Series

Anota¸cões sobre séries
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
27 de julho de 2014

Sumário
1 Séries 4
1.1 Nota¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Defini¸cão e conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Mudan¸ca de variável em séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Condi¸cão necessária para convergência de séries . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Critério de compara¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Critério de condensa¸cão de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Séries do tipo
∞∑
k=1
1
kp
e divergência da série harmônica. . . . . . . . 15
1.2.6 Divergência da série harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.7 Divergência de
∞∑
k=1
1
kp
com p < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.8 Séries de fun¸cões racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.9 Critério de Cauchy para séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Séries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1 Toda série absolutamente convergente é convergente . . . . . . . . . 27
1.3.2 Parte negativa e positiva de uma série . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Teste da raiz-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.4 Teste da razão-D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5 Critério de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.6 Critério de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.7 Critério de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.6 Séries em espa¸cos vetoriais normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7 Soma de Cesàro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2

SUM ÁRIO 3
1.7.1 Série de Grandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.8 Sequências (C, P) somáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.9 Séries de termos não-negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.9.1 Critério de compara¸cão por limite para séries de termos positivos . 61
1.10 Representa¸cão decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.11 Teste da integral para convergência de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.11.1 Sequência de varia¸cão limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.12 Séries em espa¸cos vetoriais normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.13 Produto de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.14 Séries e desigualdade das médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.15 Extensão do conceito de série para
−∞∑
k=1
ak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Cap´ıtulo 1
Séries
Esse texto ainda não se encontra na sua versão final, sendo, por enquanto, cons-
titu´ıdo apenas de anota¸cões informais. Sugestões para melhoria do texto, corre¸cões da
parte matemática ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
1.1 Nota¸cões
Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferen¸ca de termos consecutivos
de uma fun¸cão
∆f(x) := f(x + 1) − f(x).
A nota¸cão Q para denotar o operador que faz o quociente,
Qf(x) =
f(x + 1)
f(x)
.
1.2 Defini¸cão e conceitos básicos
Vamos definir o somatório como
s∑
k=s
f(k) = f(s) ∀ s ∈ Z
b∑
k=a
f(k) =
p
∑
k=a
f(k) +
b∑
k=p+1
f(k) ∀ b, a, p ∈ Z.
4

CAPÍTULO 1. SÉRIES 5
Perceba que não colocamos limita¸cão em b, a e p inteiros , na defini¸cão acima podemos
ter b < a. Em especial tomando p = a − 1 na identidade acima segue que
b∑
k=a
f(k) =
a−1∑
k=a
f(k) +
b∑
k=a
f(k)
logo deve valer
a−1∑
k=a
f(k) = 0 que é chamada de soma vazia .
Defini¸cão 1 (Série). Sejam a ∈ Z, A um conjunto indutivo que contenha a ,
f(k) : A → R uma fun¸cão . Chamamos de série o limite do somatório
lim s(n) = lim
n∑
k=a
f(k) :=
∞∑
k=a
f(k)
, caso o limite exista, onde
s(n) =
n∑
k=a
f(k).
Se existir o limite de s(n) com lim s(n) = s diremos que a série é convergente e sua soma
é s.
Se o limite lim s(n) não existir diremos que a série diverge. A soma finita s(n) =
n∑
k=a
f(k) é chamada reduzida de ordem n ou n−ésima soma parcial da série
∞∑
k=a
f(k) . Se
a série é divergente, pode acontecer de lim s(n) = ∞, lim s(n) = −∞ ou a soma oscilar1
.
Se (sn) converge diremos que
∞∑
k=a
f(k) converge caso (sn) seja divergente diremos que
∞∑
k=a
f(k) diverge , apesar de
∞∑
k=a
f(k) ser um número real, caso haja convergência e não
haver número associado a
∞∑
k=a
f(k) caso haja divergência, tal uso é feito apenas no sentido
de nota¸cão . Caso a série seja convergente dizemos também que (f(k)) é somável .
Propriedade 1. Toda sequência (xn) de números reais pode ser considerada como a
sequência das reduzidas de uma série.
Demonstra¸cão. Supondo
xn =
n∑
k=1
ak
1
Quando (s(n)) diverge e lims(n) ̸= ∞ e lims(n) ̸= −∞.

aplicando ∆ segue
∆xn = an+1
e para n = 1, x1 =
1∑
k=1
ak = a1, se n = 0 temos x0 =
0∑
k=1
ak = 0 por ser uma soma vazia
n∑
k=1
ak =
n−1∑
k=0
ak+1 =
n−1∑
k=0
∆xk = xk
n
1
= xn − x0 = xn.
Se ∆xn = an+1 não implica que an = ∆xn−1, pois a primeira vale para n ≥ 0 natural
a segunda não vale para n = 0.
Exemplo 1. Encontrar o erro na manipula¸cão
0 = 0 + 0 · · · =
= (1 − 1) + (1 − 1) + · · · =
= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1
logo 1 = 0.
Come¸camos com uma série
∞∑
k=1
ak onde cada ak = 0 = 1 − 1, isto é, a soma dos
elementos da sequência (0, 0, · · · ) então até a segunda linha tudo está correto, porém na
terceira linha tratamos o termo da série somada como os termos da sequência (1, −1 +
1, −1 + 1, · · · ) que é uma série diferente da série inicial
1.2.1 Mudan¸ca de variável em séries
Propriedade 2 (Mudan¸ca de variável em séries). Por mudan¸ca de variável temos que
se g(n) =
n∑
k=a
f(k) então g(n) =
n+t∑
k=a+t
f(k−t) com lim n = ∞ temos também lim n+t = ∞
logo
lim
n∑
k=a
f(k) = lim
n+t∑
k=a+t
f(k − t) =
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a+t
f(k − t).
Logo se temos uma série
∞∑
k=a
f(k) podemos somar t aos limites (t + ∞ = ∞, t + a),
subtraindo t do argumento da fun¸cão
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a+t
f(k − t).

Propriedade 3 (Produto por −1). Por propriedade de somatórios se g(n) =
n∑
k=a
f(k)
então g(n) =
−a∑
k=−n
f(−k) com lim n = ∞ temos lim −n = −∞ e
lim
n∑
k=a
f(k) = lim
−a∑
k=−n
f(−k) =
∞∑
k=a
f(k) =
−a∑
k=−∞
f(−k).
∞∑
k=a
f(k) =
−a∑
k=−∞
f(−k).
Propriedade 4. Sejam
∞∑
k=a
f(k) e c um número real diferente de zero então
∞∑
k=a
f(k)
é convergente sse
∞∑
k=a
cf(k) é convergente.
Demonstra¸cão. Se g(n) =
n∑
k=a
f(k) é convergente, existe o limite lim g(n) , vale
também c.g(n) = c
n∑
k=a
f(k) =
n∑
k=a
c.f(k) e existe o limite lim c.g(n) = c lim g(n) impli-
cando que a série
∞∑
k=a
cf(k) = c
∞∑
k=a
f(k) é convergente.
Se h(n) =
n∑
k=a
cf(k) = cg(n) então g(n) =
n∑
k=a
f(k), sendo h(n) convergente, então
lim h(n) = d para algum d real e vale lim
h(n)
c
= lim g(n) como c ̸= 0 tem-se lim g(n) =
lim h(n)
c
=
d
c
que existe de onde segue que lim g(n) =
∞∑
k=a
f(k) é convergente.
∞∑
k=as
fs(k) convergente pra toda expressão fs(k), gs(n) =
n∑
k=as
fs(k) , as números inteiros e cs números reais, para todo s ∈ [1, p]N , então
p
∑
s=1
cs
∞∑
k=as
fs(k)
converge.
Demonstra¸cão. Considerando a soma
p
∑
s=1
csgs(n) como os limites lim gs(n) exis-
tem e pela propriedade de soma de limites segue que existe o limite:
lim
p
∑
s=1
csgs(n) =
p
∑
s=1
cs lim gs(n) =
p
∑
s=1
∞∑
k=as
fs(k).

1.2.2 Condi¸cão necessária para convergência de séries
Propriedade 6 (Condi¸cão necessária para convergência de séries). Se s(n) =
n∑
k=a
ak
converge então lim ak = 0.
Demonstra¸cão. Temos que se lim a(n) = s e também lim s(n + 1) = s e
s(n + 1) − s(n) =
n+1∑
k=a
ak −
n∑
k=a
ak = an+1
logo
lim s(n + 1) − s(n) = lim an+1 = lim s(n + 1) − lim s(n) = s − s
assim lim an+1 = 0, lim an = 0.
Essa é uma condi¸cão necessária porém não suficiente para convergência de séries.
Corolário 1. Se f(k) não tende a zero a série não pode convergir. Esse critério é
útil para provar que algumas séries divergem. Veremos depois que esse critério não é
suficiente, pois existem séries em que o termo somado tende a zero mas a série diverge,
como é o caso da série harmônica.
Propriedade 7. Se
∞∑
k=1
ak é convergente então
∞∑
k=1
a2k + a2k−1 é convergente e tem
mesma soma que a primeira série.
Demonstra¸cão.
Seja sn =
n∑
k=1
ak, ela converge, então s2n =
2n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
a2k +
n∑
k=1
a2k−1 =
n∑
k=1
a2k +
a2k−1 também converge e tende ao mesmo limite de sn.
Exemplo 2. A série
∞∑
k=1
a2k + a2k−1 pode convergir porém
∞∑
k=1
ak, como é o caso de
tomar ak = (−1)k
a série
∞∑
k=1
(−1)k
não converge pois lim(−1)k
̸= 0, porém a2k + a2k−1 =
1 − 1 = 0 e a primeira série converge.
Propriedade 8. A série
∞∑
k=a
f(k) converge ⇔ a série
∞∑
k=b
f(k) converge. Esta propri-
edade nos diz que o estado de convergência da série não é alterado pela redu¸cão ou adi¸cão
de um número finito de termos, isto é, podemos alterar o limite inferior do somatório por
outro número real e a convergência da série não se altera.

Demonstra¸cão.Tomamos g(n) =
n∑
k=a
f(k) e h(n) =
n∑
k=b
f(k). Se b = a não temos
nada a mostrar, pois as séries serão iguais. Se b > a tem-se
g(n) =
n∑
k=a
f(k) =
b−1∑
k=a
f(k) +
n∑
k=b
f(k) =
b−1∑
k=a
f(k) + h(n)
g(n) −
b−1∑
k=a
f(k) = h(n)
supondo g(n) convergente e tomando o limite n → ∞ temos que no lado esquerdo te-
mos uma série convergente e no lado direito a série também será convergente, se h(n) é
convergente, usamos que
g(n) =
b−1∑
k=a
f(k) + h(n)
tomando o limite tem-se que h(n) convergente implica g(n) convergente. Se a > b usamos
o mesmo procedimento
h(n) =
n∑
k=b
f(k) =
a−1∑
k=b
f(k) +
n∑
k=a
f(k) =
a−1∑
k=b
f(k) + g(n). (1.1)
h(n) −
a−1∑
k=b
f(k) = g(n) (1.2)
se g(n) converge usamos 1.1 se h(n) converge usamos 1.2.
Como o limite inferior do somatório não altera na convergência, iremos em alguns
momentos denotar a série sem o limite inferior, da seguinte maneira
∞∑
k
f(k) =
∞∑
f(k)
Exemplo 3 (Série geométrica). Vamos estudar a convergência da série
∞∑
k=0
ak
.
Se a = 1 temos a soma
n∑
k=0
1 = n + 1, lim
n∑
k=0
1 = ∞.
Se a ̸= 1 temos
n−1∑
k=0
ak
=
ak
a − 1
n
0
=
an
− 1
a − 1

quando a > 1 o limite lim an
= ∞, com a < −1 a sequência alterna valores tomando
valores positivos para valores pares de n e negativos para valores ´ımpares de n, porém
com valor absoluto crescente, o limite não existe nesse caso. Caso a = −1 o resultado da
soma finita é
n−1∑
k=0
(−1)k
=
(−1)n
− 1
−2
a sequência alterna entre valor 0 para n par e 1 para n ´ımpar. Se |a| < 1 tem-se que
lim an
= 0 e o resultado da série é
∞∑
k=0
ak
= lim
an
− 1
a − 1
=
−1
a − 1
=
1
1 − a
.
Podemos usar também a condi¸cão necessária para convergência de séries. Temos que
ter lim an
= 0 , isto só acontece quando |a| < 1, então estes são os únicos valores de a
para os quais a série é convergente.
∞∑
k=0
a2
(1 + a2)k
converge com qualquer a ∈ R. Vale que 1 ≤ a2
+1 ∀ a ∈ R logo 0 <
1
1 + a2
≤ 1, portanto
a série converge por ser série geométrica. Sabemos que
∞∑
k=0
bk
=
1
1 − b
, substituindo
b =
1
a2 + 1
, chegamos no resultado
∞∑
k=0
1
(1 + a2)k
=
a2
+ 1
a2
⇒
∞∑
k=0
a2
(1 + a2)k
= a2
+ 1.
Exemplo 5. Mostrar que a série
∞∑
n=a
(−1)n
an
n!
onde an =
n∏
k=1
2k diverge. Vamos chegar primeiro numa expressão para o termo geral
an =
n∏
k=1
2k =
n∏
k=1
2
n∏
k=1
k = 2n
.n!

logo a série é
∞∑
n=a
(−1)n
2n
n!
n!
=
∞∑
n=a
(−1)n
2n
sendo bn = (−1)n
2n
o limite lim bn = lim(−1)n
2n
̸= 0 o limite não existe pois a sub-
sequência b2n = 22n
tem limite +∞ e a subsequência b2n+1 = −22n+1
tem limite −∞.
Exemplo 6. Dadas as séries
∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=1
bk com an =
√
n + 1−
√
n , bn = log(1+
1
n
)
, mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas sn e tn
destas séries e mostre que lim sn = lim tn = +∞.
sn =
n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
√
k + 1 −
√
k =
n∑
k=1
∆
√
k =
√
k
n+1
1
=
√
n + 1 − 1
logo lim sn = ∞
tn =
n∑
k=1
log(1+
1
k
) =
n∑
k=1
log(k+1)−log(k) =
n∑
k=1
∆log(k) = log(k)
n+1
1
= log(n+1)−log(1) = log(n+1)
logo lim tn = +∞. O limite dos termos das séries
an =
√
n + 1 −
√
n =
1
√
n + 1 +
√
n
lim an = 0
bn = log(1 +
1
n
)
0 < log(1 +
1
n
) =
log[(1 + 1
n
)n
]
n
≤
(1 + 1
n
)n
n
como lim(1+
1
n
)n
= e então tal sequência é limitada, logo lim
(1 + 1
n
)n
n
= 0 de onde segue
por teorema do sandu´ıche que lim log(1 +
1
n
) = 0. Usamos que log(n) < n. Assim temos
duas série cujos termos gerais tendem a zero, porém as séries divergem, esse exemplo
mostra que a condi¸cão de lim f(k) = 0 em uma série
∞∑
k=b
f(k) ser satisfeita não garante
que a série será convergente, a condi¸cão é apenas uma condi¸cão necessária.
Propriedade 9. Seja (ak) sequência com ak ≥ 0 ∀ k ou ak ≤ 0 ∀ k. Nessas condi¸cões
a série
∞∑
k=a
ak converge ⇔ s(n) =
n∑
k=a
ak forma uma sequência limitada.

Demonstra¸cão. ⇒). Seja s(n) limitada com ak ≥ 0 ∀ k , temos que
s(n + 1) − s(n) = an+1 ≥ 0 ⇒ s(n + 1) ≥ s(n)
assim s(n) é uma sequência crescente limitada superiormente, portanto é convergente. Se
ak ≤ 0 temos
s(n + 1) − s(n) = an+1 ≤ 0 ⇒ s(n + 1) ≤ s(n)
logo s(n) sendo limitada inferiormente e decrescente é convergente.
⇐).
Agora se a série é convergente então s(n) é limitada , pois toda sequência convergente
é limitada.
Defini¸cão 2. Quando temos ak ≥ 0 e s(n) =
n∑
k=a
ak é limitada superiormente temos
que a série
∞∑
k=a
ak converge, então neste caso escrevemos
∞∑
k=a
ak < ∞ para simbolizar que
a série
∞∑
k=a
ak com ak ≥ 0 é convergente.
1.2.3 Critério de compara¸cão
Propriedade 10 (Critério de compara¸cão). Sejam
∞∑
k=a
ak e
∞∑
k=a
bk séries de termos
não negativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que ak ≤ cbk para todo k ≥ n0 então :
1. A convergência de
∞∑
k=a
bk implica a convergência de
∞∑
k=a
ak .
2. A divergência de
∞∑
k=a
ak implica a divergência de
∞∑
k=a
bk.
Demonstra¸cão.
1. De ak ≤ cbk segue
n∑
k=n0
ak
s(n)
≤ c
n∑
k=n0
bk
:=p(n)
se
n∑
k=a
bk converge então
n∑
k=n0
bk converge de onde segue que s(n) é limitada supe-
riormente e como é crescente s(n) converge implicando a convergência de
∞∑
k=a
bk
.

