Cálculo Diferencial Integral II

APOSTILA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Autores: Elisandra Bar de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi, Marnei Luis Mandler
Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/
Joinville, fevereiro de 2010.

PLANO DE ENSINO DE CÁLCULO II
Departamento: Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Siglas: CDI-II, CDI2001 Semestre/Ano: 01/2010
Carga Horária Total: 72 horas Teórica: 72 horas Prática: 0
Cursos: Engenharia Civil, Engenharia Elétrica, Engenharia Mecânica, Engenharia de
Produção e Sistemas, Licenciatura em Física, Licenciatura em Matemática.
Professores: Carlos Raphael Rocha, Eliane Bihuna de Azevedo, Elisandra Bar de
Figueiredo, Graciela Moro, Jones Corso, Marnei Luis Mandler
Coordenação: Elisandra Bar de Figueiredo.
Objetivo Geral da Disciplina: Proporcionar ao estudante a oportunidade de apropriar-
se dos conhecimentos de cálculo diferencial e integral, bem como aplicar estes conceitos em
sua área de atuação.
Ementa: Integrais denidas. Teorema Fundamental do Cálculo. Funções de várias
variáveis reais. Integrais duplas. Integrais triplas. Séries Numéricas. Série de Funções.
Objetivos Especícos da Disciplina: Reconhecer e resolver problemas que envolvam
integral denida. Reconhecer e resolver problemas que envolvam funções de várias variáveis.
Reconhecer e resolver problemas que envolvam integrais múltiplas. Reconhecer e resolver
problemas que envolvam sequências e séries.
Cronograma de Atividades:
1. Integral Denida (18 horas aula)
1.1. Integral Denida (4 h/a)
1.2. Teorema Fundamental do Cálculo e Propriedades (2 h/a)
1.3. Integrais Impróprias (2 h/a)
1.4. Área em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
1.5. Área em Coordenadas Polares (2 h/a)
1.6. Comprimento de Arco (2 h/a)
1.7. Volume de Sólido de Revolução (2 h/a)
1.8. Avaliação (2 h/a)
2. Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial (18 horas aula)
2.1. Denição e Representação Gráca de Funções de Várias Variáveis (2 h/a)
i

2.2. Limite de Funções de várias Variáveis (2 h/a)
2.3. Continuidade de Funções de várias variáveis (1 h/a)
2.4. Derivadas Parciais (1 h/a)
2.5. Derivadas Parciais de Ordem Superior (1 h/a)
2.6. Regra da Cadeia (2 h/a)
2.7. Derivação Implícita (1 h/a)
2.8. Taxas de Variação (2 h/a)
2.9. Diferencial Parcial e Diferencial Total (2 h/a)
2.10. Extremos de Funções de duas variáveis (2 h/a)
3. Integrais Duplas (6 horas aula)
3.1. Denição (1 h/a)
3.2. Interpretação Geométrica (1 h/a)
3.3. Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
3.4. Integral Dupla em Coordenadas Polares (2 h/a)
4. Integrais Triplas (12 horas aula)
4.1. Denição e Interpretação Geométrica (2 h/a)
4.2. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas (2 h/a)
4.3. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (2 h/a)
4.4. Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas (2 h/a)
4.5. Apresentação e discussão de Trabalhos (2 h/a)
5. Séries Numéricas e Séries de Funções (18 horas aula)
5.1. Sequências (2 h/a)
5.2. Séries Numéricas (2 h/a)
5.3. Série Geométrica e Série Harmônica (1 h/a)
5.4. Critério do Termo Geral, Critério da Integral (1 h/a)
5.5. Critério da Comparação (1 h/a)
ii

5.6. Critério de D'Alembert, Critério de Cauchy (2 h/a)
5.7. Séries Alternadas, Teorema de Leibnitz (1 h/a)
5.8. Convergência Absoluta e Convergência Condicional (1 h/a)
5.9. Séries de Funções, Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências (2 h/a)
5.10. Derivação e Integração de Séries de Funções (1 h/a)
5.11. Séries de Taylor e Séries de MacLaurin (2 h/a)
Avaliações: Serão realizadas 4 avaliações escritas individuais, com a seguinte distribuição
de conteúdos:
1a
Prova: referente ao Capítulo 1: nota x
2a
Prova: referente ao Capítulo 2: nota y
3a
Prova: referente aos Capítulos 3 e 4: nota z
4a
Prova: referente ao Capítulo 5: nota w
Fará parte da terceira avaliação a apresentação oral de um trabalho, valendo até dois
pontos na nota da terceira prova, conforme critério a ser divulgado. No entanto, a soma das
nota das prova e do trabalho não poderá ultrapassar 10.
Média Semestral: A nota semestral será calculada pela média aritmética das notas das
quatro avaliações.
Datas das Avaliações:
Todas as Turmas:
1a
Prova: 27/03/10 (sábado, entre 09h30min e 12h)
2a
Prova: 24/04/10 (sábado, entre 09h30min e 12h)
3a
Prova: 22/05/10 (sábado, entre 09h30min e 12h30min)
4a
Prova: 28/06/10 (segunda-feira, entre 18h e 20h30min)
O EXAME de todos os cursos será realizado no dia 07/07/2010 (quarta-feira, entre
18h e 20h30min)
Caso o acadêmico não possa comparecer a qualquer uma das avaliação, deverá entrar
com pedido ocial de solicitação de segunda chamada desta prova, no prazo de cinco dias
úteis, de acordo com a Resolução 018/2004 Consepe.
As provas de segunda chamada, quando deferidas, ocorrerão sempre antes da realização
da próxima avaliação programada, em data, horário e local a serem divulgados no mural do
DMAT e na página da disciplina.
É de responsabilidade do acadêmico acompanhar os trâmites do seu processo de segunda
chamada.
BIBLIOGRAFIA
• ANTON, H. Cálculo: um novo Horizonte. Bookman, PoA. Volumes 1 e 2
• AYRES, F. J. Cálculo. Coleção Schaum. McGraw-Hill do Brasil. SP.
iii

• GONÇALVES, M. B. and FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias
Variáveis, Integrais Duplas, Integrais Triplas. Makron Books. SP.
• LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. Harbra. SP.
• PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Lopes e Silva. Porto.
• STEWART, J. Cálculo, Cengage Learning, SP. Volumes 1 e 2.
• SWOKOWSKI, E. Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books, SP. Vo-
lumes 1 e 2
• THOMAS, G. Cálculo. Addison Wesley, SP. Volumes 1 e 2.
• APOSTILA TEXTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
iv

Horário de Monitoria
Monitor: Heric Dênis Farias
Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
07:30 08:20
08:20 09:10
09:20 10:10
10:10 11:00
11:00 11:50
13:30 14:20
14:20 15:10
15:20 16:10
16:10 17:00
17:00 17:50
18:10 19:00
19:00 19:50
19:50 20:40
Horário de Atendimento dos Professores
Início Final Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
07:30 08:20
08:20 09:10
09:20 10:10
10:10 11:00
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13:30 14:20
14:20 15:10
15:20 16:10
16:10 17:00
17:00 17:50
18:10 19:00
19:00 19:50
19:50 20:40
v

Conteúdo
1 INTEGRAL DEFINIDA 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Função Integrável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão) . . . . . . . . . 17
1.7 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c ∈ [a, b] . . . . . . . . . . . 20
1.9 Aplicações da Integral Denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.1 Área em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas . . . . 28
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares . . . . . . . . . . 29
1.10 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 32
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . . 35
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 36
1.11 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . 41
1.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 56
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.5 Gráco de uma Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.10 Curvas e Súperfícies de Nível (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.12 Distâncias e Bolas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.9 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . 71
2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.7 Derivada de uma Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8 Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
vi

2.10 Diferencias Parciais e Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.11 Extremos de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.11.1 Ponto Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.11.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3 INTEGRAIS DUPLAS 103
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Cálculo da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4 INTEGRAIS TRIPLAS 121
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares . . . . . . . . . . . 123
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 144
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.3 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2.7 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.3 Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Sequência Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 Sequências Numéricas Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6.4 Soma de uma Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6.7 Séries Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Condição necessária para Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.8 Séries Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.8.1 Série harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.8.3 Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.9 Critérios de Convergência de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9.1 Critério da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9.3 Série p ou Série Hiper-harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9.7 Critério da comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.9.10 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão . . . . . . . . . . . . . 161
5.9.14 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.10.3 Convergência de uma série alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.12 Séries absolutamente convergente e condicionalmente convergentes . . . . . . 166
vii

5.13 Séries de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.13.2 Convergência de séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.14 Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.14.4 Processo para determinar o intervalo e o raio de convergência de uma
série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.14.8 Série de potências centrada em x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.14.11 Continuidade da soma de uma Série de Funções. . . . . . . . . . . . . 173
5.14.13 Derivação de uma série de funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . 173
5.15 Diferenciação e Integração de Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.16 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.17 Série de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.18 Fórmula geral do binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.20 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
viii

Capítulo 1
INTEGRAL DEFINIDA
Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Denir integral inferior e integral superior;
2. Calcular o valor da integral denida por denição;
3. Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades;
4. Calcular integral denida por substituição de variáveis;
5. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias;
6. Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontínuas;
7. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares;
8. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares;
9. Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas paramétricas;
10. Calcular volume de um sólido de revolução;
11. Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares, paramétricas e po-
lares;
12. Calcular a superfície de um sólido de revolução;
13. Resolver problemas através da integral nas áreas de física, produção, economia entre
outras aplicações;
14. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram
atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu-
lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento
teórico desse capítulo nessa apostila.
1

1.1 Introdução
Neste capítulo estudaremos a integral denida. Uma das principais aplicações da integral
denida encontra-se em problemas que envolvem cálculo de área e volumes. Por exemplo,
seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Nosso
propósito é determinar a área da região delimitada pela curva y = f(x), pelo eixo x e pelas
retas x = a e x = b, conforme Figura 1.1 abaixo:
a y b
x
f
Figura 1.1: Área da região R
Estimando o valor da área R: Sabemos como calcular a área de um retângulo (base
× altura). A área de um polígono podemos obter subdividindo-o em triângulos e retângulos.
No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Assim, parte do
problema da área é utilizar uma ideia intuitiva do que é a área de uma região. Recordemos
que, para denir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por
inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Utilizaremos
uma ideia semelhante para obter áreas.
Por exemplo para calcular a área da região R vamos dividir o intervalo [a, b] em 2 subin-
tervalos de comprimento ∆x = b−a
2
. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi,
onde i ∈ {0, 1, 2}. Veja que, neste caso, temos x0 = a, x1 = c e x2 = b. Na Figura 1.2,
considere os retângulos de largura ∆x e altura Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.
a y c b
x
f
Figura 1.2: Estimativa por soma de áreas de retângulos
Deste modo obtemos um polígono circunscrito a região R cuja área é dada pela soma
da área dos dois retângulos. Como a base é a mesma, podemos dizer que a área é dada
por
2
∑
i=1
Mi∆x, onde Mi = Max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}. Você acha que podemos comparar a
2

área da região R representada pela Figura 1.1 e a região formada pelos retângulos da Figura
1.2? A diferença é muito grande? O que aconteceria com esta diferença se dividíssemos o
intervalo [a, b] em n subintervalos com n = 3, 4, 5, 6, · · ·?
A denição formal de integral denida envolve a soma de muitos termos pequenos (dife-
renciais), com a nalidade de obter-se uma quantidade total após esta operação. Assim há
uma conexão entre o cálculo integral e diferencial, onde o Teorema Fundamental do Cálculo
relaciona a integral com a derivada. As integrais estão envolvidas em inúmeras situações:
usando a taxa (derivada) podemos obter a quantidade (integral) de óleo que vaza de um
tanque durante um certo tempo; utilizando a leitura do velocímetro de um ônibus espacial é
possível calcular a altura atingida por ele em um dado intervalo de tempo. Assim, pode-se
usar a integral para resolver problemas concernentes a volumes, comprimentos de curvas,
predições populacionais, saída de sangue do coração, força sobre uma represa, potência con-
sumida e a energia usada em um intervalo de tempo na cidade de Joinville, etc.
O Cálculo da Área
Primeiramente aproximaremos a área da regiã R delimitada por grácos de funções
por soma de áreas de retângulos inscritos ou circunscritos para então tomarmos o limite das
áreas desses retângulos, à medida que se aumenta o número destes, conforme a Figura 1.3.
y
x
a b b
a x
y
Figura 1.3: Aproximando áreas com n retângulos
E desta forma, a área total desejada será obtida pela soma das áreas retangulares quando
suas bases se tornam cada vez menores, isto é, quando ∆x → 0 (ou equivalentemente, quando
o número de retângulos se torna cada vez maior, isto é, n → ∞). Você consegue formalizar,
matematicamente, este resultado?
Para dar início a essa formalização, veremos algumas denições auxiliares.
1.2 Partição
DEFINIÇÃO 1.2.1 Seja [a, b] um intervalo. Denominamos partiçãode [a, b] ao conjunto or-
denado de pontos
P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
tais que
a = x0 x1 x2 ... xn = b
e que dividem [a, b] em n-subintervalos, a saber,
[x0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , ..., [xi−1, xi] , ..., [xn−1, xn] ,
3

denominados intervalos da partição. Além disso, podemos escrever
|[x0, x1]| = x1 − x0 = ∆x1
|[x1, x2]| = x2 − x1 = ∆x2
|[x2, x3]| = x3 − x2 = ∆x3
· · ·
|[xi−1, xi]| = xi − xi−1 = ∆xi
· · ·
|[xn−1, xn]| = xn − xn−1 = ∆xn.
EXEMPLO 1.2.2 Considerando o intervalo [1, 12], o conjunto de pontos P = {1, 2, 4, 8, 12} é
uma partição de [1, 12]. Os intervalos dessa partição são [1, 2], [2, 4], [4, 8] e [8, 12].
Naturalmente, temos 1 = x0 2 = x1 4 = x2 8 = x3 12 = x4.
DEFINIÇÃO 1.2.3 Seja [a, b] um intervalo e considere
P = {x0, x1, x2, · · · , xi, · · · , xn} e Q = {x0, x1, x2, · · · , y0, · · · , xi, · · · , xn}
duas partições de [a, b]. Dizemos que a partição Q é um renamento da partição P se P ⊂ Q.
EXEMPLO 1.2.4 Consideremos o intervalo [1, 12]. Os conjuntos de pontos
P = {1, 2, 4, 8, 12} e Q = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12}
são duas partições de [1, 12] com P ⊂ Q. Então Q é um renamento de P.
1.3 Soma Superior
Consideraremos sempre uma função contínua f : [a, b] → R denida num intervalo fechado
[a, b] e limitada nesse intervalo, isto é, existem m, M ∈ R tais que m ≤ f (x) ≤ M para todo
x ∈ [a, b] .
DEFINIÇÃO 1.3.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
uma partição de [a, b], com a = x0 x1 x2 ... xn = b. Seja Mi o valor supremo de f
no intervalo [xi−1, xi] , onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Denominamos soma superior de f em relação
à partição P e denotamos por S(f, P) à expressão:
S(f, P) = M1(x1 − x0) + M2(x2 − x1) + .. + Mn(xn − xn−1) =
n
∑
i=1
Mi(xi − xi−1). (1.3.1)
EXEMPLO 1.3.2 Considere a função f : [0, 2] → R denida por f (x) = xsenx. Na Figura
1.4 podemos ver o gráco de uma soma superior referente a uma partição composta por 15
pontos. Já uma soma superior referente a uma partição com maior número de pontos (80
pontos), é ilustrada pela Figura 1.5.
Note que, conforme aumentamos o número de pontos da partição, aqui uniformemente
distribuídos, a soma superior S(f, P) vai se aproximando da área sob o gráco de f (x) =
x sin x, no intervalo [0, 2] .
4

