
E
T
1
1
−1
M
N
'
c
E
c
O próximo exemplo é o mais interessante.
Exemplo 3.3.3 Sejam M = [0, 2π) com a métrica induzida pela métrica usual de R,
S1 .
= {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1}
com a métrica induzida pela métrica usual de R2 e
f : E → S1
dada por
f(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ E.
Observemos que f é cont´ınua em M (pois suas componentes são cont´ınuas em M) e bijetora
(será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão deste fato).
Logo existe a fun¸cão inversa f−1 : S1 → E.
Afirmamos que f−1 não é cont´ınua em (1, 0) = f(0).
De fato, consideremos as seqüências (Pn)n∈N e (Qn)n∈N sobre S1 de modo que Pn → (1, 0)
e está contida no semi-plano superior y 0 e Qn → (1, 0) e está contida no semi-plano inferior
y 0.
T
E
(1, 0)
T
c
Pn
Qn
T
E
f
2π
0
f−1
(Pn)
c
Tf−1
(Qn)
'
f−1

Assim f−1(Pn) → 0 e f−1(Qn) → 2π, mostrando que não existe lim
(x,y)→(1,0)
f−1
(x, y).
Em particular f−1 não é cont´ınua em (1, 0).
Quando a fun¸cão inversa for cont´ınua temos a seguinte defini¸cão
Defini¸cão 3.3.1 Sejam (M, dM ) e N(, dN ) espa¸cos métricos.
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é um homemorfismo de M em N se a fun¸cão f for
cont´ınua, for bijetora (logo admite fun¸cão inversa) e a fun¸cão inversa for cont´ınua em N.
Neste caso diremos que o espa¸co métrico M é homeomorfo ao espa¸co métrico N e es-
creveremos M ∼ N.
A seguir temos a
Proposi¸cão 3.3.1 Sejam (M, dM ), N(, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uma isometria.
Então f é um homeomorfismo de M em N.
Demonstra¸cão:
Se a fun¸cão f é uma isometria então, como vimos na observa¸cão (2.6.2) item 2., sua fun¸cão
inversa também será uma isometria, ou seja, f e sua fun¸cão inversa, f−1, serão cont´ınuas, logo
a fun¸cão f será um homeomorfismo.
1. Temos que M ∼ M pois a aplica¸cão identidade i : M → M é sempre um homeomorfismo
de M em M (isto é, ∼ é reflexiva);
2. Observemos que se f : M → N é um homeomorfismo (de M em N) então f−1 : N → M
também será um homeomorfismo (de N em M).
Logo se M ∼ N então N ∼ M (isto é, ∼ é simétrica);
3. Se (M, dM ), N(, dN ) e (P, dP ) são espa¸cos métricos e f : M → N, g : N → P são
homeomorfismos então, da proposi¸cão (3.2.1) segue que (g ◦ f) : M → P também será um
homeomorfismo (de M em P) (isto é, ∼ é transitiva).
Logo se M ∼ N e N ∼ P então N ∼ P;
4. Dos iten 1., 2. e 3. segue que ∼ é uma rela¸cão de equivalência no conjunto formado por
todos os espa¸cos métricos.
5. Diremos que uma certa propriedade P de um espa¸co métrico M é uma propriedade
topológica se todo espa¸co métrico homeomorfo a M tem a propriedade P, ou seja pro-
priedades topológicas são aquelas preservadas por homeomorfismos.
6. Diremos que uma certa propriedade Q de um espa¸co métrico M é uma propriedade
métrica se todo espa¸co métrico isométrico a M tem a propriedade Q, ou seja, propriedades
métricas são aquelas preservadas por isometrias.

7. A proposi¸cão (3.3.1) garante que toda propriedade topológica é uma propriedade métrica
(pois se uma propriedade P é preservada por homeomorfismo então também será preserva
por isometrias, pois toda isometria é um homeorofismo).
Mas, em geral, não vale a rec´ıproca, isto é, existem propriedades métricas que não são
propriedades topológicas.
Ou seja, existem propriedades Q que são preservada por isometrias e não são preservas
por homeomorfismos.
Veremos isto na observa¸cão (3.3.3) item 4.
Temos os seguinte resultados:
Proposi¸cão 3.3.2 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (N, dN ) um espa¸co métrico discreto e
f : M → N um homeomorfismo de M e N.
Então M é um espa¸co métrico discreto.
Demonstra¸cão:
Seja a ∈ M.
Mostremos que a é um ponto isolado de M, isto é, existe δ 0 tal que BM (a; δ) = {a}.
Para isto, como N é discreto e f(a) ∈ N, existe ε 0 tal que BN (f(a); ε) = {f(a)}.
Como f é cont´ınua, existe δ 0 tal que f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) = {f(a)}.
Mas f é injetora, logo segue que BM (a; δ) só poderá ter um único ponto, caso contrário, se
existisse x = a tal que x ∈ B(a; δ) então f(x) ∈ B(f(a); ε) = {f(a)}, ou seja, f(x) = f(a), o
que é um absurdo, pois f é injetora.
Assim BM (a; δ) = {a}, ou seja, a é um ponto isolado de M, mostrando que M é discreto,
como quer´ıamos demonstrar.
1. Na verdade provamos um caso mais geral, a saber: se f : M → N é cont´ınua, injetora e
para algum a ∈ M temos f(a) um ponto isolado de N então a será um ponto isolado de
M.
2. Em particular, a proposi¸cão acima garante que ser discreto (ou não ser discreto) é uma
propriedade topológica (isto é, é preservada por homeomorfismos).
3. Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos discretos.
M e N são homeomorfos se, e somente se, M e N tem a mesma cardinalidade. De fato,
se M ∼ N então, em particular, existe uma aplica¸cão bijetora de M em N, logo M e N
tem a mesma cardinalidade
Por outro lado, lembremos que toda aplica¸cão definida num espa¸co métrico discreto é
cont´ınua (ver observa¸cão (3.1.8) item 2.).
Logo toda aplica¸cão bijetora entre espa¸cos métricos discretos será um homeomorfismo (pois
ela e sua inversa estão definidas em espa¸cos métricos discretos, logo são cont´ınuas).
Em particular, se M e N são discretos e têm a mesma cardinalidade, segue que existe uma
aplica¸cão bijetora de M em N que, pelo que observamos acima, será um homemorofismo
de M em N e portanto M ∼ N.

4. Afirmamos que ser limitado é uma propriedade métrica mas não é uma propriedade
topológica, como mostra o seguinte exemplo:
Sejam N e P
.
= {
1
n
: n ∈ N} ambos com a métrica induzida pela métrica usual de R.
Temos que N e P são homeomorfos, pois eles têm a mesma cardinalidade (observemos que
f : N → P dada por f(n)
.
=
1
n
, n ∈ N é uma aplica¸cão bijetora de N em P).
Observemos que N não é limitado mas P é limitado.
Um outro resultado interessante é dado pela
Proposi¸cão 3.3.3 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial sobre R normado, a ∈ E e λ ∈ R, λ = 0.
Então a transla¸cão
ta : E → E
e a homotetia
mλ : E → E
definidas por
ta(x)
.
= x + a, mλ(x)
.
= λ.x, x ∈ E,
são homeomorfismos de E.
Demonstra¸cão:
De fato, da proposi¸cão (3.2.3) segue que ta e mλ são cont´ınuas em E.
Além disso, elas admitem fun¸cões inversas
t−1
a : E → E e m−1
λ : E → E
definidas por
t−1
a (y)
.
= y − a, m−1
λ (y)
.
=
1
λ
.x, y ∈ E.
A verifica¸cão destes fatos serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
Observemos que t−1
a : E → E e m−1
λ : E → E são cont´ınuas em E, logo são homeomorfismos
de E.
Como conseqüêcia temos o
Corolário 3.3.1 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial sobre R normado, a, b ∈ E e r, s 0.
Então as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) são homeomorfas (munidas da métrica induzida de
E).
Demonstra¸cão:
Consideremos a aplica¸cão
ϕ : B(a; r) → E
dada por
ϕ(x)
.
= (tb
◦ ms
r
◦ t−a)(x), x ∈ B(a; r).
Veja figura abaixo:

a
o
r
E
t−a
0
“
r
E
m s
r
0
“
s
c
tb
b
}
s
s
ϕ = tb
◦ m s
r
◦ t−a
Observemos que
ϕ(a) = (tb
◦ ms
r
◦ t−a)(a) = (tb
◦ ms
r
)(t−a(a)) = (tb
◦ ms
r
)(a − a) = (tb
◦ ms
r
)(0)
= tb
(ms
r
(0)) = tb
(
s
r
.0) = tb
(0) = 0 + b = b.
Se x ∈ B(a; r) e
dE(ϕ(x), ϕ(a)) = ϕ(x) − ϕ(a) E = (tb
◦ ms
r
◦ t−a)(x) − b E = (tb
◦ ms
r
)(t−a(x)) − b E
= (tb
◦ ms
r
)(x − a) − b E = tb
(ms
r
(x − a)) − b E
= tb
(
s
r
(x − a)) − b E = [
s
r
(x − a) + b] − b =
s
r
(x − a) =
s
r
x − a
[x∈B(a;r)]

s
r
.r = s,
ou seja, ϕ(x) ∈ B(ϕ(a); s)
[ϕ(a)=b]
= B(b; s), mostrando que
ϕ : B(a; r) → B(b; s).
Da proposi¸cão (3.3.3) segue que ϕ é um homeomorfismo (pois é uma composta de homeo-
morfismos), mostrando que as bolas abertas B(a; r) e B(b; s) são homeomorfas.

De modo semelhante pode-se mostrar o
Corolário 3.3.2 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial sobre R normado, a, b ∈ E e r, s 0.
Então as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] são homeomorfas (munidas da métrica induzida pela
norma de E).
Além disso, as esferas S(a; r), S(b; s) também são homeomorfas.
Demonstra¸cão:
Será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
1. Sabemos que o diâmetro de um conjunto é invariante métrico (isto é, é preservado por
isometrias) mas não é um invariante topológico (isto é, não é preservado por homeomor-
fismo) como afirmam os corolários acima (no caso de espa¸cos vetoriais normados).
2. Observemos que em um espa¸co métrico arbitrário duas bolas abertas (ou fechadas) podem
não ser homeomorfas, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos (M, dM ) um espa¸co métrico que possua um ponto a que seja ponto isolado
de M e um ponto b que não seja ponto isolado de M.
Logo existe ε 0 tal que B(a; ε) = {a}, portanto essa bola aberta não será homeomorfa
a uma bola aberta de centro em b, pois, para todo s 0 temos que B(b; s) é um conjunto
infinito (pois b não é ponto isolado de M; na verdade, não poderá existir uma aplica¸cão
bijetora de B(a; ε) = {a} no conjunto B(b; s))).
Portanto as bolas B(a; ε) e B(b; s) não são homeomorfas em M.
Temos a
Diremos que uma fun¸cão f : M → N é uma imersão topológica se f : M → f(M) for
um homeomorfismo.
1. Toda imersão isométrica f : M → N será uma imersão topológica (pois se f é imersão
isométrica então dN (f(x), f(y)) = dM (x, y) para todo x, y ∈ M, mostrando que f : M →
f(M) é bijetora, cont´ınua em M com fun¸cão inversa, f−1 : f(M) → M, cont´ınua em
f(M)).
2. Não vale a rec´ıproca do item 1., ou seja, nem toda imersão topológica é uma imersão
isométrica, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos R e R2 com as métricas usuais e f : R → R2 dada por
f(t)
.
= (t, t2
), t ∈ R.
Observemos que f é cont´ınua em R, bijetora sobre f(R) e sua inversa será
f−1
: f(R) → R

dada por
f−1
(t, t2
)
.
= t, (t, t2
) ∈ f(R)
que corresponde a restri¸cão da proje¸cão p1 : R2 → R (que é cont´ınua) a f(R), logo
f : R → f(R) é um homeomorfismo, mostrando que f : R → R2 é uma imersão topológica.
Observemos que f : R → R2 não é uma imersão isométrica, pois , se t, s ∈ R e t = s
temos que
df(M)(f(t), f(s))
é o comprimento do arco de parábola que une os pontos (s, s2) e (t, t2) enquanto dR(t, s) é
o comprimento do segmento de reta que une os pontos (s, 0) e (t, 0).
Logo
df(M)(f(t), f(s)) dM (s, t),
mostrando que f não será uma imersão isométrica (veja figura abaixo).
E
T
t
s
f(t) = (t, t2
)
f(s) = (s, s2
)
M = R
N = f(R)
A seguir daremos dois exemplos geométricos de fun¸cões que não são imersões topológicas.
Exemplo 3.3.4 Consideremos M
.
= (0, 1) munido da métrica induzida pela métrica ususal de
R, R2 com a métrica usual e f, g : (0, 1) → R2 dadas pelos seguintes configura¸cões geométricas:
T
Ef
0
1
t
f(t)
T
0
1
E
g
t g(t)

18.09.2008 - 11.a
Outro resultado importante é dado pela
Proposi¸cão 3.3.4 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado.
Então toda bola aberta é homeomorfa a E, isto é, se a ∈ E e r 0 então B(a; r) ∼ E.
Demonstra¸cão:
Do corolário (3.3.1) basta mostrar que B(0; 1) ∼ E, isto é, construiremos um homeomorfismo
f : E → B(0; 1).
Consideremos
f : E → E
dada por
f(x)
.
=
1
1 + x E
x, x ∈ E.
Observemos que
f(x) E =
1
1 + x E
x E =
1
1 + x E
x E 1,
mostrando que f(E) ⊆ B(0; 1), ou seja f : E → B(0; 1).
Além disso f é uma fun¸cão cont´ınua (pois a aplica¸cão x → x E é cont´ınua e como 1+ x E =
0, segue que a fun¸cão f será cont´ınua em E).
Definamos
g : B(0; 1) → E
por
g(y)
.
=
1
1 − y E
y, y ∈ B(0; 1).
Temos que a fun¸cão g é cont´ınua em B(0; 1) (pois a aplica¸cão y → y E é cont´ınua e como
1 − y E = 0 para y ∈ B(0; 1), segue que a fun¸cão g será cont´ınua em B(0; 1)).
Além disso se y ∈ B(0; 1) temos que
f(g(y)) = f(
1
1 − y E
y) =
1
1 + 1
1− y E
y E
1
1 − y E
y
=
1
1 + 1
1− y E
y E
1
1 − y E
y =
1 − y E
1 − y E + y E
1
1 − y E
y = y.
De modo semelhante mostra-se que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor)
g(f(x)) = x, x ∈ E,
ou seja g = f−1, mostrando que f : E → B(0; 1) é um homeomorfismo de E em B(0; 1), ou seja
B(0; 1) ∼ E, como quer´ıamos demonstrar.
Portanto B(a; r) ∼ E.

1. Do exemplo acima segue que o intervalo (a, b) ⊆ R é homeomorfo a R (munidos da métrica
induzida da métrica usual de R e da métrica usual de R, respectivamente), pois
(a, b) = B(
a + b
2
;
b − a
2
)
(veja figura abaixo).
a b
a+b
2
E'E'
b−a
2 b−a
2
2. Na situa¸cão acima, temos que o intervalo (a, ∞) é homeomorfo a R.
Para mostrar isto basta considerar a fun¸cão
f : R → (a, ∞)
dada por
f(x)
.
= a + ex
, x ∈ R.
E
T
x
f(x) = a + ex
y = a
Com isto pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que f é cont´ınua em
R e se definirmos
h : (a, ∞) → R
por
h(y)
.
= ln(y − a), y ∈ (a, ∞)
teremos que h será cont´ınua em (a, ∞).

E
T
y
h(y) = ln(y − a)
Além disso, pode-se verificar, que
f(h(y)) = y, y ∈ (a, ∞) e g(f(x)) = x, x ∈ R,
mostrando que h = f−1, isto é, f é um homeormorfismo de (a, ∞) em R, mostrando que
(a, ∞) ∼ R.
3. De modo semelhante ao que fizemos no item 2. pode-se mostrar (será deixado como exer-
c´ıcio para o leitor) que (−∞, b) ∼ R.
Um outro exemplo importante é
Exemplo 3.3.5 Sejam
Sn .
= {x ∈ Rn+1
: x = 1}
a esfera n-dimensional unitário de centro na origem munida da métrica induzida pela métrica
usual de Rn+1 e p
.
= (0, · · · , 0, 1) ∈ Rn+1 (o polo norte da esfera Sn).
Mostraremos que Sn {p} é homeomorfa a Rn.
Para isto exibiremos uma aplica¸cão
Π : Sn
{p} → Rn
que é um homeomorfismo.
A aplica¸cão Π é definida da seguinte forma:
Dado x ∈ Sn {p} consideremos a semi-reta
→
px que liga os pontos p e x (que está bem
definida pois x = p).
Definimos π(x) como sendo o ponto de interseçcão da semi-reta
→
px como o h´ıper-plano
xn+1 = 0

R
0
p = (0, 1)
x
π(x)
y
π(y)
semi-reta
→
px
semi-reta
→
py
T
'
S1
{p}
w
A seguir obteremos uma expressão para π(x), x ∈ S1 {p}.
Observemos se x ∈ S1 {p}, que os pontos da semi-reta
→
px são da forma
p + t.(x − p), t 0,
logo
π(x) = p + t.(x − p), para algum t 0.
Mas π(x) deverá pertencer ao h´ıper-plano xn+1 = 0.
Como a última coordenada é da forma
1 + t(xn+1 − 1),
(pois a última coordenada do ponto p é 1) deveremos ter
1 + t(xn+1 − 1) = 0
.
Logo para que π(x) perten¸ca ao h´ıper-plano xn+1 = 0 deveremos ter
t =
1
1 − xn+1
.
Escreveremos
x = (x1, · · · , xn, xn+1) = (x , xn+1),
onde x = (x1, · · · , xn) e xn+1 ∈ R.
Deste modo teremos que
p + t(x − p) = p +
1
1 − xn+1
(x − p) = (0, · · · , 0, 1) +
1
1 − xn+1
[(x1, x2, · · · , xn, xn+1) − (0, · · · , 0, 1)]
= (0, · · · , 0, 1) +
1
1 − xn+1
(x1, x2, · · · , xn, xn+1 − 1) = (0, · · · , 0, 1) + (
1
1 − xn+1
x , −1)
= (
1
1 − xn+1
x , 0),
Observemos que {(x1, · · · , xn, 0) : xi ∈ R, i = 1 · · · , n} é homeomorfo a Rn.

Para ver isto basta considerar
φ : {(x , 0) : x ∈ Rn
} ⊆ Rn+1
→ Rn
dada por
φ(x , 0)
.
= x ∈ Rn
e mostrar que esta é um homeomorfismo (será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Assim definimos Π : S1 {p} → Rn por
Π(x) = (φ ◦ π)(x), x ∈ S1
{p},
ou seja,
Π(x) =
1
1 − xn+1
x , x ∈ S1
{p},
onde x = (x , xn+1).
Como xn+1 = 1 segue que Π : S1 {p} → Rn é uma fun¸cão cont´ınua em S1 {p}.
Consideremos a aplica¸cão ϕ : Rn → Rn+1 dada por
ϕ(y)
.
= x, y ∈ Rn
,
onde x = (x , xn+1) com
x
.
=
2
y 2
Rn + 1
y e xn+1
.
=
y 2
Rn − 1
y 2
Rn + 1
,
isto é
ϕ(y)
.
= (
2
y 2
Rn + 1
y,
y 2
Rn − 1
y 2
Rn + 1
) ∈ Rn+1
, y ∈ Rn
.
Observemos que
ϕ(y) 2
Rn+1 =
2
y 2
Rn + 1
y 2
Rn + |
y 2
Rn − 1
y 2
Rn + 1
|2
=
4
( y 2
Rn + 1)2
y 2
Rn +
( y 2
Rn − 1)2
( y 2
Rn + 1)2
=
4 y 2
Rn + ( y 2
Rn − 1)2
( y 2
Rn + 1)2
=
4 y 2
Rn + ( y 4
Rn − 2 y 2
Rn + 1
( y 2
Rn + 1)2
=
y 4
Rn + 2 y 2
Rn + 1)
( y 2
Rn + 1)2
=
( y 2
Rn + 1)2
( y 2
Rn + 1)2
= 1,
ou seja, ϕ(y) ∈ Sn.
Além disso, se ϕ(y) = (0, · · · , 0, 1) = p ∈ Rn+1 dever´ıamos ter



2
y 2
Rn + 1
y = (0, · · · , 0) ∈ Rn
y 2 − 1
y 2
Rn + 1
= 1
e das n-primeiras equa¸cões teremos y = (0, · · · , 0) ∈ Rn e este não satisfaz a última equa¸cão (o
lado esquerda dá −1), ou seja p ∈ ϕ(Rn).
Conslusão: ϕ : Rn → Sn {p}.

Observemos que ϕ é cont´ınua em Rn e além disso se x ∈ Sn {p} temos que
1 = x 2
Rn+1 = x 2
Rn + (xn+1)2
e xn+1 = 1.
Assim
x 2
Rn = 1 − (xn+1)2
,
logo
ϕ(Π(x)) = (
2
Π(x) 2
Rn + 1
Π(x),
Π(x) 2
Rn − 1
Π(x) 2
Rn + 1
) = (
2
1
1−xn+1
x 2
Rn + 1
[
1
1 − xn+1
x ],
1
1−xn+1
x 2
Rn − 1
1
1−xn+1
x 2
Rn + 1
)
= (
2
1
(1−xn+1)2 x 2
Rn + 1
[
1
1 − xn+1
x ],
1
(1−xn+1)2 x 2
Rn − 1
1
(1−xn+1)2 | x 2
Rn + 1
)
= (
2(1 − xn+1)2
[ x 2
Rn + (1 − xn+1)2].(1 − xn+1)
x ,
x 2
Rn − (1 − xn+1)2
x 2
Rn + (1 − xn+1)2
)
= (
2(1 − xn+1)2
[(1 − (xn+1)2) + (1 − xn+1)2].(1 − xn+1)
x ,
(1 − (xn+1)2) − (1 − xn+1)2
(1 − (xn+1)2) + (1 − xn+1)2
)
= (
2(1 − xn+1)
[ x 2
Rn + (1 − xn+1)2]
x ,
x 2
Rn − (1 − xn+1)2
x 2
Rn + (1 − xn+1)2
)
= (
2(1 − xn+1)
[(1 − (xn+1)2) + (1 − xn+1)2].
x ,
(1 − (xn+1)2) − (1 − xn+1)2
(1 − (xn+1)2) + (1 − xn+1)2
)
= (
2(1 − xn+1)
[1 − (xn+1)2 + 1 − 2xn+1 + (xn+1)2]
x ,
1 − (xn+1)2 − [1 − 2xn+1 + (xn+1)2]
1 − (xn+1)2 + [1 − 2xn+1 + (xn+1)2]
)
= (
2(1 − xn+1)
(2 − 2xn+1)
x ,
2xn+1 − 2(xn+1)2
2 − 2xn+1
) = (x ,
2(1 − xn+1)xn+1
2(1 − xn+1)
) = (x , xn+1) = x.
Por outro lado, se y ∈ Rn, denotando por
ϕ(y) = ([ϕ(y)] , [ϕ(y)]n+1) ∈ Rn
× R
temos
Π(ϕ(y)) =
1
1 − [ϕ(y)]n+1
[ϕ(y)] =
1
1 − [
y 2
Rn −1
y 2
Rn +1
]
(
2
y 2
Rn + 1
y,
y 2
Rn − 1
y 2
Rn + 1
)
=
1
1 − [
y 2
Rn −1
y 2
Rn +1
]
2
y 2
Rn + 1
y =
y 2
Rn + 1
( y 2
Rn + 1) − ( y 2
Rn − 1)
2
y 2
Rn + 1
y
=
2( y 2
Rn + 1)
2( y 2
Rn + 1)
y = y.
Portanto
Π(ϕ(x)) = x, x ∈ Sn
{p} e ϕ(Π(y)) = y, y ∈ Rn
,
mostrando que ϕ é a fun¸cão inversa de Π e como isto podemos concluir que
Π : Sn
{p} → Rn
é um homeormorfismo e assim Sn {p} ∼ Rn, como quer´ıamos mostrar.

Definimos o gráfico da fun¸cão f, indicado por G(f), como sendo o seguinte subconjunto
de M × N:
G(f)
.
= {(x, f(x)) : x ∈ M}.
Com isto temos a
Proposi¸cão 3.3.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N cont´ınua em M.
Então G(f) (munido de uma das três métrica do produto M × N) é homeomorfo a M.
Demonstra¸cão:
Consideremos a seguinte aplica¸cão
˜f : M → M × N
dada por
˜f(x)
.
= (x, f(x)), x ∈ M.
Observemos que ˜f é uma aplica¸cão cont´ınua em M (pois suas fun¸cões coordenadas são
cont´ınuas em M) e é injetora (pois se x1 = x2 então (x1, f(x1)) = (x2, f(x2))) e portanto
bijetora sobre a sua imagem G(f).
Observemos que p1 : G(f) → M dada por
p1(x, f(x))
.
= x, (x, f(x)) ∈ G(f)
(a restri¸cão a G(f) da proje¸cão no primeiro fator) é cont´ınua em G(f) e
˜f(p1(x, f(x))) = ˜f(x) = (x, f(x)), (x, f(x)) ∈ G(f) e p1( ˜f(x)) = p1(x, f(x)) = x x ∈ M,
mostrando que p1 é a fun¸cão inversa associada a ˜f.
Logo ˜f : M → f(M) é um homeomorfismo, mostrando que M ∼ G(f), como quer´ıamos
demonstrar.
Exemplo 3.3.6 Como exemplos da situa¸cão acima temos os:
1. R {0} é homeomorfo à hipérbole H
.
= {(x, y) ∈ R2 : x.y = 1}.
De fato, segue da proposi¸cão acima que isto é verdade pois H é gráfico da fun¸cão
f : R {0} → R
dada por
f(x)
.
=
1
x
, x ∈ R {0}
que é cont´ınua em R {0} (veja figura abaixo).

E
T
x
y
f(x) = 1
x
(x, 1
x
)
x
2. De modo análogo, o hemisfério norte da esfera unitária centrada na origem de Rn, que
será indicada por
Sn
+
.
= {y = (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ Sn
: yn+1 0}
é homeomorfa à bola aberta unitária centrada na origem em Rn, isto é,
Sn
+ ∼ B(0; 1) ⊆ Rn
.
De fato, pois Sn
+ = G(f) onde
f : B(0; 1) → R
é dada por
f(x)
.
= 1 − x 2, x ∈ B(0; 1)
e f é cont´ınua em Sn
+ (pois é composta de fun¸cões cont´ınuas; veja figura abaixo).
Observemos que y = (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ Sn
+ se, e somente se,
1 = y 2
= y2
1 + · · · + y2
n + y2
n+1 e yn+1 0
que é equivalente a
yn+1 = 1 − y2
1 + · · · + y2
n.
Logo, se x
.
= (y1, · · · , yn) ∈ Rn a condi¸cão acima será equivalente a
x 1 e yn+1 = 1 − x 2,
ou, seja,
y = (y1, · · · , yn, yn+1) ∈ Sn
+ ⇐⇒ y = (x, 1 − x 2), x
.
= (y1, · · · , yn) ∈ Rn
.

3.4. MÉTRICAS EQUIVALENTES EM UM ESPAÇO MÉTRICO 87
Rn
%
Sn
+
W
1
O
x
f(x)
(x, f(x))
3.4 Métricas equivalentes em um espa¸co métrico
Iniciaremos com a
Defini¸cão 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas métricas em M.
Diremos que a métrica d1 é mais fina que a métrica d2, escrevendo d1 d2 se a
aplica¸cão
i12 : (M, d1) → (M, d2)
dada por
i12(x)
.
= x, x ∈ M
for cont´ınua em M.
Observa¸cão 3.4.1 Da defini¸cão acima segue que a métrica d1 é mais fina que a métrica d2 se,
e somente se, para cada a ∈ M, dado ε 0 existe δ 0 tal que
Bd1 (a; δ) = (i12)−1
(Bd1 (a; δ)) ⊆ Bd2 (a; ε),
ou seja, toda bola aberta segundo a métrica d2 contém uma bola aberta segunda a métrica d1.
a
0
ε
‰ δ
' Bd2
(a; ε)
Q
Bd1
(a; δ)
Com isto temos a
Proposi¸cão 3.4.1 Seja (M, d1) um espa¸co métrico discreto (isto é, d1 é a métrica discreta) e
d2 uma outra métrica qualquer em M.
Então d1 d2.
Além disso, se d é uma métrica em M tal que d d1 então d é uma métrica discreta.

Demonstra¸cão:
Lembremos que na métrica discreta todo ponto de (M, d1) é isolado.
Logo se a ∈ M existe δ 0 tal que Bd1 (a; δ) = {a}.
Logo dado ε 0 temos que
Bd1 (a; δ) = {a} ⊆ Bd2 (a; ε),
mostrando que d1 d2.
Se d é uma métrica em M tal que d d1 então para todo a ∈ M, como d1 é a métrica
discreta existe ε 0 tal que Bd1 (a; ε) = {a}.
Mas d d1, logo existe δ 0 tal que
Bd(a; δ) ⊆ Bd1 (a; ε) = {a},
ou seja, Bd(a; δ) = {a}, mostrando que a métrica d é discreta.
Outro resultado interessante é dado pela
Proposi¸cão 3.4.2 Sejam d1 e d2 duas métricas em M satisfazendo a seguinte rela¸cão: existe
c 0 tal que
d2(x, y) ≤ c d1(x, y), x, y ∈ M.
Então d1 d2.
Demonstra¸cão:
A desigualdade acima implica que a aplica¸cão
i12 : (M, d1) → (M, d2)
é lischitziana em M, em particular cont´ınua em M, mostrando assim que d1 d2.
Observa¸cão 3.4.2 Podemos provar o resultado acima diretamente, ou seja, para cada a ∈ M,
dado ε 0 seja δ
.
=
ε
c
0.
Logo se a ∈ M temos que se x ∈ Bd1 (a; δ) segue que
d2(x, a) ≤ c d1(x, a) c δ = c
ε
c
= ε,
ou seja, x ∈ Bd2 (a; ε), mostrando que
Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε),
isto é, d1 d2.
Como caso partitular temos o
Exemplo 3.4.1 Seja E
.
= C0([a, b]) o espa¸co vetorial sobre R formado pelas fun¸cões reais
cont´ınuas e limitadas em [a, b] (veremos mais a frente que isto implicará que f deverá ser
limitada).
Sabemos que se f ∈ C0([a, b]) então
f
.
= sup{|f(x)|; x ∈ [a, b]}

é uma norma em E = C0([a, b]) e portanto definirá uma métrica, dsup, em E = C0([a, b]).
De modo semelhante temos que
f 1
.
=
b
a
|f(x)| dx, f ∈ C0([a, b])
também é uma norma em E = C0([a, b]) e portanto definirá uma métrica, d1, em E = C0([a, b])
(veja observa¸cão (3.2.5) item 2.).
Observemos que se f, g ∈ C0([a, b]) temos
d1(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)| dx ≤
b
a
sup
y∈[a,b]
|f(y) − g(y)| dx
= sup
y∈[a,b]
|f(y) − g(y)|
b
a
dx = f − g sup(b − a)
= (b − a)dsup(f, g).
Logo da proposi¸cão acima segue que dsup é mais fina que d1 (ou seja, dsup d1).
1. o exemplos acima nos diz que, em C0([a, b]), a métrica da convergência uniforme é mais
fina que a métrica da integral.
2. Não vale a rec´ıprova, isto é, a métrica da integral não é mais fina que a métrica da
convergência uniforme (ou seja, d1 dsup), como mostra o exemplo abaixo.
Dado ε 0 seja δ 0 qualquer.
Escolhamos 0 c
δ
2ε
e definamos g : [a, b] → R como na figura abaixo
E
T
a ba + c
C
Gráfico de g
2ε
a + c
2
Observemos que
b
a
|g(x)| dx =
a+c
a
|g(x)| dx
[área deum triângulo de base [a, a + c] e altura 2ε]
=
c.2ε
2
= c.ε
δ
2
.

Logo se f ∈ C0([a, b]) temos que
f + g ∈ Bd1 (f; δ),
pois d1(f + g, f) = (f + g) − f 1 =
b
a |g(x)| dx δ
2 δ.
Mas, como
g(a +
c
2
) = 2ε
segue que
g sup ≥ 2ε ε,
ou seja,
f + g ∈ Bdsup (f; ε),
pois dsup(f + g, f) = (f + g) − f sup = g sup = sup
a≤x≤b
|g(x)| ≥ 2ε ε.
Logo nenhuma bola aberta Bdsup (f; ε) conterá uma bola aberta Bd1 (f; δ) para todo δ 0, ou
seja d1 dsup, como afirmamos.
23.09.2008 - 12.a
Temos a
Proposi¸cão 3.4.3 Sejam M1
.
= (M, d1) e M2
.
= (M, d2) espa¸cos métricos.
As afirma¸cões são equivalentes;
1. d1 d2 (isto é, a aplica¸cão i12 : M1 → M2 é cont´ınua em M1);
2. Para todo espa¸co métrico (N, dN ) se uma fun¸cão f : M2 → N é cont´ınua em M2 então
f : M1 → N é cont´ınua em M1 (ou seja, toda aplica¸cão cont´ınua segundo a métrica d2
será cont´ınua segundo a métrica d1);
3. Consideremos em R a métrica usual. Se uma fun¸cão f : M2 → R é cont´ınua em M2 então
f : M1 → R é cont´ınua em M1 (ou seja, toda aplica¸cão real cont´ınua segundo a métrica
d2 será cont´ınua segundo a métrica d1);
4. Para todo a ∈ M a fun¸cão
d2a : M1 → R dada por d2a
.
= d2(a, x), x ∈ M,
é cont´ınua em M1;
5. Toda bola aberta, segundo a métrica d2, contém uma bola aberta segundo d1, de mesmo
centro que a primeira;
6. A fun¸cão d2 : M1 × M1 → R é cont´ınua em M1 × M1 onde neste consideramos uma das
três métricas do produto cartesiano (a saber, da raiz quadrada, da soma ou do máximo).
Demonstra¸cão:
Mostraremos a seguinte seqüência de implica¸cões:

E1. 2.
c
3.'4.
c
T
5.
6.
j
C
T
Mostremos que (1. ⇒ 2.):
Indicaremos por
f1 .
= f : M1 → N e f2 .
= f : M2 → N.
Como i12 : M1 → M2 então temos que
f1
= f2
◦ i12. (∗)
O diagrama abaixo ilustra a situa¸cão
E
‚ ©
M1
M2
N
i12
f1
f2
Se d1 d2 então temos que a aplica¸cão i12 : M1 → M2 é cont´ınua em M1.
Como f2 é cont´ınua em M2 segue que (*) que f1 será cont´ınua em M1, mostrando que 2. é
verdadeira.
Segue como caso particular de 2. (basta tomar N
.
= R), com isto obtemos que 3. é verdadeira.
Sabemos que a aplica¸cão
d2a : M2 → R dada por d2a(x)
.
= d2(a, x), x ∈ M
é cont´ınua em M2.
Logo do item 3. segue a aplica¸cão d2a : M1 → R também será cont´ınua em M1, mostrando
que 4. é verdadeira.
Por hipótese, sabemos que a aplica¸cão
d2a : M1 → R dada por d2a(x)
.
= d2(a, x), x ∈ M
Mostremos que a aplica¸cão i12 : M1 → M2 é cont´ınua em M1.
Para isto precisamos mostrar que i12 : M1 → M2 é cont´ınua em b ∈ M, b arbitrário.

Como a aplica¸cão d2a : M1 → R é cont´ınua em a ∈ M, dado ε 0 temos que existe δ 0
tal que se d1(x, a) δ então
|d2a(x) − d2a(a)| ε, isto é, ε |d2(x, a) − d2(a, a)| = d2(x, a).
Portanto
Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε).
Logo se d1(x, a) δ, isto é, se x ∈ Bd1 (a; δ), segue que x ∈ Bd2 (a; ε), ou seja,
ε d2(x, a) = d2(i12(x), i12(a)),
ou ainda
d2(i12(x), i12(a)) ε.
Logo i12 : M1 → M2 é cont´ınua em a ∈ M.
Assim que d1 d2, mostrando que (4. ⇒ 1.).
Mostremos que (4. ⇔ 5.):
d2a : M1 → R dada por d2a(a, x), x ∈ M1
Logo dada a bola aberta Bd2 (a; ε), da cont´ınuidade da aplica¸cão acima no ponto a, segue
que existe δ 0 tal que se d1(x, a) δ (ou seja, se x ∈ Bd1 (a; δ)) então
ε |d2a(x) − d2a(a)| = |d2(x, a) − d2(a, a)| = d2(x, a),
(ou seja, x ∈ Bd2 (a; ε)).
Portanto, se
x ∈ Bd1 (a; δ) então x ∈ Bd2 (a; ε).
Logo
Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε),
mostrando que (4. ⇒ 5.).
Por outro lado, se toda bola aberta segundo d2 contém uma bola aberta de mesmo centro
segundo d1 então dados a ∈ M e ε 0 segue que existe δ 0 tal que
Bd1 (a; δ) ⊆ Bd2 (a; ε).
Logo se d1(x, a) δ (ou seja, x ∈ Bd1 (a; δ)) teremos que x ∈ Bd2 (a; ε) (*), isto é,
|d2a(x) − d2a(a)| = |d2(x, a) − d2(a, a)| = d2(x, a)
(∗)
ε,
mostrando que a aplica¸cão d2a : M1 → R é cont´ınua em M1, ou seja, que (5. ⇒ 4.).
Se a aplica¸cão d2 : M1 × M1 → R é cont´ınua em M1 × M1 então a sua restri¸cão ao conjunto
{a} × M1 também será, isto é,
d2|{a}×M1
: {a} × M1 → R

será cont´ınua em {a} × M1.
Observemos que d2a = d2|{a}×M1
, portanto d2a será cont´ınua em M1, mostrando que (6. ⇒
4.).
Se d1 d2 então a aplica¸cão i12 : M1 → M2 será cont´ınua em M1.
Logo do corolário (3.2.2) segue que a aplica¸cão identidade
id : M1 × M1 → M2 × M2
também será cont´ınua em M1 × M1 (pois id = (i12, i12) e i12 é cont´ınua em M1).
Portanto a métrica em M1 × M1 é mais fina que a métrica em M2 × M2.
Sabemos que d2 : M2 × M2 → R é cont´ınua em M2 × M2 logo, como (1. ⇒ 3.), segue que
d2 : M1 × M1 → R também será cont´ınua em M1 × M1, mostrando que (1. ⇒ 6.).
Um outro resultado útil é dado pela
Proposi¸cão 3.4.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma aplica¸cão f : M → N
injetiva. Então
f é cont´ınua em M se, e somente se, a métrica dM d1, onde d1 é a métrica induzida em
M pela aplica¸cão f.
Demonstra¸cão:
Podemos supor, sem perda de generalidade que f é sobrejetora, isto é, N = f(M) (pois caso
contrário trocamos N por f(M) munido da métrica induzida por N).
Indicaremos por M1
.
= (M, d1), onde d1 : M × M → R é dada por
d1(x, y)
.
= dN (f(x), f(y)), x, y ∈ M
e
f1
: M1 → N dada por f1
(x)
.
= f(x), x ∈ M
(que será uma isometria) e por
iM1 : (M, dM ) → (M, d1)
a aplica¸cão identidade.
Com isto temos o seguinte diagrama
E
c
Q
(M, dM ) (N, dN )
(M, d1)
iM1
f
f1
é isometria
Temos que f1 é uma isometria, pois a métrica d1 é a métrica induzida por f em M.
Como f1 é bijetora segue que será um homeomorfismo de M1 em N.
Como
f = f1
◦ iM1

segue que f é cont´ınua em M se, e somente se, iM1 é cont´ınua em M, ou seja, dM d1,
completando a demostra¸cão da proposi¸cão.
Temos a seguinte defini¸cão
Defini¸cão 3.4.2 Sejam d1 e d2 métricas em M.
Diremos que as métricas d1 e d2 são equivalentes, denotando por d1 ∼ d2, se a aplica¸cão
i12 : (M, d1) → (M, d2) for um homeomorfismo.
1. As métricas d1 e d2 em M são equivalentes se, e somente se, d1 d2 e d2 d1.
2. A rela¸cão ∼ no conjunto formado por todas as métricas definidas em M é uma rela¸cão de
equivalência, isto é, satisafaz as seguintes condi¸cões:
(a) para toda métrica d1 em M temos d1 ∼ d1 (reflexiva);
(b) se d1 e d2 são métricas em M satisfazem d1 ∼ d2 então d2 ∼ d1 (simétrica);
(c) se d1, d2 e d3 são métricas em M satisfazem d1 ∼ d2 e d2 ∼ d3 então d1 ∼ d3
(transitiva).
A demonstra¸cão deste fatos será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
3. Segue da proposi¸cão (3.4.3) que duas métricas em M são equivalentes se, e somente se,
toda bola aberta segundo uma das métricas contenha uma bola aberta, de mesmo centro,
segundo a outra métrica.
4. Observemos que duas métricas discretas em M são sempre equivalentes, pois toda bola
aberta segundo uma será uma bola aberta segunda a outra.
Além disso, vale observar que se d1 ∼ d2 e d1 é uma métrica discreta em M então, da
proposi¸cão (3.4.1) segue que d2 também será uma métrica discreta em M.
5. A proposi¸cão (3.4.3) nos garante que se d1 ∼ d2 em M então uma aplica¸cão
f : (M, d1) → (N, dN )
será cont´ınua em (M, d1) se, e somente se,
f : (M, d2) → (N, dN )
será cont´ınua em (M, d2).
Conclusão: se trocarmos a métrica de uma espa¸co métrica por uma outra equivalente a
mesma, estudar a continuiade de uma fun¸cão segundo a primeira métrica é equivalente a
estudar a continuidade da fun¸cão segundo a outra métrica.
A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.
Exemplo 3.4.2 Consideremos [0, 2π) e S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 = 1} munidos das métricas,
d[0,2π), dS1 , induzidas pelas métricas usuais de R e R2, respectivamente e
f : [0, 2π) → S1

dada por
f(t)
.
= (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π).
Vimos que a aplica¸cão f é cont´ınua e bijetora em [0, 2π).
Logo, da proposi¸cão acima, segue que a métrica d[0,2π) é mais fina que a métrica induzida
pela aplica¸cão f, isto é, que a métrica
d1(x, y)
.
= dS1 (f(x), f(y)) = dS1 ((cos(x), sen(x)), (cos(y), sen(y)))
= [cos(x) − cos(y)]2 + [sen(x) − sen(y)]2, x, y ∈ [0, 2π).
Exemplo 3.4.3 As métricas d, d e d em Rn são equivalentes.
De fato, da proposi¸cão (2.1.1) segue que para todo x, y, ∈ Rn temos
d (x, y) ≤ d(x, y) ≤ d (x, y) ≤ n d (x, y). (∗)
Logo a proposi¸cão (3.4.2) implicará que as métricas d, d e d são equivalentes em Rn.
No exemplo acima se n = 2 temos garantido que toda bola aberta, segundo a métrica d
(neste caso as bolas são os interiores dos discos), contém uma bola aberta, segundo a métrica
d (neste caso as bolas são os interiores dos quadrados cujas diagonais são paralelas aos eixos
coordenados) que, por sua vez, contém uma bola aberta, segundo a métrica d (neste caso as
bolas são os interiores dos quadrados cujos lados são paralelas aos eixos coordenados) que, por
fim, contém uma bola aberta, segundo a métrica d (neste caso as bolas são os interiores dos
discos).
Geometricamente temos a seguinte configura¸cão:
Bd(a; r)
c
' Bd (a, r )
c
Bd (a; r )
i
Bd(a; s)
a
Em particular, para estudar a continuidade de uma fun¸cão f : Rn → R onde em Rn temos,
por exemplo, a métrica d, podemos trocar a mesma pela métrica d ou d , e estudar a conti-
nuidade da fun¸cão dada com rela¸cão a esta nova métrica que o resultado obtido será o mesmo
o obtido com a métrica d.
Como conseqüência da proposi¸cão (3.4.2) temos o
Corolário 3.4.1 Sejam d1 e d2 duas métricas em M tais que existem α, β 0 tais que
αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ βd1(x, y), x, y ∈ M. (∗)
Então d1 ∼ d2.

Demonstra¸cão:
Denotemos por
αd1(x, y)
(I)
≤ d2(x, y)
(II)
≤ βd1(x, y), x, y ∈ M.
De (I) temos que
d1(x, y) ≤
1
α
d2(x, y), x, y ∈ M.
Logo, da proposi¸cão (3.4.2), segue que d2 d1.
Como
d2(x, y) ≤ βd1(x, y), x, y ∈ M,
da proposi¸cão (3.4.2), segue que d1 d2, portanto d1 ∼ d2, como quer´ıamos demonstrar.
Exemplo 3.4.4 Seja d uma métrica em M.
Definamos em M:
d1, d2 : M × M → R por d1(x, y)
.
=
d(x, y)
1 + d(x, y)
, d2(x, y)
.
= min{1, d(x, y)}, x, y ∈ M.
Pode-se mostrar (será como exerc´ıcio para o leitor) que d1 e d2 são métricas em M.
Afirmamos que d1 ∼ d ∼ d2.
De fato, observemos que
d1(x, y) ≤ d(x, y), e d2(x, y) ≤ d(x, y), x, y ∈ M,
logo d d1 e d d2.
Por outro lado, dado ε 0 sejam
δ1
.
=
ε
1 + ε
0 e δ2
.
= min{1, ε} 0.
Se x ∈ Bd1 (a; δ1) temos que
d1(x, a) δ1
assim
d(x, a)
1 + d(x, a)

ε
1 + ε
⇐⇒ d(x, a)[1 + ε] ε[1 + d(x, a)] ⇐⇒ d(x, a) ε,
ou seja, dado ε 0 existe δ1 0 tal que
Bd1 (a; δ1) ⊆ Bd(a; ε),
mostrando que d1 d.
De modo semelhante, se x ∈ Bd2 (a; δ2) temos que
d2(x, a) δ2 ≤ 1.
Logo d2(x, a) 1 e assim
d(x, a) = d2(x, a) min{1, ε} ε
que implicará que d(x, a) ε, ou seja, dado ε 0 existe δ2 0 tal que
Bd2 (a; δ2) ⊆ Bd(a; ε),
mostrando que d2 d.
Com isto temos que d1 ∼ d ∼ d2, como quer´ıamos mostrar.

1. Observemos que as métricas d1 e d2 são limitadas em M × M pois
d1(x, y) =
d(x, y)
1 + d(x, y)
[d(x,y)≤1+d(x,y)]
≤ 1, x, y ∈ M
e
d2(x, y) ≤ 1, x, y ∈ M.
Conclusão: toda métrica em M é equivalente a uma métrica limitada em M.
2. Observemos que se a métrica d é não limitada em M então não existe β 0 tal que
d(x, y) ≤ β dj(x, y), x, y ∈ M, j = 1, 2. (∗∗)
De fato, se existisse β 0 com a propriedade (**) dever´ıamos ter, no caso j = 1:
d(x, y) ≤ β
d(x, y)
1 + d(x, y)
=⇒ d(x, y)[1 + d(x, y)] ≤ β d(x, y)
[x=y]
=⇒ d(x, y) ≤ β − 1, x, y ∈ M,
ou seja, a métrica d deveria ser limitada, o que é um absurdo.
Para o caso j = 2, se existisse β 0 com a propriedade (**) dever´ıamos ter:
d(x, y) ≤ β min{1, d(x, y)}
≤1
=⇒ d(x, y) ≤ β, x, y ∈ M,
ou seja, a métrica d deveria ser limitada, o que é um absurdo.
Logo podemos concluir que a condi¸cão (*) dada pelo corolário (3.4.1) é suficiente, mas
não é necessária, para que duas métricas sejam equivalentes em M.
3. A observa¸cão (3.4.3) item 2. nos mostra que em C0([a, b]) as métricas
d(f, g) = sup
a≤x≤b
|f(x) − g(x)| e d1(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)| dx,
onde f, g ∈ C0([a, b]), não são métricas equivalentes.
Temos a
Proposi¸cão 3.4.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N bije¸cão. Então:
f é um homeomorfismo de M em N se, e somente se, a métrica dM é equivalente à métrica
dN em M, induzida pela aplica¸cão f.
Demonstra¸cão:
Definamos
f1 : (M, d1) → (N, dN ) dada por f1(x)
.
= f(x), x ∈ M.
Logo f1 é bijetora de M em N.
Além disso, temos que f1 é uma isometria de (M, d1) em (N, dN ), pois
d1(x, y)
.
= dN (f(x), f(y)), x, y ∈ M.

Logo um homeomorfismo de M em N.
Assim sua fun¸cão inversa
(f1)−1
: (N, dN ) → (M, d1)
será cont´ınua em N.
Consideremos as aplica¸cões identidades
i1M : (M, d1) → (M, dM ) e iM1 : (M, dM ) → (M, d1).
Então teremos
iM1 = (f1)−1
◦ f i1M = f−1
◦ f1.
(veja diagrama abaixo)
E
T Q
(M, dM ) (N, dN )
(M, d1)
i1M
f
f1 é isometria
'
C
f−1
f−1
1
c
iM1
Logo d1 dM (ou seja, a aplica¸cão i1M é cont´ınua) se, e somente se, f−1 for cont´ınua.
Por outro lado, dM d1 (ou seja, a aplica¸cão iM1 é cont´ınua) se, e somente se, f for cont´ınua.
Conclusão: d1 ∼ dM se, e somente se, f é um homeomorfismo.
Observa¸cão 3.4.7 Da proposi¸cão acima segue que no exemplo (3.4.2) a métrica induzida em
[0, 2π) pela métrica usual de R e a métrica induzida em [0, 2π) pela fun¸cão cont´ınua e bije-
tora f : [0, 2π) → S1 não são equivalentes (pois, como vimos no exemplo (3.3.3), f não é
homeomorfismo).
A seguir temos os
Exerc´ıcio 3.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N. Então:
f é cont´ınua em M se, e somente se, a métrica df : M × M → R dada por
df (x, y)
.
= d(x, y) + dN (f(x), f(y)), x, y ∈ M
é equivalente a métrica dM .
De fato, se f é cont´ınua em M então tomando-se a métrica
dM×N [(x, y), (x , y )]
.
= dM (x, x ) + dN (y, y ) (x, y), (x , y ) ∈ M × N,
da proposi¸cão (3.3.5), temos que a aplica¸cão
˜f : M → G(f) ⊆ M × N
dada por
˜f(x)
.
= (x, f(x)), x ∈ M
é um homeomorfismo de M sobre o gráfico de f, isto é, sobre G(f) ⊆ M × N.

Observemos que a métrica df é a métrica induzida em M pelo homeomorfismo ˜f, logo, pela
proposi¸cão (3.4.5), ela será equivalente a métrica dM .
Reciprocamente, como a aplica¸cão
f : (M, df ) → (M, d1)
é um contra¸cão fraca segue que será cont´ınua segundo df .
Como dM ∼ d1 segue que a aplica¸cão f será cont´ınua segundo dM , completando a demon-
stra¸cão do resultado.
Como conseqüêcia temos o
Exerc´ıcio 3.4.2 Consideremos R com a métrica usual. Se f : (M, dM ) → R é cont´ınua em M
então a métrica
df (x, y)
.
= d(x, y) + dR(f(x), f(y)), x, y ∈ M
será equivalente a métrica dM .
Para ver isto basta tomar N = R com a métrica usual.
Proposi¸cão 3.4.6 Sejam M1 = (M, d1), M2 = (M, d2), (N, dN ) espa¸cos métricos e em R a
métrica usual .
São equivalentes:
1. d1 ∼ d2;
2. f : M1 → N é cont´ınua em M1 se, e somente se, f : M2 → N é cont´ınua em M2;
3. f : M1 → R é cont´ınua em M1 se, e somente se, f : M2 → R é cont´ınua em M2;
4. Para todo a ∈ M as fun¸cões d1a : M2 → R e d2a : M1 → R dadas por
d1a(x)
.
= d1(a, x), d2a(x)
.
= d2(a, x), x ∈ M
são cont´ınuas no ponto a;
5. Toda bola aberta segundo a métrica d1 contém uma bola aberta, de mesmo centro, segundo
a métrica d2 e toda bola aberta segundo a métrica d2 contém uma bola aberta, de mesmo
centro, segundo a métrica d1;
6. As fun¸cões d1 : M2 × M2 → R e d1 : M1 × M1 → R são cont´ınuas em M2 × M2 e
M1 × M1, respectivamente (onde nos correspondentes produtos cartesianos consideramos
uma das três métricas canônicas).
Demonstra¸cão:
Conseqüência da proposi¸cão (3.4.3).
25.09.2008 - 13.a

3.5 Transforma¸cões lineares e multilineares definidas em espa¸cos
vetoriais normados
Come¸caremos pela
Defini¸cão 3.5.1 Sejam E, F espa¸cos vetoriais sobre R.
Diremos que uma aplica¸cão f : E → F é uma transforma¸cão linear de E em F se ela
tem as seguintes propriedades:
f(x + y) = f(x) + f(y), (3.1)
f(λx) = λf(x), (3.2)
onde x, y ∈ E, λ ∈ R.
Se na situa¸cão acima F = E (isto é, f : E → E) então a aplica¸cão f será dita operador
linear em E.
Se na situa¸cão acima F = R (isto é, f : E → R) então a aplica¸cão f será dita funcional
linear em E.
1. Vale observar que a adi¸cão do lado esquerdo de (3.1) é adi¸cão em E e a adi¸cão do lado
direito de (3.1) é adi¸cão em F.
Além disso, a multiplica¸cão por número real do lado esquerdo de (3.1) é a multiplica¸cão
por número real em E e a multiplica¸cão por número real do lado direito de (3.1) é a
multiplica¸cão por número real em F.
2. Como conseqüência de (3.1) e (3.2) temos que
f(λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn) = λ1f(x1) + λ2f(x2) + · · · + λnf(xn),
onde x1, x2, · · · , xn ∈ E e λ1, λ2, · · · , λn ∈ R.
A demonstra¸cão deste fato é vista no curso de Álgebra Linear.
3. Nosso objetivo nesta se¸cão é estudar a continuidade de transforma¸cões lineares entre
espa¸cos vetoriais normados.
Com isto temos o
Teorema 3.5.1 Sejam Rn com uma das três normas usuais e (F, . F ) espa¸co vetorial nor-
mado.
Se f : Rn → F é uma transforma¸cão linear então f é cont´ınua em Rn.
Demonstra¸cão:
Seja B
.
= {e1, e2, · · · , en} a base canônica do Rn (ou seja, ek
.
= (0, · · · , 0, 1
k−ésima posi¸cão
, 0, · · · , 0)).
Logo se x ∈ Rn temos que
x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen,
para xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n.

3.5. TRANSFORMAÇ ÕES LINEARES E MULTILINEARES DEFINIDAS EM ESPAÇOS VETORIAIS NORMADO
Como f é uma trasforma¸cão linear temos que
f(x) = f(x1e1 + x2e2 + · · · + xnen) = x1f(e1) + x2f(e2) + · · · + xnf(en).
Portanto
f(x) F = x1f(e1) + x2f(e2) + · · · + xnf(en) F
≤ x1f(e1) + x2f(e2) + · · · + xnf(en) F
= |x1| f(e1) + |x2| f(e2) + · · · + |xn| f(en) F . (3.3)
Consideremos
c
.
= max{ f(e1) , f(e2) , · · · , f(en) F }.
Logo segue de (3.3) que
f(x) F ≤ c(|x1| + |x2| + · · · + |xn|).
Se considerarmos a norma em Rn da soma (isto é, x = |x1| + |x2| + · · · + |xn|, onde
x = (x1, x2, · · · , xn)) então segue da desigualdade acima que
f(x) F ≤ c x Rn , x ∈ Rn
.
Logo se x, y ∈ Rn temos que
f(x) − f(y F = f(x − y) F ≤ c x − y Rn ,
mostrando que a aplica¸cão f é lipschitiziana, em particular cont´ınua em Rn.
Como as métricas d, d e d (que provém das três normas usuais) são equivalentes temos que
a transforma¸cão linear f : Rn → F será cont´ınua em Rn com qualquer uma das três métricas
usuais.
Observa¸cão 3.5.2 O resultado acima nos diz que uma transforma¸cão linear definida em espa¸co
vetorial normado de dimensão finita e tomando valores em outro espa¸co vetorial normado é
sempre cont´ınua.
Isto segue do fato que todo espa¸co vetorial de dimensão finita é isomorfo a Rn para algum
n ∈ N.
O mesmo não é verdade se a dimensão do espa¸co vetorial do dom´ınio não for finita, como
mostra o seguinte exemplo.
Exemplo 3.5.1 Seja E o conjunto formado por todos os polinômios reais de uma variável real
munido dadas opera¸cões usuais de adi¸cão de fun¸cões e multiplica¸cão de número real por fun¸cões.
No curso de Álgebra Linear mostra-se que E munido das opera¸cões acima é um espa¸co
vetorial sobre R (na verdade é um subespa¸co vetorial das fun¸cões reais cont´ınuas de uma variável
real).
Podemos definir em E a seguinte norma: se p ∈ E temos
p
.
= sup
0≤x≤1
|p(x)|.
A verifica¸cão que de fato isto define uma norma em E será deixada como exerc´ıcio para o
leitor.