2. Agora se s(n) diverge, como é crescente seu limite é infinito , pois ela é ilimitada
superiormente, de c.p(n) ≥ s(n), p(n) ≥
s(n)
c
então p(n) também é ilimitada su-
periormente e ainda por ser crescente tem limite infinito, logo a série associada
p(n) =
n∑
k=n0
bk tende a infinito.
Exemplo 7. Mostrar que
∞∑
k=1
kk
= ∞.
De 1 < k elevamos a k, 1 < kk
aplicamos a soma
n∑
k=1
n =
n∑
k=1
1 <
n∑
k=1
kk
por compara¸cão (como são séries de termos positivos) segue que
∞∑
k=1
kk
= ∞.
Exemplo 8. Se 0 < c e 1 < |a| então
∑ 1
c + ak
converge.
Vale
1
c + ak
<
1
ak
e a segunda série converge, logo por compara¸cão a primeira converge.
Vamos usar o seguinte pequeno resultado em certas demonstra¸cões.
Propriedade 11. Sejam (xn) e (yn) sequências, se ∆xn = ∆yn para todo n, então
xn = yn + c para alguma constante c.
Demonstra¸cão. Aplicamos o somatório
n−1∑
k=1
em cada lado na igualdade ∆xk =
∆yk e usamos a soma telescópica, de onde segue
xn − x1 = yn − y1 ⇒ xn = yn + x1 − y1
=c
.
Corolário 2. Se ∆xn = ∆yn ∀ n e existe t ∈ N tal que xt = yt então xn = yn para
todo n. Tal propriedade vale pois xn = yn + c, tomando n = t segue xt = yt + c que
implica c = 0, logo xn = yn para todo n.
Propriedade 12. Seja n > 0 ∈ N então
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2n−1∑
k=1
f(k).

Demonstra¸cão.[1-Soma telescópica]
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
n−1∑
s=0
[
2s+1−1∑
k=0
f(k) −
2s−1∑
k=0
f(k)
g(s)
] =
n−1∑
s=0
∆g(s) = g(n) − g(0)
=0
=
2n−1∑
k=1
f(k).
Demonstra¸cão.[2] Para n = 1
0∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2−1∑
k=20
f(k) =
21−1∑
k=1
f(k)
Temos que
∆
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2n+1−1∑
k=2n
f(k)
e
∆
2n−1∑
k=1
f(k) =
2n+1−1∑
k=1
f(k) −
2n−1∑
k=1
1
kr
=
2n+1−1∑
k=2n
f(k) +
2n−1∑
k=1
f(k) −
2n−1∑
k=1
f(k) =
2n+1−1∑
k=2n
f(k).
logo está provada a igualdade.
1.2.4 Critério de condensa¸cão de Cauchy
Propriedade 13 (Critério de condensa¸cão de Cauchy). Seja (xn) uma sequência
decrescente de termos positivos então
∑
xk converge ⇔
∑
2k
.x2k converge.
Demonstra¸cão. Usaremos a identidade
n−1∑
s=0
2s+1−1∑
k=2s
f(k) =
2n−1∑
k=1
f(k).
⇒).
Vamos provar que se
∑
xk converge então
∑
2k
.x2k converge, usando a contraposi-
tiva, que é equivalente logicamente, vamos mostrar que se
∑
2k
.x2k diverge então
∑
xk
diverge.
Como xk é decrescente então vale
2s
x2s+1 =
2s+1−1∑
k=2s
x2s+1 ≤
2s+1−1∑
k=2s
xk

aplicando
n−1∑
s=0
segue
1
2
n−1∑
s=0
2s+1
x2s+1 ≤
2n−1∑
k=1
xk
logo se
∑
2s
x2s diverge então
∑
xk diverge.
⇐).
Vamos provar que se
∑
2k
.x2k converge então então
∑
xk converge, de maneira
direta. Usando que
2s+1−1∑
k=2s
xk ≤
2s+1−1∑
k=2s
x2s = 2s
x2s
aplicando
n−1∑
s=0
segue que
2n−1∑
k=1
xk ≤
n−1∑
s=0
2s
x2s
da´ı se
∑
2s
x2s converge então
∑
xk converge .
∞∑
k=3
1
[ln(k)]s
diverge para qualquer valor real de s. Se s ≤ 0 o resultado vale pois temos série com
soma de [ln(k)]−s
que não converge para zero, se s > 0 temos que ln(k + 1) > ln(k) logo
[ln(k + 1)]s
> [ln(k)]s
e da´ı
1
[ln(k)]s
>
1
[ln(k + 1)]s
então a sequência é decrescente de termos positivos e podemos aplica o critério de con-
densa¸cão de Cauchy
∞∑
k=3
2k
[k]s[ln(2)]s
tal série diverge, pois o termo geral não tende a zero.
1.2.5 Séries do tipo
∞∑
k=1
1
kp
e divergência da série harmônica.
∞∑
k=1
1
kp
converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Demonstra¸cão. Pelo critério de condensa¸cão de Cauchy a série
∞∑
k=1
1
kp
converge,
se e somente se,
∞∑
k=1
2k
2kp
=
∞∑
k=1
2k(1−p)
, tal série geométrica converge se 1 − p < 0, isto é,
p > 1 e diverge caso 1 − p ≥ 0 ⇒ p ≤ 1.
Exemplo 10. Estudar a convergência da série
∞∑
k=1
(
√
k + 1 −
√
k)p
.
Primeiro racionalizamos o termo somado
√
k + 1 −
√
k =
(
√
k + 1 −
√
k)(
√
k + 1 +
√
k)
√
k + 1 +
√
k
=
k + 1 − k
√
k + 1 +
√
k
=
1
√
k + 1 +
√
k
,
√
k ≤
√
k + 1 ⇒ 2
√
k ≤
√
k + 1 +
√
k ⇒
1
√
k + 1 +
√
k
≤
1
2
√
k
,
elevando a p segue que
(
1
√
k + 1 +
√
k
)p
≤
1
2pk
p
2
por compara¸cão se
p
2
> 1 ⇔ p > 2, a série converge . De maneira similar
1
2p(k + 1)
p
2
≤ (
1
√
k + 1 +
√
k
)p
,
por compara¸cão diverge caso
p
2
≤ 1.
Exemplo 11 (IME-1964). Estude a convergência das séries.
1.
∞∑
k=1
1
3
√
k
.
2.
∞∑
k=1
1
ek
.
3.
∞∑
k=1
ln(k)
k
.
1. A primeira série diverge pois
∞∑
k=1
1
k
1
3
é uma série do tipo
∞∑
k=1
1
kp
, com p =
1
3
< 1,
que vimos ser divergente.

2. A série
∞∑
k=1
1
ek
, converge por ser série geométrica com 0 <
1
e
< 1.
3. A série
∞∑
k=1
ln(k)
k
diverge pois para k grande vale ln(k) > 1, da´ı
ln(k)
k
>
1
k
, como
∞∑
k=1
1
k
diverge, então por compara¸cão
∞∑
k=1
ln(k)
k
também diverge.
Exemplo 12. Calcular o limite
lim
n→∞
n∑
k=0
1
(n + k)r
para r > 1 real. Escrevemos o somatório como
n∑
k=0
1
(n + k)r
=
2n∑
k=n
1
(k)r
=
2n∑
k=1
1
(k)r
−
n−1∑
k=1
1
(k)r
com r > 1 cada uma das séries lim
n−1∑
k=1
1
(k)r
= s e lim
2n∑
k=1
1
(k)r
= s convergem e para o
mesmo valor, como a diferen¸ca dos limites é o limite da diferen¸ca em sequências conver-
gentes, segue que
lim
n→∞
n∑
k=0
1
(n + k)r
= lim(
2n∑
k=1
1
(k)r
−
n−1∑
k=1
1
(k)r
) = lim
2n∑
k=1
1
(k)r
− lim
n−1∑
k=1
1
(k)r
= s − s = 0.
Propriedade 15. Se ak ≥ 0 ∀k ∈ N e (a′
k) é uma subsequência de (ak) então
∞∑
k=c
ak < ∞ implica que
∞∑
k=c
a′
k < ∞.
Demonstra¸cão. Seja N1 o conjunto dos ´ındices da subsequência (a′
k), definimos
ck = ak se k ∈ N1 e ck = 0 se k /∈ N1 para todo k natural, então temos que ck ≤ ak pois
caso k ∈ N1 temos ck = ak caso k /∈ N1 ck = 0 ≤ ak logo em qualquer caso vale ck ≤ ak,
tomando a soma em ambos lados temos
g(n) =
n∑
k=c
ck ≤
n∑
k=c
ak < ∞
logo a soma dos termos da subsequência g(n) é limitada superiormente e temos também
∆g(n) = cn+1 ≥ 0 pois se cn+1 = 0 vale cn+1 ≥ 0 e se cn+1 = an+1 e por propriedade da

sequência (an) temos an+1 ≥ 0 de onde segue cn+1 = an+1 ≥ 0, então a sequência g(n) é
limitada superiormente e não-decrescente logo convergente e vale
∞∑
k=c
ck < ∞.
Mostramos então que se (an) é uma sequência tal que an ≥ 0 e a série dos seus termos
converge então dada qualquer subsequência de de (a′
n) de (an) então a série dos termos
dessa subsequência também converge.
1.2.6 Divergência da série harmônica.
Exemplo 13 (Série Harmônica). Os números harmônicos são definidos como
Hn =
n∑
k=1
1
k
temos que lim
1
n
= 0 satisfaz a condi¸cão necessária para convergência de séries mas vamos
mostrar que a série
lim Hn =
∞∑
k=1
1
k
= ∞
, isto é, a série diverge.
Suponha que a série harmônica seja convergente, denotando lim Hn = H Sejam N1 o
subconjunto de N dos´ındices pares e N2 o conjunto dos números´ımpares. Se Hn converge
temos que a série sobre suas subsequências também converge, sendo então
n∑
k=1
1
2k − 1
= tn,
∞∑
k=1
1
2k − 1
= t
n∑
k=1
1
2k
= sn,
∞∑
k=1
1
2k
= s =
1
2
∞∑
k=1
1
k
=
H
2
temos H2n = sn + tn tomando o limite lim H2n = H = lim(sn + tn) = s + t , como s =
H
2
segue que t =
H
2
pois a soma deve ser H, desse modo a diferen¸ca t − s = 0, mas
tn − sn =
n∑
k=1
1
2k − 1
−
n∑
k=1
1
2k
=
n∑
k=1
1
(2k)(2k − 1)
=
1
2
+
n∑
k=2
1
(2k)(2k − 1)
> 0
logo
lim tn − sn = t − s > 0
de onde segue t > s que é absurdo. Pode-se mostrar que lim tn − sn = ln(2).

Exemplo 14. Na série harmônica percebemos que
1
3
+
1
4
>
2
4
=
1
2
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
>
4
8
=
1
2
1
9
+
1
10
+
1
11
+
1
12
+
1
13
+
1
14
+
1
15
+
1
16
>
8
16
=
1
2
podemos continuar agrupando os termos das somas dessa maneira, vendo que a soma dos
termos harmônicos não são limitados superiormente.
Usando o critério de condensa¸cão de Cauchy
∞∑
k=1
2k
2k
=
∑
1 diverge.
1.2.7 Divergência de
∞∑
k=1
1
kp
com p < 1.
Corolário 3.
∞∑
k=1
1
kp
diverge se p < 1. Para p < 1 vale kp
< k e da´ı
1
k
<
1
kp
, da´ı por
compara¸cão como
∞∑
k=1
1
k
diverge isso implica que
∞∑
k=1
1
kp
também diverge.
∞∑
k=0
k
√
12
k + 3
diverge, pois vale que
k
√
12
k + 3
>
1
k + 3
, onde a série
da segunda diverge.
∞∑
k=2
1
k(ln(k) + c)r
diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1. c ≥ 0.
Demonstra¸cão.
Usamos o critério de condensa¸cão de Cauchy
∑ 2k
2k(ln(2k) + c)r
=
∑ 1
(k ln(2) + c)r
que diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1 .
Corolário 4. A seguinte série converge
∞∑
k=2
1
[ln(k)]k
.

Como ln(k) > 2 para k suficientemente grande , tem-se [ln(k)]k
> 2k
⇒
1
[ln(k)]k
<
1
2k
,
logo por critério de compara¸cão
∞∑
k=2
1
[ln(k)]k
converge .
∞∑
k=1
1
kHk
Hn =
n∑
k=1
1
k
.
podemos mostrar que Hn ≤ 1 + ln(n) da´ı nHn ≤ n(1 + ln(n))
1
n(ln(n) + 1)
≤
1
nHn
,
logo a primeira diverge por critério de compara¸cão .
∞∑
k=2
1
k ln(k)(ln(ln k))r
diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1.
Aplicamos o método de condensa¸cão de cauchy
∞∑
k=2
2k
2k ln(2k)(ln(ln 2k))r
=
∞∑
k=2
1
k ln(2)(ln(k) + ln((ln 2)))r
que converge se r > 1 e diverge se r ≤ 1.
Exemplo 18. Provar que a série
∑ ln(n)
n2
converge. Pelo critério de condensa¸cão
de Cauchy temos que
∑ 2n
ln(2n
)
2n.2n
=
∑ n ln(2)
2n
tal série converge, logo a primeira também converge.
∞∑
k=1
1
k2
converge, usando o critério de compara¸cão.
Come¸caremos com o somatório
n∑
k=2
1
k(k − 1)
= −
n∑
k=2
1
k
−
1
k − 1
= −
1
k − 1
n+1
2
== −
1
n
+ 1 =
n − 1
n

onde usamos soma telescópica
b∑
k=a
∆f(k)
=f(k+1)−f(k)
= f(b + 1) − f(a) = f(k)
b+1
a
, ∆f(k) =
f(k+1)−f(k) é apenas uma nota¸cão para essa diferen¸ca. Tomando o limite na expressão
acima
lim −
1
n
+ 1 = 1 =
∞∑
k=2
1
k(k − 1)
.
Vamos mostrar com esse resultado que a série
∞∑
k=1
1
k2
converge , temos que para k > 1
1
k(k − 1)
>
1
k2
pois
k2
> k2
− k
k > 0
e k > 1 por análise de sinal , logo aplicando o somatório
∞∑
k=2
1
k(k − 1)
>
∞∑
k=2
1
k2
somando 1 em ambos lados e usando o resultado da série que foi calculada
2 > 1 +
∞∑
k=2
1
k2
=
∞∑
k=1
1
k2
.
Exemplo 20. Exemplo de sequência x(n) que diverge, porém, ∆x(n) converge
para zero. Sabemos que uma condi¸cão necessária mas não suficiente para convergência
de uma série
∞∑
k=1
f(k) e que lim f(k) = 0, porém não é suficiente pois existem séries em
que lim f(k) = 0 e a série diverge, um exemplo desse tipo de série é a série harmônica, se
temos lim f(k) = 0 e a sequências x(n) =
n∑
k=1
f(k) diverge, temos que ∆x(n) = f(n + 1)
cujo limite lim∆x(n) = f(n + 1) = 0 , no caso especial x(n) =
n∑
k=1
1
k
diverge, porém
∆x(n) =
1
n + 1
converge para zero.
Propriedade 17. Seja
g(n) =
n∑
k=a
f(k)
então limf(k) = 0 equivale a lim∆g(n) = 0.

Demonstra¸cão. Temos que ∆g(n) = f(n + 1) logo se limf(k) = 0 temos
lim∆g(n) = 0 e se lim∆g(n) = 0 implica limf(k) = 0 .
∞∑
n=u
an e
∞∑
n=s
bn séries de termos positivos. Se
∞∑
n=s
bn = ∞ e
existe n0 ∈ N tal que
an+1
an
≥
bn+1
bn
para todo n > n0 então
∞∑
n=u
an = ∞.
Demonstra¸cão.
an+1
an
≥
bn+1
bn
, Qak ≥ Qbk tomando o produtório com k variando
de k = n0 + 1 até n − 1 na desigualdade em ambos lados segue
n−1∏
k=n0+1
Qak =
an
an0+1
≥
n−1∏
k=n0+1
Qbk =
bn
bn0+1
, an ≥
an0+1
bn0+1
bn
pois temos termos positivos, tomando a série temos
∞∑
n=n0+1
an ≥
an0
bn0
∞∑
n=n0+1
bn = ∞
logo a série tende ao infinito por compara¸cão.
Exemplo 21. Mostre que a sequência definida por
f(n) =
n∑
k=1
1
k + n
converge para um número em [0, 1]. Primeiro vamos mostrar que a sequência é crescente
f(n + 1) − f(n) =
n+1∑
k=1
1
k + n + 1
−
n∑
k=1
1
k + n
=
1
2(n + 1)
+
n∑
k=1
1
k + n + 1
−
n∑
k=1
1
k + n
=
=
1
2(n + 1)
+
n∑
k=1
(
1
k + n + 1
−
1
k + n
)
=
1
2(n + 1)
+
n∑
k=1
∆
1
k + n
=
=
1
2(n + 1)
+
1
2n + 1
−
1
n + 1
=
1
2n + 1
−
1
2(n + 1)
mas temos
1
2n + 1
−
1
2(n + 1)
> 0 pois
1
2n + 1
>
1
2(n + 1)
, 2n + 2 > 2n + 1, 2 > 1 agora
vamos mostrar que a série é limitada superiormente por 1 temos
1
n
>
1
k + n

k + n > n
pois nosso valor k é maior que zero, tomando o somatório em ambos lados com k em [1, n]
temos
n∑
k=1
1
n
= n
1
n
= 1 >
n∑
k=1
1
k + n
assim a série é limitada superiormente , crescente e limitada inferiormente pelo seu pri-
meiro termo
1∑
k=1
1
k + 1
=
1
2
logo a sequência assume valores no intervalo [0, 1]. O limite dessa sequência é ln(2),
podemos mostrar isso transformando o limite numa integral2
podemos usar também a
fun¸cão digamma
∆ψ(k + n) =
1
k + n
n∑
k=1
∆ψ(k + n) = ψ(2n + 1) − ψ(n + 1) =
n∑
k=1
1
k + n
= H2n − Hn =
2n∑
k=1
(−1)k+1
k
tendo limite3
ln(2).
Exemplo 22. Mostre que a série
∞∑
k=0
1
kk
é convergente.
Para k > 2 vale kk
> k2
da´ı
1
kk
<
1
k2
, da convergência de
∑ 1
k2
segue a convergência
de
∞∑
k=0
1
kk
.
∞∑
k=0
1
kln(k)
é convergente pois para k grande temos ln(k) > 2
da´ı segue
1
kln(k)
<
1
k2
.
1.2.8 Séries de fun¸cões racionais
Vamos estudar convergência de séries do tipo
∑ p(x)
g(x)
onde p(x) e g(x) ̸= 0 são
polinômios.
2
Resolvido no texto séries 2
3
Resolvido em fun¸cões especiais

Propriedade 19. Sejam polinômios
p
∑
k=0
akxk
,
p+1
∑
k=0
bkxk
e c >
bp+1
ap
com c > 0, então
existe x0 ∈ R tal que x > x0 implica
1
cx
<
p∑
k=0
akxk
p+1∑
k=0
bkxk
∞∑
n=1
n∏
s=1
(p + s)
(q + s)
com p, q reais em [0, ∞)
Para q ≤ p temos q + s ≤ p + s ⇒ 1 ≤
p + s
q + s
logo 1 ≤
n∏
s=1
(p + s)
(q + s)
= an portanto an
não converge para zero e a série não pode convergir .
Suponha agora p < q, existe t real tal que p + t = q o termo an se escreve como
n∏
s=1
(p + s)
(p + t + s)
.
Vamos analisar os casos de t ≤ 1 e 2 ≤ t, no primeiro
p + t + s ≤ p + s + 1 ⇒
p + s
p + s + 1
≤
p + s
p + t + s
aplicando
n∏
s=1
na desigualdade acima temos um produto telescópico
n∏
s=1
p + s
p + s + 1
=
p + 1
p + n + 1
≤
n∏
s=1
p + s
p + t + s
por compara¸cão com série harmônica a soma de an diverge nesse caso . Sendo agora
2 ≤ t
2 ≤ t ⇒ p + s + 2 ≤ p + s + t ⇒
p + s
p + s + t
≤
p + s
p + s + 2
aplicando
n∏
s=1
, novamente temos um produto telescópico
n∏
s=1
p + s
p + s + t
≤
n∏
s=1
p + s
p + s + 2
=
2∏
s=1
p + s
p + s + n
=
(p + 1)(p + 2)
(p + 1 + n)(p + 2 + n)
logo por critério de compara¸cão a soma de an converge .