Figura 1.4: Soma Superior, S(f, P), P com 15 pontos: A = 1, 863 u.a.
Figura 1.5: Soma Superior, S(f, P), P com 80 pontos: A = 1, 746 u.a.
1.4 Soma Inferior
DEFINIÇÃO 1.4.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x0, x1, x2, ..., xi, ..., xn}
uma partição de [a, b], onde a = x0 x1 x2 ... xn = b. Seja mi o valor ínmo de f
no intervalo [xi−1, xi] para i = 1, 2, 3, ..., n. Denominamos soma inferior de f em relação à
partição P e denotamos por S(f, P) à expressão:
S(f, P) = m1(x1 − x0) + m2(x2 − x1) + ... + mn(xn − xn−1)
n
∑
i=1
mi(xi − xi−1). (1.4.1)
EXEMPLO 1.4.2 Considere a função f : [0, 2] → R denida por f (x) = xsenx. Na Figura
1.6 podemos ver o gráco de uma soma inferior referente a uma partição composta por um
número reduzido de pontos (15 pontos) e na Figura 1.7 de uma soma inferior referente a
uma partição com maior número de pontos (80 pontos).
Note que, aumentando o número de pontos de [a, b] a soma inferior S (f, P) vai se apro-
ximando da área sob o gráco de f (x) = x sin x no intervalo [0, 2].
5

Figura 1.6: Soma Inferior, S(f, P), P com 15 pontos: A = 1, 642 u.a.
Figura 1.7: Soma Inferior, S(f, P), P com 80 pontos: A = 1, 718 u.a.
1.5 Função Integrável
DEFINIÇÃO 1.5.1 Seja f : [a, b] → R uma função. Dizemos que f é integrável se
lim
n→+∞
S(f, P) = lim
n→+∞
S(f, P)
ou seja, se
lim
n→+∞
n
∑
i=1
mi(xi − xi−1) = lim
n→+∞
n
∑
i=1
Mi(xi − xi−1),
sendo P = {x0, x1, x2, · · · , xn} qualquer partição de [a, b].
No caso de uma função integrável, denotaremos a integral denida de f de a até b
por
∫ b
a
f (x) dx = lim
n→+∞
n
∑
i=1
f (χi) (xi − xi−1), onde χi ∈ [xi−1, xi] .
OBSERVAÇÃO 1.5.2 As somas superiores e inferiores acima denidas são casos particulares
de Somas de Riemann, que são quaisquer expressões da forma S =
n
∑
i=1
f (wi) ∆xi, onde
wi ∈ [xi−1, xi] não é ne-cessariamente um máximo ou um mínimo de f em cada subintervalo
6

da partição considerada, nem ∆xi é necessariamente constante. No entanto, em nossos
propósitos, não iremos considerar esses casos mais gerais.
Ainda, como f(x) pode ser negativa, certos termos de uma soma superior ou inferior
também podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P) e S(f, P) irão repre-
sentar uma soma de áreas de retângulos. De forma geral, estas somas representam a soma
das áreas dos retângulos situados acima do eixo-x (onde f ≥ 0) com o negativo das áreas
dos retângulos que estão situados abaixo deste eixo (onde f ≤ 0).
OBSERVAÇÃO 1.5.3 Para calcular integrais denidas usando a denição de somas superiores
ou inferiores, serão usadas as seguintes expressões:
(i) 1 + 1 + 1 + ... + 1
| {z } = k
k vezes
(ii) 1 + 2 + 3 + ... + k =
(1 + k)k
2
(iii) 12
+ 22
+ 32
+ ... + k2
=
k (k + 1) (2k + 1)
6
(iv) 13
+ 23
+ 33
+ ... + k3
=
k2
(k + 1)2
4
(v) 14
+ 24
+ 34
+ ... + k4
=
k (k + 1) (6k3
+ 9k2
+ k − 1)
30
EXEMPLO 1.5.4 Usando a denição de soma superior, encontre a área delimitada pelas curvas
y = x2
+ 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [0, 4], conforme ilustra
a Figura 1.8
y
x
Figura 1.8: Soma Superior de f(x) = x2
+ 1 com 10 retângulos
Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
4 − 0
n
=
4
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, x3 = 3∆x, ..., xn = n∆x.
7

Seja Mi o supremo de f(x) = x2
+ 1 no intervalo [xi−1, xi]. Como neste exemplo temos
uma função crescente, o máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito,
ou seja, Mi = f(xi). Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + .... + Mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + ... + f(xn)∆x
= f(∆x)∆x + f(2∆x)∆x + f(3∆x)∆x + ... + f(n∆x)∆x
= ∆x[(∆x)2
+ 1 + (2∆x)2
+ 1 + (3∆x)2
+ 1 + ... + (n∆x)2
+ 1]
= ∆x[1 + 1 + ... + 1 + (∆x)2
+ 4(∆x)2
+ 9(∆x)2
+ ... + n2
(∆x)2
]
= ∆x[n + ∆x2
(1 + 22
+ 32
+ ... + n2
)]
= ∆x
(
n + ∆x2 n(n + 1)(2n + 1)
6
)
=
4
n
(
n +
42
n2
n(n + 1)(2n + 1)
6
)
= 4 +
64
6
(n + 1)(2n + 1)
n2
= 4 +
32
3
(
2 +
3
n
+
1
n2
)
= 4 +
64
3
+
32
n
+
32
3n2
.
Portanto, a área desejada é dada por
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx = lim
n→+∞
(
4 +
64
3
+
32
n
+
32
3n2
)
=
76
3
.
Agora, se desejarmos encontrar a soma inferior de f, quais modicações deveremos efetuar
nos cálculos acima? Sugere-se que o estudante refaça este exercício, prestando bastante
atenção no que ocorre com as alturas dos retângulos inscritos e nas consequências deste fato.
EXEMPLO 1.5.5 Usando a denição de soma inferior, encontre a área delimitada pelas curvas
y = 16 − x2
, x = 1, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 4], conforme ilustra
a Figura 1.9
y
x
Figura 1.9: Soma Inferior de f(x) = 16 − x2
com 10 retângulos
8

Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos
possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
4 − 1
n
=
3
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, x3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x.
Seja mi o ínmo de f(x) = 16 − x2
no intervalo [xi−1, xi]. Como no intervalo [1, 4] a
função é decrescente, o mínimo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou
seja, mi = f(xi). Assim, a soma inferior de f é dada por
S(f, P) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + .... + mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + ... + f(xn)∆x
= f(1 + ∆x)∆x + f(1 + 2∆x)∆x + f(1 + 3∆x)∆x + ... + f(1 + n∆x)∆x
= [16 − (1 + ∆x)2
+ 16 − (1 + 2∆x)2
+ 16 − (1 + 3∆x)2
+ · · · + 16 − (1 + n∆x)2
]∆x
= 16n∆x + [1 + 2∆x + (∆x)2
+ 1 + 2 · 2∆x + (2∆x)2
+ 1 + 2 · 3∆x + (3∆x)2
+
+ · · · + 1 + 2 · n∆x + (n∆x)2
]∆x
= 16n∆x − n∆x − 2(1 + 2 + 3 + · · · + n)(∆x)2
− (12
+ 22
+ 32
+ · · · + n2
)(∆x)3
= 15n∆x − 2 ·
n(n + 1)
2
· (∆x)2
−
n(n + 1)(2n + 1)
6
· (∆x)3
= 15n ·
3
n
− 9 ·
n2
+ n
n2
− 9 ·
2n3
+ 3n2
+ n
2n3
= 45 − 9 −
9
n
− 9 −
27
2n
−
9
2n2
= 27 −
45
2n
−
9
2n2
∫ 4
1
(16 − x2
)dx = lim
n→+∞
(
27 −
45
2n
−
9
2n2
)
= 27.
OBSERVAÇÃO 1.5.6 Até o momento não exigimos que a função seja contínua. Isso porque a
condição de continuidade não é necessária para que uma função seja integrável. Daqui para
frente só trabalharemos com funções contínuas. A integrabilidade de funções não contínuas
não será objeto de nosso estudo.
Propriedades das Integrais
Se f, g : [a, b] → R são funções integráveis, então são válidas as seguintes propriedades:
i. Se f(x) é uma função constante, i.e., f(x) = c então
∫ b
a
cdx = c(b − a).
ii. Se k é uma constante então
∫ b
a
kf (x) dx = k
∫ b
a
f (x) dx.
iii.
∫ b
a
[f (x) + g (x)]dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g (x) dx.
iv. Se f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b] então
∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
g (x) dx.
9

v. Se m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], então m (b − a) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ M (b − a) .
vi. Se c ∈ [a, b] então
∫ b
a
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx.
vii. A troca dos limitantes de integração acarreta a mudança no sinal da integral denida,
ou seja,
∫ b
a
f (x) dx = −
∫ a
b
f (x) dx.
viii.
∫ a
a
f(x)dx = 0.
EXEMPLO 1.5.7 Determine a soma superior e a soma inferior para f(x) = x2
− 2x + 2 no
intervalo [−1, 2]. A seguir, utilize-as para calcular a área da região situada abaixo do gráco
de f e entre as retas y = 0, x = −1 e x = 2.
Solução: A Figura 1.10 ilustra o gráco da soma superior de f referente a uma partição
composta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos circunscritos não possuem
o mesmo comportamento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente
no intervalo [−1, 1] e crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma superior de f
usaremos a Propriedade v. Tomaremos uma partição para o intervalo [−1, 1] e outra para o
intervalo [1, 2].
y
x
Figura 1.10: Soma Superior de f(x) = x2
− 2x + 2 com 15 retângulos
Soma Superior para o intervalo [−1, 1]
Seja P = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [−1, 1], de tal forma que todos os
subintervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
1 − (−1)
n
=
2
n
e
assim podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x0 = −1, x1 = −1 + ∆x, x2 = −1 + 2∆x, x3 = −1 + 3∆x, · · · , xn = −1 + n∆x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos circunscritos. Seja Mi o supremo de
f(x) = x2
− 2x + 2 no subintervalo [xi−1, xi]. Como neste intervalo a função é decrescente o
10

máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo esquerdo, ou seja, Mi = f(xi−1).
Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + · · · + Mn∆x
= f(x0)∆x + f(x1)∆x + f(x2)∆x + · · · + f(xn−1)∆x
= f(−1)∆x + f(−1 + ∆x)∆x + f(−1 + 2∆x)∆x + · · · + f(−1 + (n − 1)∆x)∆x
= ∆x{5 +
[
(−1 + ∆x)2
− 2(−1 + ∆x) + 2
]
+
[
(−1 + 2∆x)2
− 2(−1 + 2∆x) + 2
]
+
+ · · · +
[
(−1 + (n − 1)∆x)2
− 2(−1 + (n − 1)∆x) + 2
]
}
= ∆x{5 +
[
(1 − 2∆x + (∆x)2
) + 2 − 2∆x + 2
]
+
[
1 − 4∆x + 22
(∆x)2
+ 2 − 4∆x + 2
]
+
+ · · · +
[
1 − 2(n − 1)∆x + (n − 1)2
(∆x)2
+ 2 − 2(n − 1)∆x + 2
]
}
= ∆x{5 +
[
5 − 4∆x + (∆x)2
]
+
[
5 − 8∆x + 22
(∆x)2
]
+
+ · · · +
[
5 − 4(n − 1)∆x + (n − 1)2
(∆x)2
]
}
= ∆x
[
5n − 4∆x (1 + 2 + · · · + (n − 1)) + (∆x)2 (
1 + 22
+ · · · + (n − 1)2
)]
=
2
n
·
[
5n − 4 ·
2
n
·
n(n − 1)
2
+
(
2
n
)2
·
(n − 1)n (2n − 1)
6
]
=
2
n
·
[
5n − 4(n − 1) +
2
3
·
(
2n2
− 3n + 1
n
)]
= 2 +
8
n
+
4
3
·
(
2 −
3
n
+
1
n2
)
=
14
3
+
4
n
+
4
3n2
.
Soma Superior para o intervalo [1, 2]
Seja Q = {x0,x1, x2, ..., xn} uma partição do intervalo [1, 2], de tal forma que todos os
subintervalos de Q possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
2 − 1
n
=
1
n
e assim
podemos atribuir valores para cada xi ∈ Q como sendo
x0 = 1, x1 = 1 + ∆x, x2 = 1 + 2∆x, x3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x.
Como neste intervalo a função é decrescente as alturas dos retângulos circunscritos, Mi,
ocorre no extremo direito de cada subintervalo, i.e., Mi = f(xi). Assim a soma superior de
f em [1, 2] relativa a partição Q é dada por
S(f, Q) = M1∆x + M2∆x + M3∆x + · · · + Mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + · · · + f(xn)∆x
= [f(1 + ∆x) + f(1 + 2∆x) + f(1 + 3∆x) + · · · + f(1 + n∆x)]∆x
= {[(1 + ∆x)2
− 2(1 + ∆x) + 2] + [(1 + 2∆x)2
− 2(1 + 2∆x) + 2] +
+[(1 + 3∆x)2
− 2(1 + 3∆x) + 2] + · · · + [(1 + n∆x)2
− 2(1 + n∆x) + 2]}∆x
= {[1 + (∆x)2
] + [1 + (2∆x)2
] + [1 + (3∆x)2
] + · · · + [1 + (n∆x)2
]}∆x
= n∆x + (12
+ 22
+ 32
+ · · · + n2
)(∆x)3
= n ·
1
n
+
n(n + 1)(2n + 1)
6
·
(
1
n
)3
=
4
3
+
1
2n
+
1
6n2
Portanto, a soma superior de f em [−1, 2] é
S(f, P ∪ Q) =
14
3
+
4
n
+
4
3n2
+
4
3
+
1
2n
+
1
6n2
= 6 +
9
2n
+
3
2n2
.
11