Consideremos f : E → R dada por
f(p)
.
= p(2), p ∈ E.
Será deixado para o leitor verificar que f é um funcional linear definido em E.
Afirmamos que f não é cont´ınua em 0 ∈ E (o polinômio nulo).
De fato, se tomarmos ε =
1
2
0, para cada n ∈ N consideramos o polinômio pn(x)
.
= (
x
2
)n
,
x ∈ R.
Obviamente que para todo n ∈ N temos que pn ∈ E e
pn − 0 = sup
0≤x≤1
|pn(x) − 0(x)| = sup
0≤x≤1
|pn(x)|
[pn é crescente]
= pn(1) = (
1
2
)n
=
1
2n
.
Logo pn → 0 em E, quando n → ∞ mas
|f(pn) − f(0)| = |f(pn)| = pn(2) = (
2
2
)n
= 1
1
2
= ε,
mostrando que f é um funcional linear que não é cont´ınuo em E.
Em geral temos o seguinte resultado importante:
Teorema 3.5.2 Sejam (E, . E) e (F, . F ) espa¸cos vetoriais e f : E → F uma transforma¸cão
linear.
São equivalentes:
1. f é cont´ınua em E;
2. f é cont´ınua em 0 ∈ E;
3. Existe c 0 tal que
f(x) F ≤ c x E, x ∈ E; (∗)
f(x) − f(y) F ≤ c x − y E, x, y ∈ E. (∗∗)
Demonstra¸cão:
Mostraremos que o diagram abaixo ocorre:
E
c
'
T
1. 2.
3.4.
A implica¸cão (1. ⇒ 2.) é trivial;
Como f é cont´ınua em 0 ∈ E e f(0) = 0 (pois f é uma transforma¸cão linear) tomando-se
ε = 1 0 existirá δ 0 tal que
x = x − 0 E δ então f(x) = f(x) − f(0)
=0
F ε = 1. (∗ ∗ ∗)

Seja c 0 tal que 0
1
c
δ.
Se x = 0 então teremos
f(x) F = 0 = 0 ≤ c.0 = c 0 E = c x E,
mostrando que (*) ocorrerá.
Se x = 0 então
1
c x E
x ∈ E é um vetor que satisfaz
1
c x E
x E =
1
c x E
x E =
1
c
δ.
Logo, de (***), segue que
f(
1
c x E
x) F ≤ 1. (∗ ∗ ∗∗)
Mas f é uma trasforma¸cão linear, logo
f(
1
c x E
x) =
1
c x E
f(x),
assim (****) implicará em
1
c x E
f(x) F =
1
c x E
f(x) F ≤ 1,
ou ainda,
f(x) F ≤ c x E,
Observemos que se x, y ∈ E temos que
f(x) − f(y) F
[f é linear]
= f(x − y) F
(∗)
≤ c x − y F ,
A implica¸cão (4. ⇒ 1.) é imediata (pois (**) garante que f é lischitiziana em E logo cont´ınua
em E).
Como conseqüêmcia temos o
Corolário 3.5.1 Sejam (E, . E) e (F, . F ) espa¸cos vetoriais e f : E → F uma transforma¸cão
linear bijetora.
f é um homeomorfismo de E em F se, e somente se, existem c, C 0 tais que
c x E ≤ f(x) F ≤ C x E, x ∈ E.
Demonstra¸cão:
Lembremos que se f : E → F é uma transforma¸cão linear bijetora então sua fun¸cão inversa
f−1 : F → E também será uma transforma¸cão linear (bijetora).

Da proposi¸cão acima temos que a condi¸cão:
f(x) F ≤ C x E, x ∈ E
é equivalente a f ser cont´ınua em E.
Por outro lado se y ∈ F então y = f(x) para algum x ∈ E, então x = f−1(y), logo a
desigualdade
c x E ≤ f(x) F , x ∈ E.
nos diz que
c f−1
(y) E ≤ y F , y ∈ F,
ou seja,
f−1
(y) E ≤
1
c
y F , y ∈ F,
que, pela proposi¸cão acima, é equivalente a dizer que f−1 ser cont´ınua em F, como quer´ıamos
mostrar.
A seguir exibiremos um exemplo de uma transforma¸cão linear bijetora que não é um homeo-
morfismo (isto é, sua transforma¸cão linear inversa não será cont´ınua).
Exemplo 3.5.2 Consideremos R∞ o conjunto formado por todas as seqüências de números
reais, x = (xn)n∈N, tal, no máximo, um número finito de coordenadas xn é não nula, isto é,
x ∈ R∞
⇔ x = (xn)n∈N e xn = 0, somente para n ∈ {n1, n2, · · · , nm} ⊆ N.
Podemos mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que R∞ é um espa¸co veto-
rial sobre R munido das opera¸cões de adi¸cão de seqüências e multiplica¸cão de número real por
seqüências.
Consideremos em R∞ a seguinte norma (cuja verifica¸cão será deixada como exerc´ıcio do
leitor): se x ∈ R∞ temos que
x E
.
= x2
1 + x2
2 + · · · + x2
n + · · · =
∞
j=1
|xj|2
que provém do produto interno: se x, y ∈ R∞ temos que
x, y E
.
= x1.y1 + x2.y2 + · · · + xn.yn + · · · =
∞
j=1
xj.yj.
Observemos que ambas as séries acima reduzem-se a somas finitas (pois as seqüências são
nulas, exceto para um número finito de termos).
Definamos
f : R∞
→ R∞
por
f(x) = f(x1, x2, · · · , xn, · · · )
.
= (
x1
1
,
x2
2
, · · · ,
xn
n
, · · · ), x = (x1, x2, · · · , xn, · · · ) ∈ R∞
.

Observemos que f é um operador linear (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) e
f(x) 2
E =
∞
j=1
|f(xj)|2
=
∞
j=1
|
xj
j
|2
[|
xj
j
|≤|xj|]
≤
∞
j=1
|xj|2
= x 2
E,
se x ∈ R∞, ou seja,
f(x) E ≤ x E, x ∈ E.
Logo do teorema (3.5.2) segue que f é cont´ınua em R∞.
Observemos que a fun¸cão f admite fun¸cão inversa que é dada por
f−1
(y) = f−1
(y1, y2, · · · , yn, · · · )
.
= (y1, 2.y2, · · · , n.yn, · · · ), y = (y1, y2, · · · , yn, · · · ) ∈ R∞
cuja verifica¸cão será deixada como exerc´ıcio para o letor (isto é, f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = idR∞ ).
Mostremos que f−1 não é cont´ınua.
Para isto, para cada n ∈ N temos que o vetor en
.
= (0, · · · , 0, 1
n−ésima posi¸cão
, 0, · · · ) que
pertence R∞ (pois só o termo da n-ésima posi¸cão é não nulo, e igual a 1).
Observemos que
en
2
=
∞
j=1
|xj|2 [xj=0, n=j, xn=1]
= 1 e f−1
(en) 2
=
∞
j=1
|j.xj|2 [xj=0, n=j, xn=1]
= n2
.
Em particular,
f−1
(en) ≥ n en .
Fazendo n → ∞ segue, do teorema (3.5.2) item 3., que f−1 não será cont´ınua.
Observa¸cão 3.5.3 Sejam (E, . E), (F, . F ) espa¸cos vetoriais sobre R normados.
Consideremos
L(E; F)
.
= {f : E → F; f transforma¸cão linear cont´ınua de E em F}
que torna-se um espa¸co vetorial sobre R munido das opera¸cões de adi¸cão de fun¸cões e multi-
plica¸cão de número real por fun¸cão (a verifica¸cão deste fato será deixado como exerc´ıcio para o
leitor).
1. Vale observar que f ∈ L(E; F) se, e somente se, f é limitada na bola fechada unitária
centrada na origem.
De fato, se f ∈ L(E; F), isto é, f é uma transforma¸cão linear cont´ınua em E então, do
teorema (3.5.2) item 3., segue que existe c 0 tal que
f(x) F ≤ c. x E, x ∈ E.
Logo se x ∈ B[0; 1] temos que x E ≤ 1 logo segue que
f(x) F ≤ c x E ≤ c,
mostrando que f é limitada em B[0; 1].

Reciprocamente, se f é limitada em B[0; 1], existe c 0 tal que
f(x) F ≤ c, x ∈ B[0; 1]. (∗)
Logo se x = 0 temos que f(0) = 0 assim
f(x) F = 0 ≤ c.0 = c. x E.
Se x = 0 temos que se y
.
=
x
x E
∈ E então y ∈ B[0; 1].
Logo de (*) temos que
c ≥ f(y) F = f(
x
x E
) F
[f é transform¸cão linear]
=
1
x E
f(x) F =
1
x E
f(x) F ,
ou seja,
f(x) F ≤ c x E, x ∈ E,
logo, do teorema (3.5.2) item 3., segue que f será cont´ınua em E.
2. Vale observar que f ∈ L(E; F) se, e somente se, f é limitada na esfera unitária centrada
na origem.
De fato, se f ∈ L(E; F), isto é, f é uma trasnforma¸cão linear cont´ınua em E então, do
teorema (3.5.2) item 3., segue que existe c 0 tal que
f(x) F ≤ c. x E, x ∈ E.
Logo se y ∈ S[0; 1] = {y ∈ E : y E = 1} segue que
f(y) F ≤ c,
mostrando que f é limitada em S[0; 1].
Reciprocamente, se f é limitada em S[0; 1], existe c 0 tal que
f(y) F ≤ c, y ∈ S[0; 1]. (∗∗)
Logo se x = 0 temos que f(0) = 0 assim
f(x) F = 0 ≤ c.0 = c. 0 E = c. x E.
Para x = 0 temos que se y
.
=
x
x E
∈ E então y ∈ S[0; 1].
Logo de (**) temos que
c ≥ f(y) F = f(
x
x E
) F
[f é transform¸cão linear]
=
1
x E
f(x) F =
1
x E
f(x) F ,
ou seja,
f(x) F ≤ c x E, x ∈ E,
logo, do teorema (3.5.2) item 3., segue que f será cont´ınua em E.

3. Podemos introduzir a seguinte norma em L(E; F):
f
.
= sup
x E=1
f(x) F , f ∈ L(E; F).
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão que . definida acima é uma norma
em L(E; F).
Temos a
Defini¸cão 3.5.2 Sejam . 1 e . 2 normas definidas em E, um espa¸co vetorial sobre R.
Diremos que a norma . 1 é mais fina que a norma . 2 se a aplica¸cão identidade
i12 : E1
.
= (E, . 1) → E2
.
= (E, . 2)
é cont´ınua em E1.
Diremos que a norma . 1 é equivalente a norma . 2 se a aplica¸cão identidade
i12 : (E, . 1) → (E, . 2)
é um homeomorfismo entre E1 e E2.
Observa¸cão 3.5.4 Suponhamos que a métrica em E1, que indicaremos por d1, é a proveniente
da norma . 1 e métrica em E2, que indicaremos por d2, é a proveniente da norma . 2.
Então temos que: a norma . 1 é mais fina que a norma . 2 se, e somente se, a métrica
d1 é mais fina que a métrica d2.
Com isto temos a:
Proposi¸cão 3.5.1 Sejam . 1 e . 2 normas definidas em E, um espa¸co vetorial sobre R.
As normas . 1, . 2 são equivalentes se, e somente se, existem α, β 0 tal que
α x 1 ≤ x 2 ≤ β x 2, x ∈ E.
Demonstra¸cão:
A demonstra¸cão é uma conseqüência do corolário (3.4.1).
Temos a
Defini¸cão 3.5.3 Sejam E1, E2, · · · , En, F espa¸cos vetoriais sobre R.
Diremos que uma aplica¸cão
f : E1 × E2 × · · · × En → F
é n-linear se ela for linear em cada uma de suas n-variáveis, ou seja, para cada j = 1, 2, · · · , n
temos que
f(x1, · · · , xj−1, xj+yj, xj+1, · · · , xn) = f(x1, · · · , xj−1, xj, xj+1, · · · , xn)+f(x1, · · · , xj−1, yj, xj+1, · · · , xn)
e
f(x1, · · · , xj−1, λxj, xj+1, · · · , xn) = λ f(x1, · · · , xj−1, xj, xj+1, · · · , xn),
onde (x1, · · · , xj−1, xj, xj+1, · · · , xn), (x1, · · · , xj−1, yj, xj+1, · · · , xn) ∈ E1 × · · · × Ej × · · · × En
e λ ∈ R,

1. Sejam E1, E2, · · · , En, F espa¸cos vetoriais sobre R. e suponhamos que
f : E1 × E2 × · · · × En → F
é n-linear.
Então se xj = 0 ∈ Ej para algum j ∈ {1, 2, · · · , n} então
f(x1, · · · , xj−1, xj, xj+1, · · · , xn) = 0,
isto é,
f(x1, · · · , xj−1, 0, xj+1, · · · , xn) = 0,
De fato, pois
f(x1, · · · , xj−1, xj, xj+1, · · · , xn) = f(x1, · · · , xj−1, 0, xj+1, · · · , xn)
= f(x1, · · · , xj−1, 0.0, xj+1, · · · , xn)
[f é n-linear]
= 0.f(x1, · · · , xj−1, 0, xj+1, · · · , xn)
= 0,
ou seja,
f(x1, · · · , xj−1, 0, xj+1, · · · , xn) = 0.
2. Na situa¸cão acima se n = 2 então
f : E1 × E2 → F
será dita bilinear e é caracterizada pelas seguintes propriedades:
(a) f(x1 + y1, x2) = f(x1, x2) + f(y1, x2);
(b) f(x1, x2 + y2) = f(x1, x2) + f(x1, y2);
(c) f(λ x1, x2) = λ f(x1, x2) e
(d) f(x1, λ x2) = λ f(x1, x2),
para xj, yj ∈ Ej, j = 1, 2 e λ ∈ R.
Observemos que do item 1. acima segue que
f(0E1 , x2) = f(x1, 0E2 ) = 0F ,
para xj ∈ Ej, j = 1, 2 (onde 0Ej ∈ Ej é o elemento neutro da adi¸cão de Ej, j = 1, 2 e
0F ∈ F é o elemento neutro da adi¸cão de F).
Temos os seguintes exemplos importantes de aplica¸cões bilineares:
Exemplo 3.5.3 Seja E um espa¸co vetorial sobre R.
A multiplica¸cão de número real por vetor de E,
m : R × E → E, m(λ, x)
.
= λ.x, λ ∈ R, x ∈ E,
é uma aplica¸cão bilinear.
A verifica¸cão deste fato é simples e será deixada como exerc´ıcio para o leitor.

Exemplo 3.5.4 Seja E um espa¸co vetorial sobre R com produto interno.
O produto escalar de E,
., . : E × E → R,
é uma aplica¸cão bilinear.
A verifica¸cão deste fato é simples e será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
1. Suponhamos que E, F e G são espa¸cos vetoriais sobre R.
(a) Consideremos a aplica¸cão
α : L(E; F) × E → F
dada por
α(f, x)
.
= f(x), (f, x) ∈ L(E; F) × E.
É fácil mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a aplica¸cão α é bilin-
ear.
(b) Consideremos a aplica¸cão
µ : L(F; G) × L(E; F) → L(E; G)
dada por
µ(g, f)
.
= g ◦ f, (g, f) ∈ L(F; G) × L(E; F).
É fácil mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que a aplica¸cão µ é bilinear.
2. Seja Rm espa¸co vetorial sobre R com as opera¸cões usuais de adi¸cão de m-uplas e multi-
plica¸cão de número real por m-upla.
A aplica¸cão
det : Rm
× · · · × Rm
m−fatores
→ R, det(x1, · · · , xm)
.
= x1 · · · xm ,
para (x1, · · · , xm) ∈ Rm
× · · · × Rm
m−fatores
, onde det denota o determinante da matriz quadrada
obtida colocando-se na j-ésima coluna da matriz as coordenadas do vetor xj, j ∈ {1, · · · , m}
(matriz das coordendas do vetor xj é da forma (xij)1≤i≤m, j ∈ {1, · · · , m} ).
A fun¸cão determinante tem a seguinte propriedade:
det(x1, · · · , xj−1, λxj + yj, xj+1 · · · xm) = λ det(x1, · · · , xj−1, xj, xj+1 · · · xm)
+ det(x1, · · · , xj−1, yj, xj+1 · · · xm),
para (x1, · · · , xj−1, xj, xj+1 · · · xm), (x1, · · · , xj−1, yj, xj+1 · · · xm) ∈ Rm
× · · · × Rm
m−fatores
e λ ∈
R.
A demonstra¸cão deste fato é vista no curso de Álgebra Linear.
Logo, da rela¸cão acima, segue que a aplica¸cão
det : Rm
× · · · × Rm
m−fatores
→ R
é m-linear.

30.09.2008 - 14.a
Com isto temos a:
Proposi¸cão 3.5.2 Sejam (E, . E), (F, . F ), (G, . G) espa¸cos vetoriais sobre R normados,
E × F com uma das três normas usuais e f : E × F → G é bilinear.
São equivalentes:
1. f é cont´ınua em E × F ;
2. f é cont´ınua em (0E, 0F ) ∈ E × F;
f(x, y) G ≤ c x E y F ,
para (x, y) ∈ E × F;
4. f é uma aplica¸cão lischitziana em cada subconjunto limitado de E × F.
Demonstra¸cão:
Mostraremos que o seguinte diagrama ocorre:
E
c
'
T
1. 2.
3.4.
Segue imediatamente que (1. ⇒ 2.) e que (4. ⇒ 1).
Consideremos em E × F a norma da soma das normas, isto é,
(x, y) E×F = x E + y F
(para os outros dois casos utilizamos o fato que as três normas usuais são equivalentes).
Se f é cont´ınua em (0E, 0F ) ∈ E×F então, como f(0E, 0F ) = 0G segue, tomando-se ε = 1 0
existirá δ 0 tal que
x E + y F = (x, y) E×F δ então f(x, y) G ≤ ε = 1. (∗)
Seja c
.
=
4
δ2
0.
Se (x, y) ∈ E × F e x = 0E ou y = 0F então temos que f(x, y) = 0G logo para
f(x, y) G = 0G = 0 ≤ c ( x E y F ) (= 0).
Se (x, y) ∈ E × F são tais que x = 0E e y = 0F então os vetores
X
.
=
δ
2 x E
x ∈ E, Y
.
=
δ
2 y F
y ∈ F,

satisfazem
X E =
δ
2 x E
x E =
δ
2 x E
x E =
δ
2
δ,
Y F =
δ
2 y F
y F =
δ
2 y F
y F =
δ
2
δ,
assim
X E + Y F δ.
Logo (*) implicará que
1 ≥ f(X, Y ) G = f(
δ
2 x E
x,
δ
2 y E
y) G
[fbilinear]
=
δ
2 x E
δ
2 y E
f(x, y) G
=
δ
2 x E
δ
2 y E
f(x, y) G,
ou seja,
f(x, y) G ≤
4
δ2
=c
x E y F , (x, y) ∈ E × F,
mostrando que 3. é verdadeira.
Seja U ⊆ E × F um subconjunto limitado de E × F.
Logo existe r 0 tal que U ⊆ B[(0E, 0F ); r].
Mostremos que f é lipschitiziana na bola B[(0E, 0F ); r].
Se z
.
= (x, y), z
.
= (x , y ) ∈ B[(0E, 0F ); r] então
f(z) − f(z ) = f(x, y) − f(x , y ) G = f(x, y) − f(x, y ) + f(x, y ) − f(x , y ) G
[fbiliear]
= f(x, y − y ) + f(x − x , y ) G ≤ f(x, y − y ) G + f(x − x , y ) G
[3.]
≤ c x E y − y G + c x − x E y G
[ x e, y F ≤r]
≤ cr y − y G + cr x − x E
= cr[ y − y G + x − x E] = cr z − z E×F ,
mostrando que 4.a é verdadeira e assim completando a demonstra¸cão da proposi¸cão.
Por indu¸cão pode-se demostrar o
Corolário 3.5.2 Sejam (E1, . 1), (E2, . 2), · · · , (En, . n), (F, . F ) espa¸cos vetoriais sobre R
normados, E1 × · · · × En munido de uma das três normas usuais e f : E1 × · · · × En → F é
n-linear.
São equivalentes:
1. f é cont´ınua em E1 × · · · × En;
2. f é cont´ınua em (0E1 , · · · , 0En ) ∈ E1 × · · · × En;
f(x1, · · · , xn) F ≤ c x1 E1 · · · xn En ,
para (x1, · · · , xn) ∈ E1 × · · · × En;

4. f é uma aplica¸cão lischitziana em cada subconjunto limitado de E1 × · · · × En.
Demonstra¸cão:
Será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Como conseqüência temos o:
Corolário 3.5.3 Seja (F, . F ) um espa¸co vetorial sobre R normado e Rj espa¸co vetorial sobre
R munido de uma das três normas usuais, j = m, n.
Se f : Rm × Rn → F é uma aplica¸cão bilinear então f é cont´ınua em Rm × Rn.
Demonstra¸cão:
Consideraremos a norma da soma das normas em Rm, Rn (para as outras duas podemos
utilizar o fato que as respectivas normas são equivalentes às respectivas norma da soma).
De fato, sejam Bm
.
= {e1, · · · , em} e Bn
.
= {e1 , · · · , en } as bases canônicas de Rm e Rn,
respectivamente.
Dado (x, y) ∈ Rm × Rn temos que existem x1, · · · xm ∈ R e y1, · · · yn ∈ R tais que
x =
m
i=1
xiei, e y =
n
j=1
yjej .
Como f é bilinear segue que
f(x, y) = f(
m
i=1
xiei,
n
j=1
yjej ) =
m
i=1
n
j=1
xiyjf(ei, ej ).
Seja
c
.
= max{f(ei, ej ) : i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n} ≥ 0. (∗)
Observemos que
x Rm =
m
i=1
|xi| e y Rn =
n
j=1
|yj|,
assim
f(x, y) F =
m
i=1
n
j=1
xiyjf(ei, ej ) F ≤
m
i=1
n
j=1
|xi||yj| f(ei, ej ) F
[(∗)]
≤
m
i=1
n
j=1
|xi||yj|c = c x Rm y Rn ,
e assim, da proposi¸cão (3.5.2) item 3., segue que f é lipschitziana em Rm × Rn e portanto
cont´ınua em Rm × Rn.
1. Se (E, . E) é um espa¸co vetorial sobre R, normado então a aplica¸cão bilinear (ver ob-
serva¸cão (3.5.6) item 1.)
m : R × E → E m(λ, x) = λ x, (λ, x) ∈ R × E,

será cont´ınua em R × E.
Isto segue do fato que se (λ, x) ∈ R × E temos que
m(λ, x) E = λx E = |λ| x E = λ R x E,
ou seja, vale 3. da proposi¸cão (3.5.2) (com c = 1).
Logo m será cont´ınua em R × E (munido de uma das três normas usuais).
2. Se (E, ., . E) é um espa¸co vetorial sobre R com produto interno então a aplica¸cão
., . E: E × E → R,
é uma aplica¸cão bilinear cont´ınua em E × E.
O fato de ser bilinear é evidente da defini¸cão de produto interno.
Da desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que
| x, y E | ≤ x E y E), x, y ∈ E.
Logo o item 3. da proposi¸cão (3.5.2) ocorre (com c = 1) assim a aplica¸cão ., . será
cont´ınua em E × E.
3. Do corolário acima segue que a fun¸cão determinante (ver observa¸cão (3.5.6) item 2.) será
cont´ınua em Rm
× · · · × Rm
m−fatores
.
Para finalizar temos o
Exerc´ıcio 3.5.1 Sejam (E, . E), (F, . F ) e (G, . G) são espa¸cos vetoriais sobre R normados
então a aplica¸cão
µ : L(F; G) × L(E; F) → L(E; G), µ(g, f)
.
= g ◦ f, (g, f) ∈ L(F; G) × L(E; F).
que é bilinear (ver observa¸cão (3.5.6) item 1.) é cont´ınua em L(F; G) × L(E; F) munido da
norma usual.
De fato, observemos que se (f, g) ∈ L(F; G) × L(E; F) então
(g ◦ f)(x) G ≤ g(f(x) G ≤ g L(F;G) f(x) F ≤ g L(F;G) f L(E;F), x ∈ S[0; 1].
Logo, se x ∈ S[0; 1] temos que
µ(f, g)(x) G = (g ◦ f)(x) G ≤ g L(F;G) f L(E;F)
ou seja,
µ(f, g) L(E;G) ≤ g L(F;G) f L(E;F), (f, g) ∈ L(F; G) × L(E; F),
e da proposi¸cão (3.5.2) item 3., segue que µ é cont´ınua em L(F; G) × L(E; F).
Até aqui para a 1.a Prova

Cap´ıtulo 4
Conjuntos Abertos, Fechados -
Espa¸cos Topológicos
4.1 Conjuntos abertos
Come¸caremos introduzindo uma série de defini¸cões que serão importantes no que se seguirá:
Defini¸cão 4.1.1 Seja X um subconjunto de (M, dM ) espa¸co métrico.
Diremos que um ponto a ∈ X é ponto interior ao conjunto X se o ponto a for centro de
uma bola aberta inteiramente contida em X, isto é, existe r 0 tal que
B(a; r) ⊆ X.
A figura abaixo ilustra a situa¸cão
z
a
r X
M
O interior de X, indicado por int(X) ou
◦
X, é o conjunto formado por todos os pontos
interiores de X.
Definimos a fronteira de X em M, indicada por ∂X, como sendo o conjunto formado
pelos pontos b ∈ M tais que toda bola aberta centrada em b contém um ponto de X e um ponto
do complementar de X em M (ou seja, de M X), isto é, b ∈ ∂X se, e somente se, para cada
s 0
B(b; s) ∩ X = ∅ e B(b; s) ∩ (M X) = ∅.
A figura abaixo ilustra a situa¸cão:
115

116 CAPÍTULO 4. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS - ESPAÇOS TOPOL ÓGICOS
X
M
b
b
sx ∈ X
m ∈ M X
1. Na situa¸cão acima, se b ∈ X não é ponto interior de X significa que toda bola aberta
centrada em b contém algum ponto de M que não está em X, ou seja, para todo s 0
temos que
B(b; s) ∩ (M X) = ∅.
Neste caso, b ∈ ∂X.
2. Como veremos a seguir, um ponto de ∂X pode não pertencer a X.
Consideremos alguns exemplos:
Exemplo 4.1.1 Consideremos R munido da métrica usual e X = [0, 1) ⊆ R.
Neste caso temos que
int([0, 1)) = (0, 1), ∂([0, 1)) = {0, 1}.
De fato, se 0 a 1 então tomando-se
r
.
= min{a, 1 − a} 0
segue que
(a − r, a + r) ⊆ [0, 1) = X.
De fato, se x ∈ (a − r, a + r) então
0 = a − a
[r≤a]
≤ a − r x a + r
[r≤1−a]
≤ a + (1 − a) = 1,
mostrando que a ∈ int([0, 1)).
Logo (0, 1) ∈ int([0, 1)).
0 1
a
(a − r, a + r) ⊆ [0, 1)
Por outro lado, se 0, 1 ∈ ∂X pois toda bola aberta centrada em 0 contém números reais
menores que 0 (que não pertencem a [0, 1)) e números reais maiores que zero e menores que 1
(logo pertencentes a [0, 1)) e toda bola aberta centrada em 1 contém números reais menores que 1
e maiores que zero (que pertencem a [0, 1)) e números reais maiores que 1 (logo não pertencentes
a [0, 1)).

4.1. CONJUNTOS ABERTOS 117
0 10 − s = −s 0 + s = s
T T T T
1 − r 1 + r
x ∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) x ∈ [0, 1)
Conclusão: int([0, 1)) = (0, 1) e ∂([0, 1)) = {0, 1}.
Observa¸cão 4.1.2 No exemplo acima 0 ∈ [0, 1) e 0 ∈ ∂X, por outro lado, 1 ∈ [0, 1) e 1 ∈ ∂X.
Exemplo 4.1.2 Consideremos R munido da métrica zero-um e X = [0, 1) ⊆ R.
int([0, 1)) = [0, 1), ∂([0, 1)) = ∅.
De fato, se a ∈ X então tomando-se r
.
= 1
2 segue que
B(a; r) = {a} ⊆ X.
Portanto int(X) = X.
Por outro lado, para todo b ∈ R temos que B(b; 1
2 ) = {b} que só contém o ponto b.
Portanto nenhum ponto de R é ponto de fronteira de X, ou seja, ∂X = ∅.
Exerc´ıcio 4.1.1 Consideremos R munido da métrica usual e X = Q ⊆ R.
int(Q) = ∅, ∂Q = R.
De fato, se a ∈ Q então toda bola centrada em a conterá números irracionais, logo não
pertecentes a Q.
Portanto nenhum ponto de Q será ponto interior de Q, ou seja, int(Q) = ∅.
Por outro lado, se b ∈ R então toda bola aberta centrada em b conterá números racionais e
irracionais, ou seja, pontos que estão em Q e ponto que não estão em Q.
Portanto b ∈ ∂Q, isto é, ∂Q = R.
c
T T
∈ Q ∈ I
c + rc − r
1. Na situa¸cão acima, se b ∈ X não é ponto interior de X significa que para toda bola aberta
centrada em b contém algum ponto de M que não está em X, ou seja, para todo s 0
temos que
B(b; s) ∩ (M X) = ∅.
Neste caso, b ∈ ∂X.
2. Como veremos a seguir, um ponto de ∂X pode não pertencer a X.

Exemplo 4.1.3 Consideremos R munido da métrica usual (da raiz quadrada) e X = [0, 1) ⊆ R.
int([0, 1)) = (0, 1), ∂([0, 1)) = {0, 1}.
De fato, se 0 a 1 então tomando-se r
.
= min{a, 1 − a} 0 segue que (a − r, a + r) ⊆
[0, 1) = X, pois se x ∈ (a−r, a+r) então a−a ≤ a−r x a+r ≤ a+(1−a) = 1, mostrando
que a ∈ int([0, 1)).
0 1
a
(a − r, a + r) ⊆ [0, 1)
Por outro lado, se 0, 1 ∈ ∂X pois toda bola aberta centrada em 0 contém números reais
menores que 0 (que não pertencem a [0, 1)) e números reais maiores que zero e menores que 1
(logo pertencentes a [0, 1)) e toda bola aberta centrada em 1 contém números reais menores que 1
e maiores que zero (que pertencem a [0, 1)) e números reais maiores que 1 (logo não pertencentes
a [0, 1)).
0 10 − s = −s 0 + s = s
T T T T
1 − r 1 + r
x ∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) a ∈ [0, 1) x ∈ [0, 1)
Observa¸cão 4.1.4 No exemplo acima 0 ∈ [0, 1) e 0 ∈ ∂X, por outro lado, 1 ∈ [0, 1) e 1 ∈ ∂X.
Exemplo 4.1.4 Consideremos R munido da métrica usual (da raiz quadrada) e X = Q ⊆ R.
int(Q) = ∅, ∂Q = R.
De fato, se a ∈ Q então toda bola centrada em a conterá números irracionais, logo não
pertecentes a Q.
Portanto nenhum ponto de Q será ponto interior de Q, ou seja, int(Q) = ∅.
Por outro lado, se b ∈ R então toda bola aberta centrada em b conterá números racionais e
irracionais, ou seja, pontos que estão em Q e ponto que não estão em Q.
Portanto b ∈ ∂Q, isto é, ∂Q = R.
c
T T
∈ Q ∈ I
c + rc − r
1. As no¸cões de interior de fronteira de um conjunto X são relativas, isto é, dependem do
espa¸co métrico M que contém X.
Para ilustrar este fato observemos que no exemplo (4.1.3) vimos que
int([0, 1)) = (0, 1), ∂([0, 1)) = {0, 1}.

Consideremos agora M = R2 com a métrica usual e X = [0, 1) ⊆ R2 (ou seja, X =
[0, 1) × {0} ⊆ R2) então teremos
int(X) = ∅, ∂(X) = [0, 1] × {0}.
T
E
0 1c
} r
s
s
x ∈ [0, 1)
a ∈ [0, 1)
Observemos que no exemplo acima as bolas abertas são consideradas em R2 e por isso
nenhum ponto de X é ponto interior do mesmo.
Por outro lado toda bola aberta centrada em um ponto de [0, 1] × {0} conterá pontos que
estão em X e pontos que não estão em X, mostrando que estes estão na fronteira do
mesmo.
Assim o interior ou fronteira de um conjunto são relativas ao espa¸co métrico que consi-
deramos.
2. Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e X ⊆ M.
Dado um ponto qualquer c ∈ M temos, exatamente, três possibilidades que são excludentes:
(a) ou existe uma bola centrada em c inteiramente contida em X, ou seja, o ponto c é
ponto interior de X (c ∈ int(X); veja figura abaixo));
z
c
r X
M

(b) ou toda bola centrada em c contém pontos que estão em X e pontos de M que não
estão em X , ou seja, o ponto c é ponto de fronteira de X (c ∈ ∂(X); veja figura
abaixo));
X
M
b
c
sx
m
(c) ou existe uma bola centrada em c inteiramente contida em M X, ou seja, o ponto
c é ponto interior de M X (c ∈ int(M X); veja figura abaixo).
X
M
c
r
3. Na situa¸cão acima, podemos obter a seguinte decomposi¸cão do espa¸co métrico M:
M = int(X) ∪ ∂(X) ∪ int(M X), (∗)
onde a reunião acima é formada por conjuntos dois a dois disjuntos (isto é, int(X) ∩
∂(X) = ∅, int(X) ∩ int(M X) = ∅ e int(M X) ∩ ∂(X) = ∅).
4. Pode ocorrer de um dos três subconjuntos acima ser vazio (como no exemplo do item 1.
desta observa¸cão).
5. Esta decomposi¸cão mostra que
∂(X) = ∂(M X), (∗∗)
pois se considerarmos X
.
= M X em (*) obteremos
M = int(M X)∪∂(M X)∪int(M (M X))
[M(MX)=X]
= int(M X)∪∂(M X)∪int(X),
e comparando esta com (*) deveremos ter (**).
6. No caso do exemplo (4.1.3) temos que
R = int([0, 1)) ∪ ∂([0, 1)) ∪ int(R [0, 1)) = (0, 1) ∪ {0, 1} ∪ (−∞, 0) ∪ (1, ∞),
pois R [0, 1) = (−∞, 0) ∪ [1, ∞) assim int(R [0, 1)) = (−∞, 0) ∪ (1, ∞).

Temos a
Defini¸cão 4.1.2 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico e A ⊆ M.
Diremos que o conjunto A é aberto em M se todos os seus pontos são pontos interiores de
A, isto é, se
int(A) = A.
1. Na situa¸cão acima, um subconjunto A de M é aberto se, e somente se,
A ∩ ∂A = ∅.
De fato, se A de M é aberto então todo ponto de A é ponto interior de A, ou seja, se
a ∈ A então a ∈ ∂A.
Logo A ∩ ∂A = ∅.
Por outro lado, se A ∩ ∂A = ∅ então se a ∈ A temos que a ∈ ∂A, isto é, existe uma
bola aberta centrada em a que não contém pontos de M A, ou seja, existe r 0 tal que
B(a; r) ∩ [M A] = ∅ que implicará que B(a; r) ⊆ A.
Portanto, todo ponto a ∈ A é ponto interior de A, mostrando que A é um subconjunto
aberto de M.
2. Para mostrar que um subconjunto A de M é aberto em M precisamos provar que para
cada a ∈ A existe ra 0 tal que
B(a; ra) ⊆ A.
z
a ra A
M
Um exemplo importante de subconjunto aberto de um espa¸co métrico é dado pela
Proposi¸cão 4.1.1 Sejam (M.dM ) um espa¸co métrico, a ∈ M e r 0.
Então B(a; r) é um subconjunto aberto de M.
Demonstra¸cão:
Seja x ∈ B(a; r).
Mostremos que existe s 0 tal que B(x; s) ⊆ B(a; r).
Como x ∈ B(a; r) temos que dM (x, a) r.

Seja s
.
= r − d(x, a) 0.
Afirmamos que B(x; s) ⊆ B(a; r).
De fato, se y ∈ B(x; s) teremos que dM (y, x) s.
Logo
dM (a, y) ≤ dM (a, x) + dM (x, y) dM (a, x) + s = dM (a, x) + (r − dM (a, x)) = r,
mostrando que y ∈ B(a; r).
Portanto B(a; r) é um subconjunto aberto de M, como quer´ıamos mostrar.
a
Er
x
Ic
s
.
= r − d(x, a)
2.10.2008 - 15.a - 1.a Prova
7.10.2008 - 16.a
Corolário 4.1.1 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M.
Então int(X) é um subconjunto aberto de M.
Demonstra¸cão:
Devemos mostrar que todo ponto de int(X) é ponto interior de int(X).
Para isto seja a ∈ int(X).
Devemos mostrar que existe um ra 0 tal que B(a; ra) todo ponto dessa bola aberta seja
ponto interior de X (isto é, B(a; ra) ⊆ int(X)).
Da defini¸cão de int(X) segue que se a ∈ int(X), existe ra 0 tal que B(a; ra) ⊆ X.
Afirmamos que todo ponto de B(a; ra) é ponto interior de X.
De fato, da proposi¸cão (4.1.1) segue que dado x ∈ B(a; ra), existe s 0 tal que B(x; s) ⊆
B(a; ra) ⊆ X, isto é, x ∈ int(X).
Portanto, se a ∈ int(X), todo ponto da bola aberta B(a; ra) é ponto interior de X, isto
é, B(a; ra) ⊆ int(X), mostrando que int(X) é um subconjunto aberto de M, como quer´ıamos
mostrar.

1. Se (M, dM ) é um esap¸co métrico e A, B ⊆ M então
int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).
2. Na situa¸cão acima temos que int(X) tem a seguinte propriedade: ele é o maior subconjunto aberto
de M que está contido em X.
Mais especificamente, afirmamos que se A ⊆ X e A é aberto em M então A ⊆ int(X) (*).
Para verificar isto basta ver que se a ∈ A é ponto interior de A então a será ponto interior
de X (pois A ⊆ X), ou seja, se A ⊆ X então int(A) ⊆ int(X).
Assim teremos que a ∈ int(X), mostrando que A ⊆ int(X), como afirmamos acima.
Além disso, int(X) é um subconjunto aberto de M que está contido em X.
Afirmamos que ele é o maior com essa propriedade pois, como vimos em (*) temos que se
um subconjunto aberto de M está contido em X ele também estará contido em int(X).
3. Baseado no item acima temos que
int(X) =
A∈A
A,
onde A
.
= {A ⊆ X : A é um subconjunto aberto de M}.
4. Seja a ∈ M, (M, dM ) espa¸co métrico.
{a} é um subconjunto aberto em M se, e somente se, a é um ponto isolado de M.
De fato, pois se {a} é um subconjunto aberto em M então existe ra 0 tal que B(a; ra) ⊆
{a}, ou seja,
B(a; ra) = {a}
mostrando que o ponto a é um ponto isolado de M.
Reciprocamente, se a é um ponto isolado de M então existe r 0 tal que B(a; ra) = {a},
em particular,
B(a; ra) ⊆ {a},
mostrando que o subconjunto {a} de M é um subconjunto aberto em M.
5. Do item 3. acima segue que um espa¸co métrico (M, dM ) é discreto se, e somente se, todo
os seus subconjuntos unitários são subconjuntos abertos em M.
6. Seja (M, dM ) um espa¸co métrico.
Então M é um subconjunto aberto de M.
De fato, pois se a ∈ M então para r 0 temos que B(a; r) ⊆ M, ou seja, todo ponto a de
M é ponto interior de M mostrando que M é um subconjunto aberto de M.
7. A propriedade ”X ser aberto em M” é relativa, ou seja, depende do espa¸co métrico M que
contém X.
Por exemplo, no exemplo (4.1.3) temos que X = [0, 1) é um subconjunto aberto em M =
[0, 1] onde neste último consideramos a métrica induzida pela métrica usual de R.

Para ver isto observemos que se 0 ε 1 então
BX(0; ε) = [0, ε) ⊆ X = [0, 1),
mostrando que 0 é ponto interior de X.
Se x ∈ (0, 1) então x ∈ int(X) pois tomando-se r
.
= min{x, 1 − x} 0 segue que
BX(x; r) ⊆ X,
ou seja, x é ponto interior de X, mostrando que X = [0, 1) é aberto em M = [0, 1].
Mas X = [0, 1) não é aberto em R (munido da métrica usual) pois 0 não é ponto interior
de X = [0, 1) em R.
8. Um outro exemplo da situa¸cão do item 5. seria considerar X = (0, 1), que é um subcon-
junto aberto em R (pois (0, 1) = BR(
1
2
;
1
2
)) e não é um subconjunto aberto se for visto
como subconjunto de R2.
9. Um exemplo de subconjunto de um espa¸co métrico que é um subconjunto aberto em
todo espa¸co métrico é o conjunto vazio, ∅.
Para mostrar isto basta observar que para um subconjunto de um espa¸co métrico não ser
aberto basta exibirmos um ponto do subconjunto que não seja ponto interior do mesmo.
Isto é imposs´ıvel de fazer se o subconjunto for vazio.
Portanto ∅ é um subconjunto aberto de qualquer espa¸co métrico.
Temos a
Proposi¸cão 4.1.2 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico, a ∈ M e r 0.
Então o complementar, em M, da bola fechada B[a; r] é um subconjunto aberto de M, isto
é, A
.
= M B[a; r] é subconjunto aberto de M.
Demonstra¸cão:
De fato, mostremos que todo ponto de A é um ponto interior de A.
Para isto, seja b ∈ A = M B[a; r], isto é, b ∈ B[a; r], logo d(a, b) r.
Seja s 0 tal que
0 s d(a, b) − r.
Da proposi¸cão (2.2.4) segue que as bolas fechadas B[a; r] e B[b; s] são disjuntas (pois s+r
d(a, b)).
Em particular
B[a; r] ∩ B(b; s) = ∅
que implicará
B(b; s) ⊆ M B[a; r],
logo b ∈ A = M B[a; r] é ponto interior de A = M B[a; r], mostrando que A = M B[a; r] é
um subconjunto aberto de M, completando a demonstra¸cão.

a
Ir
Is
b
Temos a
Proposi¸cão 4.1.3 Na situa¸cão acima, o completamentar de um subconjunto unitário de M é
um subconjunto aberto de M, isto é, se a ∈ M então A
.
= M {a} é um subconjunto aberto de
M.
Demonstra¸cão:
De fato, mostremos que todo ponto de A = M {a} é ponto interior de A = M {a}.
Se b ∈ A
.
= M {a} então b = a.
Seja r
.
= d(a, b) 0.
Então B(b; r) ∩ {a} = ∅ que implicará em
B(b; r) ⊆ M {a} = A,
ou seja, b ∈ A = M {a} é um ponto interior do conjunto A = M {a}, isto é, A = M {a} é
um subconjunto aberto de M, completando a prova.
A figura abaixo ilustra a situa¸cão acima.
a
b
©
r = d(a, b)
Mais geralmene temos a
Proposi¸cão 4.1.4 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, a1, a2, · · · , an ∈ M.
Então A
.
= M {a1, a2, · · · , an} é um subconjunto aberto de M.
Demonstra¸cão:
De fato, mostremos que todo ponto de A é ponto interior de A.

Se b ∈ A então b = aj, j = 1, 2, · · · , n.
Seja r
.
= min{d(b, aj) : j = 1, 2, · · · , n} 0.
Então B(b; r) ∩ {aj : j = 1, 2, · · · , n} = ∅ que implicará em
B(b; r) ⊆ M {aj : j = 1, 2, · · · , n} = A,
ou seja, b ∈ A é um ponto interior do conjunto A, isto é, A = M {aj : j = 1, 2, · · · , n} é um
subconjunto aberto de M, completando a prova.
A figura abaixo ilustra a situa¸cão acima.
a1
a2
a3
a4
b
s
r
r = min{d(b, aj ) : j − 1, · · · , n}
A seguir daremos alguns exemplos importantes de subconjuntos abertos de R.
Exemplo 4.1.5 Consideremos R com a métrica usual e a, b ∈ R.
Então os intervalos (a, b), (−∞, b) e (a, ∞) são subconjunto abertos de R.
De fato,
Temos que
(a, b) = BR(
b − a
2
;
b − a
2
),
isto é, é uma bola aberta centrada em
b − a
2
, ou seja, um subconjunto aberto de R (veja figura
abaixo).
E
a b
b−a
2
E'E'
b−a
2
b−a
2
Se c ∈ (−∞, b), então, para r
.
= d(c, b) = b − c 0, temos que
BR(c; r) = (c − r, c + r) ⊆ (−∞, b),
mostrando c ∈ (−∞, b) é um ponto interior de (−∞, b), isto é, (−∞, b) é um subconjunto aberto
em R (veja figura abaixo).
bc
E' E'
r = b − cr = b − c
E

De modo análogo, se c ∈ (a, ∞), então, para r
.
= d(a, c) = c − a 0, temos que
BR(c; r) = (c − r, c + r) ⊆ (a, ∞),
mostrando c ∈ (a, ∞) é um ponto interior de (a, ∞), isto é, (−∞, b) é um subconjunto aberto
em R (veja figura abaixo).
E
a c
E' E'
r = c − ar = c − a
1. Observemos que uma bola fechada em um espa¸co métrico pode ser um subconjunto aberto
do mesmo.
Para ilustrar isso consideremos o seguinte exemplo: sejam M = R {−1, 1} munido da
métrica induzida pela métrica usual de R, a = 0 ∈ M e r = 1 0.
Observemos que
BM [0; 1] = {x ∈ M : d(x, 0) ≤ 1} = (−1, 1) = {x ∈ M : d(x, 0) 1} = BM (0; 1),
logo BM [0; 1] é um subconjunto aberto de M (ver figura abaixo).
E
−1 10
2. Por outro lado, se (E, . E) é um espa¸co vetorial sobre R normado com E = {0} então,
para a ∈ E e r 0 temos que a bola fechada BE[a; r] não é um subconjunto aberto de E.
De fato, seja x = E {0} (isto é, um vetor de E diferente do vetor nulo).
Consideremos
u
.
=
x
x E
e b
.
= a + ru.
Então temos que
dE(b, a) = b − a E = (a + ru) − a = ru E = |r| u E
[ u E=1]
= r,
ou seja, b ∈ B[a; r].
Por outro lado, para todo s 0 se considerarmos
c
.
= a + (r +
s
2
)u ∈ E.
Então
dE(c, a) = c − a E = (a + (r +
s
2
)u) − a E = (r +
s
2
)u
= |r +
s
2
| u E
[ u E=1]
= r +
s
2
r, (4.1)
dE(c, b) = c − b E = (a + (r +
s
2
)u) − (a + ru) E =
s
2
u
= |
s
2
| u E
[ u E=1]
=
s
2
s. (4.2)

Logo de (4.1) temos que c ∈ B[a; r] e (4.2) temos que c ∈ B(b; s), para todo s 0, isto é,
que b ∈ int(B[a; r]), mostrando que b não é ponto interior de B[a; r], ou seja, B[a; r] não
é um subconjunto aberto de E.
a
Er
b = a + ru
c = a + (r + s
2
)u
' s
3. Observemos que se b ∈ S(a; r) então mostramos no item 2. que toda bola B(b; s) contém
pontos que não estão em B[b; r] (a saber c
.
= a + (r + s
2 )u ∈ E).
Por outro lado toda bola B(b; s) contém pontos que estão em B[b; r] (o próprio b).
Coom isto concluimos que b ∈ ∂B[a; r], ou seja, S(a; r) ⊆ ∂B[a; r].
4. Do corolário (4.1.1), da proposi¸cão (4.1.1) e da observa¸cão (4.1.7) item 2. segue que
int(B[a; r]) = B(a; r).
5. A demonstra¸cão da proposi¸cão (4.1.2) mostra que se b ∈ E é tal que
dE(b, a) = b − a r
então b ∈ ∂B[a; r].
Logo, dos itens acima, temos que
∂B[a; r] = S(a; r).
Temos a
Proposi¸cão 4.1.5 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e U a cole¸cão formada por todos os sub-
conjutos abertos de (M, dM ). Então:
1. M ∈ U, ∅ ∈ U (ou seja, o espa¸co todo e o vazio são subconjuntos abertos de (M, dM ));
2. Se A1, · · · , An ∈ U então A1 ∩ · · · ∩ An ∈ U (ou seja, a intereseçcão finita de subconjuntos
abertos de (M, dM ) é um subconjunto aberto de (M, dM ));
3. Se Aλ ∈ U para λ ∈ L então
λ∈L
Aλ ∈ U (ou seja, a reunião qualquer de subconjuntos
abertos de (M, dM ) é um subconjunto aberto de (M, dM )).

Demonstra¸cão:
De 1.:
Segue da observa¸cão (4.1.7) itens 5. e 7. .
De 2.:
Mostremos que todo ponto a ∈ A1 ∩ · · · An é ponto interior de A1 ∩ · · · An.
Para isto observemos que se a ∈ A1 ∩ · · · An então a ∈ Aj, j = 1, · · · , n.
Para cada j = 1, · · · , n temos que Aj é um subconjunto aberto de M assim a ∈ AJ deverá
ser ponto interior do mesmo, isto é, existe rj 0 tal que
B(a; rj) ⊆ Aj, j = 1, · · · , n.
Seja r
.
= min{rj : j = 1, · · · , n} 0.
Para todo j = 1, · · · , n temos que 0 r ≤ rj assim
B(a; r) ⊆ B(a; rj) ⊆ Aj,
ou seja,
B(a; r) ⊆ A1 ∩ · · · An,
mostrando que o ponto a ∈ A1 ∩ · · · An é ponto interior de A1 ∩ · · · An, isto é, A1 ∩ · · · An é um
subconjunto aberto de M, como quer´ıamos mostrar.
De 3.:
Mostremos que todo ponto a ∈
λ∈L
Aλ é ponto interior de λ∈L Aλ.
Para isto observemos que se a ∈ λ∈L Aλ então a ∈ Aλ0 para algum λ0 ∈ L.
Mas Aλ0 é um subconjunto aberto de (M, dM ) assim, como a ∈ Aλ0 , segue que existe r0 0
tal que
B(a; r0) ⊆ Aλ0 ⊆
λ∈L
Aλ,
ou seja, a é ponto interior de
λ∈L
Aλ mostrando que este é um subconjunto aberto de (M, dM ),
Corolário 4.1.2 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico e A ⊆ M, a = ∅.
A é subconjunto aberto de (M, dM ) se, e somente se, A é um reunião de bolas abertas de
(M, dM ).
Demonstra¸cão:
Suficiência (⇐):
Seja A =
λ∈L
Bλ onde para cada λ ∈ L temos que Bλ é uma bola aberta de (M, dM ).
Da proposi¸cão (4.1.1) segue que Bλ é um subconjunto aberto de (M, dM ) para todo λ ∈ L.
Logo, da proposi¸cão (4.1.5) item 3., segue que A = λ∈L Bλ é um subconjunto aberto de
(M, dM ), como quer´ıamos mostrar.
Necessidade (⇒):
Seja A é um subconjunto aberto, não vazio, de (M, dM ).

Para cada a ∈ A, como A um subconjunto aberto de (M, dM ), segue que existe ra 0 tal
que
B(a; ra) ⊆ A.
Assim temos que {a} ⊆ B(a; ra) ⊆ A logo
a∈A
B(a; ra) ⊆ A =
a∈A
{a}
[{a}⊆B(a;ra)]
⊆
a∈A
B(a; ra),
ou seja,
A =
a∈A
B(a; ra),
1. O corolário acima nos diz que as bolas abertas formam uma ”base de abertos” para o espa¸co
métrico (M, dM ) (no sentido que todo subconjunto aberto não vazio de (M, dM ) pode ser
escrito como reunião de bolas abertas de (M, dN )).
2. Observemos que, em geral, a interseçcão qualquer de subconjunto abertos de um espa¸co
métrico (M, dM ) pode não ser um subconjunto aberto do espa¸co métrico (M, dM ).
De fato, suponhamos que (M, dM ) e a ∈ M um ponto não isolado de M.
Então {a} é um subsconjunto que não é aberto do espa¸co métrico (M, dM ) (veja observa¸cão
(4.1.7) item 3.).
Observemos que se x = a então d(x, a) 0 logo existe n ∈ N tal que d(x, a)
1
n
, logo
x ∈ B(a;
1
n
), ou seja
{a} =
n∈N
B(a;
1
n
).
Logo o conjunto {a}, não aberto em (M, dM ), {a} pode ser obtido como interseçcão (não
finita) de bolas abertas (que são conjuntos abertos de (M, dM )).
Temos a
Proposi¸cão 4.1.6 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M não vazio munido da métrica
induzida pela métrica dM .
B ⊆ X é um subconjunto aberto de (X, dM ) se, e somente se, existe A ⊆ M subconjunto
aberto de (M, dM ) tal que B = A ∩ X.
Demonstra¸cão:
Do corolário (4.1.2) temos que B ⊆ X é um subconjunto aberto em (X, dM ) se, e somente
se,
B =
λ∈L
BX
λ ,
onde, para cada λ ∈ L, BX
λ é uma bola aberta em (X, dM ).

Da proposi¸cão (2.2.1) temos que toda bola aberta de X deverá ser da forma
BX
λ = Bλ ∩ X,
onde Bλ denota uma bola aberta em M.
Logo B ⊆ X é um subconjunto aberto em (X, dM ) se, e somente se,
B =
λ∈L
[Bλ ∩ X].
Mas
B =
λ∈L
[Bλ ∩ X] = [
λ∈L
Bλ] ∩ X = A ∩ M,
onde
A
.
=
λ∈L
Bλ.
Do corolário (4.1.2) temos que A ⊆ M é um subconjunto aberto de (M, dM ) se, e somente
se, A é uma reunião de bolas abertas de (M, dM ).
Resumindo temos:
B ⊆ X é um subconjunto aberto em (X, dM ) ⇔ B =
λ∈L
BX
λ ⇔ B =
λ∈L
[Bλ ∩ X] ⇔
B = [
λ∈L
Bλ] ∩ X ⇔ B = A ∩ X, A é um subconjunto aberto em (M, dM ), completando a
demonstra¸cão.
Observa¸cão 4.1.10 O resultado acima nos diz que um conjunto é aberto num subespa¸co métrico
de um espa¸co métrico se, e somente se, ele pode ser escrito como interseçcão de um aberto do
espa¸co métrico com o subespa¸co métrico.
Por exemplo: dados a b consideremos X = [a, b] com a métrica induzida pela métrica
usual de M = R e 0 ε b − a.
Então B
.
= [a, a + ε) é um subsconjunto aberto de X = [a, b] pois
B = (a − ε, a + ε) ∩ [a, b] = BR(a, ε) ∩ X.
Observemos que B não é um subconjunto aberto de R.
Consideremos o
Exerc´ıcio 4.1.2 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Afirmamos que o conjunto formado pelas aplica¸cões f : M → N que são limitadas e des-
cont´ınuas em algum ponto de M é um subconjunto aberto de B(M; N).
Mostremos, primeiramente que, dado a ∈ M, o conjunto, que indicaremos por Da, formado
pelas aplica¸cões f : M → N que são limitadas e descont´ınuas no ponto a é um subconjunto
aberto de B(M; N).
Precisamos mostrar que todo f ∈ Da é ponto interior de Da, ou seja, existe ε 0 tal que
BB(M;N)(f; ε) ⊆ Da.
Como f ∈ Da temos que f é descont´ınua no ponto a, ou seja, existe ε 0 tal que para todo
δ 0, existe xδ ∈ M tal que
dM (xδ, a) δ e dN (f(xδ), f(a)) 3.ε.

Afirmamos que se g ∈ B(M; N) e dB(M;N)(g, f) ε então g ∈ Da.
De fato, pois
3.ε dM (f(xδ), f(a)) ≤ dM (f(xδ), g(xδ)) + dM (g(xδ), g(a)) + dM (g(a), f(a)).
Como dB(M;N)(g, f) ε temos que dM (f(xδ), g(xδ)) ε e dM (g(a), f(a)) ε, assim teremos
3.ε ε + dM (g(xδ), g(a)) + ε,
implicando que
ε dM (g(xδ), g(a)),
isto é, g não é cont´ınua no ponto a, logo g ∈ Da.
Portanto se g ∈ BB(M;N)(f; ε) segue que g ∈ Da, isto é, BB(M;N)(f; ε) ⊆ Da, mostrando que
Da é um subconjunto aberto de B(M; N).
Para finalizar observemos que se denotarmos por D, o conjunto de todas as aplica¸cões f :
M → N limitadas e descont´ınuas em algum ponto de M então teremos:
D =
a∈Da
Da
que será um subconjunto aberto de BB(M;N) (pois é reunião de subconjuntos abertos de BB(M;N)),
9.10.2008 - 17.a
Para finalizar temos a:
Defini¸cão 4.1.3 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e a ∈ M.
Diremos que V ⊆ M é uma vizinhan¸ca do ponto a em M se a ∈ int(V ).
Observa¸cão 4.1.11 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸co métrico e a ∈ M.
1. V é uma vizinhan¸ca do ponto a em M se, e somente se, existe um aberto contido em V que
contenha o ponto a (a saber, qualquer subconjunto aberto de (M, dM ) que esteja contido
em int(V ) e que contenha o ponto a).
2. A interseçcão de um número finito de vizinhan¸cas do ponto a em M é ainda uma vizin-
han¸ca do ponto a em M pois se Vj é vizinhan¸ca do ponto a em M para j = 1, · · · , n então
a ∈ int(Vj), j = 1, · · · , n.
Logo a ∈
n
j=1
int(Vj) = int[
n
j=1
Vj] que, pela proposi¸cão (4.1.5) item 2., é um subconjunto
aberto de (M, dM ) e está contido em
n
j=1
Vj, ou seja, V
.
=
n
j=1
Vj é uma vizinhan¸ca do ponto
a em M.
3. Se V é uma vizinha¸ca do ponto a em M e V ⊆ W então W também será uma vizinha¸ca
do ponto a em M (pois como a ∈ int(V ) e int(V ) ⊆ int(W) segue que a ∈ int(W)).

4.2. RELAÇ ÕES ENTRE CONJUNTOS ABERTOS E CONTINUIDADE 133
4. Um subconjunto A é aberto em (M, dM ) se, e somente se, ele for uma vizinhan¸ca de cada
um de seus pontos.
De fato, se A é um subconjunto aberto e a ∈ A então A é uma vizinhan¸ca do ponto a em
M (pois a ∈ int(A) = A, pois A é um subconjunto aberto de (M, dM )).
Por outro lado se A é uma vizinhan¸ca de qualquer um de seus pontos segue que se a ∈ A
então a ∈ int(A), ou seja, a é ponto interior de A implicando que todo ponto de A é ponto
interior de A, isto é, o subconjunto A é aberto em (M, dM ), como quer´ıamos mostrar.
5. Uma aplica¸cão f : M → N é cont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, para toda
vizinhan¸ca, V , do ponto f(a) em N existir uma vizinhan¸ca, U, do ponto a, em M tal que
f(U) ⊆ V.
De fato, suponhamos que a fun¸cão f seja cont´ınua no ponto A.
Então dada uma vizinhan¸ca V do ponto f(a) em N temos que f(a) ∈ int(V ), logo existe
uma bola aberta em N centrada em f(a) e raio ε 0 tal que BN (f(a); ε) ⊆ int(V ).
Da observa¸cão (3.1.1) item 1. segue que deverá existir δ = δ(ε, a) 0 tal que
f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) ⊆ int(V ) ⊆ V, (4.3)
Logo, existirá uma vizinhan¸ca do ponto a em M, U
.
= BM (a; δ), que tem a seguinte
propriedade:
f(U) = f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) ⊆ V,
isto é, f(U) ⊆ V , como quer´ıamos mostrar.
Por outro lado, se para toda vizinhan¸ca, V , do ponto f(a) em N existir uma vizinhan¸ca,
U, do ponto a em M tal que f(U) ⊆ V mostremos que a aplica¸cão f é cont´ınua no ponto
a.
Para isto, dado ε 0 temos que V
.
= BN (f(a); ε é uma vizinhan¸ca do ponto f(a) em N.
Logo, por hipótese, deve existir uma vizinhan¸ca U do ponto a em M tal que f(U) ⊆ V =
BN (f(a); ε).
Como U é vizinhan¸ca de a em M temos que a ∈ int(U), logo segue que exitirá δ 0 tal
que BM (a; δ) ⊆ U.
Portanto
f(BM (a; δ)) ⊆ f(U) ⊆ BN (f(a); ε),
que pela observa¸cão (3.1.1) item 1. implicará que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a,
completando a prova da afirma¸cão.
4.2 Rela¸cões entre conjuntos abertos e continuidade
Iniciaremos a se¸cão com o principal resultado da mesma, a saber:
Teorema 4.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N.
Uma condi¸cão necessária e suficiente para que a fun¸cão f seja cont´ınua é que para todo V
subconjunto aberto em N, a imagem inversa deste, f−1(V ) ⊆ M, seja um subconjunto aberto
em M, onde
f−1
(V )
.
= {x ∈ M : f(x) ∈ V }.