1.2.9 Critério de Cauchy para séries
Propriedade 20 (Critério de Cauchy para séries). Tem-se que uma sequência é
convergente em R ⇔ ela é de Cauchy, logo se definimos s(n) =
n∑
k=a
ak temos que a série
é convergente ⇔ para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 e para todo p ∈ N vale
|s(n + p) − s(n)| < ε temos que
s(n + p) − s(n) =
n+p
∑
k=a
ak −
n∑
k=a
ak =
n+p
∑
k=n+1
ak +
n∑
k=a
ak −
n∑
k=a
ak =
=
n+p
∑
k=n+1
ak
logo temos que ter
|
n+p
∑
k=n+1
ak| < ε
Propriedade 21. Se f(k) ≥ 0 para k ∈ [a, ∞)Z, a ∈ Z então a série
∞∑
k=a
f(k) é
convergente ou diverge para +∞.
Demonstra¸cão. Definindo g(n) =
n∑
k=a
f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≥ 0 logo
g(n) é uma sequência não decrescente, se g(n) for limitada então g(n) converge implicando
que a série converge, se g(n) não for limitada, por ser não decrescente ela diverge para
+∞, implicando que a série diverge para +∞.
Da mesma maneira tem-se
Propriedade 22. Se4
f(k) ≤ 0 para k ∈ [a, ∞)Z, a ∈ Z então a série
∞∑
k=a
f(k) é
convergente ou diverge para −∞.
Demonstra¸cão. Definindo g(n) =
n∑
k=a
f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≤ 0 logo
g(n) é uma sequência não crescente, se g(n) for limitada então g(n) converge implicando
que a série converge, se g(n) não for limitada, por ser não crescente ela diverge para −∞,
implicando que a série diverge para −∞.
4
A demonstra¸cão é a mesma que da propriedade anterior, apenas mudando ≥ por ≤, +∞ por −∞ e
não decrescente por não crescente

Propriedade 23.
∞∑
k=a
b converge ⇔ b = 0.
Demonstra¸cão. Seja g(n) =
n∑
k=a
b, Se b = 0 temos g(n) =
n∑
k=a
0 = 0 assim temos
que série é o limite da sequência constante 0, lim g(n) = 0 =
∞∑
k=a
0. Se
∞∑
k=a
b converge, pela
condi¸cão necessária para convergência temos que ter lim b = 0, como b é constante, por
propriedade de limites tem-se lim b = b lim 1 = b = 0 logo b tem que ser zero para que a
série seja convergente
∞∑
k=a
0 = 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 0.
Se b ̸= 0 então a série diverge para +∞ ou −∞ pois ∆g(n) = b, se b > 0 tem-se que a série é
crescente e divergente logo seu limite é +∞ se b < 0 segue que ∆g(n) < 0 logo decrescente
e divergente assim seu limite é −∞. As reduzidas são dadas por
n∑
k=a
b = b(n + 1 − a), se
b < 0 ∞∑
k=a
b = b + b + b + b + · · · = −∞
se b > 0 ∞∑
k=a
b = b + b + b + b + · · · = +∞.
Propriedade 24 (A série harmônica diverge para +∞.). Seja 2n ≥ k (n, k naturais
maiores que zero), então
1
k
≥
1
2n
tomando a soma em [n + 1, 2n]
2n∑
k=n+1
1
k
≥
2n∑
k=n+1
1
2n
=
n
2n
=
1
2
assim o critério de Cauchy, não é válido para série harmônica, pois tomando ε =
1
2
e
p = n não temos
|
2n∑
k=n+1
1
k
| <
1
2

para n suficientemente grande, pois vale para qualquer n
2n∑
k=n+1
1
k
≥
1
2
sendo g(n) =
n∑
k=1
1
k
temos ∆g(n) =
1
n + 1
> 0 logo a série é crescente. Sendo crescente e
divergente então ela tem limite +∞. Com a série harmônica temos um exemplo de série
cujo termo somado tem limite 0 porém a série diverge lim
1
n
= 0.
1.3 Séries absolutamente convergentes
Defini¸cão 3 (Séries absolutamente convergentes). Uma série
∞∑
k=a
ak é dita absoluta-
mente convergente se
∞∑
k=a
|ak| é convergente.
Defini¸cão 4 (Série condicionalmente convergente). Uma série
∞∑
k=a
ak é condicional-
mente convergente se
∞∑
k=a
ak converge porém
∞∑
k=a
|ak| diverge.
1.3.1 Toda série absolutamente convergente é convergente
⋆ Teorema 1 (Toda série absolutamente convergente é convergente). Se s(n) =
n∑
k=b
|ak|
converge então
n∑
k=b
ak converge.
Demonstra¸cão. Se
n∑
k=b
|ak| converge, podemos usar o critério de Cauchy, que
garante que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N, tal que para n > n0 e p ∈ N vale
|
n+p
∑
k=n+1
|ak| | =
n+p
∑
k=n+1
|ak| < ε
mas vale a desigualdade
|
n+p
∑
k=n+1
ak| ≤
n+p
∑
k=n+1
|ak| < ε
logo
n∑
k=b
ak é uma sequência de Cauchy, portanto converge.

Demonstra¸cão.[2] Temos5
que ak ≤ |ak| e também −ak ≤ |ak| logo dessa última
0 ≤ ak +|ak| que por sua vez é menor que 2|ak|, como 2
∞∑
k=0
|ak| converge então
∞∑
k=0
ak +|ak|
também converge por compara¸cão, da´ı
∞∑
k=0
ak + |ak| −
∞∑
k=0
|ak| =
∞∑
k=0
ak
converge por ser soma de séries convergentes.
Daremos uma outra demonstra¸cão dessa propriedade usando o conceito de parte po-
sitiva e negativa de uma série.
1.3.2 Parte negativa e positiva de uma série
Defini¸cão 5 (Parte negativa e positiva de uma série). Seja
∑
ak uma série, para
cada k definimos a parte positiva pk da seguinte maneira
pk =



ak se ak ≥ 0
0 se ak < 0
Definimos a parte negativa qk como
qk =



−ak se ak ≤ 0
0 se ak > 0
Propriedade 25. Valem
1. an = pn − qn
2. |an| = pn + qn.
Demonstra¸cão.
1. Se an ≥ 0 então qn = 0, an = pn, se an < 0 então pn = 0 e an = −qn.
2. Se an ≥ 0 então |an| = an = pn pois qn = 0. Se an < 0 então |an| = −an = qn pois
pn = 0.
5
Solu¸cão de Diogenes Mota

Corolário 5. Vale que pn ≤ |an| e qn ≤ |an|, pois segue da rela¸cão |an| = pn + qn e do
fato de ambos serem não negativos.
Corolário 6. Se
∑
|an| é convergente então
∑
an é convergente. Vale que pn ≤
|an| e qn ≤ |an|, da´ı
∑
pn e
∑
qn são convergentes por critério de compara¸cão, da´ı
∑
(pn − qn) =
∑
pn −
∑
qn é convergente logo
∑
an é convergente.
Propriedade 26. Se uma série
∑
an é condicionalmente convergente então
∑
pn =
∞ =
∑
qn.
Demonstra¸cão. Vale que
n∑
k=b
ak =
n∑
k=b
pk −
n∑
k=b
qk se
∑
pn fosse convergente,
então
∑
qn também o seria, logo
∑
|an| =
∑
pn +
∑
qn seria convergente o que
contradiz a hipótese.
Corolário 7. Seja
∞∑
k=b
ak uma série absolutamente convergente então
∞∑
k=b
ak(−1)yk
é
convergente onde (yk) é uma sequência qualquer de números naturais. A propriedade vale
pois
∞∑
k=b
|ak(−1)yk
| =
∞∑
k=b
|ak| então
∞∑
k=b
ak(−1)yk
é absolutamente convergente portanto
convergente.
Esse resultado diz que se tomamos uma série absolutamente convergente e trocamos
os sinais dos termos da série de maneira arbitrária então ainda assim a série continua
sendo convergente.
Exemplo 25. Analisar a convergência da série
∞∑
k=1
senka
kr
onde r > 1, real. Vale sempre |senka| ≤ 1, da´ı
|senka|
kr
≤
1
kr
por compara¸cão temos
∞∑
k=1
|senka|
kr
≤
∞∑
k=1
1
kr
a série da direita converge, logo a série
∞∑
k=1
senka
kr
é absolutamente convergente, e conver-
gente. O mesmo argumento pode ser feito para mostrar que
∞∑
k=1
coska
kr

é absolutamente convergente.
Corolário 8. Seja
∞∑
k=d
bk uma série convergente, com bk ≥ 0 para todo k ∈ Z. Se
existem c > 0 e n0 ∈ N tais que |ak| ≤ c.bk para todo k > n0, então a série
∞∑
k=d
ak
é absolutamente convergente. Tal propriedade vale pois podemos aplicar o critério de
compara¸cão de séries para concluir que
∞∑
k=d
|ak| converge, logo
∞∑
k=d
ak será absolutamente
convergente.
Corolário 9. Se para todo k > n0, tem-se |ak| ≤ c.bk
onde 0 < b < 1 e c > 0, então a
série
∞∑
k=d
ak é absolutamente convergente. Pois a série
∞∑
k=d
bk
é convergente pela condi¸cão
0 < b < 1.
Propriedade 27. Sejam an ≥ 0 e
∑
an convergente, então
∑
anxn
é absolutamente
convergente ∀ x ∈ [−1, 1].
Demonstra¸cão. Com x ∈ [−1, 1] vale |x| ≤ 1 da´ı
∑
|anxn
| =
∑
an|x|n
≤
∑
an
logo
∑
anxn
é absolutamente convergente.
Propriedade 28. Se
∑
an é convergente com an ≥ 0 e x ∈ R arbitrário então
∑
ansen(nx) e
∑
ancos(nx) são absolutamente convergentes.
Demonstra¸cão. Vale que
∑
|ansen(nx)| =
∑
an|sen(nx)| ≤
∑
an
∑
|ancos(nx)| =
∑
an|cos(nx)| ≤
∑
an
logo ambas séries convergem absolutamente.
Propriedade 29. Se
∑
ak é absolutamente convergente e lim bn = 0 então cn =
n∑
k=1
akbn−k → 0.

Demonstra¸cão. Existe B > 0 tal que |bn| < B, ∀ n ∈ N. Vale
∞∑
k=1
|ak| = A.
Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |bn| <
ε
2A
e por
n∑
k=1
|ak| ser de cauchy
vale |
n∑
k=n0+1
ak| <
ε
2B
então para n > 2n0 (n − n0 > n0) segue que
|
n∑
k=1
akbn−k| ≤
n∑
k=1
|ak||bn−k| =
n0∑
k=1
|ak||bn−k| +
n∑
k=n0+1
|ak||bn−k| ≤
≤
n0∑
k=1
|ak|
ε
2A
+
n∑
k=n0+1
|ak|B ≤
Aε
2A
+
εB
2B
≤
ε
2
+
ε
2
= ε
isso implica que lim cn = 0.
Propriedade 30. Seja
∑
an uma série qualquer, denotamos
S = {
∑
k∈A
ak, tal que A é qualquer conjunto finito de ´ındices de (ak)}.
∑
ak é absolutamente convergente ⇔ S é limitado.
Demonstra¸cão. ⇒ Se
∑
ak é absolutamente convergente então a soma dos
termos positivos é no máximo p =
∑
pk e a soma dos termos negativos é no máximo
−q = −
∑
qk, logo S é um conjunto limitado, pois qualquer outra combina¸cão de soma
de termos positivos e negativos do conjunto deve estar entre esses dois valores. ⇐. Se
S é limitado então
∑
pn e
∑
qn são limitados e por isso convergentes pois determinam
sequências não-decrescentes limitadas superiormente, da´ı segue que
∑
|an| =
∑
pn +
∑
qn é convergente.
1.3.3 Teste da raiz-Cauchy
Propriedade 31 (Teste da raiz). Se existe b tal que k
√
|ak| ≤ b < 1 para todo k > n0
então
∞∑
k=d
ak é absolutamente convergente. Se lim sup k
√
|ak| = b < 1 temos essa condi¸cão,
pois o lim sup é o maior dos valores de aderência da sequência, se houvesse uma infinidade
de valores da raiz em que k
√
|ak| > b ter´ıamos o lim sup maior que b, então temos apenas
um número finito de ´ındices em que a condi¸cão colocada não vale.

Demonstra¸cão. Temos |ak| ≤ bk
para k > n0, logo por critério de compara¸cão
segue o resultado, pois ≤ b < 1 então a série
∑
bk
converge e da´ı também
∑
|ak| por
critério de compara¸cão .
Corolário 10 (Teste da Raiz de Cauchy). Se lim n
√
|an| < 1 então
∞∑
k=d
ak é absolu-
tamente convergente. Pois se lim n
√
|an| < 1 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica
n
√
|an| < 1.
Se lim n
√
|an| > 1 então a série
∑
ak diverge, pois existe n0 ∈ N tal que para k > n0
tem-se 1 < t < a − ε < k
√
|ak| < a + ε logo tn
< |ak| o que implica que lim ak ̸= 0 então a
série
∑
ak diverge .
Se lim n
√
|an| = 1 então o teste é inconclusivo. Por exemplo
∑ 1
k2
converge e
∑ 1
k
diverge .
Propriedade 32. Se |an|
1
n > 1 para uma infinidade de indices n então lim an ̸= 0 e
a série
∑
an diverge. A mesma observa¸cão vale se usamos o conceito de lim sup, isto é,
se lim sup |an|
1
n = α > 1.
Demonstra¸cão. Se lim an = 0 então existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se
|an| <
1
2
, se |an|
1
n ≥ 1 para uma infinidade de indices n, então existe um ´ındice n1 > n0
tal que |an1 |
1
n1 ≥ 1 logo |an1 | ≥ 1 o que entra em contradi¸cão com a suposi¸cão de que
lim an = 0 então tal propriedade não vale, de onde segue que a série
∑
an diverge, pois
se ela fosse convergente então ter´ıamos lim an = 0.
∞∑
k=d
kp
ak
converge quando |a| < 1 e diverge quando |a| ≥ 1, onde p ≥ 0 .
Demonstra¸cão. Aplicamos o teste da raiz lim n
√
|npan| = |a|(lim n
√
n)p
= |a|
quando |a| < 1 ela então converge, se |a| ≥ 1 tem-se que o limite lim np
an
̸= 0 então a
série diverge.
Corolário 11. Seja g(k) um polinômio e |a| < 1, então
∞∑
k=d
g(k)ak

converge absolutamente.
∞∑
k=1
ak
ln k converge absolutamente quando |a| < 1 pois
|a|k
ln k ≤ |a|k
k
por compara¸cão a série converge.
∞∑
n=2
1
(ln n)n
converge pois lim n
√
1
(ln n)n
= lim
1
ln n
= 0 < 1,
logo a série converge.
Exemplo 28. Estude a convergência da série
∞∑
k=1
(
k
k + 1
)k2
.
Aplicamos o teste da raiz
((
k
k + 1
)k2 )1
k
=
(
k
k + 1
)k
=
1
(1 + 1
k
)k
→
1
e
< 1
pois e > 1 logo a série converge .
1.3.4 Teste da razão-D’ Alembert
⋆ Teorema 2 (Teste da razão). Sejam
∞∑
k=d
ak uma série de termos não-nulos e
∞∑
k=d
bk
uma série convergente com bk > 0 para todo k natural. Se existe n0 ∈ N tal que
|ak+1|
|ak|
≤
bk+1
bk
para todo k ≥ n0 então
∞∑
k=d
ak é absolutamente convergente. O mesmo resulta se consi-
deramos o conceito de lim sup, assim como fizemos no teste da raiz.
Demonstra¸cão. Podemos escrever a desigualdade como
Q|ak| ≤ Qbk,

onde Qbk =
bk+1
bk
, aplicando o produtório em ambos lados com k ≥ n0 até n−1 tem-se
por produto telescópico
n−1∏
k=n0
Q|ak| =
|an|
|an0 |
≤
n−1∏
k=n0
Qbk =
bn
bn0
logo vale
|an| ≤ c.bn
onde c =
|an0 |
bn0
> 0. Então por critério de compara¸cão
∞∑
k=d
ak é absolutamente convergente.
Corolário 12. Se existe uma constante c tal que 0 < c < 1 tomamos bk = ck
e temos
a série
∞∑
k=d
ck
convergente e ainda
ck+1
ck
= c. Se vale
|ak+1|
|ak|
≤ c para todo k ≥ n0 então
∞∑
k=d
ak é absolutamente convergente pela propriedade anterior.
Corolário 13 (Teste da razão de D’Alembert). Se lim
|an+1|
|an|
< 1 então a série
∞∑
k=d
ak
é absolutamente convergente. Pois se vale lim
|an+1|
|an|
< 1 existe n0 tal que para n > n0
tem-se
|an+1|
|an|
< 1.
Se lim
|an+1|
|an|
> 1 então a série diverge, pois para k > n0 tem-se
1 < t < a + ε <
|ak+1|
|ak|
aplicando
n∏
n0+1
tem-se
tn−n0
|xn0+1| < |xn+1|
logo (xn) não converge para zero, logo a série
∑
xk diverge.
Caso lim
|xn+1|
|xn|
= 1 então o teste é inconclusivo. Nesse caso a série pode divergir,
como em
∑
1, pode convergir como
∑ 1
k2
.
Propriedade 34. Se an ̸= 0∀ n ∈ N e existe n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 tem-se
|an+1|
|an|
≥ 1 então
∑
an diverge.

