Slides aula concreto dimenionamento

Universidade Federal da Paraíba – UFPB
Departamento de Engenharia Civil
Estrutura de Concreto I
Enildo Tales

Parte I
Enildo Tales
Estrutura de Concreto

“A razão da existência de estruturas e sua importância para a arquitetura”
De todos os elementos componentes que contribuem para a existência da forma material
rígida, - “a estrutura é o principal”.
Sem a estrutura a forma material não pode ser preservada, e sem a preservação da forma, o
organismo interno não pode funcionar.
Sem estrutura material não há, portanto, organismo animado ou inanimado.
Para a arquitetura há, naturalmente, muitos elementos que constituem uma construção, mas
sua presença não é vital para a existência.
Uma construção pode existir sem pintura e sem aquecimento, porém não pode existir sem
estrutura.
A estrutura é uma necessidade de arquitetura: “Sem estrutura não existe arquitetura”.
Parte I

A necessidade da estrutura, contudo, tem sua única causa. A causa é um conflito de direções,
ou mesmo vários desses conflitos, que devem ser resolvidos de modo a gerar espaço para o viver
e o trabalhar humano.
Esses conflitos direcionais têm algo em comum: estão todos sujeitos a um fenômeno que, se
não existisse tornaria supérfluos os sistemas estruturais essencialmente diferentes dos
atualmente conhecidos. Esse fenômeno é a “força de gravidade”.
Um outro conflito de direções de tensão também se produz por cargas horizontais que atuam
nas construções, ou seja, o “vento”.
Nesse caso, a direção das forças externas está em conflito com a expansão vertical do
espaço interior da construção. De uma certa altura acima do solo esse conflito direcional pode
torna-se tão crítico que suas consequências estruturais ultrapassam longe as causadas pela
gravidade, tornando a estabilidade lateral o ponto principal do projeto estrutural.
Parte I

Atravésdoprojetoestruturalessasforçassãoimpedidasdeatingirumaconcentraçãodestrutivae
sãomantidasemcontrole.
Podem existir ainda conflitos produzidos por fenômenos, tais como: “expansão e contração
térmica, envelhecimento do material e acomodação da fundação”. (dependendo da posição
geográfica do país, pode-se levar em consideração, também o fenômeno sismos).
O projeto estrutural soluciona esses conflitos direcionais fazendo as forças mudarem sua
direção, de modo que o espaço para o movimento humano permanece amplamente desobstruído.
O projeto estrutural não é, pois apenas um método de fazer as força mudarem de direção,
mas também uma arte.
Através do projeto estrutural as cargas gravitacionais, as forças externas e as tensões
internas são mantidas sob controle e canalizadas ao longo de trajetos previstos; a intensão é
mantê-los num sistema de ação e reação interdepende que dê o equilíbrio a cada componente
individual, assim como o sistema estrutural como um todo. Através do projeto estrutural essas
forças são impedidas de atingir uma concentração destrutiva e são mantidas em controle.
Parte I

O projeto estrutural é a estratégica, é o planejamento intelectual de um sistema dinâmico de
como lutar com a multiplicidades de forças.
Na base dessa realização, a questão da extensão e dos conteúdos dos conhecimentos
exigidos pelo arquiteto no projeto estrutural pode ser respondida precisamente. Desde que seja
admitido que a essência do projeto estrutural é o desenvolvimento de um sistema de forma
material que dirige as forças para certas direções e as conduzem ás fundações com o máximo de
estética e eficiência material, e com o mínimo de obstrução do espaço interior.
Portanto, o processo de projetar um sistema estrutural compreende as seguintes fases:
Delineação da forma estrutural básica, dimensionamento global de seus componentes,
introdução de rigidez lateral, comprovação dos possíveis efeitos de variações térmicas,
assentos de fundações, condições de carga e envelhecimento e, finalmente, escolha do
material da estrutura e do método construtivo.
Parte I

sãoalvenaria
Definição de estrutura: (na construção civil)
É um conjunto de partes resistentes da construção que deve garantir a existência de uma
segurança contra estado-limites, nas quais a construção deixa de cumpri as suas finalidades.
Classificação de estrutura: (na construção civil)
• Estruturas dependente – Se confundem com as paredes que passam a ser estruturais;
• Estrutura independente – Neste caso a alvenaria entra apenas como elemento de vedação
se apoiando essencialmente nas peças estruturais formadoras do “esqueleto de
sustentação”.
Parte I

sãoalvenaria
PEÇAS ESTRUTURAIS: São elementos ou partes resistentes de uma estrutura.
Para a idealização de uma estrutura é necessário conhecer o comportamento de cada uma
das peças que vão compor a estrutura projetada. Para isso, torna-se conveniente classificá-las
segundo o seu comportamento. Pois, para cada tipo de elemento estrutural existe método de
cálculos que lhe é próprio.
Alguns Critérios Práticos de Lançamento de Vigas e Pilares (Livro Yopanan)
Denomina-se “lançamento de vigas e pilares” o procedimento de locar, sobre a arquitetura,
as vigas e pilares resultantes da concepção estrutural adotada.
Não existe regras definitivas e precisa para o “lançamento” da estrutura. No máximo, é
possível propor alguns critérios que sirvam de ponto de partida para a materialização dos
componentes estruturais. Nem sempre a primeira solução proposta é a melhor. É recomendável
que se tentem outras e, a partir de uma hierarquia de pré-requisitos, se possa escolher aquela
que melhor os atenda.
Parte I

Recomenda-se que as tentativas sejam registradas no papel manteiga, que permite desenhar
diretamente sobre a planta de arquitetura.
Quem estiver familiarizado com as ferramentas do desenho por computador poderá, em vez
do papel manteiga, utilizar as ferramentas do programa específico.
Elas permitirão desenhar sobre o arquivo eletrônico da arquitetura todas as tentativas de
“lançamento”. O lançamento da estrutura pode ser iniciado por qualquer nível de arquitetura.
Entretanto, a experiência tem mostrado que começando pelo pavimento intermediário tem-
se, melhor domínio dos reflexos sobre os pavimentos imediatamente abaixo e imediatamente
acima.
No lançamento da estrutura, deve-se evitar a angústia de procurar a melhor solução. É bom
lembrar o que já dito no início deste trabalho: a melhor solução não existe, e sim a solução ou as
que atendem bem determinada hierarquia de pré-requisitos.
Parte I

Normalmente, a tendência de quem lança a estrutura é começar pela locação dos pilares. O
inicio pela locação dos pilares pode provocar uma grande indefinição. Os pilares podem ser
locados em qualquer número e, excetuando-se as aberturas, em qualquer posição. Como o
caminho natural das forças passa antes pelas vigas e depois, através delas, chega ao pilares, é
também natural que o lançamento da estrutura se dê a partir das vigas.
Para orientar as tentativas de lançamento, seguem-se alguns critérios objetivos de locação
de vigas e de pilares:
Locação de Vigas
1 - As vigas devem ser locadas de forma que os panos de lajes resultem com dimensões da
mesma ordem de grandeza. Panos de lajes de tamanhos muitos diferentes apresentam dois
inconvenientes: em razão dos vãos diferentes, as lajes necessitam de espessuras diferentes. Isso
tende a dificultar o processo construtivo.
Parte I

Atravésdoprojetoestruturalessasforçassãoimpedidasdeatingiruvmaconcentraçãodestrutivae
Se adota uma única espessura, a estrutura fica superdimensionada e antieconômica. O
segundo inconveniente encontra-se no próprio comportamento das lajes, como mostra a figura
abaixo;
Parte I

Como se pode observar, quando carregadas, a laje de vão menor tende, por influência da laje
de vão maior, a ser submetida apenas a momentos fletores negativos, provocando na viga que a
apoia uma reação de baixo para cima.
Nesta situação, a viga torna-se mais um elemento de ancoragem do que de apoio.
A eliminação da viga extrema, deixando a laje de menor vão em balaço, é mais eficiente,
inclusive do ponto de vista construtivo, pois a sua eliminação facilita a execução das fôrmas e das
armações;
2. Sempre que possível, as vigas devem ser locadas sob as alvenarias. Como a viga é mais
rígida do que a laje, em virtude da sua maior espessura, as deformações que sofre são menores
quando solicitada pela carga da alvenaria.
Desta forma, evitam-se trincas indesejáveis, como mostra a figura.
Parte I