Demonstra¸cão:
Necessidade (⇒):
Suponhamos que a fun¸cão f seja cont´ınua em M e que V seja um subconjunto aberto de N.
Se f−1(V ) = ∅ nada temos a fazer pois ∅ é um subconjunto aberto de M (ver observa¸cão
(4.1.7) item 7.).
Se f−1(V ) = ∅ consideremos a ∈ f−1(V ).
Precisamos mostrar que a é ponto interior de f−1(V ).
Observemos que f(a) ∈ V e V é um subconjunto aberto de N, logo existe ε 0 tal que
BN (f(a); ε) ⊆ V .
Como a fun¸cão f é cont´ınua em a, deverá existir δ 0 tal que
f(BM (a; δ)) ⊆ BN (f(a); ε) ⊆ V,
ou seja, BM (a; δ) ⊆ f−1(V ) (pois se x ∈ BM (a; δ) então f(x) ∈ V ).
Portanto todo ponto a ∈ f−1(V ) é um ponto interior de f−1(V ), ou seja f−1(V ) é aberto.
E
f−1
(V )
a
‚
δ f(a)
b
ε
V
M N
f
Suponhamos que para todo V , subconjunto aberto de N temos que f−1(V ) seja um subcon-
junto aberto de M.
Mostremos que a fun¸cão f é cont´ınua em a ∈ M.
Para isto, dado ε 0, como V
.
= BN (f(a); ε) é um subconjunto aberto de N temos, por
hipótese, que f−1(V ) é um subconjunto aberto de M.
Mas a ∈ f−1(V ) (pois f(a) ∈ V ) logo a deverá ser ponto interior de f−1(V ), ou seja, existirá
δ 0 tal que BM (a; δ) ⊆ f−1(V ), isto é
f(BM (a; δ) ⊆ V = BN (f(a); ε).
Logo, a observa¸cão (3.1.1) item 1. implicará que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a, comple-
tando a demonstra¸cão.
Como conseqüências do resultado acima temos os:
Corolário 4.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N.
A fun¸cão f é cont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, para cada subconjunto aberto, V ,
de N contendo o ponto f(a), deve existir um subconjunto aberto, U, de N contendo o ponto a,
tal que f(U) ⊆ V .

Demonstra¸cão:
Basta olhar, com cuidado, a demonstra¸cão do teorema acima.
Corolário 4.2.2 Sejam (Mj, dj) espa¸cos métricos e Aj ⊆ Mj subconjuntos abertos de (Mj, dj),
j = 1, · · · , n.
Então A
.
= A1 × · · · × An é um subconjunto aberto de M
.
= M1 × · · · × Mn onde neste último
consideramos um das três métricas usuais.
Demonstra¸cão:
Do exemplo (3.1.13) temos que, para cada j = 1, · · · , n, a j-ésima proje¸cão,
pj : M → Mj dada por pj(x)
.
= xj,
onde x = (x1, · · · , xn) ∈ M = M1 × · · · × Mn, é uma aplica¸cão cont´ınua em M.
Logo, do teorema (4.2.1) segue que, para cada j = 1, · · · , n, p−1
j (Aj) é um subconjunto
aberto de M.
Da proposi¸cão (4.1.5) item 2. temos que p−1
1 (A1) ∩ · · · p−1
n (An) é um subconjunto aberto em
M.
Mas
pj(M1 × · · · × Mj−1 × Aj × Mj+1 × Mn) = Aj, j = 1, · · · , n
logo
M1 × · · · × Mj−1 × Aj × Mj+1 × Mn = p−1
j (Aj), j = 1, · · · , n.
Como (será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão deste fato)
A1 × · · · × An = p−1
1 (A1) ∩ · · · p−1
n (An),
(veja figura abaixo o caso n = 2)
E
T
M1
M2
A1
A2
p−1
1 (A1)
p−1
2 (A2)A1 × A2
temos que A1 × · · · × An é um subconjunto aberto em M, como quer´ıamos demonstrar.

Corolário 4.2.3 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, R com uma das três métricas usuais e f1, · · · , fn :
M → R cont´ınuas em M.
Então o conjunto
A
.
= {x ∈ M : f1(x) 0, · · · , fn(x) 0}
é um subconjunto aberto de M.
Demonstra¸cão:
Consideremos f : M → Rn dada por
f(x)
.
= (f1(x), · · · , fn(x)), x ∈ M.
Como f1, · · · , fn são cont´ınuas em M segue, da proposi¸cão (3.2.2), que f será cont´ınua em
M.
Consideremos
B
.
= {y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn
: xj 0, j = 1, · · · , n}.
Pelo corolário anterior segue que B = (0, ∞) × · · · × (0, ∞)
n−fatores
é um subconjunto aberto de Rn.
Observemos que
x ∈ A = {x ∈ M : f1(x) 0, · · · , fn(x) 0}
se, e somente se
f(x) ∈ B = {y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn
: yj 0, j = 1, · · · , n},
isto é, A = f−1(B).
Como f é cont´ınua em M segue, do teorema (4.2.1), que
A = {x ∈ M : f1(x) 0, · · · , fn(x) 0}
será um subconjunto aberto de M, como quer´ıamos demonstrar.
1. Uma outra demonstra¸cão do resultado acima é utilizando o fato que f−1
j ((0, ∞) é aberto
em M (pois fj é cont´ınua em M e (0, ∞) é um subconjunto aberto de R) para j = 1, · · · , n.
Logo
A =
n
j=1
f−1
j ((0, ∞))
isto é, uma interseçcão finita de subconjuntos abertos de M, logo será aberto em M.
2. Como conseqüência imediata do corolário acima temos que se as fun¸cões
f1, · · · , fn : M → R
são cont´ınuas e poisitivas no ponto a ∈ M então existirá uma bola aberta em M centrada
no ponto a, B(a; r), tal que
f1(x), · · · , fn(x) 0, x ∈ B(a; r).

De fato, se fj(a) 0 para todo j = 1, · · · , n então
a ∈ A = {x ∈ M : f1(x) 0, · · · , fn(x) 0}
que é um subconjunto aberto em M.
Logo existirá r 0 tal que
B(a; r) ⊆ A,
isto é, se x ∈ B(a; r) teremos f1(x), · · · , fn(x) 0, como quer´ıamos mostrar.
Corolário 4.2.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f, g : M → N fun¸cões cont´ınuas
em M.
Então o conjunto
A
.
= {x ∈ M : f(x) = g(x)}
Em particular, o conjunto
A
.
= {x ∈ M : f(x) = 0}
Demonstra¸cão:
Consideremos ϕ : M → R dada por
ϕ(x)
.
= dN (f(x), g(x)), x ∈ M,
onde em R estaremos considerando a métrica usual.
Como f, g, dN são cont´ınuas nos seus respectivos espa¸cos métricos segue que ϕ será cont´ınua
em M.
Observemos que
f(x) = g(x) se, e somente se, dN (f(x), g(x)) 0.
Logo A = {x ∈ M : ϕ(x) 0} que, pelo corolário (4.2.3), é um subconjunto aberto de M,
Para a última parte basta tomar g(x) = 0, x ∈ M e aplicar a 1.a parte do corolário.
1. Há um outro modo de mostrar que uma bola aberta, B(a; r), em um espa¸co métrico (M, dM )
Para isto, consideremos f : M → R dada por
f(x)
.
= r − dM (a, x), x ∈ M.
A fun¸cão f é cont´ınua em M.
Notemos que
x ∈ B(a; r) se, e somente se, d(x, a) r
ou, equivalentemente, f(x) 0.
Logo
B(a; r) = {x ∈ M : f(x) 0}.
Logo, do corolário (4.2.3), segue que B(a; r) é um subconjunto aberto de M.

2. De modo análogo, podemos dar uma outra demosntra¸cão para o fato que o conjunto
A
.
= M B(a; r)
Para tanto, consideremos g : M → R dada por
g(x)
.
= dN (a, x) − r, x ∈ M.
Temos que a fun¸cão g é cont´ınua em M.
Notemos que
x ∈ M B(a; r) se, e somente se, d(x, a) r
ou, equivalentemente, g(x) 0.
Logo
M B(a; r) = {x ∈ M : g(x) 0}.
Logo, do corolário (4.2.3), segue que M B(a; r) é um subconjunto aberto de M.
3. Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Observemos que se f : M → N é cont´ınua em M e A ⊆ M é um subconjunto aberto de
M isto não implica, necessariamente, que f(A) ⊆ N seja um subconjunto aberto de N.
Para ilustrar isso, consideremos o seguinte exemlo: seja
f : R → R dada por f(x) = x2
, x ∈ R
(onde em R estamos considerando a métrica usual).
Sabemos que f é uma fun¸cão cont´ınua em R, que A
.
= (−1, 1) é um subconjunto aberto de
R mas f(A) = [0, 1) não é um subconjunto aberto de R.
E
T
−1 10
1
x
f(x)
y = x2
Devido a última observa¸cão acima temos a
Defini¸cão 4.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uma fun¸cão.
Diremos que a fun¸cão f é aberta se para todo A ⊆ M subconjunto aberto de M temos que
f(A) ⊆ N é um subconjunto aberto de N.

1. Logo uma aplica¸cão entre dois espa¸cos métricos é aberta se, e somente se, ela leva subcon-
juntos abertos de M em subconjuntos abertos de N.
2. O exemplo dado na observa¸cão (4.2.2) item 3. nos mostra que uma aplica¸cão entre dois
espa¸cos métricos pode ser cont´ınua e não ser aberta.
3. De outro lado, nem toda aplica¸cão entre dois espa¸cos métricos que é uma aplica¸cão aberta
precisa, necessariamente, ser cont´ınua.
Para ilustrar este fato consideremos (M, dM ) espa¸co métrico e (N, dN ) o espa¸co métrico
discreto.
Então toda aplica¸cão f : M → N será aberta em M mas não, necessariamente, cont´ınua
em M.
Por exemplo se considerarmos f : M → N uma aplica¸cão injetora e p é um ponto não
isolado de M então f é uma aplica¸cão aberta (pois qualquer subconjunto de N é um
subconjunto aberto de N) mas não será cont´ınua em p, pois se defirmos q = f(p) então
como f é injetora segue que f−1({q}) = {p} que não é um subconjunto aberto de M apesar
de {q} ser um subconjunto aberto de N (pois q é ponto isolado de N e p não é um ponto
isolado).
4. Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uma bije¸cão.
Como conseqüência do teorema (4.2.1), f é cont´ınua em M se, e somente se, f−1 : N → M
é uma aplica¸cão aberta em N.
E
'
f−1
CONTÍNUA
ABERTA
M N
f (bijetora)
V
f−1
(V )
Baseado no último item da observa¸cão acima temos a
Proposi¸cão 4.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uma bije¸cão.
f é um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f induz uma bije¸cão entre os abertos de
M e N, isto é, U é um subconjunto aberto de M se, e somente se, V
.
= f(U) é um subconjunto
aberto de N, isto é, f e f−1 são aplica¸cões abertas em M e N, respectivamente.

E
'
f−1
CONTÍNUA
CONTÍNUA
E
'
f−1
ABERTA
f (bijetora)
ABERTA
M Nf (bijetora)
V = f(U)
U = f−1
(V )
Demonstra¸cão:
Basta observar que f é um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f e f−1 são
cont´ınuas em M e N, respectivamente e utilizar o teorema (4.2.1).
Observa¸cão 4.2.4 Um outro modo de interpretar o resultado acima seria: suponhamos que
f : M → N bijetora.
f é um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f e f−1 são aplica¸cões abertas.
Corolário 4.2.5 Sejam (M, d1) e (M, d2) espa¸cos métricos.
d1 ∼ d2 se, e somente se, todo subconjunto aberto em (M, d1) é aberto em (M, d2) e recipro-
camente.
E
'
i21
CONTÍNUA
CONTÍNUA
E
'
i21
ABERTA
i12
ABERTA
(M, d1) (M, d2)i12
U = i−1
12 (V ) = i21(V ) V = i12(U) = i−1
21 (U)
U V
Demonstra¸cão:
Lembremos que para as métricas d1 e d2 serem equivalentes é necessário e suficiente que a
aplica¸cão identidada i12 : (M, d1) → (M, d2) seja um homeomorfismo.
Devido a proposi¸cão acima é necessário e suficiente que as aplica¸cões identidades
i12 : (M, d1) → (M, d2) e i21 : (M, d2) → (M, d1)
sejam abertas, ou seja, todo todo subconjunto aberto em (M, d1) é aberto em (M, d2) e re-
ciprocamente.

Observa¸cão 4.2.5 Como conseqüência do resultado acima os subconjuntos abertos do produto
cartesiano de espa¸cos métricos independem de uma das três métricas usuais que utilizarmos no
espa¸co produto (pois, como vimos no cap´ıtulo anteior, elas são equivalentes).
Um outro resultado interessante sobre abertos no produto cartesiano é dado pela
Proposi¸cão 4.2.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (M × N, dM×N ) espa¸cos métricos onde dM×N é
uma das três métricas usuais do espa¸co produto.
Um subconjunto A ⊆ M × N é um subconjunto aberto em M × N se, e somente se, A é
reunião de ”retângulos abertos”, isto é,
A =
λ∈Λ
[Uλ × Vλ],
onde, para cada λ ∈ Λ temos que Uλ ⊆ M é um subconjunto aberto de M e Vλ ⊆ N é um
subconjunto aberto de N.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que A =
λ∈Λ
[Uλ × Vλ], onde, para cada λ ∈ Λ temos que Uλ ⊆ M é um
subconjunto aberto de M e Vλ ⊆ N é um subconjunto aberto de N.
Do corolário (4.2.1) segue que, para todo λ ∈ Λ, temos que Uλ × Vλ ⊆ M × N é um
subconjunto aberto de M × N.
Logo, da proposi¸cão (4.1.5) item 3., segue que A é um subconjunto aberto de M × N.
Necessidade (⇒):
Suponhamos que A ⊆ M × N é um subconjunto aberto de M × N.
Pelo corolário (4.2.5), podemos supor, sem perdade de generalidade, que a métrica em M ×N
é a métrica do máximo, isto é,
dmax((x, y), (x , y )) = max{dM (x, x ), dN (y, y )},
onde (x, x ), (y, y ) ∈ M ×N (pois as outras duas métricas usuais são equivalentes a esta e temos
o corolário (4.2.5)).
Mas em (M × N, dmax) uma bola aberta é o produto cartesiano de uma bola aberta de M
por uma bola aberta de N (*).
Como A é aberto em (M × N, dmax), dado z ∈ A temos que existe uma bola aberta, Bz, em
(M × N, dmax) tal que z ∈ Bz.
Mas pelo que vimos em (*)
Bz = UM
z × V N
z
onde UM
z e V N
z são bolas abertas em M e N, respectivamente.
Portanto
A =
z∈A
Bz =
z∈A
[UM
z × V N
z ],
mostrando que todo subconjunto aberto de M ×N pode ser escrito como reunião de ”retângulos
abertos” (isto é, produto cartesiano de bolas abertas de M e N, respectivamente).

Corolário 4.2.6 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (M × N, dM×N ) espa¸cos métricos onde dM×N é
uma das três métricas usuais do espa¸co produto.
As proje¸cões p1 : M × N → M e p2 : M × N → N são aplica¸cões abertas em M e N,
respectivamente.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que A ⊆ M × N seja um subconjunto aberto em M × N.
Da proposi¸cão (4.2.2) segue que
A =
λ∈Λ
[Uλ × Vλ],
onde Uλ e Vλ são subconjuntos abertos em M e N, respectivamente.
Mas
p1(A) = p1(
λ∈Λ
[Uλ × Vλ])
[exerc´ıcio para o leitor]
=
λ∈Λ
p1(Uλ × Vλ)
[p1(Uλ×Vλ)=Uλ]
=
λ∈Λ
Uλ
e como Uλ é um subconjunto aberto de M segue, da proposi¸cão (4.1.5) item 3., que p1(A) será
um subconjunto aberto de M.
De modo semelhante mostram-se que
p2(A)
[exerc´ıcio para o leitor]
=
λ∈Λ
Vλ
será um subconjutno aberto de N, completando a demonstra¸cão do corolário.
Para finalizar esta se¸cão temos a
Observa¸cão 4.2.6 Podemos estender a proposi¸cão (4.2.2) e o corolário (4.2.6) para o produto
cartesiano de um número finito de espa¸cos métricos.
14.10.2008 - 19.a
4.3 Espa¸cos topológicos
Como veremos a seguir no estudo da continuidade de fun¸cões não precisamos, necessariamente,
ter métricas envolvidas no dom´ınio e contra dom´ınio da fun¸cão em questão.
Na verdade, o que precisamos é saber como são os conjuntos ”abertos”do dom´ınio e do contra
dom´ınio da fun¸cão.
O que faremos a seguir é definir e estudar o que são esses conjuntos ”abertos”.
Defini¸cão 4.3.1 Seja X um conjunto.
Diremos que uma cole¸cão τ de subconjuntos das partes de X (isto é, τ ⊆ P(X)) é uma
topologia em X se as seguintes condi¸cões estão satisfeitas:
(T1) ∅, X ∈ τ;
(T2) Se A1, A2, · · · , An ∈ τ então
n
i=1
Ai ∈ τ;

4.3. ESPAÇOS TOPOL ÓGICOS 143
(T3) Se (Aλ)λ∈L é uma fam´ılia tal que Aλ ∈ τ para λ ∈ L então
λ∈L
Aλ ∈ τ.
Neste caso, os elementos de τ serão denominados abertos de X.
Ao par (X, τ) daremos o nome de espa¸co topológico.
Observa¸cão 4.3.1 Resumindo, uma topologia é uma cole¸cão formada por subconjuntos de X
que contém ∅, X, que a interseçcão finita de elementos da cole¸cão esteja na cole¸cão e que a
reunião qualquer de elementos da cole¸cão também deverá estar na cole¸cão.
Exemplo 4.3.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Consideremos τ a cole¸cão de todos os subconjuntos abertos de M relativamente à métrica d.
Afirmamos que τ é uma topologia em M.
De fato:
(T1) Da Proposi¸cão (4.1.5) item 1. ∅ e M são abertos em rela¸cão a métrica d, logo ∅, M ∈ τ;
(T2) Se A1, · · · , An ∈ τ então A1, · · · , An são abertos relativamente a métrica d.
Da Proposi¸cão (4.1.5) item 2. segue que
n
i=1
Ai será um subconjunto aberto relativamente
a métrica d, isto é,
n
i=1
Ai ∈ τ;
(T3) Se Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L então Aλ são abertos relativamente a métrica d para todo
λ ∈ L.
Da Proposi¸cão (4.1.5) item 3. segue que
λ∈L
Aλ será um subconjunto aberto relativamente
a métrica d, isto é,
λ∈L
Aλ ∈ τ,
mostrando com isto que τ é uma topologia em M.
Nota¸cão 4.3.1 A topologia τ acima será dita topologia induzida pela métrica d de M.
Defini¸cão 4.3.2 Diremos que uma topologia τ em X é metrizável se existir uma métrica d
em X tal que todo subconjunto aberto da topologia τ é subconjunto aberto segundo a métrica d e
reciprocamente, todo subconjunto aberto relativamente a métrica d é um subconjunto aberto da
topologia τ.
1. O exemplo (4.3.1) nos mostrar que todo espa¸co métrico é um espa¸co topológico (com a
topologia induzida pela métrica).
Pergunta-se:
Todo espa¸co topológico é metrizável?
A resposta é negativa, em geral.
Na lista de exerc´ıcios há um exerc´ıcio que exibe um exemplo de um espa¸co topológico que
não é metrizável (Exerc´ıcio 41 Cap´ıtulo 3).

2. Sejam d1 e d2 métricas em M.
Então d1 e d2 são equivalentes se, e somente se, elas determinam a mesma topologia em
M.
De fato, do corolário (4.2.5) segue que todo aberto segundo uma das métricas será aberto
segundo a outra métrica, ou seja, as topologias induzidas pelas métricas d1 e d2 coincidem.
Um tipo importante de espa¸co topológico é o dado pela
Defini¸cão 4.3.3 Diremos que um espa¸co topológico (X, τ) é um espa¸co de Hausdorff se
dados x, y ∈ X, x = y existirem A, B ∈ τ tais que x ∈ A, y ∈ B e A ∩ B = ∅.
1. Um espa¸co topológico é de Hausdorff se, e somente se, dados dois pontos distintos, existem
abertos, disjuntos, cada um deles contendo um dos pontos dados.
Empiricamente, a topologia ”separa pontos”(vide figura abaixo).
x y
A ∈ τ
B ∈ τ
2. Afirmamos que todo espa¸co topológico metrizável é um espa¸co de Hausdorff.
De fato, dados dois pontos distintos, a proposi¸cão (2.2.3), garante que existem bolas aber-
tas, disjuntas, centradas nos pontos em questão e, da proposi¸cão (4.1.1) temos que bolas
abertas são conjuntos abertos, completando a prova da afirma¸cão.
A seguir exibiremos alguns exemplos de topologias que serão úteis em várias situa¸cões que
serão abordadas mais adiante.
Exemplo 4.3.2 Seja X e consideremos τ = P(X), ou seja, τ é formado por todos os subcon-
juntos de X.
Segue que τ é uma toplogia em X pois:
(T1) ∅ e X são subconjuntos de X, logo ∅, X ∈ τ;
(T2) Se A1, · · · , An ∈ τ, isto é, se A1, · · · , An são subconjuntos de X então .
n
i=1
Ai será um
subconjunto X, ou seja,
n
i=1
Ai ∈ τ;

4.3. ESPAÇOS TOPOL ÓGICOS 145
(T3) Se Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L então Aλ será subconjunto de X para todo λ ∈ L.
Logo
λ∈L
Aλ será um subconjunto de X, ou seja,
λ∈L
Aλ ∈ τ,
mostrando com isto que τ é uma topologia em X.
Observa¸cão 4.3.4 Na topologia acima todo subconjunto de X será um subconjunto aberto (se-
gundo a topologia acima).
Nenhuma outra topologia de X poderá conter mais abertos do que a topologia acima.
Nota¸cão 4.3.2 A topologia acima será dita topologia discreta em X.
Um outro exemplo interessante (e importante) é
Exemplo 4.3.3 Seja X e consideremos τ = {∅, X}, ou seja, τ é formado somente por estes
dois subconjuntos de X.
Segue que τ é uma toplogia em X pois:
(T1) ∅, X ∈ τ ;
(T2) Se A1, · · · , An ∈ τ então Ai =



∅
ou
X
, i = 1, · · · , n.
Logo
n
i=1
Ai =



∅
ou
X
, ou seja,
n
i=1
Ai ∈ τ;
(T3) Se Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L então Aλ =



∅
ou
X
para todo λ ∈ L.
Logo
λ∈L
Aλ =



∅
ou
X
, ou seja,
λ∈L
Aλ ∈ τ,
mostrando com isto que τ é uma topologia em X.
Nota¸cão 4.3.3 A topologia do exemplo (4.3.3) será dita topologia caótica em X.
1. Na topologia acima os únicos subconjuntos abertos serão o conjunto ∅ e X.
Nenhuma outra topologia de X poderá conter menos abertos do que a topologia acima.
2. Se o conjunto X possue pelo menos dois pontos distintos então o espa¸co topológico (X, τ),
onde τ é a topologia acima não será um espa¸co de Hausdorff (pois o único aberto diferente
do ∅ é X).
3. Quando estamos trabalhando com espa¸cos topológicos, (X, τX), (Y, τY ) (não métricos) uma
fun¸cão f : X → Y será dita cont´ınua em X se, e somente se, para todo B ⊆ Y aberto em
Y tenhamos f−1(B) ⊆ X aberto em X.

4.4 Conjuntos fechado
Come¸caremos pela
Defini¸cão 4.4.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e X ⊆ M.
Diremos que o ponto a ∈ M é aderente a X quando
d(a, X) = 0.
1. Logo o ponto a ∈ M será aderente a X se, e somente se,
0 = d(a, X) = inf{d(a, x) : x ∈ X}
que é equivalente a. dado ε 0 exitir xε ∈ X tal que
d(xε, a) ε.
a
s
ε
xε ∈ X
2. Outros modos, equivalentes, de dizer que um ponto a ∈ M é ponto aderente de X seriam:
(a) Para todo ε 0 temos que B(a; ε) ∩ X = ∅;
(b) Para todo subsconjunto A ⊆ M aberto em M contendo o ponto a temos que A∩X = ∅;
(c) Toda vizinhan¸ca do ponto a tem, pelo menos, um ponto de X.
A verifica¸cão destas equivalências é imediata e sua reda¸cão será deixada como exerc´ıcio
para o leitor.
Exemplo 4.4.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊆ M não vazio.
Então todo ponto a ∈ X é ponto aderente de X (pois toda vizinhan¸ca do ponto a contém o
ponto a que pertence a X).
Além disso, os pontos da fronteira de X (isto é, de ∂X) são pontos aderentes a X (pois, da
defini¸cão de fronteira, se um ponto está na fronteira toda vizinha¸ca dele possui pontos que estão
em X).
Em particular, o ponto 1 ∈ R é ponto aderente a X = [0, 1) onde neste consideramos a
métrica induzida pela métrica usual de R (mas não pertence a X).
Com isto temos a
Defini¸cão 4.4.2 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X ⊆ M.
Definimos o fecho de X (em M), indicado por X, como sendo o conjunto formado por
todos os pontos de M que são aderentes a X.

4.4. CONJUNTOS FECHADO 147
1. Assim, a ∈ X se, e somente se, o ponto a ∈ M é ponto aderente a X.
2. Pode-se ver que:
(a) ∅ = ∅;
(b) M = M;
(c) Se X ⊆ Y ⊆ M então X ⊆ Y .
A verifica¸cão destes fatos será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
3. Da defini¸cão temos que: a ∈ X se, e somente se, d(a, X) = 0.
Em particular, se (E, . ) é um espa¸co vetorial noramdo, da Proposi¸cão (2.4.1), segue que
b ∈ B(a; r) se, e somente se, b ∈ B[a; r], ou seja,
B(a; r) = B[a; r].
4. Em geral, num espa¸co métrico, isto não será verdade.
Para ver isto, consideremos M
.
= [0, 1] ∪ {2} ⊆ R com a métrica induzida pela métrica
usual de R.
Notemos que B(0; 2) = [0, 1], logo B(0; 2) = [0, 1].
Mas B[0; 2] = M, ou seja,
B(0; 2) ⊆ B[0; 2].
Em geral temos:
Proposi¸cão 4.4.1 Seja (M, d) é um espa¸co métrico, a ∈ M e r 0.
Então
B(a; r) ⊆ B[a; r].
Demonstra¸cão:
Seja b ∈ B(a; r), isto é, b é ponto aderente a bola aberta B(a; r).
Suponhamos, por absurdo, que b ∈ B[a; r], isto é,
d(b, a) r.
Consideremos s
.
= d(b, a) − r 0.
Então para todo x ∈ B(a; r) temos que
d(b, x) ≥ d(a, b) − d(a, x)
[d(a,x)r]
d(a, b) − r = s,
ou seja,
d(b, B(a; r)) = inf{d(b, x) : x ∈ B(a; r)} ≥ s 0,
mostrando que b não é ponto aderente de B(a; r), o que é um absurdo, logo d(b, a) ≤ r, isto é,
b ∈ B[a; r], como quer´ıamos mostrar.

1. Para que um ponto a ∈ M não seja aderente a um subconjunto X de M basta que exista
uma bola aberta centrada no ponto a que não contenha nunhum elemento de X, isto é,
existe r 0 tal que
B(a; r) ∩ X = ∅.
2. Observemos que B(a; r)∩X = ∅ se, e somente se, B(a; r) ⊆ M X, ou, equivalentemente,
o ponto a é ponto interior de M X.
a
s
ε
X
Com isto temos que: a ∈ X se, e somente se, a ∈ int[M X].
3. Com isto temos as seguintes identidades:
M X = int[M X],
isto é,
[X]c
= int[Xc
].
4. Sabemos que
M = int(X) ∪ ∂X ∪ int[M − X],
onde a reunião é disjunta.
Logo
X = int(X) ∪ ∂(X)
e a reunião será disjunta.
Um conceito importante é dado pela
Defini¸cão 4.4.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X ⊆ M.
Diremos que X é denso em M se X = M.
Observa¸cão 4.4.4 Temos que X ⊆ M é denso em M, se e somente se, todo ponto de M for
ponto aderente de X, ou seja, toda bola aberta centra em um ponto a ∈ M contiver, pelo menos,
um ponto de X.
Equivalentemente, todo aberto, A, não vazio, de M contendo o ponto a satisfaz
A ∩ X = ∅.

a ∈ M
I
r
x ∈ X
Exemplo 4.4.2 O conjunto formado pelos números racionais, Q, é denso em R.
O conjunto formado pelos númros irracionais, I = R Q, é denso em R.
De fato, pois todo bola aberta centrada em um número real (sito é, intervalo aberto) contém
números raionais e irracionais, mostrando que todo número real é ponto aderente de Q e de I.
Proposi¸cão 4.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, X ⊆ M e Y ⊆ N.
Se X é denso em M e Y é denso em N então X × Y é denso em M × N munido de uma
das três métricas usuais.
Demonstra¸cão:
Seja A ⊆ M × N aberto, não vazio, em M × N.
Da Proposi¸cão (4.2.2) segue que existem abertos U ⊆ M e V ⊆ N tal que U × V ⊆ A.
Como X é denso em M, Y é denso em N, U ⊆ M e V ⊆ N são abertos em M e N,
respectivamente, segue que existem x ∈ U ∩ X e y ∈ V ∩ Y .
Logo o ponto
z
.
= (x, y) ∈ (U × V ) ∩ (X × Y )
ou ainda,
z
.
= (x, y) ∈ A ∩ (X × Y ),
mostrando que X × Y é denso em M × N.
Corolário 4.4.1 Sejam (M1, d1), · · · , (Mn, dn) espa¸cos métricos, Xj ⊆ Mj , j = 1, · · · , n.
Se Xj é denso em Mj para todo j = 1, · · · , n então X1 ×· · ·×Xn é denso em M1 ×· · ·×Mn.
Demonstra¸cão:
A demonstra¸cão é feita por indu¸cão e será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Também como conseqüência temos
Corolário 4.4.2 Qn e In são densos em Rn, onde Qn (ou In) são as n-uplas cujas entradas
são números racionais (ou irracionais).
Demonstra¸cão:
Segue do fato que Q e I são densos em R e do corolário acima.
Temos a

Proposi¸cão 4.4.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico, a ∈ M e X ⊆ M não vazio. Então
d(a, X) = d(a, X).
Demonstra¸cão:
Como X ⊆ X segue que
d(a, X) = inf{d(x, a) : x ∈ X}
[X⊆X]
≤ inf{d(y, a) : y ∈ X} = d(a, X). (∗)
Afirmamos que se
d(a, X) m então d(a, X) m. (∗∗)
De fato, se d(a, X) m então existe x0 ∈ X tal que d(a, x0) m.
Como x0 é ponto aderente de X segue que, dado
ε
.
= m − d(a, x0) 0,
existe x1 ∈ X tal que
d(x1, x0) ε = m − d(a, x0).
Logo
d(a, X) ≤ d(a, x1) ≤ d(a, x0) + d(x0, x1) d(a, x0) + (m − d(a, x0)) = m,
ou seja, d(a, X) m.
Assim
d(a, X) ≤ d(a, X), (∗ ∗ ∗)
pois, suponhamos, por absurdo que d(a, X) d(a, X).
Logo existe m ∈ (d(a, X, d(a, X)), isto é, d(a, X m d(a, X) contrariando (**).
Portanto de (*) e (***) temos que d(a, X) = d(a, X), como quer´ıamos demonstrar.
Corolário 4.4.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X ⊆ M não vazio. Então
X = X.
Demonstra¸cão:
Sabemos que X ⊆ X.
Por outro lado, se a ∈ X então a é ponto aderente a X, isto é, d(a, X) = 0.
Mas da proposi¸cão acima temos que
0 = d(a, X) = d(a, X),
isto é, a é ponto aderente a X, ou ainda, a ∈ X, como quer´ıamos demonstrar.
16.10.2008 - 20.a
Temos a
Defini¸cão 4.4.4 Seja (M, d) espa¸co métrico.
Diremos que F ⊆ M é um subconjunto fechado de M se seu complementar, M F, for um
subconjunto aberto de M.

O resultado a seguir relaciona o conceito de um conjunto ser fechado com o de fecho do
conjunto, a saber
Proposi¸cão 4.4.4 Sejam (M, d) espa¸co métrico e F ⊆ M. Então
F = F se, e somente se, M F é um subconjunto aberto de M (isto é, F é um subconjunto
fechado de M).
Demonstra¸cão:
Observemos que:
F = F, se, e somente se, os pontos que não pertecem a F não são pontos aderentes a F
ou, equivalentemente, para todo ponto a ∈ M F existe uma bola aberta, B(a; r), tal que
B(a; r) ∩ F = ∅ ( isto é, B(a; r) ⊆ M F).
Isto é equivalente a dizer que para todo ponto de a ∈ M F existe uma bola aberta, B(a; r),
tal que B(a; r) ⊆ M F, ou seja, que M F é um subconjunto aberto de M.
Observa¸cão 4.4.5 A proposi¸cão acima nos diz que um subconjunto de um espa¸co métrico é
fechado se, e somente se, ele contém todos seus pontos aderentes.
De modo análogo, a proposi¸cão acima nos diz que um subconjunto de um espa¸co métrico é
fechado se, e somente se, ele é igual ao seu fecho.
Como conseqüência imediata temos o
Corolário 4.4.4 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X ⊆ M.
Então X é um subconjunto fechado de M.
Demonstra¸cão:
Do corolário (4.4.3) sabemos que X = X, assim, da proposi¸cão acima segue que X é um
subconjunto fechado de M.
1. Na situa¸cão acima temos que X é o menor subconjunto fechado de M que contém F, isto
é, se F ⊆ M é um subconjunto fechado em M e X ⊆ F então X ⊆ F.
De fato, se X ⊆ F então, da observa¸cão (4.4.2 ) item 2. (c), segue que
X ⊆ F
= F.
Deste modo podemos obter o fecho de um subconjunto X de M da seguinte forma:
X =
F é fechado em M e X⊆F
F.
2. Um subconjunto X de M não é fechado se, e somente se, existe a ∈ X que é ponto aderente
a X.
Equivalentemente, existe a ∈ X e para cada ε 0 temos B(a; r) ∩ X = ∅.
Conclusão: tal ponto a deverá pertencer a fronteira de X.
Em particular mostramos que: X é subconjunto fechado de M se, e somente se, ∂X ⊆ X.

3. Todo cuidado é pouco! ”ser fechado” não é o contrário de ”ser aberto”, isto é, existem
subconjuntos de um espa¸co métrico que podem não ser nem fechado e nem aberto.
Por exemplo o subconjunto Q em R não é aberto (pois todo intervalo aberto contendo um
número racional conterá um número irracional).
Por outro lado ele também não será fechado em R (pois todo número irracional é aderente
a Q).
Conclusão: Q não é nem um subconjunto aberto e nem um subconjunto fechado em R.
4. Pode acontecer de um subconjunto de um espa¸co métrico ser aberto e fechado neste espa¸co
métrico.
Um exemplo geral disto é ver que espa¸co todo e o conjunto vazio são subconjuntos abertos
e fechados nele mesmo.
Um outro exemplo é considerar
M
.
= R {0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
com a métrica induzida pela métrica usuas de R.
Observemos que (−∞, 0) e (0, ∞) são subconjuntos abertos em M.
Alem disso temos que (−∞, 0)c = (0, ∞) e (0, ∞)c = (−∞, 0) (o complementar é tomado
em M(−∞, 0) ∪ (0, ∞)).
Logo os complementares (em M) de (−∞, 0) e de (0, ∞) são subconjunto abertos de M,
ou seja, (−∞, 0) e de (0, ∞) também são subconjunto fechados de M.
5. Seja (M, d) um espa¸co métrico discreto.
Como todo subconjunto de M é aberto segue todo subconjunto de M é fechado (pois seu
complementar é um subconjunto de M, logo aberto em M)
Exerc´ıcio 4.4.1 Consideremos Q munido da métrica induzida pela métrica usual de R.
Temos que
(
√
2, ∞)Q = {x ∈ Q :
√
2 x ∞}
é um subconjunto aberto de Q (por que?).
Observemos que
(
√
2, ∞)c
Q = {x ∈ Q : −∞ x
√
2}
(o complementar do conjunto em Q) que é um subconjunto aberto em Q.
Logo (
√
2, ∞)Q é um subconjunto fechado em Q.
Portanto (
√
2, ∞)Q é um subconjunto aberto e fechado em Q.
Exemplo 4.4.3 Seja (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e r 0.
Então B[a; r] é um subconjunto fechado de M pois, da proposi¸cão (4.1.2) segue que MB[a; r]
Exemplo 4.4.4 Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊆ M subconjunto de M.
Então ∂X é subconjunto fechado de M.
De fato, a observa¸cão (4.4.3) item 4. implica que
[∂X]c
= M ∂X = int(X) ∪ int(M X).

Como int(X) e int(M X) são subconjuntos abertos de M segue que int(X) ∪ int(M X)
será um subconjunto aberto de M, ou seja, [∂X]c será um subconjunto aberto de M, mostrando
que ∂X é um subconjunto fechado de M.
int(X)
int(M X) c
∂X
Exemplo 4.4.5 Seja (M, d) um espa¸co métrico e F = {a1, · · · , an} (isto é, um subconjunto
finito de M).
Então F é fechado em M.
De fato, se a ∈ F então
d(a, F) = inf{d(a, aj) : j = 1, · · · , n} = d(a, aj0 ),
para j0 ∈ {1, · · · , n}.
Mas
d(a, aj0 ) 0
pois a ∈ F.
Logo d(a, F) 0, isto é, a ∈ F não será ponto aderente de F.
Conclusão: os únicos pontos aderentes de F são os pontos de F, isto é, F contém todos os
seus pontos aderentes, ou seja, F é um subcojnuto fechado de M.
Observa¸cão 4.4.7 Na situa¸cão acima, se a ∈ M então {a} é um subcojnuto fechado de M.
Em geral temos as seguintes propriedades para subconjuntos fechados de um esap¸co métrico
Proposi¸cão 4.4.5 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico.
Então
1. O conjunto vazio, ∅ e o espa¸co inteiro, M, são subconjuntos fechados de M;
2. A reunião finita de subconjuntos fechados de M é um subconjunto fechado de M, isto é, se
Fi é um subconjunto fechado de M, i = 1, 2, · · · , n então
n
i=1
Fi é um subconjunto fechado
de M;
3. A interseçcão qualquer de subconjuntos fechados de M é um subconjunto fechado de M,
isto é, se Fλ é um subconjunto fechado de M, para todo λ ∈ A, então
λ∈A
Fλ é um
subconjunto fechado de M.

Demonstra¸cão:
Lembremos que todo espa¸co métrico é um esta¸co topológico (munido da topologia gerada
pelos abertos definidos pela métrica).
De 1.:
Do exemplo (4.3.1), item (T1), segue que ∅ e M são subconjuntos abertos de M.
Mas
∅c
= M e Mc
= ∅,
ou seja, os complementares de ∅ e M são subconjuntos abertos de M, mostrando que ∅ e M são
subconjuntos fechados de M.
De 2.:
Sabemos que, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}, Fi é um subconjunto fechado de M, ou seja, que
Fc
i é um subconjunto aberto de M.
Logo do exemplo (4.3.1), item (T2), segue que
n
i=1
Fc
i será um subconjunto aberto de M.
Mas
[
n
i=1
Fi]c
=
n
i=1
Fc
i ,
e [
n
i=1
Fi]c
é um subconjunto aberto de M implicando que
n
i=1
Fi será um subconjunto fechado
de M.
De 3.:
Sabemos que, para cada λ ∈ A, Fλ é um subconjunto fechado de M, ou seja, que Fc
λ é um
Logo do exemplo (4.3.1), item (T3), segue que
n
λ∈A
Fc
λ será um subconjunto aberto de M.
Mas
[
λ∈A
Fλ]c
=
λ∈A
Fc
λ,
e [
λ∈A
Fλ]c
é um subconjunto aberto de M implicando que
λ∈A
Fλ será um subconjunto fechado
de M, completando a demonstra¸cão da proposi¸cão.
Um outro resultado importante é
Proposi¸cão 4.4.6 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma aplica¸cão f : M → N.
Então
f é cont´ınua em M se, e somente se, para todo F, subconjunto fechado de N, tivermos que
f−1(F) é um subconjunto fechado de M.
Demonstra¸cão:
Pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que, para todo G ⊆ N, temos
f−1
(Gc
) = [f−1
(G)]c
. (∗)
Logo, se f é cont´ınua em M e F é um subconjunto fechado de N então Fc um subconjunto
aberto de N.

Como f é cont´ınua em M segue do teorema (4.2.1) que f−1(Fc) será um subconjunto aberto
de M, logo, de (*), temos que [f−1(F)]c será um subconjunto aberto de M mostrando que
f−1(F) será um subconjunto fechado de M.
Reciprocamente, se para todo F, subconjunto fechado de N, tivermos que f−1(F) é um
subconjunto fechado de M então dado A, um subconjunto aberto de N temos que Ac será um
subconjunto fechado de N.
Logo, por hipótese, temso que f−1(Ac) será subconjunto fechado de M.
Assim, de (*), segue que [f−1(A)]c será subconjunto fechado de M, ou seja, f−1(A) será
Portanto, do teorema (4.2.1) segue que f é uma fun¸cão cont´ınua em M, completando a prova
da proposi¸cão.
Observa¸cão 4.4.8 Conclusão: uma condi¸cão necessária e suficiente para que uma fun¸cão entre
espa¸cos métricos seja cont´ınua é que imagem inversa de subconjuntos fechados sejam subcon-
juntos fechados.
Antes do próximos resultados introduziremos a seguinte
Defini¸cão 4.4.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma aplica¸cão f : M → N.
Diremos que a fun¸cão f é fechada se para todo A subconjunto fechado de M tivermos que
f(A) é um subconjunto fechado de N.
Com isto temos o
Corolário 4.4.5 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e uma aplica¸cão f : M → N
bijetora. Então
f é um homeomorfismo de M em N se, e somente se, f é cont´ınua e fechada em M.
Demonstra¸cão:
Se f é um homeomorfismo de M em N então f e f−1 serão cont´ınuas em N.
E
f
A
'
f−1
f(A) = [f−1
]−1
(A)
M N
Logo se A é subconjunto fechado de M, da proposi¸cão acima deveremos ter que [f−1]−1(A)
é um subconjunto fechado de N.
Como f é bijetora temos que
f(A) = [f−1
]−1
(A). (∗)

Logo f(A) é um subconjunto fechado de N.
Reciprocamente, se f é fechada em M e A é um subconjunto aberto em M então Ac será
um subconjunto fechado em M.
Logo f(Ac) será um subconjunto fechado em N.
Como [f(A)]c = f(Ac) temos que f(A) será um subconjunto aberto em N.
Assim, de (*), segue que [f−1]−1(A) será um subconjunto aberto de N.
Logo, do teorema (4.2.1) segue que a fun¸cão f−1 será cont´ınua em N, ou seja, f é um
homeomorfismo de M em N, completando a demonstra¸cão.
Observa¸cão 4.4.9 Conclusão: uma condi¸cão necessária e suficiente para que uma fun¸cão bi-
jetora entre espa¸cos métricos seja um homeomorfismo é que imagem inversa de subconjuntos
fechados sejam subconjuntos fechados e que imagem de subconjuntos fechados sejam subconjun-
tos fechados.
Uma outra conseqüência da proposi¸cão acima é
Corolário 4.4.6 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos e Fi ⊆ Mi subconjuntos fechados
de Mi, i = 2, · · · , n.
Então F1 × · · · × Fn é um subconjunto fechado de M1 × · · · × Mn (este munido de uma das
três métricas básicas).
Demonstra¸cão:
Sabemos, do exemplo (3.1.13), que as proje¸cões
pi : M1 × · · · × Mn → Mi,
dadas por
pi(x1, · · · , xi, · · · , xn) = xi, (x1, · · · , xn) ∈ M1 × · · · × Mn
são cont´ınuas para todo i = 1, 2, · · · , n.
Além disso vimos anteriormente que
F1 × · · · × Fn = p−1
1 (F1) ∩ · · · p−1
n (Fn). (∗)
Assim, como para cada i = 1, · · · , n temos que Fi ⊆ Mi é um subconjunto fechado de Mi,
i = 2, · · · , n, da proposi¸cão acima segue que p−1
i (Fi) ⊆ M1 × · · · × Mn será um subconjunto
fechado de M1 × · · · × Mn.
Portanto da proposi¸cão (4.4.5) item 3. segue que
p−1
1 (F1) ∩ · · · p−1
n (Fn)
será um subconjunto fechado de M1 × · · · × Mn e assim, de (*), segue que F1 × · · · × Fn será um
subconjunto fechado de M1 × · · · × Mn, como quer´ıamos demonstrar.
A seguir daremos mais duas conseqüências da proposi¸cão acima:
Corolário 4.4.7 Sejam (M, dM ), (R, d) espa¸cos métricos (onde a métrica d em R é a usual) e
(fλ)λ∈L uma fam´ılia de fun¸cões reais, fλ : M → R, cont´ınuas em M.
Então o conjunto
{x ∈ M : fλ(x) ≥ 0, para todo λ ∈ L}
é um subconjunto fechado de M.

Demonstra¸cão:
Para cada λ ∈ L temos que fλ é cont´ınua em M.
Como [0, ∞) é um subconjunto fechado de R (pois seu complementar em R será (−∞, 0) que é
um subconjunto aberto de R), da proposi¸cão acima, segue que f−1
λ ([0, ∞)) será um subconjunto
fechado de M.
Observemos que
f−1
λ ([0, ∞)) = {x ∈ M : fλ(x) ≥ 0}.
Assim, da proposi¸cão (4.4.5) item 3., segue que
λ∈L
f−1
λ ([0, ∞)) será um subconjunto fechado
de M.
Finalmente, observemos que
{x ∈ M : fλ(x) ≥ 0, para todo λ ∈ L} =
λ∈L
f−1
λ ([0, ∞)),
mostrando que
{x ∈ M : fλ(x) ≥ 0, para todo λ ∈ L}
é um subconjunto fechado de M, como quer´ıamos mostrar.
Corolário 4.4.8 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N, cont´ınua em M.
Então o gráfico de f, G(f), é um subconjunto fechado de M × N (munido de uma das três
métricas usuais), isto é, o conjunto
G(f) = {(x, f(x) ∈ M × N : x ∈ M}
é um subconjunto fechado de M × N.
Em particular, a diagonal
∆
.
= {(x, y) : M × M : y = x}
é um subconjunto fechado de M × M.
Demonstra¸cão:
Observemos que a fun¸cão
ϕ : M × N → R
dada por
ϕ(x, y)
.
= dN (f(x), y), (x, y) ∈ M × N
é uma fun¸cão cont´ınua em M × N (onde em R consideramos a métrica usual) pois é composta
de fun¸cões cont´ınuas (veja diagrama abaixo).

E
T
M
N
E
(f, id)
T
E
N
N
c
dN
E
‚
ϕ = d ◦ (f, id)
(x, y)
(f(x), y)
ϕ(x, y) = dN (f(x), y)
Além disso, (x, y) ∈ G(F) se, e somente se, y = f(x) ou, equivalentemente, dN (f(x), y) = 0,
ou ainda, ϕ(x, y) = 0.
Conclusão:
G(f) = {(x, y) ∈ M × N : y = f(x)} = {(x, f(x)) ∈ M × N : x ∈ M}
= {(x, y) ∈ M × N : ϕ(x, y) = 0} = ϕ−1
({0})
Do exemplo (4.4.5) temos que {0} é um subconjunto fechado de R.
Logo da proposi¸cão acima segue que ϕ−1({0}) é um subconjunto fechado de M × N, ´ısto é,
G(f) é um subconjunto fechado de M × N, como quer´ıamos provar.
Para mostrar que a diagonal de M × M, ∆, é um subconjunto fechado de M × M basta
observar que ∆ é o gráfico da aplica¸cão identidade, isto é,
∆ = G(id)
e que a aplica¸cão identidade é cont´ınua em M.
Portanto do corolário segue que seu gráfico será um subconjunto fechado de M ×M, ou seja,
a diagonal de M × M, ∆, é um subconjunto fechado de M × M.
1. Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos e F é um subconjunto fechado de M1×· · · Mn
isto não implica, necessariamente, que a proje¸cão de F em cada um dos fatores de M1 ×
· · · Mn seja um subconjunto fechado no correspondente fator.
Para ver isto, consideraremos o seguinte exemplo:
Sejam M1 = M2 = R munido da métrica usual, M1 × M2 = R2 munido da métrica usual
e F
.
= {(x, y) ∈ R2 : x.y = 1}.
Observemos que se
m : R2
→ R é dada por m(x, y)
.
= x.y, (x, y) ∈ R2

então vimos anteriormente que m é uma fun¸cão cont´ınua em R2.
Logo, da proposi¸cão (4.4.6) segue que F = m−1({1}) será um subconjunto fechado de R2
(pois {1} é um subconjunto fechado de R).
Mas p1(F) = R {0} que não é um subconjunto fechado em M1 = R.
T
E x
y
(0, 0)
(x, 1
x
)
2. A reunião qualquer de subconjuntos fechados de um espa¸co métrico pode não ser um
subcojunto fechado do mesmo.
Para ver isto basta considerar um espa¸co métrico (M, dM ) que tenha um subconjunto, A
que seja aberto e não seja fechado.
Observemos que se x ∈ M então {x} será um subconjunto fechado de M.
Mas A =
a∈A
{a}, ou seja, a reunião dos subsconjuntos fechados {a}, a ∈ A, é o conjunto
A, que é um subconjunto aberto de M que não é um subconjunto fechado de M.
Exemplo 4.4.6 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico, a ∈ M e r 0.
Então S[a; r] é um subconjunto fechado de M.
De fato, se considerarmos
da : M → R dada por da(x)
.
= dM (a, x), x ∈ M
então vimos anteriormente que a fun¸cão da será cont´ınua em M (onde em R tomamos a métrica
usual).
Podemos ver que
S[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) = r} = d−1
a ({r}).
Mas {r} em um subconjunto fechado de R.
Logo da proposi¸cão acima segue que S[a; r] é um subconjunto fechado de M.
1. Se f : M → R então dado c ∈ R o conjunto f−1({c}), ou seja, o conjunto formado pelos
pontos de M onde a fun¸cão vale c (que pode ser vazio!) será denominado superf´ıcie de
n´ıvel c da fun¸cão f.
Se a fun¸cão f for cont´ınua em M ((M, dM ) um espa¸co métrico e R munido da métrica
usual) então, a proposi¸cão acima garante que todas as superf´ıcies de n´ıvel de f são sub-
conjunto fechados de M.

2. As no¸cões de fecho e conjunto fechado são relativas, isto é, dizem respeito ao espa¸co
métrico considerado.
Por exemplo, se M = [0, 1) com a métrica induzida pela métrica usual de R e A = (
1
2
, 1)
então o fecho de A em M será Ã = [1
2 , 1) enquanto o fecho de A em R será ¯A = [1
2 , 1].
A rela¸cão entre fecho num subespa¸co métrico e o fecho no espa¸co todo é dado pela:
Proposi¸cão 4.4.7 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e S ⊆ M com a métrica induzida de M.
Se X ⊆ S indicaremos por X
S
, o fecho de X em S e por X
M
, o fecho de X em M.
Então
X
S
= X
M
∩ S.
Demonstra¸cão:
Indicaremos por dM a métrica em M e por dS a métrica induzida em S pela métrica dM de
M.
Observemos que se a ∈ S então
dM (a, X) = inf{dM (a, x) : x ∈ X}
que é a mesma se considerarmos X como subconjunto de S, ou seja,
dS(a, X) = inf{dS(a, x) : x ∈ X}.
Logo
X
S
= {a ∈ S : dS(a, X) = 0} = {a ∈ M : dM (a, X) = 0} ∩ S = X
M
∩ S,
Corolário 4.4.9 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e S ⊆ M com a métrica induzida de M.
Se S é um subconjunto fechado de M e X ⊆ S então
X
S
= X
M
.
Demonstra¸cão:
Observemos que
X ⊆ S
[observa¸cão (4.4.2 ) item 2.c.]
⇒ X
M
⊆ S
M [S é fechado em M]
= S
[corolário acima]
⇒ X
M
∩ S = X
S
.
Observa¸cão 4.4.12 Segue do corolário acima que se S é um subconjunto fechado de M então
X ⊆ S é um subconjunto fechado de S se, e somente se, X é um subconjunto fechado de M
(pois um conjunto é fechado se, e somente se, ele é igual ao seu fecho).
Temos também a

Proposi¸cão 4.4.8 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, F1, F2 subconjuntos fechados de
M tal que M = F1 ∪ F2 e f : M → N.
Suponhamos que as restri¸cões f|Fi
: Fi → N, i = 1, 2 são cont´ınuas em F1 e F2, respectiva-
mente.
Então f é cont´ınua em M.
Demonstra¸cão:
Se H é um subconjunto fechado de N, como M = F1 ∪ F2, pode-se provar que (será deixado
como exerc´ıco para o leitor; vide figura aabixo)
f−1
(H) = f−1
|F1
(H) ∪ f−1
|F2
(H).
Ef
M
N
H
F1
F2
f−1
|F1
(H)
E
E
f|F1
f|F2
f−1
|F2
(H)
f−1(H)
E
E
Comof|F1
e f|F2
são cont´ınuas em F1 e F2, respectivamente, segue, da proposi¸cão (4.4.6) que
f−1
|F1
(H) e f−1
|F2
(H) são fechados em F1 e F2, respectivamente.
Como F1 e F2 são fechados em M segue do corolário acima que f−1
|F1
(H) e f−1
|F2
(H) são fechados
em M.
Logo, da proposi¸cão (4.4.5) item 2., segue que f−1(H) é fechado em M e aplicando a
proposi¸cão (4.4.6) temos que f será cont´ınua em M, completando a demonstra¸cão do resul-
tado.
Um outra conseqüência importante é
Exerc´ıcio 4.4.2 Sejam (N, dN ) um espa¸co métrico, [a, b], [c, d] munidos da métrica usual de
R e f : [a, b] → N e g : [c, d] → N cont´ınuas em [a, b] e [c, d], respectivamente e que satisfazem
f(b) = g(b).
Então a fun¸çcão h : [a, c] → N dada por
h(t) =
f(t), a ≤ t ≤ b
g(t), b ≤ t ≤ c
é cont´ınua em [a, c].
De fato, observemos que F1
.
= [a, b] e F2
.
= [c, d] são subconjuntos fechados de M
.
= [a, c] =
F1 ∪ F2 (será deixado como exerc´ıco para o leitor a verifica¸cão deste fato).
Além disso temos, por hipótese, que h|[a,b]
= f e h|[b,c]
= g são cont´ınuas em F1 = [a, b] e
F2[c, d], respectivamente.
Logo da proposi¸cão acima temos que h será cont´ınua em [a, c], como quer´ıamos mostrar.

17.10.2008 - 21.a
Para finalizar temos a
Defini¸cão 4.4.6 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e X ⊆ M.
Diremos que um ponto a ∈ M é ponto de acumula¸cão de X se toda bola aberta de centro
em a contém, pelo menos, um ponto de X, diferente do ponto a, isto é, para todo r 0 temos
[B(a; r) ∩ X] {a} = ∅.
Indicaremos por X o conjunto formado por todos os pontos de acumula¸cão do conjunto X
e a este daremos o nome de derivado de X.
1. Tenos que
X ⊆ ¯X,
isto é, todo ponto de acumula¸cão de um conjunto é um ponto aderente ao conjunto.
A rec´ıproca é falsa, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos R com a métrica usual e X = [0, 1] ∪ {2}.
Temos que 2 é ponto aderente a X mas não é ponto de acumula¸cão de X (isto é, 2 ∈
¯X X ).
2. Na situa¸cão acima temos que
a ∈ X ⇐⇒ a ∈ X {a}.
De fato, se a ∈ X então para todo r 0 temos
[B(a; r) ∩ X] {a} = ∅.
Afirmamos que a ∈ X {a}
c
.
De fato, suponhamos, por absurdo, que a ∈ [X {a}] c.
Sabemos que X {a} c é um subconjuto aberto de M, logo todo ponto de [X {a}] ,c será
ponto interior do mesmo.
Em particular, a ∈ X {a} c logo deverá existir r 0 tal que
B(a; r) ⊆ X {a} c
,
ou seja,
B(a; r) ∩ X {a} = ∅.
Como X {a} ⊆ X {a} segue que
B(a; r) ∩ X {a} = ∅,
o que é uma absurdo, pois a ∈ X .
Logo a ∈ [X {a}]c assim a ∈ X {a}.

Reciprocamente, se a ∈ X {a} então temos que a ∈ [X {a}] c, este é um subconjunto
aberto de M.
Logo a não será ponto interior de [X {a}] c, ou seja, para todo r 0 temos que B(a; r)
não estará contida em [X {a}] c, ou ainda,
B(a; r) ∩ X {a} = ∅.
Logo se b ∈ B(a; r) ∩ X {a} segue que para todo s 0 temos
B(b; s) ∩ X {a} = ∅. (∗)
Como B(a; r) é aberto e b ∈ B(a; r) existe 0 s0 r tal que
B(b; s0) ⊆ B(a; r),
implicando que
B(a; r) ∩ X {a} = ∅. (∗∗)
De (*) e (**) temos que, a ∈ X .
3. Como conseqüência temos: para todo subconjunto finito F de M temos que F = ∅.
4. Se X é um subconjunto de M então temos
¯X = X ∪ X .
Com X, X ⊆ ¯X segue que X ∪ X ⊆ ¯X.
Por outro lado, se a ∈ ¯X então ou a ∈ X ou a ∈ X.
Neste último caso toda bola centrada em a deverá conter, pelo menos, um ponto diferente do
ponto a (pois caso contrário o ponto a pertenceria ao aberto X c, o que seria um absurdo),
logo a ∈ X .
Para finalizar o cap´ıtulo consideremos o seguinte
Exemplo 4.4.7 Consideremos em R a métrica usual,
X = Q, Y = Z, U = [0, 1], V = {0, 1,
1
2
, · · · ,
1
n
, · · · }, W = {(1 +
1
n
)n
: n ∈ N}.
Então pode-se mostrar que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor):
X = R, Y = ∅, , U = U, V = {0}, W = {e}.
Ou seja, nestes casos teremos:
X
=
⊆ X , Y
=
⊆ Y, U = U, V
=
⊆ V, W ⊆ W.