Demonstra¸cão. Para k > n0 vale
|ak+1|
|ak|
≥ 1 da´ı aplicando
n∏
k=n0
de ambos lados,
segue por produto telescópico que
|an+1|
an0
≥ 1 ⇒ |an+1| ≥ |an0 | > 0
logo não vale que lim an = 0, portanto a série
∑
an diverge.
Propriedade 35. Para qualquer sequência (cn), cn > 0, vale que
lim sup(cn)
1
n ≤ lim sup
cn+1
cn
.
Demonstra¸cão. Seja α = lim sup
cn+1
cn
, finito, tomamos b > α qualquer, existe
n0 suficientemente grande tal que
ck+1
ck
≤ b para k ≥ n0 tomamos o produto
n0+p−1
∏
k=n0
em ambos lados pro produto telescópico (os termos se anulam no primeiro termo do
produtório) temos
cn0 + p
n
≤ bp
cn0
cn ≤ cn0 b−n0
bn
da´ı tomando a raiz n-ésima
n
√
cn ≤ n
√
cn0 b−n0
→1
b
logo
lim sup n
√
cn ≤ b
vale para qualquer b > α logo
lim sup n
√
cn ≤ α.
Corolário 14. Se o teste da razão implica convergência então o critério da raiz também
lim sup(cn)
1
n ≤ lim sup
cn+1
cn
< 1
se o critério da raiz implica divergência então o critério da razão também
1 < lim sup(cn)
1
n ≤ lim sup
cn+1
cn
.

∞∑
k=1
ak = a + b + a2
+ b2
+ a3
+ b3
+ a4
+ b4
+ · · · definida
como a2k = bk
e a2k−1 = ak
onde 0 < a < b < 1 converge. O teste de d’Alembert é
inconclusivo pois ∀ k
a2k
a2k−1
= (
b
a
)k
> 1 pois de a < b segue 1 <
b
a
. O teste de Cauchy
funciona pois para ´ındices pares
2n
√
bn =
√
b < 1 e para ´ındices ´ımpares 2n−1
√
an < 1, logo
vale para todo n, n
√
|an| < 1 e o teste de Cauchy implica que
∑
an converge. No caso do
teste de d’Alembert, caso fosse a = b seguiria que
a2k
a2k−1
= (
b
a
)k
= 1, porém a série séria
convergente pois
2n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
a2k +
n∑
k=1
a2k−1 =
n∑
k=1
ak
+
n∑
k=1
bk
sendo que a sequência das reduzidas é convergente logo a série é convergente, em especial
esse argumento vale para a = b =
1
2
.
∞∑
k=0
xk
k!
converge absolutamente para qualquer x ∈ R dado.
Demonstra¸cão. Se x = 0 a série trunca , se não pelo teste da razão tomamos
xn =
xn
n!
e da´ı
xn+1
xn
=
xn+1
(n + 1)!
n!
xn
=
x
n + 1
cujo limite é 0, logo a série converge absolutamente pelo critério da razão.
Corolário 15. No texto de sequências tomamos limites da razão de algumas sequências
que nos permitem concluir que
∞∑
n=0
an
.n!np
nn
converge se 0 < a < e, no caso especial de p = 0 e a = 1 tem-se que
∞∑
n=0
n!
nn
converge, também converge
∞∑
n=0
np
an
n!
e se a > 1
∞∑
n=0
np
an
.

Corolário 16. Por compara¸cão com
∞∑
n=0
n!
nn
conclu´ımos que
∞∑
n=0
1
nn
converge.
Propriedade 37. A sequência de termo (
ln(n + 1)
(n + 1)
)n
é limitada.
Demonstra¸cão.
Para n ≥ 3 vale (
n + 1
n
)n
< n da´ı (n + 1)n
< nn+1
tomando o logaritmo n ln(n + 1) <
(n + 1) ln(n) logo
ln(n + 1)
ln(n)
<
n + 1
n
elevando à n segue que (
ln(n + 1)
(n + 1)
)n
< (
n + 1
n
)n
,
sendo menor que uma sequência limitada segue que ela é limitada.
Exemplo 30. Mostrar que
∑
(
ln(n)
n
)n
é convergente.
Pelo critério de D’Alembert, temos
(
ln(n + 1)
(n + 1)
)n+1
(
(n)
ln(n)
)n
=
ln(n + 1)
n + 1
(
ln(n + 1)
(n + 1)
)n
(
n
n + 1
)n
o primeiro limite tende a zero, a segunda expressão é limitada e o terceiro limite converge,
então tal expressão tende a zero.
Pelo critério de Cauchy,
n
√
(
ln(n)
n
)n =
ln(n)
n
→ 0 logo a série converge.
Exemplo 31. Estudamos os valores x reais com os quais as séries a seguir convergem.
1.
∑
nk
xn
. n
√
nk|x|n =
n
√
nk|x| → |x| então a série converge com |x| < 1, ela não
converge se x = 1 ou x = −1 pois nesses casos o limite do termo somado não tende
a zero.
2.
∑
nn
xn
. n
√
nn|x|n = n|x| → ∞ se x ̸= 0 ela só converge para x = 0.
3.
∑ xn
nn
.
n
√
|x|n
nn
=
|x|
n
→ 0, logo ela converge independente do valor de x.
4.
∑
n!xn
. n
√
n!|x|n =
n
√
n!|x| → 0, logo ela só converge com x = 0.
5.
∑ xn
n2
.
n
√
|x|n
n2
→ |x|, então é garantida a convergência com |x| < 1 , com x = 1
ela converge e com x = −1 também, pois é absolutamente convergente.

1.3.5 Critério de Dirichlet
Propriedade 38 (Critério de Dirichlet). Sejam s(n) =
n∑
k=1
ak uma sequência limitada,
(bn) uma sequência decrescente de números positivos com lim bn = 0, então a série
∞∑
k=1
akbk
é convergente.
Demonstra¸cão.
Estamos denotando
X ∆f(k) = f(k + 1) − f(k),
X g(k)
]n+1
1
= g(n + 1) − g(1)
X s(0) =
0∑
k=1
ak = 0 chamado de soma vazia.
Usaremos a identidade chamada de soma por partes (de simples demonstra¸cão)
n∑
k=1
f(k)∆g(k) = f(k)g(k)
]n+1
1
−
n∑
k=1
g(k + 1)∆f(k).
Temos que s(0) =
0∑
k=1
ak = 0 por ser soma vazia e s(n − 1) =
n−1∑
k=1
ak logo
∆s(n − 1) = s(n) − s(n − 1) =
n∑
k=1
ak −
n−1∑
k=1
ak = an
isto é, ∆Sk−1 = ak, vamos usar a regra de soma por partes
n∑
k=1
f(k)∆g(k) = f(k)g(k)
n+1
1
−
n∑
k=1
g(k + 1)∆f(k)
tomando g(k) = sk−1 e f(k) = bk segue
n∑
k=1
bk∆sk−1 =
n∑
k=1
bkak = bksk−1
n+1
1
−
n∑
k=1
sk∆bk = bn+1sn − b1s0
=0
−
n∑
k=1
sk∆bk =

= bn+1sn −
n∑
k=1
sk∆bk = bn+1sn +
n∑
k=1
sk(−∆bk).
Perceba que lim bn+1sn = 0 pois sn é limitada e lim bn = 0. Como bk é decrescente vale
∆bk = bk+1 − bk ≤ 0 ⇒ −∆bk ≥ 0 e a série
∞∑
k=1
sk(−∆bk) é absolutamente convergente
pois, como sk é limitada vale |sk| ≤ c > 0 e
n∑
k=1
|sk||(−∆bk)| =
n∑
k=1
|sk|(−∆bk) ≤
n∑
k=1
c(−∆bk) = −c(bn+1 − b1)
logo por compara¸cão
n∑
k=1
sk(−∆bk) é absolutamente convergente, implicando que a série
∞∑
k=1
akbk é convergente.
Corolário 17. Sejam s(n) =
n∑
k=1
ak uma sequência limitada, (bn) uma sequência
crescente de números negativos com lim bn = 0, então a série
∞∑
k=1
akbk
é convergente.
Pois tomando
∞∑
k=1
ak(−bk),
(−bk) é uma sequência de números positivos e como vale bk+1 ≥ bk então −bk ≥ −bk+1
e (−bk) é decrescente e converge para zero, então podemos aplicar o critério de Dirichlet
para concluir que −s =
∞∑
k=1
ak(−bk) logo também converge s =
∞∑
k=1
akbk.
Exemplo 32. Dado x fixo, as séries
∞∑
k=1
senxk
k
e
∞∑
k=1
coskx
k
convergem.
Pois
n∑
k=1
sen(xk) =
−cos(xn + x
2
) + cos(x
2
)
2sen(x
2
)
,
n∑
k=1
cos(xk) =
sen(xn + x
2
) − sen(x
2
)
2sen(x
2
)

são limitadas e xk =
1
k
é decrescente, pois ∆xk =
−1
k(k + 1)
< 0 com lim xn = 0.
Propriedade 39. Sejam u0 > 0 , (an) positiva
un+1 = un +
an
un
.
un é convergente ⇔
∑
an é convergente.
Demonstra¸cão.
Primeiro observamos que (un) é positiva pois un+1 = un +
an
un
, por indu¸cão, segue pois
u0 > 0 e an > 0
⇒).
Usamos o critério de Dirichlet. De un+1 = un +
an
un
temos
∞∑
k=0
ak =
∞∑
k=0
uk∆uk
queremos mostrar que a última converge. Suponha que c = lim un então zn = c − un é
sequência positiva decrescente e lim ∆un = 0 então a série
∞∑
k=0
(c − uk)∆uk = lim
n∑
k=0
c∆uk
converge
−
n∑
k=0
uk∆uk
converge, pois
n−1∑
k=0
∆uk = un − u0 é limitado (pois converge), logo aplicamos o critério de
Dirichlet. Portanto
∞∑
k=0
uk∆uk =
∞∑
k=0
ak converge.
⇐). (Solu¸cão de Alexandre Cezar) Suponha que
∞∑
k=0
ak converge, vamos mostrar que
(un) converge, já sabemos que tal sequência é crescente, vamos mostrar que é limitada.
Suponha que não seja limitada, então existe n0 > 0 tal que un > 1 para n ≥ n0
un − u0 =
n−1∑
k=n0
∆uk =
n−1∑
k=n0
ak
uk
≤
n−1∑
k=n0
ak <
∞∑
k=n0
ak
o que é absurdo pois un seria ilimitada e limitada.
Propriedade 40 (Critério de Abel). Se
∞∑
k=1
ak é convergente e (bn) é uma sequência
decrescente de números positivos então a série
∞∑
k=1

Demonstra¸cão.
A sequência (bn) é limitada inferiormente por zero, sendo decrescente ela converge,
seja então c seu limite, lim bn = c, lim bn − c = 0. (bn − c) é uma sequência decrescente
com limite 0, temos então que a série
∞∑
ak(bk − c) é convergente e vale
n∑
k=1
ak(bk − c) =
n∑
k=1
akbk − c
n∑
k=1
ak ⇒
n∑
k=1
ak(bk − c) + c
n∑
k=1
ak =
n∑
k=1
akbk
pela última identidade vemos que
∞∑
k=1
1.3.6 Critério de Leibniz
Propriedade 41 (Critério de Leibniz). Se (bn) é uma sequência decrescente com
lim bn = 0 então a série
∞∑
k=1
(−1)k
bk é convergente.
Demonstra¸cão.[1] Se (bn) é uma sequência decrescente com lim bn = 0 então (bn)
não o admite termo negativo, pois caso bn0 < 0 então para n > n0 tem-se bn ≤ bn0 < 0
e o limite da sequência não poderia ser zero. Se existe n0 tal que bn0 = 0 então para
todos n > n0 tem que valer bn = 0, pois ela não admite termo negativo, então não pode
decrescer ainda mais, nesse caso a soma será uma soma finita, então resta apenas o caso de
bn > 0 para todo n, nesse caso temos uma sequência decrescente de termos positivos com
limite zero e
n∑
k=1
(−1)k
é limitada, então pelo critério de Dirichlet a série é convergente.
Demonstra¸cão.[2] Seja sn =
n∑
k=1
(−1)k+1
bk então
s2n+2 =
2n+2∑
k=1
(−1)k+1
bk =
2n∑
k=1
(−1)k+1
bk − b2n+2 + b2n+1 = s2n + b2n+1 − b2n+2
como (bn) é não-crescente tem-se que b2n+1 − b2n+2 ≥ 0, da´ı s2n+2 − s2n ≥ 0, implicando
que (s2n) é não-decrescente. Da mesma maneira
s2n+1 =
2n+1∑
k=1
(−1)k+1
bk =
2n−1∑
k=1
(−1)k+1
bk + b2n+1 − b2n = s2n−1 + b2n+1 − b2n,

dessa vez como (bn) é não-crescente, segue que b2n+1 − b2n ≤ 0 logo s2n+1 − s2n−1 ≤ 0 e a
sequência (s2n−1) é não-crescente.
Ambas sequências são limitadas pois
s2n =
2n∑
k=1
(−1)k+1
bk =
2n−1∑
k=1
(−1)k+1
bk − b2n = s2n−1 − b2n
logo s2n−1 − s2n = bn ≥ 0 ⇒ s2n−1 ≥ s2n,
s1 ≥ s2n−1 ≥ s2n ≥ s2,
as reduzidas de ordem par e ´ımpar são monótonas e limitadas logo convergentes lim s2n =
L1, lim s2n−1 = L2, pela identidade s2n−1 − s2n = bn e lim bn = 0 segue na passagem de
limite que
lim s2n−1 − s2n = lim bn = 0 = L2 − L1
logo L1 = L2 e a série é convergente.
Propriedade 42. Seja (xn) uma sequência não-crescente com lim xn = 0 então a
série obtida somando p termos com sinais positivos da sequência (xn) alternando com p
termos negativos alternadamente é convergente.
Demonstra¸cão. A série pode ser escrita como
∞∑
t=1
(−1)t+1
p
∑
k=1
xk+(t−1)p
=yt
=
∞∑
t=1
(−1)t+1
yt
Vamos mostrar que essa série satisfaz os critério de Leibniz. Como lim xn = 0 então o
limite de qualquer subsequência de (xn) também tende a zero, logo lim
t→∞
xk+(t−1)p = 0
, para todo k fixo, tem-se lim yt = lim
p
∑
k=1
xk+(t−1)p = 0. Agora vamos mostrar que a
sequência (yt) é não-crescente, como (xn) é não-crescente temos que xk+tp ≤ xk+(t−1)p
para todo k, aplicando
p
∑
k=1
tem-se
yt+1 =
p
∑
k=1
xk+tp ≤
p
∑
k=1
xk+(t−1)p = yt
da´ı yt é não-crescente, logo vale o critério de Leibniz, implicando que
∞∑
t=1
(−1)t+1
p
∑
k=1
xk+(t−1)p
é convergente.

Exemplo 33. A série obtida somando p termos com sinais positivos da sequência
(xn) = (
1
n
) alternando com p termos negativos alternadamente é convergente, pois lim xn =
0 e xn é decrescente.
∞∑
k=1
(−1)k
(k2
+ 1)
k3 + 1
converge condicionalmente.
Tomando ak =
k2
+ 1
k3 + 1
mostramos que
ak > ak+1,
k2
+ 1
k3 + 1
>
k2
+ 2k + 2
k3 + 3k2 + 3k + 2
k5
+ 3k4
+ 4k3
+ 5k2
+ 3k + 2 > k5
+ 2k4
+ 2k3
+ k2
+ 2k + 2, k4
+ 2k3
+ 4k2
+ k > 0
e temos lim
(k2
+ 1)
k3 + 1
= 0 logo a série
∞∑
k=1
(−1)k
(k2
+ 1)
k3 + 1
converge pelo critério de Leibniz.
Vamos mostrar agora que
∞∑
k=1
(k2
+ 1)
k3 + 1
diverge,
(k2
+ 1)
k3 + 1
≥
1
k
, k3
+ k > k3
+ 1, k ≥ 1
logo temos
∞∑
k=1
(k2
+ 1)
k3 + 1
>
∞∑
k=1
1
k
logo a série diverge por compara¸cão.
∞∑
k=1
(−1)k
√
k
converge por critério de Leibniz, pois lim
1
√
n
= 0
e como
√
n + 1 >
√
n segue que
1
√
n
>
1
√
n + 1
e da´ı
1
√
n
−
1
√
n + 1
> 0 a sequência
é decrescente, podemos aplica o critério de Leibniz. Observe também que a série dada
pelo quadrado do termo geral diverge pois o termo geral é
(−1)2n
√
n
2 =
1
n
termo da série
harmônica que diverge.
Propriedade 43. Se
∞∑
k=0
xk e
∞∑
k=0
yk convergem e (xk), (yk) são sequências de termos
não negativos, então
∞∑
k=0
xk.yk converge.

