Aula : 2 Integrais duplas sobre regiões gerais
2.2 Classificação
Na figura 1 podemos classificar como sendo do tipo 1: dydx
Para definir os limites de integração em relação a y, podemos traçar uma reta
imaginária paralela ao eixo y. Logo será a função menor até a função maior
,debaixo para cima, o limite de y. E o limite de x, é só ir ao eixo do x e pegar os
valores que serão duas constantes que está compreendida a figura.
A região limitada pelas curvas y= x2
e y= 4x –x2
, pode ser descrita como de tipo I.
A interseção das curvas é feita igualando as duas funções:
X2
=4x-x2
Igualamos a zero:
2x2
- 4x=0

Encontramos as raízes que serão os pontos de intersecção das curvas.
Nesse caso x=0 e x=2.
Agora iremos montar duas tabelas, uma para cada função para desenhar o gráfico.
Para os valores de x utilizamos os valores encontrados na interseção das
curvas, nesse caso 0 e 2. E utilizamos um outro valor que esteja entre 0 e 2, e
encontramos os respectivos valores de y.
x Y=x2
y
0 Y=(0)2
0
1 Y= (1)2
1
2 Y=(2)2
4
x y= 4x –x2
y
0 Y= 4(0)-(0)2
0
1 Y= 4(1)-(1)2
3
2 Y=4(2)-(2)2
4
Observem que apenas o intervalo do meio dará diferente.
Graficamente então teremos a figura abaixo.
Logo os limites de integração em relação ao eixo x de 0 a 2.
E em relação a x a função menor até a função maior. Função menor y=x2
até a
função maior y= 4x –x2
.

Na figura 2 podemos classificar como sendo do tipo 2: dxdy
Do mesmo modo para definirmos o limite de integração em relação a x traçamos
uma reta paralela só que agora ao eixo x. Então será a função menor até a
função maior, da esquerda para direita, o limite de x. E o limite de y, estará no
eixo do y, de uma constante a outra que estará compreendidos entre a figura.
Observe que:
1- Sempre a última integração é de uma constante!!
2- E o outro limite encontra-se sempre no eixo do x se for do tipo 1 ou no
eixo do y se for do tipo 2.
Exemplo
Seja a região limitada pelas curvas x = y2
- 1 e x = 1- y2
.
Para encontrarmos os pontos de interseção devemos igualar as duas funções e
encontrar as raízes da equação do segundo grau.
Y2
– 1 = 1 – y2
2y2
- 2 = 0
Y= +1 e – 1
Agora iremos montar a tabela.
x x = y2
- 1 y
-1 X= (-1)2
-1 0
0 X= (0)2
-1 -1
1 X= (1)2
-1 0
x x = 1- y2
y
-1 X= 1- (-1)2
0
0 X= 1-(0)2
1
1 X= 1-(-1)2
0
E então desenhamos o gráfico.

Os limites de integração serão dados por:
** No eixo y os intervalos vão de uma constante a outra, que são os valores dos
zeros da equação.
**E o eixo do x está indo de uma função a outra, da esquerda para direita, da
menor para a maior.
Exemplos:
1- Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2
e y
= 1 + x2
.
 
D
dAyx )2(

Primeiro passo é construir o gráfico, igualando as duas funções e classificando em
tipo 1 ou tipo 2 . E achando os limites da integração. Neste caso temos uma
integração do tipo 1 dy dx, os limites de x de -1 a 1. E os limites de y de 2x2
a 1+x2
,
da função menor até a maior, debaixo para cima.
2- Seja D a região do plano xy delimitado pelos gráficos de y=x2
e y = 2x.
Calcule ⌡⌡(x3
+ 4y) dA.
dxdyyx
x
x 






 
1
1
1
2
2
2
)2(
  dxyxy
xy
xy
2
2
1
2
1
1
2

 
 dxxxxxx

1
1
43222
42)1()1(
 dxxxxx

1
1
234
123
1
123
2
45
3
345







 x
xxxx
15
32


Esse exemplo pode ser tanto do tipo 1 quanto do tipo 2.
Se for do tipo 1 dy dx, os limites de integraçao de x serão 0 a 2 e os limites
de y serão da função menor y=x2
até a função maior y=2x.
Agora podemos fazer também do tipo 2, dxdy. Neste caso, os limites de y
serão de 0 a 4 e os de x serão da função menor x= ½ y até a função maior
.
  )4(
2
0
2
3
2
dydxyx
x
x
dx
y
yx x
x 
2
0
2
2
3
2)
2
4
(
 dxxxxxxx 
2
0
22323
)(2.)2(22
 )8(
2
0
52
dx-xx
2
0
63
63
8 x
-
x
3
32
6
64
6
64
3
64
-