Cap´ıtulo 5
Conjuntos Conexos
5.1 Defini¸cões e exemplos
Come¸caremos pela
Defini¸cão 5.1.1 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico.
Uma cisão de M é uma decomposi¸cão de M do tipo
M = A ∪ B
onde A, B são subconjuntos abertos e disjuntos de M.
Uma cisão de M = A ∪ B será dita cisão trivial se A ou B for o conjunto vazio.
1. Se M = A ∪ B é uma cisão de M então temos que
A = M B e B = M A.
Logo os conjuntos A, B também serão fechados em M (pois seus complementares são
abertos em M).
2. Se M = A ∪ B é uma cisão trivial então A = M ou B = M.
Consideremos os seguintes exemplos:
Exemplo 5.1.1 Seja M = R {0} munido da métrica usual de R.
É fácil ver que M = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) é uma cisão de M (pois (−∞, 0), (0, ∞) são subcon-
juntos abertos de M).
Exemplo 5.1.2 Sejam M = Q munido da métrica usual de R e α ∈ I.
Se A
.
= {x ∈ Q : x α} e B
.
= {x ∈ Q : x α} então é fácil ver que M = A ∪ B é uma
cisão de M (pois A, B são subconjuntos abertos de M).
Exemplo 5.1.3 Se (M, dM ) é um espa¸co métrico discreto então para todo A ⊆ M temos que
M = A ∪ (M A) será um cisão de M (pois neste caso todo subconjunto de M será um
subconjunto aberto de M).
165

166 CAPÍTULO 5. CONJUNTOS CONEXOS
Observa¸cão 5.1.2 Indicaremos por Mn(R) o espa¸co vetorial das matrizes reais quadradas de
ordem n.
Dada uma matriz real quadrada de ordem n podemos identificá-la com uma lista de n2
números reais da seguinte forma:
(aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(R) → (a11, · · · , a1n, a21, · · · , a2n, · · · , an1, · · · , ann) ∈ Rn2
e reciprocamente todo elemento de Rn2
pode ser identificado com uma matriz real quadrada de
ordem n.
Logo podemos munir Mn(R) com a métrica de Rn2
.
Com isto temos o
Exemplo 5.1.4 Vimos anteriormente que a fun¸cão determinante det : Rn2
→ R é uma fun¸cão
cont´ınua em Rn2
.
Consideremos Gn o conjunto formado pelas matrizes quadradas reais de ordem n que têm
determinante diferente de zero, munido da métrica de Rn2
.
Sabemos que Gn é o conjunto formado pelas matrizes quadradas reais de ordem n que são
invers´ıveis.
Do corolário (4.2.4) sabemos que Gn é um subconjunto aberto de Rn2
.
Definindo-se G+
n como sendo o conjunto formado pelas matrizes quadradas reais de ordem
n que têm determinante maior que zero e G−
n como sendo o conjunto formado pelas matrizes
quadradas reais de ordem n que têm determinante menor que zero segue, do corolário (4.2.3),
que G+
n e G−
n são subconjuntos abertos de Gn.
Além disso temos
Gn = G+
n ∪ G−
n ,
isto é, uma cisão de Gn.
Observa¸cão 5.1.3 Em todos os exemplos acima as cisões obtidas não são cisões triviais.
Defini¸cão 5.1.2 Um espa¸co métrico (M, dM ) será dito conexo se toda cisão de M deve ser a
cisão trivial.
Um subconjunto X de M será dito conexo se (X, dM ) for um espa¸co métrico conexo.
Um espa¸co métrico será dito desconexo se ele admite uma cisão não trivial.
1. Logo um espa¸co métrico (M, dM ) será dito conexo se, e somente se, M = A ∪ B com
A, B subconjuntos abertos de M implicar que ou A = ∅ ou B = ∅ (ou, equivalentemente,
A = M ou B = M).
2. Em todos os exemplos acima os espa¸cos métricos envolvidos são espa¸cos métricos des-
conexos.
3. A propriedade de ser conexo é intr´ınseca do conjunto, ou seja, se X é subespa¸co métrico
de M e N (ou seja, as métricas dM e dN induzem a mesma métrica em X) então X é
um subconjunto conexo de M se, e somente se, X é um subconjunto conexo de N.
Com isto temos a

5.1. DEFINIÇ ÕES E EXEMPLOS 167
Proposi¸cão 5.1.1 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico.
São equivalentes:
1. M é um espa¸co métrico conexo;
2. M e ∅ são os únicos subconjuntos de M que são abertos e fechados em M;
3. se X é um subconjunto de M que tem a fronteria igual o conjunto vazio então X = M ou
X = ∅.
Demonstra¸cão:
Observemos que se M = A ∪ B então A, B são subconjuntos abertos de fechados de M pois
A é um subconjunto aberto de M e B = M A = Ac, logo B será um subconjunto fechado de
M.
De moto semelhante, A é subconjunto fechado de M pois B é um subconjunto aberto de M
e A = M B = Bc, logo A será um subconjunto fechado de M.
(1) ⇒ (2):
Se M é um espa¸co métrico conexo então se A ⊆ M for um subconjunto aberto e fechado em
M então Ac também será um subconjunto aberto de M (pois A é um subconjunto fechado de
M).
Logo M = A ∪ Ac será uma cisão de M.
Como M é conexo ou A = M ou Ac = M, isto e, ou A = M ou A = ∅, como quer´ıamos
mostrar.
(2) ⇒ (1):
Se M = A ∪ B é uma cisão de M, como vimos acima, A, B devem ser abertos e fechados em
M.
Portanto ou A = M e B = ∅ ou B = M e A = ∅, ou seja, toda cisão de M deve ser a cisão
trivial, mostrando que M é conexo.
(2) ⇒ (3):
Se X ⊆ M sabemos que:
(i) X ∩ ∂X = ∅ se, e somente se, X é um subconjunto aberto de M e
(ii) ∂X ⊆ X se, e somente se, X será subconjunto fechado de M.
Logo se X ⊆ M tem fronteira vazia então X ∩ ∂X = X ∩ ∅ = ∅ e ∂X = ∅ ⊆ X.
De (i) e (ii) acima segue que X será um subconjunto aberto e fechado de M.
De (2) deveremos ter X = M ou X = M.
(3) ⇒ (2):
Seja X ⊆ M é um subconjunto aberto e fechado de M.
Como X é um subconjunto aberto M teremos, por (i), que
X ∩ ∂X = ∅. (∗)
Por outro lado, como X é um subconjunto fechado de M, por (ii), devermos ter
∂X ⊆ X. (∗∗)
De (*) e (**) segue que ∂X = ∅.
Lodo, de (3), deveremos ter X = M ou X = M, ou seja, os únicos subconjuntos de M que
são aberto e fechados em M são M e ∅.

Observa¸cão 5.1.5 A proriedade 3. nos diz que num espa¸co métrico os únicos subconjuntos de
um espa¸co métrico que têm a fronteira igual o conjunto vazio são o espa¸co todo e o conjunto
vazio.
Exemplo 5.1.5 Seja M
.
= R {0} munido da métrica usual de R.
Então M não é conexo.
De fato, pois se A
.
= (0, ∞) é um subconjunto aberto de M e seu complementar (em M)
será Ac = (−∞, 0) que também é um subconjunto aberto de M implicando que A também será
um subconjunto fechado em M.
Logo o subconjunto A = (0, ∞) um subconjunto aberto e fechado em M e é diferente de M
e do conjunto ∅.
Logo da proposi¸cão (5.1.1) segue que M não pode ser um conjunto conexo.
Exerc´ıcio 5.1.1 , M
.
= Q munido da a métrica usual de R.
De fato, pois se A
.
= (
√
2, ∞)Q é um subconjunto aberto de M e seu complementar (em M)
será Ac = (−∞,
√
2)Q que também é um subconjunto aberto de M implicando que A também
será um subconjunto fechado em M.
Logo o subconjunto A = (
√
2, ∞) um subconjunto aberto e fechado em M e é diferente de M
e do conjunto ∅.
Exemplo 5.1.6 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico discreto contendo mais de um ponto.
De fato, se x = y e x, y ∈ M então temos que A
.
= {x} é um subconjunto aberto de M e seu
complementar (em M) será Ac que também é um subconjunto aberto de M implicando que A
também será um subconjunto fechado em M.
Logo o subconjunto A = {x} um subconjunto aberto e fechado em M e é diferente de M
(pois y = A) e do conjunto ∅.
Exemplo 5.1.7 (R, |.|) é um espa¸co métrico conexo.
De fato, suponhamos, por absurdo, que exista uma cisão não trivial
R = A ∪ B,
ou seja, A, B são abertos, disjuntos e não vazios.
Consideremos a ∈ A e b ∈ B.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que a b.
Seja X
.
= {x ∈ A : x b}.
Como a ∈ X segue X = ∅ e além disso é limitado superiormente (pois b é um limitante
superior de X).
Logo existe c
.
= sup X e temos que c ≤ b (pois b é é um limitante superior de X).
Da defini¸cão de supremo, dado ε 0 existe x ∈ X ⊆ A tal que
c − ε x ≤ c,

5.2. PROPRIEDADES GERAIS DE CONJUNTOS CONEXOS 169
ou ainda, para todo ε 0 temos que
B(c; ε) ∩ A = ∅,
implicando que c ∈ ¯A.
Como A é um subconjunto fechado de R (pois Ac = R A = B que é um subconjunto aberto
de R) deveremos ter c ∈ A.
Como b ∈ B e A ∩ B = ∅ segue que c = b, logo c b (pois c ≤ b).
Como A é um subconjunto aberto de R e c ∈ A segue que existe δ 0 tal que
c + δ b e(c − δ, c + δ) = B(c; δ) ⊆ A.
Em particular, (c, c + δ) ⊆ A.
Logo todos os pontos de (c, c+δ) pertencerão a X (pois c+δ b e se x c+δ então x ∈ A).
Logo c não poderá ser o supremo de X (pois c + δ
2 ∈ X), o que é uma absurdo.
Portanto a única cisão de (R, |.|) é cisão trivial, ou seja, (R, |.|) é um espa¸co métrico conexo.
5.2 Propriedades gerais de conjuntos conexos
Come¸caremos pela
Proposi¸cão 5.2.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N cont´ınua em M.
Se (M, dM ) é conexo então (f(M), dN ) será um espa¸co métrico conexo.
Demonstra¸cão:
Consideremos primeiramente o caso em que f é sobrejetora (isto é, N = f(M)).
Consideremos N = A ∪ B uma cisão de N. (*)
Como A, B ⊆ N são subconjuntos abertos em N e f é uma fun¸cão cont´ınua em M segue
que f−1(A), f−1(B) ⊆ M são subconjuntos abertos em M.
Além disso, como N = A ∪ B teremos
M = f−1
(A) ∪ f−1
(B),
ou seja, uma cisão de M.
Como M é conexo segue que esta cisão deve ser a trivial, isto é,
(i) ou f−1(A) = ∅ e f−1(B) = M;
(ii) ou f−1(A) = M e f−1(B) = ∅.
Deste modo, se (i) ocorrer, como f é sobrejetora, concluimos que B = f(M) = N e assim
A = ∅.
De modo semelhante, se (ii) ocorrer, como f é sobrejetora, concluimos que A = f(M) = N
e assim B = ∅.
Em qualquer um dos casos temos que a cisão (*) de N será a trivial, ou seja, N = f(M)
será conexo.
Se f é cont´ınua em M e não for sobrejetora, então temos que f : M → f(M) será cont´ınua
em M e sobrejetora.
Neste caso, pelo que acabamos de ver, teremos que (f(M), dN ) será conexo.

Observa¸cão 5.2.1 Resumindo: a imagem de um conexo por uma aplica¸cão cont´ınua será um
conjunto conexo.
Corolário 5.2.1 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico conexo e (N, dN ) homeomorfo a (M, dM ).
Então (N, dN ) será um espa¸co métrico conexo.
Demonstra¸cão:
Se N é homeomorfo a M então existe f : M → N um homeomorfismo de M em N.
Em particular, N = f(M) e como M é conexo e f é cont´ınua em M segue, da proposi¸cão
(5.2.1) que N será conexo.
Observa¸cão 5.2.2 Conclusão: todo espa¸co métrico homeomorfo a um espa¸co métrico conexo
também será conexo.
Com isto temos os seguintes exemplos:
Exemplo 5.2.1 Todo intervalo aberto de (R, |.|) é conexo.
De fato, pois vimos na observa¸cão (3.3.6) item 1., 2. e 3., todo intervalo aberto de R é
homeomorfo a R.
Mas (R, |.|) é conexo.
Logo, do corolário acima segue, que todo intervalo aberto de R é conexo.
Exemplo 5.2.2 Consideremos S1 .
= {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} munido da métrica usual de
R2 e R munido da métrica usual.
A aplica¸cão
f : R → R2
dada por
f(t)
.
= (cos(t), sen(t)), t ∈ R
é cont´ınua em R (pois suas componentes são cont´ınuas me R) e S1 = f(R).
Logo f : R → S1 é cont´ınua em R e sobrejetora.
T
E
f
T
E
f(t) = (cos(t), sen(t))
t
”
1
I
S1
Como R é conexo, segue da proposi¸cão (5.2.1), que S1 será conexo.

Um outro resultado importante é dado pela
Proposi¸cão 5.2.2 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico conexo.
Então M é conexo.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, primeiramente, que X ⊆ M é um conjunto conexo é tal que X = M, ou seja,
X é denso em M.
Mostremos que, neste caso, M será conexo.
Para isto, consideremos
M = A ∪ B (∗)
uma cisão de M.
Com isto temos que
X = (A ∩ X) ∪ (B ∩ X)
será um cisão de X (pois se A, B são subconjuntos abertos disjuntos de M então A ∩ X e A ∩ Y
também serão subconjuntos abertos disjuntos de X).
Mas, X é conexo, logo
ou A ∩ X = ∅ ou B ∩ X = ∅. (∗)
Afirmamos que, como X é denso em M deveremos ter
A = ∅ ou B = ∅.
De fato, suponhamos, por absurdo, que A = ∅ e B = ∅, ou seja, existem a ∈ A e b ∈ B.
Como A e B são abertos temos que existem ra, rb 0 tais que
B(a; ra) ⊆ A e B(b; rb) ⊆ B. (∗∗)
Mas X é denso em M, logo
B(a; ra) ∩ X = ∅ e B(b; rb) ∩ X = ∅. (∗ ∗ ∗)
Logo de (**) e (***) teremos que
A ∩ X = ∅ e B ∩ X = ∅
o que contraria (*), logo um absurdo.
Logo, da afirma¸cão acima, segue que a cisão (*) de M = X deverá ser a cisão trivial, ou
seja, M = X é conexo.
Se M é conexo, como M é denso em M, segue que, do caso anteior, que M é conexo, como
quer´ıamos mostrar.
Exemplo 5.2.3 Sejam R munido da métrica usual, a, b ∈ R, a b.
Então, do exemplo (5.2.1) e da proposi¸cão acima segue que [a, b] = (a, b) é conexo em R.
21.10.2008 - 22.a

Corolário 5.2.2 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, X, Y ⊆ M tais que X ⊆ Y ⊆ ¯X (= X
M
).
Se X é conexo então Y será conexo.
Resolu¸cão:
Observemos que, da proposi¸cão (4.4.7), segue que o fecho do conjunto X no subespa¸co Y
será
X
Y
= X
M
∩ Y
[Y ⊆X
M
]
= Y.
Logo X é denso em Y e portanto, pela proposi¸cão acima, Y deverá ser conexo.
Exemplo 5.2.4 Sejam R munido da métrica usual, a, b ∈ R, a b.
Temos que
(a, b) ⊆ (a, b] ⊆ [a, b] = (a, b)
Então, dos exemplos (5.2.1), (5.2.5) e do corlário acima temos que (a, b] é conexo em R.
De modo semelhante temos que [a, b) é conexo em R.
Exerc´ıcio 5.2.1 Podemos mostrar que S1 ⊆ R2 é conexo utilizando um argumento diferente do
exemplo (5.2.2).
Para isto, consideremos p
.
= (0, 1) e X
.
= S1 {p}.
Sabemos que X é homeomorfo à reta R, munido da métrica usual (um homeomorfismo é
dado pela proje¸cão estereográfica, ver exemplo (3.3.5)).
Como R é conexo segue do corolário (5.2.1) que S1 {p} é conexo.
Afirmamos que ¯X = S1.
De fato, pois como S1 é fechado em R2 e X ⊆ S1 segue que ¯X ⊆ ¯S1 = S1, isto é, ¯X ⊆ S1.
Para mostrar que S1 ⊆ ¯X basta mostrar que p ∈ ¯X, ou seja, que o ponto p = (0, 1) não é
ponto isolado de S1 (logo deverá pertencer a ¯X).
Para mostrar isto consideremos a proje¸cão
p1 : S1
+
.
= {(x, y) ∈ S1
: y 0} → (−1, 1)
dada por
p1(x, y)
.
= x, (x, y) ∈ S1
+
(p1 é a proje¸cão da semi-circunferência superior, S1
+, sobre o intervalo (−1, 1); veja figura
abaixo).
E
T
−1 1
(x, y) ∈ S1
+
x = p1(x, y)
p = (0, 1)
0

Observemos que p1 será um homeomorfismo (a verifica¸cão deste fato será deixado como
exerc´ıcio para o leitor) e p1(p) = 0.
Como 0 não é ponto isolado de (−1, 1) (munido da métrica induzida pela métrica usual de
R) segue (pelo homeomorfismo p1) que p não será ponto isolado de S1
+, e portanto de S1, como
afirmamos.
Finalmente, o corolário (5.2.2) implica que S1 = X será conexo.
1. Seja u ∈ S1.
Podemos definir uma proje¸cão estereográfoca,
Πu : S1
{u} → R
(mesmo que u = p = (0, 1), isto é, u não sendo o polo norte de S1).
Para isto basta lembra que a rota¸cão de um ângulo θ, rθ, (o ângulo entre os vetores Op e
Ou) é um homeomorfismo e assim
Πu = Π ◦ rθ,
onde Π é a proje¸cão estereográfica do exemplo (3.3.5) (veja figura abaixo).
E
T
u
E
rθ
θ
(0, 1)
E
T
p = rθ(u)
c
Π proje¸cão estereográfica
E R
~
Πu = Π ◦ rθ
Logo temos que S1 {u} será conexo.
2. Sejam u, v ∈ S1, u = v.
Afirmamos que S1 {u, v} não é conexo.
De fato, seja
ax + by = c
a equa¸cão da reta que passa pelos pontos (distintos) u e v.
Consideremos
X
.
= {(x, y) ∈ S1
: ax + by c} e Y
.
= {(x, y) ∈ S1
: ax + by c}.

E
T
u ∈ S1
v∈
S1
c
ax + by = c
A
B
Consideremos em R2 e R as métricas usuais.
Então a fun¸cão f : R2 → R dada por
f(x, y)
.
= ax + by, (x, y) ∈ R2
é cont´ınua em R2 (pois é uma fun¸cão linear).
Como (c, ∞) e (−∞, c) são subconjuntos abertos de R segue que
X = f−1
((c, ∞)) e Y = f−1
((−∞, c))
são subconjutos abertos de R2 e são não vazios (pois u = v).
Logo
A
.
= X ∩ S1
e B
.
= Y ∩ S1
são subconjutos abertos de S1, são não vazios e
S1
{u, v} = A ∪ B,
ou seja, uma cisão não trivial de S1 {u, v}.
Portanto S1 {u, v} não é conexo.
3. Conclusão: S1, S1 {u} são subconjuntos conexos de R2 e X ⊆ S1 contém mais de um
ponto então S1 X não é um subconjunto conexo de R2.
Um outro exemplo importante é
Exemplo 5.2.5 Seja
X
.
= {(x, y) ∈ R2
: x 0, y = cos(
1
x
)}
(munido da métrica usual de R2) o gráfico da fun¸cão
f : (0, ∞) → R
dada por
f(x)
.
= cos(
1
x
), x ∈ (0, ∞).

Como f é cont´ınua em (0, ∞) (munido da métrica usual de R), a proposi¸cão (3.3.5) garante
X é homeomorfo a (0, ∞).
Como (0, ∞) é conexo segue, do corolário (5.2.1), que X é conexo (veja figura abaixo).
E
T
−1
1
(x, cos( 1
x
))
“
x = 2
(2K+1)π
Seja J
.
= {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}.
Afirmamos que todo ponto de J é ponto aderente X, ou seja, J ⊆ ¯X (vide figura abaixo).
E
T
−1
1
s
J
sε
}
(x, cos( 1
x
))
Logo se T ⊆ J temos que X ⊆ X ∪ T ⊆ ¯X.
Como X e ¯X são conexos, segue do corolário (5.2.2), que se T ⊆ J então X ∪T será conexo.
Observa¸cão 5.2.4 O exemplo acima nos diz que X ∪ J é conexo apesar de não ser formado
por um único ”peda¸co”(a saber, X e J que são disjuntos) contrariando a nossa intui¸cão.
Temos a
Proposi¸cão 5.2.3 Seja (Xλ)λ∈L uma fam´ılia de subconjuntos conexos de um espa¸co métrico
(M, dM ).

Suponhamos que
λ∈L
Xλ = ∅.
Então
X
.
=
λ∈L
Xλ (∗)
será um conjunto conexo.
Demonstra¸cão:
Sejam a ∈
λ∈L
Xλ e
λ∈L
Xλ = X = A ∪ B (∗∗)
uma cisão de X.
Logo a ∈ A ou a ∈ B.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que a ∈ A.
Observemos que para todo λ ∈ L temos que
A ∩ Xλ e B ∩ Xλ
são subconjuntos abertos em Xλ.
Para cada λ ∈ L, temos, por (*), que
Xλ = X ∩ Xλ = (A ∪ B) ∩ Xλ = (A ∩ Xλ) ∪ (B ∩ Xλ),
isto é,
Xλ = (A ∩ Xλ) ∪ (B ∩ Xλ)
é uma cisão de Xλ.
Como Xλ é conexo segue que
ou A ∩ Xλ = ∅ ou B ∩ Xλ = ∅.
Como para todo λ ∈ L temos que a ∈ (A ∩ Xλ) segue que B ∩ Xλ = ∅ para todo λ ∈ L.
Mas
B = X ∩ B
(∗)
= [
λ∈L
Xλ] ∩ B) =
λ∈L
(Xλ ∩ B) = ∅,
ou seja, B = ∅ implicando que a cisão (**) de X é a cisão trivial.
Portanto X é conexo.
Corolário 5.2.3 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico.
Um condi¸cão necessária e suficiente para que M seja conexo é que dois pontos quaisquer
a, b ∈ M estejam contidos em um mesmo subconjunto conexo Mab ⊆ M.
Demonstra¸cão:
Se M é conexo e a, b ∈ M então tomamos Mab
.
= M.
Reciprocamente, se dois pontos quaisquer a, b ∈ M estão contidos em um mesmo subconjunto
conexo Mab ⊆ M então fixado a ∈ M temos que para todo b ∈ M existe Mab, conexo, tal que
a, b ∈ Mab.

Logo
M =
b∈M
Mab
e
a ∈
b∈M
Mab,
ou seja,
b∈M
Mab = ∅.
Logo da proposi¸cão acima segue que
M =
b∈M
Mab
será um conjunto conexo completando a demonstra¸cão.
Como conseqüência deste temos o
Corolário 5.2.4 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado.
Então E é conexo.
Demonstra¸cão:
Para a ∈ E fixado consideremos b ∈ E, b = a.
Deste modo temos que a reta em E
Xa b
.
= {a + t(b − a) : t ∈ R}
é homeomrofa a R (basta considerar f : R → Xa b
dada por f(t)
.
= a + t(b − a), t ∈ R e
mostrar que esta é cont´ınua, bijetora e sua inversa também será cont´ınua; isto será deixado
como exerc´ıcio para o leitor).
a
b
Xab
Como R é conexo segue, do corolário (5.2.1), que Xa b
é conexo para cada b ∈ E, b = a.
Observemos que a ∈ Xa b
para todo b ∈ E, b = a.
Logo, do corolário (5.2.3) segue que
b∈E, b=a
Xa b
será conexo.

Mas
E =
b∈E, b=a
Xa b
,
pois se c ∈ E e c = a ∈ Xab
para todo b ∈ E e se c = a então c = a + 1[c − a], ou seja c ∈ Xa c.
Portanto E é conexo.
Também seguem os
Corolário 5.2.5 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado, a ∈ E e r 0.
Então B(a; r) é um conjunto conexo.
Demonstra¸cão:
Lembremos que, da proposi¸cão (3.3.4), B(a; r) é homeomorfa a E.
Do corolário acima temos que E é conexo.
Logo, do corolário (5.2.1), segue que B(a; r) também será um conjunto conexo.
Corolário 5.2.6 Sejam (E, . E) um espa¸co vetorial normado, a ∈ E e r 0.
Então B[a; r] é um conjunto conexo.
Demonstra¸cão:
Do corolário acima temos que B(a; r) é um conjunto conexo.
Logo, da proposi¸cão (5.2.2), segue que B(a; r) é um conjunto conexo.
Mas B[a; r] = B(a; r) e portanto será um conjunto conexo.
Com isto temos o
Corolário 5.2.7 Seja Rn espa¸co vetorial munido do produto interno usual.
Então Sn = {x ∈ Rn+1 : x, x = 1 é um conjunto conexo.
Demonstra¸cão:
De fato, sabemos, do corolário acima, que a bola fechada B[0; 1] é um conjunto conexo.
Sabemos que
Sn
= Sn
+ ∪ Sn
−
onde
Sn
+
.
= {x ∈ Sn
: xn+1 ≥ 0} e Sn
−
.
= {x ∈ Sn
: xn+1 ≤ 0},
onde x = (x1, · · · , xn, xn+1), ou seja, os hemisférios norte e sul, respectivamente se Sn .
No caso n = 2, geometricamente temos

%
‰
Sn
−
Sn
+
A proje¸cão
p+ : Sn
+ → Rn
dada por
p+(x1, · · · , xn, xn+1)
.
= (x1, · · · , xn)
é um homeomorfismo de Sn
+ em B[0; 1] (a fun¸cão inversa será dada por
y = (y1, · · · , yn) → (y1, · · · , yn, 1 − y 2)
e assim cont´ınua em B[0; 1]; a verifica¸cão deste fato será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
A figura abaixo ilustra a situa¸cão no caso n = 2
Sn
+
a
E
T
©
Rn
R
X1
De modo semelhante temos que a a proje¸cão
p− : Sn
− → Rn
dada por
p−(x1, · · · , xn, xn+1)
.
= (x1, · · · , xn)
é um homeomorfismo de Sn
− em B[0; 1] (a fun¸cão inversa será dada por
y = (y1, · · · , yn) → (y1, · · · , yn, − 1 − y 2)

e assim cont´ınua em B[0; 1]; a verifica¸cão deste fato será deixado como exerc´ıcio para o leitor).
Como B[0; 1] é conexa segue, do corolário (5.2.1), que Sn
+ e Sn
− são conexos.
Mas (1, 0, · · · ) ∈ Sn
+ ∩ Sn
−.
Logo, o corolário (5.2.3), implicará que Sn = Sn
+ ∪ Sn
− será um conjunto conexo.
Temos o
Proposi¸cão 5.2.4 Sejam (M1, d1), (M2, d2) espa¸co métricos e M1 × M2 com uma das três
métricas usuais.
Então M1 × M2 é conexo se, e somente se, Mi é conexo para todo i = 1, 2.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que M1 × M2 é conexo.
Sabemos que para cada i = 1, 2 a proje¸cão
pi : M1 × · · · × Mn → Mi
dada por
pi(x1, x2)
.
= xi, (x1, x2) ∈ M1 × M2
é uma aplica¸cão cont´ınua em M1 × M2.
Assim, como M1 × M2 é conexo, segue da proposi¸cão (5.2.1), que
Mi = pi(M1 × M2)
é conexo para cada i = 1, 2.
Reciprocamente, suponhamos que M1 e M2 são conexos.
Seja a
.
= (a1, a2) ∈ M1 × M2.
Para cada x = (x1, x2) ∈ M1 × M2 temos que os conjuntos
M1 × {a2} e {x1} × M2
são conexos (pois são homeomorfos a M1 e M2, respectivamente; os homeomorfismos serão as
restri¸cões a M1 × {a2} ou a {x1} × M2 das proje¸cões de M1 × M2 sobre M1 ou sobre M2,
respectivamente).
Como
(x1, a2) ∈ [M1 × {a2}] ∩ [{x1} × M2],
segue, da proposi¸cão (5.2.3), que
x ∈ Cx = (M1 × {a2}) ∪ ({x1} × M2)
é conexo.
Observemos que
a = (a1, a2) ∈ Cx, para todo x ∈ M1 × M2
e que
M1 × M2 =
x∈M1×M2
Cx.

M1
M2
M1 × M2
x1
a2
M1 × {a2}
{x1} × M2
a
)
a = (a1, a2)
x = (x1, x2)
Assim, da proposi¸cão (5.2.3), segue que M1 × M2 será conexo, como quer´ıamos mostrar.
Com isto temos o
Corolário 5.2.8 Sejam (M1, d1), · · · , (Mn, dn) espa¸co métricos e M1 × · · · × Mn com uma das
três métricas usuais.
Então M1 × · · · × Mn é conexo se, e somente se, Mi é conexo para todo i = 1, · · · , n.
Demonstra¸cão:
A demonstra¸cão é feita por indu¸cão e será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Do corolário (5.2.4) temos que Rn é conexo.
Um outro modo de obter isto é utilizando o corolário acima.
Corolário 5.2.9 O Rn, munido de uma das três métricas usuais, é conexo.
Demonstra¸cão:
Sabemos que R é conexo logo, da proposi¸cão acima, segue que Rn = R × · · · × R
n−fatores
será conexo.
23.10.2008 - 23.a
Exemplo 5.2.6 Consideremos o cilindro em R3,
C
.
= {(x, y, z) ∈ R3
: x2 + y2
= 1}
munido da métrica induzida por uma das métricas usuais de R3.
Afirmamos que C é conexo.
De fato, C é homeomorfo ao produto cartesiano S1 × R.
Para ver isto, basta verificar que (veja figura abaixo)
h : C → S1
× R
dada por
h(x, y, z)
.
= ((x, y), z), (x, y, z) ∈ C
é um homeomorfismo (será deixado como exerc´ıcio a verifica¸cão deste fato pelo leitor).

C
E ×
S1
R
h
T
E
o1
(x, y, z)
(x, y)
z
Como S1 e R são conexos segue, da proposi¸cão (5.2.4), que S1 × R será conexo e portanto,
do corolário (5.2.1), temos que C é conexo.
Exemplo 5.2.7 Sejam n ≥ 2, Rn, munido de uma das três métricas usuais, e p ∈ Rn.
Então Rn {p} é conexo.
De fato, observemos que Rn {p} é homeomorfo a Rn {0} .
Para ver isto, basta considerar a transla¸cão
Tp : Rn
→ Rn
dada por
Tp(x)
.
= x − p, x ∈ Rn
{p}
que é uma isometria, logo um homeomorfismo e como Tp(p) = 0, segue que a restri¸cão de Tp a
Rn {p} será um homeomorfismo de Rn {p} em Rn {0}, ou seja, Rn {p} é homeomorfo a
Rn {0} (ver figura abaixo).
E
T
E
T
E
p
0 = Tp(p)
Tp
Logo, pelo corolário (5.2.1) basta mostrar que Rn {0} é conexo.
Para isto consideremos a aplica¸cão (veja figura abaixo o caso n = 2)
h : Sn
× (0, ∞) → Rn
{0}
dada por
h(x, t)
.
= t.x, (x, t) ∈ Sn
× (0, ∞)

que é um homeomorfismo de Sn × R em Rn {0}.
Sua fun¸cão inversa é dada por
k : Rn
{0} → Sn
× (0, ∞)
dada por
k(z)
.
= (
z
z
, z ), z ∈ Rn
{0}.
T
×
x
t
E
h
T
E
t.x
R2
{0}
Um outro resultado importante é dado pela
Proposi¸cão 5.2.5 Consideremos R com a métrica usual.
Um subconjunto A da reta é conexo se, e somente se, A é um intervalo da reta R.
Demonstra¸cão:
O exemplo (5.2.1) mostra que um intervalo aberto é conexo.
Assim, da proposi¸cão (5.2.2), segue que um intervalo fechado também será conexo.
Com isto o corolário (5.2.2) implicará que todo intervalo semi-fechado à direita ou à esquerda
também será conexo.
Reciprocamente, se A ⊆ R é conexo.
Mostremos que ele deverá ser um intervalo, isto é, se a, b ∈ A e c ∈ R é tal que a c b
então deveremos ter c ∈ A.
Suponhamos, por absurdo, que isto não ocorra, isto é, existe c ∈ R tal que
a c b e c ∈ A.
Então temos que
A = [A ∩ (−∞, c)] ∪ [A ∩ (c, ∞)],
ou seja, uma cisão de A (observemos que A ∩ (−∞, c) e A ∩ (c, ∞) são abertos em A).
Mas esta cisão não é trivial pois a ∈ A ∩ (−∞, c) (pois a ∈ A e a c) e b ∈ A ∩ (c, ∞) (pois
b ∈ A e c b) o que é um absurdo, pois A é conexo.
Assim A deverá ser um intervalo de R.

Corolário 5.2.10 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico conexo, R munido da métrica usual e
f : M → R cont´ınua em M.
Então f(M) ⊆ R é um intervalo de R.
Demonstra¸cão:
Da proposi¸cão (5.2.1) temos que f(M) é um subconjunto conexo de R.
Portanto, da proposi¸cão acima, segue que f(M) é um intervalo de R.
Outra conseqüência importante é
Corolário 5.2.11 Sejam [a, b] munido da métrica induzida pela métrica usual de R e R com a
métrica usual.
Suponhamos que f : [a, b] → R é cont´ınua em [a, b] com f(a) f(b) e d ∈ (f(a), f(b)).
Então existe c ∈ (a, b) tal ue f(c) = d.
Vale o mesmo se f(b) f(a).
Demonstra¸cão:
Como [a, b] é conexo em R, do corolário acima, que f([a, b]) é um intervalo de R.
Em particular,
(f(a), f(b)) ⊆ f([a, b]).
Como
d ∈ (f(a), f(b)) ⊆ f([a, b])
segue que existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.
Observemos que
c = a, pois f(a) d = f(c), e c = b, pois f(c) = d f(b).
Logo existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d, como quer´ıamos mostrar.
1. O resultado acima é conhecido como Teorema do Valor Intermediário.
Ele nos dá condi¸cões suficientes para que um ponto esteja no conjunto imagem de uma
fun¸cão real, cont´ınua, definida em um intervalo fechado e limitado (a saber, que o ponto
perten¸ca ao intervalo (f(a), f(b)) ou (f(b), f(a))).
2. De outro modo o Teorema do Valor Intermediário nos condi¸cões suficientes para que a
equa¸cão
f(x) = d
tenha, pelo menos, uma solu¸cão x ∈ (a, b) se fun¸cão real f for cont´ınua e definida em um
intervalo fechado e limitado de R.
Como conseqüência do Teorema do Valor Intermediário temos o
Corolário 5.2.12 Seja p : R → R um polinômio de grau ´ımpar n, isto é,
p(t) = a0 + a1x + · · · + anxn
, x ∈ R
com an = 0 e n ∈ N um número natural ´ımpar.
Então existe c ∈ R tal que p(c) = 0.

Demonstra¸cão:
Podemos supor, sem perda de generalidade, que an = 1 (caso contrário consideramos q(t)
.
=
1
an
p(t), t ∈ R e com isto q será um polinômio de mesmo grau que o polinômio p; além disso,
q(c) = 0 se, e somente se, p(c) = 0, c ∈ R).
Mostremos que existem x1, x2 ∈ R tais que x1 x2 e
p(x1) 0 p(x2). (∗)
De fato, para todo x = 0 temos que
p(x) = xn
[
a0
xn
+
a1
xn−1
+ · · · +
an−1
x
+ 1]. (∗∗)
Seja
r
.
= |a0| + |a1| + · · · + |an−1| + 1.
Se |x| r ≥ 1 teremos |x|k ≥ |x| para todo k = 1, · · · , n, logo
a0
xn
+
a1
xn−1
+ · · · +
an−1
x
≤
|a0|
|x|n
+
|a1|
|x|n−1
+ · · · +
|an−1|
|x|
[|x|k≥|x|,k=1,··· ,n]
≤
|a0|
|x|
+
|a1|
|x|
+ · · · +
|an−1|
|x|
=
r
|x|
1.
Assim quando |x| r ≥ 1 temos que
|
a0
xn
+
a1
xn−1
+ · · · +
an−1
x
| 1
ou seja,
−1
a0
xn
+
a1
xn−1
+ · · · +
an−1
x
1, |x| r ≥ 1.
Portanto
0
a0
xn
+
a1
xn−1
+ · · · +
an−1
x
+ 1, |x| r ≥ 1.
Portanto, para |x| r ≥ 1, de (*), segue que p(x) tem o mesmo sinal de xn.
Como n ´ımpar segue que xn assume valores positivos em (0, ∞) (em particular, se x r ≥ 1)
e negativos em (−∞, 0) (em particular, se x −r ≤ −1).
Logo p(x) assume valores positivos para x r ≥ 1 e negativos em x −r ≤ −1, em
particular, p(r + 1) 0 e p(−1 − r) 0 (pois r + 1 r e −1 − r −r) , ou seja,
p(−1 − r) 0 p(r + 1).
Portanto, do Teorema do Valor Intermediário, segue que existe c ∈ (−1 − r, r + 1) tal que
p(c) = 0, como quer´ıamos mostrar.
Observa¸cão 5.2.6 O resultado acima nos diz que todo polinômio com coeficientes reais de grau
´ımpar possui, pelo menos, uma raiz real.
A seguir faremos uma aplica¸cão to Teorema do Valor Intermediário para caracterizar home-
morfismos entre intervalos da reta R.
Antes temos a

Defini¸cão 5.2.1 Seja X ⊆ R, X = ∅ e f : X → R.
Diremos que a fun¸cão f é crescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x y temos
f(x) f(x).
Diremos que a fun¸cão f é não decrescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x y
temos f(x) ≤ f(x).
Diremos que a fun¸cão f é decrescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x y temos
f(x) f(x).
Diremos que a fun¸cão f é não crescente em X se para x, y ∈ X satisfazendo x y temos
f(x) ≥ f(x).
Diremos que a fun¸cão f é monótona em X se ela for de um dos tipos acima.
Com isto temos a
Proposi¸cão 5.2.6 Sejam R, munido da métrica usual, X ⊆ R, X = ∅, munido da métrica
induzida pela métrica usual de R e f : X → R monótona.
Se f(X) ⊆ R é densa em um intervalo J ⊆ R então a fun¸cão f será cont´ınua em X.
Demonstra¸cão:
Faremos a demonstra¸cão para o caso em que f é não decrescente.
Os outros casos será deixados como exerc´ıcio para o leitor.
Sabemos que f(X) = J, onde J é um intervalo de R, em particular, f(X) ⊆ J.
Seja a ∈ X.
Mostremos que a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a.
Para isto, suponhamos, primeiramente, que f(a) ∈ int(J).
Como f(a) ∈ int(J) segue existe δ 0 tal que
(f(a) − δ, f(a) + δ) ⊆ J.
Tomando-se b ∈ (f(a) − δ, f(a)) ⊆ J, como f(X) = J dado ε 0, existe y1 ∈ f(X) tal que
(ver figura abaixo)
f(a) − ε y1 f(a).
f(a) − δ f(a)b y1
De modo semelhante se tomarmos c ∈ (f(a), f(a) + δ) ⊆ J, como f(X) = J dado ε 0,
existe y2 ∈ f(X) tal que
f(a) y2 f(a) + ε,
logo dado ε 0, existem y1, y2 ∈ f(X) tais que
f(a) − ε y1 f(a) y2 f(a) + ε. (∗)
Para ilustrar veja figura abaixo
f(a) f(a) + εf(a) − ε
y1
y2

Sejam x1, x2 ∈ X tais que f(x1) = y1 e f(x2) = y2.
Como f é não decrescente deveremos ter
x1 a x2,
pois f(x1) = y1 f(a) y2 = f(x2).
Seja δ
.
= min{a − x1, x2 − a} 0.
Então se x ∈ X e |x − a| δ teremos que
−δ x − a δ,
ou seja,
−(a − x1) x − a x2 − a
implicando que
x1 x x2.
Como f é não decrescente segue que
y1 = f(x1) f(x) f(x2) = y2.
Mas de (*) segue que
f(a) − ε y1 f(x) y2 f(a) + ε,
ou seja,
|f(x) − f(a)| ε,
implicando que f é cont´ınua no ponto a.
Suponhamos que f(a) é o extremos superior do intervalo J.
Como f é não decrescente e f(X) ⊆ J temos que se x ∈ X e a x deveremos ter
f(a) ≤ f(x) ≤ f(a),
ou seja,
f(x) = f(a) (∗∗).
Como f(X) = J e f(a) é extremos superior do intervalo J, dado ε 0, segue que existe
y1 ∈ f(X) tal que
f(a) − ε y1 f(a). (∗ ∗ ∗)
Seja x1 ∈ X tal que f(x1) = y1.
Como
f(x1) = y1 f(a)
e f é não decrescente segue que
x1 a,
caso contrário dever´ıamos ter
y1 = f(x1) ≥ f(a)
o que seria um absurdo.
Seja δ
.
= a − x1 0.
Logo se x ∈ X e |x − a| δ teremos que
−δ x − a δ,

ou seja,
−(a − x1) x − a a − x1,
isto é, x1 x e assim f(x1) ≤ f(x) e, de (**), temos que f(x) ≤ f(a).
Assim y1 = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(a).
Portanto de (***) teremos
f(a) − ε y1 ≤ f(x) ≤ f(a)
ou ainda
|f(x) − f(a)| ε
O caso em que f(a) é o extremo inferior do intervalo J é tratado de modo semelhante e será
deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Observa¸cão 5.2.7 Reafirmando, o resultado acima nos diz que se f é monótona e f(X) = J,
J um intervalo de R então f será cont´ınua em X ⊆ R.
Como consequência imediata temos o
Corolário 5.2.13 Sejam R, munido da métrica usual, X ⊆ R, X = ∅, munido da métrica
induzida de R, e f : X → R monótona.
Se f(X) ⊆ R for um intervalo então f é cont´ınua em X
Vale uma certo tipo de rec´ıproca do resultado anterior, a saber:
Proposi¸cão 5.2.7 Sejam R, munido da métrica usual, I ⊆ R um intervalo de R munido da
métrica induzida de R, e f : I → R cont´ınua e injetiva em I.
Então
1. f monótona;
2. f é um homeomorfismo de I sobre o intervalo J = f(I).
Demonstra¸cão:
De 1.:
Suponhamos que I = [a, b], a b.
Como f é injetiva temos que f(a) = f(b).
Consideremos o caso em que f(a) f(b) (o caso f(a) f(b) é semelhante e será deixado
Afirmamos que f é crescente (e portanto monótona).
De fato, suponhamos, por absurdo, que f não é crescente, isto existem x, y ∈ [a, b] tais que
x y e f(y) ≤ f(x).
Como f é injetora segue que f(y) f(x).
Como f(y) = f(a) (pois a ≤ x y) temos duas possibilidades:
(i): f(a) f(y);
(ii): f(a) f(y).

No caso (i) temos que f(a) f(y) f(x).
Logo pelo Teorema do Valor Intermediário deverá existir c ∈ (a, x) tal que f(c) = f(y), ou
seja,
c x y e f(c) = f(y),
contrariando a injetividade de f.
No caso (ii) temos que f(y) f(a) f(b).
Logo pelo Teorema do Valor Intermediário deverá existir c ∈ (y, b) tal que f(c) = f(a), ou
seja,
a ≤ y c e f(c) = f(a),
contrariando a injetividade de f.
Observemos que se I é um intervalo da reta arbitrário temos que f : I → R é monótona se,
e somente se, a restri¸cão de f a cada intervalo [a, b] ⊆ I for monótona, ou seja, vale 1. .
Na verdade, se I é um intervalo da reta arbitrário temos que f : I → R é monótona
crescente se, e somente se, a restri¸cão de f a cada intervalo [a, b] ⊆ I for monótona crescente.
Vale o análogo trocando-se ”crescente” por ”decrescente”.
De 2.:
Pelo item 1. e do corolário (5.2.10) temos que f será uma bije¸cão monótona do intervalo I
no intervalo J = f(I) (pois ela é injetora em I, logo bijetora sobre J = f(I) que é um intervalo
pois f é cont´ınua no intervalo I que é conexo em R).
Observemos que a fun¸cão inversa f−1 : J → I será monótona (pois f é monótona).
Logo o corolário (5.2.13) implicará que f−1 será cont´ınua em J (pois f−1(J) = I um intervalo
de R) mostrando que f é um homeomorfismo do intervalo I sobre o intervalo J = f(I), como
quer´ıamos mostrar.
1. Existem fun¸cões monótonas injetivas e descont´ınuas em algum ponto.
Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo:
Seja R com a métrica usual e
f : R → R dada por f(x)
.
=
x + x
|x|, x = 0,
0, x = 0
.
O gráfico de f é dado pela figura abaixo:
E
T
0
y = x − 1
y = x + 1

Observemos que f é monótona (é uma fun¸cão crescente, portanto injetiva) e f(R) =
(−∞, −1) ∪ {0} ∪ (1, ∞)) logo não é um intervalo de R, logo não poderá ser cont´ınua em
R (pois se fosse cont´ınua sua imagem sria um conexo e f(R) = (−∞, −1) ∪ {0} ∪ (1, ∞)
não é um conexo da reta).
2. Existem fun¸cões bijetoras entre intervalos que são descont´ınuas.
Como um exemplo temos:
Sejam [0, 3] ⊆ R munido da métrica unduzida pela métrica usual de R e
g : [0, 3] → [0, 3] dada por g(x)
.
=



1 − x, 0 ≤ x 1
x, 1 ≤ x ≤ 2
5 − x, 2 x ≤ 3
.
O gráfico de g é dado pela figura abaixo:
E
T
1
1
2 3
2
3
y = 1 − x
y = x
y = 5 − x
Observemos que g é bijetora não é monótona e portanto não poderá ser cont´ınua (pois se
fosse cont´ınua pela proposi¸cão acima deveria ser monótona o que não é o caso).
A seguir temos
Exerc´ıcio 5.2.2 Sejam, n ∈ N, [0, ∞) ⊆ R mundio da métrica induzida pela métrica usual de
R e
f : [0, ∞) → [0, ∞) dada por f(x)
.
= xn
, x ∈ [0, ∞).
Observemos que f é cont´ınua e crecente em [0, ∞).
Da proposi¸cão (5.2.7) item 2., segue que f é um homeomorfismo sobre sua imagem f([0, ∞)
que sabemos, pelo corolário (5.2.10), ser um intervalo de R.
Utilisando-se o Binômio de Newton podemos mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o
leitor) que
(1 + y)n
≥ 1 + ny, y ≥ 0.

Logo temos que se x ≥ 1 segue que
f(x) = xn
= [1 + (x − 1)]x
≥ 1 + n(x − 1)
mostranto que f não será limitada (pois g(x) = x − 1 não é limitada em [1, ∞)).
Como f(0) = 0 podemos concluir que f([0, ∞) = [0, ∞), ou seja, f : [0, ∞) → [0, ∞) é um
homeomorfismo de [0, ∞) em [0, ∞).
Se y ∈ [0, ∞), o valor f−1(y) será denominado, raiz n-ésima de y e indicado por n
√
y.
E como vimos acima f−1 : [0, ∞) → [0, ∞) será cont´ınua em [0, ∞).
30.10.2008 - 24.a
Teorema 5.2.1 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, C, X ⊆ M munidos da métrica induzida de
M.
Se C é um subconjunto conexo e tem pontos de X e de M X então algum ponto de C
pertence a fronteira de X, isto é, C ∩ ∂X = ∅ (veja figura abaixo).
M
X
C
C ∩ X
y0
C ∩ (M X)
”
C ∩ ∂X
Demonstra¸cão:
Como C ∩ X = ∅ e C ∩ (M X) = ∅ segue que o subconjunto C ∩ X não é vazio nem é igual
a todo C assim a fronteira de C ∩ X em C é não vazia
De fato, se fosse vazia então da proposi¸cão (5.1.1) dever´ıamos ter C ∩ X = ∅ ou C ∩ X = C
(pois C é conexo e C ∩ X é um subconjunto de C que tem fronteira vazia).
A 1.a possibilidade não pode ocorrer e se a 2.a possibilidade ocorrer ter´ıamos C ⊆ X e assim
C ∩ (M X) = ∅ o que é um absurdo.
Logo existe c ∈ ∂C(C ∩ X), ou seja, existe c na fronteria de C ∩ X em C, em particular
c ∈ C.
Mostremos que c ∈ ∂X(= ∂M X) (isto é, está na fronteira de X em M).
De fato, como c ∈ ∂C(C ∩ X), dado ε 0 existem s ∈ C ∩ X ⊆ X tal que
d(s, c) ε
e t ∈ C (C ∩ X)
[exerc´ıcio]
= C X
[C⊆M]
⊆ M X tal que
d(c, t) ε.
Logo, dado ε 0 existe s ∈ X e t ∈ M X tal que s, t ∈ BM (c; ε) (veja figura abaixo).

M
C
X
c ∈ ∂(C ∩ X)
u
c
s ∈ C ∩ X
' t ∈ C (C ∩ X) = M X
Portanto c ∈ ∂X, isto é C ∩ ∂X = ∅, como quer´ıamos demonstrar.
1. O resultado acima é conhecido como Teorema da Alfândega.
2. Podemos reobter o Teorema do Valor Intermediário como uma consequência do Teorema
da Alfândega.
De fato, sejam M = C
.
= f([a, b]) com a métrica induzida pela métrica usual de R e
f; [a, b] → R é cont´ınua em [a, b] e f(a) d f(b) então tomando-se C
.
= f([a, b]).
Então sabemos que C é conexo e assim aplicando o Teorema da Alfândega a
X
.
= {x ∈ [a, b] : f(x) d} ⊆ [a, b]
obteremos que C ∩ ∂X.
Mas
∂X = {x ∈ [a, b] : f(x) = d}.
Logo existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = d.
Observemos que na verdade c ∈ (a, b) pois d ∈ (f(a), f(b).
5.3 Conexão por caminhos
Defini¸cão 5.3.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e [0, 1] munido da métrica induzida pela
métrica usual de R.
Uma aplica¸cão cont´ınua f; [0, 1] → M será denominada caminho unindo os pontos a
.
=
f(0) ao ponto b
.
= f(1).
O gráfico de f, isto é,
G(f) = {(t, f(t)) : t ∈ [0, 1]} ⊆ [0, 1] × M

5.3. CONEX ÃO POR CAMINHOS 193
será dito tra¸co do caminho f.
Os pontos a, b ∈ M serã denominados extremos do caminho, a será dito ponto inicial
(ou origem) do caminho e b ponto final (ou fim) do caminho.
Neste caso diremos que o caminho f liga o ponto a ao ponto b em M (vide figuras
abaixo).
0
1
E
f
M
a = f(0)
b = f(1)
0
1
E
f
M
a = f(0)
b = f(1)
0
1
E
f
M
a = f(0)
b = f(1)
Diremos que um caminho f : [0, 1] → M é um caminho fechado em M se a = b (isto é,
f(0) = f(1)) (vide figura abaixo).
0
1
E
f
M
a = f(0) = f(1) = b

0
1
E
f
M
a = f(0) = f(1) = b
1. Na situa¸cão acima, um exemplo de caminho trivial é o caminho constante, isto é, se a ∈ M
temos que
f : [0, 1] → M, para todo f(t) = a, 0 ≤ t ≤ 1.
2. Se f : [0, 1] → M é um caminho que une o ponto a = f(0) ao ponto b = f(1) então
f∗
: [0, 1] → M
dada por
f∗
(t)
.
= f(1 − t), t ∈ [0, 1]
também será um caminho em M (pois é composta de fun¸cões cont´ınuas) e une o ponto
f∗(0) = b ao ponto f∗(1) = a e tem o mesmo tra¸co de f (veja figura abaixo).
0
1
E
f
M
f(0) = a = f∗
(1)
f(1) = b = f∗
(0)
f∗
Logo, o caminho f∗ percorre o mesmo tra¸co que o caminho f mas percorrendo-o em sentido
contrário.
3. Suponhamos que f, g : [0, 1] → M sejam dois caminhos em M tal que f(1) = g(0) (veja
figura abaixo).
0
1
E
f, g
M
f(0)
f(1) = g(0)
g(1)

Com estes caminhos podemos construir um caminho, denominado caminho justaposto,
indicado por f ∨ g, dada por
f ∨ g : [0, 1] → M
(f ∨ g)(t)
.
=
f(2t), 0 ≤ t ≤ 1
2
g(2t − 1), 1
2 ≤ t ≤ 1
.
Observemos que f ∨ g será de fato um caminho (ou seja, uma fun¸cão cont´ınua em [0, 1]
com valores em M; vide figura abaixo).
0
1
E
f ∨ g
M
f(0) = (f ∨ g)(0) f(1) = g(0) = (f ∨ g)( 1
2
)
g(1) = (f ∨ g)(1)
1
2
t
f(2t)
s
g(2s − 1)
Ou seja, o caminho f ∨ g tem o mesmo tra¸co que a reunião dos tra¸cos dos caminhos f e
g.
4. Se existir uma caminho em M unindo o ponto a ao ponto b escreveremos
a ∼ b.
Neste caso, pelo que vimos nos itens 1., 2. e 3. acima, temos que ∼ tem as propriedades
reflexiva, simétrica e transitiva.
Defini¸cão 5.3.2 Sejam E um espa¸co vetorial e a, b ∈ E.
Definimos o segmento de reta [a, b] como sendo o seguinte subconjunto de E
[a, b]
.
= {(1 − t)a + tb : 0 ≤ t ≤ 1}.
a
b
(1 − t)a + tb
E

1. Observemos que
[a, b] = {(1 − t)a + tb : 0 ≤ t ≤ 1} = {a + t(b − a) : 0 ≤ t ≤ 1}
logo está contido na reta que contém o ponto a e tem a dire¸cão do vetor b − a.
2. Se (E, . ) é um espa¸co vetorial normado e a, b ∈ E então o segmento de reta é o tra¸co
do caminho
f : [0, 1] → E, dada por f(t)
.
= (1 − t)a + tb, 0 ≤ t ≤ t ≤ 1,
e será denominado caminho retil´ıneo em E de extremos a e b (isto é, [a, b] = f([0, 1]);
ver figura abaixo).
a
b
f(t) = (1 − t)a + tb
E
E
0
1
f
Com isto temos a
Defini¸cão 5.3.3 Sejam (E, . ) é um espa¸co vetorial normado e X ⊆ E.
Diremos X é um subconjunto convexo de E se dados a, b ∈ X temos que
[a, b] ⊆ X.
Observa¸cão 5.3.3 Na situa¸cão acima, X ⊆ E é convexo se, e somente se, o segmento de reta
que une dois pontos de X está contido em X (ver figura abaixo).
X
a
b
Convexo
X
a b
T
∈ X
Não Convexo

Temos a
Proposi¸cão 5.3.1 Sejam (E, . E), (F, . F ) espa¸cos vetoriais normados e X ⊆ E e Y ⊆ F
subconjuntos convexos.
Então X ×Y é um subconjunto convexo de E ×F (munido de uma das três normas usuais).
Demonstra¸cão:
De fato, se z = (x, y), z = (x , y ) ∈ X × Y então x, x ∈ X e y, y ∈ Y .
Como X e Y são convexos em E e F, respectivamente, e temos que
(1 − t)x + tx ∈ X, (1 − t)y + ty ∈ Y, 0 ≤ t ≤ 1.
Logo
(1 − t)z + tz = (1 − t)(x, y) + t(x , y ) = ((1 − t)x + tx , (1 − t)y + ty ) ∈ X × Y
para todo t ∈ [0, 1], mostrando que X × Y será convexo em E × F.
Temos também
Proposi¸cão 5.3.2 Sejam (E, . E) espa¸co vetorial normado e X, Y ⊆ E subconjuntos convexos
de E.
Então X ∩ Y é um subconjunto convexo de E.
Demonstra¸cão:
De fato, se x, y ∈ X ∩ Y então x, y ∈ X e x, y ∈ Y .
Como X e Y são convexos em E temos que
(1 − t)x + ty ∈ X, (1 − t)x + ty ∈ Y, 0 ≤ t ≤ 1,
ou seja,
(1 − t)x + ty ∈ X ∩ Y,
mostrando que X ∩ Y será convexo em E.
1. A reunião de dois subconjuntos convexos em um espa¸co vetorial normado (E, . E) pode
não ser um subconjunto convexo de E, como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos R2 munido da métrica usual, X
.
= [0, 1] × {(0, 0)} e Y
.
= {(0, 0)} × [0, 1]
que são subconjuntos convexos de R2 (a verifica¸cão deste fato será deixada como exerc´ıcio
para o leitor).]
Mas X ∪ Y = [0, 1] × {(0, 0)} ∪ {(0, 0)} × [0, 1] não é convexo (pois, a
.
= (1
2 , 0) ∈ X,
b
.
= (0, 1
2 , 0) ∈ Y mas para todo t ∈ (0, 1) temos que (1 − t)a + tb ∈ X ∪ Y (veja figura
abaixo).

