1. O documento descreve vários conceitos fundamentais sobre funções, incluindo produto cartesiano, gráfico de uma função, restrição de uma função, domínio e conjunto de chegada, funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva, função composta, função inversa e paridade de uma função. 2. São também descritas transformações do gráfico de uma função, como deslocamentos, dilatações, compressões e simetrias. Aborda-se ainda a monotonia, extremos e concavidades de funções. 3. Por fim, explicam-

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Generalidades sobres funções
Produto cartesiano de A por B
  , :A B a b a A b B     , conjunto dos pares ordenados  ,a b , em que a pertence a A e b pertence a B.
Gráfico de uma função
G A B  é um gráfico de uma função de A em B quando e apenas quando para todo o a A existir um e somente um
elemento b B tal que  ,a b G .
Restrição de uma função
Dados os conjuntos A e B, uma função :f A B e um conjunto C, uma restrição de f a C é a função:
 
| :C
Bf C A
f xx
 
Função real de variável real
É uma função cujo domínio e conjunto de chegada estão contidos em
Domínio e conjunto de chegada
No caso de uma função real de variável real ser definida pela sua expressão algébrica, convencionou-se que o conjunto de
chegada é e que o domínio é o conjunto dos números reais para os quais a expressão tem significado.
Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva
Seja a função :f A B ,
 f é injetiva se e somente se:
   1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x     ou    1 2 1 2 1 2, ,x x A f x f x x x    
Nota:
Uma função f é não injetiva se e somente se    1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x    
 f é sobrejetiva se e somente se para todo o y pertencente a B, existir um elemento x pertencente a A tal que  y f x ,
ou seja, têm de coincidir os conjuntos de chegada e contradomínio  fD B 
 f é bijetiva se f é injetiva e sobrejetiva
Função composta
Dadas as funções g : gD A e : ff D B , a função composta de f com g é a função : f gfog D B , tal que:
   :f g g fD x x D g x D   
      ,f gx D f g x f g x  
Função inversa
Dada a função :f A B , bijetiva de A em B, a função inversa de f é dada por 1
:f B A
 , tal que  1
,y B f y
  é o único
elemento x A tal que  f x y .
Relação entre as funções f e 1
f
 Os gráficos das funções f e 1
f 
são imagem um do outro pela reflexão axial cujo eixo é a reta de equação y x
      1 1
f f x f f x x 
 
Paridade de uma função
 f é uma função par se e somente se    , ,fx x D f x f x    
 f é uma função ímpar se e somente se    , ,fx x D f x f x     

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Transformações do gráfico de uma função
No eixo Oy
Deslocamentos  f x a  
Translação vertical associada ao vetor  0,a
fD D
Dilatações/
Compressões
 af x
 
 
Contração na vertical de coeficiente a, se 0 1a 
Dilatação na vertical de coeficiente a, se 1a 
fD D
Simetrias  f x
Simetria em relação ao eixo Ox
fD D
No eixo Ox
Deslocamentos  f x a


Translação horizontal associada ao vetor  ,0a
 : fD x x D  
Dilatações/
Compressões
 f ax
 
 
Contração na horizontal de coeficiente
1
a
se 1a 
Dilatação na horizontal de coeficiente
1
a
se 0 1a 
: f
x
D x D
a
 
  
 
Simetrias  f x 
Simetria em relação ao eixo Oy
 : fD x x D  
Módulos
 f x
Mantém os pontos de ordenada não negativa e efetua
uma simetria dos pontos de ordenada negativa
relativamente ao eixo Ox
fD D
 f x
Mantém os pontos de abcissa não negativa e efetua uma
simetria dos mesmos relativamente ao eixo Oy
   0 0:f fD D x x D 
     
Monotonia, extremos e concavidades de uma função
Dada uma função real de variável real f e fA D , diz-se que:
 f é estritamente crescente em A se    1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x    
 f é estritamente decrescente em A se    1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x    
 f é constante em A se    1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x    
 f é crescente, em sentido lato, em A se    1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x    
 f é decrescente, em sentido lato, em A se    1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x    
 f é monótona em A se f é crescente ou decrescente em A
Monotonia de uma função afim
Seja f definida, em , por  f x ax b  , 0a 
 f é crescente em , se 0a 
 f é decrescente em , se 0a 

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Função limitada
Dada uma função real de variável real f de domínio fD , um número M é um:
 minorante de f se  ,fx D f x M  
 majorante de f se
Uma função que admite um minorante diz-se minorada e uma função que admite um majorante diz-se majorada.
Uma função que é simultaneamente minorada e majorada diz-se limitada.
Extremos absolutos
Dada uma função real de variável real f de domínio fD e   ff a D ,  f a é:
 mínimo absoluto de f se    ,fx D f a f x  
 máximo absoluto de f se    ,fx D f a f x  
Noção de vizinhança
Dados um número real 0x e um número e um número real positivo r, designa-se por vizinhança r de 0x o intervalo
 0 0,x r x r  e representa-se por  0rV x .
Extremos relativos
Dada uma função real de variável real f de domínio fD , f tem:
 um mínimo relativo (ou local) em fa D se existir 0r  , tal que      ,f rx D V a f a f x    , e a é um
minimizante de f
 um máximo relativo (ou local) em fa D se existir 0r  , tal que      ,f rx D V a f a f x    , sendo a um
maximizante de f
Concavidade de uma função
Dada uma função real de variável real f, um dado intervalo fI D e quaisquer três pontos P, Q e R de abcissas em I que
P Q Rx x x  , f tem:
 concavidade voltada para baixo se o declive da reta PQ é superior do que o declive da reta QR
 concavidade voltada para cima se o declive da reta PQ é inferior do que o declive da reta QR
Função quadrática
Um função quadrática f é definida por uma expressão do tipo   2
, , ,f x ax bx c a b c    com 0a  .
 Pode ser escrita na forma    
2
f x a x h k   , sendo  ,h k as coordenadas do vértice da parábola que representa
esta função graficamente