Quando não for possível atender a este critério, pode-se prescindir de uma nova viga se a
alvenaria estiver distanciada do bordo da laje menos de ¼ do seu vão. Nesta posição, a laje é mais
rígida e os efeitos das deformação podem ser desprezados;
3 - Sempre que possível, as vigas devem ser locadas sobre as alvenarias.
Com este procedimento, evita-se que as lajes se apoiem indevidamente nas alvenarias,
introduzindo esforços não previsto no seu dimensionamento.
Parte I

Pela figura anterior, é possível ver que, com o uso da viga sobre a alvenaria, pode-se prever
esse apoio já no cálculo, armando-se lajes contando com os esforços aí originados. Caso não seja
possível lançá-las sobre a alvenaria, é recomendável que a viga seja executada depois de a laje
ter sofrido as maiores deformações. Se a alvenaria estiver distanciada do bordo da laje de menos
de ¼ do tamanho do vão da laje, pode-se prescindir de uma nova viga. Nesta posição, as
deformações da laje são pequenas e o efeito de apoio é desprezível;
4- Sempre que o uso de uma viga interferir esteticamente no espaço onde ela se projeta,
pode-se invertê-la, isto é, colocar a laje na face inferior da viga. A viga invertida apresenta o
mesmo comportamento da viga normal, não necessitando de tratamento especial.
Locação de pilares
1- Em qualquer edificação, em princípio, é suficiente a colocação de apenas um pilar. Não é
difícil imaginar que uma solução que contemple apenas um pilar torna a estrutura muito mais
complexa e cara.
Parte I

O número de pilares para sustentação de um edifício deve ser dosado, de maneira que a
estrutura seja de fácil execução e economicamente viável.
A quantidade de pilares em uma espaço pode afetar psicologicamente os seus usuários.
Estudos mostram que, em saguões de esperas de grandes espaços abertos, as pessoas tende a
se agrupar próximas aos pilares e que sua escassez pode provocar até mal-estar. A opção por
pilares deve ser muito bem avaliada e adotada quando embasada em critérios técnicos,
econômicos e por não dizer, também psicológicos;
2- Em obras de médios e pequenos porte, inclusive edifícios altos, a experiência mostra que
os espaçamentos econômicos entre os pilares situam-se entre 4 e 6 metros;
3- Os pilares devem ser locados de maneira que resultem em vigas com vão de mesma
ordem de grandeza.
Diferença de até 20% nos comprimentos dos vãos das vigas ainda são econômicas.
Parte I

Semprequepossível,ospilaresdevemsercolocadosdeformaquesecriembalançoquepossam
aliviarovãocentra,conduzindoaosmenoresesforços.
Quando os vãos são muito diferentes, pode ocorrer o que
mostra a figura ao lado.
Quando a viga é carregada, seu maior vão tende a fazer com
que o menor seja submetido apenas a momentos negativos.
Desta forma, o pilar extremo de menor vão da viga comporta-se
com a tração, como um tirante e não como um pilar
convencional.
Em tal situação, é preferível a eliminação do pilar extremo, criando um balanço, tornando a
execução mais simples e a estrutura mais econômica;
4- Sempre que possível, os pilares devem ser colocados de forma que se criem balanço que
possam aliviar o vão centra, conduzindo aos menores esforços.
Parte I

A figura ao lado mostra as relações econômicas entre os
balanços e o vãos centrais das vigas; quando carregadas por cargas
uniforme.
5- Os pilares devem ser posicionados sem descontinuidade, da
fundação à cobertura. Com isso, evita-se o uso de vigas de transição,
que encarecem a estrutura;
Parte I
6- Sempre que possível, os pilares devem ser colocados nos encontros das vigas. Com
este procedimento, evita-se que vigas apoiem-se sobre vigas. Cargas concentradas sobre as
vigas tendem a aumentar a solicitação ao momento fletor, exigindo maiores dimensões e,
portanto, tornando-as menos econômicas.
7- Sempre que possível, os pilares devem ser locados sobre o mesmo eixo, facilitando,
desta forma, sua colocação em obra.

Recomendações Gerais
1- Após o lançamento da estrutura, procede-se ao seu pré-dimensionamento, utilizando
tabelas e gráficos, como os apresentados neste trabalho.
O pré-dimensionamento dos elementos estruturais é importante para se ter noção das
dimensões e do seu relacionamento com os espaços arquitetônicos.
2- Sempre que possível, devemos evitar grandes variedade nas dimensões dos elementos
estruturais, visando a uma maior facilidade na execução; três dimensões diferentes para as
vigas e pilares é um número bem razoável.
Parte I

Parte I
Gráfico para pré-dimensionamento dos elementos estruturais

Critérios de definição do sistema estrutural:
A maneira mais espontânea do engenheiro calculista chegar a uma concepção estrutural de
uma estrutura de uma edificação é através da analise de cargas, tomando-se como base o
próprio projeto arquitetônico.
• As cargas distribuídas em superfície (KN/m²) são absorvidas por estruturas terciárias que
normalmente são compostas por “placas” ou “cascas” (lajes planas ou curvar); Obs:
(100Kgf/m² = 1KN/m²);
• As estruturas secundaria recebem as cargas distribuídas em linha (KN/m) ou apenas as
reações das estruturas terciárias. São compostas por barras horizontais (vigas);
• As estruturas primárias garantem a resistência global da edificação. São constituídas por
peças que recebem cargas concentradas diretas (KN) ou provenientes das reações das
estruturas secundária. Para absorverem as cargas de intensidades menores usam-se as
barras verticais (pilares ou tirantes). Para as grandes cargas, usam-se as fundações
(Blocos ou sapatas).
Parte I

Esta é a sequencia natural de escoamento das cargas em uma estrutura.
Entretanto, a escolha final dos modelos estruturais decorre essencialmente da habilidades dos
projetista. Em geral, as possibilidades de escolha são múltiplas e a solução a ser adotada
depende de diversas circunstância. Trata-se de um dos aspectos mais importante das atividade
profissional do engenheiro estrutural.
Essas escolhas depende da existência e do conhecimento de processos rotineiros de cálculos,
fica condicionada pela disponibilidade de tempo e de facilidade dos materiais á disposição do
calculista, deve atender ás limitações de custo, precisa considerar as disponibilidades de mão-
de-obra e de equipamento de construção, devem respeitar os critérios de economia,
exequibilidade e facilidade de fabricação, de montagem, de reposição e de manutenção de
estrutura, critérios esses que são subordinados ao critérios geral de projeto da construção, que
é o de sua eficiência global.
Parte I

Regras práticas para o engenheiro estrutural escolher a estrutura de um edifício
Com a finalidade de atender da melhor forma possível ao projeto arquitetônico, a escolha da
estrutura de um edifício de vários andares começa pelo pavimento tipo, fixando-se as posições
das vigas e pilares neste pavimento e em geral repetindo várias vezes no demais. Logo cada
pavimento terá uma estrutura independente formada por lajes apoiadas em vigas e vigas
apoiadas em pilares, cujas posições das seções coincidem com as posições do pavimento tipo. O
pavimento deixa de se denominar de “tipo”, quando não houver coincidência das posições de
vigas ou de algum pilar.
As posições das vigas, de preferencia devem ficar embutidas nas alvenarias de vedação,
para que não apareçam nos compartimentos inferiores, nem nas portas e janelas.
Parte I

No pavimento térreo, com lojas ou pilotis é preciso também buscar uma solução estética.
Quando o prédio é dotado de garagem é importante verificar se a posição dos pilares projetados
no pavimento tipo, não prejudica o trânsito e o estacionamento dos veículos. Tudo isso, muitas
vezes, se transforma em um verdadeiro quebra- cabeça que o projetista tem que resolver da
melhor maneira possível.
Como as alvenarias de vedação em geral depois de prontas ficam com 15cm, devemos
adotar para larguras das seções das vigas o valor mínimo de 12cm. (NBR 6118:2003 –
dimensões limites 13.2.2). Lembrando que nem sempre esta largura permanece no
dimensionamento final, pois dependem de outras exigências. Para as altura das seções das vigas,
devemos observar as cargas de suporte e as distâncias dos seus apoios, ou seja, dos pilares.
Nos caso de estruturas para edifícios residenciais, as altura das seções das vigas podem
ficar em torno de 1/10 da distancias de seus apoios, em se tratando de vigas de pavimento tipo
(ou de piso).
Parte I