(0, 0)
{(0, 0)} × [0, 1]
[0, 1] × {(0, 0)}
(0, 1
2
)
( 1
2
, 0)
(1 − t)a + tb ∈ X ∪ Y
2. Sob que condi¸cões necessárias e suficientes a reunião de dois conjuntos convexos será um
conjunto convexo?
A seguir temos o seguinte exemplo importante de subconjuntos convexos em um espa¸co
vetorial normado.
Exemplo 5.3.1 Sejam (E, . E) espa¸co vetorial normado, a ∈ E e r 0.
Então B(a; r) é um subconjunto convexo de E.
De fato, se x, y ∈ B(a; r) então
x − a r e y − a r. (∗)
Se t ∈ [0, 1] mostremos que
(1 − t)x + ty ∈ B(a; r).
Para ver isto, observemos que
[(1 − t)x + ty] − a
[a=(1−t)a+ta]
= [(1 − t)x + ty] − [(1 − t)a + ta]
= (1 − t)[x − a] + t[y − a] ≤ (1 − t)[x − a] + t[y − a]
= |(1 − t)| x − a + |t| [y − a]
[(∗)]
(1 − t)r + tr = r,
ou seja, (1 − t)x + ty ∈ B(a; r) para todo t ∈ [0, 1], mostrando que B(a; r) é um subconjunto
convexo de E.
Observa¸cão 5.3.5 De modo semelhante mostra-se que B[a; r] também é um subconjunto con-
vexo de E.
Isto será deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Defini¸cão 5.3.4 Um espa¸co métrico (M, dM ) será dito conexo por caminhos se dois pontos
quaisquer de M podem ser unidos por um caminho contido em M.
Diremos que X ⊆ M conexo por caminhos se o subespa¸co métrico (X, dM ) tem essa
propriedade.
Observa¸cão 5.3.6 Se (E, . ) é um espa¸co vetorial normado então todo subconjunto convexo,
X, de E é conexo por caminhos (pois dados dois pontos de X o segmento de reta que os une é
um caminho unindo os dois pontos e está contido em X).
Em particular, toda bola aberta (ou fechada) em um espa¸co vetorial normado é um subcon-
junto conexo por caminhos.

Temos o seguinte resultado
Proposi¸cão 5.3.3 Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Se M é conexo por caminhos então M será conexo.
Demonstra¸cão:
Observemos que se a, b ∈ M então existe um caminho, em M, unindo o ponto a ao ponto b,
ou seja, existe f : [0, 1] → M tal que f(0) = a e f(1) = b.
Como [0, 1] é conexo em R e f é cont´ınua em [0, 1] segue que f([0, 1]) ⊆ M será conexo em
M.
Conclusão, dados dois pontos de M existe um conexo em M (Xab
.
= f([0, 1])) que contém os
dois pontos.
Logo do corolário (5.2.3) segue que M será conexo.
Observa¸cão 5.3.7 Uma demonstra¸cão alternativa a exibida acima é:
Suponhamos, por absurdo, que M não é conexo, isto é M = A ∪ B é uma cisão, não trivial,
de M.
Como A, B = ∅, sejam a ∈ A e b ∈ B.
Como M é conexo por caminhos existe f : [0, 1] → M cont´ınua tal que f(0) = 1 e f(1) = b.
Logo
[0, 1] = f−1
(M) = f−1
(A ∪ B) = f−1
(A) ∪ f−1
(B)
seria uma cisão não trivial de [0, 1] (pois 0 ∈ f−1(A), 1 ∈ f−1(B), são subconjuntos abertos de
[0, 1], pois f é cont´ınua em [0, 1], e não vazios em [0, 1]) e assim [0, 1] não seria conexo, o que
é um absurdo.
Logo M deve ser conexo.
Exemplo 5.3.2 Sejam (E, . E) espa¸co vetorial normado tal que dim(E) 1 e a ∈ E.
Então E {a} é conexo por caminhos (em particular, conexo).
De fato,
Se x, y ∈ E {a} se [x, y] ⊆ E {a} teremos que o segmento te reta que une x a y será um
caminho contido em E {a} (veja figura abaixo).
a
x
y
E
Se a ∈ [x, y], como dim(E) 1, existe z fora do segmento [x, y] (veja figura abaixo).

a
x
y
E
z
Assim o caminho [x, z] ∨ [z, y] será um caminho unindo os pontos x e y e estará contido em
E {a}.
Deste modo concluimos que E {a} é conexo por caminhos.
Podemos generalizar o exemplo acima
Exerc´ıcio 5.3.1 Seja X ⊆ R2 um subconjunto enumerável.
Afirmamos que R2 X é conexo por caminhos (e portato conexo).
De fato, sejam x, y ∈ R2 X.
Consideremos S uma reta em R2 que corte o segmento [x, y] num ponto interior do mesmo
x
y
S
Para cada z ∈ Z consideremos os caminhos justapostos
fz
.
= [x, z] ∪ [z, y].
Se z = z em S então os caminhos fz e fz têm, apenas as extremidades x, y em comum

x
y
S
z
z
Suponhamos, por absurdo, que nenhum dos caminhos fz estivesse contido em R2 X.
Então, para cada z ∈ S, existirá λ(z) que pertence a imagem de fz e ao conjunto X.
Logo a aplica¸cão λ : S → X será injetora, implicando que S é, no máximo enumerável, o
que é um absrudo pois S é uma reta em R2 (logo não enumerável).
Portanto, existe, pelo menos um, z ∈ S tal que fz é um caminho unindo x e y e contido em
R2 X.
Portanto R2 X é conexo por caminhos.
1. Em particular se
Y
.
= {(x, y) ∈ R2
: x ∈ I ou y ∈ I}
é conexo por caminhos.
De fato, sabemos que
Y = R2
Q2
e pelo exemplo anterior, como Q2 é enumerãvel (pois é um produto cartesiano de conjuntos
enumeráveis) segue que Y será conexo por caminhos (em particular será conexo).
2. Em geral, se (E, . ) é um espa¸co vetorial normado, dim(E) 1 e X ⊆ E é enumerável
então E X será conexo por caminhos (e portanto conexo).
De fato, se x, y ∈ E X existe um plano, P, de E (ou seja, um subsepa¸co de dimensão 2
de E) que contém x e y.
Logo do exemplo acima segue que x pode ser unido a y por um caminho contido em P X
e portanto contido em E X, mostrando que E X é conexo por caminhos.
Temos os seguinte resultados:
Proposi¸cão 5.3.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e ϕ : M → N cont´ınua em M.
Se M é conexo por caminhos então ϕ(M) ⊆ N também será conexo por caminhos.

Demonstra¸cão:
Dados a, b ∈ ϕ(M) segue que existem x, y ∈ M tais que
ϕ(x) = a e ϕ(y) = b.
Como M é conexo por caminhos e x, y ∈ M existe f : [0, 1] → M cont´ınua em M tal que
f(0) = x e f(1) = y.
Consideremos g : [0, 1] → N dada por
g(t)
.
= ϕ(f(t)), t ∈ [0, 1].
Como f(t) ∈ M para todo t ∈ [0, 1] segue que g(t) ∈ ϕ(M) para todo t ∈ [0, 1], ou seja
g : [0, 1] → ϕ(M).
Além disso, como ϕ e f são cont´ınuas em M e em [0, 1], respectivamente, segue que g é
cont´ınua em [0, 1].
Temos também que, g(0) = ϕ(f(0)) = ϕ(x) = a e g(1) = ϕ(f(1)) = ϕ(y) = b.
Logo g é um caminho em ϕ(M) que une os pontos a e b, mostrando que ϕ(M) é conexo por
caminhos (veja figura abaixo).
EE
f
0
1
ϕ
a = ϕ(x) = g(0)
b = ϕ(y) = g(1)
x = f(0)
y = f(1)
g = ϕ ◦ f
Observa¸cão 5.3.9 O resultado acima nos diz que a imagem de um conjunto conexo por cami-
nhos por uma aplica¸cão cont´ınua é um conjunto conexo por caminhos (em particular será
conexo).
Observa¸cão 5.3.10 O resultado acima nos diz que a reunião qualquer de conjuntos conexos por
caminho que contenham, pelo menos, um ponto em comum é um conjunto conexo por caminhos
(em particular será conexo).
Proposi¸cão 5.3.5 Sejam (M1, d1), · · · (Mn, dn) espa¸cos métricos
M
.
= M1 × · · · × Mn (munido de uma das três métrica usuais) é conexo por caminhos se, e
somente se, Mi é conexo por caminhos para todo i = 1, · · · , n.
Demonstra¸cão:

Se M
.
= M1 × · · · × Mn é conexo por caminhos então como, para cada i = 1, · · · , n, a
proje¸cão pi : M1 × · · · × Mn → Mi é cont´ınua em M1 × · · · × Mn segue, da proposi¸cão (5.3.4),
que Mi = pi(M1 × · · · × Mn) é conexo por caminhos.
Reciprocamente, suponhamos que para cada i = 1, · · · , n temos que Mi é conexo por cam-
inhos.
Sejam x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ M = M1×· · ·×Mn onde xi, yi ∈ Mi, i = 1, · · · , n.
Como xi, yi ∈ Mi e este é conexo por caminhos, existe um caminho fi : [0, 1] → Mi contido
em Mi unindo o ponto xi ao ponto yi, i = 1, · · · , n.
Consideremos f : [0, 1] → M dada por
f(t)
.
= (f1(t), · · · , fn(t)), t ∈ [0, 1].
Logo f será cont´ınua em [0, 1] (pois para cada i = 1, · · · , n temos que fi é cont´ınua em Mi),
f(0) = (x1, · · · , xn) = x, f(1) = (y1, · · · , yn) = x e f([0, 1]) ⊆ M = M1 × · · · × Mn, isto é, é um
caminho, contido em M, unindo o ponto x ao ponto y, mostrando que M = M1 × · · · × Mn é
conexo por caminhos.
Observa¸cão 5.3.11 O resultado acima nos diz que o produto cartesiano de conjuntos conexos
por caminhos será conexo por caminhos.
Em particular será conexo.
6.11.2008 - 25.a
Proposi¸cão 5.3.6 Sejam (Mλ, dλ) espa¸cos métricos conexos por caminhos para cada λ ∈ A,
tais que Mλ ∩ Mβ = ∅ se λ, β ∈ A.
Então M
.
=
λ∈A
Mλ também será conexo por caminhos.
Demonstra¸cão:
Seja x, y ∈ M = M
.
=
λ∈A
Mλ.
Logo existem λ, β ∈ A tal que x ∈ Mλ e y ∈ Mβ.
Seja p ∈ Xλ ∩ Xβ.
Como Mλ e Mβ são conexos por caminho e x, p ∈ Mλ e y, p ∈ Mβ segue que existem caminhos
f : [0, 1] → Mλ e g : [0, 1] → Mβ tais que f(0) = x, f(1) = p = g(0) e g(1) = y.
Logo considerando o caminho justaposto f ∨ g : [0, 1] → Mλ ∪ Mβ temos que este unirá o
ponto x ao ponto y e estará contido em Mλ ∪ Mβ ⊆ M, mostrando que M =
λ∈A
Mλ é conexo
por caminhos (veja figura abaixo).

Mλ
Mβ
x = f(0)
f(1) = p = g(0)
y = g(1)
u
#
f
g
0 1
A seguir exibiremos um conjunto conexo que não é conexo por caminhos.
Exemplo 5.3.3 Consideremos R2 com a métrica usual.
Seja X ⊆ R2 o gráfico da fun¸cão
f : [0, ∞) → R dada por f(x)
.
=
cos(1
x), x = 0
0, x = 0
.
O exemplo (5.2.5) mostra que G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ [0, ∞)} é conexo, com a métrica
induzida pela métrica de R2 (pois X ⊆ G(F) ⊆ X onde X e X são conexos pelo exemplo
citado).
Mostremos que G(f) não é conexo por caminhos.
Na verdade mostraremos que se g : [0, 1] → G(f) é um caminho como g(0) = (0, 0) ∈ G(f)
então g deverá ser constante (e igual a (0, 0)) em [0, 1].
Se isto for verdade, não existirá nenhum caminho unindo (0, 0) a um ponto (x, f(x)) para
x = 0, ou seja, G(f) não será conexo por caminhos.
Mostremos que g deve ser constante em [0, 1].
Seja α : [0, 1] → [0, ∞) tal que
g(t) = (α(t), f(α(t))), t ∈ [0, 1]
ou seja, α
.
= p1 ◦ g, p1 a proje¸cão na primeira componente (logo cont´ınua em [0, 1] pois g é
cont´ınua em [0, 1] e a proje¸cão na primeira componente também é cont´ınua).
Logo α é cont´ınua em [0, 1].
Seja
A
.
= {t ∈ [0, 1] : α(t) = 0}.
Mostraremos que A = [0, 1] (e assim α(t) = 0 para t ∈ [0, 1], ou seja g será constante em
[0, 1]).
Observemos que A é fechado em [0, 1] (pois A = α−1({0} e {0} é fechado em R); A é não
vazio (pois α(0) = 0, isto é 0 ∈ A).
Afirmamos que A é aberto em [0, 1].
De fato, se a ∈ A temos que α(a) = 0 e assim g(a) = (α(a), f(α(a)) = (0, 0).

Como g é cont´ınua em a, dado ε = 1 0, existe uma bola aberta, J = B(a; δ) ⊆ [0, 1], de
centro em a em [0, 1], tal que se t ∈ J temos que
g(t)
[g(a)=0]
= g(t) − g(a) 1. (∗)
Como J é um intervalo (pois é uma bola aberta em R) e α é cont´ınua em [0, 1] segue que
α(J) é um intervalo em R contendo 0 (pois a ∈ J e α(a) = 0).
Afirmamos que α(J) = {0}.
Caso, contrário, existirá n ∈ N tal que 1
2πn ∈ α(J), ou seja, exitirá tn ∈ J tal que
α(tn) =
1
2πn
.
Mas,
g(t) = g(
1
2πn
, f(
1
2πn
)) = (
1
2πn
, 1)
e assim
g(tn) = (
1
2πn
)2 + 12 ≥ 1
com tn ∈ J, contrariando (*).
Assim J, que é uma bola aberta em [0, 1], de centro em a, está contida em A, ou seja, A é
aberto em [0, 1].
Como [0, 1] é conexo segue, da proposi¸cão (5.1.1) item 2., que A = [0, 1].
Com isto segue que G(f) não poderá ser conexo por caminhos.
E
T
−1
1
(x, cos( 1
x
))
f(0)
Observa¸cão 5.3.12 O exemplo acima nos mostra que o fecho de um conjunto conexo por cam-
inhos por não ser conexo por caminhos (diferentemente do que acontece com a conexão).
Para ver isto basta considerar a restri¸cão f|(0,∞)
.
Exemplo 5.3.4 Seja n ∈ N.
A esfera
Sn .
= {x ∈ Rn+1
: x = 1}
é conexa por caminhos .

De fato, a aplica¸cão
f : Rn+1
{0} → Sn
dada por
f(x)
.
=
x
x
para x ∈ Rn+1
{0}
é cont´ınua e sobrejetora.
Sabemos que Rn+1 {0} é conexo por caminhos (pois n ≥ 1) logo da proposi¸cão (5.3.4) segue
que f(Rn+1 {0}) = Sn também será.
Exerc´ıcio 5.3.2 Podemos obter uma prova alternativa para o fato acima da seguinte forma:
Sejam a, b ∈ Sn, com b = −a (isto é, o ponto b não é o ant´ıpoda do ponto a em Sn).
Então definamos f[0, 1] → Sn por
f(t)
.
=
(1 − t)a + tb
(1 − t)a + tb
, t ∈ [0, 1].
Então f é um caminho em Sn que une o ponto a = f(0) ao ponto b = f(1).
Este caminho é denominado arco de uma grande circunferência de Sn (ver figura
abaixo).
a
b
Se b = −a então existirão infinitos arcos de grandes circunferências ligando os pontos a e b
em Sn.
Escolhendo-se um deles do seguinte modo: fixemos c ∈ Sn, c = a e c = b e consideramos o
caminho f que é o justaposto dos caminhos obtidos dos arcos unindo o ponto a ao ponto c e o
ponto c ao ponto b.

b = −a
a
c
A seguir daremos uma condi¸cão suficiente para que um espa¸co métrico conexo seja conexo
por caminhos.
Defini¸cão 5.3.5 Diremos que um espa¸co métrico (M, d) é localmente conexo por caminhos
se para todo x ∈ M e toda vizinhan¸ca de x, V = V (x) existir uma vizinhan¸ca de x, U = U(x),
conexa por caminhos, tal que x ∈ U ⊆ V .
M
x
V
U
Observa¸cão 5.3.13 Observemos que a vizinha¸ca de x dada, V , não necessita ser conexa por
caminhos.

M
x
V
U
V
Como exemplo temos
Exemplo 5.3.5 Todo espa¸co vetorial normado (E, . ) é localmente conexo por caminhos.
De fato, dado x ∈ E e uma vizinhan¸ca de x, V = V (x) em E, da defini¸cão de vizinhan¸ca,
segue que x ∈ int(V ).
Logo existe U
.
= B(x; r) tal que B(x; r) ⊆ V .
Mas U
.
= B(x; r) é convexa, logo conexa por caminhos, mostrando que x ∈ U ⊆ V , onde U
é uma vizinhan¸ca conexa por caminho, ou seja E é localmente conexo por caminhos.
Exemplo 5.3.6 Seja (M, d) um espa¸co métrico localmente conexo por caminhos.
Então todo subconjunto aberto, A, de M será localmente conexo por caminhos.
De fato, dados x ∈ A e uma vizinhan¸ca de x, V , contida em A, ou seja, x ∈ intA(V ) ⊆ A.
Mas A é um subconjunto aberto de M, assim intA(V ) = intM (V ), isto é, intA(V ) é um
Logo x ∈ V que é uma vizinhan¸ca de x em M.
Como M é localmente conexo por caminhos existe uma vizinhan¸ca de x em M, U conexa
por caminhos tal que x ∈ U ⊆ V ⊆ A, ou seja, A é localmente conexa por caminhos.
Observa¸cão 5.3.14 Como consequência do exemplo acima temos que todo subconjunto aberto
de um espa¸co vetorial normado será localmente conexo por caminhos.
Proposi¸cão 5.3.7 Seja (M, d) um espa¸co métrico localmente conexo por caminhos.
Então M é conexo se, e somente se, M é conexo por caminhos.
Demonstra¸cão:
Sabemos que se M é conexo por caminhos então M é conexo.
Suponhamos que M é conexo.
Mostremos que M é conexo por caminhos.
Dado a ∈ M consideremos
A
.
= {x ∈ M : existe um caminho f : [0, 1] → M que une o ponto x ao ponto a contido em M.
Afirmamos que A é aberto em M.

5.4. COMPONENTES CONEXAS 209
De fato, se x ∈ A, como M é localmente conexo por caminhos, existe uma vizinhan¸ca de x,
U, em M que é conexa por caminho e x ∈ U.
Assim temos que se u ∈ U existe um caminho g : [0, 1] → M contido em U que une o ponto
u ao ponto x.
Como x ∈ A temos que existe um caminho f : [0, 1] → M que une o ponto x ao ponto a
contido em M, ou seja, o caminho justaposto g ∨ f é um caminho contido em M que une o
ponto u ao ponto a.
Assim podemos concluir que u ∈ A.
Logo x ∈ U ⊆ A, U vizinhan¸ca de x em M.
Assim existe B(x; ε) ⊆ U ⊆ A , isto é, A é um subconjunto aberto de M.
Afirmamos que A é um um subconjunto fechado em M.
Mostremos que M A é aberto em M.
De fato, se y ∈ M A. (*)
Observemos que como y ∈ A não existe um caminho h : [0, 1] → M que une o ponto y ao
ponto a.
Como M é localmente conexo por caminhos e V
.
= M A é uma vizinhan¸ca de y em M
deverá existir uma vizinhan¸ca de y, W, em M conexa por caminhos tal que y ∈ W.
Mas se w ∈ W temos que temos que existe um caminho h : [0, 1] → M que une o ponto w
ao ponto y contido em W.
Como isto segue que w ∈ A pois, caso contrário, se w ∈ A existiria um caminho f[0, 1] → M
que une o ponto w ao ponto a em M e assim o caminho justaposto h ∨ f uniria o ponto y ao
ponto a em M, ou seja, y ∈ A, o que contraria (*).
Logo y ∈ W ⊆ M A, W vizinhan¸ca de y.
Logo existe B(y; δ) ⊆ W ⊆ M A, mostrando que M A é aberto.
Portanto A é aberto e fechado em M, que é conexo, assim A = M ou A = ∅.
Como M é localmente conexo por caminhos segue que A = ∅ assim concuimos que A = M
e portanto M é conexo por caminhos (pois dados dois pontos x, y ∈ M segue que existem
caminhos f : [0, 1] → M e g : [0, 1] → M tais que f(0) = x, f(1) = a e g(0) = a, g(1) = y e
assim o caminho justaposto g ∨ f será um caminho em M que une os pontos x e y).
5.4 Componentes conexas
Observa¸cão 5.4.1 Se um espa¸co métrico (M, d) não é conexo ele está ”divido” em quantos
”peda¸cos”?
A seguir colocaremos esta questão em termos mais claros.
Defini¸cão 5.4.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e x ∈ M.
Definimos a componente conexa de x em M, que indicaremos por Cx, como sendo a
reunião de todos os subconjuntos conexos de M que contém o ponto x, isto é,
Cx =
x∈A(x) é conexo em M
A(x)
1. Se x ∈ M sempre existe uma conexo de M que contém x, a saber, o conjunto {x}.
Portanto Cx = ∅.

2. Como A(x) é conexo em M e contém x segue que Cx será conexo (pois é reunião de
conexos que tem um ponto em comum, no caso, x).
3. Cx é o maior subconjunto conexo de M que contém x, isto é, se X ⊆ M é conexo em M
e contém x então X ⊆ Cx.
De fato, pois se X ⊆ M é conexo em M e contém x então X = A(x) para algum A(x),
logo X ⊆ Cx.
4. Dados x, y ∈ M temos uma, e somente uma, das duas possibilidades:
(a) ou Cx = Cy;
(b) ou Cx ∩ Cy = ∅.
De fato, suponhamos que z ∈ Cx ∩ Cy.
Como z ∈ Cx temos que z ∈ A(x) para algum conexo A(x) contendo x.
Assim A(x) é um conexo que contém z ∈ Cy, logo A(x) ⊆ Cy, ou seja, Cx ⊆ Cy.
De modo semelhante, mostra-se que Cy ⊆ Cx e portanto Cx = Cy mostrando que temos
somente uma das duas possibilidades acima.
5. Deste modo podemos escrever
M =
x∈M
Cx, (∗)
ou ainda, a fam´ılia de conexos (Cx)x∈M é uma parti¸cão de M em partes disjuntas,
isto é, vale (*) e temos uma, e somente uma, das possibilidades
(a) ou Cx = Cy;
(b) ou Cx ∩ Cy = ∅.
6. Cada componente conexa C de M é a componente conexa de cada um de seus pontos, isto
é, se x ∈ C então Cx = C.
Além disso, C é um subconjunto conexo máximo, no sentido que, se X é conexo em M e
C ⊆ X então X = C.
7. Todo subconjunto conexo não vazio de M está contido em uma, única, componente conexa
de M.
De fato, se X é subconjunto conexo não vazio de M então existe x ∈ X.
Do que vimos acima segue que X ⊆ Cx e Cx é a única com a propriedade de ser componente
conexa e conter o conjunto X.
8. Toda componente conexa de M é um subconjunto fechado de M.
De fato, se Cx é componente conexa então será conexo.
Assim Cx também será conexo e conterá Cx.
Logo Cx = Cx, mostrando que Cx é um subconjunto fechado de M.
Proposi¸cão 5.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e h : M → N um homeomorfismo.
Então C é uma componente conexa de M se, e somente se, h(C) é uma componente conexa
de N.

5.4. COMPONENTES CONEXAS 211
Demonstra¸cão:
Observemos que C = Cx para algum x ∈ M.
Seja y
.
= h(x) (que é único pois h é biejtora).
Sabemos que se C = Cx é uma componente conexa de M então, em particular, Cx é um
conjunto conexo de M.
Como h é cont´ınua segue que h(Cx) será um subconjunto conexo de N.
Como y ∈ h(Cx) temos que
h(Cx) ⊆ Cy. (∗)
De modo semelhante, temos que h−1(Cy) será um conexo em M que contém x = h−1(y).
Logo
h−1
(Cy) ⊆ Cx
implicando que
Cy ⊆ h(Cx). (∗∗)
Portanto, por (*) e (**), segue que Cy = h(Cx), como quer´ıamos mostrar.
Exemplo 5.4.1 Consideremos M
.
= R {0} com a métrica induzida pela métrica usual de R.
As componentes conexas de M são (−∞, 0) e (0, ∞).
Observa¸cão 5.4.3 Veremos no exemplo a seguir que nem sempre as componentes conexas de
um espa¸co métrico precisam ser subconjuntos abertos do espa¸co métrico.
Exemplo 5.4.2 Consideremos Q com a métrica induzida pela métrica usual de R.
Cada componente conexa de Q reduz-se a um único ponto.
Em particular, nenhuma componente conexa de Q é um subconjunto aberto.
Exerc´ıcio 5.4.1 Podemos generalizar o exemplo anterior, a saber:
Se (M, d) é um espa¸co métrico enumerável então toda componente conexa de M se reduz a
um único ponto.
Isto equivale a mostrar que se (M, d) é um espa¸co métrico conexo e tem mais de um ponto
então M é não enumerável (pois se fosse enumerável e tem mais de um ponto, o conjunto
formado por cada um de seus pontos seriam componentes conexas distintas e assim M não seria
conexo).
Para mostrar esta última afirma¸cão fixemos a ∈ M e consideremos a fun¸cão
da : M → R dada por da(x)
.
= d(x, a), x ∈ M.
Sabemos que da é uma aplica¸cão cont´ınua em M.
Como M é conexo segue que da(M) será um conexo em R, ou seja, um intervalo J = da(M).
Temos que existe b ∈ M tal que b = a.
Portanto J contém, pelo menos, os pontos distintos 0 = d(a, a) = da(a) e d(a, b) = da(b).
Dai conlcui-se que J é não enumerável (pois conterá todos os números reais entre (0, d(a, b))).
Como da é injetora temos que
#(M) ≥ #(da(M)) = #(J),
mostrando que M é não enumerável (#(X) denota a cadinalidade do conjunto X).

Cap´ıtulo 6
Limites
Neste cap´ıtulo estudaremos o comportamento das sequências em espa¸cos métricos.
6.1 Limites de sequências
Defini¸cão 6.1.1 Uma aplica¸cão x : N → M será denominada sequência em M e indicada
por (xn)n∈N, onde xn
.
= x(n), n ∈ N será dito n-ésimo termo da sequência.
Exemplo 6.1.1 Fixemos a ∈ R e consideremos a sequência (xn)n∈N em R2 dada por
xn
.
= (cos(na), sen(na)), n ∈ N.
Observemos que xn ∈ S1, para n ∈ N.
Além disso, se a é múltiplo racional de 2π, isto é, a = 2πp
q onde p, q ∈ N, q = 0 então temos
que xn = xm se, e somente se, existe k ∈ N tal que (m − n)a = 2kπ.
Defini¸cão 6.1.2 Dada uma sequência (xn)n∈N e A = {n1, n2, · · · } ⊆ N é um subconjunto
infinito de N, como n1 n2 n3 · · · então podemos considerar a sequência (xnk
)k∈N que
será denominada subsequência da sequência (xn)n∈N.
Exerc´ıcio 6.1.1 A sequência (xm)m∈N onde
xm
.
= 22m
, m ∈ N
é uma uma subsequência da sequência (xn)n∈N dada por
xn
.
= 2n
, n ∈ N.
Para ver isto basta tomar
nk = 2k, k ∈ N.
Diremos que a sequência (xn)n∈N é limitada em M se existir c 0 tal que
d(xn, xm) ≤ c, para todo n, m ∈ N.
213

214 CAPÍTULO 6. LIMITES
Exerc´ıcio 6.1.2 Seja (M, d) um espa¸co métrico.
Uma sequência (xn)n∈N que é constante, isto é, xn = a para todo n ∈ N é limitada.
De fato, escolha c 0 qualquer.
Então para todo n, m ∈ N temos que
d(xn, xm) = d(a, a) = 0 c.
Mais geralmente, se a sequência (xn)n∈N assume um número finito de valores então ele será
limitada.
De fato, sejam a1, · · · , ak ∈ M tais que para todo n ∈ N temos xn = a1 ou , · · · , ou xn = ak.
Consideremos c = max{d(ai, aj) : i, j = 1, · · · , k}.
Segue que
d(xn, xm) ≤ max{d(ai, aj) : i, j = 1, · · · , k} = c.
Observa¸cão 6.1.1 Se uma sequência é limitada então toda subsequência da mesma também
será limitada.
Defini¸cão 6.1.4 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência em M.
Diremos que a ∈ M é ponto limite da sequência (xn)n∈N em M se dado ε 0 existir
n0 ∈ N tal que se
n n0 implicar d(xn, a) ε.
Neste caso escreveremos
a = lim
n→∞
xn = lim
n
xn = lim xn.
Diremos também que xn tende a a quando n tende a ∞ e escreveremos
xn → a.
Ainda nester caso, diremos que a sequência (xn)n∈N é uma sequência convergente em
M e que converge para a, em M.
Se não existe lim
n→∞
xn em M diremos que a sequência (xn)n∈N é uma sequência divergente
em M.
1. Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência em M.
Temos que xn → a se, e somente se, para toda bola aberta centrada em a a sequência
inteira está contida na bola, exceto um número finito de termos da mesma (isto é, existe
n0 ∈ N tal que se n n0 temos que xn pertence a bola dada).
a
Bεxn

6.1. LIMITES DE SEQUÊNCIAS 215
2. De modo semelhante, xn → a se, e somente se, para todo subconjunto aberto de M con-
tendo a a sequência inteira está contida nesse aberto, exceto um número finito de termos
da mesma (isto é, existe n0 ∈ N tal que se n n0 temos que xn pertence ao aberto dado).
a
xn
A
3. Ou ainda, xn → a se, e somente se, para toda vizinhan¸ca de a em M, a sequência inteira
está contida nessa vizinhan¸ca, exceto um número finito de termos da mesma (isto é, existe
n0 ∈ N tal que se n n0 temos que xn pertence à vizinhan¸ca dada).
Exerc´ıcio 6.1.3 Seja (M, d) um espa¸co métrico que contenha, pelo menos, dois pontos distin-
tos.
Então existe uma sequência em M que é divergente.
De fato, suponhamso que a, b ∈ M e a = b.
Consideremos a sequência (xn)n∈N dada por
xn
.
=
a, n par
b, n ´ımpar
.
Afirmamos que nenhum ponto c ∈ M poderá ser limite da sequência (xn)n∈N.
De fato, se tomarmos
ε
.
=
d(a, b)
2
0
então B(c; ε) não conterá ambos os pontos a e b e portanto não existirá n0 ∈ N tal que xn ∈
B(c; ε), ou seja, x → c para todo c ∈ M (veja figura abaixo).
q
a b
c
ε =
d(a,b)
2

Exerc´ıcio 6.1.4 A sequência (xn)n∈N em R dada por
xn
.
=
1
n
, n ∈ N
é convergente para 0 em R, onde R está munido da métrica usual.
De fato, dado ε 0 seja n0 ∈ N tal que n0 1
ε . (*)
Logo se n n0 temos que
d(xn, 0) = |xn − 0| =
1
n
[nn0]

1
n0
(∗)
ε.
11.11.2008 - 26.a
Em geral temos os seguintes resultados para convergência de sequências
Proposi¸cão 6.1.1 Seja (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência convergente em M.
Então a sequência (xn)n∈N é uma sequência limitada em M.
Demonstra¸cão:
De fato, seja
a = lim
n→∞
xn.
Logo, dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que se n n0 temos
d(xn, a) ε = 1.
Assim se n n0 temos que xn ∈ B(a; 1).
Portanto
xn ∈ B(a; 1) ∪ {x1, · · · , xn0 }
que é a reunião de dois conjuntos limitados de M, logo limitado em M.
Proposi¸cão 6.1.2 (Unicidade do limite) Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência
convergente em M.
Então lim
n→∞
xn é único em M.
Demonstra¸cão:
De fato, suponhamos que
a = lim
n→∞
xn e b = lim
n→∞
xn.
Logo, dado ε 0, existe n0, n1 ∈ N tal que
se n n0 teremos d(xn, a)
ε
2
, (∗)
se n n1 teremos d(xn, b)
ε
2
. (∗∗)
Seja n max{n0, n1}.
Então
d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b)
[(∗) e (∗∗)]

ε
2
+
ε
2
= ε.
Portanto d(a, b) = 0 logo a = b, mostrando que o limite deve ser único.
Como consequência temos o

Corolário 6.1.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência convergente para
a em M.
Se xn = a para todo n ∈ N temos que a sequência (xn)n∈N não será convergente em M {a}.
Demonstra¸cão:
Se existisse b ∈ M {a} tal que xn → b então ter´ıamos b = a e assim a sequência (xn)n∈N
teria dos limites diferentes contrariando a proposi¸cão acima.
Proposi¸cão 6.1.3 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência convergente para
a em M.
Então toda subsequência da sequência (xn)n∈N será convergente para a em M.
Demonstra¸cão:
Seja (xnk
)k∈N é uma subsequência da sequência (xn)n∈N.
Como a sequência (xn)n∈N é convergente para a em M, dado ε 0 existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos d(xn, a) ε.
Logo existe k0 ∈ N tal que nk0 n0 e assim se
k k0 temos d(xnk
, a) ε,
mostrando que a subsequência (xnk
)k∈N é convergente para a em M, como quer´ıamos mostrar.
Como consequência temos os
Corolário 6.1.2 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência convergente para
a em M.
Então, para todo p ∈ N, lim
n→∞
xn+p = a.
Demonstra¸cão:
Basta obervar que (xn+p)n∈N é uma subsequência da sequência (xn)n∈N e assim, da proposi¸cão
acima, segue que será convergente para a em M.
Corolário 6.1.3 Sejam (M, d) um espa¸co métrico, (xn)n∈N uma sequência convergente para a
em M e b = a.
Então existe n0 ∈ N tal que xn = b para n n0.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que não exitisse n0 ∈ N com a propriedade acima, isto é, existem
infinitos nk ∈ N tais que xnk
= b.
Logo a subsequência (xnk
)k∈N da sequência (xn)n∈N será convergente para b = a, contra-
riando a proposi¸cão acima.
Logo existe n0 ∈ N tal que xn = b para n n0.
Corolário 6.1.4 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência em M.
Suponhamos que existam duas subsequências da sequância (xn)n∈N que convergem para a e
b, respectivamente, em M e a = b.
Então a sequância (xn)n∈N não será convergente em M.

Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que a sequência (xn)n∈N seja convergente em M.
Então da proposi¸cão acima segue toda subsequência da sequência (xn)n∈N deverá ser con-
vergente para um mesmo valor em M, o que é um absurdo pois existem duas subsequências da
sequência que convergem para valores diferentes.
Logo a sequência (xn)n∈N não poderá ser convergente em M.
Um outra carateriza¸cão equivalente para convergência de sequências é dada pela
Proposi¸cão 6.1.4 Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn)n∈N uma sequência em M.
A sequência (xn)n∈N converge para a se, e somente se, dado ε 0, no máximo, um número
finito de termos da sequência (xn)n∈N não pertencerá a bola aberta B(a; ε).
Demonstra¸cão:
A sequência (xn)n∈N converge para a se, e somente se, dado ε 0 existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos d(xn, a) ε,
que é equivalente a dizer que se
n n0 temos xn ∈ B(a; ε),
ou seja, tirando os n0 primeiros termos da sequência (ou seja, um número finito de termos) os
outros pertencem a bola B(a; ε).
1. Conclusão: a sequência (xn)n∈N converge para a se, e somente se, para cada bola aberta
centrada em a, no máximo, um número finito de termos da sequência (xn)n∈N não per-
tencerá a mesma.
2. Vale o mesmo resultado se substituirmos ”bola aberta centrada em a” por ”aberto de M
contendo a”.
3. Vale o mesmo resultado se substituirmos ”bola aberta centrada em a” por ”vizinhan¸ca de
a em M”.
As reda¸cões das demonstra¸cões deste dois itens acima serão deixadas como exerc´ıcios para
o leitor.
O resultado a seguir será útil nas demonstra¸cões de alguma propriedades que veremos mais
a frente.
Lema 6.1.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, (xn)n∈N uma sequência em M e
¯P
.
= {0, 1,
1
2
, · · · ,
1
n
, · · · } ⊆ R
munido da métrica induzida pela métrica usual de R.
Então xn → a se, e somente se, a aplica¸cão
f : ¯P → M dada por f(
1
n
)
.
= xn, f(0)
.
= a,
for cont´ınua em ¯P.

Demonstra¸cão:
Observemos que para todo n ∈ N temos que
1
n
∈ ¯P é ponto isolado de ¯P logo f será cont´ınua
em
1
n
para todo n ∈ N.
Conclusão f será cont´ınua em ¯P se, e somente se, f for cont´ınua em 0.
Suponhamos que xn → a.
Mostremos que f será cont´ınua em 0.
Para isto, dado ε 0, como xn → a, existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos dM (xn, a) ε.
Seja δ
.
=
1
n0
0.
Logo se
1
n
= |
1
n
− 0| = dR(
1
n
, 0) δ
temos que n
1
δ
= n0 e assim
dM (f(
1
n
), f(0)) = dM (xn, a) ε,
mostrando que f é cont´ınua em 0.
Reciprocamente, suponhamos que f é cont´ınua em 0.
Mostremos que xn → a.
Para isto, dado ε 0 seja δ 0 tal que
1
n
= |
1
n
− 0| = dR(
1
n
, 0) δ temos dM (f(
1
n
), f(0)) ε.
Seja n0 ∈ N tal que n0
1
δ
.
Logo se
n n0 temos dM (xn, a) = dM (f(
1
n
), f(0))
[ 1
n
1
n0
δ]
ε,
mostrando que xn → a em M.
Com isto temos a
Proposi¸cão 6.1.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ), (M × N, d) espa¸cos métricos, onde no último con-
sideramos uma das três métricas usuais, (zn)n∈N uma sequência em M ×N, isto é, zn = (xn, yn)
onde (xn)n∈N, (yn)n∈N são sequências em M e em N, respectivamente e c = (a, b) ∈ M × N.
Então zn → c em M × N se, e somente se, xn → a em M e yn → b em N.
Demonstra¸cão:
Do lema acima temos que zn → c se, e somente se, a aplica¸cão f : ¯P → M × N definida por
f(
1
n
) = zn, f(0) = c
for cont´ınua em ¯P.

Da proposi¸cão (3.2.2) segue a última afirma¸cão acima é equivalente a mostrar que as fun¸cões
f1 : ¯P → M e f2 : ¯P → N
definidas por
f1(
1
n
) = xn, f1(0) = a e f2(
1
n
) = yn, f2(0) = b
forem cont´ınuas em ¯P.
Do lema acima, esta afirma¸cão é equivalente, xn → a em M e yn → b em N, completando a
demonstra¸cão.
Observa¸cão 6.1.4 Conclusão: uma sequência no produto cartesiano converge para c se, e so-
mente se, cada uma das sequências coordenadas foram convergentes para as correspondentes
coordenadas de c.
Corolário 6.1.5 Sejam (Mi, di) espa¸cos métricos, i = 1, · · · , m e M
.
= M1 × · · · × Mm, onde
no último consideramos uma das três métricas usuais, (xn)n∈N uma sequência em M, isto é,
xn = (xn1, · · · , xnm) onde (xni)n∈N é uma sequência em Mi, i = 1, · · · , m e c = (a1, · · · , am) ∈
M.
Então xn → a em M se, e somente se, xni → a1 em Mi para i = 1, · · · , m.
Demonstra¸cão:
Basta utilizar indu¸cão e a proposi¸cão acima.
Proposi¸cão 6.1.6 Sejam (E, . ) espa¸co vetorial normado, (xn)n∈N e (yn)n∈N sequências em
E convergentes para a e b em E, respectivamente e (λn)n∈N uma sequência em R convergente
para λ em R.
Então as sequências (xn + yn)n∈N e (λn.xn)n∈N são sequências convergentes para a + b e λ.a
em E, respectivamente, isto é,
lim
n→∞
(xn + yn) = a + b e lim
n→∞
(λn.xn) = λ.a,
ou ainda,
lim
n→∞
(xn + yn) = lim
n→∞
xn + lim
n→∞
yn e lim
n→∞
(λn.xn) = lim
n→∞
xn. lim
n→∞
λn.
Demonstra¸cão:
Se xn → a, yn → b e λn → λ então, do lema acima, segue as fun¸cões
f, g, h : ¯P → E
dadas por
f(
1
n
) = xn, f(0) = a, g(
1
n
) = yn, g(0) = b, h(
1
n
) = λn, h(0) = λ
são cont´ınuas em E e R, respetivamente.
Logo a proposi¸cão (3.2.3) garante que f + g, h.f são cont´ınuas em ¯P.
Logo, do lema acima, segue que lim
n→∞
(xn + yn) = a + b e lim
n→∞
(λn.xn) = λ.a, como quer´ıamos
mostrar.

6.2. SEQUÊNCIAS DE N ÚMEROS REAIS 221
6.2 Sequências de números reais
A seguir trataremos de algumas propriedades de sequências de números reais.
Defini¸cão 6.2.1 Uma sequência de números reais (xn)n∈N será dita crescente se
n m implicar xn xm.
Será dita não decrescente se
n m implicar xn ≤ xm.
Será dita decrescente se
n m implicar xn xm.
Será dita não crescente se
n m implicar xn ≥ xm.
Será dita monótona se for de um dos tipos acima.
Com isto temos a
Proposi¸cão 6.2.1 Consideremos R com a métrica usual e (xn)n∈N uma sequência em R que
seja monótona e limitada em R.
Então a sequência (xn)n∈N será convergente em R.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que a sequência (xn)n∈N é não decrescente (os outros casos serão deixados como
exerc´ıcio para o leitor).
Como {xn : n ∈ N} é um subconjunto limitado de R segue que existe
a
.
= sup
n∈N
xn.
Afirmamos que
xn → a.
De fato, dado ε 0, como
a = sup
n∈N
xn
segue que existe n0 ∈ N tal que
a − ε xn0 ≤ a.
Como a sequência (xn)n∈N é não decrescente segue que para n ≥ n0 teremos
a − ε xn0 ≤ xn ≤ a,
ou seja,
n ≥ n0 temos a − ε xn ≤ a a + ε,
isto é,
n ≥ n0 temos |xn − a| ε,
mostrando que xn → a, como quer´ıamos mostrar.

Corolário 6.2.1 Consideremos R com a métrica usual e (xn)n∈N uma sequência em R monótona
R.
Então (xn)n∈N é uma sequência será convergente em R se, e somente se, (xn)n∈N é uma
sequência limitada em R.
Demonstra¸cão:
Se a sequência (xn)n∈N é uma for convergente em R então, da proposi¸cão (6.1.1), ela será
limitada em R.
Por outro lado, se a sequência (xn)n∈N é uma sequência limitada em R então, pela proposi¸cão
(6.2.1), ela será convergente em R
Proposi¸cão 6.2.2 Consideremos R com a métrica usual e (xn)n∈N uma sequência em R.
Então xn → 0 se, e somente se, |xn| → 0.
Demonstra¸cão:
Se xn → 0, dado ε 0 existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos |xn| = |xn − 0| ε. (∗)
Logo
n n0 temos ||xn| − 0| = |xn|
(∗)
ε,
mostrando que |xn| → 0.
Reciporcamente se |xn| → 0 , dado ε 0 existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos |xn| = ||xn| − 0| ε. (∗∗)
Logo
n n0 temos |xn − 0| = |xn|
(∗∗)
ε,
mostrando que xn → 0, completando a demonstra¸cão.
Exemplo 6.2.1 Seja a ∈ R tal que |a| 1.
Então an → 0.
De fato, da proposi¸cão (6.2.2) basta mostrar que
|a|n
→ 0,
ou seja, podemos supor, sem perda de generalidade, que
0 ≤ a 1.
a ≥ a1
≥ · · · ≥ an
≥ · · · ,
ou seja, a sequência (an)n∈N é uma sequência não crescente e limitada em R.
Logo, da proposi¸cão (6.2.1) segue que existe
l
.
= lim
n→∞
an
.
Mas
l = lim
n→∞
an
= lim
n→∞
[a.an−1
]
= a. lim
n→∞
an−1
= a.l.
Logo l = a.l, isto é, (1 − a)l = 0.
Como 1 − a = 0 segue que l = 0, mostrando que an → 0, como afirmado.

6.2. SEQUÊNCIAS DE N ÚMEROS REAIS 223
Proposi¸cão 6.2.3 Consideremos R com a métrica usual e (xn)n∈N uma sequência em R con-
vergente para a em R tal que a b.
Então existe n0 ∈ N tal que para
n n0 temos xn b.
Demonstra¸cão:
Como xn → a, dado
ε
.
= a − b 0
segue que existe n0 ∈ N tal que se
n n0 temos |xn − a| ε = a − b,
ou seja, se
n n0 temos b − a xn − a a − b,
ou ainda, se
n n0 temos b xn 2a − b,
em particular, se
n n0 temos b xn,
Corolário 6.2.2 Consideremos R com a métrica usual e (xn)n∈N uma sequência em R conver-
gente para a em R e suponhamos que existe n0 ∈ N tal que para
n n0 temos xn ≤ b. (∗)
Então a ≤ b, isto é, lim
n→∞
xn ≤ b.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que a b.
Logo, da proposi¸cão (6.2.3), segue que existirá n0 ∈ N tal que xn b, contrariando (*).
Logo a ≤ b, como quer´ıamos mostrar.
Observa¸cão 6.2.1 Valem os resultados análogos à proposi¸cão (6.2.2) se trocarmos ”” por
”” e no corolário (6.2.2) trocarmos ”≤” por ”≥”.
A verifica¸cão destes fatos serão deixadas a cargo do leitor.
Exemplo 6.2.2 Se a 0 temos que lim
n→∞
a
1
n = 1.
De fato, vamos supor que a 1.
Caso 0 a 1 é análogo e sua demonstra¸cão será deixado como exerc´ıcio para o leitor.
Temos que
a a
1
2 a
1
3 · · · a
1
n · · · ,
isto é, a sequência (a
1
n )n∈N é um sequência decrescente e limitada.

Logo, da proposi¸cão (6.2.1), segue que existe
l = lim
n→∞
a
1
n .
Como a 1 segue, do corolário (6.2.2) temos que l ≥ 1 (ou melhor, pela observa¸cão (6.2.1)).
Mas
l = lim
n→∞
a
1
n = lim
n→∞
a
1
n(n+1) = lim
n→∞
a
1
n
− 1
n+1 =
lim
n→∞
a
1
n
lim
n→∞
a
1
n+1
=
l
l
= 1,
mostrando que
lim
n→∞
a
1
n = 1,
como afirmamos.
6.3 Séries
Defini¸cão 6.3.1 Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado e (xn)n∈N uma sequência em E.
Para cada n ∈ N definamos
Sn
.
= x1 + x2 + · · · + xn,
que será dita soma parcial de ordem n.
A sequência (Sn)n∈N será denominada série associada a sequência (xn)n∈N e indicada
por
∞
n=1
an ou
n
an ou ainda an.
Se existir
a = lim
n→∞
Sn
então diremos que a série
∞
n=1
an é convergente em E.
Neste caso escreveremos
∞
n=1
an = a.
Se a sequência (Sn)n∈N não for convergente em E diremos que a série
∞
n=1
an é divergente
em E.
Observa¸cão 6.3.1 Observemos que
∞
n=1
an pode denotar duas coisas diferentes, a saber, a
sequência formada pelas somas parciais (Sn)n∈N e o seu limite (caso seja convergente).
Temos a
Proposi¸cão 6.3.1 (Critério da divergência) Seja (E, . ) um espa¸co vetorial normado e (xn)n∈N.
Se a série
∞
n=1
xn é convergente em E então lim
n→∞
xn = 0 em E.

6.3. SÉRIES 225
Demonstra¸cão:
Sabemos que existe
a = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
Sn−1.
Assim
lim
n→∞
xn
[xn=Sn−Sn−1]
= lim
n→∞
[Sn − Sn−1] = a − a = 0,
Observa¸cão 6.3.2 O resultado acima nos diz que a condi¸cão ” lim
n→∞
xn = 0” é necessária para
que a série
∞
n=1
xn seja convergente em E.
Porém ela não é suficiente como mostra o seguinte exemplo:
Consideremos a série harmônica,
∞
n=1
1
n
em E = R munido da norma dada pelo modulo em
R.
Temos que
lim
n→∞
xn = lim
n→∞
1
n
= 0,
mas a sequência (Sn)n∈N que é crescente (logo monótona) contém uma subsequência que não é
limitada (logo ela própria não será limitada e portanto, pelo corolário (6.2.1), não poderá ser
convergente em R.
Uma subsequência da sequência (Sn)n∈N que não é limitada é a (S2n )n∈N, pois
S2n = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ · · · +
1
2n−1
+
1
2n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ · · · +
1
2n−1 + 1
+ · · · +
1
2n−1 + 2n−1
1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+ · · · +




1
2n−1 + 2n−1
+ · · · +
1
2n−1 + 2n−1
2n−parcelas




= 1 +
1
2
+
2
4
+
4
8
+ · · · +
2n−1
2n
n−parcelas iguais a 1
2
= 1 + n
1
2
,
mostrando que a (S2n )n∈N não é limitada.
Portanto a série
∞
n=1
1
n
não é convergente em R.
Exerc´ıcio 6.3.1 Um outro exemplo importante em C é a série geométrica
∞
n=0
an
= 1 + a + a2
+ · · · + an
+ · · · ,
onde a ∈ C.
Afirmamos que se |a| 1 então a série geométrica converge em C.

De fato, pois
Sn − a.Sn = (1 + a + a2
+ · · · + an
) − a(1 + a + a2
+ · · · + an
) = 1 − an+1
, n ∈ N.
Logo
Sn =
1 − an+1
1 − a
, n ∈ N.
Assim
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
1 − an+1
1 − a
[exemplos (6.2.1)]
=
1
1 − a
.
Com isto temos que a série geométrica
∞
n=0
an
= será convergente em C para
1
1 − a
.
Por outro lado, se |a| ≥ 1 temos que lim
n→∞
an
= 0 e o critério da divergência garante que a
série geométrica
∞
n=0
an
não será convergente em C.
Observa¸cão 6.3.3 Quando a série
∞
n=0
an
tem como termos números reais não negativos (isto
é, an ≥ 0, n ∈ N) então temos que a sequência (Sn)n∈N será não decrescente, logo monótona
em R.
Assim, o corolário (6.2.1), nos garante que a série
∞
n=0
an
será convergente em R se, e
somente se, a sequência (Sn)n∈N for limitada em R.
Para finalizar a se¸cão consideremos o seguinte
Exerc´ıcio 6.3.2 Seja E
.
= L(Rn; Rn) o conjunto formado pelos operadores lineares
T : Rn
→ Rn
é um espa¸co vetorial com as opera¸cões usuais de soma de fun¸cões e multiplica¸cão de número
real por fun¸cão.
Sabemos, do teorema (3.5.1), que se T ∈ L(Rn; Rn) então T é cont´ınua em Rn.
Além disso, da observa¸cão (3.5.3) item 3., segue que
T
.
= sup{ T(x) Rn : x ∈ Rn
, x Rn = 1},
é uma norma em L(Rn; Rn).
Observemos que se T, S ∈ L(Rn; Rn) então S ◦ T ∈ L(Rn; Rn) e temos
S ◦ T ≤ S . T .
A demonstra¸cão demostra¸cão dessa desigualdade será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Suponhamos que T ∈ L(Rn; Rn) é tal que
T 1.
Isto implicará que
T(x) Rn x Rn , x ∈ Rn
.

6.3. SÉRIES 227
Assim
x − T(x) = 0, para todo x ∈ Rn
, x = 0, (∗)
pois
T(x) − x ≥ x − T(x) 0.
Indiquemos por I : Rn → Rn a aplica¸cão identidade.
Então (*) nos diz que um operador linear I − T em Rn que é injetor em Rn .
Como a dimensão do dom´ınio é igual a dimensão da imagem segue que I − T é sobrejetora,
ou seja, é bijetora, portanto existe (I − T)−1 e é um operador linear em Rn.
Conclusão: se T 1 então (I − T)−1 existe em L(Rn; Rn).
Para cada n ∈ N consideremos
Sn
.
= I + T + T ◦ T + T ◦ T ◦ T + · · · + T ◦ · · · ◦ T
n−fatores
= I + T + T2
+ · · · + Tn
Mostraremos que se T 1 então a sequência (Sn)n∈N será convergente para (I − T)−1 em
L(Rn; Rn), isto é, a série
∞
n=0
Tn
é convergente para para (I − T)−1 em L(Rn; Rn).
De fato, observemos que (assim como no caso da série geométrica do exemplo (6.3.1)
Sn = (I − T)−1
(I − Tn+1
). (∗)
Como T 1 temos que
Tn+1
≤ T n+1
e lim
n→∞
T n+1 [ T 1, e o exemplo (6.2.1)]
= 0,
assim
lim
n→∞
Tn+1
= 0.
Logo passando o limite em (*) obteremos
∞
n=0
Tn
= lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
[(I − T)−1
(I − Tn+1
)] = (I − T)−1
(I − lim
n→∞
Tn+1
) = (I − T)−1
,
como hav´ıamos afirmado.
Observa¸cão 6.3.4 Se considerarmos o mesmo exemplo acima trocando-se Rn por um espa¸co
vetorial normado de dimensão infinita não podemos concluir do mesmo modo que a hipótese
T 1 implicará que o operador (I − T) admitirá inversa.
Uma condi¸cão extra será necessária impor sobre o espa¸co vetorial normado de dimensão
infinta em questão.
13.11.2008 - 27.a

6.4 Convergência e topologia
Veremos nesta se¸cão que muitos conceitos introduzidos nos cap´ıtulos anteiores podem ser ex-
pressos em termos de sequências.
Proposi¸cão 6.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uma fun¸cão.
f será cont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, para toda xn → a em M tenhamos
f(xn) → f(a) em N.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que f seja cont´ınua em a ∈ M e que xn → a em M.
Dado ε 0, como f é cont´ınua em a ∈ M, existe δ 0 tal que
dM (x, a) δ implica dN (f(x), f(a)) ε. (∗)
Como xn → a, existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos dM (xn, a) δ.
Logo, de (*), teremos que
dN (f(xn), f(a)) ε,
ou seja, f(xn) → f(a).
Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que f não seja cont´ınua no ponto a ∈ M.
Logo existe ε 0 tal que para todo δ 0, existe xδ ∈ M tal que
dM (xδ, a) δ tal que dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε. (∗∗)
Em particular, para cada n ∈ N, se considerarmos δn =
1
n
de (**) temos que existe xn ∈ M
tal que
dM (xn, a) δn =
1
n
tal que dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.
Com isto temos que xn → a mas f(xn) → f(a), contrariando a hipótese que f leva sequência
convergente de M em sequência convergente de N.
Logo f deverá ser cont´ınua em a ∈ M, completando a demonstra¸cão.
1. O resultado acima nos diz que uma condi¸cão necessária e suficiente para que uma fun¸cão
entre dois espa¸cos métricos seja cont´ınua é que ela leve uma sequência convergente no
dom´ınio em uma sequência convergente no contra-dom´ıcio.
Em particular se (xn)N∈N é convergente em M temos que
f( lim
n→∞
xn) = lim
n→∞
f(xn).
2. Na verdade foi provado o seguinte resultado:
”Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : X → N uma fun¸cão e a ∈ X.
Existe lim
x→a, x∈X
f = b em M se, e somente se, para toda sequência (xn)n∈N em X tal que
xn → a em M tenhamos f(xn) → b em N.”
Olhe a demonstra¸cão com cuidado e verfique que isto é, de fato, verdade.

6.4. CONVERGÊNCIA E TOPOLOGIA 229
Corolário 6.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, f : M → N uma fun¸cão e a ∈ M.
Se xn → a em M implicar que a sequência (f(xn))n∈N é convergente em N então f é
cont´ınua em a ∈ M.
Demonstra¸cão:
Pela proposi¸cão (6.4.1), basta mostrar que se yn → a em M então f(yn) → f(a) em M.
Observemos que se yn → a em M consideremos a sequência (xn)n∈N dada por
xn
.
=
yk, n = 2k − 1
a, n par
,
(isto é, (xn)n∈N = (y1, a, y2, a, x3, a, · · · )).
Logo xn → a e assim, por hipótese, deveremos ter f(xn) → b.
Como a subsequência (f(x2n))n∈N é constante e igual a (f(a))n∈N segue que b = f(a), isto
é, f(xn) → f(a) em M, mostrando que f é cont´ınua em a ∈ M.
Corolário 6.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, f : M → N uma fun¸cão e a ∈ M.
Se xn → a em M implicar que a sequência (f(xn))n∈N tem uma subsequência é convergente
para f(a) em N então f é cont´ınua em a ∈ M.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo, que f não seja con´ınua no ponto a ∈ M.
Logo existe ε 0 tal que para todo δ 0, existe xδ ∈ M tal que
dM (xδ, a) δ tal que dN (f(xδ), f(a)) ≥ ε. (∗∗)
Em particular, para cada n ∈ N, se considerarmos δn =
1
n
temos por (**) que existe xn ∈ M
tal que
dM (xn, a) δn =
1
n
tal que dN (f(xn), f(a)) ≥ ε.
Com isto temos que xn → a mas (f(xn))n∈N não tem uma subsequência convergente para
f(a) em N, contrariando a hipótese.
Logo f deverá ser cont´ınua em a ∈ M, completando a demonstra¸cão.
Corolário 6.4.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, f : M → N uma fun¸cão.
f é cont´ınua em M se, e somente se, a sequência (xn)N∈N é convergente em M implicar
que a sequência (f(xn))N∈N é convergente em N.
Neste caso temos
f( lim
n→∞
xn) = lim
n→∞
f(xn).
Demonstra¸cão:
Basta aplicar a proposi¸cão (6.4.1) em cada ponto de M.