Demonstra¸cão. Sendo f(n) =
n∑
k=0
xk.yk, vale ∆f(n) = xn+1.yn+1 ≥ 0, logo a
sequência das somas parciais é crescente. Vale ainda que a sequência é limitada superior-
mente pois
n∑
k=0
xk.yk ≤ (
n∑
k=0
xk)(
n∑
k=0
yk).
∞∑ (−1)k
k + 1
converge , pelo critério de Leibniz temos que
lim
1
n + 1
= 0 e (
1
n + 1
) é decrescente. Observamos também que essa série é condicional-
mente convergente pois
∞∑ 1
k + 1
diverge, pela série harmônica.
∞∑
k=2
(−1)k
k ln(k)
converge condicionalmente .
Pois
1
k ln(k)
→ 0, a sequência é decrescente, logo usamos o critério de Leibniz, que
implica a série alternada
∞∑
k=2
(−1)k
k ln(k)
convergir . Tal série não converge em módulo6
, isto
é,
∞∑
k=2
1
k ln(k)
diverge , portanto
∞∑
k=2
(−1)k
k ln(k)
é condicionalmente convergente .
∞∑
k=1
(−1)k
√
k3 − 6
converge. Pois sequência de termo xn =
1
√
n3 − 6
é decrescente
1
√
n3 − 6
>
1
√
(n + 1)3 − 6
⇔ (n + 1)3
− 6 > n3
− 6
que vale e temos lim xn = 0. Logo pelo critério de Leibniz a série converge.
Propriedade 44. Seja (xn) tal que xn ̸= 0 para todo n e lim xn = ∞ então
∞∑
k=1
∆xk =
∞∑
k=1
xk+1 − xk
6
Vimos como aplica¸cão do critério de Cauchy

diverge e
∞∑
k=1
∆
1
xk
=
∞∑
k=1
1
xk+1
−
1
xk+1
converge.
Demonstra¸cão. A primeira série tem reduzida
n∑
k=1
∆xk = xk
n+1
1
= xn+1 − x1
tomando o limite
lim
n∑
k=1
∆xk = lim xn+1 − x1 = ∞
logo a série diverge.
A segunda série tem reduzida
n∑
k=1
∆
1
xk
=
1
xk
n+1
1
=
1
xn+1
−
1
x1
e tomando o limite mostramos que converge para −
1
x1
.
Exemplo 39. Seja a série
∞∑
k=1
ak(−1)k+1
=
2
3
−
1
3
+
2
4
−
1
4
+
2
5
−
1
5
+
2
6
−
1
6
+· · · onde
a2k =
1
k + 2
e a2k−1 =
2
2 + k
então lim ak = 0 e tem termos alternados, porém diverge.
Por que ela não contradiz o teorema de Leibniz? Tal sequência não satisfaz a propriedade
de ser não-crescente, pois a2k+1 > a2k,
2
2 + k + 1
>
1
2 + k
.
Tal série realmente diverge pois
2n∑
k=1
ak(−1)k+1
=
n∑
k=1
a2k−1 −
n∑
k=1
a2k =
n∑
k=1
2
2 + k
−
1
2 + k
=
n∑
k=1
1
k + 2
que diverge pela divergência da série harmônica (perceba acima que separamos os termos
pares dos ´ımpares na soma).
Exemplo 40. Uma série
∑
an pode ser convergente e quando seus termos são
multiplicados por uma sequência limitada (xn) a série
∑
anxn, pode divergir, como é o
caso da série
∑ (−1)n
n
com termos multiplicados pela sequência limitada de termo (−1)n
,
gerando a série
∑ 1
n
que é divergente. (xn) pode ser convergente e ainda assim
∑
anxn

divergir como é o caso de
∑ (−1)n
√
n
que converge pelo critério de Leibniz e tomando
xn =
(−1)n
√
n
∑ (−1)n
√
n
(−1)n
√
n
=
∑ 1
n
diverge.
Propriedade 45. Se (xn) é limitada e
∑
an é absolutamente convergente então
∑
anxn é convergente.
Demonstra¸cão. Existe m ∈ R tal que |xn| < m ∀ n ∈ N da´ı |xnan| ≤ m|an| da´ı
segue por compara¸cão que
∑
|xnan| é convergente logo
∑
xn.an converge.
1.3.7 Critério de Kummer
Propriedade 46 (Critério de Kummer , parte I). Sejam (xn) com xn > 0 ∀ n ∈ N.
Definindo
f(n) = xn
an
an+1
− xn+1
com an > 0 ∀ n. Se existe m ∈ N tal que f(n) > α > 0, ∀ n > m, n, m ∈ N então
∞∑
k=1
ak
converge.
Demonstra¸cão. Seja n > m então vale
xn
an
an+1
− xn+1 > α
como an+1 > 0 podemos multiplicar sem alterar a desigualdade
xnan − xn+1an+1 > αan+1 ⇔ −∆(xnan) > αan+1
aplicando a soma com n variando de m + 1 até m + p a desigualdade continua válida
−
m+p
∑
n=m+1
∆(xnan) = xm+1am+1 − xm+p+1am+p+1 > α
m+p
∑
n=m+1
an+1 = α
m+p+1
∑
n=m+2
an
por xm+p+1am+p+1 ser positivo segue
α
m+p+1
∑
n=m+2
an < xm+1am+1 ⇔
m+p+1
∑
n=m+2
an <
xm+1am+1
α
e
m+p+1
∑
n=m+2
an =
m+p+1
∑
n=1
an −
m+1∑
n=1
an

logo
m+p+1
∑
n=1
an −
m+1∑
n=1
an <
xm+1am+1
α
⇔
m+p+1
∑
n=1
an <
m+1∑
n=1
an +
xm+1am+1
α
:= K
por m ser fixo, a série dos termos ak é limitada superiormente e por ser soma de termo
positivos ela converge.
Propriedade 47 (Critério de Kummer, parte II). Se existe m ∈ N tal que n > m
implica f(n) ≤ 0 e
∞∑
k=1
1
xk
diverge, então
∞∑
k=1
ak diverge.
Demonstra¸cão. Para k > m Vale
xk
ak
ak+1
− xk+1 ≤ 0 ⇔ xkak − xk+1ak+1 = −∆(xkak) ≤ 0
tomando a soma de k = m + 1 até n − 1 segue
−
n−1∑
k=m+1
∆xkak ≤ 0 ⇔ xm+1am+1
=c
≤ xnan ⇔
c
xn
≤ an ⇒
∞∑
n
c
xn
≤
∞∑
n
an
a série
∞∑
n
an diverge por compara¸cão com a série divergente
∞∑
n
c
xn
.
Corolário 18. Se lim f(n) > 0 então a série
∞∑
k
ak converge. Pois vai existir m ∈ N
tal que n > m implica f(n) > 0.
∞∑
n=1
n∏
s=1
p + s
q + s
com q, p positivos, converge se q − p > 1 e diverge se q − p ≤ 1.
Com an =
n∏
s=1
p + s
q + s
temos
an
an+1
=
q + n + 1
p + n + 1
, tomando xn = p+n+1 > 0, conclu´ımos
que
n∑
k=1
1
xk
diverge pela série harmônica e temos ainda que
(p + n + 1)
q + n + 1
p + n + 1
− p − n − 2 = q + n + 1 − p − n − 2 = q − p − 1
que não depende de n logo a série converge para q − p − 1 > 0 ⇒ q − p > 1 e diverge para
q − p − 1 ≤ 0 ⇒ q − p ≤ 1.

Defini¸cão 6 (Critério de Raabe). O critério de Raabe para convergência de séries é
obtido por meio do critério de Kummer, tomando xn = n. Resumindo o critério:
∞∑
k=1
ak
converge se existem α > 0 e m ∈ N tal que vale
n
an
an+1
− n − 1 = n(
an
an+1
− 1) − 1 > α
para n > m, em especial se
lim n(
an
an+1
− 1) − 1 = l > 0 ⇔ lim n(
an
an+1
− 1) = s > 1
como
∞∑
k=1
1
k
diverge, então se
n(
an
an+1
− 1) < 1
para n > m então
∞∑
k=1
ak diverge o mesmo com limite
lim n(
an
an+1
− 1) = l < 1
então a série diverge.
1.4 Comutatividade
Defini¸cão 7 (Série comutativamente convergente). Uma série
∑
an é dita ser co-
mutativamente convergente quando para qualquer bije¸cão f : N → N ( sendo bn = af(n)),
a série
∑
bn é convergente.
A defini¸cão de série comutativamente convergente também funciona para séries do tipo
∞∑
k=b+1
a′
k, pois nesse caso escrevemos a série como
∞∑
k=1
a′
k+b
ak
.
Corolário 19. Para que
∑
an seja comutativamente convergente é necessário que
∑
an seja convergente, pois f(n) = n é uma bije¸cão.
Defini¸cão 8 (Séries incondicionalmente convergentes). É uma série que é comutati-
vamente convergente e toda reordena¸cão converge para o mesmo limite.

Propriedade 48. Se
∑
|an| converge então
∑
an é comutativamente convergente
e tem-se
∑
an =
∑
bn onde (bn) é qualquer reordena¸cão dos termos de (an), (ela é
incondicionalmente convergente.)
Demonstra¸cão. Seja
∑
akn ,com soma parcial s′
n, um rearranjo da série
∑
an.
Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que m, n ≥ n0 implica
m∑
k=n
|ak| ≤
ε
2
.
Escolhemos p suficientemente grande tal que {1, · · · , n0} é subconjunto da reordena¸cão
{k1, · · · , kp}. Se n > p + n0 os números de {a1, · · · , an0 } serão cancelados na diferen¸ca
sn − s′
n pois
s′
n =
n0∑
s=1
as +
n∑
ks>n0
aks
sn =
n0∑
s=1
as +
n∑
k=n0+1
ak
logo tomando a diferen¸ca
|sn − s′
n| = |
n∑
k=n0+1
ak +
n∑
ks>n0
aks | ≤
n∑
ks>n0
|aks | +
n∑
k=n0+1
|ak| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Logo sn e s′
n convergem para o mesmo limite.
⋆ Teorema 3 (Riemann). Se uma série
∑
an é condicionalmente convergente (não
converge absolutamente) então para qualquer c real, existe f : N → N bije¸cão tal que
∑
af(n) = c, isto é, se uma série é condicionalmente convergente então existe uma reor-
dena¸cão dos termos de
∑
an tal que o resultado da série resulte em c.
Demonstra¸cão. Como
∑
pn = ∞ então podemos somar uma quantidade sufi-
ciente de termos positivos da série tal que a soma resulte em s1 tal que c < s1, da mesma
maneira como
∑
qn = ∞ podemos somar uma quantidade suficiente de termos negativos
tais que a soma total resulte em s2 tal que s2 < c < s1. Como lim an = 0 conforme n
cresce os termos ficam cada vez menores , por isso podemos somar novamente uma quan-
tidade finita de termos positivos tais que a soma total resulte em s3 com s2 < c < s3 < s1
, seguindo esse processo criamos uma reordena¸cão da soma dos termos de
∑
an tais que
∑
af(n) = c

Propriedade 49. Se uma série é condicionalmente convergente então existem al-
tera¸cões na ordem da soma dos seus termos de modo a tornar a série +∞ ou −∞.
Demonstra¸cão. Como vale
∑
qn = ∞ podemos somar uma quantidade suficiente
de termos negativos da série tal que a soma resulte em −s1 e qn seja arbitrariamente
pequeno, da´ı como
∑
pn = ∞ somamos um número suficiente de termos positivos para
que o resultado seja s2
>0
+ A
>0
> 0, como qn é pequeno somamos um número suficiente tal
que o resultado seja s3 tal que A < s3 < s2 + A, novamente somamos uma quantidade de
termos positivos tal que o resultado seja s4 = s2 +2A, somamos agora os termos negativos
tal que o resultado seja s5 com 2A < s5 < s2 + 2A, continuamos o processo, sendo que
para n suficientemente grande vale sn > p.A, onde p é natural e A > 0, logo a soma
diverge para infinito. Para que a série seja divergente para −∞ tomamos procedimento
semelhante, porém come¸cando a somar termos positivos até que pn seja pequeno e depois
come¸camos a somar os termos negativos.
Corolário 20. Somente as séries absolutamente convergentes são comutativamente
convergentes. Se uma série é comutativamente convergente então ela é absolutamente
convergente e incondicionalmente convergente. Se qualquer rearranjo da série converge
ela é absolutamente convergente e todos rearranjos convergem para mesma soma.
Exemplo 42. Reordene os termos da série
∞∑
k=1
(−1)k
k
de modo que sua soma se
torne zero.
Demonstrar que (hipótese)
−1
n
< s(2n) =
n∑
k=1
1
2k − 1
−
4n∑
k=1
1
2k
< 0 < s2n−1 =
n∑
k=1
1
2k − 1
−
4n−4∑
k=1
1
2k
<
1
n
da´ı lim sn = 0 , sn é uma reordena¸cão da série
∑ (−1)k
k
.
Defini¸cão 9 (Sequência somável). Uma sequência (an) é somável com soma s quando
X ∀ ε > 0, existe J0 ⊂ N tal que ∀ J ⊂ N finito com J0 ⊂ J tem-se |
∑
k∈J
ak − s| < ε.
Propriedade 50. Se (an) é somável então para toda bije¸cão f : N → N, (bn) dada
por bn = af(n) é somável com a mesma soma.

Demonstra¸cão. Como (an) é somável então dado ε > 0 existe j1 ⊂ N finito tal
que ∀ A j ⊂ N com J1 ⊂ j tem-se
|
∑
k∈j
ak − s| < ε.
Tomamos j0 ⊂ N tal que f(j0) = j1, da´ı f(j0) = j1 ⊂ j. Se j0 ⊂ j então f(j0) = j1 ⊂
f(j) que implica
|
∑
k∈f(j)
ak − s| = |
∑
k∈j
af(k) − s| = |
∑
k∈j
bk − s| < ε
Propriedade 51. (an) é somável com soma s ⇔ a série
∑
an é absolutamente
convergente e vale
∑
an = s.
Demonstra¸cão. Adotaremos a nota¸cão sj =
∑
k∈j
ak, lembrando que j é um
conjunto finito.
⇒ Vamos mostrar que o conjunto das somas finitas é limitado e da´ı a série irá convergir
absolutamente , por resultado já demonstrado.
Dado ε = 1 existe j0 ∈ N finito tal que ∀ j com j0 ⊂ j ⇒ |s − sj| < 1. Denotaremos
a =
∑
k∈j0
|ak|. Seja A ⊂ N um conjunto finito arbitrário, por identidade de conjuntos vale
A ∪ j0 = (j0 A) ∪ A sendo que essa união é disjunta, da´ı tomando a soma sobre esses
conjuntos finitos segue
∑
k∈A∪j0
ak =
∑
k∈j0A
ak +
∑
k∈A
ak ⇒
∑
k∈A
ak =
∑
k∈A∪j0
ak −
∑
k∈j0A
ak
sA = sA∪j0 − sj0A
pois em geral se A e B são conjuntos disjuntos vale que7
∑
k∈A∪B
ak =
∑
k∈A
ak +
∑
k∈B
ak. Disso
segue que |s − sA| = |s − sA∪j0 + sj0A| < |s − sA∪j0 | + |sj0A| < 1 + a pois j0 ⊂ A ∪ j0
logo |s − sA∪j0 | < 1 pela condi¸cão de ser somável . conclu´ımos então que o conjunto das
somas finitas de
∑
ak é limitado, então tal série converge absolutamente.
⇐. Supondo agora que a série
∑
an seja absolutamente convergente com
∑
an =
∑
pn
u
−
∑
qn
v
= u − v = s. Tomando uj =
∑
k∈J
pk, vj =
∑
k∈J
qk temos sj = uj − vj.
Pela convergência absoluta de
∑
an, dado ε > 0 arbitrário existe n0 ∈ N tal que, sendo
7
Isso pode ser tomado como parte da defini¸cão de soma sobre conjuntos finitos

j0 = In0 = {1, · · · , n0}, j0 ⊂ j ⇒ |u − uj| <
ε
2
, |v − vj| <
ε
2
pela defini¸cão de limite
aplicada as somas, da´ı j0 ⊂ j ⇒
|s − sj| = |uj − vj − (u − v)| ≤ |u − uj| + |v − vj| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
da´ı a sequência é somável.
Exemplo 43. Dar o exemplo de uma sequência (xn) tal que lim ∆xn = 0 e xn seja
divergente porém limitada. Tomamos x1 = 0, x2 = 1, temos um passo h = 1, tomamos
agora o passo h =
−1
2
, x3 =
1
2
, x4 = 0, tomamos agora o passo h =
1
4
e somamos até
chegar em 1 novamente, continuamos o processo dividindo sempre o passo por 2 e fazendo
a sequência alternar entre 0 e 1. A sequência constru´ıda dessa forma é divergente, pois
possui subsequências convergindo para valores distintos, é limitada pois está sempre em
[0, 1] e a sequência das diferen¸cas tende a zero |xn+1 − xn|.
1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitrário
Defini¸cão 10. Sejam A ⊂ R , f : A → R, tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A e o
conjunto
S = {
∑
k∈ F
f(k) |F ⊂ A | F é finito}.
se S é limitado superiormente definimos
∑
k∈A
f(k) = sup S
se não
∑
k∈A
f(k) = ∞
nesse caso dizemos que a série diverge.