Nas vigas de cobertas, como as cargas de suporte são menores, as alturas das seções
das vigas devem ficar próxima a 1/20 da distancia de seus apoios.
Portanto a escolha da modulação das distancias entre pilares esta diretamente ligadas a
altura s das seções das vigas e o pé direito da edificação do projeto arquitetônico.
De acordo com (NBR. 6118:2003 – Projeto de estrutura de concreto- Dimensões limites
13.2.3), a seção transversal de pilares maciços, qualquer que seja sua forma, não deve
apresentar dimensão menos que 19cm.
As lajes podem ser pré-moldadas ou maciças. Neste último caso podem assumir qualquer
forma, sendo as mais utilizadas, as formas retangulares. Para efeito de pré-dimensionamento,
pode-se considerar a espessura aproximadamente igual a 2,8% do menor vão da laje.
De acordo com NBR. 6118:2003 – Dimensões limites 13.2.4.1: Nas lajes maciças devem ser
respeitadas os seguintes limites mínimos para a espessura:
Parte I

• 5cm para as lajes de cobertura não em balanço;
• 7cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;
• 10cm para lajes que suportam veículos de peso total menor ou igual a 30KN (3000Kgf);
• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30KN.
Simbologia e numeração das peças estruturai: os critérios da NB – 16
“Execução de desenho para obras de concreto simples ou armado”
Recomendam:
Para lajes deve-se usar a letra L, para vigas V, pilares P, sapata S, blocos B e parede Par.
A numeração das peças estruturais será feita, tanto quanto possível a começar do canto
esquerdo superior do desenho, prosseguindo-se para a direita, sempre em linhas sucessivas, de
modo a facilitar a localização de cada peça.
Parte I

Sequencia dos passos para o desenvolvimento de um projeto estrutural de
concreto armado
1. Definição das estrutura começando com a montagem das peças estruturais, dando
formação ao conjunto, ao esqueleto que servirá para “dar vida a construção”. Esta
operação está fundamentada no projeto arquitetônico;
2. Desmontagem das peças, para estudo individual das cargas e dos esforços atuantes,
visando o dimensionamento das mesma;
3. Pré-dimensionamento de cada peça estrutural, para facilitar a determinação do peso
próprio;
Parte I

4. Determinação dos esquemas estruturais das peças (vão livres, vínculos e cargas);
5. Determinação dos esforços solicitantes das peças estruturais;
6. Dimensionamento das peças estruturais;
7. Detalhes construtivos e desenho técnicos das peças estruturais com os respectivos
quantitativos dos materiais determinado no dimensionamento, para a fabricação das
mesma.
Parte I

Parte II
Enildo Tales

CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Elementos estruturais (NBR. 6118:2003 - §14.1) – As estruturas podem ser idealizadas como a
composição de elementos estruturais básicos, classificados e definidos de acordo com a sua
forma geométrica e a sua função estrutural.
Parte II

I) Elementos Lineares – São aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo
menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominados
barras. De acordo com a sua função estrutural recebem as designações abaixo:
Pilares – elementos lineares de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as forças
normais de compressão são preponderantes.
Treliças – é uma composição de elementos lineares (barras retas) dispostos de modo a formar
através de barras, uma rede de triângulos. Cada barra fica solicitada por forças normais de
compressão ou de tração.
Parte II

Parte II
Tirantes – elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são
preponderantes.
Arcos – elementos lineares curvos em que as forças normais de compressão são
preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas
ações estão contidas no seu plano.
Pórticos – é uma composição de elementos lineares (barras retas) não alinhadas.
Vigas – elementos lineares em que a flexão é preponderante.

.
Parte II

II) Elementos de superfície – (NBR. 6118- §14.4.2) – elementos em que uma dimensão,
usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais, podendo receber
as designações apresentadas abaixo:
Placas – elementos de superfície plana, sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. As
placas de concreto são usualmente denominadas lajes.
.
Parte II
Chapas - elementos de superfície
plana, sujeitos principalmente a
ações contidas em seu plano.
Ex: Paredes
Cascas – elementos de superfície
não plana

III) Elementos de volume – elementos em que as três dimensões têm grandezas
aproximadamente iguais. Ex: Blocos.
Parte II

Parte II
LAJES DE EDIFÍCIOS
Definição de Lajes Maciças – são elementos planos de concreto armado destinados a receber
cargas normais ao seu plano e a transmiti-las às vigas. No desempenho dessa função ficam
solicitadas por esforços internos, sendo o mais forte o “momento fletor”.
Classificação – Quanto a Forma – as lajes de concreto armado podem assumir qualquer
forma. Sendo as mais econômicas as retangulares e quadradas devido ao maior aproveitamento
de formas.

Parte II
Classificação – Quanto ao Tipo de Apoio – podem ser apoiadas em alvenarias, em vigas ou
diretamente sobre pilares com capitéis (cogumelo) ou sem capitéis (lisas).
Classificação – Quanto a Variedade – as mais utilizadas são:
Maciças – Nervuradas – Premoldadas – Treliçadas – Lisas – Cogumelos.

Obs: A escolha do tipo depende principalmente dos fatores: Cargas atuantes- Vãos livres – Custo
(econômico)
Classificação – Quanto a Execução de Montagem na obra
1. Com Execução Total – utilizando-se de armaduras, formas e escoramentos (lajes
maciças).
2. Com Execução Semi-Parcial – utilizando-se apenas de escoramentos (Semi-pré-
fabricadas ou Pré-moldadas)
3. Sem Necessidade de Execução – utilizando-se apenas de montagem, pois são enviadas as
obras, totalmente prontas em forma de placas de concreto armado ou protendido, pelo
fabricante (Pré-fabricadas).
Parte II

Lajes Pré-moldadas – São lajes compostas de nervuras (vigotas) pré-moldada de concreto
armado ou protendido, com função estrutural, entre as quais são colocados blocos cerâmicos,
de argamassa (cimento e areia) ou de fibras, com a função de completar a laje.
Lajes Treliçadas – tem a mesma definição da Laje Pré-moldada com um diferencial em relação
às nervuras. Pois nesse caso, elas são reforçadas com uma treliça interna, possibilitando uma
resistência bem maior aos esforços solicitante.
Parte II

Parte II

Lajes Nervuradas (NBR. 6118:2003-§ 14.7.7) – São as lajes moldadas no local ou com nervuras
pré-moldadas, cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado
material inerte.
Parte II

As lajes com nervuras pré-moldada devem atender adicionalmente às prescrições de norma
brasileira específica.
Lajes Cogumelos (NBR. 6118:2003-§ 14.7.8) – São lajes apoiadas diretamente em pilares, com
capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem capitéis.
A análise estrutural de lajes lisas e cogumelo devem ser realizadas mediante emprego de
procedimento numérico adequado, por exemplo, elementos finitos e elementos de contorno.
Parte II

LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO
As lajes Maciças Retangulares se classificam em dois tipos:
Laje Armada em uma só direção – o vão maior (L) é superior ao dobro do vão menor (l). Deve
ser calculada como apoiada em uma só direção e sua armação principal se encontra na direção
do vão menor: L / l > 2
Parte II

Laje Armada em duas direções ou em Cruz – o vão maior (L) não ultrapassa o dobro do
menor vão (l). Deve ser calculada como apoiada em duas direções tendo, portanto, nas duas
direções armaduras principais: L / l ≤ 2 ( é um nº compreendido entre 1 e 2 ).
Parte II

;
1.Determinaçãodasarmaduraslongitudinais
2.Detalhamentodasarmaduras;
3.Determinaçãodospavimentosdeconcreto
ROTEIRO PARA O CALCULO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
Para o cálculo de lajes isoladas, é recomendado que seja respeitado o seguinte:
Parte II
1. Determinação das condições mais adequadas de vinculação das lajes
(discretização do pavimento);
2. Vãos efetivos;
3. Pré-dimensionamento das alturas das lajes (espessura h);
4. Cálculo das cargas atuantes;
5. Verificação das flechas;
6. Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio;
7. Cálculo dos esforços nas lajes retangulares de concreto armado
8. Determinação das armaduras longitudinais
9. Detalhamento das armaduras;
10. Determinação dos quantitativos de concreto e aço.