Para determinar a soma inferior de f, basta encontrar as alturas dos retângulos inscritos.
A Figura 1.11 ilustra o gráco da soma inferior de f referente a uma partição composta de
15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos inscritos não possuem o mesmo comporta-
mento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente no intervalo [−1, 1] e
crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma inferior de f usaremos novamente a
Propriedade v, tomando uma partição para o intervalo [−1, 1] e outra para o intervalo [1, 2].
y
x
Figura 1.11: Soma Inferior de f(x) = x2
− 2x + 2 com 15 retângulos
Soma Inferior para o intervalo [−1, 1]
Considere a partição P tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no
extremo direito de cada subintervalo [xi−1, xi], i.e., mi = f(xi).
Assim, a soma inferior de f em [−1, 1], relativa a partição P, é dada por
S(f, P) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + · · · + mn∆x
= f(x1)∆x + f(x2)∆x + f(x3)∆x + · · · + f(xn)∆x
= f(−1 + ∆x)∆x + f(−1 + 2∆x)∆x + f(−1 + 3∆x)∆x + · · · + f(−1 + n∆x)∆x
= ∆x
{ [
(−1 + ∆x)2
− 2(−1 + ∆x) + 2
]
+
[
(−1 + 2∆x)2
− 2(−1 + 2∆x) + 2
]
+
+ · · · +
[
(−1 + n∆x)2
− 2(−1 + n∆x) + 2
] }
= ∆x
{ [
1 − 2∆x + (∆x)2
+ 2 − 2∆x + 2
]
+
[
1 − 4∆x + 22
(∆x)2
+ 2 − 4∆x + 2
]
+
+ · · · +
[
1 − 2n∆x + n2
(∆x)2
+ 2 − 2n∆x + 2
] }
= ∆x
{[
5 − 4∆x + (∆x)2
]
+
[
5 − 8∆x + 22
(∆x)2
]
+ · · · +
[
5 − 4n∆x + n2
(∆x)2
]}
= ∆x
[
5n − 4∆x (1 + 2 + · · · + n) + (∆x)2 (
1 + 22
+ · · · + n2
)]
=
2
n
·
[
5n − 4 ·
2
n
·
(n + 1)n
2
+
(
2
n
)2
·
n(n + 1) (2n + 1)
6
]
=
2
n
·
[
5n − 4(n + 1) +
2
3
·
(
2n2
+ 3n + 1
n
)]
= 2 −
8
n
+
4
3
·
(
2 +
3
n
+
1
n2
)
=
14
3
−
4
n
+
4
3n2
.
12

Soma Inferior para o intervalo [1, 2]
Considere a partição Q tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no
extremo esquerdo de cada subintervalo [xi−1, xi], i.e., mi = f(xi−1).
Assim, a soma inferior de f em [1, 2], relativa a partição Q, é dada por
S(f, Q) = m1∆x + m2∆x + m3∆x + · · · + mn∆x
= f(x0)∆x + f(x1)∆x + f(x2)∆x + · · · + f(xn−1)∆x
= f(1)∆x + f(1 + ∆x)∆x + f(1 + 2∆x)∆x + · · · + f(1 + (n − 1)∆x)∆x
= ∆x{1 +
[
(1 + ∆x)2
− 2(1 + ∆x) + 2
]
+
[
(1 + 2∆x)2
− 2(1 + 2∆x) + 2
]
+
+ · · · +
[
(1 + (n − 1)∆x)2
− 2(1 + (n − 1)∆x) + 2
]
}
= ∆x{1 + [1 + (∆x)2
] + [1 + (2∆x)2
] + · · · + [1 + ((n − 1)∆x)2
]}
= n∆x + [12
+ 22
+ · · · + (n − 1)2
](∆x)3
= n ·
1
n
+
(n − 1)n(2n − 1)
6
·
(
1
n
)3
=
4
3
−
1
2n
+
1
6n2
.
Portanto, a soma inferior de f em [−1, 2] é
S(f, P ∪ Q) =
14
3
−
4
n
+
4
3n2
+
4
3
−
1
2n
+
1
6n2
= 6 −
9
2n
+
3
2n2
.
Finalmente, utilizando a soma superior de f, obtemos que a área da região desejada é
dada por
A =
∫ 1
−1
(x2
− 2x + 2)dx +
∫ 2
1
(x2
− 2x + 2)dx
= lim
n→+∞
(
14
3
+
4
n
+
4
3n2
)
+ lim
n→+∞
(
4
3
+
1
2n
+
1
6n2
)
=
14
3
+
4
3
= 6.
Note que obteríamos o mesmo resultado utilizando a soma inferior de f.
1.5.8 Teorema do Valor Médio para Integrais
TEOREMA 1.5.9 Se f : [a, b] → R é contínua, existe c ∈ [a, b] tal que
∫ b
a
f (x) dx =
f (c) (b − a).
EXEMPLO 1.5.10 No Exemplo 1.5.4 obtemos que
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx =
76
3
. Determine, se existir,
um número que satisfaça o teorema do valor médio para esta integral.
Solução: Como f(x) = x2
+ 1 é uma função contínua no intervalo [0, 4] o Teorema do Valor
Médio para Integrais garante que existe c ∈ (0, 4) de modo que
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx = f(c)(4 − 0).
Assim,
c2
+ 1 =
76
4 · 3
⇒ c2
=
16
3
⇒ c = ±
4
√
3
3
.
13

Observe que c = −
4
√
3
3
não está no intervalo que procuramos a solução. Portanto, c =
4
√
3
3
satisfaz a conclusão do Teorema 1.5.9.
O Teorema do Valor Médio para Integrais tem uma interpretação geométrica interessante
se f(x) ≥ 0 em [a, b]. Neste caso
∫ b
a
f(x)dx é a área sob o gráco de f de a até b, e o número
f(c) do Teorema 1.5.9 é a ordenada do ponto P do gráco de f com abscissa c (veja a Figura
1.12) Traçando-se uma reta horizontal por P a área da região retangular limitada por essa
reta, pelo eixo x e pelas reta x = a e x = b é f(c)(b − a) e que, pelo Teorema 1.5.9, é a
mesma que a área sob o gráco de f de a até b.
y
x
c
a b
P(c, f(c))
y=f(x)
Figura 1.12: Interpretação geométrica do Teorema 1.5.9
OBSERVAÇÃO 1.5.11 O número c do Teorema 1.5.9 não é necessariamente único. De fato, se
f for uma função constante então qualquer número c pode ser utilizado.
OBSERVAÇÃO 1.5.12 O número
1
b − a
∫ b
a
f(x)dx é dito valor médio de f em [a, b].
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f : [a, b] → R uma função contínua integrável. Vamos xar o limite inferior a e variar
o limite superior. Deniremos a função
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt ∀x ∈ [a, b].
Caso f (t) seja sempre positiva, então F (x) será numericamente igual a área do trapezóide
curvilíneo da Figura 1.13.
TEOREMA 1.6.1 Seja f : [a, b] → R uma função contínua no intervalo [a, b], então a
função F (x) =
∫ x
a
f (t) dt é uma primitiva da função f, ou seja, F′
(x) = f (x).
14

y
x
f(x)
a x x+ x
F(x)
F(x+ x)
Figura 1.13: Representação geométrica de F(x)
DEMONSTRAÇÃO: Utilizando a denição de derivada, temos que
F′
(x) = lim
∆x→0
F(x + ∆x) − F(x)
∆x
= lim
∆x→0
1
∆x
[∫ x+∆x
a
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
]
= lim
∆x→0
1
∆x
[∫ x
a
f (t) dt +
∫ x+∆x
x
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
]
= lim
∆x→0
1
∆x
∫ x+∆x
x
f (t) dt,
porém, pelo Teorema 1.5.9, sabemos que existe c ∈ [x, x + ∆x] tal que
∫ x+∆x
x
f (t) dt = f (c) (x + ∆x − x) = f(c)∆x
e portanto
F′
(x) = lim
∆x→0
f (c)
mas, quando ∆x → 0 temos que c → x como f é contínua, obtemos que f (c) → f(x) e
assim ca demonstrado que
F′
(x) = lim
∆x→0
F (x + ∆x) − F (x)
∆x
= f (x) .
Uma consequência desse teorema é o corolário que segue:
COROLÁRIO 1.6.2 Se f : [a, b] → R for contínua no intervalo [a, b], então F : [a, b] → R é
derivável em (a, b) e F′
(x) = f (x) .
A função F : [a, b] → R, denida acima, é denominada primitiva de f : [a, b] → R e pelo
Teorema 1.6.1 toda função contínua num intervalo [a, b] possui primitiva em [a, b].
TEOREMA 1.6.3 Se f : [a, b] → R for contínua em [a, b] , então
∫ b
a
f(x)dx = G(b) − G(a)
onde G é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que G′
= f.
15

DEMONSTRAÇÃO: Seja F(x) =
∫ x
a
f(t)dt. Pelo Teorema 1.6.1 sabemos que F′
(x) = f(x),
isto é, F é uma primitiva de f. Se G for qualquer outra primitiva de f em [a, b], então elas
diferem por uma constante, isto é,
G(x) = F(x) + c.
Assim,
G(b) − G(a) = [F(b) + c] − [F(a) + c] =
∫ b
a
f(t)dt −
∫ a
a
f(t)dt =
∫ b
a
f(t)dt
Trocando t por x obtemos
∫ b
a
f(x)dx = G(b) − G(a)
como queríamos demonstrar.
A notação usual é
∫ b
a
f(x)dx = G(x)
b
a
.
O teorema fundamental do cálculo permite que sejam determinadas as integrais denidas
das funções contínuas em intervalos fechados sem usar o método visto para encontrar somas
superiores e inferiores.
EXEMPLO 1.6.4 Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo encontre a área sob o gráco
de f : [0, 4] → R denida por f (x) = x2
+ 1.
Solução: Pelo Teorema 1.6.3 a área desejada é dada por
A =
∫ 4
0
(x2
+ 1)dx =
x3
3
+ x
4
0
=
64
3
+ 4 =
76
3
.
Compare este resultado com o resultado obtido no Exemplo 1.5.4.
EXEMPLO 1.6.5 Calcule a área da região situada entre o eixo x e a curva f(x) = 1
8
(x2
−2x+8),
com x no intervalo de [−2, 4].
Solução: Uma representação gráca pode ser visualizada na gura 1.14.
Pelo teorema fundamental do cálculo temos que
A =
∫ 4
−2
1
8
(x2
− 2x + 8)dx =
1
8
(
x3
3
− x2
+ 8x)
4
−2
=
1
8
[
43
3
− 42
+ 8(4) −
(
(−2)3
3
− (−2)2
+ 8(−2)
)]
=
1
8
[
64
3
− 16 + 32 +
8
3
+ 4 + 16
]
=
60
8
=
15
2
u.a.
16

y
x
Figura 1.14: Área sob o gráco de f(x) = 1
8
(x2
− 2x + 8)
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão)
Para utilizar o teorema fundamental do cálculo, é essencial que se saiba obter a primitiva
(anti-derivada) de uma função. Vamos então relembrar, do cálculo I, alguns processos clás-
sicos de integração que serão muito úteis na resolução de problemas que envolvem integral
denida.
i. Mudança de Variável
TEOREMA 1.6.7 Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e g : [α, β] → R uma função
derivável tal que g′
é integrável e g ([α, β]) ⊂ [a, b] e, além disso g (α) = a e g (β) = b. Então
∫ b
a
f (x) dx =
∫ β
α
f (g (t)) g′
(t) dt.
DEMONSTRAÇÃO: Sejam f : [a, b] → R uma função contínua e g : [α, β] → R uma função
derivável com g′
integrável e g ([α, β]) ⊂ [a, b] com g (α) = a e g (β) = b. Então f possui
uma primitiva F : [a, b] → R e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
∫ b
a
f (x) dx = F (g (β)) − F (g (α)) .
Por outro lado, pela regra da cadeia temos que
(F ◦ g)′
(t) = F′
(g (t)) g′
(t) = f (g (t)) g′
(t)
para todo t ∈ [α, β], consequentemente,
(F ◦ g) (t) : [α, β] → R
é uma primitiva da função integrável f (g (t)) g′
(t). Portanto, obtém-se:
∫ β
α
f (g (t)) g′
(t) dt = F (g (β)) − F (g (α)) =
∫ b
a
f (x) dx.
EXEMPLO 1.6.8 Calcular a integral denida
∫ 5
1
√
x − 1
x
dx, usando o Teorema 1.6.7.
17

