O documento descreve a flexão composta, que é a ação combinada de força normal e momentos fletores. A flexão composta pode ser reta ou oblíqua. O documento também fornece exemplos de cálculos de tensões normais em seções de pilares sob flexão composta reta ou oblíqua, traçando diagramas de tensão.

1. FlexãoFlexão
CompostaComposta

2. A flexão composta é a ação combinada de
força normal e momentos fletores
Os momentos fletores podem decorrer da
excentricidade, com relação ao eixo do
elemento, de força atuando na direção
longitudinal

3. Tipos de Flexão
Composta

4. 1. Flexão Composta Reta
Ação combinada de força normal e apenas
um momento fletor, em relação ao eixo z (Mz)
ou em relação ao eixo y (My).
2. Flexão Composta Oblíqua
Ação combinada de força normal e dois
momentos fletores, em relação ao eixo z (Mz)
e em relação ao eixo y (My).

5. Seção S
• Tensão normal relativa à força normal
A
N
x =σ

6. • Tensão normal relativa a Mz
Seção S
Linha neutra (L.N.)a lugar geométrico dos pontos onde σx = 0
Neste caso, a L.N. coincide com o eixo z que passa pelo
centróide da seção
y
I
M
z
z
x =σ

7. • Tensão normal relativa a My
Seção S
z
I
M
y
y
x −=σ
Neste caso, a L.N. coincide com o eixo y que passa
pelo centróide da seção

8. Estudo da Flexão
Composta

9. Na prática, a flexão composta ocorre freqüentemente em
pilares, em vigas protendidas, em muros de arrimo, etc.
O estudo da flexão composta deve ser feito com todas
as cargas reduzidas ao centróide da seção transversal.
Portanto,
e
F
N
M=F e

10. 1- Pilares
Tem-se então:
Flexão Composta Reta
N e Mz
• Carga longitudinal aplicada
sobre o eixo y F

11. • Carga longitudinal aplicada
sobre o eixo z
Tem-se então:
Flexão Composta Reta
N e My
F

12. • Carga longitudinal aplicada fora dos
dois eixos
Tem-se então:
Flexão Composta Oblíqua
N , Mz e My
F

13. 2 - Viga Protendida
Flexão Composta Reta
N e Mz

14. Exercícios Resolvidos

15. 1. Traçar diagrama de σx para uma
seção do pilar, admitindo-se e=20,0 cm
x z
y e
80 cm
80cm
z
y
4000kN

16. Resolução:
1. Características da seção:
410
33
1041,3
12
800800
12
mm
hb
Iz ×=
×
=
×
=
NkNN 6
1044000 ×−=−=
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
23
10640800800 mmhbA ×=×=×=
eFMz ×−=
NmmMz
66
10800200104 ×−=××−=

17. 3. Equação da Tensão Normal (σx):
( )yy
I
M
A
N
x
z
z
x 10
6
3
6
1041,3
10800
10640
104
×
×−
+
×
×−
=⇒+= σσ
yx 02344,025,6 −−=⇒ σ
Analisando essa equação, observa-se que σx só
depende de y.
y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
até o eixo z que passa pelo centróide da seção

18. 4. Cálculo da Tensão Normal (σx):
• Para y = +400mm, tem-se:
( )40002344,025,6 +×−−=xσ
MPax 63,15−=σ
• Para y = -400mm, tem-se:
( )40002344,025,6 −×−−=xσ
MPax 13,3+=σ
+400mm
Z
-400mm
Y

19. 5. Posição da Linha Neutra:
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos
onde σx= 0, tem-se que:
002344,025,6 =−−= yxσ
mmy 1,267−=∴
z
y
L.N.
mm,1267−

20. 6. Diagrama de Tensão Normal (σx):
-15,61MPa
-15,61MPa
-15,61MPa
+3,11MPa
+3,11MPa
+3,11MPa
L.N.
ou

21. 2. Traçar diagrama de σx para uma
seção do pilar
x
z
y 6 cm
25 cm
20cm
z
y
950kN
5cm

22. Resolução:
1. Características da seção:
46
33
104,260
12
250200
12
mm
hb
Iz
×
=
×
=
×
=
24
105200250 mmhbA ×=×=×=
6 cm
25 cm
20cm
z
y
5cm
46
33
107,166
12
250200
12
mm
hb
Iy
×
=
×
=
×
=

23. NkNN 3
10950950 ×−=−=
2. Esforços solicitantes em todas as seções:
zz eFM ×−=
NmmMz
63
10576010950 ×−=××−=
yy eFM ×=
NmmM y
63
105,475010950 ×+=××+=

24. 3. Equação da Tensão Normal (σx):
z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z
x −+=σ
zyx 285,0219,019 −−−=⇒ σ
zyx 6
6
6
6
4
3
107,166
105,47
104,260
1057
105
10950
×
×
−
×
×
−
×
×−
=σ

25. Analisando a equação da tensão normal, observa-se
que σx depende de y e de z.
y = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
até o eixo z que passa pelo centróide da seção
z = distância do ponto onde se quer calcular a tensão
até o eixo y que passa pelo centróide da seção

26. 4. Cálculo da Tensão Normal (σx):
• Para y = +125mm e
z = +100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 +−+×−−=xσ
MPax 88,74−=σ
• Para y = +125mm e
z = -100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 −−+×−−=xσ
MPax 88,17−=σ
z
y
125mm125mm
100mm100mm

27. • Para y = -125mm e
z = +100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 +−−×−−=xσ
MPax 13,20−=σ
• Para y = -125mm e
z = -100mm, tem-se:
( ) ( )100285,0125219,019 −−−×−−=xσ
MPax 88,36+=σ
z
y
125mm125mm
100mm100mm

28. 5. Posição da Linha Neutra:
Como a linha neutra é o lugar geométrico dos pontos
onde σx= 0, tem-se que:
0285,0219,019 =−−−= zyxσ
mmzy 7,660 −=⇒=∴
mmyz 8,860 −=⇒=∴

29. 6. Diagrama de Tensão Normal (σx):
L.N.
+36,88MPa
-17,88MPa
-74,88MPa
-20,13MPa

30. L.N.+36,88MPa
-74,88MPa
z
y