ESQUEMA ESTRUTURAL DAS LAJES:
Para se calcular os esforços atuantes de uma laje são necessários conhecer:
I - Vínculo existente entre a laje e seus apoios;
II - Vãos efetivos;
II - Pré-dimensionamento da espessura (h) da laje;
IV - Cargas atuantes.
I - Vínculo: As ações e reações se transmitem de corpo a corpo por intermédio dos vínculos, no
caso das lajes esses vínculos podem ser ou Apoios Simples ou Engastes.
Uma laje pode estar simplesmente apoiada em uma parede ou viga ou também pode se engastar
em outra laje vizinha no mesmo nível.
Parte II

CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS SOBRE O FUNCIONAMENTO DAS LAJES CONTÍNUAS:
 As lajes contínuas podem ser consideradas isoladamente, fazendo-se a substituição das lajes
adjacentes por condições de apoio. As lajes extremas são simplesmente apoiadas e as
intermediárias possuem engaste perfeito condicionado pela laje adjacente. (Francisco
Xavier adão, p. 21).
 Nas lajes contínuas, para simplificar o calculo dos momentos elásticos são usados os
seguintes critérios simplificadores: (Aderson Moreira da Rocha, Vol. I, p. 81):
1. Nos apoios contínuos, onde há diferença de nível entre as lajes vizinhas devidas aos
rebaixo, despreza-se a continuidade e calculam-se as lajes supondo tais apoios como se
fossem apoios simples.
Parte II

2. Quando ao longo de um apoio existir menos de 2/3 de seu comprimento com continuidade
entre as lajes vizinhas de mesmo nível, despreza-se a continuidade e considera-se tal apoio
como simples. Quando houver 2/3 ou mais de continuidade ao longo de um apoio,
considera-se este apoio como engaste perfeito.
 O critério utilizado para discretizar um pavimento é considerar cada região contida entre
quatro vigas como sendo uma laje. A borda de uma laje será considerada engastada caso
uma laje vizinha com rigidez suficiente (dependendo de seu vão ou espessura) para impedir a
rotação nesse borda comum. Quando isto não ocorre, ou simplesmente a laje em estudo não
faz vizinhança com outra laje, a borda é considerada livre (sem qualquer apoio) ou
simplesmente apoiada.
 No caso de se considerar engastado deve ser empregado com bom senso, pois lajes com
pequenos vãos ou espessuras podem não ter rigidez suficiente para impedir a rotação
vizinha. (Roberto Carvalho, p.312)
Parte II

Parte II
Exercício de avaliação das condições de apoio entre lajes de mesmo nível
1)
Direção Horizontal: 2/3 L1 ≤ L2 → 2/3 3,0 ≤ 3,0 (V)
Direção Vertical: 2/3 L1 ≤ L2 → 2/3 5,0 ≤ 5,0 (V)
Conclusão: Comprovação mínima de 2/3 de continuidade entre as lajes vizinhas e de uma
simetria, logo a L1 esta engastada em L2 e vice-versa.

Parte II
Esquema estrutural das lajes:
L1 = L2

Parte II
2)
L1
Direção Horizontal: 2/3. 4,0 ≤ 2,0 (F) → A L1 não está engastada na L2
L2
Direção Horizontal: 2/3. 2,0 ≤ 4,0 (V)
Direção Vertical: 2/3 . 5,0 ≤ 5,0 (V) → A L2 está engastada na L1
Conclusão: A laje de área menor, estar sempre engastada na de área maior, desde que estejam
no mesmo nível.

Parte II
3)
Conclusão: Somente a L2 está engastada na L1.

Parte II
2 - Vãos efetivos de lajes (NBR. 6118:2003 -§ 14.7.2.2) – quando os apoios puderem ser
considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser
calculado pela seguinte expressão:

3 - Pré-dimensionamento da espessura (h) da laje: é uma fixação prévia da espessura da
laje, baseada nos critérios das normas técnicas. Esses critérios servem para evitar o estado de
deformação excessiva da peça. Obs: Na NBR. 6118:2003 não existe recomendação sobre a altura
inicial a ser adotada, por isso, optou-se por seguir as recomendações da NBR. 6118:1980.
- Critério da Esbeltez:
No item 4.2.3.1C da NBR. 6118:1980 (Restrições às Flechas das Lajes) - considera-se que nas lajes
maciças, será permitido dispensar o cálculo das flechas (deformação) se a altura útil (d) da laje
for maior que:
onde ( é o menor vão da laje, ψ2 e ψ3 são dados nas tabelas da próxima página
a seguir)
- Critério da Utilização: (determinação do h mínimo)
Parte II
3.2 

l
d l

Altura Útil das Lajes (d) – é a distância do bordo comprimido ao centro de gravidade da
armadura tracionada.
Espessura das Lajes (h) – é a altura útil da laje acrescido da camada de cobrimento da
armadura.
Cobrimento: é camada de concreto que envolve a armadura para lhe garantir uma maior
durabilidade.
A NBR. 6118:2003 item 6.4.2 faz a seguinte consideração sobre a determinação do cobrimento da
armadura (proteção para armadura contra a agressividade do meio ambiente):
Parte II

Parte II
Tabela para (Manoel Henrique C. Botelho, p. 113)32  e

Parte II
Cálculo das lajes – Restrições as flechas das lajes
No item 4.2.3.1.C da NB-1 alerta-se que nas lajes (e vigas) deve-se limitar as flechas das
estruturas. No caso das lajes maciças, (nosso caso), será permitido dispensar os cálculos se a
altura da laje for maior de uma quantidade que a seguir se mostra:
3.2 

l
d

Parte II
3. Para lajes armadas em cruz para determinação de temos que consultar o esquema a
seguir e verificar em que caso se encontra. (tabela tirada da NB-1, item 4.2.3.1)

Parte II
Exercício de Pré-dimensionamento de Lajes
1. Pré-dimensionar a espessura da laje obedecendo as seguintes condições:
 Laje de piso de residência situada no centro da cidade
 Aço CA-60 (Fyd = Fy / γS = 6000 / 1.15 = 5200 kgf/cm2 )

Parte II
Resolução:
a) = 5 / 2 = 2,5 > 2,0 → armada em uma direção
b) Critério da utilização → h ≥ 7 cm
c) Critério da esbeltez → = 200 / 1.2 x 20 = 8,3 cm
d) Agressividade II (urbana) → 2,5 cm
e) h = d + cobrimento = 8,3 + 2,5 = 10,8 ≈ 11 cm
2. Pré-dimensionar as espessuras das lajes abaixo e considerar os mesmos
dados:

Parte II
L1=L2
a) = 4.20 / 3.50 = 1.20 < 2 → Armada em duas direções
b) Critério da Utilização → h = 7 cm
c) Critério da Esbeltez → onde ψ3 = 20 (Aço CA-60)
Determinação de ψ2 → ( 4.20 / 3.50 = 1.20 no intervalo de 1 a 2)

Parte II
Ψ2 Ψ2 = 1.58
Interpolação:
(2 – 1 ) / (1.1 – 1.7) = (1.2 – 1) / ( Ψ2 – 1.7) → Ψ2 = 1.58
= 350 / 1.58 x 20 = 11 cm.
d) Agressividade II (urbana) → 2,5 cm
e) h = d + cobrimento = 11 + 2.5 = 13.5 cm.