Proposi¸cão 6.4.2 Sejam (M, d) espa¸co métrico, X ⊆ M e a ∈ M.
Então a ∈ ¯X se, e somente se, existe uma sequência (xn)n∈N em X que converge para a em
M.
Demonstra¸cão:
Se a ∈ ¯X então para todo δ 0 temos que B(a; δ) ∩ X = ∅.
Em particular, para cada n ∈ N temos que
B(a;
1
n
) ∩ X = ∅,
isto é, existe xn ∈ B(a;
1
n
) ∩ X, em particular
d(xn, a)
1
n
. (∗)
Com isto temos uma sequência (xn)n∈N em X.
Além disso, xn → a pois dado ε 0 seja n0 ∈ N tal que n0
1
ε
. (**)
Assim se
n n0 temos que d(xn, a)
(∗)

1
n
[nn0]

1
n0
(∗∗)
ε.
Portanto existe uma sequência (xn)n∈N em X tal que xn → a.
Reciprocamente, se existe uma sequência (xn)n∈N em X tal que xn → a então toda bola
aberta centrada em a ∈ M contém pontos da sequência (xn)n∈N que pertence a X, isto é, para
todo ε 0 temos que
B(a; ε) ∩ X = ∅,
mostrando que a ∈ ¯X.
Como consequência temos os
Então a ∈ ∂X se, e somente se, existem sequências (xn)n∈N em X e (yn)n∈N em M X tais
que xn → a e yn → a.
Demonstra¸cão:
Sabemos que
∂X = ¯X ∩ M X.
Logo da proposi¸cão (6.4.2) aplicada a ¯X e a M X segue o resultado.
Observa¸cão 6.4.2 Conclusão: uma condi¸cão necessária e suficiente para que um ponto de um
espa¸co métrico pertencerá a fronteira de um conjunto é que existam duas sequências, uma no
conjunto e a outra no seu complementar que convegem para o ponto.
a ∈ ∂A
yn ∈ M A
xn ∈ A

6.4. CONVERGÊNCIA E TOPOLOGIA 231
Então X é denso em M se, e somente se, dado a ∈ M existe uma sequência (xn)n∈N em X
tal que xn → a.
Demonstra¸cão:
Da proposi¸cão (6.4.2) segue que a ∈ M = ¯X se, e somente se, existe uma sequência (xn)n∈N
em X tal que xn → a.
Corolário 6.4.6 Sejam (M, d) espa¸co métrico e F ⊆ M.
Então F é fechado em M se, e somente se, dada uma sequência (xn)n∈N em F tal que
xn → a em M implicar que a ∈ F.
Demonstra¸cão:
Da proposi¸cão (4.4.4) segue que F é fechado em M se, e somente se, ¯F = F.
Logo da proposi¸cão (6.4.2) segue que a ∈ ¯F se, e somente se, (xn)n∈N em F tal que xn → a
em M implicar que a ∈ F.
Proposi¸cão 6.4.3 Sejam (M, d) espa¸co métrico e A ⊆ M.
Então A é um subconjunto aberto de M se, e somente se, dada uma a sequência (xn)n∈N em
M tal que xn → a em M e a ∈ A implicar que existe n0 ∈ N tal que se
n n0 temos xn ∈ A.
Demonstra¸cão:
Se A é um subconjunto aberto de M, a ∈ A e xn → a, então da observa¸cão (6.1.2) item 2.
segue que, existe n0 ∈ N tal que se
n n0 temos xn ∈ A.
Para a rec´ıproca, mostremos que M A é um subconjunto fechado.
Para isto suponhamos que a sequência (yn)n∈N em M A tal que yn → b em M. (*)
Afirmamos que b ∈ M A.
Suponhamos, por absurdo, b ∈ A.
Então como yn → b, por hipótese, existirá n0 ∈ N tal que se
n n0 temos yn ∈ A,
o que contraria (*).
Logo, do corolário (6.4.6), segue que M A é um subconjunto fechado de M e assim A é
subconjunto aberto de M, com o quer´ıamos mostrar.
Proposi¸cão 6.4.4 Sejam (M, d) espa¸co métrico e X ⊆ M.
Então a ∈ M é ponto de acumula¸cão do conjunto X se, e somente se, existe uma sequência
(xn)n∈N em M tal que xn → a em M e para alugm n0 ∈ N temos que {xn : n n0} ⊆ X e o
conjunto {xn : n n0} tem infinitos elementos distintos.

Demonstra¸cão:
Se existe uma sequência (xn)n∈N em M tal que xn → a em M tal que para algum n0 ∈ N
temos que {xn : n n0} ⊆ X e o conjunto {xn : n n0} tem infinitos elementos distintos então
dado ε 0 temos que existe N ∈ N tal que
xN ∈ [B(a; ε) ∩ A] {a} = ∅
mostrando que
[B(a; ε) ∩ A] {a} = ∅,
e assim o ponto a é ponto de acumula¸cão de X.
Reciprocamente, se o ponto a é ponto de acumula¸cão de X então para cada n ∈ N se ε =
1
n
temos que
[B(a;
1
n
) ∩ A] {a} = ∅.
Logo se
n = 1 existe x1 ∈ [B(a; 1) ∩ A] {a} = ∅.
Seja ε2
.
= min{1
2 , d(x1, a)}.
Logo existe
x2 ∈ [B(a; ε2) ∩ A] {a} = ∅.
Assim x2 = x1 (pois d(x2, a) ε2 ≤ d(x1, a)).
Seja ε3
.
= min{1
3 , d(x2, a)}.
Logo existe
x3 ∈ [B(a; ε3) ∩ A] {a} = ∅.
Assim x3 = x2 e x3 = x1 (pois d(x3, a) ε3 ≤ d(x2, a)) (veja figura abaixo).
a
ε1 = 1
x1
ε2
x2
ε3
x3
Prosseguindo o processo, construimos uma sequência (xn)n∈N em M tal que xn → a em M e
para alugm n0 ∈ N temos {xn : n n0} ⊆ X e o conjunto {xn : n n0} tem infinitos elementos
distintos, como quer´ıamos mostrar.
Observa¸cão 6.4.3 O resultado acima nos diz que para um ponto ser ponto de acumula¸cão
de um conjunto deverá existir uma sequência formada por elementos distintos do conjunto que
converge para o ponto.

6.5. SEQUÊNCIAS DE FUNÇ ÕES 233
Como consequência temos
Exemplo 6.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos f, g : M → N cont´ınuas em M.
Então F
.
= {z ∈ M : f(z) = g(z)} é um subconjunto fechado de M.
De fato, dada uma sequência {xn : n n0} em F tal que xn → a em M então temos que
f(xn) = g(xn), n ∈ N.
Como f e g são cont´ınuas em a segue que
f(a) = f( lim
n→∞
xn) = lim
n→∞
f(xn) = lim
n→∞
g(xn) = g( lim
n→∞
xn) = g(a),
ou seja, f(a) = g(a), mostrando que a ∈ F.
Logo, do corolário (6.4.6), seguirá que F é um subconjunto fechado em M.
Exerc´ıcio 6.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos f, g : M → N cont´ınuas em M e
X ⊆ M.
Se f(x) = g(x) para x ∈ X então f(y) = g(y) para y ∈ ¯X.
De fato, do exemplo anterior, segue que F
.
= {z ∈ M : f(z) = g(z)} é um subconjunto
fechado de M.
Logo X
.
= {x ∈ M : f(x) = g(x)} ⊆ F e assim ¯X ⊆ ¯F = F, ou seja, f(y) = g(y) para
y ∈ ¯X.
6.5 Sequências de fun¸cões
Observa¸cão 6.5.1 Sejam X um subconjunto não vazio, (M, d) espa¸co métrico e denotemos por
F(X; M) o conjunto formado por todas as fun¸cões f : X → M.
Logo podemos considerar uma sequência (fn)n∈N em F(X; M) que será denominada sequência
de fun¸cões em F(X; M).
Como veremos a seguir, podemos considerar vários tipos de convergência para sequência de
fun¸cões em F(X; M).
Come¸caremos pela
Defini¸cão 6.5.1 Na situa¸cão acima, diremos que a sequência de fun¸cões (fn)n∈N converge
simplesmente (ou pontualmente) em X para a fun¸cão f : X → M se para cada x ∈ X
a sequência (f(x))n∈N seja convergente para f(x) em M, isto é, se
para cada x ∈ X temos lim
n→∞
fn(x) = f(x).
Neste caso escreveremos:
fn
p
→ f em X.
Observa¸cão 6.5.2 Logo
fn
p
→ f em X
se, e somente se, para cada x ∈ X, dado ε 0, existe n0 = n0(ε, x) ∈ N tal que se
n n0 temos dM (fn(x), f(x)) ε.

Exemplo 6.5.1 Consideremos R com a métrica usual e a sequência (fn)n∈N onde, para cada
n ∈ N,
fn : R → R é dada por fn(x)
.
=
x
n
, x ∈ R.
Então
fn
p
→ 0 em R.
De fato, se x ∈ R, dado ε 0 seja n0 ∈ N tal que
n0
|x|
ε
.
Então se
n n0 temos dR(fn(x), f(x)) = |fn(x) − f(x)|
[f(x)=0]
= |
|x|
n
[nn0]
=
|x|
n0
ε,
mostrando a afirma¸cão.
f(x) = 0
f1(x) = x
E
T
f2(x) = x
2
f3(x) = x
3
f4(x) = x
4
x
y
x0
Exemplo 6.5.2 Consideremos [0, 1] munido da métrica induzida pela métrica usual de R, R
munido da métrica usual e a sequência (fn)n∈N uma sequência em F([0, 1]; R) onde, para cada
n ∈ N,
fn : [0, 1] → R é dada por fn(x)
.
= xn
, x ∈ [0, 1].
Seja f : [0, 1] → R dada por
f(x)
.
=
1, x = 0
0, 0 ≤ x 1
.
Então
fn
p
→ f em [0, 1].
De fato, se x = 1 temos que fn(x) = fx(1) = 1n = 1 para todo n ∈ N logo fn(1) → f(1).
Se x ∈ [0, 1), pelo exemplo (6.2.1), temos que fn(x) = xn → 0 = f(x).
Logo fn(x) → f(x), mostrando a afirma¸cão.

x0
f1(x) = x
f2(x) = x2
f3(x) = x3
y
x1
1
E
T
Um outro modo de convergência para sequências de fun¸cões é dado pela
Defini¸cão 6.5.2 Diremos que a sequência de fun¸cões (fn)n∈N converge uniformemente em
X para a fun¸cão f : X → M se dado ε 0, existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que se
n n0 temos dM (fn(x), f(x)) ε, para todo x ∈ X.
Neste caso escreveremos:
fn
u
→ f em X.
1. Se M, N ⊆ R podemos dar a seguinte interpreta¸cão geométrica para a convergência uni-
forme de sequência de fun¸cões.
Sejam fn, f : M → N, n ∈ N.
Notemos que escrever
|fn(x) − f(x)| ε
é equivalente a escrever
−ε fn(x) − f(x) ε
ou ainda,
f(x) − ε fn(x) f(x) + ε.
Assim, a seqüência de fun¸cões (fn)n∈N satisfaz a condi¸cão acima se, e somente se, seu
gráfico está contido no “ tubinho “ de raio ε em torno do gráfico da fun¸cão f (vide figura
abaixo).

fn
f
y
x
T
c
T
c
E
T
Logo, do ponto de vista acima, fn → f uniformemente em M se dado ε 0 existir
um n0 = n0(ε) ∈ N tal que para todo n ≥ n0 o gráfico das fun¸cões fn estão dentro do
”tubinho”de raio ε em torno do gráfico da fun¸cão f.
2. Mais adiante, (ver proposi¸cão (6.5.1) veremos que a convergência uniforme pode ser obtida
por meio da convergência em um espa¸co métrico conveniente.
3. Sabemos que se
fn
u
→ f em X
então
fn
p
→ f em X,
ou seja, para sequências de fun¸cões temos que convergência uniforme implica em con-
vergência pontual.
A reciproca é falsa, em geral, ou seja, existem sequências de fun¸cões que convergem pon-
tualmente mas que não convergem uniformemente, como veremos mais adiante.
Exemplo 6.5.3 Consideremos, [a, b] com a métrica induzida pela métrica usual de R, R com a
métrica usual e a sequência (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N,
fn : [a, b] → R é dada por fn(x)
.
=
x
n
, x ∈ [a, b].
Então
fn
u
→ 0 em [a, b].
De fato, seja c 0 tal que [a, b] ⊆ [−c, c].
Se x ∈ [a, b], dado ε 0 seja n0 ∈ N tal que
n0
c
ε
.
Então se
n n0 temos dR(fn(x), f(x)) = |fn(x) − f(x)|
[f(x)=0]
= |
|x|
n
[nn0]
=
|x|
n0
[x∈[a,b]⊆[−c,c]]
≤
c
n0
ε,
mostrando a afirma¸cão.
Geometricamente temos (se [a, b] = [0, 10])

x
ε
ε
10
T
c
c
T
fn(x) = x
n3
f3(x) = x
3
f2(x) = x
2
f1(x) = x
y
E
T
1. Observemos que no exemplo (6.5.1) a sequência de fun¸cões (fn)n∈N não converge uni-
formemente para a fun¸cão f = 0 em R.
De fato, dado ε = 1 para todo n0 ∈ N se n n0 existe x ∈ R tal que x n.
Assim
fn(x) =
x
n
1 = ε,
mostrando que
fn
p
→ 0 em R
mas a convergência não é uniforme em R.
2. Por outro lado o exemplo (6.5.3) temos que nos restringindo a um intervalo [a, b] a con-
vergência será uniforme em [a, b].
3. No exemplo (6.5.2) a convergência não será uniforme em [0, 1].
De fato, dado 0 ε 1 seja (veja figura abaixo)
x ∈ [0, 1) tal que n
√
ε ≤ x 1.

fn(x) = xn
x0
1/n
c
T
c
T
E
T
1
1 x
y

fn(x) − f(x)
[f(x)=0]
= xn
≥ ε,
mostrando que a convergência não será uniforme [0, 1].
18.11.2008 - 28.a
4. Dados (M, dM ) espa¸co métrico, X = ∅ e f : X → M, indiquemos por
Bf (X; M)
.
= {g : X → M : dsup(f, g) ∞},
onde
dsup(f, g)
.
= sup
x∈X
dM (f(x), g(x)).
Deste modo temos que (Bf (X; M), dsup) é um espa¸co métrico (será deixado como exerc´ıo
para o leitor).
Proposi¸cão 6.5.1 Na situa¸cão acima temos que fn
u
→ f em X se, e somente se, fn ∈
Bf (X; M) e lim
n→∞
fn = f em Bf (X; M).
Demonstra¸cão:
Observemos que
fn
u
→ f em X, se e somente se, dado ε 0 exitis n0 ∈ N tal que
n n0 temos que dM (fn(x), f(x)) ε, para todo x ∈ X,
ou equivalentemente,
n n0 temos que dsup(fn, f) = sup
x∈X
dM (fn(x), f(x)) ε,
que por sua vez é equivalente a fn, f ∈ Bf (X; M) para todo n ∈ N e lim
n→∞
fn = f em Bf (X; M).
Proposi¸cão 6.5.2 Sejam (E, . ) espa¸co vetorial normado, X = ∅ e (fn)n∈N, (gn)n∈N sequências
de fun¸cões tais fn, gn : X → E, f, g : X → E, (λn)n∈N sequência de fun¸cões reais definidas em
X (isto é λn : X → R) e λ : X → R.
1. Suponhamos que fn
u
→ f em X e gn
u
→ g em X.
Então fn + gn
u
→ f + g em X.
2. Suponhamos que fn
u
→ f em X e λn
u
→ λ em X onde λ e f são fun¸cões limitadas em X.
Então λn.fn
u
→ λ.f em X.
Demonstra¸cão:
De 1.:
Se fn
u
→ f em X e gn
u
→ g em X, dado ε 0 existem nf , ng ∈ N tal que
n nf temos que dM (fn(x), f(x))
ε
2
, para todo x ∈ X, (∗)
n ng temos que dM (gn(x), g(x))
ε
2
, para todo x ∈ X. (∗∗)

Seja n0
.
= max{nf , ng} ∈ N.
dM ((fn + gn)(x), (f + g)(x)) = (fn + gn)(x) − (f + g)(x) E
= [fn(x) − f(x) + [gn(x) − g(x)] E
≤ [fn(x) − f(x) + gn(x) − g(x) E
= dM (fn(x), f(x)) + dM (gn(x), g(x))
[(∗) e (∗∗)]

ε
2
+
ε
2
= ε,
para todo x ∈ X, mostrando que fn + gn
u
→ f + g em X.
De 2.:
Como λ é uma fun¸cão limitada existe a 0 tais que
|λ(x)| ≤ a x ∈ X. (∗)
Como fn
u
→ f em X e f é um fun¸cão limitada em X segue que existe c 0 tal que
fn(x) ≤ c, para todo x ∈ X. (∗∗)
Se fn
u
→ f em X e λn
u
→ λ em X, dado ε 0 existem nf , nλ ∈ N tal que
n nf temos que fn(x) − f(x) E = dM (fn(x), f(x))
ε
2a
, para todo x ∈ X, (∗ ∗ ∗)
n nλ temos que |λn(x) − λ(x)| = dR(λn(x), λ(x))
ε
2c
, para todo x ∈ X. (∗ ∗ ∗∗)
Seja n0
.
= max{nf , ng} ∈ N.
dM ((λn.fn)(x), (λ.f)(x)) = (λn.fn)(x) − (λ.f)(x) E
= λn(x).fn(x) − λ(x).f(x) E
= λn(x)fn(x) − λ(x)fn(x) + λ(x)fn(x) − λ(x).f(x)
= [λn(x) − λ(x)]fn(x) + λ(x)[fn(x) − f(x)]
≤ |λn(x) − λ(x)| fn(x) + |λ(x)| fn(x) − f(x) E
[(∗),(∗∗),(∗∗∗) e (∗∗∗∗)]

ε
2c
c + a
ε
2a
= ε,
para todo x ∈ X, mostrando que λn.fn
u
→ λ.f em X.
Observa¸cão 6.5.5 No item 2. acima, as hipóteses de que f e λ são fun¸cões limitadas é essen-
cial para a conclusão.
De fato, se considerarmos as sequências de fun¸cões reais a valores reais, (λn)n∈N e (fn)n∈N,
dadas por
λn(x)
.
=
1
n
, fn(x)
.
= x, x ∈ R,
então tomando-se λ, f : R → R dadas por
λ(x)
.
= 0, f(x) = x, x ∈ R,

temos que
λn
u
→ λ, fn
u
→ f
em X
.
= R.
Além disso, a fun¸cão λ é limitada em R mas a fun¸cão f não é limitada em R.
Observemos que
(λn.fn)(x) =
x
n
, x ∈ R
que não converge uniformemente em R (veja observa¸cão (6.5.4) item 1.).
Proposi¸cão 6.5.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e (fn)n∈N uma sequência de fun¸cões
tais que para cada n ∈ N tenhamos fn : M → N cont´ınua em a ∈ M.
Se fn
u
→ f em M então f : M → N será cont´ınua em a ∈ M.
Demonstra¸cão:
Dado ε 0, como fn
u
→ f em M, existe n0 ∈ N tal que
n n0 temos que dM (fn(x), f(x))
ε
3
, para todo x ∈ M. (∗)
Como fn0+1 é cont´ınua em a ∈ M, segue que existe δ 0 tal que
dM (x, a) δ temos que dN (fn0+1(x), fN0+1(a))
ε
3
. (∗∗)
Logo se
dM (x, a) δ
temos que
dN (f(x), f(a)) ≤ dN (f(x), fn0+1(x)) + dN (fn0+1(x), fn0+1(a)) + dN (fn0+1(a), f(a)). (∗ ∗ ∗)
Mas
dN (f(x), fn0+1(x))
(∗)
≤
ε
3
dN (fn0+1(x), fn0+1(a))
(∗∗)
≤
ε
3
dN (f(a), fn0+1(a))
(∗)
≤
ε
3
.
Se dM (x, a) δ temos, de (***) e das desigualdades acima, que
dN (f(x), f(a))
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε,
mostrando que f é cont´ınua no ponto a ∈ M.
Corolário 6.5.1 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos e (fn)n∈N um sequência de fun¸cões
tais que para cada n ∈ N tenhamos fn : M → N cont´ınua em M.
Se fn
u
→ f em M então f : M → N será cont´ınua em M.

6.6. PRODUTOS CARTESIANOS INFINITOS 241
Demonstra¸cão:
Basta aplicar a proposi¸cão acima em cada ponto de M.
Observa¸cão 6.5.6 Conclusão: convergência uniforme preserva continuidade, isto é, se uma
sequência de fun¸cões cont´ınuas converge uniformemente para uma fun¸cão, esta deverá ser cont´ınua.
6.6 Produtos cartesianos infinitos
Defini¸cão 6.6.1 Dada uma fam´ılia enumerável {(Mi, di) : i ∈ N} de espa¸cos métricos definimos
o produto cartesiano M
.
=
∞
i=1
Mi como sendo o conjunto formado pelas sequências do tipo
x = (x1, · · · , xk, · · · ) onde xi ∈ Mi, i ∈ N.
Os pontos xi ∈ Mi, i ∈ N serão denominados coordenadas do ponto x = (xi)i∈N.
Para cada i ∈ N definimos a i-ésima proje¸cão, denotada por pi : M → Mi, como sendo
pi(x)
.
= xi, x = (xi)i∈N ∈ M.
Observa¸cão 6.6.1 A seguir vamos introduzir uma métrica no produto cartesiano enumerável
de espa¸cos métricos M
.
=
∞
i=1
Mi.
Para isto precisaremos da seguinte hipótese sobre a fam´ılia de espa¸cos métricos {(Mi, di) :
i ∈ N}:
Suponhamos que para cada i ∈ N existe ci ≥ 0 tal que para todo xi, yi ∈ Mi temos
di(xi, yi) ≤ ci, (∗)
e
∞
i=1
ci ∞. (∗∗)
Vale observar que isto é equivalente a dizer que
∞
i=1
diam(Mi) ∞.
Veremos mais adiante, que isto não é necessário para munirmos M de uma métrica com-
pat´ıvel com as propriedades que virão a seguir (ver observa¸cão (6.6.3) item 5.).
Com isto, definimos a seguinte métrica em M
.
=
∞
i=1
Mi:
Consideremos d : M × M → R dada por
d(x, y) = d((xi)i∈N, (yi)i∈N)
.
=
∞
i=1
di(xi, yi), x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ M.
Observemos que d está bem definida pois, por (*) e (**), temos que a série em questão será
convergente em R.
Será deixado como exerc´ıcio para o leitor mostrar que d é uma métrica em M =
∞
i=1
Mi.

Defini¸cão 6.6.2 Na situa¸cão acima o par (M, d) será dito espa¸co métrico produto dos
espa¸cos métricos Mi, i ∈ N.
Observa¸cão 6.6.2 Na situa¸cão acima, para cada i ∈ N, temos que a proje¸cão
pi : M → Mi dada por pi((xk)k∈N) = xi, (xk)k∈N ∈ M
são contra¸cões fracas em M, logo cont´ınua em M, pois para cada i ∈ N temos que
di(pi(x), pi(y)) = di(xi, yi) ≤
∞
k=1
dk(xk, yk) = d(x, y),
para x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ M.
Como consequência disto temos que se, para cada i ∈ N, Ai ⊆ Mi é um subconjunto aberto
de Mi então p−1
i (Ai) ⊆ M é um subconjunto aberto de M.
Sabemos que
p−1
i (Ai) = {(xk)k∈N ∈ M : xi ∈ Mi} = M1 × · · · Mi−1 × Ai × Mi+1 × · · ·
que será denominado por fatia aberta de largura Ai.
Como A1 ⊆ M1, A2 ⊆ M2, · · · , An ⊆ Mn são subconjuntos abertos nos respectivos espa¸cos
métricos então
A
.
= A1 × · · · × An ×
∞
i=n+1
Mi (∗)
será um subconjunto aberto de M =
∞
i=1
Mi, pois
A1 × · · · × An ×
∞
i=n+1
Mi = p−1
1 (A1) ∩ · · · ∩ p−1
n (An)
que é uma interse¸cão finita de subconjuntos abertos de M.
O conjunto A, dado por (*), será denominado aberto básico produto cartesiano M =
∞
i=n+1
Mi.
Com isto temos
Proposi¸cão 6.6.1 Nas condi¸cões acima temos que U ⊆
∞
i=n+1
Mi é aberto em
∞
i=n+1
Mi se, e
somente se,
U =
λ∈A
Aλ,
onde Aλ é um aberto básico de
∞
i=n+1
Mi.
Demonstra¸cão:
Observemos que se
U =
λ∈A
Aλ,

onde Aλ é um aberto básico de
∞
i=1
Mi então U será um subconjunto aberto de
∞
i=1
Mi.
Reciprocamente, se U ⊆
∞
i=1
Mi é aberto em
∞
i=1
Mi então para todo x = (xi)i∈N ∈ U, existe
r 0 tal que
B(x; r) ⊆ U.
Como a série
∞
i=1
ci é convergente em R, existe N ∈ N tal que
∞
i=N+1
ci
r
2
. (∗)
Para cada i ∈ {1, · · · , N} consideremos
Ai
.
= Bi(xi;
r
2N
) ⊆ Mi.
Afirmamos que o aberto básico
Ax
.
= A1 × · · · × AN ×
∞
i=N+1
Mi
está contido na bola aberta B(x; r) e portanto em U.
De fato, se
z = (zi)i∈N ∈ Ax ⇒ d1(x1, z1)
r
2N
, · · · , dN (xN , zN )
r
2N
, (∗∗)
⇒ d(x, z) =
∞
i=1
di(xi, zi) =
N
i=1
di(xi, zi) +
∞
i=N+1
di(xi, zi)
⇒ d(x, z)
[di(xi,zi)≤ci,∀i∈N]
≤
N
i=1
di(xi, zi) +
∞
i=N+1
ci
[(∗∗) e (∗)]

N
i=1
r
2N
+
r
2
=
r
2
+
r
2
= r,
mostrando que z ∈ B(x; r) ⊆ U, ou seja, Ax ⊆ U.
Assim U =
x∈U
Ax, como quer´ıamos mostrar.
Corolário 6.6.1 Na situa¸cão acima, para cada i ∈ N, as proje¸cões pi :
∞
k=1
Mk → Mi são
aplica¸cões abertas em M =
∞
k=1
Mk.

Demonstra¸cão:
Se A = A1 × · · · × An ×
∞
k=n+1
Mk é um aberto básico então temos que
pi(A1 × · · · × An ×
∞
k=n+1
Mk) =
Ai, se i = 1, · · · , n
Mi, se i = n + 1, · · ·
,
mostrando que pi(A) é um subconjunto aberto de Mi, para cada i ∈ N.
Dado um aberto U ⊆ M temos, da proposi¸cão (6.6.1), que
U =
λ∈A
Aλ,
onde Aλ é um aberto básico de M.
Mas
pi(U) = pi(
λ∈A
Aλ) =
λ∈A
pi(Aλ),
ou seja, pi(U) é uma reunião de abertos de M, logo será um aberto de M, mostrando que pi é
uma aplica¸cão aberta em M, para cada i ∈ N.
Proposi¸cão 6.6.2 Na situa¸cão acima, consideremos (N, dN ) um espa¸co métrico e f : N →
∞
i=1
Mi.
Então f é cont´ınua em N se, e somente se, suas fun¸cões coordenadas fi
.
= pi ◦ f : N → Mi
for cont´ınua em N para cada i ∈ N.
Demonstra¸cão:
Se f é cont´ınua em N, como pi é cont´ınua em
∞
k=1
Mk é para cada i ∈ N temos que fi = pi ◦f
será cont´ınua em N.
Reciprocamente, se para cada i ∈ N as fun¸cões fi são cont´ınuas em N então dado A =
A1 × · · · × An ×
∞
k=n+1
Mk aberto básico então temos que
A = p−1
1 (A) ∩ · · · p−1
n (A)
e assim
f−1
(A) = f−1
[p−1
1 (A) ∩ · · · p−1
n (A)] = f−1
[p−1
1 (A)] ∩ · · · f−1
[p−1
n (A)]
= (p1 ◦ f)−1
(A1) ∩ · · · ∩ (pn ◦ f)−1
(An)
= f−1
1 (A1) ∩ · · · ∩ f−1
n (An)
Como, para cada i ∈ N os conjuntos f−1
i (Ai) são abertos em N, pois fi é cont´ınua em N,
segue que f−1(A) é um subconjunto aberto de N, ou seja, imagem inversa pela fun¸cão f de
subconjunto aberto básico de M será um aberto de N.

Se U ⊆
∞
i=1
Mi é aberto em
∞
i=1
Mi , da proposi¸cão (6.6.1), segue que
U =
λ∈A
Aλ,
onde Aλ é um aberto básico de M.
Mas
f−1
(U) = f−1
λ∈A
Aλ =
λ∈A
f−1
(Aλ)
e como f−1(Aλ) é um subconjunto aberto de N (pois Aλ é um aberto básico de
∞
i=1
Mi) segue
que f−1(A) será um subconjunto aberto de N, mostrando que f é uma fun¸cão cont´ınua em N.
20.11.2008 - 29.a
Corolário 6.6.2 Na situa¸cão acima, a sequência (xm)m∈N em
∞
i=1
Mi é convergente em
∞
i=1
Mi
se, e somente se, a sequência (xmi)m∈N em Mi é convergente em Mi, para cada i ∈ N.
Mais geralmente xm → x em
∞
i=1
Mi, onde x = (ai)i∈N ∈
∞
i=1
Mi se, e somente se, xmi → ai
em Mi, para cada i ∈ N.
Demonstra¸cão:
A demonstra¸cão é semelhante a demostra¸cão da proposi¸cão (6.1.5).
A reda¸cão será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Proposi¸cão 6.6.3 Sejam (Mi, di) espa¸co métricos e Xi ⊆ Mi, i ∈ N.
Então
i∈N
Xi =
i∈N
Xi.
Demonstra¸cão:
Da proposi¸cão (6.4.2) temos que um ponto a ∈ M =
i∈N
Mi é ponto aderente de
i∈N
Xi se, e
somente se, existe uma sequência (xn)n∈N em M tal que xn → a em M.
Do corolário (6.6.2), isto é equivalente a dizer que xni → ai em Mi, para todo i ∈ N, onde
a = (ai)i∈N, que por sua vez, pela proposi¸cão (6.4.2), é equivalente a dizer que ai ∈ Xi para
todo i ∈ N, ou ainda, a ∈
i∈N
Xi, como quer´ıamos mostrar.
Corolário 6.6.3 Na situa¸cão acima,se para cada i ∈ N temos que Fi ⊆ Mi é fechado em Mi
então
i∈N
Fi será fechado em
i∈N
Mi.

Demonstra¸cão:
Observemos que se i ∈ N temos que Fi ⊆ Mi é fechado em Mi então Fi = Fi para todo i ∈ N.
Mas, do corolário acima temos que
i∈N
Fi =
i∈N
Fi =
i∈N
Fi,
e assim segue que
i∈N
Fi será fechado em
i∈N
Mi.
Como consequência deste temos o
Corolário 6.6.4 Na situa¸cão acima,se para cada i ∈ N temos que Xi ⊆ Mi é denso em Mi
então
i∈N
Xi será denso em
i∈N
Mi.
Demonstra¸cão:
Do corolário acima temos que
i∈N
Xi =
i∈N
Xi =
i∈N
Mi = M,
e assim segue que
i∈N
Xi será denso em M =
i∈N
Mi.
Exerc´ıcio 6.6.1 Como para cada i ∈ N temos que a proje¸cão
pi :
i∈N
Mi → Mi
é uma aplica¸cão sobrejetora e cont´ınua em
i∈N
Mi segue que se A ⊆
i∈N
Mi é denso em
i∈N
Mi
temos que pi(A) ⊆ Mi será denso em Mi, para i ∈ N.
Suponhamos, por absurdo, que existe A ⊆
i∈N
Mi denso em
i∈N
Mi tal que pi0 (A) = Mi0 , para
algum i0 ∈ N, ou seja, existe ai0 ∈ Mi0 pi0 (A).
Como pi0 (A) é fechado em Mi0 segue que Mi0 pi0 (A) será aberto em Mi0 .
Logo existe r 0 tal que
Bi0 (ai0 ; r) ⊆ Mi0 pi0 (A).
Como pi0 é sobrejetora existe a ∈
i∈N
Mi tal que pi0 (a) = ai0 .
Além disso como pi0 é cont´ınua em a existe s 0 tal que
pi0 (B(a; s)) ⊆ Bi0 (ai0 ; r). (∗)
Mas Bi0 (a; r) ⊆ Mi0 pi0 (A) logo
B(a; s) ∩ A = ∅
(caso contrário ter´ıamos pi0 (B(a; s)) ∩ pi0 (A) = ∅ o que é um absurdo pois, Bi0 (a; r) ⊆ Mi0
pi0 (A)).
Mas (*) contraria o fato que A é denso em
i∈N
Mi, logo temos um absurdo e assim pi(A) ⊆ Mi
deverá ser denso em Mi, para todo i ∈ N.

Para finalizar esta se¸cão faremos algumas considera¸cões importantes
1. Na situa¸cão acima temos que se
i∈N
Xi é fechado em M =
i∈N
Mi então para cada i ∈ N
temos que Xi será um subconjunto fechado de Mi pois dos resultados acima temos que
i∈N
Xi =
i∈N
Xi =
i∈N
Xi
que implicará que Xi = Xi para cada i ∈ N, mostrando que Xi é fechado em Mi para cada
i ∈ N.
2. Porém vale observar que a proje¸cão de um subconjunto fechado de F ⊆ M =
i∈N
Mi em
um dos fatores Mi, para algum i ∈ N poderá não ser um subcojunto fechado de Mi.
Veja a observa¸cão (4.4.10) item 1. .
3. Se Ai ⊆ Mi é um subconjunto aberto em Mi para cada i ∈ N isto não implica que
A
.
=
i∈N
Ai
seja um subconjunto aberto de M =
i∈N
Mi.
Para que isto ocorra é suficiente que exista n ∈ N tal que para todo i n tenhamos
Ai = Mi.
De fato, pois neste caso, A será um aberto básico de M =
i∈N
Mi.
Mas esta condi¸cão também será necessária (se A for não vazio) pois se A
.
=
i∈N
Ai é um
subcojunto aberto, não vazio, de M =
i∈N
Mi e x ∈ A, pela proposi¸cão (6.6.1), segue que
existe uma aberto básico, A
.
= A1 × · · · × An ×
in
Mi tal que
x ∈ A ⊆ A,
ou seja, Ai = Mi para todo i n.
Conclusão: se tomarmos, para cada i ∈ N, Ai subconjunto aberto em Mi tal que uma
infinidade deste não seja igual aos correspondentes espa¸cos todo então teremos que A
.
=
i∈N
Ai não será aberto em M =
i∈N
Mi (por exemplo:
i∈N
(ai, bi) não é aberto em M
.
=
i∈N
R = R × R × · · · onde −∞ ai bi ∞).

4. A seguir vamos introduzir uma mérica no produto cartesiano M
.
=
i∈N
Mi sem precisar
impor a condi¸cão
i∈N
diam(Mi) ∞.
Para isto consideremos
d : M × M → R
dada por
d(x, y)
.
=
∞
i=1
1
2i
di(xi, yi)
1 + di(xi, yi)
,
onde x = (xi)i∈N, x = (yi)i∈N ∈ M.
Observemos que
1
2i
di(xi, yi)
1 + di(xi, yi)
[
di(xi,yi)
1+di(xi,yi)
≤1]
≤
1
2i
, i ∈ N
e a série
∞
i=1
1
2i
é convergente em R (pois é uma série geométrica de razão 0 r = 1
2 1).
Logo d está bem definida e satisfaz as condi¸cões da defini¸cão de métrica (a verifica¸cão
deste fato será deixada como exerc´ıcio para o leitor).
Com isto temos que (
i∈N
Mi, d) será um espa¸co métrico que tem as mesmas propriedades
anteriores.
6.7 Limites de fun¸cões
Para finalizar o cap´ıtulo estudaremos o limite de uma fun¸cão quando a variável aproxima-se de
algum valor.
Para isto
Defini¸cão 6.7.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métrico, X ⊆ M não vazio, a ∈ X e f : X →
N.
Diremos que um ponto b ∈ N é o limite de f(x) quando x tende ao ponto a que
denotaremos por
lim
x→a
f(x) = b,
se dado ε 0 existe δ 0 tal que se
x ∈ X e dM (x, a) δ então dN (f(x), b) ε.
1. Como a ∈ X faz sentido considerar ” x ∈ X e dM (x, a) δ”.
2. Se a fun¸cão f está definida no ponto a então a defini¸cão acima é, equivalente, a dizer que
a fun¸cão f é cont´ınua no ponto a.

6.7. LIMITES DE FUNÇ ÕES 249
De fato, se é cont´ınua no ponto a segue que
lim
x→a
f(x) = f(a)(= b).
Reciprocamente se
lim
x→a
f(x) = b
então dado ε 0 existe δ 0 tal que se
x ∈ X e dM (x, a) δ então dN (f(x), b) ε,
em particular, tomando-se x = a teremos que
dM (a, a) = 0 δ então dN (f(a), b) ε,
o que implicará que b = f(a), ou seja, f é cont´ınua no ponto a.
3. Devido a observa¸cão acima o nosso interesse maior será nos casos em que a ∈ X X (isto
é, a é ponto aderente do conjunto X mas não pertende ao conjunto X).
Com isto temos a
Proposi¸cão 6.7.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métrico, X ⊆ M não vazio, a ∈ X e f :
X → N.
lim
x→a
f(x) = b
se, e somente se, para toda sequência (xn)n∈N em X convergente para a em M temos que a
sequência (f(xn))n∈N em N é convergente para b em N, isto é, se xn ∈ X, n ∈ N e xn → a em
M então f(xn) → b em N.
Demonstra¸cão:
É semelhante a demonstra¸cão da proposi¸cão (6.4.1) e será deixada como exerc´ıcio para o
leitor.
Corolário 6.7.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métrico, X ⊆ M não vazio, a ∈ X e f :
X → N.
Se toda sequência (xn)n∈N em X que converge para a em M implicar que a sequência
((f(xn))n∈N é convergente em N então
lim
x→a
f(x) = b
para algum b ∈ N.
Demonstra¸cão:
Observemos, primeiramente, que se as sequências (xn)n∈N e (yn)n∈N em X convergem para a
em M então as sequências ((f(xn))n∈N e ((f(yn))n∈N serão convergentes em N para um mesmo
valor, isto é,
lim
n→∞
f(xn) = lim
n→∞
f(yn).

De fato, suponhamos, por absurdo, que
lim
n→∞
f(xn)
.
= b = c
.
= lim
n→∞
f(yn).
A sequência (zn)n∈N dada por
zn
.
=
xn, se n é ´ımpar
yn, se n é par
é tal que zn → a em M (será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão deste fato) e as
subsequências
((f(z2n))n∈N = ((f(x2n))n∈N, ((f(z2n+1))n∈N = ((f(y2n+1))n∈N
serão convergentes para b e c em N, respectivamente, com b = c, mostrando que a sequência
((f(zn))n∈N não será convergente em N, contrariando a hipótese.
Seja b o valor comum do limite em N de todas as sequências ((f(xn))n∈N tais que a sequência
(xn)n∈N em X converge para a em M.
Segue da proposi¸cão acima que
lim
x→a
f(x) = b,
Proposi¸cão 6.7.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métrico, X ⊆ M não vazio e f : X → N
cont´ınua em X.
Se para todo a ∈ X existe lim
x→a
f(x) então a aplica¸cão
F : X → N
dada por
F(y)
.
=



f(y) se y ∈ X
lim
x→y
f(x) se y ∈ X X
será cont´ınua em X.
Demonstra¸cão:
Como f é cont´ınua em X segue que F será cont´ınua em X.
Se a ∈ X sabemos que
lim
x→a
f(x) = F(a),
assim dado ε 0 existe δ 0 tal que se
x ∈ X e dM (x, a) δ então dN (F(x), F(a)) = dN (f(x), F(a))
ε
2
. (∗)
Mostraremos que para todo
¯x ∈ X tal que dM (¯x, a)
δ
2
teremos dN (F(¯x), F(a)) ε,
o que implicará que F será cont´ınua em X.

6.7. LIMITES DE FUNÇ ÕES 251
Para isto observemos que como ¯x ∈ X existe uma sequência (xn)n∈N em X tal que
lim
n→∞
xn = ¯x.
Logo existe m0 ∈ N tal que se n ≥ m0 teremos
dM (xn, ¯x)
δ
2
,
assim, se n ≥ m0 teremos
dM (xn, a) ≤ dM (xn, ¯x) + dM (¯x, a)
δ
2
+
δ
2
,
e, de (*), segue que
dN (F(xn), F(a)) = dN (f(xn), F(a))
ε
2
. (∗∗)
Logo se dM (¯x, a)
δ
2
teremos (observemos que F(¯x) = lim
n→∞
f(xn))
dN (F(¯x), F(a)) = dN (( lim
n→∞
f(xn), F(a))
[d é cont´ınua]]
= ≤ lim
n→∞
d(f(xn), F(a)) ≤
ε
2
ε,
Observa¸cão 6.7.2 Observemos que dada uma fun¸cão f : X → N com X ⊆ M, (M, dM ) e
(N, dN ) espa¸cos métricos nem sempre existe lim
x→a
f(x) para a ∈ X.
Para ver isto consideremos f : R {0} → R (ou seja, N = M = R e X = R {0}) dada por
f(x)
.
= sen(
1
x
), x ∈ R {0}.
Sabemos que não existe lim
x→0
f(x).
Exerc´ıcio 6.7.1 Seja I = (a, b) ⊆ R munido métrica induzida pela métrica usual de R.
Suponhamos que f : I → R seja monótona e limitada.
Então existem lim
x→a
f(x) e lim
x→b
f(x).
De fato, consideraremos o caso em que f é não-decrescente (o caso não crescente será deixado
como exerc´ıcio para o leitor) e mostraremos que lim
x→b
f(x) existe (o caso lim
x→a
f(x) será deixado
Como f é limitada segue que f(I) ⊆ R é um subconjunto limitado de R.
Logo existe
L
.
= sup{f(x) : a x b}.
Mostremos que
lim
x→b
f(x) = L.
Para isto, dado ε 0, da defini¸cão de supremo, existe
x0 ∈ (a, b) tal que f(x0) ∈ (L − ε, L].

Seja δ
.
= b − x0 0.
Afirmamos que se
x ∈ (b − δ, b) temos que f(x) ∈ (L − ε, L].
De fato, se b − δ x b segue x0 = b − δ x b e como f é não decrescente teremos
L − ε f(x0) ≤ f(x) ≤ L,
isto é, se x ∈ I = (a, b) e |x − b| δ (ou seja, b − δ x b) segue que
L − ε f(x) ≤ L L + ε,
ou, equivalentemente,
|f(x) − L| ε
mostrando que lim
x→a
f(x) = L.

Cap´ıtulo 7
Continuidade Uniforme de Fun¸cões
em Espa¸cos Métricos
Iniciaremos pela
Defini¸cão 7.0.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸cão f é uniformemente cont´ınua em M se dado ε 0 existir δ =
δ(ε) 0 tal que se x, y ∈ M e
dM (x, y) δ então dM (f(x), f(y)) ε.
1. Se f : M → N é uniformemente cont´ınua em M então é imediato que f será uma fun¸cão
cont´ınua em M (ou seja, será cont´ınua em cada ponto de M).
2. Ao contrário da continuidade em cada ponto (que é um fenômeno local) a continuidade
uniforme é um fenômeno global.
Como veremos em exemplos a seguir, podemos ter uma fun¸cão que é cont´ınua em cada
ponto de um espa¸co métrico mas não é uniformemente cont´ınua em M.
Mas ainda, podemos ter uma fun¸cão f : M → N tal que para cada a ∈ M exista B
.
=
BM (a; r) tal que f|B
seja uniformemente cont´ınua mas f : M → N não seja uma fun¸cão
uniformemente cont´ınua em M.
3. Vale observar que continuidade uniforme não é uma propriedade topológica, isto é, uma
aplica¸cão f : (M, dM ) → (N, dN ) pode ser uniformemente cont´ınua em (M, dM ) mas
podem existir métricas dM e dN equivalentes a dM e dN , respectivamente, de tal modo que
a aplica¸cão f : (M, dM ) → (N, dN ) não seja uniformemente cont´ınua em (M, dM ).
4. Ou de outro modo: a defini¸cão de continuidade (em termos de ε e δ) pode ser obtida
utilizando-se abertos (ou fechados) dos espa¸cos métricos M e N envolvidos.
No caso da continuidade uniforme isto não é poss´ıvel, ou seja, não temos como estabelecer
uma condi¸cão necessária e suficiente em termos de abertos (ou fechados) de M e N,
respectivamente, para caraterizar uma fun¸cão uniformemente cont´ınua.
Defini¸cão 7.0.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N.
Diremos que a fun¸cão f é homeomorfismo uniforme de M em N se f e sua fun¸cão
inversa f−1 : N → M forem uniformemente cont´ınuas em M e N, respectivamente.
253

254CAPÍTULO 7. CONTINUIDADE UNIFORME DE FUNÇ ÕES EM ESPAÇOS MÉTRICOS
E
'
f
f−1
M
N
uniformemente cont´ınua
uniformemente cont´ınua
25.11.2008 - 30.a
Temos a
Proposi¸cão 7.0.3 Sejam (M, dM ), (N, dN ) e (P, dP ) espa¸cos métricos, f : M → N e g : N →
P uniformemente cont´ınuas em M e N respectivamente.
Então g ◦ f : M → P será uniformemente cont´ınua em M.
Demonstra¸cão:
De fato, dado ε 0, como g : N → P será uniformemente cont´ınua em N existe λ 0 tal
que se z, w ∈ N e
dN (z, w) λ então dP (g(z), g(w)) ε. (∗)
Como f : M → N será uniformemente cont´ınua em M existe δ 0 tal que se x, y ∈ M e
dM (x, y) δ então dN (f(x), f(y)) λ. (∗∗)
Logo se x, y ∈ M e
dM (x, y) δ então, de (**), temos dN (f(x), f(y)) λ e, de (*), segue dP (g(f(x)), g(f(y))) λ
mostrando que g ◦ f é uniformemente cont´ınua em M.
Corolário 7.0.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, X ⊆ M e f : M → N uniforme-
mente cont´ınua em M.
Então f|X
é uniformemente cont´ınua em X.
Demonstra¸cão:
Seja i : X → M dada por i(x)
.
= x, x ∈ X (a aplica¸cão inclusão de X em M).
Temos que i é uniformemente cont´ınua em X (basta tomas δ = ε) e temos que f|X
= f ◦ i e
assim, pela proposi¸cão acima, segue que f|X
será uniformemente cont´ınua em X.
Temos a
Proposi¸cão 7.0.4 Sejam (M, dM ), espa¸co métrico, (E, . E) espa¸co vetorial normado, f, g :
M → E uniformemente cont´ınuas em M e λ ∈ R {0}.
Então f + g e λ.f são uniformemente cont´ınuas em M.

255
Demonstra¸cão:
Dado ε 0, como f : M → E é uniformemente cont´ınua em M existe δ1 0 tal que se
x, y ∈ M e
dM (x, y) δ1 então f(x) − f(y)) E = dE(f(x), f(y))
ε
2
. (∗)
De modo semelhante, como g : M → E é uniformemente cont´ınua em M existe δ2 0 tal
que se x, y ∈ M e
dM (x, y) δ2 então g(x) − g(y)) E = dE(g(x), g(y))
ε
2
. (∗∗)
Logo tomando-se δ
.
= min{δ1, δ2} 0 temos que se se x, y ∈ M e
dM (x, y) δ
teremos
dE((f + g)(x), (f + g)(y)) = (f + g)(x) − (f + g)(y)) E = [f(x) − f(y)] + [g(x) − g(y)] E
≤ f(x) − f(y) E + g(x) − g(y) E
(∗) e (∗∗)]

ε
2
+
ε
2
= ε,
mostrando que f + g é uniformemente cont´ınua em M.
Dado ε 0, como f : M → E é uniformemente cont´ınua em M existe δ 0 tal que se
x, y ∈ M e
dM (x, y) δ então f(x) − f(y)) E = dE(f(x), f(y))
ε
|λ|
. (∗ ∗ ∗)
Logo se x, y ∈ M e dM (x, y) δ então
dE((λ.f)(x), (λ.f)(y)) = (λ.f)(x) − (λ.f)(y)) E = |λ| f(x) − f(x) E
[(∗∗∗)]
|λ|
ε
|λ|
= ε
mostrando que λ.f é uniformemente cont´ınua em M.
1. A proposi¸cão acima nos diz que o conjunto formado por todas as aplica¸cões uniformemente
cont´ınuas de (M, dM ) em (E, . E) será um espa¸co vetorial sobre R quando munido das
opera¸cões de adi¸cão de fun¸cões e multiplica¸cão de número real por fun¸cão.
2. Podemos ter f, g : M → R uniformemente cont´ınuas em M e a aplica¸cão f.g não ser
uniformemente cont´ınua em M.
Mais adiante exibiremos um contra-exemplo para esta situa¸cão.
Em geral temos a
Proposi¸cão 7.0.5 Sejam (M, dM ), espa¸co métrico, R com a métrica usual, f, g : M → R
uniformemente cont´ınuas e limitadas em M.
Então f.g é uniformemente cont´ınua em M.

Demonstra¸cão:
Como f, g é limitada em M existe C1, C2 0 tal que
|g(x)| ≤ C1, para todo x ∈ M. (∗)
e
|f(x)| ≤ C2, para todo x ∈ M. (∗∗)
Dado ε 0, como f : M → R é uniformemente cont´ınua em M existe δ1 0 tal que se
x, y ∈ M e
dM (x, y) δ1 então |f(x) − f(y))| = dR(f(x), f(y))
ε
2C1
. (∗ ∗ ∗)
como g : M → R é uniformemente cont´ınua em M existe δ2 0 tal que se x, y ∈ M e
dM (x, y) δ2 então |g(x) − g(y))| = dR(g(x), g(y))
ε
2C2
. (∗ ∗ ∗∗)
Seja δ
.
= min{δ1, δ2} 0.
Logo se x, y ∈ M e dM (x, y) δ então
dR((f.g)(x), (f.g)(y)) = |(f.g)(x) − (f.g)(y))| = |f(x).g(x) − f(y)g(x) + f(y)g(x) − f(y).g(y)|
≤ |g(x)||f(x) − f(y)| + |f(y)|g(x) − g(y)|
[(∗),(∗∗),(∗∗∗) e (∗∗∗∗)]
C1
ε
2C1
+ C2
ε
2C2
= ε (7.1)
mostrando que f.g é uniformemente cont´ınua em M.
Proposi¸cão 7.0.6 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N lischitziana em M.
Então f é uniformemente cont´ınua em M.
Demonstra¸cão:
Como f : M → N lischitziana em M, existe C 0 tal que se x, y ∈ M temos
dN (f(x), f(y)) ≤ CdM (x, y).
Logo, dado ε 0 se δ
.
=
ε
C
0 temos que se x, y ∈ M e dM (x, y) δ teremos
dN (f(x), f(y)) ≤ CdM (x, y) C
ε
C
= ε
mostrando que f é uniformemente cont´ınua em M.
Observa¸cão 7.0.5 Como consequência temos:
1. Na situa¸cão acima se M = I é um intervalo de R e N = R então f : I → R diferenciável
em I tal que sua derivada é limitada em I é uniformemente cont´ınua em I.
De fato, pois vimos anteriormente que neste caso f será lipschitziana em I.
2. Toda imersão isométrica é uniformemente cont´ınua.
De fato, pois toda imersão isométrica é lipschitziana.

257
3. As proje¸cões pi :
n
i=1
Mi → Mi para i = 1, · · · , n são uniformemente cont´ınuas em
n
i=1
Mi.
De fato, pois as proje¸cões pi são contra¸cões fracas (logo será lipschitziana).
4. Se (M, dM ) é um espa¸co métrico então a aplica¸cão dM : M × M → R é uniformemente
cont´ınua em M ×M (munido de uma das três métricas usuais) pois é uma contra¸cão fraca
(logo será lipschitziana).
5. Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado.
Então:
(a) A aplica¸cão . E : E × E → R é uniformemente cont´ınua em E × E;
(b) A aplica¸cão s : E × E → E dada por s(x, y)
.
= x + y, x, y ∈ E é uniformemente
cont´ınua em E × E;
As demonstra¸cões destes fatos serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
6. Sejam (E, . E), (F, . F ) espa¸cos vetoriais normados.
Então:
(a) Se f : E → F é uma transforma¸cão linear cont´ınua então f uniformemente cont´ınua
em E;
(b) Em particular, se f : Rm → F é uma transforma¸cão linear então f uniformemente
cont´ınua em E;
(c) A aplica¸cão m : R × E → E dada por m(λ, x)
.
= λx, (λ, x) ∈ R × E é uniformemente
cont´ınua em cada subconjunto limitado de R × E;
As demonstra¸cões destes fatos serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
7. Sejam (Ei, . i), espa¸cos vetoriais normados para i = 1, · · · , m.
Então se f : E1 ×· · ·×Em → F é uma transforma¸cão m-linear cont´ınua em E1 ×· · ·×Em
(com uma das três métricas usuais) então f uniformemente cont´ınua em cada subconjunto
limitado de E1 × · · · × Em.
A seguir consideraremos alguns exemplos importantes.
Exemplo 7.0.1 A fun¸cão f : R → R dada por f(x)
.
= x2, x ∈ R é uniformemente cont´ınua
em cada A ⊆ R limitado (pois sua derivada será limitada em A) mas não é uniformemente
cont´ınua em R.
De fato, como
(x +
1
x
)2
− x2
= x2
+ 2.x
1
x
+
1
x2
− x2
= 2 +
1
x2
2
tomando-se ε = 1 podemos ver que para todo δ 0 existe x ∈ R com |x|
1
δ
.

Assim y
.
= x +
1
x
satisfaz a condi¸cão
dR(x, y) = |x − y| = |x − [x +
1
x
]| =
1
|x|
δ
mas
dR(f(x), f(y) = |f(y) − f(x)| = |y2
− x2
| = |(x +
1
x
)2
− x2
| 2 1 = ε
mostrando que f não é uniformemente cont´ınua em R.
Observa¸cão 7.0.6 Na verdade o mesmo argumento acima mostra que a fun¸cão f não será
uniformemente cont´ınua em qualquer subconjunto não limitado de R.
Exerc´ıcio 7.0.2 A fun¸cão f : (0, ∞) → R dada por f(x)
.
= cos(
1
x
), x ∈ (0, ∞) é cont´ınua e
limitada em (0, ∞) mas não é uniformemente cont´ınua em (0, ∞).
De fato, dado ε = 1 para todo δ 0 podemos escolher n ∈ N tal que
x
.
=
1
2nπ
e y
.
=
1
2(n + 1)π
perten¸cem ao intervalo (−
δ
2
,
δ
2
), ou seja,
|x − y| = |
1
2nπ
−
1
2(n + 1)π
| δ
mas para estes valores temos
|f(x) − f(y)| = | cos(2nπ) − cos(2(n + 1)π)| = |1 − (−1)| = 2 1 = ε,
mostrando que a fun¸cão f não será uniformemente cont´ınua em (0, ∞).
Observa¸cão 7.0.7 Vale o mesmo se trocarmos o intervalo (0, ∞) por (0, a) para qualquer a 0.
Exerc´ıcio 7.0.3 Considermos f : R {0} → R dada por
f(x)
.
=
1, x 0
−1, x 0
.
A fun¸cão f é cont´ınua em R{0} (por que?) mas não é uniformemente cont´ınua em R{0}.
De fato, pois dado ε = 1, para todo δ 0 temos se 0 x δ
2 então temos que
|x − (−x)| δ
mas
|f(x) − f(−x)| = 2 1 = ε,
mostrando que f não é uniformemente cont´ınua em R {0}.
Podemos estender o exemplo acima, da seguinte forma:

259
Exerc´ıcio 7.0.4 Suponhamos que (M, dM ) e (N, dN ) são espa¸cos métricos, f : M → N é
cont´ınua em M e existem a, b ∈ N, a = b tais que os conjuntos F
.
= f−1({a}) e G
.
= f−1({b})
(que são fechados e disjuntos em M) satisfazem
dM (F, G) = 0.
Então f não é uniformemente cont´ınua em M.
De fato, seja ε =
dN (a, b)
2
0.
Como dM (F, G) = 0 para todo δ 0 existem x ∈ F e y ∈ G tais que
dM (x, y) δ.
Mas observemos que
dN (f(x), f(y)) = dN (a, b) = 2ε ε,
mostrando que f não é uniformemente cont´ınua em M.
Exemplo 7.0.2 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico e F, G ⊆ M fechados em M, não vazios e
disjuntos.
Afirmamos que existe uma fun¸cão f : M → [0, 1] cont´ınua em M tal que (veja figura abaixo)
f(x) =
0 para x ∈ F
1 para x ∈ G
.
M
G
F
E
T
0
1
f
Um modo de definir a fun¸cão f seria
f(x)
.
=
dM (x, F)
d(x, F) + dM (x, G)
, x ∈ M.
Como F e G são fechados e F ∩ G = ∅ temos que f está bem definida (pois não há como
zerar o denominador) e portanto será cont´ınua em M (pois x → d(x, F) e x → d(x, G) são
cont´ınuas em M).
Além disso, se x ∈ F temos que
d(x, F) =
dM (x, F)
d(x, F) + dM (x, G)
=
0
0 + dM (x, G)
= 0,

logo f(x) = 0 e se x ∈ G temos que
d(x, G) =
dM (x, F)
d(x, F) + dM (x, G)
=
dM (x, F)
d(x, F) + 0
= 1,
logo f(x) = 1, como afirmamos acima.
Observa¸cão 7.0.8 A fun¸cão acima é denominada Fun¸cão de Urysohn associada ao para
F, G.
Proposi¸cão 7.0.7 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e f : I → M uniformemente cont´ınua em I,
onde I ⊆ R é um intervalo limitado de R.
Então f é limitada em I.
Demonstra¸cão:
Vamos supor que I = [a, b].
Os outros casos serão deixados como exerc´ıcio para o leitor.
Dado ε = 1 0 como f é uniformemente cont´ınua em I existe δ 0 tal que se x, y ∈ I e
|x − y| = dR(x, y) δ temos dM (f(x), f(y)) ε = 1. (∗)
Como I é um intervalo limitado de R podemos decompo-lo em um número finito de sub-
intervalos justapostos, Ij = [aj−1, aj], j = 1, · · · , N0, todos de comprimento menor que δ, assim
d(aj−1, aj) δ, j = 1, · · · , N0
(∗)
⇒ d(f(aj−1), f(aj)) 1, j = 1, · · · , N0. (∗∗)
Se x, y ∈ I, podemos supor, sem perda de generalidade que x ≤ y e assim existem j0, j1 ∈
{1, · · · , N0} tais que
aj0−1 ≤ x ≤ aj0 ≤ aj1−1 ≤ y ≤ aj1 ,
assim
d(x, aj0 ) δ e d(y, aj1 ) δ. (∗ ∗ ∗)
Logo
dN (f(x), f(y)) ≤ dN (f(x), f(aj0 )) + dN (f(aj0 ), f(aj0+1))
+ · · · + dN (f(aj1−1), f(aj1 )) + dN (f(aj1 ), f(y))
(∗∗),(∗∗∗),(∗)
≤ 1 + · · · + 1
N0parcelas
= N0
mostrando que f é limitada em I.
Proposi¸cão 7.0.8 Sejam (M, dM ), (Ni, di), i = 1, · · · , n espa¸cos métricos, N1 ×· · · Nn munido
da métrica da soma e f : M → N1 × · · · Nn.
Então f é uniformemente cont´ınua em M se, e somente se, cada uma de suas coordenadas
fi : M → Ni, i = 1, · · · , n, for uniformemente cont´ınua em M.