Podendo ser do tipo 1 ou do tipo 2 os resultados serão iguais. Assim, cabe a
você escolher a ordem da integração.
  )4(
4
0
2
3
dxdyyx
y
y
dyxy
x y
y
2
4
0
4
4
4 






  dyy
y
y
yy
y












4
0
4
.
2
4
4
2.4
4






 2
8
4
64
4
0
22
32
dyy
y
y
y
4
0
322
5
3
3
2
8.2
2
5
4
64.3
yyyy

4
0
322
5
3
3
2
8.2
2
5
4
64.3
yyyy


3- Aplicações elementares das integrais duplas
3.1- Volumes pela integração dupla
Podemos calcular o volume através de uma integral dupla sob o gráfico de uma
função f não-negativa, contínua sobre uma região D dada.
Exemplos:
1-Determinar o volume do sólido delimitado por z= 4-x2
, x=0,y=0, y=6 e x=2.
Neste caso podemos usar o teorema de Fubini.
4
0
322
5
3
3
2
165
8
192
yyyy

3
4.2
16
4
5
4.8
192
4 322
5
3

3
32
3
128
1
5
4.128
3
1
3
4.2
16
4
5
4.8
192
4 322
5
3


3- Densidade e integrais duplas
Consideremos uma quantidade tal como massa ou carga elétrica distribuída de
um modo contínuo, uniforme ou não, sobre uma porção do plano xy.
Representamos esta função ϭ (sigma, pequena letra grega) de duas variáveis
como uma função densidade para estas duas distribuições dimensionais se,
para toda região admissível D no plano xy.
Que dará a soma contida em D.
3.4- Momentos e Centro de massa
Vamos supor que uma partícula P de massa m é situada no ponto (x, y) no
plano xy, como na figura abaixo. Logo, o produto mx, a massa m da partícula
multiplicada pela respectiva distância x do eixo y, é chamada de momento P em
relação ao eixo y. E de mesmo modo o produto my é chamado o momento de P
em relação ao eixo x.

Suponhamos que uma massa total m é continuamente distribuída sobre uma
região plana admissível D, sob a forma de uma película delgada de material,
onde chamamos de lâmina. Seja ϭ a função densidade para esta distribuição de
massa.
Se (x,y) é um ponto em D, vamos considerar o retângulo infinitesimal de dimensões
dx e dy como centro em (x,y). A massa contida neste retângulo é dada por dm=
ϭ(x,y)dxdy s sua distância ao eixo x vale y unidades, logo, seu momento em
relação ao eixo x é dado por (dm)y=ϭ(x,y)y dxdy. O momento total de toda a
massa na lâmina é obtido pela soma, isto é, pela integração de todos os
momentos infinitesimais. Então o momento Mx da lâmina em relação ao eixo x
é dado por:
Igualmente, o momento My da lâmina em relação ao eixo y é dado por:
Por definição, as coordenadas do centro de massa são:
Exemplos:

1- Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com
vértices (0,0) (1,0) e ( 2,0), sabendo que a função densidade é
δ(x,y) = 1+3x + y.

3.5- Momentos de inércia

Vamos imaginar a lâmina D girando em torno de um eixo L, com velocidade
angular constante w e seja δ(x,y) a distância da massa elementar dm ao eixo L,
como a figura acima. Se dE representa a energia cinética da massa dm, então:
Onde wδ é a velocidade escalar do corpo. A energia cinética total é, portanto,
A integral que figura do lado direito da figura é o momento de inercia da placa D em
relação ao eixo L e anota-se:
Em relação aos eixos coordenados, os momentos de inércia da placa D são:
Enquanto o momento de inércia polar em relação à origem é dado por:
Exemplos
Determinar os momentos de inércia Ix, Iy e Io da região limitada pelas curvas
y2
=4x, x=4 e y=0 no primeiro quadrante.

3.6- Centroides
Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P,
denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta
escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos ,
ou sejam:
Levando tais expressões ao limite, tem-se:
Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:
onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro
Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem
com as do Baricentro.
Exemplos:
Determinar as coordenadas do centro de gravidade da região R limitada no
primeiro quadrante por y=x3
e y= 4x.
c c
xdA ydA
A dA x y
A A
  
 

1 1 2 2
1 1 2 2
...
...
c n n
c n n
Px x P x P x P
Py y P y P y P
     
     
c cP x xdP P y ydP  