Parte II
3. Verificar quais das 3 opções estruturais abaixo, oferece menor volume de concreto,
incluindo o volume das vigas. (Pré-dimensionar as lajes adotando os mesmos dados
anteriores).
A) B)
C)
Imagem 23
OBS: V1=V2=V3=V4=V5=V6-(15x1B)

Parte II
4. Cálculo das cargas atuantes: (AÇÕES)
Denomina-se ação qualquer influência, ou conjunto de influência, capaz de produzir estados de
tensão em uma estrutura. Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as
ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame,
levando-se em conta os possíveis estados limite últimos e os de serviço.
As ações a considerar classificam-se, de acordo com a NBR6118:2003, em ações permanentes,
ações variáveis, e ações excepcionais.
a) Ações permanentes - São as que ocorrem com valores praticamente constante durante
toda a vida da construção. Podem ser diretas ou indiretas.
Diretas – São constituída pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos elementos dos
elementos construtivos fixos e das instalações permanentes.

Parte II
Indiretas - São constituídas pelas deformações imposta por: retração do concreto, fluência do
concreto, deslocamento de apoio, imperfeições geométricas e protensão.
b) Ações variáveis – São classificadas em diretas e indiretas
Diretas - São constituída pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, pela ação
do vento e da chuva.
Indiretas – São causadas por variações uniformes e não uniformes de temperatura e por ações
dinâmicas.
Ações excepcionais – São situações excepcionais de carregamento que pode ocorrer na
estrutura
De um modo geral nas estruturas as ações solicitantes são:

Parte II
Cargas atuantes: De um modo geral nas estruturas as ações solicitantes são:

Parte II
CARGAS - Esforços externos ativos provenientes da ação da gravidade. Nas lajes, as principais
são as “Permanentes e as Acidentais”, avaliadas em unidades de força por unidade de área: γ =
p / v → p=γ v (Kgf/m² ou usando S.I., em kN/m² ) onde 100Kgf/m² = 1 kN/m² .

Parte II
1. Peso Próprio – corresponde ao peso exclusivo da laje. Para se determinar multiplica-se o
valor da espessura (h) pelo peso específico do concreto armado (2500 Kgf/m3 ou 25
kN/m3 ).
2. Peso de Enchimento – Nas lajes rebaixadas em relação as demais e com enchimento (Ex:
terra vegetal – jardim) determina-se esse peso multiplicando-se o valor do peso
específico do material do enchimento (normalmente tabelado) pela altura do rebaixo.
3. Peso de Revestimento e Pavimentação – Pode ser adotado um valor médio de 70 Kgf/m2
ou 0.7 kN/m2 para os pisos comuns de edifícios. Esse valor corresponde ao peso médio das
cerâmicas ou dos assoalhos, acrescido do peso da camada de fixação e do revestimento
inferior da laje.
4. Peso de Parede – No caso de parede descarregando diretamente sobre a laje, podem
ocorrer duas situações:

Parte II
I) Lajes Armadas em duas direções: nessa situação o peso da parede será considerado como
uma carga uniformemente distribuída sobre a laje. A carga da parede é computada dividindo-se o
peso total da parede pela área da laje, obtendo-se uma nova parcela por metro quadrado. Por
medida de segurança não se descontam no cálculo da área da parede as áreas vazias, ocupadas
por esquadrias. Ex:
Peso Parede = γ v / área total da laje, Ex: Pé direito = 2.80m, espessura de 15 cm.
Peso Parede = (1300 x 0,15 x 2,80 x 3,0) / (3,0 x 5,0) = 109,2 Kgf/m2

Parte II
II) Lajes Armadas em uma direção: Podem ocorrer duas situações:
a) Parede Disposta na Direção do Menor Vão: Considera-se o peso da parede distribuído em
uma faixa de influência delimitado por (l / 2), onde l é o menor vão. Ex: Faixa B é a faixa de
influência da parede = 2,5/ 2,0 = 1,25
Peso Parede = (1300 x 0,15 x 2,8 x 2,5) /
(2,5 x 1,25) = 436,8 Kgf /m²

Parte II
b) Parede Disposta na Direção do Maior Vão:
Nesse caso a carga da parede será suposta concentrada ao longo de seu comprimento de ação.
O cálculo é feito para faixas de 1 metro de largura. Nesse exemplo abaixo, na faixa B não tem
contribuição de carga de parede, porém na faixa A o peso da parede será determinado da
seguinte forma: P = γ v = 1300 x 0,15 x 2,8 x 1,0 = 546 Kgf.
Faixa A

Parte II
Valores Representativo das ações: as ações são quantificadas por seus valores
representativos, que podem ser valores característicos, valores convencionais excepcionais e
valores reduzidos conforme definidos na NBR6118: 2003.
a) Valores característicos das ações (Fk) – São estabelecidos em função da variabilidade de
suas intensidades. Tanto para as ações permanentes como para as ações variáveis estão
definidas na NBR6120:1980
b) Valores convencionais excepcionais – são aqueles arbitrados para as ações excepcionais, e
não podem ser definidos em norma, pois dependem de cada caso particular.
c) Valores reduzidos – São dados em função da combinação de ações, para as verificações de
estado limites últimos de serviço.

Parte II
A Norma Brasileira de Cargas para o Cálculo de Estrutura de Edifícios – NB-5 prescreve:
Cargas para o cálculo das lajes - Cargas Acidentais:
a) em forros não destinados a depósitos – 50 Kgf/m2 ou 0,5 kN/m2
b) em compartimentos destinados a dormitórios, salas, copa, cozinhas e banheiros – 150
Kgf/m2 ou 1,50 kN/m2
c) em despensa, área de serviços, lavanderia e dependência de escritórios – 200 Kgf/m2 ou
2,0 kN/m2
d) em compartimentos destinados a reuniões ou acesso público – 300 Kgf/m2 ou 3,0 kN/m2
e) em compartimentos destinados a bailes, ginástica ou esportes – 500 Kgf/m2 ou 5,0 kN/m2
f) em casa de máquinas (incluindo o peso das máquinas), a ser determinada em cada caso,
porém com um valor mínimo – 750 Kgf/m2 ou 7,5 kN/m2

Parte II
g) em compartimentos destinados a arquivos, bibliotecas ou depósitos de qualquer natureza,
as que se determinarem em cada caso especial.
Em Parapeitos de Balcões:
Ao longo dos parapeitos dos balcões, deve-se considerar aplicada uma carga mínima vertical de
200 Kgf/m ou 2,0 kN/m
5. Verificação das flechas
A verificação do estado limite de deformação excessiva deve ser feita para as combinações de
ações de serviço, conforme item 11.8.3.1 da NBR6118.
As flechas, determinadas devem obedecer aos valores limites de deslocamentos dados no item
13.3 da norma.

Parte II
6. Cálculo das reações das lajes nas vigas de apoio

Atravésdoprojetoestruturalessasforçassãoimpedidasdeatingirumaconcentração
destrutivaesãomantidasemcontrole.
Parte II

Atravésdoprojetoestruturalessasforçassãoimpedidasdeatingirumaconcentrodestrutivaesão
mantidasemcontrole.
Parte II

7. Cálculo dos esforços nas lajes retangulares de concreto armado
Lajes armadas numa só direção: Nesse caso, os esforços solicitantes internos são calculados
apenas na direção do menor vão, sempre por faixas de 1 metro e para carga total. Dependendo
do tipo de apoio (vínculo) existente, podem-se ter três casos:
a) Lajes com dois apoios simples: (simplesmente apoiada)
Parte II
M = p.( l2 ) / 8 → Momento positivo (no meio do vão)
X = 0 → Momento negativo (no apoio)
R1 = R2 = 0,5 p l → Reação de apoio na direção do menor vão
l → Vão menor
p → carga total atuante

b) Laje com um apoio simples e um engaste:
Parte II
→
l
L
> 2
M = p. l2 / 14,22 → Momento positivo
X = - p. l2 / 8 → Momento negativo
Re = 0,6 p.l → Reação na direção do menor vão e do engaste
Ra = 0,4 p.l → Reação na direção do menor vão e do apoio

c) Lajes com dois engastes (Bi-engastada)
Parte II
M = p. l2 / 24 → Momento positivo
X = p. l2 / 12 → Momento Negativo
R1=R2=Re = 0,5 p.l → Reação de apoio na direção do menor vão
→
l
L
> 2
OBS: Para todos os três casos acima, adotar para a direção do maior vão:
RL = 0,125pl