261
Demonstra¸cão:
Se f é uniformemente cont´ınua em M, como as proje¸cões pi : N1×· · ·×Nn → Ni, i = 1, · · · , n,
são uniformemente cont´ınuas em M e fi = pi ◦ f segue que cada uma de suas coordenadas
fi : M → Ni, i = 1, · · · , n, for uniformemente cont´ınua em M.
Reciprocamente, se cada uma de suas coordenadas fi : M → Ni, i = 1, · · · , n , for uniforme-
mente cont´ınua em M, dado ε 0, para cada i = 1, · · · , n, existe δi 0 tal que se x, y ∈ M
e
dM (x, y) δi temos di(fi(x), fi(y))
ε
n
. (∗)
Seja δ = min{δi : i = 1, · · · , n} 0.
Logo se x, y ∈ M e dM (x, y) δ temos que
dN1×···×Nn (f(x), f(y)) =
n
i=1
di(fi(x), fi(y))
[(∗)]

n
i=1
ε
n
= ε,
Proposi¸cão 7.0.9 Sejam (Ei, . i), i = 1, · · · , n e (F, . F ) espa¸cos vetoriais normados com
n ≥ 2.
Então f : E1 × · · · × En → F n-linear é uniformemente cont´ınua em E1 × · · · × En se, e
somente se, f = 0.
Demonstra¸cão:
Se f = 0 então f será uniformemente cont´ınua em E1 × · · · × En.
Reciprocamente, suponhamos, por absurdo, que f : E1 × · · · × En → F n-linear é uniforme-
mente cont´ınua em E1 × · · · × En e f = 0.
Logo existe u
.
= (u1, · · · , un) ∈ E1 × · · · × En tal que f(u) = v = 0.
Podemos, supor, sem perda de generalidade que
f(u1, · · · , un) = 1,
caso contrário, substituimos u1 por
u1
v F
e com isto teremos
f(
u1
v F
, u2, · · · , un)
[f é n-linear]
=
1
v F
f(u1, u2, · · · , un) F
[f(u)=v]
=
v F
v F
= 1.
Seja g : R → E1 × · · · × En dada por
g(t)
.
= (t.u1, t.u2, u3, · · · , un), t ∈ R
É fácil ver que h : R → E1 × · · · × En dada por
h(t)
.
= g(t) − (01, 02, u3, · · · , un) = (t.u1, t.u2, 03, · · · , 0n), t ∈ R
é linear em R, assim g será uma aplica¸cão é linear afim em R.
Em particular, g uniformemente cont´ınua em R.
Além disso, a aplica¸cão y → y F também é uniformemente cont´ınua em F.

Como f é uniformemente cont´ınua em E1 × · · · × En segue que a aplica¸cão ϕ : R → R dada
por
ϕ(t) = (f ◦ g)(t) F = f(t.u1, t.u2, u3 · · · , un) F
[f é n-linear]
= t2
.f(u1, u2, u3 · · · , un) F = t2
f(u1, u2, u3 · · · , un) F
= t2
v F
[ v F =1]
= t2
, t ∈ R
será uniformemente cont´ınua em R contrariando o exemplo (7.0.1).
Logo f = 0.
Proposi¸cão 7.0.10 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos, onde dM é a métrica zero-um.
Então f : M → N é uniformemente cont´ınua em M.
Demonstra¸cão:
Dado ε 0 seja δ = 1.
Então se x, y ∈ M e dM (x, y) δ = 1 segue que x = y, logo
dN (f(x), f(y)) = dN (f(x), f(x)) = 0 ε,

Cap´ıtulo 8
Espa¸cos Métricos Completos
8.1 Sequências de Cauchy
Come¸caremos pela
Diremos que uma sequência (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy se dado ε 0 existe
n0 ∈ N tal que se
n, m n0 teremos dM (xn, xm) ε.
1. É fácil ver que toda subsequência de uma sequência de Cauchy também é uma sequência
de Cauchy.
2. Uma sequência (xn)n∈N é sequência de Cauchy se, e somente se, dado ε 0 existe n0 ∈ N
tal que
n n0 teremos dM (xn, xn+p) ε.
Para ver isto basta tomar m = n + p na defini¸cão acima.
3. A propriedade ”ser de Cauhcy” é uma propriedade da sequência no seguinte sentido: se
M ⊆ N uma sequência (xn)n∈N em M é uma sequência de Cauchy se, e somente se, ela
for uma sequência de Cauchy em N.
Temos a
Proposi¸cão 8.1.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (xn)n∈N é uma sequência convergente
em M.
Então (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy.
Demonstra¸cão:
Seja a
.
= lim
n→∞
xn em M.
Dado ε 0 exite n0 ∈ N tal que se
n n0 teremos dM (xn, a)
ε
2
. (∗)
263

264 CAPÍTULO 8. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS
Logo se
n, m n0 teremos dM (xn, xm) ≤ dM (xn, a) + dM (a, xm)
(∗)

ε
2
+
ε
2
= ε,
mostrando que a sequência (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy.
Observa¸cão 8.1.2 Em geral, não vale a rec´ıproca do resultado acima, isto é, existem sequências
de Cauchy que não são convergentes no espa¸co métrico dado.
O exemplo a seguir mostra isso.
Exemplo 8.1.1 Sejam Q com a métrica induzida pela métrica usual de R e (xn)n∈N uma
sequência em Q convergente em R para um número irracional a.
Como (xn)n∈N uma sequência convergente em R, pela proposi¸cão acima, ela será uma
sequência de Cauchy em R e pela observa¸cão acima item 3. segue que ela será uma sequência
de Cauchy em Q, logo não é uma sequência de Cauchy em Q que não é convergente em Q.
Exemplo 8.1.2 Seja (M, dM ) espa¸co métrico onde dM é a métrica zero-um.
Se (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em M então existe n0 ∈ N tal que se
n n0 teremos xn = xn0+1,
ou seja, a sequência será constante a partir de um determinado termo.
De fato, como (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em M, dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que
se
n, m n0 teremos dM (xn, xm) ε = 1.
Como a métrica é a métrica zero-um segue que dM (xn, xm) = 0, ou seja, se
n, m n0 teremos xn = xm,
ou seja,
n n0 teremos xn = xn0+1,
como afirmamos.
Temos a
Proposi¸cão 8.1.2 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy.
Então (xn)n∈N é uma sequência limitada em M.
Demonstra¸cão:
Como (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy dado ε = 1, existe n0 ∈ N tal que se
n n0 teremos dM (xn, xm) ε = 1. (∗)
Logo o conjunto
{xn0+1, xn0+2, · · · }
será um conjunto limitado de M e terá diâmetro menor ou igual a 1.
Seja c
.
= max{1, dM (xn, xm) : n, m = 1, · · · , n0} ≥ 0.
Com isto teremos que
diam({x1, · · · , xn0 , xn0+1, · · · } = diam({x1, · · · , xn0 } ∪ {xn0+1, · · · }) ≤ c,
mostrando que a sequência (xn)n∈N é uma sequência limitada em M.

8.1. SEQUÊNCIAS DE CAUCHY 265
Observa¸cão 8.1.3 Em geral, não vale a rec´ıproca do resultado acima, isto é, existem sequências
limitadas em um espa¸co métrico que não são sequências de Cauchy, como mostra o exemplo a
seguir.
Exemplo 8.1.3 Seja R com a métrica usual e (xn)n∈N a sequência em R dada por
xn
.
= (−1)n
. n ∈ N.
Temos que a sequência (xn)n∈N é uma sequência limitada em R mas não é uma sequência
de Cauchy (pois dR(xn, xn+1) = |xn − xn+1| = 2 para todo n ∈ N).
Exemplo 8.1.4 A sequência (xn)n∈N dada por
xn
.
= 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
não é uma sequência de Cauchy em R pois ela não é limitada em R (veja observa¸cão (6.3.2)).
Temos a
Proposi¸cão 8.1.3 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy.
Se a sequência (xn)n∈N possui uma subsequência convergente em M então a sequência
(xn)n∈N será convergente em M e terá o mesmo limite da subsequência convergente.
Demonstra¸cão:
Se (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy e (xnk
)k∈N é uma subsequência convergente para
a ∈ M.
Dado ε 0, como xnk
→ a, existe n1 ∈ N tal que se
n n1 teremos dM (xnk
, a)
ε
2
. (∗)
Mas (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy logo existe n2 ∈ N tal que se
n, m n2 teremos dM (xn, xm)
ε
2
. (∗∗)
Seja n0
.
= max{n1, n2} ∈ N.
Escolhamos nk n0.
Com isto se
n n0 teremos dM (xn, a) ≤ dM (xn, xnk
) + dM (xnk
, a)
[(∗∗) e (∗)]

ε
2
=
ε
2
= ε
mostrando que xn → a em M, como quer´ıamos mostrar.
Corolário 8.1.1 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (xn)n∈N é uma sequência em M que
possui duas subsequências convergentes para pontos diferentes em M.
Então a sequência (xn)n∈N não é uma sequência de Cauchy.

Demonstra¸cão:
Segue imediatamente da proposi¸cão acima pois, por hipótese, f e f−1 são aplica¸cões uni-
formemente cont´ınuas.
27.11.2008 31.a
Proposi¸cão 8.1.4 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N uniformemente
cont´ınua em M.
Então se a sequência (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em M então a sequência (f(xn))n∈N
será uma sequência de Cauchy em N.
Demonstra¸cão:
Dado ε 0, como f é uniformemente cont´ınua em M, existe δ 0 tal que se
dM (x, y) δ teremos dN (f(x), f(y)) ε. (∗)
Por outro lado, como a sequência (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em M, existe n0 ∈ N
tal que se
n n0 teremos dM (xn, xm) δ. (∗∗)
Logo se
n, m n0, de (**) segue, dM (xn, xm) δ, e de (*) teremos, dM (f(xn), f(xm)) ε
mostrando que sequência (f(xn))n∈N é uma sequência de Cauchy em N.
Corolário 8.1.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N homeomorfismo
uniforme de M em N.
Então a sequência (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em M se, e somente se, a sequência
(f(xn))n∈N é uma sequência de Cauchy em N.
Demonstra¸cão:
Segue da proposi¸cão acima que como f é um homeomorfismo uniforme ele e sua fun¸cão
inversa levam sequências de Cauchy em sequências de Cauchy e assim (M, dM ) será um espa¸co
métrico completo se, e somente se, (N, dN ) for um espa¸co métrico completo.
Observa¸cão 8.1.4 Uma aplica¸cão f : M → N que é somente cont´ınua em M pode não levar
sequências de Cauchy de M em sequências de Cauchy em N como mostra a exemplo a seguir.
Em particular, a propriedade ”sequência ser de Cauchy” não é uma propriedade topológica
(ou seja, não é, necessariamente, preservada por homeomorfismo).
Exemplo 8.1.5 Consideremos f : (0, 1] → R dada por
f(x)
.
=
1
x
, x ∈ (0, 1].
Temos que f é uma fun¸cão cont´ınua em (0, 1] e considerermos a sequência (xn)n∈N dada por
xn
.
=
1
n
, n ∈ N que é uma sequência de Cauchy em (0, 1] (pois ela é uma sequência convergente

8.1. SEQUÊNCIAS DE CAUCHY 267
em R, logo será uma sequência de Cauchy em R e assim também será uma sequência de Cauchy
em (0, 1]).
Como f(xn) =
1
xn
= n, n ∈ N então (f(xn))n∈N não será uma sequência de Cauchy (pois
não é limitada).
Logo, da proposi¸cão acima, podemos concluir que a aplica¸cão f não poderá ser uniforme-
mente cont´ınua em (0, 1].
Observa¸cão 8.1.5 Em geral, não vale a rec´ıproca da proposi¸cão acima, isto é, exitem aplica¸cões
f : M → N que levam sequências de Cauchy de M em sequências de Cauchy de N que não são
uniformemente cont´ınuas em M, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 8.1.6 Seja f : R → R dada por f(x) = x2, x ∈ R.
Vimos no exemplo (7.0.1) que f não é uniformemente cont´ınua em R.
Mostremos que f leva sequências de Cauchy de R em sequência de Cauchy de R.
Seja (xn)n∈N uma sequência de Cauchy em R.
Logo a sequência (xn)n∈N será limitada em R, isto é, existe c ≥ 0 tal que
|xn| ≤ c, n ∈ N.
Mas f|[−c,c]
é lipschitziana em [−c, c] (pois sua derivada será limitada em [−c, c]), em par-
ticular, uniformemente cont´ınua em [−c, c].
Logo da proposi¸cão (8.1.4), segue que a sequência (f(xn))n∈N será uma sequência de Cauchy
em R.
Proposi¸cão 8.1.5 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, M×N com uma das três métricas
usuais, (xn)n∈N e (yn)n∈N sequências em M e N, respectivamente.
Então (xn)n∈N e (yn)n∈N são sequências de Cauchy em M e N, respectivamente se, e somente
se, (zn)n∈N é sequência de Cauchy em M × N, onde zn
.
= (xn, yn), n ∈ N.
Demonstra¸cão:
Vamos considerar em M × N a métrica do máximo.
Se (zn)n∈N é sequência de Cauchy em M × N, onde zn
.
= (xn, yn), n ∈ N, como as proje¸cões
pM : M × N → M e pN : M × N → N são uniformemente cont´ınuas em M × N (ver observa¸cão
(7.0.5) item 3) segue da proposi¸cão (8.1.4) que (xn)n∈N e (yn)n∈N serão sequências de Cauchy
em M e N, respectivamente.
Por outro lado, se (xn)n∈N e (yn)n∈N serão sequências de Cauchy em M e N, respectivamente,
dado ε 0 existem n1, n2 ∈ N tal que se
n, m n1 teremos dM (xn, xm) ε
n, m n2 teremos dN (yn, ym) ε.
Logo tomando-se n0
.
= max{n1, n2} ∈ N se
n, m n0 teremos dM×N (zn, zm) = max{dM (xn, xm), dN (yn, ym)}
[n0≥n1,n2]
ε,
mostrando que a sequência (zn)n∈N é uma sequência de Cauchy em M × N.

Como existem C, C 0 tais que
dM×N (z, z ) ≤ dM×N (z, z ) ≤ CdM×N (z, z ) ≤ C dM×N (z, z ), z, z ∈ M × N
segue que o mesmo valerá para as outras métricas em M × N.
Corolário 8.1.3 Sejam (Mi, di), espa¸cos métricos, i = 1, · · · , m, M1 × · · · × Mm com uma das
três métricas usuais e (xni)n∈N sequências em Mi , i = 1, · · · , m.
Então (xni)n∈N são sequências de Cauchy em Mi para todo , i = 1, · · · , m se, e somente se,
(zn)n∈N é sequência de Cauchy em M1 × · · · × Mm, onde zn
.
= (xn1, · · · , xnm), n ∈ N.
8.2 Espa¸cos métricos completos
Defini¸cão 8.2.1 Diremos que um espa¸co métrico (M, d) é um espa¸co métrico completo se
toda sequência de Cauchy em M for convergente em M.
Exemplo 8.2.1 Q munido da métrica induzida pela métrica usual de R não é um espa¸co métrico
completo (ver exemplo (8.1.1)).
Exemplo 8.2.2 Seja (M, d) espa¸co métrico onde d é a métrica zero-um.
Então (M, d) é um espa¸co métrico completo pois, como vimos no exemplo (8.1.2), toda
sequência de Cauchy em (M, d) será constante a partir de um determinado termo e portanto
convergente.
Observa¸cão 8.2.1 Nem todo espa¸co métrico discreto é completo, como mostra o seguinte exem-
plo
Exemplo 8.2.3 Seja P
.
= {1, 1
2 , · · · , 1
n, · · · } munido da métrica induzida pela métrica usual de
R.
Temos que (P, |.|) é um espa¸co métrico discreto e a sequência ( 1
n)n∈N é uma sequência de
Cauchy em P (pois ela é convergente para 0 em R) que não é convergente em P (pois o ∈ P).
Logo (P, |.|) é um espa¸co métrico discreto que não é completo.
Tmos a
Proposi¸cão 8.2.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos e f : M → N homeomorfismo
uniformemente de M em N.
O espa¸co métrico (M, dM ) é um espa¸co métrico completo se, e somente se, o espa¸co métrico
(N, dN ) é um espa¸co métrico completo.
Demonstra¸cão:
Segu como consequência do corolário (8.1.2).
Proposi¸cão 8.2.2 A reta R munido da métrica usual é um espa¸co métrico completo.

8.2. ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS 269
Demonstra¸cão:
Seja (xn)n∈N uma sequência de Cauchy em R.
Logo, da proposi¸cão (8.1.2) segue que (xn)n∈N é uma sequência limitada em R.
Definamos para cada n ∈ N
Xn
.
= {xn, xn+1, · · · }. (∗)
É fácil ver que se n ≥ m temos
Xn ⊆ Xm ⊆ X1,
logo para todo n ∈ N, Xn é limitado em R assim existe
an
.
= inf Xn, n ∈ N.
De (*) segue que a sequência (an)n∈N é crescente em R (pois se n ≥ m então Xn ⊆ Xm assim
inf Xn ≥ inf Xm) e limitada por b
.
= sup X1 (pois se n ≥ 1 então Xn ⊆ X1 assim inf Xn ≤ sup X1
), isto é, a sequência (an)n∈N é monótona e limitada em R, logo será convergente em R, isto é,
existe a ∈ R tal que
a = lim
n→∞
an = (sup
n∈N
an).
Afirmamos que
a = lim
n→∞
xn,
isto é, a sequência (xn)n∈N será convergente em R, mostrando que R é um espa¸co métricos
completo.
Para provarmos a afirma¸cão basta, pela proposi¸cão (8.1.3), mostrar que existe uma sub-
sequência da sequência (xn)n∈N que seja convergente para a em R.
Para isto, dado ε 0, como a = lim
n→∞
xn, existe n1 ∈ N tal que se
m n1 teremos a − ε
(I)
am a + ε.
Para cada m n1, como am = inf Xm
(II)
≤ a, com o ε 0 acima, existirá nm m tal que
a − ε
[por (I)]
am xnm am + ε
[por (II)]
≤ a + ε,
em particular,
xnm ∈ (a − ε, a + ε).
Logo dado, ε 0 existe n1 ∈ N tal que se
nm n1 teremos |xnm − a| ε,
mostrando que a subsequência (xnm )m∈N é convergene para a em R, ou sjea
a = lim
m→∞
xnm ,
e completando a demonstra¸cão.
Temos a
Proposi¸cão 8.2.3

1. Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico completo e F ⊆ M fechado em M.
Então (F, dM ) é um subespa¸co métrico completo de (M, dM );
2. Se (F, dM ) é um subespa¸co métrico completo do espa¸co métrico (M, dM ) então F é um
subconjunto fechado de (M, dM ).
Demonstra¸cão:
De 1.:
Dada uma sequência de Cauchy (xn)n∈N em F então ela será uma sequência de Cauchy em
M.
Como M é um espa¸co métrico completo temos que existe a ∈ M tal que xn → a em M.
Do corolário (6.4.6) segue que a ∈ F = F (pois F é um subconjunto fechado de M),
mostrando que F a sequência de Cauchy (xn)n∈N em F é convergente em (F, dM ) e assim
(F, dM ) será um espa¸co métrico completo.
De 2.:
Se F ⊆ M é tal que (F, dM ) é um espa¸co métrico completo e a ∈ F, então da proposi¸cão
(6.4.2), existe uma sequência (xn)n∈N em (F, dM ) que converge para a em M.
Logo (xn)n∈N será uma sequência de Cauchy em (M, dM ), e portanto também será em uma
sequência de Cauchy em (F, dM ).
Mas (F, dM ) é um espa¸co métrico completo, logo a sequência (xn)n∈N deverá convergir b ∈ F.
Da unicidade segue b = a, ou seja, a ∈ F, mostrando que F = F, ou seja, F é um subconjuto
fechado de (M, dM ).
Proposi¸cão 8.2.4 Sejam (M, dM ), (N, dN ) um espa¸cos métricos e M × N munido de uma das
três métricas usuais.
Então M × N é um espa¸co métrico completo se, e somente se, M e N são espa¸cos métricos
completos.
Demonstra¸cão:
Se M e N são espa¸cos métricos completos e (zn)n∈N é um sequência de Cauchy em M × N
como zn = (xn, yn), xn ∈ M e yn ∈ N, n ∈ N então, da proposi¸cão (8.1.5), segue que as
sequências (xn)n∈N e (yn)n∈N são sequências de Cauchy em M e N, respectivamente.
Como M e N são espa¸cos métricos completos segue que existem x ∈ M e y ∈ N tal que
xn → x em M e yn → y em N.
Logo da proposi¸cão (6.1.5), temos que zn → z em M × N onde z
.
= (x, y), mostrando que
M × N é um espa¸co métrico completo.
Reciprocamente, se M × N é um espa¸co métrico completo dado (a, b) ∈ M × N, temos que
as aplica¸cões fb : M → M × N e ga : N → M × N dadas por
fb(x)
.
= (x, b), x ∈ M ga(y)
.
= (a, y), y ∈ N,
são isometrias de M sobre o subespa¸co M ×{b} que é fechado de M ×N e de N sobre o subespa¸co
{a} × N que é fechado de M × N, respectivamente.
Logo, da proposi¸cão (8.2.3) item 1., segue que M × {b} e {a} × N são subespa¸cos métricos
completos de M × N.
Assim se (xn)n∈N e (yn)n∈N são sequências de Cauchy em M e N, respectivamente, então,
como fb e ga são isometrias, segue que (fb(xn))n∈N e (ga(yn))n∈N são sequências de Cauchy em
M × {b} e {a} × N, respectivamente.

Como estes são espa¸cos métricos completos segue que existem (x, b) ∈ M × {b} e (a, y) ∈
{a} × N tais que
(xn, b) = fb(xn) → (x, b) em M × {b} e (a, yn) = ga(yn) → (a, y) em {a} × N.
Logo, da proposi¸cão (6.1.5), segue que xn → x em M e yn → y em N, mostrando que M e
N são espa¸cos métricos completos.
Como consequências temos o
Corolário 8.2.1 Sejam (Mi, di), um espa¸cos métricos i = 1, 2, · · · , n e M1 × · · · × Mn munido
de uma das três métricas usuais.
Então M1×· · ·×Mn é um espa¸co métrico completo se, e somente se, Mi são espa¸cos métricos
completos para i = 1, 2, · · · , n.
Demonstra¸cão:
Segue da proposi¸cão acima e de indu¸cão sobre n ∈ N.
Com isto temos o
Corolário 8.2.2 Rn é um espa¸co métrico completo munido de uma das três métricas usuais.
Demonstra¸cão:
Sabemos que Mi
.
= R, i = 1, · · · , n, é um espa¸co métrico completo.
Logo do corolário acima segue que Rn é um espa¸co métrico completo.
1. Uma bola fechada B[a; r] e sua fronteira, S[a; r] em Rn são espa¸cos métricos completos
(pois são subsconjuntos fechado de Rn que é um espa¸co métrico completo).
Mais geralmente, se (M, dM ) é é um espa¸co métrico completo então as bolas fechadas e as
esferas de M são espa¸cos métricos completos.
2. Por outro lado, nenhuma bola aberta de um espa¸co vetorial normado será um espa¸co
métrico completo, pois não é um subconjunto fechado do mesmo.
3. Logo podemos concluir que ”ser completo” não é uma propriedade topológica (ou seja, não
é preservada por homeomorfismos) pois uma bola aberta é homeomorfa a Rn mas a 1.a
não é um espa¸co métrico completo e o 2.o é.
Vale o mesmo para produto cartesiano infinito, a saber
Proposi¸cão 8.2.5 Sejam (Mi, di), um espa¸cos métricos i ∈ N
Então
∞
i=1
Mi é um espa¸co métrico completo se, e somente se, Mi são espa¸cos métricos
completos para i ∈ N.

Demonstra¸cão:
A demostra¸cão é semelhante a da proposi¸cão (8.2.4).
Sabemos que as proje¸cões pj :
∞
i=1
Mi → Mj são uniformemente cont´ınuas em
∞
i=1
Mi (pois
são lipischtzianas) e assim, pela proposi¸cão (8.1.5), levam sequências de Cauchy de
∞
i=1
Mi em
sequências de Cauchy de Mj para todo j ∈ N.
Logo dada uma sequência de Cauhcy (zn)n∈N em
∞
i=1
Mi, onde zn = (xnj)j∈N, temos que,
para cada j ∈ N, (xnj)n∈N será uma sequência de Cauchy em Mj.
Como Mj é um espa¸co métrico completo segue que, para cada j ∈ N, existe xj ∈ Mj tal que
xnj → xj em Mj.
Se z
.
= (xj)j∈N temos que z ∈
∞
i=1
Mi e zn → z em
∞
i=1
Mi, mostrando que
∞
i=1
Mi é um esap¸co
métrico completo.
Reciprocamente, se
∞
i=1
Mi é um espa¸co métrico completo, a = (an) ∈
∞
i=1
Mi e, para cada
j ∈ N, temos que (xnj)n∈N é uma sequência de Cauchy em Mj então como
faj : Mj → {a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · ·
dada por
faj (xj)
.
= (a1, · · · , aj−1, xj, αj+1, · · · )
é uma isometria de Mj em {a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · · .
Mas {a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · · é um subespa¸co métrico fechado de
∞
i=1
Mi, logo,
pela proposi¸cão (8.2.3) item 1, um espa¸co métrico completo.
Logo, para cada j ∈ N, temos que a sequência (faj (xnj))n∈N é uma sequência de Cauchy em
{a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · · , que é um espa¸co métrico completo, ou seja, existe
Xj
.
= (a1, · · · , aj−1, xj, aj+1, · · · ) ∈ {a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · ·
tal que xnj → Xj em {a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · · .
Como faj é isometria de Mj em {a1} × · · · {aj−1} × Mj × {aj+1} × · · · segue que xnj → xj
em Mj para cada j ∈ N, mostrando que Mj é um espa¸co métrico completo para todo j ∈ N.
Observa¸cão 8.2.3 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico, X = ∅ e para α : X → M fixada,
consideremos
Bα(X; M)
.
= {f : X → M : sup
x∈X
dM (f(x), α(x)) ∞},
que torna-se um espa¸co métrico quando munido da métrica d : Bα(X; M)×Bα(X; M) → R dada
por
d(f, g)
.
= sup
x∈X
dM (f(x), g(x)), f, g ∈ Bα(X; M).
Proposi¸cão 8.2.6 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico completo.
Então Bα(X; M)
.
= {f : X → M : sup
x∈X
dM (f(x), α(x)) ∞}, é um espa¸co métrico completo.

Demonstra¸cão:
Consideremos (fn)n∈N uma sequência de Cauchy em Bα(X; M).
Logo esta sequência será limitada, isto é, existe C 0 tal que
d(fn, α) ≤ C,
ou seja,
sup
x∈X
dM (f(x), α(x)) = dM (fn(x), α(x)) ≤ C, para todo n ∈ N e x ∈ X. (∗)
Fixando-se x0 ∈ X temos que
dM (fn(x0), fm(x0)) ≤ sup
x∈X
dM (fn(x), fm(x)),
logo, como (fn)n∈N uma sequência de Cauchy em Bα(X; M) segue que a seguência (fn(x0))n∈N
será um sequência de Cauchy em M.
Mas M é um espa¸co métrico completo, logo existe f(x0) ∈ M tal que
fn(x0) → f(x0)
para cada x0 ∈ X.
Com isto temos definida uma fun¸cão f : X → M.
Observemos que para cada x ∈ X, da continuidade da fun¸cão dM (., α(x)) e de (*), segue que
dM (f(x), α(x)) = dM ( lim
n→∞
fn(x), α(x)) = lim
n→∞
dM (fn(x), α(x)) ≤ C,
mostrando que f ∈ Bα(X; M).
Mostremos que fn
u
→ f em M.
Dado ε 0 temos que existe n0 ∈ N tal que se
n, m n0 temos d(fn, fm) ε,
ou seja,
n, m n0 temos dM (fn(x), fm(x)) ε, para todo x ∈ X. (∗∗)
Fazendo m → ∞ em (**) obteremos
n n0 temos dM (fn(x), f(x)) ε, para todo x ∈ X,
mostrando que fn
u
→ f, e assim (Bα(X; M), d) é um espa¸co métrico completo.
Corolário 8.2.3 Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico completo, X = ∅ e (fn)n∈N uma sequência
de fun¸cões fn : X → M, n ∈ N.
A sequência (fn)n∈N converge uniformemente em X se, e somente se, dado ε 0 existir
n0 ∈ N tal que se
n, m n0 temos dM (fn(x), fm(x)) ε, para todo x ∈ X. (∗)

Demonstra¸cão:
Se fn
u
→ f então dado ε = 1 existe n0 ∈ N tal que se
n n0 temos dM (fn(x), f(x)) 1, para todo x ∈ X,
ou seja, fn ∈ Bf (X; M) se n n0 e fn → f em Bf (X; M).
Logo sequência (fn)n∈N deverá ser uma sequência de Cauchy em Bf (X; M), isto é, ε 0
existir n0 ∈ N tal que se
n, m n0 temos dM (fn(x), fm(x)) ε, para todo x ∈ X.
Reciprocamente, tomandos-e ε = 1 em (*) temos que existe n0 ∈ N tal que se
n n0 temos dM (fn0+1(x), fn(x)) 1, para todo x ∈ X,
ou seja, fn ∈ Bfn0+1 (X; M) se n n0.
Além disso, a condi¸cão (*) nos diz que a sequência (fn)nn0 é uma sequência de Cauchy em
Bfn0+1 (X; M) que, pela proposi¸cão anterior, é um espa¸co métrico completo.
Logo existe f ∈ Bfn0+1 (X; M) tal que fn→f em f ∈ Bfn0+1 (X; M), ou seja, fn
u
→ f,
Observa¸cão 8.2.4 O resultado acima é conhecido como critério de Cauchy para con-
vergência uniforme de sequências de fun¸cões.
Até aqui para a 2.a Prova
2.12.2008 - 32.a
8.3 Espa¸cos de Banach e espa¸cos de Hilbert
Defini¸cão 8.3.1 Um espa¸co vetorial normado completo será dito espa¸co de Bancah.
A segui daremos alguns exemplos de espa¸co de Banach.
Exemplo 8.3.1 Vimos que Rn munido de uma das três normas usuais é um espa¸co de Banach.
Exerc´ıcio 8.3.1 Sejam (E, . E), (F, . F ) espa¸cos vetoriais normados e L(E; F) o espa¸co ve-
torial normado formado pelas transforma¸cões lineares f : E → F que são cont´ınuas em E,
munido da norma do supremo na esfera unitária, isto é,
f L(E;F)
.
= sup{ f(x) F : x ∈ E, x E = 1}.
Lembremos que se f ∈ L(E; F) então, para todo x ∈ E temos que
f(x) F ≤ f L(E;F) x E.
Lembremos também que f : E → F transforma¸cão linear será cont´ınua em E se, e somente
se, f|S
: S → F for limitada em S, onde S
.
= {x ∈ E : x E = 1} (no teorema (3.5.2) temos
que 1. se, e somente se, 3.).
Além disso, temos que
fn → f em L(E; F) se, e somente se fn − f L(E;F )
→ 0 em R,

8.3. ESPAÇOS DE BANACH E ESPAÇOS DE HILBERT 275
ou, equivalentemente,
fn
u
→ f em S. (∗)
Afirmamos que se (F, . F ) é um espa¸co de Banach então (L(E; F), . sup) também será um
espa¸co de Banach.
De fato, mostremos que (L(E; F), . L(E;F )
) um espa¸co métrico completo.
Para isto seja (fn)n∈N uma sequência de Cauchy em (L(E; F), . L(E;F )
).
Logo (fn|S
)n∈N uma sequência de Cauchy em (B(S; F), . L(E;F )
).
Como (F, . F ) é um espa¸co métrico completo segue, da proposi¸cão (8.2.6), que (B(S; F), . L(E;F )
)
é um espa¸co métrico completo.
Logo existe f0 ∈ (B(S; F), . L(E;F )
) tal que fn
u
→ f0 em S.
Seja f : E → F a extensão de f0 : S → F definida por
f(λu)
.
= λf(u), λ ∈ R, u ∈ S. (∗∗)
Temos que
lim
n→∞
fn(0) = 0 = f(0),
x = 0 temos
lim
n→∞
fn(x) = lim
n→∞
fn( x E
x
x E
)
[fn é linear]
= x E lim
n→∞
fn(
x
x E
)
[ x
x E
∈S e (∗)]
= x Ef0(
x
x E
)
[(∗∗) com λ= x E]
= f( x E
x
x E
) = f(x),
mostrando que fn
p
→ f em E, isto é,
lim
n→∞
fn(x) = f(x), x ∈ E.
Como fn : E → F é uma transforma¸cão linear de E em F segue, da identidade acima, que
f : E → F também será uma transforma¸cão linear de E em F (a verifica¸cão disto é imediata e
será deixada como exerc´ıcio para o leitor).
Como f|S
= f0 ∈ B(S; F), segue que f ∈ L(S; F).
Além disso, fn|S
u
→ f|S
, logo fn
u
→ f em (L(S; F), . L(E;F )
) (pois a na norma . L(E; F) só
é levado em conta os pontos de S), completando demonstra¸cão da nossa afirma¸cão.
Exemplo 8.3.2 Sejam X = ∅, (M, dM ) espa¸co métrico, (E, . E) um espa¸co vetorial normado
e (F, . F ) um espa¸co de Banach.
Então segue das proposi¸cões (8.2.6), (6.5.3) que os espa¸cos vetoriais normados
(B(X; F), . sup), (C0(X; F), . sup),
são espa¸cos de Banach.
Observa¸cão 8.3.1 Será provado no próximo cap´ıtulo que todo espa¸co vetorial normado de di-
mensão finita é um espa¸co de Banach.
A dimensão ser finita será essencial no resultado acima, como mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 8.3.3 Consideremos P([0, 1]) o espa¸co vetorial formado por todas as fun¸cões polino-
miais reais p : [0, 1] → R definidas no intervalo [0, 1] (a verifica¸cão deste fato será deixada como
exerc´ıcio para o leitor).
Consideremos em P([0, 1]) a seguinte norma: se p ∈ P([0, 1]) definamos
p
.
= sup
0≤t≤1
|p(t)|.
Deixaremos para o leitor a verifica¸cão de fato isto define uma norma em P([0, 1]).
Afirmamos que (P([0, 1]), . ) não é um espa¸co de Banach, isto é, não é um espa¸co métrico
completo.
De fato, a sequência (pn)n∈N de (P([0, 1]) dada por
pn(x)
.
= 1 + x + · · · ,
xn
n!
, 0 ≤ x ≤ 1
converge uniformemente para a fun¸cão f(x)
.
= ex, x ∈ [0, 1] (na verdade vale em toda R).
Será deixado para o leitor a verifica¸cão deste fato.
Observemos que f não é uma fun¸cão polinômial (por que?).
Logo a sequência (pn)n∈N é uma sequência de Cauchy em (P([0, 1]) que não é convergente
em (P([0, 1]), . ), mostrando assim que (P([0, 1]), . ) não é um espa¸co métrico completo.
Defini¸cão 8.3.2 Diremos que um espa¸co vetorial com produto interno (E, ., . ) é um espa¸co
de Hilbert se ele for um espa¸co métrico completo.
Exemplo 8.3.4 O espa¸co Rn com o produto interno usual é um espa¸co de Hilbert (pois Rn
munido da norma usual é um espa¸co de Banach, logo é um espa¸co métrico completo).
Exemplo 8.3.5 Consideremos
l2(R)
.
= {x = (xn)n∈N :
∞
n=1
x2
n ∞}, (∗)
isto é, o conjunto formado pelas sequências de números reais cujo série dos elementos ao
quadrado é convergente em R.
Observemos que R∞ ⊆ l2(R). (onde R∞ que é o espa¸co vetorial das sequências quase nulas,
foi definido e estudado no exemplo (3.5.2)).
Afirmamos que l2(R) é um espa¸co vetorial sobre R quando munido das opera¸cões de adi¸cão
de sequências e multipica¸cão de número real por sequências.
De fato, se x = (xn)n∈N e lambda ∈ R, para cada k ∈ N temos
k
n=1
(λxn)2
= λ2
k
n=1
x2
n ≤ λ2
∞
n=1
x2
n
(∗)
∞.
Logo fazendo k → ∞ teremos que
∞
n=1
(λxn)2
≤ λ2
∞
n=1
x2
n ∞,
mostrando que λx ∈ l2(R).

Se x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N ∈ l2(R) então, da deisigualdade de Cauhcy-Schwarz temos,
para cada k ∈ N, que
|
k
n=1
xn.yn| ≤
k
n=1
x2
n.
k
n=1
y2
n ≤
∞
n=1
x2
n.
∞
n=1
y2
n ∞. (∗∗)
Assim
∞
n=1
xn.yn será convergente em R.
Logo para cada k ∈ N temos
k
n=1
(xn + yn)2
=
k
n=1
x2
n +
k
n=1
y2
n + 2
k
n=1
xn.yn ≤
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
y2
n + 2
∞
n=1
xn.yn
[(∗) e (∗∗)]
∞.
Logo fazendo k → ∞ teremos que
∞
n=1
(xn + yn)2
≤
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
y2
n + 2
∞
n=1
xn.yn ∞,
mostrando que (x + y) ∈ l2(R).
Com isto pode-se mostrar que l2(R) é um espa¸co vetorial sobre R (será deixado com exerc´ıcio
para o leitor).
Definamos
., . 2: l2(R) × l2(R) → R
por
x, y 2
.
=
∞
n=1
xn.yn, x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N ∈ l2(R).
Segue de (**) que ., . 2 está bem definida.
Além disso, pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que ., . 2 é um
produto interno em l2(R).
Com isto (l2(R), ., . 2) é um espa¸co vetorial sobre R com produto interno.
Afirmamos que (l2(R), ., . 2) é um espa¸co de Hilbert.
De fato, consideremos . 2 : l2(R) → R a norma associada ao produto interno ., . 2, isto
é,
x 2
.
= x, x 2, x ∈ l2(R).
Seja (xk)k∈N uma sequência de Cauchy em l2(R), isto é, dado ε 0 existe n0 ∈ N tal que se
n, m n0 teremos xn − xm 2 ε. (∗ ∗ ∗)
Como (xk)k∈N ∈ l2(R) segue que pacada k ∈ N temos que xk = (xki)i∈N e
∞
i=1
x2
ki ∞.
Logo (***) é equivalente a
n, m n0 teremos
∞
i=1
(xni − xmi)2 ε, (∗ ∗ ∗∗)

em particular, para todo j ∈ N se
n, m n0 teremos |xnj − xmj| ≤
∞
i=1
(xni − xmi)2 ε,
mostrando que, para cada j ∈ N, a sequência (xnj)n∈N é uma sequência de Cauchy em R.
Mas R é um espa¸co métrico completo, logo, para cada j ∈ N, existe aj ∈ R tal que
lim
n→∞
xnj = aj.
Seja a
.
= (aj)j ∈ N.
Mostremos que a ∈ l2(R) e que xk → a em l2(R).
Para tanto, observemos que de (****) segue que para todo p ∈ N temos que se
n, m n0 teremos
p
i=1
(xni − xmi)2
≤
∞
i=1
(xni − xmi)2
ε2
.
Fazendo m → ∞ obtemos
n n0 teremos
p
i=1
(xni − ai)2
ε2
para todo n, i ∈ N.
Fazendo p → ∞ obtemos
n n0 teremos
∞
i=1
(xni − ai)2
ε2
, (∗ ∗ ∗ ∗ ∗)
mostrando que
xn − a ∈ l2(R).
Mas
a = xn + (a − xn) ∈ l2(R),
e com sito temos que a ∈ l2(R).
Logo (*****) pode ser reescrita como
n n0 teremos xn − ai 2 ε2
,
ou seja, xn → a em l2(R), completando o exemplo.
Exemplo 8.3.6 Consideremos o conjunto formado por todas as sequências de números reais ,
x = (xi)i∈N ∈
∞
i=1
Ri onde Ri = R para todo i ∈ N, que será indicado por RN.
Vamos introduzir em RN a seguinte métrica: dN : RN × RN → R dada por
dN(x, y)
.
=
∞
i=1
1
2i
|xi − yi|
1 + |xi − yi|
,
onde x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ RN.

Como
1
2i
|xi − yi|
1 + |xi − yi|
≤
1
2i
, i ∈ N
e a série numérica
∞
i=1
1
2i
é convergente em R (pois é uma série geométrica de razão
1
2
que é
menor que 1), segue que dN está bem definida e pode-se mostrar (será deixado como exerc´ıcio
para o leitor) que é uma métrica em RN.
A métrica dN será dita métrica produto.
Observemos que uma sequência (xn)n∈N em RN é convergente para x ∈ RN se, e somente se,
dN(xn, x)
.
=
∞
i=1
1
2i
|xni − xi|
1 + |xni − xi|
→ 0 quando n → ∞,
ou equivalentemente, para todo i ∈ N temos
1
2i
|xni − xi|
1 + |xni − xi|
ou ainda, para todo i ∈ N
|xni − xi|
1 + |xni − xi|
que é equivalente a, para todo i ∈ N
|xni − xi| → 0 quando n → ∞,
ou seja, para todo i ∈ N
xni → xi quando n → ∞.
Conclusão:
xn → {x em RN
se, e somente se, para todo i ∈ N temos xni → xi em R.
Logo (RN, dN) é um espa¸co vetorial métrico completo.
1. Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e RN como acima.
Lembremos que uma fun¸cão f : M → RN é cont´ınua em M se, e somente se, para todo
i ∈ N a i-ésima fun¸cão coordenada de f, fi : M → Ri for cont´ınua em R (vale observar
que fi = pi ◦f onde pi : M → Ri é a i-ésima proje¸cão de RN sobre Ri dada por pi(x)
.
= xi,
onde x = (xn)n∈N ∈ RN, i ∈ N).
Isto coincide com o que hav´ıamos feito para o caso Rn, n ∈ N.
2. Observememos que B(N; R), o conjunto das sequências limitadas em R pode ser visto como
um subespa¸co vetorial de RN.
No 1.o consideramos a mética da convergência uniforme, isto é,
d (x, y) = sup
i∈N
|xi − yi|
onde x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ B(N; R).

3. Vale observar que a métrica da convergência uniforme é mais fina que a métrica induzida
em B(N; R) pela métrica de RN.
De fato, se x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈ B(N; R) temos que
|xi − yi| ≤ d (x, y), para todo i ∈ N. (∗)
Logo se xn → a em (B(N; R), d ), onde a = (ai)i∈N ∈ B(N; R), segue, de (*), que
xni → ai para todo i ∈ N.
Logo, do exemplo acima temos que
xn → a em RN
.
4. Não vale a rec´ıproca, isto é, existem sequência em B(N; R) que convegem em RN mas não
são convergentes em (B(N; R), d ), como por exemplo:
Consideremos en
.
= (0, · · · , 0, 1
n−ésima posi¸cão
, 0, · · · ), n ∈ N.
Então en → 0 em RN (será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão deste fato)
mas en → 0 em (B(N; R), d ) (pois en d = 1 = 0).
Conclusão: d é mais fina que dN mas dN não é mais fina que d em (B(N; R).
5. Para finalizar observemos que
l2(R) ⊆ B(N; R) ⊆ RN
.
Se xn → a em (l2(R), d2), onde xn = (xni)i∈N e an = (ani)i∈N, então dado ε 0 existe
n0 ∈ N tal que se
n n0 teremos
∞
i=1
(xni − ai)2 ε,
logo, para todo i ∈ N, se
n n0 teremos |xni − ai| ε,
ou ainda,
n n0 teremos d (x, a) = sup
i∈N
|xni − ai| ε,
ou seja, xn → a em (B(N; R), d ).
Conclusão: se xn → a em (l2(R), d2) então xn → a em (B(N; R), d ).
Logo d2 é mais fina que d que é estritamente mais fina que dN.
Observemos que d não é mais fina que d2, como mostra o seguinte exemplo: considereos
(xn)n∈N a sequência em l2(R) onde
xn = (
1
√
n
,
1
√
n
, · · · ,
1
√
n
n−primeiras posi¸cões
, 0, · · · )

8.4. EXTENS ÃO DE FUNÇ ÕES CONTÍNUAS OU UNIFORMEMENTE CONTÍNUAS 281
Temos que xn → 0 (pois d (xn, 0) = sup
i∈N
|xni − 0| =
1
√
n
→ 0 quando n → ∞) mas
d2(xn, 0) =
∞
i=1
(xni − 0)2 =
n
i=1
(
1
√
n
)2 = n
1
n
= 1
mostrando que xn → 0 em l2(R).
Portanto podemos concluir que d2 é estritamente mais fina que d que é estritamente mais
fina que dN.
6. Nas situa¸cões acima temos que:
(a) (l2(R), ., . 2) é um espa¸co de Hilbert;
(b) (B(N; R), . ) é um espa¸co de Banach (mas não é um espa¸co de Hilbert, ou seja, sua
norma não provém de um produto interno; verifique se a identidade do paralelogramo
está satisfeita);
(c) (RN, dN) é um espa¸co vetorial métrico completo (mas não é um espa¸co de Banach;
verifique que não temos dN(λx, λy) = λdN(x, y) para todo λ ∈ R e x, y ∈ RN).
(d) As fun¸cões s : RN × RN → RN, m : R × RN → RN dadas por
s(x, y)
.
= x + y, m(λ, x)
.
= λ.x, x, y ∈ RN
, λ ∈ R
são cont´ınuas em RN × RN e R × RN, respectivamente.
A verifica¸cão deste fatos serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
Neste caso diremos que (RN, dN) é um espa¸co vetorial topológico.
Por ser completo e suas bolas serem convexas ele será denominado espa¸co de Fréchet.
8.4 Extensão de fun¸cões cont´ınuas ou uniformemente cont´ınuas
Defini¸cão 8.4.1 Sejam X ⊆ Y , e f : X → Z uma fun¸cão.
Diremos que F : Y → Z é uma extensão da fun¸cão f a Y se para todo x ∈ X temos
F(x) = f(x),
ou seja, F|X
= f.
Neste caso diremos que a fun¸cão f se estende a Y .
De modo semelhante temos a
Defini¸cão 8.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, X ⊆ M e f : X → N uma
aplica¸cão cont´ınua em X.
Diremos que F : M → N é uma extensão cont´ınua de f a Y se F for uma fun¸cão cont´ınua
em M e se é uma extensão da fun¸cão f a M (isto é, para todo x ∈ M temos F(x) = f(x), ou
ainda, F|M
= f).

1. Observemos que nem toda fun¸cão f : X → N cont´ınua em X tem uma extensão F : M →
N cont´ınua em M.
Para ver isto, consideremos o seguinte exemplo: f : (0, 1) → R dada por f(x)
.
=
1
x(x − 1)
,
x ∈ (0, 1) não possui uma extensão cont´ınua ao intervalo [0, 1] (pois não existem os limites
laterais lim
x→0+
f(x) e lim
x→1−
f(x)).
2. Come¸caremos obtendo uma extensão da fun¸cão f : X → N cont´ınua em X a todo M
quando X for denso em M, isto é, X = M.
Com isto temos a
Proposi¸cão 8.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos, X ⊆ M e f : X → N uma
aplica¸cão cont´ınua em X.
Existe uma extensão cont´ınua de f a X se, e somente se, para todo a ∈ X existe lim
x→a, x∈X
f(x).
Demonstra¸cão:
Se existe F : X → N extensão cont´ınua de f a X então dado a ∈ X temos que
lim
x→a, x∈X
f(x)
[F(x)=f(x),x∈X]
= lim
x→a
F(x)
[F é cont´ınua em a]
= F(a),
ou seja, existe
lim
x→a, x∈X
f(x).
Reciprocamente, se existe lim
x→a, x∈X
f(x), definindo F : X → N por
F(x)
.
=



f(x), x ∈ X
lim
y→x, y∈X
f(y), x ∈ X X
,
segue da proposi¸cão (6.7.2) que F é cont´ınua em X, logo será um extensão cont´ınua da fun¸cão
f a X.
Observa¸cão 8.4.2 Se existir a extensão cont´ınua de f : X → N a X então ela será única.
De fato, para todo a ∈ X temos que o valor lim
x→a,x∈X
f(x) (que é F(a)) é unicamente deter-
minado pelos valores de f em X.
Proposi¸cão 8.4.2 (Critério de Cauchy) Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, (N, dN ) espa¸co métrico
completo, X ⊆ M, f : X → N uma fun¸cão e a ∈ X.
Existe lim
x→a, x∈X
f(x) em N se, e somente se, dado ε 0 existe δ 0 tal que se
dM (x, a), dM (y, a) δ, x, y ∈ X implicar dN (f(x), f(y)) ε. (∗)
Demonstra¸cão:
Se lim
x→a, x∈X
f(x) = b ∈ N, dado ε 0 existe δ 0 tal que se
x ∈ X, dM (x, a) δ então dN (f(x), b)
ε
2
. (∗)

8.4. EXTENS ÃO DE FUNÇ ÕES CONTÍNUAS OU UNIFORMEMENTE CONTÍNUAS 283
Logo se
x, y ∈ X, dM (x, a), dM (y, a) δ então dN (f(x), f(y)) ≤ dN (f(x), b)+dN (b, f(y))
(∗)

ε
2
+
ε
2
= ε.
Reciprocamente, seja (xn)n∈N é uma sequência em X tal que xn → a em M então, de (*),
segue que dado ε 0 existe δ 0 e, como xn → a, existirá n0 ∈ N tal que se
n, m n0 teremos dM (xn, a), dM (xm, a) δ, e (*) implicará dN (f(xm), f(xn)) ε,
ou seja, (f(xn))n∈N será uma sequência de Cauchy em N, que é um espa¸co métrico completo.
Logo existe lim
n→∞
f(xn) = b ∈ N.
Segue da observa¸cão (6.4.1) item 2. temos que existe lim
x→a, x∈X
f(xn) em N, como quer´ıamos
mostrar.
Proposi¸cão 8.4.3 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, (N, dN ) espa¸co métrico completo, X ⊆ M
e f : X → N uma aplica¸cão uniformemente cont´ınua em X.
Existe uma, única, F : X → N extensão cont´ınua de f a X.
Além disso, F será uniformemente cont´ınua em X.
Demonstra¸cão:
Como f é uniformemente cont´ınua em X, dado ε 0 existe δ 0 tal que se
dM (x, y) δ, x, y ∈ X implicar dN (f(x), f(y)) ε. (∗)
Logo, se a ∈ X, existe x, y ∈ X tal que
dM (x, a)
δ
2
, dM (y, a)
δ
2
,
logo
dM (x, y) ≤ dM (x, a) + dM ((a, y)
δ
2
+
δ
2
= δ.
Portando, de (*), segue que
dN (f(x), f(y)) ε.
Portanto, pelo critério de Cauchy (proposi¸cão (8.4.2)) segue que existe lim
x→a, x∈X
f(x) em N.
Assim, da proposi¸cão (6.7.2), segue que F : X → N dada por
F(y)
.
=



f(y) se y ∈ X
lim
x→y
f(x) se y ∈ X X
será cont´ınua em X.
Mostremos que F é uniformemente cont´ınua em X.
Dado ε 0, como f é uniformemente cont´ınua em X, existe δ 0 tal que se
dM (x, y) δ, x, y ∈ X implicar dN (f(x), f(y))
ε
2
. (∗∗)

Se u, v ∈ X são tais que
dM (x, y) δ,
então existem sequências (xn)n∈N, (yn)n∈N em X tais que xn → u e yn → v em X.
Como a fun¸cão dM é cont´ınua em M (logo em X), existe n0 ∈ N, tal que se
n n0 teremos dM (xn, yn) δ.
Logo, de (**), segue que, se
n n0 teremos dM (f(xn), f(yn))
ε
2
.
Assim, para u, v ∈ X se dM (u, v) δ teremos
dN (F(u), F(v)) = dN ( lim
n→∞
f(xn), lim
n→∞
f(yn))
[dM é cont´ınua]
= lim
n→∞
dN (f(xn), f(yn)) ≤
ε
2
ε,
mostrando que F é uniformemente cont´ınua em X.
Corolário 8.4.1 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos completos, X ⊆ M, Y ⊆ N e
f : X → Y um homeomorfismo uniforme de X em Y .
Existe uma, única, F : X → Y extensão de f a X homeomorfismo uniforme de X sobre Y .
Demonstra¸cão:
Observemos que X e Y são subespa¸cos métricos completos de M e N, respectivamente (pois
são subconjuntos fechados dos espa¸cos métricos completos M e N, respectivamente).
Seja g = f−1 : Y → X o homeomorfismo inverso associado a f.
Sabemos, do corolário (8.4.3), segue que existem, únicas, extensões, F : X → Y , G : Y → X
que são uniformemente cont´ınuas em X e Y , respectivamente.
Observemos que, para x ∈ X, y ∈ Y temos que
(G ◦ F)(x) = (g ◦ f)(x) = x = idX(x), e (F ◦ G)(y) = (f ◦ g)(y) = y = idY (y).
Como X é denso X e Y é denso Y temos que G ◦ F = idX e F ◦ G = idY , logo G = F−1 e
assim F, a única extensão de f a X, será um homeomorfismo uniforme de X sobre Y .
Observa¸cão 8.4.3 A hipótese do espa¸co métrico N ser completo é necessária para que proposi¸cão
(8.4.3) seja válida.
O seguinte exemplo mostra este fato:
A aplica¸cão identidade id : Q → Q, que é uniformemente cont´ınua em Q, não possui uma
extensão F : R → Q cont´ınua em R, exceto se F for constante.
De fato, se F é cont´ınua em R segue que F(R) será conexo em Q, assim deverá ser igual a
um ponto, logo F será constante e portanto não poderá ser uma extensão da fun¸cão id.
Corolário 8.4.2 Sejam (M, dM ), (N, dN ) espa¸cos métricos completos, X ⊆ M, Y ⊆ N e
f : X → Y uma isometria de X em Y .
Existe uma, única, F : X → Y extensão de f a X que é uma isometria de X em Y .

8.5. COMPLETAMENTE DE UM ESPAÇO MÉTRICO 285
Demonstra¸cão:
Como f é isometria de X em Y segue que f é um homeomorfismo uniforme de X em Y .
Logo do corolário (8.4.1) segue que existe uma única extensão de f , F : X → Y , que é um
homeomorfismo uniforme de X sobre Y .
Mostremos que F é isometria de X sobre Y .
Para isto sejam, x, y ∈ X e sejam (xn)n∈N) e (yn)n∈N) sequências en X e Y , respectivamente,
tais que
xn → x, em X yn → y em Y.
Mas
dN (F(x), F(y)) = dN ( lim
n→∞
f(xn), lim
n→∞
f(yn))
[dN é cont´ınua em Y ]
= lim
n→∞
dN (f(xn), f(yn))
[f é isometria de X sobre Y ]
= lim
n→∞
dM (xn, yn)
[dM é cont´ınua em X]
= dM ( lim
n→∞
xn, lim
n→∞
yn)
= dM (x, y),
ou seja, F é uma isometria de X em Y .
8.5 Completamente de um espa¸co métrico
1. Dado um espa¸co métrico (M, dM ) mostraremos nesta se¸cão que sempre existirá um espa¸co
métrico completo (M, dM
) que contenha M como subespa¸co métrico.
2. Lembremos que um subconjunto fechado de um espa¸co métrico completo é um subsepa¸co
métrico completo, logo o fecho de M em M será um subsepa¸co métrico completo e conterá
M, logo será o suficiente para o que queremos.
Logo basta impor a condi¸cão que M seja denso no seu ”completamento”.
3. Para encontrar o ”completamento” de M basta que encontremos uma imersão isométrica
ϕ : M → N
onde (N, dN ) seja um espa¸co métrico completo.
De fato, pois neste caso temos que M = ϕ(M) será um subconjunto fechado de um espa¸co
métrico completo, N, logo deverá ser um subespa¸co métrico completo.
Portanto ϕ(M) é espa¸co métrico completo e assim este será tomado como o ”completa-
mente” de M, já que ϕ(M) é isométrico a M.
Com isto temos a
Um completamente de M é um par (M, ϕ) onde (M, dM
) é um espa¸co métrico completo
e ϕ : M → M é uma imersão isométrica cuja imagem é densa em M.
Observa¸cão 8.5.2 Frequentemente escreveremos M ⊆ M, identificando M com sua imagem
pela aplica¸cão ϕ, ϕ(M) (observemos que ϕ é injetora).

Exemplo 8.5.1 Consideremos Q com a métrica induzida pela métrica usual de R.
Então o completamente de Q será (R, iQ) onde iQ : Q → R é a aplica¸cão inclusão (que é
uma imersão isométrica).
De fato, pois neste caso temos i(Q) = Q = R que é um espa¸co métrico completo.
Mais geralmente temos
Exemplo 8.5.2 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico completo e X ⊆ M, X = ∅.
Então X em M é um completamento de X.
Basta observar que (X, dM ) é um espa¸co métrico completo, iX : X → X (a inclusão) é uma
imersão isométrica e iX(X) = X, logo (X, iX) é um completamento de X.
Em particular, se [0, 1] está a métrica induzida pela métrica usual de R então o completa-
mento de (0, 1) será [0, 1] (ou, mais precisamente, ([0, 1], i[0,1]), onde i[0,1] é a aplica¸cão inclusão).
Temos a
Proposi¸cão 8.5.1 (Existência do completamento) Seja (M, dM ) um espa¸co métrico.
Então existe um completamento de M.
Demonstra¸cão:
Da proposi¸cão (2.6.1) segue que existe uma imersão isométrica ϕ : M → B(M; R), onde
B(M; R) está munido da métrica da convergência uniforme (isto é, do supremo).
O exemplo (8.3.2) nos garante que B(M; R), dsup) é um espa¸co métrico completo (na verdade
é um espa¸co de Banach).
Logo basta considerar
M
.
= ϕ(M)
munido da métrica induzida pela métrica dsup.
Temos também a
Proposi¸cão 8.5.2 (Unicidade do completamento) Sejam (M, dM ) um espa¸co métrico e (M, ϕ)
e (N, ψ) completamentos de M.
Então existe uma isometria f : M → N tal que
f ◦ ϕ = ψ.
O diagram abaixo ilustra a situa¸cão.
) …
E
M
M N
f
ϕ ψ

Demonstra¸cão:
Se y ∈ ϕ(M) então existe um, único (pois ϕ é injetora) x ∈ M tal que ϕ(x) = y.
Assim podemos definir f0 : ϕ(M) → N por
f0(y)
.
= ψ(x),
onde y = ϕ(x) ∈ ϕ(M).
Em particular temos para x ∈ M que
(f0 ◦ ϕ)(x) = ψ(x)
mostrando que f0 é uma isometria de ϕ(M) sobre ψ(M) (pois ϕ e ψ são uma isometrias entre
as suas respectivas imagens).
Pelo corolário (8.4.2) segue que existe uma única isometria f : ϕ(M) = M → ϕ(N) = N que
estende a aplica¸cão f0, ou seja, f ◦ ϕ = ψ, como quer´ıamos mostrar.
Observa¸cão 8.5.3 Observemos que dois espa¸cos métricos podem ser homeomorfos e seus com-
pletamentos não serem homeomorfos.
Para ver isto consideremos o seguinte exemplo:
O completamento de M
.
= (0, 2π) (com a métrica induzida de R) é [0, 2π].
O completamento de N
.
= S1 {(1, 0)} (com a métrica induzida de R2) é S1.
Temos que M = (0, 2π) é homeomorfoa S1 {(1, 0)} mas M = [0, 2π] não é homeomorfo a
N = S1.
Em geral temos a
Proposi¸cão 8.5.3 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos uniformemente homeomorfos.
Então M e N são uniformemente homeomorfos.
Demonstra¸cão:
Se f : M → N é um homeomorfismo uniforme então temos o seguinte diagrama
M E N
f
c c
ϕ(M) ψ(N)
E
F
ϕ ψ
T
ϕ−1
ou seja, se F : ϕ(M) → ψ(N) é dada por
F(x)
.
= (ψ ◦ f ◦ ϕ−1
)(y), y ∈ ϕ(M)
então esta será um homeomorfismo uniforme.
Logo do corolário (8.4.1) segue que F tem uma única extensão
F : M = ϕ(M) → N = ψ(M)
que é um homeomorfismo uniforme, completando a demostra¸cão.