1.6 Séries em espa¸cos vetoriais normados
Seja E um espa¸co vetorial normado.
Defini¸cão 11 (Série em espa¸co vetorial normado). Seja (xn) em E, definimos a série
∞∑
k=1
xk como
∞∑
k=1
xk := lim
n∑
k=1
xk
quando tal limite existe, dizemos que a série é convergente , caso contrário dizemos que é
divergente.
Propriedade 52. Se
∞∑
k=1
xk converge, então lim xn = 0.
1.7 Soma de Cesàro
Defini¸cão 12 (Média de Cesàro). Dada uma sequência (xn) definimos a média de
Cesàro de (xn) como a sequência (yn) dada por
yn =
1
n
n∑
k=1
xk
yn é a média aritmética dos n primeiros elementos de (xn)
A seguir provaremos resultados dos quais a seguinte propriedade segue como corolário
Se lim xn = a então lim yn = a, isto é, a opera¸cão de tomar a média de Cesàro preserva
sequências convergentes e seus limites.
Defini¸cão 13 (Cesàro somável). Se lim
n∑
k=1
xk
n
= L então a sequência (xn) é dita
Cesàro somável e associamos a essa sequência o valor L como soma de Cesàro . Dizemos
que (xn) é (C, 1) somável para L, nesse caso escrevemos
lim xn = L (C, 1).
lim xn = L (C, 1) ⇔ lim
n∑
k=1
xk
n
= L.

Toda sequência convergente é Cesàro somável, porém existem sequências não conver-
gentes que são Cesàro somável .
⋆ Teorema 4 (Teorema de Stolz-Cesàro). Dada uma sequência (xn) e uma sequência
(yn) crescente com
lim yn = ∞
e lim
∆xn
∆yn
= a então lim
xn
yn
= a.
Essa propriedade é o análogo do teorema de L’Hospital para sequências. Lembrando
que estamos denotando ∆ como o operador que faz ∆xn = xn+1 − xn, toma a diferen¸ca
de tais números consecutivos na sequência.
Demonstra¸cão.
Como lim
∆xn
∆yn
= a então para todo
ε
3
> 0 existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se
|
∆xk
∆yk
− a| <
ε
3
,
e yn > 0 (pois tende ao infinito), como (yn) é crescente vale ∆yk > 0, logo podemos
multiplicar por ele em ambos lados da desigualdade sem alterar
|∆xk − a∆yk| <
ε
3
∆yk,
aplicando a soma
n−1∑
k=n0+1
em ambos lados e usando desigualdade triangular do tipo |
∑
xk| ≤
∑
|xk|, segue que
|
n−1∑
k=n0+1
∆xk − a
n−1∑
k=n0+1
∆yk| <
ε
3
n−1∑
k=n0+1
∆yk,
usando a soma telescópica tem-se
|xn − xn0+1 − ayn + ayn0+1)| <
ε
3
(yn − yn0+1),
agora como yn > 0 dividimos por esse termo de ambos lados
|
xn
yn
−
xn0+1
yn
− a + a
yn0+1
yn
)| <
ε
3
(1 −
yn0+1
yn
),

somando agora |
xn0+1
yn
| + | − a
yn0+1
yn
)| e usando a desigualdade triangular , temos
|
xn
yn
− a| <
ε
3
(1 −
yn0+1
yn
)
≤1
+|
xn0+1
yn
| + |a
yn0+1
yn
)|
tem-se que 1 −
yn0+1
yn
≤ 1 pois equivale a 0 ≤
yn0+1
yn
, que vale pois yn0+1 e yn são
positivos, como yn → ∞, podemos tomar para n suficientemente grande que |
xn0+1
yn
| <
ε
3
e também |a
yn0+1
yn
)| <
ε
3
, usando tais desigualdades, tem-se finalmente que
|
xn
yn
− a| ≤
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
= ε
portanto
xn
yn
→ a.
Propriedade 53. Se limzn = a e (wn) é uma sequência de números positivos com
lim
n∑
k=1
wk = ∞ então lim
n∑
k=1
wkzk
n∑
k=1
wk
= a.
Demonstra¸cão. Tomamos xn =
n∑
k=1
wk.zk e yn =
n∑
k=1
wk então ∆xn = wn+1.zn+1
, ∆yn = wn+1 > 0 então yn é crescente e lim yn = ∞, temos também que
∆xn
∆yn
=
wn+1zn+1
wn+1
= zn+1 cujo limite existe e vale a então nessas condi¸cões vale
lim
xn
yn
= lim
n∑
k=1
wk.zk
n∑
k=1
wk
= a.
Corolário 21. Tomando wn = 1 então
n∑
k=1
wk = n e seu limite é infinito, tomando
uma sequência (zn) tal que lim zn = a então segue que
lim
n∑
k=1
zk
n
= a
, isto é, se lim zn = a então lim
n∑
k=1
zk
n
= a.
Provamos então que se lim xn = a então lim xn = a (C, 1).

Exemplo 44. Tomando zn =
1
n
tem-se lim zn = 0 e da´ı
lim
n∑
k=1
1
k
n
= 0 = lim
Hn
n
.
Exemplo 45. Tomando zn = a
1
n com a > 0 tem-se lim zn = 1 e da´ı
lim
n∑
k=1
a
1
k
n
= 1.
Propriedade 54 (Stolz-Cesàro para limite infinito). Seja (bn) crescente e ilimitada .
Se lim
∆an
∆bn
= ∞ então lim
an
bn
= ∞
Demonstra¸cão. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ N tal que k > n0 implica
∆ak
∆bk
> A,
como ∆bk > 0 e bk > 0, logo tem-se
∆ak > A∆bk,
aplicando
n∑
k=n0+1
segue por soma telescópica
an+1 − an0+1 > A.(bn+1 − bn0+1)
an+1 > an0+1 + A.(bn+1 − bn0+1)
an+1
bn+1
>
an0+1
bn+1
+ A.(1 −
bn0+1
bn+1
) > A
para n grande, da´ı
lim
an
bn
= ∞.
Exemplo 46. A reciproca da propriedade nem sempre vale, yn = n, xn = (−1)n
vale lim
xn
yn
= lim
(−1)n
n
= 0 e lim
∆xn
∆yn
= lim
(−2)(−1)n
1
não existe.
Propriedade 55. Se lim an = ∞ e an > 0∀ n ∈ N então lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.

Demonstra¸cão. Essa prova vale mesmo se (an) não tem a restri¸cão de an > 0
. Aplicamos o teorema de Stolz-Cesàro para limite infinito . an =
n∑
k=1
ak , bn = n é
crescente e ilimitada e vale ∆
n∑
k=1
ak = an+1 , ∆n = 1 logo
lim
∆an
∆n
= lim an+1 = ∞
então lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
Corolário 22. Esse resultado diz que se lim xn = ∞ então lim xn = ∞ ∈ (C, 1)
Demonstra¸cão.[2]
∀ A > 0 ∃ n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se an > 2A então para n > 2n0 ( que
implica
n − n0
n
>
1
2
) vale
n∑
k=1
ak
n
≥
n∑
k=n0+1
2A
n
= 2A
n − n0
n
≥
2A
2
= A
logo
lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
Corolário 23. Se lim xn = ∞ e não vale xn > 0 ∀ n ∈ N então a propriedade
também vale pois existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn > 0 , da´ı
n∑
k=1
ak
n
=
n0∑
k=1
ak
n
+
n∑
k=n0+1
ak
n
=
n0∑
k=1
ak
n
+
n−n0∑
k=1
xk
ak+n0
n
assim se define uma nova sequência (xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior
.
Propriedade 56.
lim ln(n + 1) − ln(n) = 0.
Demonstra¸cão.
lim ln(
n + 1
n
) = lim ln(1 +
1
n
) = ln(1) = 0.

Propriedade 57.
lim
ln(n + 1)
n
= 0.
Demonstra¸cão. Tomando yn = n e xn = ln(n + 1) vale que ∆yn = 1 > 0 e
lim yn = ∞, ∆xn = ln(
n + 1
n
) logo
lim
∆yn
∆xn
= lim ln(
n + 1
n
) = 0
logo lim
ln(n + 1)
n
= 0.
Exemplo 47. Calcule o limite
lim
n∑
k=1
k ln(k)
n2 ln(n)
.
Tomando xn =
n∑
k=1
k ln(k) e yn = n2
ln(n) vale lim yn = m∞ e ∆yn > 0, logo por
Stolz-Cesàro podemos avaliar o limite
lim
(n + 1) ln(n + 1)
(n + 1)2 ln(n + 1) − n ln(n)
como para n grande ln(n + 1) ≈ ln(n)
lim
(n + 1) ln(n + 1)
(n + 1)2 ln(n + 1) − n ln(n)
= lim
(n + 1)
(n + 1)2 − n
= lim
(n + 1)
2n + 1
=
1
2
.
Logo
lim
n∑
k=1
k ln(k)
n2 ln(n)
= 1.
Propriedade 58. Se (xn) é limitada então (xn) (C, 1) também é limitada, e no mesmo
intervalo .
Demonstra¸cão. Existem c1, c2 tais que c2 < xk < c1, da´ı somamos em ambos
lados nc2 <
n∑
k=1
xk < nc1 dividindo por n segue
c2 <
n∑
k=1
xk
n
< c1.

1.7.1 Série de Grandi
Defini¸cão 14 (Série de Grandi). A série de Grandi é a série
∞∑
k=0
(−1)k
.
Luigi Guido Grandi (1671 − 1742) foi um padre italiano , filósofo, matemático, e
engenheiro.
Corolário 24. A série de Grandi é divergente, pois não existe lim(−1)n
.
Propriedade 59. A série de Grandi é Cesáro somável e possui soma de Cesáro de
valor
1
2
.
Demonstra¸cão.
n∑
k=0
(−1)k
=
(−1)n
2
+
1
2
da´ı n∑
k=1
(−1)k
2
+
1
2
=
n
2
+
(−1)n
+ 1
2
da´ı lim
n
2n
+
(−1)n
+ 1
2n
=
1
2
.
Propriedade 60. Suponha que vale L−ε <
n∑
k=1
xk
n
para k ≤ n, se vale L+ε(
m + n
m − n
) <
xk para k > n então
L + ε <
m∑
k=1
xk
m
.
Demonstra¸cão. Da desigualdade L+ε(
m + n
m − n
) < xk , aplicando
m∑
k=n+1
em ambos
lados tem-se
(m − n)L + ε(m + n) <
m∑
k=n+1
xk
da primeira identidade tem-se n(L − ε) <
m∑
k=1
xk somando as desigualdades segue
(m)(L + ε) <
m∑
k=1
xk
da´ı
L + ε <
m∑
k=1
xk
m
.

1.8 Sequências (C, P) somáveis
Defini¸cão 15 (Método regular de somabilidade). Um método de somabilidade M é
regular se lim xn = L então lim xn = L existe em M .
Defini¸cão 16 (Sequências (C, P) somáveis). Uma sequência (xk) é dita (C, P)
somável se existe L tal que
lim
n∑
k=1
(n+p−1−k
n−k
)
xk
(n+p−1
n−1
) = L.
Propriedade 61. Se (xk) é (C, P) somável então (xk) é (C, P + 1) somável .
Demonstra¸cão.
1.9 Séries de termos não-negativos
Nesta se¸cão iremos estudar as séries de termos não-negativos, isto é,
∑
ak com ak ≥ 0.
Propriedade 62. Sejam as séries
∑
ak e
∑ ak
1 + ak
.
∑
ak converge ⇔
∑ ak
1 + ak
converge.
Demonstra¸cão. ⇒.
∑
ak converge e vale
0 ≤ ak ⇒ 1 ≤ 1 + ak ⇒
1
1 + ak
≤ 1 ⇒
ak
1 + ak
≤ ak
pelo critério de compara¸cão segue que
∑ ak
1 + ak
converge.
⇐.
∑ ak
1 + ak
converge então
lim
ak
1 + ak
= 0 ⇒ lim 1 −
1
ak + 1
= 0 ⇒ lim
1
ak + 1
= 1
da´ı por propriedade de limite lim ak + 1 = 1 ⇒ lim ak = 0 então existe n0 tal que para
k > n0 tem-se ak ≤ 1
ak + 1 ≤ 2 ⇒
1
2
≤
1
ak + 1
⇒
ak
2
≤
ak
ak + 1
logo por compara¸cão
∑
ak converge .

1.9.1 Critério de compara¸cão por limite para séries de termos
positivos
Propriedade 63. 1. Sejam duas séries
∑
ak e
∑
bk de termos positivos, se existe
lim
ak
bk
= a ̸= 0 então
∑
ak converge ⇔
∑
bk converge .
2. Se lim
ak
bk
= 0 então a convergência de
∑
bk implica convergência de
∑
ak.
Demonstra¸cão.
1. Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se
0 < t1 < a − ε <
ak
bk
< a + ε < t2
como bk > 0 tem-se
t1bk < ak < t2bk
aplicamos a soma
n∑
k=n0+1
, da´ı
t1
n∑
k=n0+1
bk <
n∑
k=n0+1
ak < t2
n∑
k=n0+1
bk
usando essa desigualdade temos por compara¸cão que se
∑
bk converge então
∑
ak
converge e se
∑
ak converge então
∑
bk converge.
2. De maneira similar ao item anterior.
Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se
0 ≤
ak
bk
< ε < t2
como bk > 0 tem-se
0 ≤ ak < t2bk
aplicamos a soma
n∑
k=n0+1
, da´ı
0 ≤
n∑
k=n0+1
ak < t2
n∑
k=n0+1
bk
usando essa desigualdade temos por compara¸cão que se
∑
bk converge então
∑
ak
converge.

∑
sen(
1
k
) diverge pois
∑ 1
k
diverge e
lim
k→∞
sen(1
k
)
1
k
= 1,
pois isso equivale tomando
1
k
= x que x → 0 então ca´ı no limite fundamental
lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
Notamos que sen(
1
k
) é positivo pois a fun¸cão é positiva no intervalo (0,
π
2
). Por isso
podemos aplicar o critério .
Propriedade 64. Seja (ak) uma sequência positiva.
n∑
k=1
ak converge ⇔
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
converge.
Demonstra¸cão.
X Suponha que
n∑
k=1
ak converge, vamos mostrar que
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
também converge.
Temos que a1 ≤
k∑
j=1
aj, logo
1
k∑
j=1
aj
≤
1
a1
⇒
ak
k∑
j=1
aj
≤
ak
a1
,
somando, segue que
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
≤
n∑
k=1
ak
a1
,
portanto a convergência de
n∑
k=1
ak implica a convergência de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
e a di-
vergência de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
implica divergência de
n∑
k=1
ak.

X Agora vamos provar que a divergência de
n∑
k=1
ak, implica a divergência de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
. Vamos denotar Sk =
k∑
j=1
aj. Temos que
m∑
k=n+1
ak
Sk
≥
m∑
k=n+1
ak
Sm
=
1
Sm
( m∑
k=1
ak −
n∑
k=1
ak
)
=
=
1
Sm
(Sm − Sn) = 1 −
Sn
Sm
,
como Sm → ∞ podemos concluir que
∞∑
k=n+1
ak
Sk
≥ 1,
para qualquer n, logo a sequência não é de Cauchy e portanto não converge. Por fim
não podemos ter convergência de
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
aj
= Vn com divergência de
n∑
k=1
ak = Sn,
pois a divergência de Sn implica divergência de Vn.
Propriedade 65. Valem as desigualdades
n∑
k=1
ak
k∑
t=1
at
≤
1
a1
n∑
k=1
ak,
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
j∑
t=1
at
≤
1
a1
n∑
k=1
ak.
Demonstra¸cão. A primeira já provamos, na propriedade anterior, vamos provar
a segunda. Vamos denotar Tk =
k∑
j=1
j
∑
t=1
at. Vale que a1 ≤ Tk, o que implica
1
Tk
≤
1
a1
,
multiplicando por ak e somando, segue
n∑
k=1
ak
Tk
≤
1
a1
n∑
k=1
ak.
Disso segue, que se
n∑
k=1
ak converge, então
n∑
k=1
ak
Tk
também converge, se
n∑
k=1
ak
Tk
diverge,
então
n∑
k=1
ak também diverge.