Lajes armadas em duas direções:
Principais processos de cálculo dos esforços em lajes são:
• Processo da Teoria das Grelhas;
• 2. Processo de Marcus;
• 3. Processo de Ruptura.
No processo das Grelhas, em cada laje, traçam-se dois eixos segundo as direções X e Y, sendo
que se adota para X a direção que possui maior número de engastamento. Quando esse número
for o mesmo nas duas direções, adota-se para X a direção de vão menor (Aderson Moreira,
p.81, vol. I).
Parte II
→
l
L
> 2

Sendo argumento de entrada para o uso das tabelas de cálculo dos esforços internos e
( ), onde (q) é a carga total e soma das cargas permanentes (g) mais acidentais (p).
Nas lajes armadas em duas direções a carga total (q) divide-se em dois quinhões de carga.
Chamando ly e lx os vãos da laje, tem-se: q= qx + qy.
Esses quinhões são cargas por metro quadrado que atuam em faixas de 1 metro de largura.
Quando os comprimentos dos lados da laje são iguais e a laje possui para os quatro lados os
mesmos vínculos pode-se afirmar: qx = qy ,quando isso não ocorre, o valor qx dependerá de um
coeficiente de escoamento de carga kx que evidentemente, esta relacionado com os tipos de
vínculos das bordas e comprimentos dos lados da laje, portanto:
qx = kx . q
qy = q - qx
Parte II
lx
ly

pgq 

Distribuição de cargas em laje armadas em cruz: (determinação de kx):
Na figura abaixo (laje armada em cruz e apoiada nos quatro lados) para calcular qx e qy,
considera-se o valor das flechas (deformação) no meio do vão da faixa unitária:
Parte II
JE
lxqx
fx
..384
..5 4

JE
lyqy
fy
..384
..5 4

E, é o mesmo material (módulo de elasticidade).
J, é o mesmo (momento de inércia relativo à seção unitária da faixa).
Evidentemente: fyfx 
e

odestrutivaesãomantidasemcontrole.
Logo: →
Parte II
44
.. lyqylxqx 
44
lx
qy
ly
qx

(a soma dos antecedentes, dividida pela a soma dos consequentes forma uma razão igual a cada
uma das parcelas), assim:
444444
lylx
q
lxly
qyqx
lx
qy
ly
qx





444
lylx
q
ly
qx

 → q
lylx
ly
qx .44
4

 → dividindo por 4
lx , e como
lx
ly

qqx .
1 4
4



 4
4
1 


Kx qKxqx . qxqqy tem-se: e fazendo-se → e
A determinação de Kx para uma laje com apoio nos quatro lados pode também ser feita para
cada um dos cinco casos restantes de apoio de bordo. É só usar corretamente os valores das
flechas, obedecendo às condições de apoio das bordas. Então, há para cada caso uma tabela
específica que fornecerá o valor de Kx , em função de: lx
ly


Assim, para os outros cinco casos tem-se:
Para o 2º caso: → e
Parte II

Parte II

Parte II
14
4




Kx

Momentos Fletores nas Lajes Armadas em Duas Direções – Processo das
Grelhas:
Pela teoria das grelhas, os momentos fletores para cada direção são calculados como se cada
faixa trabalhasse independentemente uma da outra. Os valores desses momentos dependem dos
tipos de apoios de bordo, se são apoios simples ou engastes.
De uma forma geral se tem:
Os valores de m´ e de n´ dependem da natureza dos apoios:
Xx e Xy = 0
Parte II
´
2
.
x
xx
x
m
lq
M  ´
2
.
y
yy
y
m
lq
M  ´
2
.
x
xx
x
n
lq
X  ´
2
.
y
yy
y
n
lq
X 

Parte II
Por exemplo, no 5º caso:
24
. 2
xx
x
lq
M 
12
. 2
xx
x
lq
X 
22,14
. 2
yy
y
lq
M 
8
. 2
yy
y
lq
X e

Momentos Fletores nas Lajes Armadas em Duas Direções – Processo de
Marcus:
Procedimento para Determinação das formulas De Marcus:
1- A partir dos momentos fletores obtidos usando o processo das grelhas se faz a correção p/
Marcus, introduzindo-se um coeficiente determinado de forma semi-empírica de valor menor do
que 1;
2- Valores dos coeficientes introduzidos e descobertos p/ Marcus:
Parte II
2
3
20
1


x
x
x
m
K

y
y
y
m
K
3
20
1
2

 e
Esses coeficientes corrigem os valores obtidos pela teoria das grelhas, uma vez que a laje
funciona como uma placa única de faixas interligadas entre si, resultando em flechas menores do
que as indicadas pela teoria das grelhas e, consequentemente, com momentos menores.

3- Dedução das Formulas dos Momentos Fletores de Marcus:
(multiplica-se por υx e divide-se por Kx .υx )
Fazendo: → → (F. de Marcus)
Parte II
xx
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
k
m
lq
m
lqk
m
lq
M


.
.
.
..
.
.
´
2
´
2
´
2

x
xx
x
m
k
m

.
´
x
x
x
m
lq
M
2
.

yy
y
x
y
yxy
y
y
yy
y
y
yy
y
k
m
lq
m
lqk
m
lqk
m
lq
M



..
.....
.
..
.
.
2
´
2
´
22
´
2
´
2

(multiplica-se por υy e divide-se por Ky .υy em seguida multiplica-se por )2
xl
Chamando:
y
yy
y
m
k
m

 .. 2
´
→
y
x
y
m
lq
M
2
.
 → (F. de Marcus)

Parte II
Com raciocínio análogo se tem:
x
x
x
x
xx
x
xx
n
lq
K
n
lqK
n
lq
Xx
2
´
2
´
2
....
 → (divide-se por Kx )
x
x
x
K
n
n
´

x
x
n
lq
Xx
2
.
Fazendo: → → (F. de Marcus)
2
´
.y
y
y
K
n
n 
y
x
y
n
lq
X
2
.
 → (F. de Marcus)→
Os coeficientes mx , my , nx e ny encontram-se nas tabelas de Marcus, em função de
lx
ly

e do tipo de condições de bordo da laje. Então, com o valor de λ obtém-se Kx , mx , my , nx e ny
para cada caso especifico.

CORREÇÃO DOS MOMENTOS NEGATIVOS E POSITIVOS DAS LAJES
Em virtude da descontinuidade no diagrama dos momentos fletores das lajes envolvidas é
necessário que se faça uma correção dos valores. (ver desenho explicativo)
Adota-se como momento negativo em cada apoio à média ou 0.8 do maior dos dois momentos
negativos das lajes vizinhas. Logo:
O momento corrigido Xd ≥ ( X1 + X2 ) / 2 ou Xd = 0.8 X1 onde X1 é o maior.(adota-se para o Xd ,
o valor maior)
Em virtude da correção dos momentos negativos, se faz necessário também corrigir o momento
positivo que sofreu acréscimo de valor. Isto ocorre na laje de maior momento negativo. Logo o
valor a ser somado será:
= [ X1 ( maior negativo ) – Xd ] / 2
Parte II
m

PROCESSO DE DETERMINAÇÃO DAS CARGAS PROVENIENTES DE UM RESERVATÓRIO ELEVADO
Existem dois processos: O Método Prático-aproximado e o Método Convencional-exato.
 No Método Prático e aproximado, pode-se considerar o peso da estrutura da caixa elevada,
aproximadamente igual, ao peso correspondente ao volume d água dessa caixa. Logo o peso
total desse reservatório será igual a duas vezes o peso do volume d água.
 No Método Convencional e exato, considera-se a princípio, o peso individual dos elementos
estruturais que fazem parte do reservatório, ou seja, o peso da laje de fundo, da tampa e das
quatro vigas paredes, que se apóiam nos pilares de suporte da caixa. Dessa forma, calcula-
se separadamente a carga de cada elemento, somando-se no final, ao peso d água.
Parte II
aguaaguaVesrv .2.Pr 

Exemplo: Corte Vertical do Reservatório
Parte II
1. Método Aproximado: Pc1 = Pc2 = Pc3 = Pc4 = 2 x (2 x 2 x 2 x 1000) / 4 = 4000 kgf.