2
b
h
a
  e  
2
4
4
b ac
k f h
a

  
Estudo da função do tipo    
2
f x a x h k   , 0a 
Domínio
fD 
Contradomínio
 se 0a  , então  ,fD k  
 se 0a  , então  ,fD k  
Monotonia
 se 0a  , f é decrescente em
 ,h e crescente em  ,h 
 se 0a  , f é decrescente em
 ,h  e crescente em  ,h
Paridade
 se 0h  , então f é par
 se 0h  , então f não é par
nem ímpar
 x h é um eixo de simetria
Zeros
 se 0k  , então f tem um zero
 se 0a 
0, então tem dois zeros
0, então não tem zeros
k f
k f



 se 0a 
0, então não tem zeros
0, então tem dois zeros
k f
k f



Extremos
 se 0a  , então k é um mínimo
 se 0a  , então k é um máximo
Concavidade
 se 0a  , então f tem concavidade
voltada para cima
 se 0a  , então f tem concavidade
voltada para baixo

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Função definida por ramos
Quando uma função é definida por expressões
analíticas em diferentes partes do seu domínio,
diz-se que a função está definida por ramos.
Exemplo:
 
2 1
3 1
2 1
x se x
f x se x
x se x


 
  
Função módulo
A função módulo, definida em por  f x x , pode ser
definida por ramos da seguinte forma:
 
0
0
x se x
f x x
x se x

  
 
As funções do tipo  f x a x b c   podem ser estudadas a partir da função  f x x .
Domínio
fD 
Contradomínio
 se 0a  , então  ,fD c  
 se 0a  , então  ,fD c  
Monotonia
 se 0a  , f é decrescente em
 ,b e crescente em  ,b 
 se 0a  , f é decrescente em
 ,b  e crescente em  ,b
Paridade
 se 0b  , então f é par
 se 0b  , então f não é par
nem ímpar
 x b é um eixo de simetria
Zeros
 se 0c  , então f tem um zero
 se 0a 
0, então tem dois zeros
0, então não tem zeros
c f
c f



 se 0a 
0, então não tem zeros
0, então tem dois zeros
c f
c f



Extremos
 se 0a  , então c é um mínimo
 se 0a  , então c é um máximo
Equações e inequações com módulos
A resolução de equações e inequações com módulos resolvem-se aplicando as seguintes propriedades:
 , se 0x k x k x k k      
 x k x k x k     
 x k x k x k     
Função polinomial
Uma função polinomial não nula é uma função real de variável real que pode ser definida analiticamente por um polinómio
com uma só variável.
  1
0 1 1...n n
n nf x a x a x a x a
     onde 0 1 1, , ..., en na a a a são números reais, 0 0a  e n é um número inteiro não negativo
Função cúbica
Uma função do tipo:   3 2
f x ax bx cx d    , 0a  é uma função cúbica.
Pode ter um zero, dois zeros ou três zeros.

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Função raiz quadrada
Seja
0 0
2
:f
x x
 

uma função injetiva, a função inversa de f, 1
f 
, define-se por
1
00:f
x x
 

Os gráficos de funções do tipo  f x a x b c   podem ser obtidos a partir da função  f x x .
Domínio
 ,fD b 
Contradomínio
 se 0a  , então  ,fD c  
 se 0a  , então  ,fD c  
Monotonia
 se 0a  , f é crescente em fD
 se 0a  , f é decrescente em fD
Paridade
 f não é par nem ímpar
Zeros
 se 0c  , então f tem um zero
 se 0a 
0, então tem um zero
0, então não tem zeros
c f
c f



 se 0a 
0, então não tem zeros
0, então tem um zero
c f
c f



Extremos
 se 0a  , então c é um mínimo e b
o minimizante
 se 0a  , então c é um máximo e b
o maximizante
Concavidade
 se 0a  , f tem concavidade
voltada para baixo
 se 0a  , f tem concavidade
voltada para cima
Função raiz cúbica
Seja
3
:f
x x

uma função injetiva, a função inversa de f, 1
f 
, define-se por
1
3
:f
x x


Os gráficos de funções do tipo   3
f x a x b c   podem ser obtidos a partir da função   3
f x x .
Domínio
fD 
Contradomínio
fD 
Monotonia
 se 0a  , f é crescente em fD
 se 0a  , f é decrescente em fD
Paridade
 f não é par nem ímpar
Zeros
 f tem um zero
Concavidade
 se 0a 
 
 
, , tem concavidade voltada para cima
, , tem concavidade voltada para baixo
x h f
x h f
  

 
 se 0a 
 
 
, , tem concavidade voltada para baixo
, , tem concavidade voltada para cima
x h f
x h f
  

 
Extremos
 f não tem extremos

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Operações com funções
Dadas duas funções reais de variáveis real f e g de domínio fD e gD , um número real  e um número racional r, designa-se
por:
 função-soma de f com g a função:
      f g x f x g x  
f g f gD D D  
 função-produto de f com g a função:
      f g x f x g x  
f g f gD D D  
 função-quociente de f com g a função:
 
 
 
f xf
x
g g x
 
 
 
  : 0f f g
g
D D x D g x   
 função-produto de f pelo escalar  a função:
    f x f x 
f fD D 
 função-potência de expoente r de f a função:
    
rr
f x f x    ; r
f
D é o conjunto de números reais x para os quais está definido  
r
f x  
o se   0: : 0r ff
r D x D f x   
o se   0 : : 0r ff
r D x D f x   
o se   0: : 0r ff
r D x D f x   