Solução: Primeiro vamos encontrar a função g (t). Seja t =
√
x − 1 (note que t ≥ 0), então
podemos escrever x = t2
+ 1 e assim obtemos g (t) = t2
+ 1, cuja derivada é g′
(t) = 2t.
Vamos agora determinar os valores de α e β. Como temos que g (α) = a = 1 e g (β) = b = 5
segue que
α2
+ 1 = 1 ⇒ α2
= 0 ⇒ α = 0
β2
+ 1 = 5 ⇒ β2
= 4 ⇒ β = 2.
Na sequência, determinaremos f (g (t)). Como f (x) =
√
x − 1
x
, obtemos
f (g (t)) =
√
g (t) − 1
g (t)
=
√
t2 + 1 − 1
t2 + 1
=
t
t2 + 1
.
Finalmente, vamos determinar o valor da integral, usando o Teorema 1.6.7, obtemos:
∫ 5
1
√
x − 1
x
dx =
∫ 2
0
t
t2 + 1
2tdt = 2
∫ 2
0
t2
t2 + 1
dt = 2
∫ 2
0
t2
+ 1 − 1
t2 + 1
dt =
= 2
∫ 2
0
t2
+ 1
t2 + 1
−
1
t2 + 1
dt = 2
∫ 2
0
dt − 2
∫ 2
0
dt
t2 + 1
=
= 2t
2
0
− 2 arctan t
2
0
= 4 − 2 arctan 2.
ii. Integração por partes
TEOREMA 1.6.9 Sejam f, g : [a, b] → R funções que possuem derivadas integráveis, então
∫ b
a
f(x)g′
(x)dx = f(x)g(x)
b
a
−
∫ b
a
f′
(x)g(x)dx.
Na prática, costumamos chamar
u = f(x) ⇒ du = f′
(x)dx
dv = g′
(x)dx ⇒ v = g(x)
e substituindo na igualdade acima, obtemos:
∫ b
a
udv = uv
b
a
−
∫ b
a
vdu.
EXEMPLO 1.6.10 Determine o valor da integral
∫ π
3
0
sin3
xdx.
Solução: Nesse caso, fazemos:
u = sin2
x ⇒ du = 2 sin x cos xdx
dv = sin xdx ⇒ v =
∫
sin xdx = − cos x
18

e encontramos
∫ π
3
0
sin3
xdx = sin2
x(− cos x)
π
3
0
−
∫ π
3
0
− cos x(2 sin x cos x)dx
= − sin2
x cos x
π
3
0
+ 2
∫ π
3
0
cos2
x sin xdx
= (− sin2
x cos x −
2
3
cos3
x)
π
3
0
= −
3
4
·
1
2
−
1
12
+
2
3
=
5
24
.
1.7 Integrais Impróprias
DEFINIÇÃO 1.7.1 Seja f : [a, ∞) → R uma função contínua para todo x ∈ [a, +∞). De-
nimos ∫ +∞
a
f (x) dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f (x) dx,
desde que o limite exista.
EXEMPLO 1.7.2 Encontre o valor numérico da integral
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx.
y
x
1+x2
Solução: Veja o gráco de f na Figura 1.15. Pela denição 1.7.1 temos que
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx = lim
b→+∞
∫ b
0
1
1 + x2
dx = lim
b→+∞
arctan x
b
0
= lim
b→+∞
(arctan b − arctan 0) = lim
b→+∞
arctan b =
π
2
.
DEFINIÇÃO 1.7.3 Seja f : (−∞, b] → R uma função contínua para todo x ∈ (−∞, b].
Denimos ∫ b
−∞
f (x) dx = lim
a→−∞
∫ b
a
f (x) dx,
desde que o limite exista.
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx.
19

Solução: Pela denição 1.7.3 temos que
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
arctan x
0
a
= lim
a→−∞
[arctan 0 − arctan a] = − lim
a→−∞
arctan a = −
(
−
π
2
)
=
π
2
.
DEFINIÇÃO 1.7.5 Seja f : (−∞, ∞) → R uma função contí nua para todo x ∈ (−∞, +∞).
Denimos ∫ +∞
−∞
f (x) dx = lim
a→−∞
∫ c
a
f (x) dx + lim
b→+∞
∫ b
c
f (x) dx,
desde que os limites existam.
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx.
Solução: Pela denição 1.7.5, tomando c = 0, obtemos
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
1
1 + x2
dx + lim
b→+∞
∫ b
0
1
1 + x2
dx
= lim
a→−∞
arctan x
0
a
+ lim
b→+∞
arctan x
b
0
= lim
a→−∞
(arctan 0 − arctan a) + lim
b→+∞
(arctan b − arctan 0)
= lim
a→−∞
arctan a + lim
b→+∞
arctan b
= −
(
−
π
2
)
+
π
2
= π.
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c
∈ [a, b]
DEFINIÇÃO 1.8.1 Seja f : [a, b] → R uma função contínua no intervalo [a, b], exceto no
ponto c ∈ [a, b]. Denimos
∫ b
a
f (x) dx = lim
α→c−
∫ α
a
f (x) dx + lim
β→c−
∫ b
β
f (x) dx,
desde que os limites acima existam.
∫ 1
−1
1
x2
dx.
20

y
x
x2
Solução: O integrando é contínuo em todo ponto pertencente ao intervalo [−1, 1] , exceto
em x = 0 (observe a Figura 1.16). Pela denição 1.8.1, temos que
∫ 1
−1
1
x2
dx = lim
α→0−
∫ α
−1
1
x2
dx + lim
β→0+
∫ 1
β
1
x2
dx
= lim
α→0−
−1
x
α
−1
+ lim
β→0+
|frac−1x
1
β
= lim
α→0−
[
−1
α
−
(
−1
−1
)]
+ lim
β→0+
[
−1 −
(
−1
β
)]
= [+∞ − 1] + [−1 + ∞] = +∞
Consequentemente, a função f(x) =
1
x2
não é integrável no intervalo [−1, 1].
OBSERVAÇÃO 1.8.3 Quando os limites que aparecem nas denições anteriores existirem e
forem nitos, dizemos que a integral imprópria converge. Caso contrário, ou seja, quando
um dos limites não existir, dizemos que a integral imprópria diverge.
1.9 Aplicações da Integral Denida
1.9.1 Área em coordenadas retangulares
Vimos que, se uma função f for não negativa, isto é, f (x) ≥ 0 para todo x no intervalo
[a, b], então a área da região delimitada pelas curvas x = a, x = b, y = 0 e y = f (x) é dada
por
A =
∫ b
a
f (x) dx.
No caso mais geral, estaremos interessados em calcular a área da região situada entre os
grácos de duas funções f e g, com f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], de acordo com a Figura
1.17.
Nesta situação, devemos utilizar uma diferença de áreas e obter que
A =
∫ b
a
f(x)dx −
∫ b
a
g(x)dx =
∫ b
a
(f(x) − g(x)) dx.
21

y
x
b
a
y=f(x)
y=g(x)
Figura 1.17: Região entre duas curvas
Na expressão acima, o termo f(x) − g(x) corresponde à altura de um retângulo innite-
simal de base dx.
Note que, se uma função g for negativa, isto é, se g(x) 0 para todo x ∈ [a, b], a área
da região situada entre as curvas x = a, x = b, y = 0 e y = g (x) será dada por
A =
∫ b
a
(0 − g(x)) dx = −
∫ b
a
g(x)dx.
EXEMPLO 1.9.2 Calcule a área da região situada entre o eixo x e o gráco da função f (x) =
2x, com x no intervalo [−2, 2] .
Solução: A representação gráca de f pode ser observada na Figura 1.18. Como esta função
tem imagem negativa no intervalo [−2, 0] e não negativa no intervalo [0, 2], devemos proceder
como segue
x
y
Figura 1.18: Área entre o eixo x e o gráco de f(x) = 2x
A =
∫ 0
−2
(0 − 2x)dx +
∫ 2
0
(2x − 0)dx =
∫ 0
−2
−2xdx +
∫ 2
0
2xdx = −x2
0
−2
+ x2
2
0
= 8 u.a.
Logo, a área sob o gráco da função f (x) = 2x, no intervalo [−2, 2] , é igual a 8 unidades de
área.
22

EXEMPLO 1.9.3 Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x2
e y =
√
x.
Solução: Nesse exemplo não foi especicado o intervalo em que está situada a região deli-
mitada pelas curvas. Devemos determinar este intervalo encontrando os pontos de interseção
das curvas.
Para isso, basta resolver o sistema de equações
{
y = x2
y =
√
x
. É fácil ver que a solução
vem da igualdade x2
=
√
x e os valores de x que tornam essa sentença verdadeira são x = 0
e x = 1. Desse modo, a região delimitada pelas curvas y = x2
e y =
√
x ca determinada se
x ∈ [0, 1].
y
x
Figura 1.19: Região delimitada por y = x2
e y =
√
x.
De acordo com a Figura 1.19, podemos observar que a área desejada pode ser obtida
através da diferença entre as áreas das regiões situadas sob o gráco de y =
√
x e sob o
gáco de y = x2
, com x ∈ [0, 1] .
Assim, temos que
A =
∫ 1
0
(√
x − x2
)
dx =
2
3
x
3
2 −
1
3
x3
1
0
=
2
3
−
1
3
=
1
3
u.a.
Portanto, a área desejada é igual a
1
3
unidades de área.
EXEMPLO 1.9.4 Calcule a área da região hachurada na Figura 1.20.
x
y
8
(x2
− 2x + 8)
Solução: Primeiro vamos identicar a lei que dene as funções lineares presentes no gráco.
Uma reta passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e a outra passa pelos pontos (0, 0) e (2, 1
2
). Portanto
23

as equações destas retas são y = x e y = x
4
, respectivamente. Existem várias maneiras de
calcular esta área, uma delas está apresentada a seguir:
A =
∫ 1
0
(
x −
1
4
x
)
dx +
∫ 2
1
(
1
x
−
1
4
x
)
dx
=
3
4
∫ 1
0
xdx +
∫ 2
1
1
x
dx −
1
4
∫ 2
1
xdx
=
3
8
x2
1
0
+
(
ln |x| −
1
8
x2
) 2
1
=
3
8
+ ln(2) −
1
2
−
(
ln(1) −
1
8
)
=
4
8
−
1
2
+ ln(2) = ln(2) u.a.
Portanto, a área desejada é igual a ln(2) unidades de área.
EXEMPLO 1.9.5 Achar a área da região delimitada pelos grácos de y + x2
= 6 e y + 2x = 3.
Solução: Inicialmente, encontramos as interseções das curvas:
{
y = 6 − x2
y = 3 − 2x
⇒ 6 − x2
= 3 − 2x ⇒ x2
− 2x − 3 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 3.
A seguir, fazemos a representação gráca da área delimitada, conforme ilustra a Figura
1.21.
y
x
Figura 1.21: Área delimitada por y + x2
= 6 e y + 2x = 3.
Podemos então obter a área desejada calculando a área sob a parábola e descontando a
área sob a reta, no intervalo de [−1, 3], ou seja,
A =
∫ 3
−1
[(6 − x2
) − (3 − 2x)]dx
=
∫ 3
−1
(3 − x2
+ 2x)dx
= 3x −
x3
3
+ x2
3
−1
= 9 −
27
3
+ 9 − (−3 +
1
3
+ 1) =
32
3
u.a.
24

Portanto, a área desejada é igual a
32
3
unidades de área.
EXEMPLO 1.9.6 Encontre o valor da área delimitada pelas curvas y = x2
, y = 2 − x2
e
y = 2x + 8.
Solução: Inicialmente vamos fazer uma representação gráca, conforme ilustra a Figura
1.22. Na sequência, vamos encontrar as interseções das curvas.
Figura 1.22: Região delimitada por y = x2
, y = 2 − x2
e y = 2x + 8
Para a reta e a parábola, temos o sistema
{
y = x2
y = 2x + 8
cujas soluções são x = 4, y =
16 e x = −2, y = 4.
Para as duas parábolas, temos os sistemas
{
y = x2
y = 2 − x2 cujas soluções são x = 1, y =
1 e x = −1, y = 1.
Como ocorre duas trocas no limitante inferior da região, devemos dividir a área desejada
em três partes, a saber:
A1 =
∫ −1
−2
(2x + 8) − (x2
)dx =
∫ −1
−2
(2x + 8 − x2
)dx =
8
3
,
A2 =
∫ 1
−1
(2x + 8) − (2 − x2
)dx =
∫ 1
−1
(2x + 6 + x2
)dx =
38
3
,
A3 =
∫ 4
1
(2x + 8) − (x2
)dx = 18.
A = A1 + A2 + A3 =
8
3
+
38
3
+ 18 =
100
3
u.a.
EXEMPLO 1.9.7 Calcule, de duas formas distintas, a área da região delimitada pelas curvas
x = y + 1 e x = y2
− 1.
Solução: Iniciamos com a representação geométrica da região, que está esboçada na Figura
1.23. A seguir, devemos encontrar os pontos de interseção entre as curvas, igualando suas
equações, obtendo
y2
− 1 = y + 1 ⇒ y2
− y − 2 = 0 ⇒ y = −1 e y = 2
25

x
y
Figura 1.23: Região entre as curvas x = y + 1 e x = y2
− 1
e ainda,
y = −1 ⇒ x = 0 e y = 2 ⇒ x = 3.
Uma primeira forma de calcular a área desejada é proceder como nos exemplos anteriores,
onde tomamos x como variável de integração. Para isso, devemos isolar y em função de x,
obtendo
y = x − 1 e y = ±
√
x + 1.
Note que o sinal positivo na última equação corresponde à porção da parábola situada
acima do eixo x e o sinal negativo corresponde a parte situada abaixo do eixo.
Como ocorre troca na limitação inferior da região, devemos tomar uma soma de integrais
para calcular sua área, conforme segue
A =
∫ 0
−1
√
x + 1 − (−
√
x + 1)dx +
∫ 3
0
√
x + 1 − (x − 1)dx
=
∫ 0
−1
2
√
x + 1dx +
∫ 3
0
(
√
x + 1 − x + 1)dx
=
4
3
√
(x + 1)3
0
−1
+
2
3
√
(x + 1)3 −
x2
2
+ x
3
0
=
4
3
+
16
3
−
9
2
+ 3 −
2
3
=
9
2
u.a.
Uma segunda maneira de calcular esta área é mantendo y como variável independente e
tomar a integração em relação a y. Neste caso, a curva superior está situada à direita,ou seja,
é a reta x = y +1 e a curva inferior está situada à esquerda, ou seja, é a parábola x = y2
−1.
Como desta forma não ocorre troca de limitação, podemos calcular a área tomando uma
única integral
A =
∫ 2
−1
(y + 1) − (y2
− 1)dy
=
∫ 2
−1
(y − y2
+ 2)dy =
y2
2
−
y3
3
+ 2y
2
−1
= 2 −
8
3
+ 4 −
(
1
2
−
1
3
− 2
)
=
9
2
u.a.
26