2. Método Exato: (após o conhecimento do resultado do dimensionamento das peças de
composição do reservatório):
a) Laje de Fundo: 2500 x 2.0 x 2.0 x 0.12 = 1200 kgf.
b) Laje de Tampa: 2500 x 2.0 x 2.0 x 0.07 = 700 kgf.
c) Vigas do Reservatório: Vc1 = Vc2 = Vc3 = Vc4 = 2500 x 2.19 x 2.24 x 0.12 = 1471.6
kgf, logo o peso das paredes é igual: 4 x 1471.6 = 5886.4 kgf.
d) O peso total do reservatório cheio: 1200 + 700 + 5886.4 + (Peso Água = 2 x 2 x 2
x 1000 = 8000) = 15786.4 kgf.
e) Carga em cada pilar: Pc1=Pc2=Pc3=Pc4= 15786.4 / 4 = 3946.6 kgf.
Conclusão: 4000 – 3946.6 = 53.4 kgf (erro desprezível para uma avaliação de carga
de um pilar)
Parte II

MAPA DE CARGA DOS PILARES E DAS FUNDAÇÕES
É uma planilha de cálculo que tem a finalidade de informar os valores das cargas nos pilares de
cada pavimento e nas respectivas fundações, com o objetivo de se dimensionar essas peças
estruturais.
Exemplo de um modelo aplicativo:
 mostrar em corte, o esqueleto da estrutura do edifício
 mostrar em planta, o croqui da estrutura de cada nível (com a respectiva demonstração dos
valores das cargas escoadas até os pilares)
 finalmente, o processo de preenchimento da planilha com esses valores demonstrados.
Parte II

CÁLCULO DAS ESCADAS OU RAMPAS USUAIS
1 - Classificação: a) Escadas Armadas Transversalmente;
b) Escadas Armadas Longitudinalmente:
c) Escadas Armadas em cruz.
2- Cargas: (todas as cargas são consideradas como carga vertical pôr metro quadrado de
projeção horizontal. - ver demonstração).
a) Sobrecarga – provenientes do peso das pessoas, móveis, etc.
Os valores são definidos pelas normas técnicas, são:
Escadas secundárias...................... adotar... 200 a 250 kg/m2 ou 2,5 kN/ m2
Escadas de Edifício Residencial....adotar......250 a 300 Kg/m2 ou 3 kN/m2
Escadas de Edifício Público .........adotar.......400 a 500 kg/m2 ou 5 kN/m2
Parte II

Atravésdoprojetoestruturalessasforçassão
b) Revestimento – o peso depende do tipo do material de revestimento empregado.
(adotar....... 50 a 100Kg/m²)
c) Peso do Parapeito – em geral estar apoiado nas vigas laterais, salvo o caso de escadas
sem vigas laterais, onde o seu peso pode ser distribuído por metro quadrado de projeção
horizontal.
d) Peso próprio - ............. Onde é a espessura média da laje da escada
ou seja:
Onde h1 representa a espessura da laje e b, a altura do degrau.
Outra forma de determinar o peso próprio da escada: (mais exato)
Parte II
c .2500. mh médioh. mh
2/1 bhhm 

Peso próprio da laje + o peso próprio dos degraus =
. h + n . [ ( a . b / 2 ) . l ] onde n representa o número de degraus pôr metro , a largura
do degrau e b a altura, h a espessura da laje pré-dimensionada.
CONCLUSÃO: a carga total será a soma de todas as cargas citadas. Na unidade de kg/m2 ou
kN/m2 .
ESCADAS ARMADAS TRANSVERSALMENTE
São aquelas lajes das escadas que tem seus apoios situados nas faces laterais. Estes apoios são
paredes ou viga inclinadas.
Parte II
c c

QUANTO AO NÚMERO DE APOIOS:
a) Dois apoios laterais
b) Um lado engastado e outro livre
CASO – a: (ver desenho da planta baixa, corte e esquema estrutural)
Esforço máximo atuante na laje: Mmax. = p . l2 / 8 ( p/ dimensionamento)
Reação de apoio: R = 0,5 . p . l
OBS: Nas lajes o esforço cortante pode ser desprezível.
CASO – b: (ver desenho da planta baixa, corte e esquema estrutural)
Parte II
Pode-se ter duas situações:

1. Sem carga concentrada na extremidade livre.
Esforço máximo atuante na laje será na seção de engastamento.....Xmax. = - p . l2 / 2 ( p/
dimensionamento)
Reação de apoio: R = p . l
2. Com carga concentrada na extremidade livre
Esforço máximo atuante na seção de engastamento:
Xmax. = - ( p . l2 / 2 + P . l )
Reação de apoio: R = p. l + P
OBS: P ....... Representa a carga concentrada
Proveniente do peso da parede (p/metro)
p..........Representa a carga distribuída
- Neste caso a viga de apoio da laje da escada sofre
um esforço a mais. É o esforço de torção provocado
pelo momento fletor de engastamento da laje da escada.
Parte II

ESCADAS ARMADAS LONGITUDINALMETE
Parte II
ESCADAS ARMADAS TRANSVERSALMENTE

MAPA DE CARGA DOS PILARES E DAS FUNDAÇÕES
Parte II

Exercício – Dimensionamento das lajes
Parte II

Parte III
Enildo Tales

História do Desenvolvimento do Concreto
A cal é conhecida desde os tempos áureos das civilizações do passado. Os egípcios já a
empregavam e os gregos dela fizeram muitos usos. Concretos como hoje são concebidos,
misturas de um aglomerante com areia, pedras e água, foram fabricados na Grécia, para
construções civis e obras da infraestrutura.
Os romanos absorveram, desenvolveram e difundiram a tecnologia do concreto da época usando
ligante (cal e cinzas) que passou até a ser conhecido como cimento romano. Com ele foram
feitas belíssimas obras de engenharia, como o “Panteon de Roma, rede de mais de 500 km de
aquedutos, rede de esgotos e até prédios de 10 pavimentos”. Porém o princípio do concreto
armado não era conhecido, daí as estruturas da época apresentarem as formas de cúpulas ou de
arcos quando se desejava vencer grandes vãos.
Parte III

Isto porque nessas formas estruturais prevalecem esforços de compressão, que os concretos
da época ou as pedras utilizadas conseguiam resistir.
A idéia do concreto armado só surgiu no século dezenove, após o desenvolvimento industrial do
cimento portland. Em 1855, Lambot, na França reforçou uma argamassa com aço para construir
barcos. Monier, também em 1861, conseguiu desenvolver outros produtos de concreto armado,
como tubos, lajes, pontes, apesar de utilizar métodos empíricos, sem qualquer base cientifica.
A primeira teoria cientificamente consistente e comprovada experimentalmente foi proposta e
publicada pelo engenheiro alemão E. Morsh, em 1902. A partir daí, o desenvolvimento teórico-
experimental do concreto armado não parou de crescer em todo o mundo.
O primeiro edifício alto (24 pavimentos – 102,8m) em concreto armado construído no Brasil foi o
edifício do jornal “A Noite”, do Rio de Janeiro, projeto estrutural do engenheiro Emilio Baumgart,
em 1928.

Outro grande calculista que merece destaque foi o professor da Escola de Engenharia
(Universidade Federal de Pernambuco), Joaquim Maria Moreira Cardozo, com os projetos para a
cidade de Brasília, como o Palácio da Alvorada, a Praça dos Três Poderes, A Cúpula do Senado e
da Câmera Federal, sendo um dos principais calculistas dos projetos de Oscar Niemeyer.
Em 1931 foi publicado pela Associação Brasileira de Concreto o primeiro regulamento sobre o
concreto armado. Em 1937 surgiu a primeira norma publicada pela ABCP (Associação Brasileira
de Cimento Portland) em São Paulo e finalmente em 1940 a primeira norma oficialmente com
esse nome, NB1-40.

Definição de Concreto – é um material de construção constituído pela mistura em proporções
convenientes de um aglomerante hidráulico com materiais inertes e água.
• Aglomerante – Cimento Portland
• Materiais inertes – Agregados (Miúdos e Graúdos)
• Água
Características do Concreto – oferece elevada resistência aos esforços de compressão,
porém a sua resistência aos esforços de tração é muito fraca, atingindo a ruptura com tensões
da ordem de 1/10 da tensão a compressão, por isso tem aplicação restrita como material de
construção.

