¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar

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¦Lgebra linear 02 aula 01-01-produto escalar

  1. 1. PROF. NILO
  2. 2. PRODUTO ESCALAR ( OU INTERNO )  Como visto anteriormente, temos que osvetoresu v e são dados por :   u = ( a , b, c ) v = (d , e, f )E também que os seus u = a +b +c 2 2 2módulos são dados por : v = d +e + f 2 2 2
  3. 3. Vejamos graficamente   a Diferença de Vetores : u u −v θ Aplicando a Lei dosCossenos, temos : v I 2 2 2  u − v = u + v − 2. u . v . cosθTemos também que : u − v = (a, b, c) − (d , e, f ) u − v = (a − d , b − e, c − f )
  4. 4.  u − v = (a − d , b − e, c − f ) u − v = (a − d ) + (b − e) + (c − f ) 2 2 2 2u − v = (a − d ) + (b − e) + (c − f ) 2 2 2 2u = a +b +c ⇒ u = a +b +c 2 2 2 2 2 2 2v = d +e + f ⇒ v = d +e + f 2 2 2 2 2 2 Aplicando de volta na equação I, temos :
  5. 5. (a − d ) + (b − e) + (c − f ) = 2 2 2  a + b + c + d + e + f − 2. u . v . cosθ 2 2 2 2 2 2 Desenvolvendo as operações indicadas, temos :a + b + c + d + e + f − 2ad − 2be − 2cf = 2 2 2 2 2 2  a + b + c + d + e + f − 2. u . v . cosθ 2 2 2 2 2 2   − 2ad − 2be − 2cf = −2. u . v . cosθDividindo tudo por (− 2),  temos a.d + b.e + c. f = : u . v . cosθ
  6. 6.   a.d + b.e + c. f = u . v . cosθ  Essa soma de produtos das coordenadas dosvetoresu  v  por , chamamos de produtoescalar de u vpor .  Podemos denotar u escalar v por u .v .  Então : u .v = a.d + b.e + c. f    Logo : u .v = u . v . cos θ v .u =d .a +e.b + f .c
  7. 7. PRODUTO   O produto escalar é comutativo. O produto escalar é comutativo.ESCALAR u .v = v .u    O produto escalar O produto escalar u u−v (( ou interno ), serve ou interno ), serve θ para o cálculo do para o cálculo do    ângulo θ entre os ângulo θ entre os v vetores vetores u e ev ..  u.v = a.d + b.e + c. f    u.v = u . v . cosθ
  8. 8. u .v = a.d + b.e + c. f    u .v = u . v . cosθ >  θ é agudo, u .v 0  =  θ é reto, u .v 0 θ é obtuso, u .v < 0       2 se u = v, temos θ = 0º , então u .u = u
  9. 9. Desigualdades :   Cauchy− SchwarsCauchy− Schwars u .v ≤ u + vPelo Produto Escalar, temos que : Logo :     u .v u.v = u . v . cosθ cosθ =   u .v Lembrando que :  u .v − ≤ cosθ ≤ 1 ⇒ cosθ =    1 u .v    u .v− 1 ≤   ≤ 1 ⇒ u .v ≤ u + v u .v
  10. 10. y  u  j São os cossenos dos O uângulos que um vetor k  i xqualquer forma com oseixos coordenados. z Marcamos um vetor u inicialmente representante do vetor u dado que tenha como ponto origem, a origem do sistema de coordenadas. Os ângulos α , β e δ são osângulos formados com os eixos coordenados,dos quais desejamos calcular os cossenos ditosdiretores.
  11. 11. y      u .i = u . i . cos α u       j β  u . j = u . j . cos β O u α     u .k = u . k . cos δ  k  x δ izCalculando os produtos escalaresdo vetor  com  os  vetoresunitários i , j e k , obtemos :
  12. 12.     u .i = u . i . cos α    u = ( a , b, c )u . j = u . j . cos β onde :     i = (1,0,0) u .k = u . k . cos δ j = (0,1,0)   u = a +b +c 2 2 2 k = (0,0,1)    i = j = k =1
  13. 13. 2 2 2(a , b, c).(1,0,0) = a + b + c .1. cos α 2 2 2(a , b, c).(0,1,0) = a + b + c .1. cos β 2 2 2(a , b, c).(0,0,1) = a + b + c .1. cos δ acos α = a +b +c 2 2 2 b cos β = a +b +c 2 2 2 ccos δ = a +b +c 2 2 2

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