Observe que a troca da variável de integração resultou numa expressão cuja integral
era mais simples de ser resolvida. Desta forma, é importante saber escrever integrais que
permitem calcular áreas tomando tanto x quanto y como variáveis de integração, para depois
optar por resolver aquela que se mostrar mais simples.
EXEMPLO 1.9.8 Escreva a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área da região delimitada
simultaneamente pelas curvas de equações y =
√
x − 2, x + y = 2 e x + 2y = 5, tomando:
(a) integração em relação a x. (b) integração em relação a y.
Solução: Iniciamos com a representação geométrica da região, esboçada na Figura 1.24.
Note que temos apenas o ramo superior da parábola, pois y =
√
x − 2 ≥ 0.
x
y
Figura 1.24: Região delimitada por y =
√
x − 2, x + y = 2 e x + 2y = 5
O próximo passo é obter as interseções entre as curvas.
Entre as duas retas, temos o sistema
{
x + y = 2
x + 2y = 5
, cuja solução é x = −1, y = 3.
Entre a parábola e uma das retas, temos o sistema
{
y =
√
x − 2
x + y = 2
, cuja solução é x = 2,
y = 0.
E entre a outra reta e a parábola, temos o sistema
{
y =
√
x − 2
x + 2y = 5
, cuja solução é x = 3,
y = 1.
Agora podemos montar as integrais que permitem calcular a área desejada.
(a) Tomando integração em relação a x, devemos isolar y em função de x,obtendo y =
5 − x
2
para a reta superior, y = 2−x para a reta inferior e y =
√
x − 2 para a parábola, que também
é um limitante inferior. Como ocorre troca na limitação inferior em x = 2, precisamos de
duas integrais.
A =
∫ 2
−1
(
5 − x
2
)
− (2 − x)dx +
∫ 3
2
(
5 − x
2
)
−
(√
x − 2
)
dx
=
∫ 2
−1
1 + x
2
dx +
∫ 3
2
(
5 − x
2
−
√
x − 2
)
dx.
(b) Tomando integração em relação a y, devemos isolar x em função de y, obtendo x = 5−2y
para a reta superior, x = 2 − y para a reta inferior e x = y2
+ 2 para a parábola, que neste
27

caso também é um limitante superior. Como ocorre troca na limitação superior em y = 1,
necessitamos também de duas integrais.
A =
∫ 1
0
(y2
+ 2) − (2 − y)dy +
∫ 3
1
(5 − 2y) − (2 − y)dy
=
∫ 1
0
(y2
+ y)dy +
∫ 3
1
(3 − y) dy.
Neste exemplo, as duas expressões obtidas envolvem soma de integrais. Mesmo assim,
é fácil notar que a expressão na qual y é a variável independente é a mais simples de ser
resolvida. Assim, se o enunciado solicitasse que fosse calculado o valor numérico da área em
questão, deveríamos optar por resolver esta expressão.
1.9.9 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétri-
cas
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], cujo gráco delimita uma região R.
A seguir, vamos obter uma nova expressão para a área da região R, utilizando as equações
paramétricas x = ϕ (t) e y = ψ (t), com t ∈ [α, β] , da curva descrita por f. Para isto, basta
lembrar que a área de uma região retangular é dada por
A =
∫ b
a
f (x) dx =
∫ b
a
ydx.
Agora, fazendo a substituição y = ψ (t) e dx = ϕ′
(t)dt e supondo que a = ϕ(α) e
b = ϕ(β) obtemos a expressão para o cálculo de área em coordenadas paramétricas:
A =
∫ β
α
ψ(t)ϕ′
(t)dt.
EXEMPLO 1.9.10 Encontre a área delimitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Solução: As equações paramétricas da elipse dada são
x = ϕ (t) = a cos t e y = ψ (t) = b sin t.
Desse modo, temos que
dx = ϕ′
(t) dt = −a sin tdt
Vamos agora determinar os valores de α e β. Utilizando a quarta parte da área desejada,
temos que x varia de 0 até a. Assim, podemos fazer x = ϕ (α) = 0 e x = ϕ (β) = a. Logo
ϕ (α) = 0 ⇒ a cos α = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α =
π
2
ϕ (β) = a ⇒ a cos β = a ⇒ cos β = 1 ⇒ β = 0.
Agora, para obter a área total interna à elipse basta utilizar a simetria da região e obter
que
A = 4
∫ 0
π
2
b sin t(−a sin t)dt = −4ab
∫ 0
π
2
sin2
tdt
= 4ab
∫ π
2
0
1
2
(1 − cos 2t) dt = 2ab
(
t −
1
2
sin 2t
) π
2
0
= 2ab
(
π
2
−
1
2
sin π − 0
)
= abπ.
28

EXEMPLO 1.9.11 Calcular a área da região que é interior a elipse E1 =
{
x = 2 cos t
y = 4 sin t
e
exterior a elipse E2 =
{
x = 2 cos t
y = sin t
.
Figura 1.25: Região entre as elipses.
Solução: A região cuja área desajamos calcular pode ser vista na Figura 1.25. Novamente,
podemos utilizar argumentos de simetria e calcular a área da região situada no primeiro
quadrante do plano xy e multiplicar o resultado por quatro. Neste quadrante, temos que
x ∈ [0, 2]. No entanto
x = 0 ⇒ 2 cos t = 0 ⇒ t = π
2
x = 2 ⇒ 2 cos t = 2 ⇒ cos t = 1 ⇒ t = 0,
logo, para descrever a região que nos interessa, em coordenas paramétricas, devemos integrar
de t = π
2
até t = 0. Assim, notando que neste exemplo devemos tomar a diferença entre as
áreas sob as elipses E1 e E2, obtemos
A = 4
∫ 0
π
2
[4 sin t(−2 sin t)dt − 4
∫ 0
π
2
sin t(−2 sin t)]dt
=
∫ 0
π
2
(−32 sin2
t + 8 sin2
t)dt =
∫ 0
π
2
−24 sin2
tdt
= 24
∫ π
2
0
1
2
(1 − cos 2t)dt =
(
12t −
12
2
sin 2t
) π
2
0
= 6π u.a.
1.9.12 Área de um setor cuvilíneo em coordenadas polares
Seja r = f (θ) uma função contínua que descreve uma curva em coordenadas polares, no
intervalo [α, β]. Como nosso interesse é determinar a área da região delimitada por r = f (θ)
vamos tomar uma partição do intervalo [α, β], conforme ilustra a Figura 1.26.
Seja X = {θ0, θ1, θ2, θ3, ..., θn} uma partição de [α, β] em que
α = θ0 θ1 θ2 θ3 ... θn = β.
Sejam ∆θ1, ∆θ2, ∆θ3,..., ∆θn os subarcos da partição X e seja ri o comprimento do raio
correspondente a um ângulo ξi ∈ ∆θi, isto é, θi−1 ≤ ξi ≤ θi.
A área do setor circular de raio ri e arco ∆θi é dada por
Ai =
1
2
(ri)2
∆θi
e a área aproximada área da região delimitada por r = f (θ) é dada por
29

Figura 1.26: Região Polar, com ∆θi = θi − θi−1 e ri = f(θi).
An =
n
∑
i=1
1
2
(ri)2
∆θi.
Seja |∆θ| o subintervalo de maior diâmetro da partição X. Então, se n tender a innito
teremos que |∆θ| tenderá a zero. Desse modo poderemos escrever
A = lim
n→∞
An = lim
|∆θ|→0
n
∑
i=1
1
2
(ri)2
∆θi =
1
2
∫ β
α
r2
dθ
ou seja,
A =
1
2
∫ β
α
r2
dθ, (1.9.1)
que nos fornece uma expressão para o cálculo de áreas delimitadas por curvas em coordenadas
polares.
EXEMPLO 1.9.13 Determine a área da região que é simultaneamente exterior à cardióide r =
1 − cos θ e interior ao círculo r = 1.
Solução: A Figura 1.27 ilustra a região considerada.
Figura 1.27: Região delimitada por um cardióide e por uma circunferência.
Como esta região é simétrica em relação ao eixo x, podemos calcular o dobro da área
da porção situada no primeiro quadrante do plano xy. Neste quadrante, temos que o ângulo
polar θ varia no intervalo [0, π
2
]. Ainda, devemos notar que a área desejada é dada, em
30

coordenadas polares, pela diferença entres as áreas da circunferência e da cardióide. Assim,
usando a expressão 1.9.1, obtemos
A =
2
2
∫ π
2
0
12
dθ −
2
2
∫ π
2
0
(1 − cos θ)2
dθ =
∫ π
2
0
(2 cos θ − cos2
θ)dθ
=
∫ π
2
0
2 cos θ −
1
2
(1 + cos 2θ)dθ = 2 sin θ −
1
2
θ −
1
4
sin 2θ
π
2
0
= 2 −
π
4
.
Portanto, a área desejada é igual 2 −
π
4
unidades de área.
EXEMPLO 1.9.14 Escreva, em coordenadas polares, a integral que calcula a área da região
simultaneamente exterior à circunferência r = 1 e interior a rosácea r = 2 cos(2θ).
Solução: A Figura 1.28 ilustra a região desejada. Para determinar os pontos de interseção
das duas curvas fazemos
2 cos(2θ) = 1 ⇒ cos 2θ =
1
2
⇒ 2θ =
π
3
⇒ θ =
π
6
( no 1o
quadrante).
Figura 1.28: Região delimitada por uma rosácea e uma circunferência
Vamos calcular a área da região delimitada com θ no intervalo de [0, π
6
] e multiplicar por
8, já que as demais áreas são simétricas. Utilizando a Fórmula 1.9.1 e vericando que a área
desejada é igual a área da rosácea menos a área da circunferência, obtemos
A = 8 ·
1
2
∫ π
6
0
[(2 cos(2θ))2
− (1)2
]dθ = 4
∫ π
6
0
(4 cos2
(2θ) − 1)dθ.
EXEMPLO 1.9.15 Escreva a integral que permite calcular a área da região que é simultanea-
mente interior as curvas r = 5 cos θ e r = 5
√
3 sin θ.
Solução: Inicialmente, devemos identicar as curvas dadas. Utilizando as relações polares
x = r cos θ, y = r sin θ e r2
= x2
+ y2
, obtemos que
r = 5 cos θ ⇒ r2
= 5r cos θ ⇒ x2
+ y2
= 5x ⇒
(
x −
5
2
)2
+ y2
=
25
4
r = 5
√
3 sin θ ⇒ r2
= 5
√
3r sin θ ⇒ x2
+ y2
= 5
√
3y ⇒ x2
+ (y −
5
√
3
2
)2
=
75
4
31

Figura 1.29: Região situada entre circunferências
e assim, vemos que a região que nos interessa está situada no interior de duas circunferências,
de centros deslocados da origem, conforme ilustra a Figura 1.29.
A seguir, devemos determinar a interseção entre as curvas
5
√
3 sin θ = 5 cos θ ⇒
√
3 tan θ = 1 ⇒ tan θ =
√
3
3
⇒ θ =
π
6
.
Finalmente, observamos que ao descrever a região desejada, devemos considerar r =
5
√
3 sin θ para θ ∈ [0,
π
6
] e r = 5 cos θ para θ ∈ [
π
6
,
π
2
]. Portanto, como ocorre troca de
limitação para o raio polar, necessitamos de uma soma de integrais para calcular a área
desejada
A =
1
2
∫ π
6
0
(5
√
3 sin θ)2
dθ +
1
2
∫ π
2
π
6
(5 cos θ)2
dθ
=
1
2
∫ π
6
0
75 sin2
θdθ +
1
2
∫ π
2
π
6
25 cos2
θdθ.
1.10 Comprimento de Arco
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] , cujo gráco descreve o arco d
AB,
conforme ilustra a Figura 1.30.
a b
xi
Mn
xi-1
x1
Δs
M0
Δx
f(xi)
Δy
y
x
f(xi-1)
M1
Mi-1
Mi
Figura 1.30: Comprimento de arco
32

Vamos dividir o arco d
AB em subarcos por meio da partição
X = {M0, M1, M2, ..., Mn}
em que
A = M0 M1 M2 ... Mn = B
cujas abscissas são
x0, x1, x2, ..., xn.
Tracemos as cordas
M0M1, M1M2, · · · , Mi−1Mi, · · · , Mn−1Mn
e designemos os seus comprimentos por
∆S1, ∆S2, · · · , ∆Si, · · · , ∆Sn.
Obtém-se então a linha poligonal
AM0M1 · · · Mn−1B
ao longo do arco d
AB cujo comprimento aproximado é dado por
ln = ∆S1 + ∆S2 + · · · + ∆Si + · · · + ∆Sn
ou seja,
ln =
n
∑
i=1
∆Si. (I)
Mas ∆Si é a hipotenusa do triângulo de lados ∆xi e ∆yi, de modo que podemos escrever
(∆Si)2
= (∆xi)2
+ (∆yi)2
,
dividindo tudo por ∆xi obtemos
(
∆Si
∆xi
)2
=
(
∆xi
∆xi
)2
+
(
∆yi
∆xi
)2
ou seja,
∆Si
∆xi
=
√
1 +
(
∆yi
∆xi
)2
e assim
∆Si =
√
1 +
(
∆yi
∆xi
)2
∆xi. (II)
Agora, como
∆xi = xi − xi−1 e ∆yi = f (xi) − f (xi−1)
segue que
∆yi
∆xi
=
f (xi) − f (xi−1)
xi − xi−1
e pelo teorema de Lagrange, sabemos que existe ξi ∈ [xi−1, xi] tal que
f (xi) − f (xi−1)
xi − xi−1
= f′
(ξi) .
Portanto, obtemos que
33