Definição de Concreto Armado – é um material de construção que surgiu a partir da
associação do concreto com a armadura (aço) para proporcionar uma capacidade melhor aos
esforços de tração. Assim, o concreto armado, que resiste aos esforços tanto de tração, quanto
de compressão, em peças onde atuam esforços das duas naturezas.
Conceito Fundamental – para que se obtenha concreto armado é necessário que exista perfeita
solidariedade entre os dois materiais: concreto e aço. Isto supõe ser única a deformação
resultante.
É necessário, que durante a deformação que o concreto sofre devido às solicitações externas, as
barras de aço não deslizem no interior da massa de concreto, isto é, elas devem acompanhar o
concreto na sua deformação.São as forças de aderência entre o aço e o concreto que tornam
isso possível. Essas forças se originam nas superfícies entre os dois materiais.

Vantagens e Desvantagens do Concreto Armado
As principais vantagens são:
1.FLEXIBILIDADE – o concreto armado pode ser moldado em diversas formas, permitindo assim
adaptabilidade a qualquer tipo de estrutura.
2. FACILIDADE DE CONSTRUÇÃO – o concreto armado não necessita de mão de obra muito
especializada, como acontece com as estruturas metálicas.
3. ECONOMIA DE CONSERVAÇÃO – uma estrutura em concreto armado por sua própria natureza,
não sofre tão agudamente as ações agressivas do meio ambiente, como acontece com as
estruturas metálicas, que exigem pinturas periódicas, quando não são revestidas.
4. ECONOMIA DE CONSTRUÇÃO – concorrem em melhores condições econômicas em relação aos
perfis metálicos, particularmente na construção de edifícios.

5. MAIOR SEGURANÇA CONTRA O FOGO E A RESISTENCIA AOS CHOQUES E VIBRAÇÕE – isto em
relação à estrutura metálica.
Como desvantagens pode-se citar:
Elevado peso específico – aproximadamente 2500 Kgf/m3 (25kN)
Quando não bem controlado, o projeto estrutural e a execução não são adequados, a
durabilidade pode ser comprometida.
Quanto à durabilidade, são inúmeros os exemplos de deterioração prematura do concreto
armado, principalmente por conta da corrosão das armaduras. É fundamental o conhecimento
dos mecanismos de degradação desse nobre material para se poder ter construções de longa
vida útil.

ABNT NBR. 6118-2003:

Propriedades do Concreto Armado
A compreensão do comportamento do concreto armado exige que se conheçam as propriedades
dos seus dois componentes de base, quais sejam o concreto e o aço.
Classificação pela Resistência
O projeto estrutural é baseado na resistência característica do concreto à compressão. Esta é
definida como sendo o valor de resistência abaixo do qual só 5% de todas as medidas de
resistência efetuadas para um especifico concreto podem lhe ser inferiores, ou seja, somente
5% dos corpos de prova se rompem com resistência inferior a fck .Esses corpos de prova são
geralmente cilíndricos, moldados, curados, e ensaiados a 28 dias de idade, de acordo com
normas especificas.

A NBR. 8953 indica que os concretos para fins estruturais devem ser designados pela letra C
maiúscula seguida da resistência à compressão em MPa . A mesma norma divide o concreto em
dois grandes grupos de resistência:
Grupo I: concreto de resistência característica até 50 MPa.
Grupo II: concreto de resistência característica de 55 a 80 MPa.
A necessidade de padronização dos dias atuais fez com que se limitassem as resistências
características a um certo conjunto de valores, normalizados conforme a tabela abaixo:
Classe de resistência do concreto dos grupos I e II
Grupo - Classe de Resistência
I - C10, C15, C20,C25,C30,C35,C40,C45,C50
II - C55,C60,C70,C80

NBR. 6118-2003: (item 8.2.2)
Quando se conhecer a massa especifica do concreto utilizado, pode-se considerar para valor da
massa específica do concreto armado, aquela do concreto simples acrescida de 100 kg/m3 a 150
kg/m3.
NBR. 6118-2003: (item 8.2.3)
Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como
sendo igual a 10-5/0C.
Coeficiente de Poisson
O coeficiente de Poisson, v, é a grandeza que relaciona deformação em uma direção secundária
ortogonal com deformação na direção em que são aplicadas as tensões.

Para tensões de compressão inferiores a 0,5 fck , o coeficiente de Poisson do concreto, está
entre 0,1 a 0,2. Os mesmos valores podem ser considerados para o concreto tracionado.
Resistência à Compressão
A resistência à compressão do concreto é o principal parâmetro definidor de sua qualidade. Essa
resistência varia com a qualidade dos materiais empregados e depende de vários fatores como
retração, idade do concreto, formato do corpo de prova e fator água/ cimento.
Instalando-se equipamentos de medições em um corpo de prova, pode-se obter uma curva
relacionando as tensões às deformações. O diagrama obtido num ensaio de compressão de curta
duração tem a forma aproximada daquele indicado abaixo:

Considere-se no diagrama tensão-deformação real do concreto, duas retas que, passam pela
origem, uma tangencia a curva e a outra corta o diagrama:
Módulo de elasticidade tangente na origem, ( Ec,) - o coeficiente angular da reta que tangencia o
diagrama tensão-deformação na origem,
Módulo de elasticidade secante, (Ec sec) - o coeficiente angular de uma reta secante ao diagrama
tensão-deformação.
Esse diagrama é representado por uma curva. Se houvesse proporcionalidade entre tensão e
deformação obter-se-ia como representação um diagrama linear, o que caracterizaria a
obediência do concreto à lei de Hooke, própria dos corpos elásticos. Porém, o concreto não
obedece a essa lei. Como no concreto esse diagrama é representado por uma curva, não há zona
de proporcionalidade.

Sendo assim, o módulo de elasticidade ou módulo de deformação longitudinal tem um valor
bastante variável, pois depende da dosagem do concreto, da sua densidade, da sua idade e,
consequentemente, do valor da sua tensão.
Resistência à Tração:
O concreto tracionado apresenta praticamente o mesmo módulo de elasticidade tangente,
comparado com o comprimido. A deformação de ruptura é muito pequena e o comportamento do
concreto tracionado é pouco interessante nos cálculos de rotina, tanto é que às vezes se usa a
expressão “despreza-se a contribuição do concreto tracionado”.

AÇO DE ARMADURA PASSIVA (para o uso do concreto armado)

Fatores de Insegurança
Em vários países, inclusive o Brasil, e de acordo com uma visão mais moderna das Normas para
Concreto Armado, estabeleceu-se que os estados de solicitação de uma estrutura devem ser
afetados por uma margem de segurança contra os diversos tipos de falhas estruturais. São os
coeficientes de segurança, que visam corrigir as incertezas que envolvem os processos de
dimensionamento, tais como:
1. a não homogeneidade dos materiais empregados,
2. a ação de agentes agressivos, a ação do desgaste ao longo do tempo de utilização e ação de fadiga,
3. imprecisões inevitáveis na determinação das solicitações de serviços,
4. erros advindos de hipóteses de cálculo, que nem sempre traduzem na teoria, o comportamento real da
estrutura,
5. imprecisões e erros na execução da obra, tais como níveis, prumadas, excentricidade, etc,
6. posicionamento defeituoso da armadura, quer no projeto, quer na execução.

O Comitê Européen du Beton (CEB) e as Normas Brasileiras adotam coeficientes de segurança
parciais, que incidem nas cargas, nos materiais e nos esforços e cuja adoção depende do grau
de risco tolerável.
SEGURANÇA E ESTADOS LIMITES - NBR. 6118:2003 (item10)
De acordo com essa norma uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de
modo efetivo ou convencional, torna-se inutilizável, ou quando deixa de satisfazer as condições
previstas para a sua utilização, seja por falta de segurança quanto às solicitações, ou seja, por
deformações excessivas.

AÇÕES - NBR. 6118:2003 (item11)

Parte III

Parte III
RESISTÊNCIA DE CÁLCULO

Parte III
DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO

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