Propriedade 66. Sejam (ak) sequência de termos positivos e Sn =
n∑
k=1
ak, então
∞∑
n=1
2an
(Sn)2
converge.
Demonstra¸cão. Sn é uma sequência crescente, da´ı ela converge para um número
positivo ou tende a infinito, em qualquer dos casos o limite de
1
Sn
existe. Temos que
Sn−1 < Sn, da´ı Sn−1Sn < (Sn)2
e
1
(Sn)2
≤
1
Sn−1Sn
, multiplicando por an segue
an
(Sn)2
≤
an
Sn−1Sn
=
Sn − Sn−1
Sn−1Sn
=
1
Sn−1
−
1
Sn
= −∆
1
Sn−1
,
aplicando a soma neste último termo, tem-se por soma telescópica
∞∑
n=1
an
Sn−1Sn
= −
∞∑
n=1
∆
1
Sn−1
=
1
S0
− lim
1
Sn−1
,
mas, como notamos, lim
1
Sn−1
existe, por isso a série
∞∑
n=1
an
Sn−1Sn
converge e da´ı também
converge
∞∑
n=1
an
(Sn)2
por critério de compara¸cão.
Propriedade 67. Seja (ak) sequência em (0, 1). Então
n∑
k=1
ak
k∑
j=1
j∑
t=1
at
converge.
Demonstra¸cão. Sejam Tn =
n∑
j=1
j
∑
t=1
at , Sn =
n∑
k=1
ak. Primeiro, vamos mostrar
que
(Sn)2
2
≤ Tn, isto é,
( n∑
k=1
ak
)2
2
≤
n∑
j=1
j
∑
t=1
at.
Por indu¸cão sobre n. Para n = 1, temos
a2
1
2
≤ a1 ⇔ a1 ≤ 2,
logo vale, pois a1 < 1. Suponha validade para n, vamos provar para n + 1. Usando
hipótese da indu¸cão e que (Sn+1)2
= (Sn + an+1)2
= (Sn)2
+ 2an+1Sn + (an+1)2
, segue que
(Sn+1)2
2
=
(Sn)2
2
+ an+1Sn +
(an+1)2
2
≤ Tn + Sn + an+1 =

= Tn + Sn+1 =
n∑
j=1
j
∑
t=1
at +
n+1∑
k=1
ak =
n+1∑
j=1
j
∑
t=1
at = Tn+1,
como quer´ıamos mostrar.
Agora, de
(Sn)2
2
≤ Tn, segue que
1
Tn
≤
2
(Sn)2
, multiplicando por an e somando de
ambos lados, temos que
∞∑
n=1
an
Tn
≤
∞∑
n=1
2an
(Sn)2
,
essa última série converge pela propriedade anterior, logo por compara¸cão
∞∑
n=1
an
Tn
con-
verge.
Exemplo 49. Pode valer que
∑
ak converge, valendo lim
ak
bk
= 0 e
∑
bk não
converge, tome por exemplo ak =
1
k2
, bk =
1
k
,
∑
bk não converge, lim
ak
bk
= lim
k
k2
=
lim
1
k
= 0 e
∑
ak converge, logo a rec´ıproca do item 2 da propriedade anterior não vale.
Exemplo 50. Se
∑
ak de termos positivos converge então
∑
sen(ak) também
converge, pois da primeira convergência temos lim ak = 0 da´ı para k grande vale que
sen(ak) > 0 e vale lim
sen(ak)
ak
= 1 então
∑
sen(ak) converge.
Podemos ainda resolver sem esse critério, pois se 0 < |x| <
π
2
tem-se sen(x) < x, da´ı
com
0 ≥ sen(ak) < ak
e por compara¸cão a primeira converge.
Propriedade 68. Seja (an) uma sequência não-crescente de números reais positivos.
Se
∑
ak converge então lim nan = 0.
Demonstra¸cão. Usaremos o critério de Cauchy . Existe n0 ∈ N tal que para
n + 1 > n0 vale
2na2n
2
= na2n ≤
2n∑
k=n+1
ak < ε
logo lim 2na2n = 0. Agora mostramos que a subsequência dos ´ımpares também tende a
zero. Vale a2n+1 ≤ a2n da´ı 0 < (2n + 1)a2n+1 ≤ 2na2n + a2n por teorema do sandu´ıche
segue o resultado. Como as subsequências pares e ´ımpares de (nan) tendem a zero, então
a sequência tende a zero.

Corolário 25. A série harmônica
∑ 1
k
diverge, pois (
1
n
) é decrescente e vale lim
n
n
=
1 ̸= 0.
Propriedade 69. Seja (xk) uma sequência de números não negativos com a série
∑
xk convergente então
∑
x2
k é convergente.
Demonstra¸cão.[1] Como
∑
ak é convergente, vale lim ak = 0 e da´ı para k > n0
vale xk < 1 que implica x2
k ≤ xk logo por compara¸cão
∑
x2
k converge.
Demonstra¸cão.[2] Como temos xk ≥ 0 segue também x2
k ≥ 0, sendo então
s(n) =
n∑
k=b
x2
k temos ∆s(n) = x2
n+1 ≥ 0, logo s(n) é não decrescente, se mostrarmos que
a série é limitada superiormente teremos uma sequência que é limitada e monótona logo
convergente. Temos que s(n) é limitada superiormente da seguinte maneira
n∑
k=b
x2
k ≤ (
n∑
k=b
xk)(
n∑
k=b
xk)
logo a série é convergente.
Corolário 26. Se
∑
ak é absolutamente convergente então
∑
a2
k converge, usamos o
resultado anterior com xk = |ak|, então a convergência de
∑
|ak| implica a convergência
de
∑
|ak|2
=
∑
a2
k.
Exemplo 51. Se não vale xk > 0 então podemos ter
∑
xk convergente e
∑
x2
k
divergente, pois
∑ (−1)k
√
k
converge e
∑ 1
k
diverge.
Propriedade 70. Se
∑
ak, ak > 0 converge então a série
∑ √
ak
k
também converge
.
Demonstra¸cão. Usando a desigualdade de Cauchy
(
n∑
k=1
xkyk)2
≤ (
n∑
k=1
x2
k)(
n∑
k=1
y2
k)
com yk =
1
k
e xk =
√
ak tem-se
(
n∑
k=1
√
ak
k
)2
≤ (
n∑
k=1
ak)(
n∑
k=1
1
k2
)

logo
n∑
k=1
√
ak
k
≤ (
n∑
k=1
ak)(
n∑
k=1
1
k2
)
a série é limitada superiormente, sendo crescente, ela converge .
Corolário 27. Se
∑
x2
k, converge então a série
∑ xk
k
também converge, basta usar
o resultado anterior com ak = x2
k.
Propriedade 71. Se
∑
x2
n e
∑
y2
n convergem então
∑
xn.yn converge absoluta-
mente.
Demonstra¸cão. Usando a desigualdade de Cauchy
(
n∑
k=1
|xk||yk|)2
≤ (
n∑
k=1
|xk|2
)(
n∑
k=1
|yk|2
) = (
n∑
k=1
x2
k)(
n∑
k=1
y2
k)
logo por critério de compara¸cão segue que
∑
xn.yn converge absolutamente.
1.10 Representa¸cão decimal
Defini¸cão 17 (Representa¸cão numa base b). Dado um número natural b > 1, a
representa¸cão de um número real x na forma
x =
n∑
k=−∞
bk
ak
onde ak ∈ {0, · · · , b − 1}, é chamada de representa¸cão na base b do número x . Cada ak
é chamado de algarismo e k de seu ´ındice.
Caso x =
n∑
k=−∞
bk
ak denotaremos também
x = (an · · · a0, a−1 · · · a−t · · · )b
que vamos denotar em nota¸cão compacta
x = (ak)n
(k=−∞, b).

Caso de um número natural
x = (ak)n
(b) = (a0, · · · , an)b
o ´ındice b para simbolizar a base, o expoente n para simbolizar que k varia de 0 até n.
Propriedade 72. Todo número m ∈ N pode ser representado numa base a.
Demonstra¸cão.
Pelo teorema de divisão euclidiana, se tomarmos números f(0) = m e a ̸= 0 naturais,
teremos números f(1) e R(0) determinados univocamente, tais que f(0) = af(1) + R(0)
com 0 ≤ R(0) < a. Onde f(1) é o quociente, R(0) é o resto da divisão de f(0) por a.
Podemos assim definir uma sequência
f(n) = af(n + 1) + R(n)
onde R(n) é sempre o resto da divisão de f(n) por a, logo R(n) ∈ {0, · · · , a−1}, f(n+1)
é o quociente. esse tipo de recorrência podemos encontrar a fórmula geral .
Vamos resolver então essa recorrência. Tomamos f(n) = h(n)
1
an
, substituindo temos
f(n)
a
−
R(n)
a
= f(n + 1)
h(n)
an+1
−
R(n)
a
=
h(n + 1)
an+1
−
R(n)
a
an+1
= −an
R(n) = ∆h(n)
aplicando o somatório em ambos termos, variando de k = 0 até n − 1 temos
n−1∑
k=0
∆h(k) = h(n) − h(0) = −
n−1∑
k=0
ak
R(k)
h(n) = h(0) −
n−1∑
k=0
ak
R(k)
logo temos
f(n)an
= h(0) −
n−1∑
k=0
ak
R(k)

tomando n = 0 temos
f(0) = h(0)
logo
f(n)an
+
n−1∑
k=0
ak
R(k) = f(0)
se f(n) = R(n), podemos juntar ao limite superior do somatório, ficando com
f(0) =
n∑
k=0
ak
R(k)
Este resultado permite ver o mêtodo para expressar um número em termo de potências
de a que é chamado de base.
Defini¸cão 18. Um algarismos à esquerda de um algarismo at dado de
m∑
k=−∞
bk
são os algarismos ak com k > t, caso existam . Algarismos à direita de at são os algarismos,
ak com k < t, caso existam . Dados dois algarismos at e aw distintos, w > t, os algarismos
entre esses dois são os algarismos ak com t < k < w, caso w = t + 1 então não existe
algarismo entre at e aw.
Defini¸cão 19 (Representa¸cão decimal de número natural). Um número natural pode
ser representado da forma
n∑
k=0
ak10k
.
Defini¸cão 20 (Representa¸cão decimal de um número real). Seja dada uma sequência
(ak)∞
0 = (a0, a1, a2, · · · ) onde a0 é um inteiro qualquer e ak com k > 0 pertence ao conjunto
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Um número real na forma decimal é representado por
a0, a1a2a3 · · ·
onde cada ak é chamado de d´ıgito do número na forma decimal .

Para dar sentido à a0, a1a2a3 · · · como número real, definimos
a0, a1a2a3 · · · =
∞∑
k=0
ak
10k
= a0 +
∞∑
k=1
ak
10k
O sistema decimal para representar números naturais é variante do sistema sexagesimal
utilizado pelos babilônios há cerca de 1700 anos antes de Cristo, ele foi desenvolvido na
China e na Índia. Por neste sistema, todo número ser representado por uma sequência
formada pelos algarismos
0, 1, , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
sendo em número de 10, o sistema é portanto chamado de decimal .
O sistema decimal também é dito posicional, pois cada algarismo, além de seu va-
lor intr´ınseco, possui um peso que lhe é atribu´ıdo em fun¸cão de sua posi¸cão dentro da
sequência. Esse peso é uma potência de 10 e varia como exposto acima.
Agora vamos mostrar que essa série da representa¸cão decimal sempre converge , logo
a0, a1a2a3 · · · representa um único número real.
Propriedade 73. Cada decimal representa um único número real.
Demonstra¸cão.
∞∑
k=1
ak
10k
é uma série de números positivos limitada superiormente
pela série
∞∑
k=1
9
10k
que converge para 1 então
∞∑
k=1
ak
10k
converge para um número real
pelo critério de compara¸cão . O critério de compara¸cão usa que uma sequência limitada
superiormente e crescente converge para o supremo do conjunto, então essa demonstra¸cão
em geral necessita que o corpo em que estamos trabalhando seja completo, por exemplo,
nem toda representa¸cão decimal converge para um número racional.
Com isso conclu´ımos que a0, a1a2a3 · · · =
∞∑
k=0
ak
10k
= a0 +
∞∑
k=1
ak
10k
= c é um número
real .
Pela unicidade de limite o número real que a0, a1a2a3 · · · representa é único .
Cada a0, a1a2a3 · · · representa um e apenas um número real.
Corolário 28.
0, 9999 · · · = 1

pois pela defini¸cão de representa¸cão decimal
0, 99 · · · = 0 +
∞∑
k=1
9
10k
= 1
No caso mostramos que uma representa¸cão decimal para 1 pode ser dada por a0 = 0
e ak = 9 para todo k > 0 então associamos 0, 9999 · · · ao número 1 .
Perceba que o número 1 tem pelos menos duas representa¸cões decimais, pois 1 também
tem a representa¸cão
1, 00 · · ·
pois
1, 00 · · · = 1 +
∞∑
k=1
0
10k
= 1.
Corolário 29. Em geral a0, 0000 · · · = a0 e (a0 − 1), 9999 · · · = a0
pois
(a0 − 1), 9999 · · · = a0 − 1 +
∞∑
k=0
9
10k
= a0 − 1 + 1 = a0.
Conclu´ımos então que todo número inteiro a0 possui pelo menos duas representa¸cões
decimais
a0, 0000 · · · e (a0 − 1), 99 · · · .
Exemplo 52.
0, 999 · · · = 1
1, 999 · · · = 2.
Defini¸cão 21 (Representa¸cões decimais distintas). Duas representa¸cões decimais
a0, a1a2a3 · · · e b0, b1b2b3 · · · são ditas distintas quando as sequências associadas (a0, a1, a2, · · · )
e (b0, b1, b2, · · · ) são distintas .
Corolário 30. Números reais podem ter duas representa¸cões decimais distintas.

Considere B o conjunto das sequências (a0, a1, a2, · · · ) associadas a uma representa¸cão
decimal, temos uma fun¸cão f que associa a cada elemento de B a um número real, definida
como
f(a0, a1, a2, · · · ) =
∞∑
k=0
ak
10k
porém f não é injetiva, pois existem sequências x1 e x2 distintas tais que f(x1) = f(x2).
Podemos mostrar que f é sobrejetora, isto é, para cada x real existe uma sequência x1 tal
que f(x1) = x.
Defini¸cão 22 (D´ızima periódica). Uma representa¸cão decimal a0, a1a2 · · · é dita ser
uma d´ızima periódica quando a sequência dos d´ıgitos (ak) é periódica a partir de algum
k = n.
Defini¸cão 23 (D´ızima periódica simples ou D´ızima simples). Uma d´ızima periódica,
é dita ser simples, quando a sequência dos d´ıgitos (ak) é periódica a partir de k = 1.
Defini¸cão 24 (D´ızima periódica composta ou D´ızima composta). Uma d´ızima
periódica, é dita ser composta, quando a sequência dos d´ıgitos (ak) é periódica a par-
tir de k > 1.
Em R se considera a adi¸cão usual + e o produto usual ×, que fazem de R um corpo,
além disso se considera o limite com a norma do módulo
lim xn = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε
Se usamos outra maneira de medir distância ao invés do módulo, não se está traba-
lhando em R de maneira usual, seria algo como dizer, 1 + 1 não é 2 pois estamos usando
uma ”adi¸cão”diferente, como por exemplo uma definida assim a +s b = (a + b).2 da´ı
1 +s 1 = (1 + 1)2 = 4.
Em R usando adi¸cão, multiplica¸cão e norma usual, definindo a expansão decimal como
série tem-se
0, 999 · · · = 1.
Uma coloca¸cão comum de alguns estudantes é que 0, 999 · · · não é 1 e sim tende a 1, o
que não é verdade, pois 0, 999 · · · não é uma sequência dessa forma não faz sentido dizer

que ele tende à 1, 0, 999 · · · é o limite de uma sequência de números reais, por defini¸cão,
sendo portanto um número real.
Propriedade 74. x é racional ⇔ possui representa¸cão periódica.
Demonstra¸cão.
⇒). Se x é racional x =
p
q
, por divisão euclidiana p = a0q + r0 logo
x = a0 +
r0
q
.
Existe s1 m´ınimo tal que 10s1
r0 ≥ q, da´ı por divisão euclidiana 10s1
r0 = as1 q + rs1 , então
x = a0 +
r010s1
q
10−s1
= a0 + as1 10−s1
+
rs1
q
10−s1
vale que as1 < 10 por minimalidade de s1 , pois caso contrário se as1 ≥ 10 então
10s1
r0 = as1 q + rs1 ≥ 10.q
e por isso 10s1−1
r0 ≥ q contradizendo a minimalidade de s1. Por isso as1 é inteiro no
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Repetimos o procedimento com rs1
x = a0 + as1 10−s1
+ as2 10−s2
+
rs2
q
10−s2
,
rsk
é o resto da divisão de um número por q, ele pode assumir os valores {0, 1, · · · , q −
2, q − 1}, um número finito de valores, então para algum k o número rsk
deve ser igual
a algum outro rst com k > t, da´ı o processo para se obter ask+1
é o mesmo para se obter
ast+1 e os números come¸cam a se repetir na sequência da expansão decimal.
10sk+1
rsk
=rst
≥ q ⇒ sk+1 = st+1
10sk+1
rsk
=rst
= ask+1
=ast+1
q + rsk+1
=rst+1
por isso a representa¸cão se torna periódica. Um número racional possui representa¸cão
decimal periódica.
⇐). Um número com representa¸cão decimal periódica representa um número decimal
. Um número com representa¸cão decimal periódica é da forma
a0, a1 · · · at
parte não periódica
at+1 · · · at+pat+1 · · · · · · at+p

a0+
t∑
k=1
ak10−k
+at+1(10−(t+1)
+10−(t+p+1)
+10−(t+2p+1)
+· · · )+at+2(10−(t+2)
+10−(t+p+2)
+10−(t+2p+2)
+· · · )+
+ · · · + at+p(10−(t+p)
+ 10−(t+p+p)
+ 10−(t+2p+p)
+ · · · )
onde cada parcela é racional, então a soma resultante é um número racional.
at+p(10−(t+p)
+ 10−(t+p+p)
+ 10−(t+2p+p)
+ · · · ) = at+p10−(t+p)
(1 + 10−(p)
+ 10−(2p)
+ · · · )
o número
∞∑
k=0
10−kp
é racional logo todas parcelas são realmente racionais.
Exemplo 53. Achar d´ızima de
2
11
. Temos que
2
11
=
20.10−1
11
=
(
11
11
+
9
11
)
10−1
= 1.10−1
+
9
11
10−1
=
= 1.10−1
+
90
11
10−2
= 1.10−1
+ (
8.11
11
+
2
11
)10−2
= 1.10−1
+ 8.10−2
+
2
11
10−2
=
como aparece novamente o termo
2
11
as expressões come¸cam a se repetir . Então temos
que
2
11
= 0, 1818181818 · · · = 0, 18.
1.11 Teste da integral para convergência de séries
Propriedade 75. Seja f : [1, ∞) → R+
decrescente. Nessas condi¸cões
∞∑
k=1
f(k) < ∞ ⇔
∫ ∞
1
f(t)dt < ∞.
Se a série converge para s, vale a estimativa
∫ ∞
n+1
f(t)dt ≤ s − sn ≤
∫ ∞
n
f(t)dt
onde sn =
n∑
k=1
f(k).