∆yi
∆xi
= f′
(ξi) . (III)
Substituindo (II) em (I) resulta que
ln =
n
∑
i=1
√
1 +
(
∆yi
∆xi
)2
∆xi (IV )
e substituindo (III) em (IV ) resulta que
ln =
n
∑
i=1
√
1 + (f′ (ξi))2
∆xi.
Seja |∆x| o intervalo de maior diâmetro de cada partição de d
AB. Então, se n → ∞, segue
que |∆x| → 0 e (ξi) → x. Assim:
l = lim
n→∞
ln = lim
|∆x|→0
n
∑
i=1
√
1 + (f′ (ξi))2
∆xi =
∫ b
a
√
1 + (f′ (x))2
dx.
Portanto, o comprimento do arco d
AB no intervalo [a, b] é dado por
l =
∫ b
a
√
1 + (f′
(x))2
dx. (1.10.1)
EXEMPLO 1.10.2 Determinar o comprimento do arco da curva descrita por y =
√
x, com x
no intervalo [0, 4] .
Solução: A Figura 1.31 ilustra o comprimento de arco considerado.
y
x
Figura 1.31: Arco de f(x) =
√
x
Como y = f (x) =
√
x temos que f′
(x) = 1
2
√
x
. Aplicando a fórmula 1.10.1, obtemos
l =
∫ b
a
√
1 + (f′
(x))2
dx =
∫ 4
0
√
1 +
(
1
2
√
x
)2
dx
=
∫ 4
0
√
1 +
1
4x
dx =
∫ 4
0
√
4x + 1
4x
dx =
1
2
∫ 4
0
√
4x + 1
√
x
dx.
Note que esta última integral é imprópria, pois o integrando não é contínuo em x = 0. No
entanto, neste exemplo não será preciso aplicar limites para resolver a integral, pois podemos
utilizar uma mudança de variáveis. Fazendo a substituição t2
= x, encontramos dx = 2tdt e
como x ∈ [0, 4], obtemos que t ∈ [0, 2] . Logo
l =
1
2
∫ 2
0
√
4t2 + 1
√
t2
2tdt =
∫ 2
0
√
4t2 + 1dt.
34

Como o novo integrando agora é contínuo no intervalo de integração, podemos utilizar o
teorema fundamental do cálculo e uma tabela de integrais para encontrar que
l =
1
2
t
√
4t2 + 1 +
1
4
ln
(
2t +
√
4t2 + 1
) 2
0
=
√
17 +
1
4
ln(4 +
√
17) u.c.
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas
Sejam x = ϕ (t) e y = ψ (t) , com t ∈ [α, β] , as equações paramétricas da curva descrita
por y = f (x) . Então, como dx = ϕ′
(t) dt e dy = ψ′
(t) dt, podemos escrever
f′
(x) =
dy
dx
=
ψ′
(t) dt
ϕ′ (t) dt
=
ψ′
(t)
ϕ′ (t)
.
Substituindo na fórmula 1.10.1 obtemos
l =
∫ b
a
√
1 + (f′ (x))2
dx
=
∫ β
α
√
1 +
(ψ′ (t))2
(ϕ′ (t))2 ϕ′
(t) dt
=
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
ϕ′ (t)2 ϕ′
(t) dt
=
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
ϕ′ (t)
ϕ′
(t) dt
=
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
dt.
Portanto, o comprimento de arco em coordenadas paramétricas é dado por
l =
∫ β
α
√
(ϕ′ (t))2
+ (ψ′ (t))2
dt. (1.10.2)
EXEMPLO 1.10.4 Mostre, usando coordenadas paramétricas, que o comprimento de uma cir-
cunferência de raio r é igual a 2πr.
Solução: Em coordenadas paramétricas, a circunferência é descrita por
{
x(t) = r cos t
y(t) = r sin t
com t ∈ [0, 2π].
O seu comprimento de arco, em paramétricas, de acordo com 1.10.2 é dado por
l =
∫ 2π
0
√
(−r sin t)2 + (r cos t)2dt =
∫ 2π
0
√
r2(sin2
t + cos2 t)dt =
∫ 2π
0
rdt = rt|2π
0 = 2πr.
EXEMPLO 1.10.5 Calcule o comprimento de arco da astróide descrita por
ϕ (t) = 3 cos3
t, ψ(t) = 3 sin3
t com t ∈ [0, 2π].
35

y
x
3
3
-3
-3
Figura 1.32: Astróide
Solução: A curva pode ser visualizada na Figura 1.32.
Como há simetria, podemos encontrar o comprimento do subarco situado no primeiro
quadrante, tomando t ∈ [0, π
2
] e multiplicar o resultado obtido por quatro.
Como ϕ′
(t) = −9 cos2
sin t e ψ′
(t) = 9 sin2
t cos t, substituindo na fórmula 1.10.2, obtemos
l = 4
∫ π
2
0
√
(−9 cos2 t sin t)2
+
(
9 sin2
t cos t
)2
dt = 4 · 9
∫ π
2
0
√
cos4 t sin2
t + sin4
t cos2 tdt
= 36
∫ π
2
0
√
cos2 t sin2
t
(
cos2 t + sin2
t
)
dt = 36
∫ π
2
0
cos t sin tdt = 18 sin2
t
π
2
0
= 18 u.c.
Portanto, o comprimento de arco da astróide dada é 18 unidades de comprimento.
EXEMPLO 1.10.6 As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são
dadas por x = 3t e y = 2t
3
2 . Qual será a distância percorrida pela partícula entre os instantes
t = 0 e t = 1?
Solução: A distância percorrida pela partícula é igual ao comprimento de arco da curva
que descreve a sua trajetória. Aplicando a fórmula 1.10.2 para
x = ϕ(t) = 3t e y = ψ(t) = 2t
3
2
com t ∈ [0, 1], obtemos
l =
∫ 1
0
√
32 + (3t
1
2 )2dt =
∫ 1
0
√
9 + 9tdt
= 3
∫ 1
0
√
1 + tdt = 2(1 + t)
3
2
1
0
= 2(2)
3
2 − 2(1)
3
2 = 4
√
2 − 2 u.c.
Portanto, a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = 1 é igual a
4
√
2 − 2 unidades de comprimento.
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares
Sejam ϕ (θ) = r cos θ e ψ (θ) = r sin θ as coordenadas polares da curva r = f (θ), com θ ∈
[α, β]. Substituindo r por f (θ) nas equações paramétricas vem
ϕ (θ) = f (θ) cos θ e ψ (θ) = f (θ) sin θ
36

e assim
ϕ′
(θ) = f′
(θ) cos θ − f (θ) sin θ = r′
cos θ − r sin θ
ψ′
(θ) = f′
(θ) senθ + f (θ) cos θ = r′
senθ + r cos θ.
Agora
(ϕ′
(t))
2
+ (ψ′
(t))
2
= (r′
cos θ − rsenθ)
2
+ (r′
senθ + r cos θ)
2
que após aplicar os produtos notáveis e simplicar, resulta em
(ϕ′
(t))
2
+ (ψ′
(t))
2
= (r′
)
2
+ r2
.
Substituindo na equação 1.10.2, obtemos a fórmula para o cálculo do comprimento de
arco em coordenadas polares, que é dada por
l =
∫ β
α
√
(r′)2
+ r2dθ. (1.10.3)
EXEMPLO 1.10.8 Encontrar o comprimento de arco do cardióide r = a (1 + cos θ).
Solução: Por simetria, podemos determinar o comprimento do arco situado no primeiro
e segundo quadrante e multiplicar por dois. Como r = a (1 + cos θ) tem-se r′
= −a sin θ.
Substituindo na fórmula 1.10.3 vem
l =
∫ β
α
√
(r′)2
+ r2dθ
= 2
∫ π
0
√
(−a sin θ)2
+ (a (1 + cos θ))2
dθ
= 2a
∫ π
0
√
sin2
θ + 1 + 2 cos θ + cos2 θdθ
= 2a
∫ π
0
√
2 + 2 cos θdθ
= 2a · 2
∫ π
0
cos
θ
2
dθ
= 4a · 2 sin
1
2
θ
π
0
= 8a u.c.
Logo, o comprimento de arco do cardióide r = a (1 + cos θ) é igual a 8a u.c.
EXEMPLO 1.10.9 Determine o comprimento de arco da porção da espiral r = 2e2θ
(com θ ≥ 0)
que está situada dentro da circunferência r = a, onde a 2.
Solução: Inicialmente, vamos obter os limitantes de integração. Na interseção da espiral
com a circunferência, temos que
2e2θ
= a ⇒ e2θ
=
a
2
⇒ 2θ = ln
a
2
⇒ θ =
1
2
ln
a
2
Portanto, a porção da espiral que nos interessa é descrita por θ ∈
[
0, 1
2
ln a
2
]
. Ainda,
como temos r = 2e2θ
segue que r′
= 4e2θ
e assim, substituindo na expressão 1.10.3 obtemos
o comprimento em coordenada polares
l =
∫ 1
2
ln a
2
0
√
(4e2θ)2 + (2e2θ)2dθ =
∫ 1
2
ln a
2
0
√
20e4θdθ
=
∫ 1
2
ln a
2
0
2
√
5e2θ
dθ =
√
5e2θ
1
2
ln a
2
0
=
√
5
(a
2
− 1
)
u.c.
37

1.11 Volume de um Sólido de Revolução
Considere o sólido T gerado pela rotação da curva y = f(x) em torno do eixo x, no
intervalo [a, b] como na Figura 1.33
x
y
z
a b
y=f(x)
r=f(x)
dx
Cálculo do elemento de volume
dV= r dx
dV= f(x) dx
π ²
π ²
[ ]
x
y
a b
y=f(x)
Área plana
Figura 1.33: Rotação de uma curva em torno do eixo x
Seja P = {x0, x1, · · · , xn} uma partição do intervalo [a, b] e sejam ∆x1, ∆x2, · · · , ∆xn
os subintervalos da partição. Se ξi ∈ ∆xi, então o volume do cilindro de raio f (ξi) e altura
∆xi é dado por
Vi = π [f (ξi)]2
∆xi
e o volume aproximado do sólido será dado pela soma dos volumes dos n − cilindros, isto é,
Vn =
n
∑
i=1
π [f (ξi)]2
∆xi.
Seja |∆θ| o subintervalo de maior diâmetro, então se n → ∞, segue que |∆θ| → 0, ξi → x
e o volume V do sólido T será dado por
V = lim
n→∞
Vn = lim
|∆θ|→0
n
∑
i=1
π [f (ξi)]2
∆xi = π
∫ b
a
[f (x)]2
dx.
Portanto, o volume de um sólido de revolução (em torno do eixo x) é calculado pela
expressão
V = π
∫ b
a
[f (x)]2
dx. (1.11.1)
EXEMPLO 1.11.1 A m de que não haja desperdício de ração e para que seus animais estejam
bem nutridos, um fazendeiro construiu um recipiente com uma pequena abertura na parte
inferior, que permite a reposição automática da alimentação, conforme mostra a Figura 1.34.
Determine, usando sólidos de revolução, a capacidade total de armazenagem do recipiente,
em metros cúbicos.
Solução: Vamos encontrar o volume do cilindro (V1) e do cone (V2.) Assim, o volume total
será dado por V = V1 + V2.
Para determinar V1 vamos rotacionar a reta y = 2 em torno do eixo x (Figura 1.35).
38

2m
4m
6m
cilindro
cone
Figura 1.34: Forma do recipiente.
x
y
-2
y
z
x
Figura 1.35: Cilindro de Revolução
Aplicando a expressão 1.11.1, obtemos
V1 = π
∫ 4
0
22
dx = 4π · 4 = 16π.
Já para o cone, como temos um raio r = 2 e altura h = 6, obtemos a reta y = 1
3
x para
rotacionar em torno do eixo x (Figura 1.36).
y
x
y
z
x
Figura 1.36: Cone de Revolução
Aplicando a expressão 1.11.1 mais uma vez, obtemos
V2 = π
∫ 6
0
1
9
x2
dx =
1
27
πx3
6
0
=
63
π
27
= 8π.
Portanto o volume desejado é dado por V = 16π + 8π = 24π u.v.
EXEMPLO 1.11.2 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da curva f(x) = x3
, com x
no intervalo [1,2], em torno do eixo x.
Solução: O sólido desejado pode ser visualizado na Figura 1.37.
E o volume desejado é dado por
V = π
∫ 2
1
(
x3
)2
dx = π
∫ 2
1
x6
dx =
πx7
7
2
1
=
127π
7
u.v.
39

x
y
x
r
y
z
Figura 1.37: Sólido gerado pela rotação de y = x3
em torno do eixo x
x
y
x
y
z
Figura 1.38: Sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno do eixo x
EXEMPLO 1.11.3 Determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região delimitada
pelas curvas y = x2
e y = x + 2 em torno do eixo x (veja a Figura 1.38).
Solução: Nesse exemplo não foi especicado o intervalo em que está situada a região delimi-
tada pelas curvas. Para determinar este intervalo, devemos encontrar os pontos de interseção
das curvas dadas. Igualando suas equações, obtemos
x2
= x + 2 ⇒ x2
− x − 2 = 0 ⇒ x = −1 e x = 2.
A Figura 1.38 indica que o sólido desejado está situado entre duas superfícies. Assim,
seu volume é dado pela diferença entre os volumes externo e interno. De acordo com 1.11.1,
temos que
V = π
∫ 2
−1
(x + 2)2
dx − π
∫ 2
−1
(
x2
)2
dx
= π
∫ 2
−1
(x2
+ 4x + 4 − x4
)dx
= π
(
1
3
x3
+ 2x2
+ 4x −
1
5
x5
) 2
−1
=
72
5
π u.v.
EXEMPLO 1.11.4 Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva
(x − 2)2
+ y2
= 1 em torno do eixo y.
Solução: Observe na Figura 1.39 a circunferência geratriz do sólido.
Isolando a variável x na equação da circunferência, obtemos
40