Proposi¸cão 8.5.4 Sejam (M, dM ) e (N, dN ) espa¸cos métricos.
Então M × N = M × N.
Demonstra¸cão:
De fato, se (M, ϕ) e (N, ψ) são completamentos de M e N, respectivamente então temos que
ϕ(M) = M, ψ(N) = N.
Mas
ϕ(M) × ψ(N) = ϕ(M) × ψ(N) = M × N. (∗)
Logo (ϕ, ψ) : M × N → M × N dada por
(ϕ, ψ)(x, y)
.
= (ϕ(x), ψ(y))
será uma imersão isométrica e de (*) segue que (M × N, (ϕ, ψ)) é o completamento de M × N.
Exerc´ıcio 8.5.1 Seja (E, . E) um espa¸co vetorial normado e (E, ϕ) seu completamento.
Podemos munir E, de modo único, com uma estrutura de espa¸co vetorial normado que
estende a estrutura correspondente de E.
Para ver isto, observemos que a aplica¸cão
s : E × E → E, s(x, y)
.
= x + y, x, y ∈ E,
é uma aplica¸cão uniformemente cont´ınua em E × E.
Com isto temos definida a aplica¸cão
S : ϕ(E) × ϕ(E) → ϕ(E), S(X, Y )
.
= [ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
)](X, Y ), X, Y ∈ ϕ(E),
que é uma aplica¸cão uniformemente cont´ınua em ϕ(E) × ϕ(E) (pois ϕ : E → ϕ(E) é isometria
em E e s é uniformemente cont´ınua em E × E) (veja diagrama abaixo).
E × E E E
s
c c
ϕ(E) × ϕ(E) ϕ(E)
E
S
(ϕ, ϕ) ϕ
T
(ϕ−1
, ϕ−1
)
Logo, pela proposi¸cão (8.4.3), segue que se estende, de modo único, a uma aplica¸cão
S : E × E → E
que será uniformemente cont´ınua em E × E.
Temos que S satisfaz as propriedades (A1)-(A4) da defini¸cão de espa¸co métrico.
De fato, verificaremos a propriedade comutativa para S em E:
Sejam X, Y ∈ E.

Temos que
X = lim
n→∞
Xn, e Y = lim
n→∞
Yn,
onde (Xn)n∈N e (Yn)n∈N são sequências em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem, únicos,
xn, yn ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) é isometria) tais que
Xn = ϕ(xn) e Yn = ϕ(yn).
Logo
S(X, Y ) = S( lim
n→∞
Xn, lim
n→∞
Yn)
[S é cont´ınua em E×E]
= lim
n→∞
S(Xn, Yn)
= lim
n→∞
[ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
)](Xn, Yn) = lim
n→∞
[ϕ ◦ s](ϕ−1
(Xn), ϕ−1
(Yn))
[ϕ−1(Xn)=xn, ϕ−1(Yn)=yn]
= lim
n→∞
[ϕ ◦ s](xn, yn) = lim
n→∞
[ϕ(s(xn, yn))]
[s é comutativa em E]
= lim
n→∞
[ϕ(yn + xn)] = lim
n→∞
[(ϕ ◦ s)(yn, xn)]
= lim
n→∞
[ϕ ◦ s](ϕ−1
(Yn), ϕ−1
(Xn))
= [ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
)](Yn, Xn) = lim
n→∞
S(Yn, Xn)
[S é cont´ınua em E×E]
= S( lim
n→∞
Yn, lim
n→∞
sXn) = S(Y , X),
mostrando que S satisfaz a propriedade comutativa.
Observemos que 0 = ϕ(0) (verifique!).
Além disso, como a aplica¸cão
f : E → E
dada por
f(x)
.
= −x, x ∈ E
é uma isometria então a aplica¸cão
F : ϕ(E) → ϕ(E)
dada por
F(X)
.
= [ϕ ◦ f ◦ ϕ−1
](X), X ∈ ϕ(E)
se estende a uma isometria (veja figura abaixo)
F : E → E
E E E
f
c c
ϕ(E) ϕ(E)
E
F
ϕ ϕ
T
ϕ−1

Definamos
−X
.
= F(X),
X ∈ E.
Se X ∈ E temos que
X = lim
n→∞
Xn,
onde (Xn)n∈N é uma sequência em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existe, único, xn ∈ E tais
que
Xn = ϕ(xn).
S(X, −X) = S(X, F(X)) = S( lim
n→∞
Xn, F( lim
n→∞
Xn))
[F e S são cont´ınuas]
= lim
n→∞
S(Xn, F(Xn))
= lim
n→∞
[ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
)](Xn, [ϕ ◦ f ◦ ϕ−1
](Xn))]
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ s)(ϕ−1
(Xn), f(ϕ−1
(Xn)))] =
[ϕ−1(Xn)=xn]
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ s)(xn, f(xn))]
= lim
n→∞
[ϕ(s(xn, −xn))] = lim
n→∞
[ϕ(xn − xn))] = lim
n→∞
[ϕ(0)] = 0,
mostrando que −X ∈ E é o vetor oposto do vetor X ∈ E.
A verifica¸cão das outras propriedades serão deixadas como exerc´ıcio para o leitor.
m : R × E → E
dada por
m(λ, x)
.
= λ.x, (λ, x) ∈ R × E
é localmente uniformemente cont´ınua em R × E.
Logo podemos considerar a aplica¸cão (veja figura abaixo)
M : R × ϕ(E) → ϕ(E)
dada por
M(λ, X)
.
= (ϕ ◦ m ◦ (id, ϕ−1
))(λ, X), (λ, X) ∈ R × ϕ(E).
R × E E E
m
c c
R × ϕ(E) ϕ(E)
E
M
(id, ϕ) ϕ
T
(id, ϕ−1
)

Observemos que M é localmente uniformemente cont´ınua em R × ϕ(E) logo se estende a
uma fun¸cão cont´ınua
M : R × E → E.
Observemos que se X, Y ∈ E e λ ∈ R então
X = lim
n→∞
Xn, e Y = lim
n→∞
Yn,
onde (Xn)n∈N e (Yn)n∈N são sequências em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem, únicos,
xn, yn ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) é isometria) tais que
Xn = ϕ(xn) e Yn = ϕ(yn).
Logo
λ.(X + Y ) = M(λ, S(X, Y )) = M(λ, S( lim
n→∞
Xn, lim
n→∞
Yn))
[M,S são cont´ınuas ]
= lim
n→∞
M(λ, S(Xn, Yn))
= lim
n→∞
M(λ, (ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
))(Xn, Yn)) = lim
n→∞
M(λ, (ϕ ◦ s)(ϕ−1
(Xn), ϕ−1
(Yn)))
= lim
n→∞
M(λ, [ϕ ◦ s](xn, yn)) = lim
n→∞
M(λ, ϕ(s(xn, yn)))
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ m ◦ (id, ϕ−1
))(λ, ϕ(s(xn, yn)))] = lim
n→∞
[(ϕ ◦ m)(λ, xn + yn)]
= lim
n→∞
[ϕ(λ.(xn + yn))]
[distribuitiva de . em rela¸cão a + em E]
= lim
n→∞
[ϕ(λ.xn + λ.yn)]
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ s)(λxn, λyn)] = lim
n→∞
[(ϕ ◦ s)(m(λ, xn), m(λ, yn))]
[xn=ϕ−1(Xn), yn=ϕ−1(Yn)]
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ s)(m(λ, ϕ−1
(Xn)), m(λ, ϕ−1
(Yn)))]
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
))((ϕ ◦ m)(λ, ϕ−1
(Xn)), (ϕ ◦ m)(λ, ϕ−1
(Yn)))]
= lim
n→∞
[(ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
))((ϕ ◦ m ◦ (id, ϕ−1
))(λ, Xn), (ϕ ◦ m ◦ (id, ϕ−1
))(λ, Yn))]
= lim
n→∞
S(M(λ, Xn), M(λ, Yn))
[M,S são cont´ınuas ]
= S(M(λ, lim
n→∞
Xn), M(λ, lim
n→∞
Yn))
= S(M(λ, X), M(λ, Y )) = S(λ.X, λ.Y ) = λX + λY
mostrando que S satisfaz a propriedade distributiva da multiplica¸cão de escalar por elementos
de E.
Deixaremos como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão das propriedades (M2)-(M4) da defin¸cão
de espa¸co vetoriais.
Com isto (E, S, M) torna-se um espa¸co vetorial sobre R, onde as opera¸cões S e , M são as
extensões das opera¸cões de E, s e m, a E.
A métrica dE
em E pode ser reobtida da seguinte forma:
Seja
D : ϕ(E) × ϕ(E) → R
dada por (veja figura abaixo)
D(X, Y )
.
= dM (ϕ−1
(X), ϕ−1
(Y )), X, Y ∈ ϕ(E).

E × E E E
d
c
ϕ(E) × ϕ(E)

D
(ϕ, ϕ)
T
(ϕ−1
, ϕ−1
)
Como dM é imersão isométrica e ϕ é isometria segue que D é uniformemente cont´ınua em
ϕ(E).
Logo admite uma, única, extensão, que será indicada por
d : E × E → R
que será uma métrica em E (será deixado como exerc´ıcio para o leitor a verifica¸cão deste fato),
cont´ınua em E × E e que coincidirá com dE
.
Também será deixado como exerc´ıcio para o leitor, mostrar que as opera¸cões S, M são
cont´ınuas em rela¸cão a métrica d em E.
Observemos que a métrica d = dE
provém de uma norma.
De fato, se X, Y , A ∈ E então
X = lim
n→∞
Xn, e Y = lim
n→∞
Yn, A = lim
n→∞
An
onde (Xn)n∈N, (Yn)n∈N e (An)n∈N são sequências em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem,
únicos, xn, yn, an ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) é isometria) tais que
Xn = ϕ(xn), Yn = ϕ(yn) e An = ϕ(an). (∗)
Observemos que se X = ϕ(x), Y = ϕ(y) ∈ ϕ(E), onde x, y ∈ E então
ϕ−1
(S(X, Y )) = (ϕ−1
◦ S)(X, Y ) = ϕ−1
[(ϕ ◦ s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
))(X, Y )] = (s ◦ (ϕ−1
, ϕ−1
))(X, Y )
= s(ϕ−1
(X), ϕ−1
(Y )). (∗∗)
Logo

dE
(X + A, Y + A) =d(X + A, Y + A) = d(S(X, A), S(Y , A))
= d(S( lim
n→∞
Xn, lim
n→∞
An), S( lim
n→∞
Yn, lim
n→∞
An))
[d,S são cont´ınuas]
= lim
n→∞
d(S(Xn, An), S(Yn, An)) = lim
n→∞
d(S(Xn, An), S(Yn, An))
= lim
n→∞
D(S(Xn, An), S(Yn, An))
= lim
n→∞
dM (ϕ−1
(S(Xn, An)), ϕ−1
(S(Yn, An)))
(∗∗)
= lim
n→∞
dM (s(ϕ−1
(Xn), ϕ−1
(An)), (s(ϕ−1
(Yn), ϕ−1
(An)))
= lim
n→∞
dM (ϕ−1
(Xn) + ϕ−1
(An), ϕ−1
(Yn) + ϕ−1
(An))
[dM provém de uma norma]
= lim
n→∞
dM (ϕ−1
(Xn), ϕ−1
(Yn)) = lim
n→∞
D(Xn, Yn)
= lim
n→∞
d(Xn, Yn)
[d é cont´ınua]
= = d( lim
n→∞
Xn, lim
n→∞
Yn) = d(X, Y )
= dE
(X, Y ),
mostrando que dE
é invariante por transla¸cões.
Se X, Y ∈ E e λ ∈ R temos que
X = lim
n→∞
Xn, e Y = lim
n→∞
Yn
onde (Xn)n∈N, (Yn)n∈N são sequências em ϕ(E), ou seja, para cada n ∈ N existem, únicos,
xn, yn ∈ E (pois ϕ : E → ϕ(E) é isometria) tal que
Xn = ϕ(xn) e Yn = ϕ(yn). (∗ ∗ ∗)
Observemos que se X = ϕ(x), onde x ∈ E então
ϕ−1
(M(λ, X)) = (ϕ−1
◦ M)(λ, X) = ϕ−1
[(ϕ ◦ m ◦ (id, ϕ−1
))(λ, X)] = (m ◦ (id, ϕ−1
))(λ, X)
= m(λ, ϕ−1
(X)). (∗ ∗ ∗)
Logo

dE
(λX, λY ) =d(λX, λY ) = d(M(λ, X), M(λ, Y ))
= d(M(λ, lim
n→∞
Xn), M(λ, lim
n→∞
Yn))
[d,M são cont´ınuas]
= lim
n→∞
d(M(λ, Xn), M(λ, Yn)) = lim
n→∞
d(M(λ, Xn), M(λ, Yn))
= lim
n→∞
D(M(λ, Xn), M(λ, Yn))
= lim
n→∞
dM (ϕ−1
(M(λ, Xn)), ϕ−1
(M(λ, Yn)))
(∗∗∗)
= lim
n→∞
dM (m(λ, ϕ−1
(Xn)), m(λ, ϕ−1
(Yn)))
= lim
n→∞
dM (λ.ϕ−1
(Xn), λ.ϕ−1
(Yn))
[dM provém de uma norma]
= lim
n→∞
[|λ|dM (ϕ−1
(Xn), ϕ−1
(Yn)) = |λ| lim
n→∞
D(Xn, Yn)
= |λ| lim
n→∞
d(Xn, Yn)
[d é cont´ınua]
= = |λ|d( lim
n→∞
Xn, lim
n→∞
Yn) = |λ|d(X, Y )
= |λ|dE
(X, Y ),
mostrando que dE
provém de uma norma . E
, assim E, . E
é um espa¸co de normado.
Observa¸cão 8.5.4 Lembremos que
X E
= dE
(X, 0), X ∈ E,
é a extensão da norma . E.
8.6 Espa¸co métricos topologicamente completos
1. Suponhamos que (M, d1) é um espa¸co métrico.
Pergunta-se: será que existe uma métrica d, equivalente à métrica d1, de tal modo que
(M, d) seja um espa¸co métrico completo?
2. Esta pergunta é equivalente a pergunta se (M, d1) é homeomorfo a um espa¸co métrico
completo.
De fato, se d1 é uma métrica em M, equivalente à métrica d, de tal modo que (M, d) seja
um espa¸co métrico completo então a aplica¸cão identidade
id : (M, d1) → (M, d)
será um homeomorfismo.
Por outro lado, se (M, d1) é homeomorfo a (N, dN ), espa¸co métrico completo então existe
ϕ : (M, d1) → (N, dN ) homeomorfismo.
Logo definido-se
d : M × M → R por d(x, y)
.
= dN (ϕ(x), ϕ(y)), x, y ∈ M,

8.6. ESPAÇO MÉTRICOS TOPOLOGICAMENTE COMPLETOS 295
segue que d é uma métrica em M que é equivalente a métrica d.
Como (N, dN ) é um espa¸co métrico completo e ϕ : (M, d) → (N, dN ) é uma isometria
segue que (M, d) também será um espa¸co métrico completo.
Exemplo 8.6.1 O intervalo aberto (−1, 1), munido da métrica d(−1,1) induzida pela métrica
usual de R, não é um espa¸co métrico completo.
Mas sabemos que a aplica¸cão
h : (−1, 1) → R dada por h(x)
.
=
x
1 − |x|
, x ∈ (−1, 1),
é um homeomorfismo de (−1, 1) em R.
Assim a métrica d : (−1, 1) × (−1, 1) → R dada por
d1(x, y)
.
= |h(x) − h(y), x, y ∈ (−1, 1)
é equivalente à métrica d(−1,1) e ((−1, 1), d) é um espa¸co métrico completo.
Em geral temos a
Proposi¸cão 8.6.1 Sejam (M, d) um espa¸co métrico completo e A um subcojunto aberto de M.
Então (A, d) é homeomorfo a um espa¸co métrico completo.
Demonstra¸cão:
Como A um subcojunto aberto de M temos que M A é um subconjunto fechado de M.
Logo a fun¸cão
ϕ : M → R dada por ϕ(x)
.
= d(x, M A), x ∈ M,
será uma fun¸cão cont´ınua em M.
Observemos que ϕ(x) 0 se, e somente se, x ∈ M A ou, equivalentemente, x ∈ A.
Logo a fun¸cão
f : A → R dada por f(x)
.
=
1
ϕ(x)
, x ∈ A,
está bem definida e será cont´ınua em A.
Temos que
G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ A} = {(x, t) : x ∈ A, t =
1
ϕ(x)
} = {(x, t) : x ∈ A, t.ϕ(x) = 1}
[t.ϕ(x)=1⇒ϕ(x)0]
= {(x, t) ∈ M × R : t.ϕ(x) = 1}
A última identidade garante que G(f) é um subconjunto fechado do espa¸co métrico completo
M × R.
Logo G(f), pelas proposi¸cões (8.2.3) e (8.2.4), segue será um espa¸co métrico completo munido
da métrica
D : G(f) × G(f) → R
dada por
D((x, f(x)), (y, f(y))
.
= d(x, y) + |f(x) − f(y)|, x, y ∈ A.
Como a aplica¸cão
F : (A, d) → (G(f), D) dada por F(x)
.
= (x, f(x)), x ∈ A
é um homeomorfismo segue que A é homeomormfo a F que por sua vez é homeomorfo a M,

8.7 O teorema de Baire
Come¸caremos pela
Defini¸cão 8.7.1 Seja (M, d) espa¸co métrico.
Diremos que X ⊆ M é um subconjunto magro em M onde
X =
∞
n=1
Xn, e int(Xn) = ∅, para todo n ∈ N.
1. É fácil mostrar que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) todo subconjunto de um
conjunto magro de M também será um conjunto magro de M.
2. Também pode-se mostrar que (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) a reunião enu-
merável de subconjuntos magros de M será um subconjunto magro de M.
3. Nem todo subconjunto magro X de M tem interior vazio (isto é, int(X) = ∅).
Para ver isto observemos X ⊆ Q é um subconjunto magro de Q, pois ele será reunião
enumerável de seus pontos, cada um dos quais tem interior vazio em Q mas não tem,
necesssariamente, interior vazio em Q.
Isto ocorre pois Q não é um espa¸co métrico completo (como veremos a seguir, se fosse,
dever´ıamos ter int(X) = ∅ em Q).
4. Se (M, d) é um espa¸co métrico e a ∈ M então X = {a} tem interior vazio se, e somente
se, a não é ponto isolado de M.
De fato, X = {a} tem interior vazio se, e somente se, toda bola aberta BM (a; ε) contém
pontos de M {a} ou, equivalentemente, o ponto a não é ponto isolado de M.
5. Como consequência temos que X é um subconjunto enumerável de M é um subconjunto
magro de M se, e somente se, nenhum dos pontos de X é ponto isolado de M.
6. Em particular, se X = {reta em R2} ⊆ R2é um subconjunto magro de R2.
Mais geralmente, toda reunião enumerável de retas de R2 será um subconjunto magro de
R2.
7. Sejam (M, d) é um espa¸co métrico e X ⊆ M.
Lembremos que int(X) = ∅ em M se, e somente se, M X é denso em M.
Logo, um subconjunto F fechado em M é tal que int(F) = ∅ em M se, e somente se,
M F é um subcojunto aberto de denso em M.
Portanto podemos conlcuir que int(X) = ∅ em M se, e somente se, X está contido num
subconjunto fechado que tem interior vazio em M ou, equivalentemente, M X contém
um subconjunto aberto e denso em M, ou seja, int(M X) é denso em M.
8. Um subconjunto X de um espa¸co métrico (M, d) que é um subconjunto magro de M também
é dito subconjunto de primeira categoria em M.
Os subconjunto que não são subconjunto magros de M também são denominados subcon-
juntos de segunda categoria em M.

8.7. O TEOREMA DE BAIRE 297
Exemplo 8.7.1 Sejam (M, d) espa¸co métrico, A ⊆ M um subconjunto aberto em M.
Então ∂A é um subconjunto fechado de M que tem interior vazio em M.
De fato, se x ∈ ∂A então toda bola aberta BM (x, ε) contém pontos de A (e de M A).
Como A é um subconjunto aberto de M temos que A ∩ ∂A = ∅ assim nehuma bola aberta
BM (x; ε) poderá estar contida em ∂A, ou seja x ∈ int(∂A), mostrando que int(∂A) = ∅.
Exemplo 8.7.2 Sejam (M, d) espa¸co métrico, F ⊆ M um subconjunto fechado em M.
Como ∂F = ∂(M F) e M F é um subconjunto aberto de M segue, do exemplo acima, que
∂F = ∂(M F) terá interior vazio em M.
Observa¸cão 8.7.2 Se X é um subconjunto de um espa¸co métrico (M, d) é tal que X não é um
subconjunto nem aberto, nem fechado de X então podemos ter int(∂X) = ∅ em M.
Para ver isto consideremos X
.
= Q subconjunto do espa¸co métrico (R, d), onde d é a métrica
usual de R.
Então ∂(Q) = R, que não tem interior vazio em R (na verdade int(R) = R em R).
Exemplo 8.7.3 O conjunto de Cantor.
Consideremos M
.
= [0, 1] munido da métrica induzida pela métrica usual de R.
Seja E0
.
= [0, 1] ⊆ R.
0 1
E0
Definamos A1
.
= (
1
3
,
2
3
), denominado ter¸co médio do intervalo [0, 1], e consideremos E1
.
=
M A1, isto é,
E1 = [0,
1
3
] ∪ [
2
3
, 1] = I11 ∪ I12.
0 1
E1
1
3
2
3
Definamos A2 = (
1
9
,
2
9
) ∪ ∪(
7
9
,
8
9
), ou seja, os ter¸cos médios dos intervalos [0, 1
3 ] e [2
3 , 1] e
consideremos E2
.
= M A2, isto é,
E2 = [0,
1
9
] ∪ [
2
9
,
3
9
] ∪ [
6
9
,
7
9
] ∪ [
8
9
, 1] = I21 ∪ I22 ∪ I23 ∪ I24.
0 1
E2
1
9
2
9
3
9
6
9
7
9
8
9
Continuando o processo acima obtemos uma sequência de subconjuntos (En)n∈N formada por
subconjuntos fechados e limitados de [0, 1] tais que
1. E1 ⊆ E2 ⊆ E3 ⊆ · · · , isto é, a sequência (En)n∈N é decrescente;
2. Para cada n ∈ N temos que En é a reunião de 2n intervalos fechados, cada um dos quais
tem comprimento 3−n.

A verifica¸cão destas propriedades será deixada como exerc´ıcio para o leitor.
Observemos que os intervalos retirados de [0, 1] para obtermos En são da forma:
3k + 1
3n
,
3k + 2
3n
, k = 0, 1, 2, · · · , n. (8.1)
Definamos
K
.
=
∞
n=1
En = [0, 1]
∞
n=1
An
que será denominado conjunto de Cantor.
Observemos que os extremos dos intervalos ter¸cos médios retirados pertencerão a K, isto é,
0,
1
3
,
2
3
,
2
9
, · · · ∈ K, mostrando que K = ∅.
Mostremos que K não contém nenhum intervalo aberto e assim int(K) = ∅ em [0, 1] e como
ele é interseçcão de subconjuntos fechados de [0, 1] ele será um subconjunto fechado de [0, 1].
Para isto, do item 2. acima, temos que cada um dos 2n intervalos de En tem comprimento
3−n.
Se J ⊆ [0, 1] é um intervalo aberto de [0, 1] de comprimento 0 l seja n ∈ N tal 3−n l.
Logo o intervalo J conterá pontos que não pertencerão a En e assim não pertencerá a K,
mostrando que int(K) = ∅.
Com isto temos que K é um subconjunto fechado de [0, 1], não vazio, tal que int(K) = ∅, ou
seja, K é um subconjunto magro de [0, 1].
Mostraremos, mais adiante, o conjunto de Cantor é não enumerável.
Temos a
Proposi¸cão 8.7.1 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico, (Fn)n∈N sequência decrescente de subscon-
juntos fechados de M, não vazios, com lim
n→∞
diam(Fn) = 0.
Então (M, dM ) é um espa¸co métrico completo se, e somente se, existe aiM tal que
∞
n=1
Fn = {a}.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que (M, dM ) é um espa¸co métrico completo e (Fn)n∈N é uma sequência como
acima.
Para cada n ∈ N seja xn ∈ Fn.
Como (Fn)n∈N é uma sequência decrescente temos que a sequência (xn)n∈N em M tem a
segunte propriedade:
se n, m ≥ n0 segue que xm, xn ∈ Fn0 .
Como lim
n→∞
diam(Fn) = 0, dado ε 0 existe N0 ∈ N tal que
se n ≥ N0 segue que diam(Fn) ε.
Logo se
se n, m ≥ N0 segue que d(xm, xn) ≤ diam(FN0 ) ε,
mostrando que a sequência (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em (M, dM ).

Como (M, dM ) é um espa¸co métrico completo segue que existe a ∈ M tal que
lim
n→∞
xn = a.
Dado p ∈ N temos que
se n ≥ p segue que xn ∈ Fp.
Logo a = lim
n→∞
xn ∈ Fp para todo p ∈ N, ou seja,
a ∈
∞
n=1
Fn.
Suponhamos, por absurdo, que existe b ∈
∞
n=1
Fn, b = a.
Logo temos que a, b ∈ Fn para todo n ∈ N.
Assim,
se n ≥ N0 temos que 0 dM (a, b) ≤ diam(Fn) ε,
o que é um absurdo.
Portanto
∞
n=1
Fn = {a}.
Reciprocamente, mostremos que (M, dM ) é um espa¸co métrico completo.
Para isto consideremos (xn)n∈N uma sequência de Cauchy em (M, dM ).
Para cada n ∈ N definamos
Xn
.
= {xn, xn+1, · · · }.
Logo temos que a sequência (Xn)n∈N é uma sequência decrescente (pois Xn+1 = {xn+1, xn+2, · · · } ⊆
{xn, xn+1, · · · } = Xn) e portanto a sequência (Xn)n∈N será uma sequência decrescente formada
por subconjuntos fechados de (M, dM ) e não vazios.
Como (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em (M, dM ), dado ε 0 existe N0 ∈ N tal que
se n, m ≥ N0 temos que d(xn, xm) ε.
Logo se
se n ≥ N0 temos que diam(Fn)
[m≥n]
≤ d(xn, xm) ε,
mostrando que
lim
n→∞
diam(Xn) = lim
n→∞
diam(Xn) = 0.
Logo temos que
∞
n=1
Xn = {a}.
Assim a ∈ Xn para todo n ∈ N, ou seja, toda bola aberta B(a; ε) contém ponto de Xn, ou
seja, para cada n ∈ N existe xnj ∈ Xn ∩ B(a; ε), mostando que a sequência (xn)n∈N possui uma
subsequência (xnj )j ∈ N que é convergente para a em M.
Logo, da proposi¸cão (8.1.3), segue que, xn → a em M, mostrando que (M, dM ) é um espa¸co
métrico completo.

1. Na proposi¸cão acima a hipóete de ” lim
n→∞
diam(Fn) = 0” é essencial, como mostra o
seguinte exemplo:
Para cada n ∈ N temos que Fn
.
= [n, ∞) são subconjuntos fechados de R, não vazios, a
sequência (Fn)n∈N é decrescente mas
∞
n=1
Fn = ∅.
Observemos que diam(Fn) = ∞ para todo n ∈ N logo lim
n→∞
diam(Fn) = ∞ = 0.
2. No exemplo acima temos que lim
n→∞
diam(Fn) = ∞.
Podemos obter uma situa¸cão em que lim
n→∞
diam(Fn) ∈ (0, ∞), como mostra o seguinte
exemplo:
Consideremos o espa¸co de Hilbert (l2(R), . 2) e para cada n ∈ N consideremos
en
.
= (0, · · · , 0, 1
posi¸cão n
, 0 · · · ).
Seja Fn
.
= {en, en+1, · · · }.
Para cada n ∈ N temos Fn é um subconjunto fechado de l2(R) (será deixado como exerc´ıcio
para o leitor), não vazio e a sequência (Fn)n∈N é decrescente mas
∞
n=1
Fn = ∅.
Observemos que neste caso, para cada n ∈ N, temos
diam(Fn) =
√
2 ∈ (0, ∞),
ou seja,
lim
n→∞
diam(Fn) =
√
2 ∈ (0, ∞).
Temos a
Então são equivalentes:
1. Se X é um subconjunto magro de (M, dM ) então int(X) = ∅.
2. Se F
.
=
∞
n=1
Fn onde, para cada n ∈ N, Fn é um subconjunto fechado de M que tem interior
vazio então int(F) = ∅.
3. Toda interse¸cão enumerável de subconjuntos abertos densos em M é denso em (M, dM ).
Demonstra¸cão:
De 1. ⇒ 2.:
Suponhamos que F
.
=
∞
n=1
Fn onde, para cada n ∈ N, Fn é um subconjunto fechado de
(M, dM ) que tem interior vazio.

Temos que F ⊆
∞
n=1
Fn.
Logo, da observa¸cão (8.7.1) item 1., segue que F é magro em (M, dM ).
Logo, de 1., segue que int(F) = ∅.
De 2. ⇒ 3.:
Sejam An subconjuntos abertos e densos em (M, dM ), para cada n ∈ N.
Então, para cada n ∈ N, Fn
.
= M An = Ac
n será fechado e int(Fn) = ∅ (pois se x ∈
Fn = M An, como An é denso em M, segue que toda bola aberta B(x, ε) deverá interceptar o
conjunto An e assim não poderá estar contida em M An = Fn).
Assim se F
.
=
∞
n=1
Fn, onde para cada n ∈ N temos Fn é um subconjunto fechado que tem
interior vazio, segue de 2., que int(F) = ∅.
Mas
∞
n=1
An =
∞
n=1
Fc
n = [
∞
n=1
Fn]c = Fc
[∂(F)=∂(MF)]
= M (int(F))
[int(F)=∅]
= M,
mostrando que
∞
n=1
An é denso em M.
De 3. ⇒ 1.:
Suponhamos que X é um subconjunto magro em (M, dM ), isto é, X =
∞
n=1
Xn onde, para
cada n ∈ N temos que int(Xn) = ∅.
Para cada n ∈ N consideremos An
.
= M Xn = Xn
c.
Com isto temos que, para cada n ∈ N, An será um subconjunto fechado de M e
An = M Xn
[∂(Xn)=∂(MXn)]
= M (int(Xn)
[int(Xn)=∅]
= M,
mostrando que An é denso em (M, dM ).
Logo, de 3., segue que A
.
=
∞
n=1
An também será denso em (M, dM ).
Mas
int(X) = int(
∞
n+1
Xn) = M [
∞
n+1
Xn]c = M
∞
n+1
Xc
n = M A = M M = ∅,
logo int(X) = ∅, como quer´ıamos mostrar.
Com isto temos o
Teorema 8.7.1 (Teorema de Baire) Seja (M, dM ) um espa¸co métrico completo.
Toda interse¸cão enumerável de subconjuntos abertos densos em (M, dM ) é denso em (M, dM ).
Em particular, valem os itens 1. e 2. da proposi¸cão acima.
Demonstra¸cão:
Suponhamos que para cada n ∈ N, An é um subconjunto aberto e denso em (M, dM ).

Seja A
.
=
∞
n=1
An.
Consideremos a ∈ A e B1
.
= B(a; ε) bola aberta de (M, dM ) centrada no ponto a.
Se mostrarmos que A ∩ B1 = ∅ então temos que A é denso em M.
Observemos que A1 é denso em (M, dM ), logo existe a1 ∈ B1 ∩ A1.
Mas B1 ∩ A1 é um subconjunto aberto de M, logo existe
B2
.
= B(a1, ε1) ⊆ A1 ∩ B1.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que 0 ε1
1
2
e que
B2 ⊆ B1 ∩ A1.
Caso contrário, temos que
B(a1;
ε1
2
) ⊆ B(a1; ε1) ⊆ B1 ∩ A1
e tomamos B2
.
= B(a1; δ}), onde 0 δ min{
1
2
,
ε1
2
}.
Como A2 é um subconjunto denso de (M, dM ) segue que existe a2 ∈ B2 ∩A2 e como A2 ∩B2
é um subconjunto aberto de M segue que existe B3
.
= B(a2; ε2) tal que
B3 ⊆ A2 ∩ B2.
Como anteriormente, podemos supor, sem perda de generalidade, que 0 ε2 1
3 e que
B3 ⊆ B2 ∩ A2.
Prosseguindo, construimos uma sequência (Bn)n∈N de subconjuntos fechados de M tal que,
para todo n ∈ N, temos
Bn+1 ⊆ Bn,
Bn+1 ⊆ Bn ∩ An
e
0 diam(Bn) ≤
2
n
,
em particular temos que
lim
n→∞
diam(Bn) = 0.
Logo da proposi¸cão (8.7.1) segue que
∞
n=1
Bn = ∅,
ou seja, existe a ∈
∞
n=1
Bn e como Bn+1 ⊆ Bn ∩ An para todo n ∈ N segue que a ∈ An ∩ B1 para
todo n ∈ N, mostrando que a ∈
∞
n=1
An ∩B1 = A∩B1, mostrando que A∩B1 = ∅ e completando
a demonstra¸cão.
Como consequencia temos o

Corolário 8.7.1 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico completo.
Se M =
∞
n=1
Fn, onde para cada n ∈ N temos que Fn é um subconjunto fechado de (M, dM )
então existe, pelo menos, um n0 ∈ N tal que int(Fn0 ) = ∅.
Demonstra¸cão:
Suponhamos, por absurdo que, int(Fn) = ∅ para todo n ∈ N.
Então, do teorema de Baire, segue int(M) = int(
∞
n=1
Fn) = ∅, o que é um absurdo (pois todo
ponto de M é ponto interior de (M, dM )).
1. O teorema de Baire refere-se a abertos, fechados, fechos e interiores logo cont´ınua válido se
substituirmos a métrica d do espa¸co métrico (M, d) por uma outra métrica, d , equivalente
à d, mesmo que (M, d ) não seja um espa¸co métrico completo.
Mais geralmente, o teorema de Baire cont´ınua válido se subsituirmos a hipótese do espa¸co
métrico ser completo pela condi¸cão dele ser homeomorfo a um espa¸co métrico completo.
De fato, se (M1, d1) é um espa¸co métrico que é homeomorfo ao espa¸co métrico completo
(M, dM ) então existe ϕ : M1 → M homeomorfismo de (M1, d1) em (M, dM ).
Logo se X =
∞
n=1
Xn é um subconjunto magro de (M1, d1) então temos que int(Xn) = ∅
para todo n ∈ N.
Afirmamos que ϕ(X) é um subconjunto magro de (M2, dM ) = (ϕ(M1), dM ), pois
ϕ(X) = ϕ(
∞
n=1
Xn) =
∞
n=1
ϕ(Xn)
e para cada n ∈ N temos
int(ϕ(Xn))
[ϕ é homeomorfismo]
= ϕ(int(Xn)) = ϕ(∅) = ∅.
Logo, do teorema de Baire aplicado a (M, dM ) (que é completo), segue que
int(ϕ(X)) = ∅,
mostrando que ϕ(X) é um subconjunto magro de (M, dM ).
Como ϕ é homeomorfismo de (M1, d1 em (M, dM ) segue que
ϕ(int(X)) = int(ϕ(X)) = ∅,
ou seja, X = ∅, como quer´ıamos mostrar.
2. Como uma exemplo da situa¸cão aicma temos que M1 = (0, 1), com a métrica induzida
pela métrica usual de R, não pode ser escrito como reunião enumerável de subconjuntos
fechados de (0, 1) que tenham interior vazio (em (0, 1)).
Isto segue do fato que ((0, 1), dR) é homeomorfo a (R, dR) que é um espa¸co métrico com-
pleto.

3. Como consequência temos que se M1 é um subconjunto aberto de um espa¸co métrico com-
pleto (M, dM ) então se M1 =
∞
n=1
Fn onde, para cada n ∈ N, Fn é um subcojunto fechado
em (M1, dM ) então existe, pelo menos, um n0 ∈ N tal que intM1 (Fn0 ) = ∅.
Pois, da proposi¸cão (8.6.1), segue que (M1, dM ) é homeomorfo a (M, dM ).
Com isto temos a
Se M =
∞
n=1
Fn onde, para cada n ∈ N, Fn é um subconjunto fechado de (M, dM ) então
A
.
=
∞
n=1
int(Fn)
é um subconjunto aberto e denso em (M, dM ).
Demonstra¸cão:
Seja U um subconjunto aberto, não vazio, de (M, dM ).
Mostremos que A ∩ U = ∅, isto é, existe n0 ∈ N tal que U ∩ int(Fn0 ) = ∅.
Observemos que
U = U ∩ M = U ∩ [
∞
n=1
Fn] =
∞
n=1
(U ∩ Fn)
e, para cada n ∈ N, temos que U ∩ Fn é um subconjunto fechado de (U, dM ).
Da observa¸cão (8.7.4) item 3. temos que existe n0 ∈ N tal que
intU (U ∩ Fn0 ) = ∅.
Como U é aberto em (M, dM ) temos que
intM (U ∩ Fn0 ) = intU (U ∩ Fn0 ) = ∅.
Mas intM (U ∩ Fn0 ) = intU (U ∩ Fn0 ) é um subconjunto aberto de (M, dM ) que está contido
em U e de Fn0 , ou seja,
intM (U ∩ Fn0 ) ⊆ intM (U) e intM (U ∩ Fn0 ) ⊆ intM (Fn0 ),
isto é,
intM (U ∩ Fn0 ) ⊆ intM (U) ∩ int(Fn0 )
[U é aberto em M]
= U ∩ int(Fn0 ),
mostrando que U ∩ int(Fn0 ) = ∅, completando assim a demonstra¸cão.
Exemplo 8.7.4 Seja (M, dM ) um espa¸co métrico completo e enumerável.
Como M é enumerável segue que M =
n∈N
{xn} e para cada n ∈ N temos que Fn
.
= {xn} é
um subconjunto fechado de (M, dM ).
Consideremos
A
.
= {x ∈ M : x é ponto isolado de (M, dM )}.

Como A ⊆ M temos que A é enumerável, isto é, A = {xnk
: k ∈ N}.
Observemos que A =
∞
n=1
int(Fn).
De fato, se a ∈ A então a é ponto isolado de (M, dM ) logo int({a}) = {a} = {xn0 } para
algum n0 ∈ N , ou seja, a ∈ int(Fn0 ) .
Por outro lado, se para cada n ∈ N temos a ∈ inte(Fn) = int({xn}) então a é ponto isolado
de (M, dM )
Logo da proposi¸cão (8.7.3), segue que A é um subconjunto (aberto) e denso em (M, dM ).
1. Em particular, isto mostra que Rn é um conjunto não enumerável.
De fato, do exemplo acima temos que todo subconjunto fechado, infinito e enumerável de
Rn contém uma infinidade de pontos isolados, pois caso contrário, se tivesse somente um
número finito de pontos isolados, este seria denso em Rn o que é um absurdo.
2. Observemos que Q munido da métrica, dQ, induzida pela métrica usual de R não é topo-
logicamente completo.
De fato, como Q é enumerável e não tem pontos isolados, segue do exemplo acima que
não existe uma métrica equivalente à métrica dQ, que o torne completo, caso contrário, o
conjunto formado pelos seus pontos isolados (que é o vazio) seria denso em Q, o que é um
absurdo.
3. Seja (M, dM ) espa¸co métrico completo não enumerável e A um subconjunto, não vazio,
fechado de (M, dM ).
Se nenhum ponto de A é ponto isolado de (M, dM ) então A é não enumerável.
Observemos que como A é subconjunto, não vazio, fechado de (M, dM ) então (A, dM ) é
um espa¸co métrico completo.
De fato, A fosse enumerável, pelo exemplo acima, teremos que o conjunto formado por
todos pontos isolados de A (que é vazio) seria (aberto) denso em A, o que é uma absurdo.
Logo A é um conjunto não enumerável.
Exemplo 8.7.5 O objetivo deste exemplo é mostrar que o conjunto de Cantor, K é não enu-
merável.
Consideremos o espa¸co métrico (R, dR), onde dR é a métrica usual de R.
Pela observa¸cão (8.7.5) item 3., basta mostrarmos que nenhum ponto de K é ponto isolado
de R.
Sejam x ∈ K e B(x; ε) uma bola aberta, de R, centrada em x (isto é, um intervalo aberto
de R).
Considere In0 um intervalo de En0 que contenha x (que existe pois x ∈ K).
Escolha n ∈ N suficientemente grande tal que In0 ⊆ B(x, ε), que existe pois os intervalos In
tem comprimento tendendo a zero quando n tende a infinito e x ∈ In0 .
Seja xn0 um extremo de In0 tal que xn0 = x (no máximo x pode ser um dos extremos).
Da constru¸cão do conjunto K, temos que
xn0 ∈ [K ∩ B(x; ε)] {x},
mostrando que x não é ponto isolado de K e completando o exemplo.

Observa¸cão 8.7.6 Em um curso de Teoria da Medida mostra-se que K tem medida zero.
Com isto temos que o conjunto de Cantor tem as seguintes propriedades:
1. é fechado em (R, dR);
2. não enumerável;
3. tem medida zero.
8.8 Método das aproxima¸cões sucessivas
Come¸caremos pela
Defini¸cão 8.8.1 Seja f : M → M.
Diremos que x ∈ M é um ponto fixo da fun¸cão f em M se
f(x) = x.
Exemplo 8.8.1 Se f : Rn → Rn é dada por
f(x)
.
= −x, x ∈ Rn
,
então é fácil mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que 0 ∈ Rn será o único ponto
fixo da aplica¸cão f em Rn.
Exemplo 8.8.2 Se a = 0 e f : Rn → Rn é dada por
f(x)
.
= x + a, x ∈ Rn
,
então é fácil ver (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que não existe um ponto fixo da
aplica¸cão f em Rn.
Exemplo 8.8.3 Se f : R → R é dada por
f(x)
.
= x2
, x ∈ R,
então é fácil mostrar (será deixado como exerc´ıcio para o leitor) que 0, 1 ∈ R serão os únicos
pontos fixos da aplica¸cão f em R.
1. Se f : A ⊆ R → R os pontos fixos da aplica¸cão f em A serão as abscissas dos pontos onde
a diagonal em R2, y = x, corta o gráfico da fun¸cão f (veja figura abaixo).
E
T
f(a)
a
y = x
y = f(x)
x
y

8.8. MÉTODO DAS APROXIMAÇ ÕES SUCESSIVAS 307
2. Um resultado importante neste contexto é o Teorema do Ponto Fixo de Browder que
diz:
Seja Rn com a métrica usual e f : B[0; 1] → B[0; 1] cont´ınua em B[0; 1] (munida da
métrica induzida pela métrica de Rn).
Então a aplica¸cão f tem, pelo menos, um ponto em B[0; 1].
A seguir faremos a demonstra¸cão para o caso em que n = 1.
A demostra¸cão do caso geral será omitida.
Temos que f : [−1, 1] → [−1, 1] é cont´ınua em [−1, 1].
Consideremos g : [−1, 1] → R dada por
g(x)
.
= f(x) − x, x ∈ [−1, 1],
que é cont´ınua em [−1, 1].
Mas
g(−1) = f(−1) − (−1) ≥ −1 + 1 = 0 e g(1) = f(1) − 1 ≤ 1 − 1 ≤ 0,
ou seja,
g(−1) ≥ 0 e g(1) ≤ 0.
Logo, do teorema do valor intermediário, segue que existe x ∈ [−1, 1] tal que g(x) = 0, ou
seja, existe x ∈ [−1, 1] tal que f(x) = x, mostrando que a aplica¸cão f tem um ponto fixo
em [−1, 1].
Temos a
Proposi¸cão 8.8.1 (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Sejam (M, dM ) espa¸co métrico com-
pleto e f : M → M uma contra¸cão (forte) em (M, dM ).
Então existe um, único, ponto fixo de f em M.
Mais precisamente, se escolhermos x0 ∈ M e considerarmos a sequência (xn)n∈N onde, para
cada n ∈ N, definimos xn
.
= f(xn−1), então xn → a em (M, dM ) e f(a) = a, (ou seja, o ponto
fixo de f em M).
Demonstra¸cão:
Come¸caremos provando a unicidade do ponto fixo.
Para isto, suponhamos que a, b ∈ M são pontos fixos de f em M, isto é, f(a) = a e f(b) = b.
Como f é uma contra¸cão (forte) em (M, dM ), existe 0 c 1 tal que
dM (f(x), f(y) ≤ c dM (x, y), x, y ∈ M.
Em particular,
dM (a, b) = dM (f(a), f(b) ≤ c dM (a, b)
[c1]
dM (a, b),
mostrando que dM (a, b) = 0, ou seja, b = a, logo, o ponto fixo, se existir, será único em M.
Mostremos que existe o ponto fixo em M.
Dado x0 ∈ M, consideremos a sequência (xn)n∈N onde, para cada n ∈ N definimos
xn
.
= f(xn−1), n ∈ N.
Se x1 = x0 então f(x0) = x1 = x0 e assim x0 será o ponto fixo procurado.

Logo podemos supor que x1 = x0, ou seja, dM (x0, x1) 0.
Afirmamos que (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em (M, dM ).
Observemos que
dM (x1, x2) = dM (f(x0), f(x1)) ≤ c dM (x0, x1) (1)
dM (x2, x3) = dM (f(x1), f(x2)) ≤ c dM (x1, x2)
(1)
≤ c2
dM (x0, x1) (2)
dM (x3, x4) = dM (f(x2), f(x3)) ≤ c dM (x2, x3)
(2)
≤ c3
dM (x0, x1),
e, por indu¸cão (será deixado como exerc´ıcio para o leitor), teremos
dM (xn, xn+1) ≤ cn
dM (x0, x1), n ∈ N.
Logo para n, p ∈ N temos que
dM (xn, xn+p) = dM (xn, xn+1) + dM (xn+1, xn+2) + · · · + dM (xn+p−1, xn+p)
≤ cn
dM (x1, x0) + cn+1
dM (x1, x0) + · · · + cn+p−1
dM (x1, x0)
≤ [cn
+ cn+1
+ · · · + cn+p−1
]dM (x1, x0)
≤ cn
[1 + c + · · · + cp−1
]dM (x1, x0)
[
n
k=0
ck
≤
∞
k=0
ck
=
1
1 − c
]
≤
cn
1 − c
dM (x1, x0). (∗)
Como, 0 c 1 temos que lim
n→∞
cn
= 0, assim, dado ε 0 existe N0 ∈ N tal que se n ≥ N0
teremos
cn

(1 − c)
εdM (x1, x0)
. (∗∗)
Portanto se n ≥ N0 e p ∈ N teremos
dM (xn, xn+p)
cn
1 − c
dM (x1, x0)
(∗∗)
ε,
mostrando (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy em (M, dM ).
Como (M, dM ) é um espa¸co métrico completo segue que existe a ∈ M tal que xn → a em
(M, dM ).
Mas f é cont´ınua em a, logo
f(a) = f( lim
n→∞
xn) = lim
n→∞
f(xn) = lim
n→∞
xn+1 = a,
mostrando que a = lim
n→∞
xn é o ponto fixo de f em M.
Observa¸cão 8.8.2 Como dM é uma fun¸cão cont´ınua em M × M, fazendo p → ∞ em (*),
teremos
dM (xn, a) = dM (xn, lim
p→∞
xn+p) = lim
p→∞
dM (xn, xn+p) ≤
cn
1 − c
dM (x1, x0),
que nos dá uma estimativa para o erro que cometemos ao tomar o n-ésimo iterado, xn, como
uma valor aproximado do ponto fixo de a.

Temos a
Proposi¸cão 8.8.2 Sejam (M, dM ) espa¸co métrico e f : M → M uma contra¸cão (forte) em M.
Dado b ∈ M se existir r 0 tal que
dM (b, f(b)) ≤ r(1 − c)
então a bola fechada B[b; r] em (M, dM ) é invariante pela aplica¸cão f (isto é, f(B[b; r]) ⊆
B[b; r]).
Em particular, se (M, dM ) é um espa¸co métrico completo, o ponto fixo de f em M pertencerá
a bola fechada B[b; r].
Demonstra¸cão:
Se x ∈ B[b; r] temos que dM (x, b) ≤ r assim
dM (f(x), b) ≤ dM (f(x), f(b)) + dM (f(b), b) ≤ c dM (x, b) + r(1 − c) ≤ cr + r(1 − c) = r,
mostrando que f(x) ∈ B[b; r], logo f(B[b; r]) ⊆ B[b; r].
Se (M, dM ) é um espa¸co métrico completo, como B[b; r] é um subconjunto fechado em
(M, dM ) segue que (B[b; r], dM ) é um espa¸co métrico completo.
Pelo teorema do ponto fixo de Banach, aplicado a B[b; r] temos que f tem um, único, ponto
fixo em B[b; r].
Temos também a
Proposi¸cão 8.8.3 (Perturba¸cão da Identidade) Sejam (E, . E) espa¸co de Banach, U subcon-
junto aberto de E e ϕ : U → E uma contra¸cão (forte) em U.
Então a aplica¸cão f : U → E dada por
f(x)
.
= x − ϕ(x), x ∈ U,
é um homeomorfismo de U sobre um subconjunto aberto de E (que é f(U)).
Demonstra¸cão:
Como ϕ é uma contra¸cão (forte) em U segue que existe 0 ≤ c 1 tal que
ϕ(x) − ϕ(x) E ≤ c x − x E, x, y ∈ U.
Com isto temos que, para x, y ∈ U,
f(x) − f(y) E = [x − ϕ(x)] − [y − ϕ(y)] E ≤ x − y E − ϕ(x) − ϕ(y) E
≤ x − y E − c x − y E ≤ (1 − c) x − y E. (∗)
Logo f é injetora e assim existe sua fun¸cão inversa, f−1 : f(U) → U (na verdade f é uma
contra¸cão forte pois 0 1 − c 1).
Além disso, se w, z ∈ f(U) temos que existem x, y ∈ U tal que w = f(x), z = f(y) logo
f−1
(w) − f−1
(z) E = x − y E
(∗)
≤
1
(1 − c)
f(x) − f(y) E =
1
(1 − c)
w − z E,
mostrando que f−1 é uma aplica¸cão lipschitziana em f(U), em particular f−1 : f(U) → U é
cont´ınua em f(U).

Logo f : U → f(U) é um homeomorfismo de U sobre f(U).
Mostremos que f(U) é um subconjunto aberto de E.
Seja b ∈ f(U), logo existe a ∈ U tal que f(a) = b.
Como a ∈ U e U é um subconjunto aberto de E segue que existe r 0 tal que B[a; r] ⊆ U.
Mostremos que B(b;
1 − c
r
) está contida em f(U), ou seja, f(U) é um subconjunto aberto de
E.
Para tanto, precisamos mostrar que se
y ∈ B(b; (1 − c)r),
existe x ∈ U tal que y = f(x).
Na verdade, mostraremos que a aplica¸cão
ξy : B[a; r] → E dada por ξy(x)
.
= y − f(x)
tem um (único) ponto fixo na bola fechada B[a; r].
Se isto ocorrer, existirá x ∈ B[a; r] tal que
x = ξy(x) = y − ϕ(x), (∗∗)
ou seja,
f(x) = x − ϕ(x)
(∗∗)
= y, isto é y ∈ f(B[a; r]) ⊆ f(U).
Como (M, dM ) é um espa¸co métrico completo e B[a; r] é um subconjunto fechado de (M, dM ),
segue que (B[a; r], dM ) é um espa¸co métrico completo.
Temos que ξy : B[a; r] → E é uma contra¸cão em (B[a; r], dM ).
De fato, z, w ∈ B[a; r] ⊆ U temos que
ξy(z) − ξy(w) E = [y − ϕ(z)] − [y − ϕ(z)] E = ϕ(z) − ϕ(w) E
[ϕ é contra¸cão em U]
≤ c z − w E. (∗ ∗ ∗)
Além disso, se
z ∈ B[a; r]
temos que
ξy(z) − a E = [ξy(z) − ξy(a)] + [ξy(a) − a] E ≤ ξy(z) − ξy(a) E + ξy(a) − a E
(∗∗∗)
≤ c z − a E + ξy(a) − a E = c z − a E + [y − ϕ(a)] − a E
= c z − a E + y − f(a) E
[b=f(a)]
= c z − a E + y − b E
≤ c z − a E + y − b E ≤ cr + (1 − c)r = r,
mostrando que ξy(z) ∈ B[a; r], ou seja, ξy : B[a; r] → B[a; r] é uma contra¸cão, logo existe um
(único) ponto fixo de ξy na bola fechada B[a; r], ou seja, f(U) é um subconjunto aberto de E,
concluindo a demonstra¸cão.

Exemplo 8.8.4 Sejam (E, . E) espa¸co de Banach, U um subconjunto aberto de R×E, (t0, x0) ∈
U e f : U → E uma aplica¸cão cont´ınua em U e satisfazendo
f(t, x) − f(t, y) E ≤ c x − y E,
para todo (t, x), (t, y) ∈ U, onde c ≥ 0 não depende dos pontos (t, x), (t, y) ∈ U (ou seja, f é
uniformemente lipschitziana na variável x, para todo (t, x) ∈ U).
Mostraremos que existe um intervalo I
.
= (t0, t0 + α) e uma única x : I → E continuamente
diferenciável em I tal que



x (t) = f(t, x(t)), t ∈ I (∗)
x(t0) = x0 (∗∗)
x ∈ C1(¯I; R) (∗ ∗ ∗)
(t, x(t)) ∈ U, t ∈ I
uma única solu¸cão do P.V.I.
Observemos que, do teorema fundamental do Cálculo, as condi¸cões (*), (**) e (***) são
equivalentes a
x(t) = x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds, t ∈ I. (∗ ∗ ∗∗)
De fato, pois x satisafaz a EDO se, e somente se,
t
t0
x (s) ds =
t
t0
f(s, x(s)) ds,
do teorema fundamental do Cálculo será equivalente a
x(t) − x(t0) =
t
t0
f(s, x(s)) ds,
e como x(t0) = x0 teremos (****).
Escolhamos α, β 0 tais que
1. I × B[x0; β] ⊆ U, que é poss´ıvel pois U é um subconjunto aberto de R × E e (t0, x0) ∈ U;
2. exista M 0 tal que
|f(t, x)| ≤ M
para todo (t, x) ∈ I × B[x0; β], que é poss´ıvel pois f é cont´ınua em U, logo será limitada
numa vizinhan¸ca limitada de (t0, x0) em R × U;
3. tenhamos
α.M ≤ β e α.c 1,
que é poss´ıvel se tomarmos α 0 suficientemente pequeno.
Como isto podemos considerar o espa¸co métrico C(I; B[x0; β]) formado pelas fun¸cões cont´ınuas
x : I → B[x0; β], munido da métrica da convergência uniforme, que é um espa¸co métrico com-
pleto.
De fato, pois como (E, . E) é um espa¸co de Banach e B[x0; β] é um subconjunto fechado
de (E, . E), segue que (B[x0; β], . E) é um espa¸co métrico completo.

Consideremos a aplica¸cão
T : C(I; B[x0; β]) → F(I; E)
dada por
[T(x)](t)
.
= x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds, t ∈ I,
para x ∈ C(I; B[x0; β]).
Observemos que
1. T(x) ∈ C(I; E), pois é uma integral definida no intervalo [t0, t] da fun¸cão cont´ınua em
s → f(s, x(s));
2. [T(x)](t) ∈ B[x0; β] para todo t ∈ I, pois para todo t ∈ I temos
[T(x)](t) − x0 E = [x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds] − x0 E
≤
t
t0
f(s, x(s)) E ds
[(s,x(s))∈I×B[x0;β]]
≤
t
t0
M ds
≤ M(t − t0) ≤ M.α ≤ β
3. [T(x)] : I → B[x0; β] é lischitziana em I, pois se t, t ∈ I temos que
[T(x)](t) − [T(x)](t ) E = [x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds] − [x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds] E
=
t
t
f(s, x(s)) ds E ≤ |
t
t
f(s, x(s)) E ds|
[ f(s,x(s)) E≤M]
≤ |
t
t
M ds| ≤ M|t − t |.
Em particular, T(x) : I → B[x0; β] é cont´ınua em I, ou seja, T(x) ∈ C(I; B[x0; β]).
4. Dos itens acima segue que T é uma aplica¸cão do espa¸co métrico completo C(I; B[x0; β])
em si mesmo.
5. Se x, y ∈ C(I; B[x0; β]) temos
[T(x)] − [T(y)] sup = sup
t∈I
[x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds] − [x0 +
t
t0
f(s, y(s)) ds] E
= sup
t∈I
t
t0
[f(s, x(s)) − f(s, y(s))] ds E
≤ sup
t∈I
|
t
t0
f(s, x(s)) − f(s, y(s)) E ds|
≤ sup
s∈I
f(s, x(s)) − f(s, y(s)) Eα ≤ α.c. sup
s∈I
x(s) − y(s) E
≤ α.c. x − y sup,
ou seja, T é uma contra¸cão (pois α.c 1) do espa¸co métrico completo C(I; B[x0; β]) em
si mesmo.

Logo, do teorema de ponto fixo de Banach, segue que existe uma única x ∈ C(I; B[x0; β])
tal que
x = T(x),
isto é, para todo t ∈ I temos
x(t) = x0 +
t
t0
f(s, x(s)) ds,
que, siginifica uma única solu¸cão do P.V.I. dado inicialmente.

Cap´ıtulo 9
Bibliograﬁa
[ 1 ] E.L. Lima - Espa¸cos M´etricos - Projeto Euclides, IMPA, 1977.
[ 2 ] G.F. Simmons - Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, 1963
[ 3 ]S. Lipschutz - Topologia Geral, McGraw-Hill do Brasil, 1973.
315

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