Em especial valem as desigualdades
s(n) − f(1) ≤
∫ n
1
f(t)dt ≤ s(n − 1)
f(k) ≤
∫ k
k−1
f(t)dt ≤ f(k − 1).
Demonstra¸cão. De
m(b − a) ≤
∫ b
a
f(t)dt ≤ M(b − a)
onde M, m são o supremo e ´ınfimo de f em [a, b], se tomamos o intervalo [k − 1, k] com
f decrescente essa identidade implica que
f(k) ≤
∫ k
k−1
f(t)dt ≤ f(k − 1)
aplicando a soma
n∑
k=2
tem-se
n∑
k=1
f(k) − f(1) = sn − f(1) ≤
∫ n
1
f(t)dt ≤
n∑
k=2
f(k − 1) =
n−1∑
k=1
f(k) = s(n − 1)
s(n) − f(1) ≤
∫ n
1
f(t)dt ≤ s(n − 1)
portanto segue o resultado de convergência.
Da desigualdade f(k) ≤
∫ k
k−1
f(t)dt ≤ f(k − 1) aplicando
m∑
n+1
resulta
s(m)−s(n) ≤
∫ m
n
f(t)dt ≤ s(m−1)−s(n−1) ⇒
∫ m
n
f(t)dt ≤ s(m)−s(n) ≤
∫ m
n
f(t)dt
tomando m → ∞ segue
∫ ∞
n+1
f(t)dt ≤ s − sn ≤
∫ ∞
n
f(t)dt.
Exemplo 54. Com o teste da integral podemos novamente observar que a série
harmônica diverge
f com f(t) =
1
t
é decrescente e integrável, logo podemos aplicar o teste da integral
∫ n
1
1
t
dt = ln(n) → ∞

logo a série harmônica diverge.
Para outras somas do tipo
1
kp
com p ̸= 1, podemos também aplicar o teste da integral
∫ n
1
1
tp
dt =
n−p+1
−p + 1
−
1−p+1
−p + 1
que diverge se −p + 1 > 0, p < 1 e converge se −p + 1 < 0, 1 < p.
Corolário 31. Usando f(k) =
1
k
e a desigualdade s(n + 1) − f(1) ≤
∫ n+1
1
f(t)dt ≤
s(n), temos
n+1∑
k=1
1
k
− 1 ≤
∫ n+1
1
1
t
dt = ln(n + 1) ≤
n∑
k=1
1
k
portanto
Hn − 1 < Hn+1 − 1 ≤ ln(n + 1) ≤ Hn
a desigualdade da direita implica 0 < Hn −ln(n+1) e a desigualdade da esquerda implica
Hn − ln(n + 1) < 1, logo temos
0 < Hn − ln(n + 1) < 1.
Da desigualdade
∫ n+2
n+1
f(t)dt ≤ f(n + 1) segue que
ln(n + 2) − ln(n + 1) ≤
1
n + 1
⇒ Hn − ln(n + 1) ≤ Hn+1 − ln(n + 2)
logo a sequência de termo xn = Hn −ln(n+1) é monótona limitada e por isso convergente.
Defini¸cão 25 (Constante de Euler-Mascheroni). O limite lim Hn − ln(n + 1) = γ é
chamada de constante de Euler-Mascheroni, é um problema em aberto saber se tal número
é racional ou irracional.
1.11.1 Sequência de varia¸cão limitada
Defini¸cão 26 (Sequência de varia¸cão limitada). Uma sequência (xn) tem varia¸cão
limitada quando a sequência (vn) com
vn =
n∑
k=1
|∆xk| é limitada.

Propriedade 76. Se (xn) tem varia¸cão limitada então (vn) converge.
Demonstra¸cão. (vn) é limitada e não-decrescente, pois ∆vn = |∆xn+1| ≥ 0, logo
é convergente.
Propriedade 77. Se (xn) tem varia¸cão limitada então existe lim xn.
Demonstra¸cão. A série
∞∑
k=1
|∆xk| converge portanto
∞∑
k=1
∆xk converge absoluta-
mente e vale
xn − x1 =
n−1∑
k=1
∆xk ⇒ xn =
n−1∑
k=1
∆xk + x1
logo xn é convergente.
Exemplo 55. Se |∆xn+1| ≤ c|∆xn| ∀ n ∈ N com 0 ≤ c < 1 então (xn) possui
varia¸cão limitada. Definimos g(k) = |∆xk| logo a desigualdade pode ser escrita como
g(k + 1) ≤ cg(k), Qg(k) ≤ c aplicamos
n−1∏
k=1
de ambos lados, da´ı
g(n) = |∆xn| ≤ cn−1
g(1)
somando em ambos lados temos
n∑
k=1
|∆xk| ≤
n∑
k=1
ck−1
g(1)
como o segundo termo converge por ser série geométrica segue que (xn) é de varia¸cão
limitada, logo converge.
Propriedade 78. (xn) tem varia¸cão limitada ⇔ xn = yn − zn onde (yn) e (zn) são
sequências não-decrescentes limitadas.
Demonstra¸cão.
⇐).
Seja xn = yn − zn onde (yn) e (zn) são sequências não-decrescentes limitadas, então
xn tem varia¸cão limitada.
vn =
n∑
k=1
|∆xk| =
n∑
k=1
|∆yk − ∆zk| ≤
n∑
k=1
| ∆yk
≥0
| +
n∑
k=1
| ∆zk
≥0
| =
n∑
k=1
∆yk +
n∑
k=1
∆zk =

= (yn+1 − y1) + (zn+1 − z1) < M
pois (yn) e (zn) são limitadas, logo (vn) é limitada, isto é, (xn) tem varia¸cão limitada.
⇒). Dada (xn) com varia¸cão limitada. (xn) tem varia¸cão limitada ⇔ (xn + c) tem
varia¸cão limitada, pois ∆ aplicado as duas sequências tem o mesmo valor. Escrevemos
xn − x1 =
n−1∑
k=1
∆xk
Para cada n definimos Pn o conjunto dos k da soma
n−1∑
k=1
∆xk tais que ∆xk ≥ 0 e Nn
o conjunto dos k da mesma soma tais que ∆xk < 0, com isso temos uma parti¸cão do
conjunto dos ´ındices e vale
xn − x1 =
n−1∑
k=1
∆xk =
∑
k∈Pn
∆xk
yn
−
∑
k∈Nn
(−∆xk)
zn
(yn) é não decrescente, pois yn+1 = yn caso não seja adicionado ´ındice a Pn+1 em rela¸cão
a Pn e yn+1 ≥ yn caso seja adicionado um ´ındice a Pn+1, pois adicionamos um termo da
forma ∆xk ≥ 0 o mesmo para (zn).
(yn) é limitada pois
∑
k∈Pn
∆xk ≤
n−1∑
k=1
|∆xk| =
∑
k∈Pn
|∆xk| +
∑
k∈Nn
|∆xk| =
∑
k∈Pn
∆xk +
∑
k∈Nn
(−∆xk) < M
da mesma maneira (zn) é limitada.
Exemplo 56. Existem sequências convergentes que não possuem varia¸cão limitada,
como por exemplo xn =
n−1∑
k=1
(−1)k
k
, que é convergente porém ∆xn =
(−1)n
n
⇒ |∆xn| =
1
n
e
n−1∑
k=1
1
k
não é limitada.
Exemplo 57. Seja (xn) definida como x1 = 1, xn+1 = 1 +
1
xn
, então vale que
|∆xn+1| ≤
1
2
|∆xn|.
X Primeiro vale que xn ≥ 1 para todo n pois vale para n = 1, supondo validade para
n, então vale para n + 1, pois xn+1 = 1 +
1
xn
.

Em Rn
S(n) =
n∑
k=1
ak converge ⇔ S(n) converge como sequência ⇔ S(n) é de cauchy
⇔ para ∀ ε > 0 existe n0 ∈ N tal que m ≥ n − 1 > n0 tem-se
|S(m) − S(n − 1)| < ε
|
m∑
k=1
ak −
n−∑
k=1
ak| = |
m∑
k=n
ak +
n−1∑
k=1
ak −
n∑
k=1
ak| < ε
⇔
|
m∑
k=n
ak| < ε.
Propriedade 81. Em Rn
. Se
n∑
k=1
||ak|| converge então
n∑
k=1
ak também converge.
Demonstra¸cão. Por desigualdade triangular vale que
||
m∑
k=n
ak|| ≤
m∑
k=n
||ak||
como
n∑
k=1
||ak|| é de cauchy, para qualquer ε > 0 existem m ≥ n − 1 > n0 tais que
m∑
k=n
||ak|| < ε logo também vale ||
m∑
k=n
ak|| < ε portanto a série
n∑
k=1
ak é de Cauchy e da´ı
convergente.
Propriedade 82 (Critério de compara¸cão). Se existe (ck) em R ,
n∑
k=1
ck convergente
e ||ak|| < ck para k > n0 então
n∑
k=1
ak converge.
Demonstra¸cão. Vamos mostrar que
n∑
k=1
||ak|| converge, da´ı pelo resultado anterior
n∑
k=1
ak também converge.
s(n) =
n∑
k=n0+1
||ak||, define uma sequência crescente limitada superiormente por
∞∑
k=n0+1
ck
logo é convergente. A sequência é crescente pois
s(n + 1) − s(n) = ||an+1|| ≥ 0

e limitada superiormente pois de ||ak|| < ck segue aplicando a soma em ambos lados que
n∑
k=n0+1
||ak|| <
n∑
k=n0+1
ck
perceba que
n∑
k=1
||ak|| é uma série de números reais, pois a norma de um vetor do Rn
é
um número real.
Propriedade 83 (Critério de Dirichlet para séries em Rn
.). Se
n∑
k=1
ak é uma série em
Rn
com somas parciais limitadas, (bk) decrescente de números reais com limite nulo então
n∑
k=1
akbk
converge.
Demonstra¸cão. A série
n∑
k=1
akbk converge ⇔ converge coordenada a coordenada,
as coordenadas de ak ∈ Rn
são limitadas, logo podemos aplicar o critério de Dirichlet
para séries reais em cada coordenada o que implica a convergência da série.
1.13 Produto de séries
Defini¸cão 27 (Produto de Cauchy). Dadas duas séries
∞∑
k=0
ak e
∞∑
k=0
bk definimos seu
produto como a série
∞∑
k=0
ck
onde
ck =
n∑
k=0
akbnk
.
Para o próximo teorema vamos demonstrar inicialmente que
Propriedade 84 (Revertendo a ordem -Soma de elementos de uma matriz triangular
superior). Vale a propriedade
n∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
n∑
j=a
n∑
k=j
f(k, j).

Demonstra¸cão. Definimos g(k, j) = 0 se j > k e g(k, j) = f(k, j) caso contrário,
da´ı completamos a soma
n∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
n∑
k=a
(
k∑
j=a
g(k, j) +
n∑
j=k+1
g(k, j)) =
n∑
k=a
n∑
j=a
g(k, j) =
trocando a ordem da soma
=
n∑
j=a
n∑
k=a
g(k, j) =
n∑
j=a
(
j−1
∑
k=a
g(k, j)
0
+
n∑
k=j
g(k, j)) =
=
n∑
j=a
n∑
k=j
g(k, j)
f(k,j)
.
Caso especial se a = 0
n∑
k=0
k∑
j=0
f(k, j) =
n∑
j=0
n∑
k=j
f(k, j).
A identidade
n∑
k=1
k∑
j=1
a(k, j) =
n∑
j=1
n∑
k=j
a(k, j)
pode ser interpretada como a soma dos elementos de uma matriz triangular superior










a(1,1) a(2,1) a(3,1) · · · a(n,1)
0 a(2,2) a(3,2) · · · a(n,2)
0 0 a(3,3) · · · a(n,3)
...
...
... · · ·
...
0 0 0 0 a(n,n)










na primeira soma fixamos a linha e somamos os elementos das colunas, na segunda fixamos
a coluna e somamos os elementos da linha.
No cálculo de integrais temos resultado similar
∫ n
a
∫ x
a
f(x, y)dydx =
∫ n
a
∫ n
y
f(x, y)dxdy.
Propriedade 85. Vale que
n∑
k=0
k∑
s=0
asbk−s =
n∑
k=0
akBn−k.

Onde Bn =
n∑
s=0
bs, onde (bk) e (ak) são sequências quaisquer.
Demonstra¸cão.
Revertendo a ordem da soma
n∑
k=0
k∑
s=0
asbk−s temos
n∑
k=0
k∑
s=0
asbk−s =
n∑
s=0
k∑
k=s
asbk−s =
n∑
s=0
as
n∑
k=s
bk−s =
n∑
s=0
as
n−s∑
k=0
bk =
n∑
s=0
asBn−s,
logo está provado .
Propriedade 86 (Teorema de Mertens). Se uma das séries
∞∑
k=0
ak = A ou
∞∑
k=0
bk = B
converge absolutamente, então
∞∑
k=0
ck o produto de Cauchy das séries, converge para AB
.
Demonstra¸cão. Tomamos An =
n∑
k=0
ak, Bn =
n∑
k=0
bk, Cn =
n∑
k=0
ck, tn = Bn − B
onde
ck =
k∑
s=0
asbk−s.
Vamos supor que
n∑
k=0
ak é absolutamente convergente, logo
n∑
k=0
|ak| converge e portanto
∑
|ak| é limitada, digamos por um número real M > 0.
Podemos escrever
Cn =
n∑
k=0
ck =
n∑
k=0
k∑
s=0
asbk−s =
n∑
k=0
akBn−k =
=
n∑
k=0
ak(tn−k + B) = B
n∑
k=0
ak +
n∑
k=0
aktn−k =
= BAn +
n∑
k=0
aktn−k
yn
.
Então temos que mostrar que yn → 0. Sabemos que lim tn = lim Bn − B = 0 podemos
tomar n0 tal que n > n0 implica |tn| <
ε
2M
logo
|yn| ≤ |
n0∑
k=0
an−ktk|+|
n∑
k=n0+1
an−ktk| ≤ |
n0∑
k=0
an−ktk|+
n∑
k=n0+1
|an−k|
≤M
|tk|
≤ ε
2M
≤
n0∑
k=0
|an−k| |tk|+
ε
2
≤

como tn → 0 então (tn) é limitada, digamos por M1 > 0, lembrando também que an → 0
, então existe n1 ∈ N tal que para n − n0 > n1, isto é, n > n1 + n0, tem-se |an| ≤
ε
2n0M1
,
juntando tais fatos na desigualdade anterior tem-se que
≤
n0∑
k=0
|an−k|
≤ ε
2n0M1
|tk|
M1
+
ε
2
≤
ε
2
+
ε
2
= ε
logo temos lim |yn| = 0 o que prova o resultado.
Propriedade 87 (Teorema de Abel). Se as séries
∞∑
k=0
ak,
∞∑
k=0
bk,
∞∑
k=0
ck convergem
para A, B e C e
ck =
k∑
s=0
akbn−k
então C = AB.
Demonstra¸cão.
1.14 Séries e desigualdade das médias
Propriedade 88. Sejam m sequências (a1,k) · · · (am,k) de números não negativos, que
formam séries convergentes, então a série
∞∑
k=1
m
m∏
t=1
at,k converge.
Demonstra¸cão. Usamos a desigualdade entre média aritmética e geométrica, que
garante
m
m∏
t=1
at,k ≤
m∑
k=1
at,k
m
a soma dos termos da direita converge , pois a soma finita de séries convergente converge
e podemos trocar a ordem dos somatórios, então
∞∑
k=1
m
m∏
t=1
at,k ≤
m∑
k=1
∞∑
k=1
at,k
m
logo por critério de compara¸cão
∞∑
k=1
m
m∏
t=1
at,k converge .

1.15 Extensão do conceito de série para
−∞∑
k=1
ak.
Defini¸cão 28 (
−∞∑
k=1
ak). Seja ak : Z → R.
Extendemos o conceito de soma
∑
pela recorrência
b∑
k=a
ak =
p
∑
k=a
ak +
b∑
k=p+1
ak.
temos
a−1∑
k=a
ak = 0 que é a soma vazia, tomando b = a − 1 segue que
a−1∑
k=a
ak = 0 =
p
∑
k=a
ak +
a−1∑
k=p+1
ak
tomando agora a = 1 e p = m segue
0 =
m∑
k=1
ak +
0∑
k=m+1
ak ⇒
m∑
k=1
ak = −
0∑
k=m+1
ak
tomando agora m = −n tem-se
−n∑
k=1
ak = −
0∑
k=−n+1
ak
com n ≥ 1 a soma −
0∑
k=−n+1
ak está bem definida e assim fica definida também a soma
−n∑
k=1
ak.
−
0∑
k=−n+1
ak = −(a1−n + · · · + a0) = −
n−1∑
k=0
a(−k)
logo
−n∑
k=1
ak = −
n−1∑
k=0
a(−k)
aplicando lim
n→∞
temos
−∞∑
k=1
ak = −
∞∑
k=0
a(−k).

Corolário 32.
−∞∑
k=1
ak converge ⇔
0∑
k=−∞
ak converge, pois essa segunda é
∞∑
k=0
a(−k) .
Propriedade 89. Se
−∞∑
k=1
ak converge, então lim
k→∞
a(−k) = 0.
Demonstra¸cão. Como vale a igualdade
−∞∑
k=1
ak = −
∞∑
k=0
a(−k) a segunda série é
convergente implica lim
k→∞
a(−k) = 0.

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