y
1
1 2 3
-1
-1
y
Figura 1.39: circunferência (x − 2)2
+ y2
= 1
(x − 2)2
= 1 − y2
⇒ x = 2 ±
√
1 − y2
Observe que o volume do sólido desejado é formado pelo volume obtido pela rotação da
curva x = 2 +
√
1 − y2 em torno do eixo y, menos o volume obtido pela rotação da curva
x = 2 −
√
1 − y2. Portanto, o volume desejado é igual a
V = V1 − V2,
onde
V1 = π
∫ 1
−1
(2 +
√
1 − y2)2
dy
e
V2 =
∫ 1
−1
(2 −
√
1 − y2)2
dy
ou seja,
V =
∫ 1
−1
(2 +
√
1 − y2)2
− (2 −
√
1 − y2)2
dy =
∫ 1
−1
8
√
1 − y2dy.
Para resolver esta integral, utilizamos a substituição trigonométrica y = sin θ, com dy =
cos θdθ e assim, obtemos que
V =
∫ π
2
− π
2
8
√
1 − sin2
θ cos θdθ
= 8
∫ π
2
− π
2
cos2
θdθ = 4
∫ π
2
− π
2
(1 + cos 2θ)dθ
= 4θ + 2 sin (2θ)
π
2
− π
2
= 4π.
Portanto, o volume desejado é igual a 4π unidades de volume.
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coorde-
nado
Até agora consideremos somente sólidos gerados por rotações de curvas em torno de um
dos eixos coordenados, onde y = f(x) ou x = g(y) eram os raios dos cilindros de revolução
(elementos de volume).
No caso mais geral, podemos rotacionar a curva y = f(x), com x ∈ [a, b], em torno da
reta y = c, de acordo com a Figura a 1.40.
41

y
r
y=c
y=f(x)
x
b
a
y
r
y=c
y=f(x)
x
z
b
a
Figura 1.40: Sólido obtido pela rotação y = f(x) em torno da reta y = c
Neste caso, o raio do cilindro innitesimal é igual à distância entre a curva e o eixo de
revolução, ou seja, é dado por
r = c − f(x)
e o volume do sólido resultante é dado por
V = π
∫ b
a
(c − f(x))2
dx.
De forma semelhante, se a curva x = g(y), com y ∈ [a, b], for rotacionada em torno da
reta x = c, o volume do sólido resultante é dado por
V = π
∫ b
a
(c − g(y))2
dy.
Note que quando c = 0 temos novamente a revolução em torno dos eixos coordenados.
EXEMPLO 1.11.6 Calcule o volume do sólido obtido quando a porção da pará bola y = 2 − x2
que está situada acima do eixo x é rotacionada em torno da reta y = 3.
Solução: Na Figura 1.41 podemos observar a curva geratriz, o eixo de revolução e o sólido
de revolução obtido.
y
x
y
x
z
Figura 1.41: Curva geratriz e sólido de revolução obtido pela rotação de y = 2−x2
em torno
de y = 3.
Como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas, devemos efetuar
a integração em relação a x. O intervalo de integração, denido aqui pela parte da parábola
situada acima do eixo x, é descrito por x ∈ [−
√
2,
√
2].
42

Já o raio de rotação, dado pela distância entre a curva e o eixo de rotação, é dado por
r = 3 − (2 − x2
) = 1 + x2
e assim, o volume desejado é dado por
V = π
∫ √
2
−
√
2
(1 + x2
)2
dx = π
∫ √
2
−
√
2
(1 + 2x2
+ x4
)dx =
94
15
√
2π.
EXEMPLO 1.11.7 Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando
a região situada entre as curvas y = x2
e y = 2x é rotacionada em torno:
(a) do eixo y; (b) da reta y = 5; (c) da reta x = 2.
Solução: A região a ser rotacionada está representada na Figura 1.42.
y
x
Figura 1.42: Região a ser rotacionada
As interseções entre as curvas são dadas por
x2
= 2x ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, x = 2 ⇒ y = 0, y = 4.
No item (a), rotacionamos em torno do eixo das ordenadas e, por isso, devemos tomar a
integração em relação a y. Como o só lido resultante será vazado, devemos tomar a diferença
entre os volumes dos sólidos externo e interno.
O raio externo, denido pela parábola, é dado por x =
√
y. O raio interno é denido pela
reta e é dado por x =
y
2
. Assim, o volume desejado é calculado pela integral
V = π
∫ 4
0
(
√
y)2
− π
∫ 4
0
(
y
2
)2
dy = π
∫ 4
0
(
y −
y2
4
)
dy.
Já no item (b), como rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das abscissas,
devemos tomar a integração em relação a x. Novamente o sólido resultante será vazado e
devemos tomar a diferença entre os volumes dos sólidos externo e interno.
O raio externo, denido pela distância entre a parábola e o eixo de rotação, é dado por
r = 5 − x2
e o raio interno, denido pela distância entre a reta e o eixo de rotação, é dado
43

por r = 5 − 2x. O volume do novo sólido é calculado pela integral
V = π
∫ 2
0
(5 − x2
)2
dx − π
∫ 2
0
(5 − 2x)2
dx
= π
∫ 2
0
(25 − 10x2
+ x4
) − (25 − 20x + 4x2
)dx
= π
∫ 2
0
(−14x2
+ x4
+ 20x)dx.
Por m, como no item (c) rotacionamos em torno de uma reta paralela ao eixo das
ordenadas, devemos tomar a integração em relação a y. Mais uma vez devemos tomar a
diferença entre os volumes dos só lidos externo e interno.
O raio externo, neste caso, é denido pela reta e é dado por r = 2 −
y
2
e o raio interno,
agora denido pela parábola, é dado por r = 2 −
√
y.
Assim, o último volume desejado é calculado pela integral
V = π
∫ 4
0
(2 −
y
2
)2
dy − π
∫ 4
0
(2 −
√
y)2
dy
= π
∫ 4
0
(4 − 2y +
y2
4
) − (4 − 4
√
y + y)dy
= π
∫ 4
0
(−3y +
y2
4
+ 4
√
y)dy.
44

1.12 Exercícios Gerais
1. Dadas as funções f, g : [1, 3] → R denidas por f (x) = x + 2 e g (x) = x2
+ x encontre
S (f, P) e S (g, P) .
2. Dada a função f : [−2, 5] → R denida por f (x) = x2
+ 2 encontre S(f, P) .
3. Determine as expressões para a soma superior e para a soma inferior de f(x) =
5 − x2
, considerando x ∈ [1, 2].
4. Utilize somas superiores para calcular a área da região situada entre as curvas y =
x4
+ 2, x = 0, x = 1 e y = 0.
5. Utilize a denição de integral denida para calcular
∫ 3
1
(x2
− 2x)dx.
6. Utilize soma de áreas de retângulos inscritos para calcular
∫ 4
0
(−x2
− 1)dx.
7. Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o gráco
de f(x) = x3
+ 1, para x ∈ [0, b], onde b 0 é arbitrário.
8. Calcule, usando somas superiores, a área da região situada entre o gráco de f(x) = ex
e o eixo x, entre as retas x = −1 e x = 2.
9. Utilize somas inferiores para calcular a área da região situada entre a curva x = y2
e
o eixo y, com y ∈ [0, 2].
10. Seja f : [0, 1) → R denida por f (x) =
1
√
1 − x2
. Verique se
∫ 1
0
f (x) dx existe.
11. Considere f : [a, b] → R uma função contínua. Mostre que:
(a) Se f é uma função par, então
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
(b) Se f é uma função ímpar, então
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
(c) Interprete geometricamente os itens anteriores.
12. Um metereologista estabelece que a temperatura T (em
o
F), num dia de inverno é dada
por T(t) = 1
20
t(t − 12)(t − 24), onde o tempo t é medido em horas e t = 0 corresponde
à meia-noite. Ache a temperatura média entre as 6 horas da manhã e o meio dia.
Sugestão: utilize o teorema do valor médio para integrais.
13. Encontre uma função f contínua, positiva e tal que a área da região situada sob o seu
gráco e entre as retas x = 0 e x = t seja igual a A(t) = t3
, para todo t 0.
14. Determine uma função f diferenciável, positiva e tal que
∫ x
0
f(t)dt = [f(x)]2
para todo
x ∈ R.
15. Seja f : R → R uma função contínua e dena uma nova função g : R → R por
g(x) =
∫ x3
x2
f(t)dt. Calcule o valor de g′
(1), sabendo que f(1) = 2.
45

16. Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
(a)
∫ 1
0
(
x +
√
x −
1
3
√
x
)
dx (e)
∫ 4
3
3
4
1
x
√
1 + x2
dx (i)
∫ 4
0
x
√
16 − x2
dx (m)
∫ 1
−∞
ex
dx
(b)
∫ 2
1
(
√
x +
1
3
√
x
+ 4
√
x
)
dx (f)
∫ 4
1
x
√
2 + 4x
dx (j)
∫ +∞
0
xe−x
dx (n)
∫ 1
−1
1
x4
dx
(c)
∫ π
3
0
tan xdx (g)
∫ 5
1
1
√
5 − x
dx (k)
∫ +∞
1
1
x
√
x2 − 1
dx (o)
∫ 1
0
1
x3
dx
(d)
∫ √
2
2
0
1
√
1 − x2
dx (h)
∫ +∞
0
e−x
dx (l)
∫ 1
0
1
√
1 − x
dx (p)
∫ 2
0
1
x − 1
dx
17. Determine o valor das seguintes integrais, se possível.
(a)
∫ √
2
1
xe−x2
dx (b)
∫ 1
−1
x2
√
x3+9
dx (c)
∫ π
4
0
tan2
x sec2
xdx
(d)
∫ 1
0
x sin xdx (e)
∫ 0
−∞
xex
dx (f)
∫ 3
0
x
√
x+1
dx
(g)
∫ 2
0
x2
ln(x)dx (h)
∫ +∞
1
1
x2 cos
(1
x
)
dx (i)
∫ ∞
−∞
xe−|x−4|
dx
18. Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço pro-
duzirá gás natural a uma taxa dada por f(t) = 700e− 1
5
t
milhares de metros cúbicos,
onde t é o tempo desde o início da produção. Estime a quantidade total de gás natural
que poderá ser extraída desse poço.
19. Determine todos os valores de p para os quais
∫ +∞
1
1
xp
dx converge.
20. Determine para quais valores de p ∈ R a integral
∫ +∞
e
1
x(ln x)p
dx converge.
21. Calcule, se possível, as seguintes integrais impróprias:
(a)
∫ +∞
1
xe−x2
dx (b)
∫ +∞
−∞
arctan x
x2+1
dx (c)
∫ π
2
−∞
sin 2xdx
(d)
∫ 1
0
x ln xdx (e)
∫ 9
0
e
√
x
√
x
dx (f)
∫ π
0
cos x
√
1−sin x
dx
22. Em equações diferenciais, dene-se a Transformada de Laplace de uma função f por
L(f(x)) =
∫ +∞
0
e−sx
f(x)dx,
para todo s ∈ R para o qual a integral imprópria seja convergente. Encontre a Trans-
formada de Laplace de:
(a) f(x) = eax
(b) f(x) = cos x (c) f(x) = sin x
23. A função gama é denida para todo x 0 por
Γ(x) =
∫ +∞
0
tx−1
e−t
dt.
(a) Calcule Γ(1) e Γ(2).
(b) Mostre que, para n inteiro positivo, Γ(n + 1) = nΓ(n).
46

24. Encontre a área da região limitada pelas curvas:
(a) y = sin x, y = cos x , x = 0 e x = π
2
.
(b) y − x = 6, y − x3
= 0 e 2y + x = 0.
(c) y = −x2
+ 9 e y = 3 − x.
(d) y = sin x, y = x sin x, x = 0 e x = π
2
.
(e) 28 − y − 5x = 0, x − y − 2 = 0, y = 2x e y = 0.
25. Represente geometricamente a região cuja área é calculada por
A =
∫ 2
0
(y + 6) − (
√
4 − y2)dy.
26. Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a x (ii) integra ção em relação a y.
(a) y = x + 3 e x = −y2
+ 3.
(b) 2x + y = −2, x − y = −1 e 7x − y = 17.
(c) y = x2
− 1, y = 2
x2 e y = 32x2
.
(d) y + x = 6, x = y2
e y + 2 = 3x.
27. Represente geometricamente a região cuja área é calculada pela expressão
A =
∫ 2
1
(
2x2
)
−
(
2
x
)
dx +
∫ 4
2
(
62 − 15x
4
)
−
(
2
x
)
dx.
A seguir, reescreva esta expressão utilizando y como variável independente.
28. Estabeleça a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área da região hachurada na
gura abaixo, delimitada simultaneamente pelas curvas y = x, y = x2
e y =
4
x − 1
,
mediante:
(a) integração em relação a x. (b) integração em relação a y.
y
x
29. Encontre uma reta horizontal y = k que divida a área da região compreendida entre
as curvas y = x2
e y = 9 em duas partes iguais.
30. A área de uma determinada região R pode ser calculada pela expressão
A =
∫ √
2
2
−
√
2
2
(√
1 − x2 −
√
2x2
)
dx.
Reescreva esta expressão, utilizando:
(a) integração em relação a y; (b) coordenadas paramétricas.
47

31. Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas paramétricas, é dada
por
A = 2
∫ 0
π
3 sin t(−3 sin t)dt − 2
∫ 0
π
3 sin t(−2 sin t)dt.
32. Uma ciclóide é uma curva que pode ser descrita pelo movimento do ponto P(0, 0) de
um círculo de raio a, centrado em (0, a), quando este círculo gira sobre o eixo x. Pode-
se representar esta ciclóide através das equações x = a(t−sin t) e y = a(1−cos t), com
t ∈ [0, 2π]. Determine a área da região delimitada pela ciclóide.
33. Uma curva de equação x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 é chamada astróide. Calcule a área da região
delimitada pela astróide obtida quando a = 5.
34. Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de
curvas:
(a) r = 3 cos θ e r = 1 + cos θ;
(b) r = 1 + cos θ e r = 1;
(c) r = sin θ e r = 1 − cos θ;
(d) r2
= cos(2θ) e r2
= sin(2θ);
(e) r = 2 (1 + sin θ) e r = 2 (1 + cos θ) .
35. Encontrar a área simultaneamente interior ao círculo r = 6 cos θ e exterior a r =
2(1 + cos θ).
36. Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r = 4 + 4 cos θ e exterior à
r = 6.
37. Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r = 1 + cos θ e exterior à
r = 2 cos θ.
38. Calcule a área da região simultaneamente interior às curvas r = sin(2θ) e r = sin θ.
39. Determine a área da região simultaneamente interior às rosáceas r = sin(2θ) e r =
cos(2θ).
40. Escreva a integral que permite calcular a área sombreada entre as curvas r = sin(2θ)
e r =
√
3 cos(2θ), dada na gura abaixo.
41. Seja R a porção da região simultaneamente interior às curvas r = 2 cos θ e r = 4 sin θ
que está situada no exterior da curva r = 1. Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região R;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região R.
48

42. Calcule a área das regiões sombreadas nas guras abaixo:
(a) r = 1 e r = 2 cos(2θ) (b) r = 2e
1
4
θ
(c) r = sin(3θ) e r = cos(3θ)
43. Represente geometricamente a região cuja área, em coordenadas polares, é dada por
I = 2
[
1
2
∫ π
6
0
sin2
θdθ +
1
2
∫ π
4
π
6
cos2
(2θ)dθ
]
.
44. Monte a(s) integral(is) que permite(m) calcular a área hachurada na gura abaixo,
delimitada pelas curvas r = 2 + 2 cos θ, r = 4 cos(3θ) e r = 2.
45. Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) x = 1
3
y3
+ 1
4y
, com 2 ≤ y ≤ 5;
(b) x = 3 + t2
e y = 6 + 2t2
, com 1 ≤ t ≤ 5;
(c) x = 5t2
e y = 2t3
, com 0 ≤ t ≤ 1;
(d) x = et
cos t e y = et
sin t, com 0 ≤ t ≤ π
2
;
(e) r = e−θ
, com 0 ≤ θ ≤ 2π;
(f) r = cos2 1
2
θ, com 0 ≤ θ ≤ π;
46. A posição de uma partícula, num instante t, é dada por x(t) = 2 cos t + 2t sin t e
y(t) = 2 sin t − 2t cos t. Calcule a distâ ncia percorrida por esta partícula entre os
instantes t = 0 e t = π
2
.
47. Suponha que as equações x(t) = 4t3
+ 1 e y(t) = 2t
9
2 descrevam a trajetória de uma
partícula em movimento. Calcule a distância que esta partícula percorre ao se deslocar
entre os pontos A(5, 2) e B(33, 32
√
2).
48. Calcule a distância percorrida por uma partícula que se desloca, entre os instantes
t = 0 e t = 4, de acordo com as equações x(t) = 1 + 2 cos(3t
5
2 ) e y(t) = 5 − 2 sin(3t
5
2 ).
49

y
x
Figura 1.43: Espiral logarítmica
49. A curva descrita por x(t) = 3e−t
cos 6t e y(t) = 3e−t
sin 6t, chamada de espiral logarít-
mica e está representada geometricamente na Figura 1.43. Mostre que o arco descrito
por esta espiral, quando t ∈ [0, +∞), possui comprimento nito.
50. Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das
curva r =
√
3 sin θ e r = 3 cos θ, situada no primeiro quadrante.
51. Represente gracamente o arco cujo comprimento é calculado pela integral
l =
∫ π
6
0
√
48 cos2 θ + 48 sin2
θdθ +
∫ π
2
π
6
√
16 sin2
θ + 16 cos2 θdθ.
52. Monte as integrais que permitem calcular o comprimento do arco da fronteira da região
que é simultaneamente interior à r = 1 + sin θ e r = 3 sin θ.
53. Calcule o volume do sóido obtido pela revolução da curva yx2
= 1, com x ≥ 1, em
torno do eixo x.
54. Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva
x2
a2
+
y2
b2
= 1
em torno do eixo x.
55. Determinar o volume do toro gerado pela rotação do círculo de equação x2
+(y − b)2
=
a2
em torno do eixo x, supondo a b.
56. Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
(a) y =
√
4 − x, 3y = x e y = 0, em torno do eixo x;
(b) y = |x| + 2, y = x2
, x = −2 e x = 1 em torno do eixo x;
(c) y = x2
e y = 2, em torno da reta y = 2;
(d) y = 1 − x2
e x − y = 1, em torno da reta y = 3;
(e) x + y = 3 e y + x2
= 3, em torno da reta x = 2.
57. Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva y = ex
, com
x ≤ 0, é rotacionada em torno da reta y = 2.
58. Um hiperbolóide de uma folha de revolução pode ser obtido pela rotação de uma
hipérbole em torno do seu eixo imaginário. Calcule o volume do sólido delimitado
pelos planos x = −3, x = 3 e pelo hiperbolóide obtido pela rotação de 9y2
− 4x2
= 36
em torno do eixo x.
50

59. Quando uma determinada região R é rotacionada em torno do eixo y, o volume do
sólido resultante pode ser calculado pela expressão
V = π
∫ 2
1
3
[(
7 − 3y
2
)2
−
(
1
y
)2
]
dy.
Represente geometricamente a região R e, a seguir, calcule o volume do sólido obtido
quando R é rotacionada em torno da reta y = 3.
60. Considere a região R delimitada simultaneamente pelas curvas y = x3
e x = y3
.
(a) Obtenha a(s) integral(is) que permite(m) calcular o perímetro da região R.
(b) Calcule o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada em torno do
eixo y.
(c) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a
região R é rotacionada em torno da reta y = 1.
61. Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
delimitada pelas curvas y = x2
− 4 e y = x − 2 é rotacionada em torno:
(a) do eixo x (b) da reta y = 2 (c) da reta x = −3.
62. Considere a região R delimitada pelas curvas y = x3
e y = 2x, que está situada no
primeiro quadrante e abaixo da reta y = 2 − x.
(a) Determine o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno
do eixo x.
(b) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a
região R é revolucionada em torno da reta x = −1.
63. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de um cone de raio r e altura
h é V =
πr2
h
3
.
64. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de uma esfera de raio a é
V =
4
3
πa3
.
51

1.13 Respostas
1. S (f, P) = 8 +
2
n
e S (g, P) =
38
3
+
10
n
+
4
3n2
2. S (f, P) =
175
3
−
133
2n
+
133
6n2
3. S (f, P) =
8
3
+
3
2n
−
1
6n2
e S (f, P) =
8
3
−
3
2n
−
1
6n2
4. S (f, P) =
11
5
+
1
2n
+
1
3n2
−
1
30n4
5.
2
3
6. −76
3
7.
1
4
b4
+ b
8. e2
− e−1
9.
8
3
10.
∫ 1
0
f (x) dx =
1
2
π
11. Dica para os itens (a) e (b): use propriedades para quebrar o lado esquerdo em duas
integrais, use a denição de função par (ou ímpar) e use a substituição de variáveis
u = −x para reescrever uma das integrais.
12. 18, 9o
F
13. f(t) = 3t2
14. f(x) = x
2
15. g′
(1) = 2
16. .
(a) − 1
3
(e) 0.405 47 (i) 4 (m) e = 2. 718 3
(b) 3. 202 8 (f) 3
2
√
2 (j) 1 (n) não existe
(c) ln 2 (g) 4 (k) 1
2
π (o) ∞
(d) 1
4
π (h) 1 (l) 2 (p) não existe
17. .
(a) 1
2
e−1
− 1
2
e−2
(b) 2
3
√
10 − 4
3
√
2 (c) 1
3
(d) sin 1 − cos 1 (e) − 1 (f) 8
3
(g) 8
3
ln 2 − 8
9
(h) sin 1 (i) 8
18. 3500 m3
19. Converge para p 1.
20. Converge para p 1.
52

21. .
(a) 1
2
e−1
(b) 0 (c) não existe
(d) − 1
4
(e) 2e3
− 2 (f) 0
22. (a)
1
s − a
para s a (b)
s
s2 + 1
para s 0 (c)
1
s2 + 1
para s 0
23. (a) Γ(1) = 1, Γ(2) = 1
24. (a) 2
√
2 − 2 (b) 22 (c) 125
6
(d) 2 − 2 sin 1 (e) 17
25. .
y
x
26. (a) 125
6
(b) 16 (c) 32−4
√
2
3
(d) 23
6
27. A =
∫ 2
1
2
(
62 − 4y
15
)
−
(
2
y
)
dy +
∫ 8
2
(
62 − 4y
15
)
−
(√
2y
2
)
dy
28. .
(a) A =
∫ 2
1
(
x2
− x
)
dx +
∫ 1+
√
17
2
2
(
4
x − 1
− x
)
dx
(b) A =
∫ 1+
√
17
2
1
(y −
√
y) dy +
∫ 4
1+
√
17
2
(
y + 4
y
−
√
y
)
dy
29. k = 9
3
√
4
30. .
(a) A = 2
∫ √
2
2
0
√
y
4
√
2
dy + 2
∫ 1
√
2
2
√
1 − y2dy
(b) A =
∫ π
4
3π
4
− sin2
tdt −
∫ √
2
2
−
√
2
2
√
2t2
dt
31. .
y
x
32. 3aπ2
33.
3πa2
8
34. (a) 5π
4
(b) 5
4
π − 2 (c) 1
2
(π − 2) (d) 1 −
√
2
2
(e) 6π − 8
√
2
53

35. 4π
36. 18
√
3 − 4π
37.
π
2
38.
1
4
π − 3
16
√
3
39.
π
2
− 1
40. Uma das várias respostas possíveis é:
A =
∫ π
4
0
1
2
(
√
3 cos 2θ)2
dθ +
∫ π
6
0
1
2
(sin 2θ)2
dθ +
∫ π
4
π
6
1
2
(
√
3 cos 2θ)2
dθ
41. (a) A =
1
2
∫ arctan 1
2
arcsin 1
4
(16 sin2
θ − 1)dθ +
1
2
∫ π
3
arctan 1
2
(
4 cos2
θ − 1
)
dθ
(b) l =
∫ arctan 1
2
arcsin 1
4
4dθ +
∫ π
3
arctan 1
2
2dθ +
∫ π
3
arcsin 1
4
dθ
42. (a) 9
√
3
8
− π
4
(b) 4e
9π
4 − 8e
5π
4 + 4e
π
4 (c) π
8
− 1
4
43. .
44. Uma das várias respostas possíveis é:
A =
1
2
∫ π
9
0
[
(2 + 2 cos θ)2
− (4 cos 3θ)2
]
dθ +
1
2
∫ π
2
π
9
[
(2 + 2 cos θ)2
− 4
]
dθ
+
1
2
∫ π
9
0
4dθ +
1
2
∫ π
6
π
9
(4 cos 3θ)2
dθ
45. .
(a) 1563
40
(b) 24
√
5 (c) 68
27
√
34 − 250
27
(d)
√
2e
π
2 (e)
√
2(1 − e−2π
) (f) 2
46.
π2
4
47.
352
27
√
22 − 250
27
48. 192
49. O comprimento desejado é nito e igual a
√
333.
50.
1
3
√
3π + π
2
54

51. Arco composto de dois subarcos de circunferências, conforme gura abaixo:
y
x
52. l = 2
∫ π
6
0
√
9 cos2 θ + 9 sin2
θdθ + 2
∫ π
2
π
6
√
cos2 θ + (1 + sin θ)2dθ
53.
π
3
54.
4πab2
3
55. 2π2
a2
b
56. (a) 3
2
π (b) 92π
15
(c) 64
15
√
2π (d) 162
5
π (e) 1
2
π
57.
7
2
π
58. 32π
59.
410
27
π − 6π ln 6
60. (a) l =
∫ 1
−1
(
√
1 + 9x4 +
√
1 +
1
9
x
−4
3
)
dx (b) V = 32
35
π
(c) V = π
∫ 0
−1
(1 − 3
√
x)2
− (1 − x3
)2
dx + π
∫ 1
0
(1 − x3
)2
− (1 − 3
√
x)2
dx
61. .
(a) V = π
∫ 2
−1
(x4
− 9x2
+ 4x + 12)dx (b) V = π
∫ 2
−1
(20 − 13x2
− x4
+ 8x)dx
(c) V = π
∫ 0
−4
(y + 8 + 4
√
y + 4)dy − π
∫ −3
−4
(y + 8 − 4
√
y + 4)dy − π
∫ 0
−3
(y2
+ 8y + 16)dy
62. (a) 134
189
π (b) V = π
∫ 1
0
(1 + 3
√
y)2
−
(
1 +
y
2
)2
dy + π
∫ 4
3
1
(3 − y)2
−
(
1 +
y
2
)2
dy
63. Dica: Note que um cone tal como desejado pode ser obtido pela rotaç ão em torno do
eixo y da reta y = h
r
x, com x ∈ [−r, r] e y ∈ [0, h].
64. Dica: Note que a esfera pode ser obtida pela rotação da circunferência x2
+y2
= a2
em
torno de qualquer eixo coordenado.
55

Capítulo 2
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E
DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Denir funções de várias variáveis e dar exemplos práticos;
2. Encontrar o domínio e fazer o gráco (esferas, cones,cilindros, parabolóides, planos e
interseções entre essas superfícies) com funções de várias variáveis com duas variáveis
independentes;
3. Usando a denição mostrar que o limite de uma função de duas variáveis existe;
4. Vericar se uma função de duas variáveis é contínua num ponto;
5. Encontrar derivadas parciais e interpretá-las geometricamente quando a função for de
duas variáveis independentes;
6. Encontrar derivadas parciais de funções compostas;
7. Encontrar as derivadas parciais de funções implícitas;
8. Resolver problemas que envolvam derivadas parciais como taxa de variação;
9. Representar geometricamente as diferenciais parciais e totais;
10. Resolver problemas que envolvam diferenciais parciais e totais;
11. Encontrar derivadas parciais de ordem superior;
12. Encontrar os extremos de uma função de duas variáveis quando existem;
13. Resolver problemas que envolvam extremos de funções de duas variáveis;
14. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam vericar se os objetivos foram
atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu-
lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento
teórico desse capítulo, nessa apostila.
56

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