O documento apresenta resoluções de equações do segundo grau. Resume as principais informações da seguinte forma:
1) São mostradas 34 equações do segundo grau resolvidas passo a passo, encontrando os valores de x que anulam a equação.
2) É apresentada a fórmula geral para resolução de equações do segundo grau, relacionando os coeficientes a, b e c com as raízes x1 e x2.
3) São mostrados exemplos numéricos aplicando a fórmula geral para encontrar as raízes de equ
1. O documento apresenta uma série de exercícios de matemática envolvendo números inteiros e expressões algébricas.
2. Os exercícios incluem equações de primeiro grau com uma ou mais incógnitas para serem resolvidas.
3. As respostas finais são números inteiros que representam os valores das incógnitas nas equações propostas.
1. O documento apresenta resoluções de equações e inequações polinomiais do 1o e 2o grau.
2. São mostrados exemplos de resolução aplicando métodos como fatoração, fórmula de Bhaskara e análise de variação de sinal.
3. As resoluções incluem encontrar as raízes, estudar a variação de sinal e escrever a solução final.
O documento apresenta atividades sobre o uso de programas livres para o ensino de matemática e tecnologia. A primeira atividade aborda a resolução algébrica de sistemas de equações e a resolução gráfica através do programa Winplot. A segunda atividade trata da construção de um retângulo com área máxima de 96cm2 usando um barbante de 40cm e resolução algébrica e gráfica. A terceira atividade demonstra o teorema de Pitágoras usando a construção de um quadrado no programa C
1) O aluno realizou uma prova de matemática com 10 questões sobre equações de 1o e 2o grau, sistemas de equações e teorema de Pitágoras.
2) Todas as questões foram respondidas corretamente com os cálculos apresentados de forma organizada.
3) O aluno mostrou domínio dos conceitos cobrados na prova.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
1. O documento apresenta uma série de exercícios de matemática envolvendo números inteiros e expressões algébricas.
2. Os exercícios incluem equações de primeiro grau com uma ou mais incógnitas para serem resolvidas.
3. As respostas finais são números inteiros que representam os valores das incógnitas nas equações propostas.
1. O documento apresenta resoluções de equações e inequações polinomiais do 1o e 2o grau.
2. São mostrados exemplos de resolução aplicando métodos como fatoração, fórmula de Bhaskara e análise de variação de sinal.
3. As resoluções incluem encontrar as raízes, estudar a variação de sinal e escrever a solução final.
O documento apresenta atividades sobre o uso de programas livres para o ensino de matemática e tecnologia. A primeira atividade aborda a resolução algébrica de sistemas de equações e a resolução gráfica através do programa Winplot. A segunda atividade trata da construção de um retângulo com área máxima de 96cm2 usando um barbante de 40cm e resolução algébrica e gráfica. A terceira atividade demonstra o teorema de Pitágoras usando a construção de um quadrado no programa C
1) O aluno realizou uma prova de matemática com 10 questões sobre equações de 1o e 2o grau, sistemas de equações e teorema de Pitágoras.
2) Todas as questões foram respondidas corretamente com os cálculos apresentados de forma organizada.
3) O aluno mostrou domínio dos conceitos cobrados na prova.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
Este documento fornece exercícios sobre limites, funções, gráficos de funções, maximização de lucro, custo marginal e receita marginal. Inclui 15 exercícios sobre aplicações de funções marginais em economia e administração.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
Cmg(x) = 3 + 0,1x
a) A função custo marginal Cmg(x).
b) O custo marginal quando x = 50 unidades.
Cmg(50) = 3 + 0,1.50 = 3 + 5 = $8
O custo marginal quando x = 50 unidades é $8.
Este documento apresenta uma série de exercícios matemáticos envolvendo equações e expressões algébricas. Os exercícios incluem operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com variáveis e números. Muitos exercícios pedem para simplificar ou resolver expressões algébricas. O documento parece ser um conjunto de problemas para praticar habilidades básicas de álgebra.
O documento fornece definições e conceitos básicos sobre polinômios, incluindo:
1) A definição formal de polinômio e o conceito de grau.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação de polinômios.
3) Os métodos para divisão de polinômios, incluindo o método da chave e o dispositivo de Briot-Ruffini.
Este documento apresenta 6 problemas de raciocínio lógico resolvidos, com as seguintes informações essenciais:
1) Um problema envolve canetas, cadernos e lápis e requer cálculos para determinar os valores unitários de cada item.
2) Outro problema calcula o tempo em diferentes escalas (milissegundos, microssegundos etc.) para a soma de termos exponenciais.
3) Um terceiro problema calcula o número de pessoas em um ônibus com base na lotação máxima e no tempo de viagem.
O documento apresenta 47 exercícios de equações do 1o grau resolvidos, com o objetivo de revisar o conteúdo. As respostas são dadas em conjunto de soluções. Alguns exercícios não possuem solução única devido a divisão por zero ou outras operações inválidas. A resolução segue os passos de isolamento de termos semelhantes, soma/subtração e fatoração.
1) O documento discute o conceito de módulo de um número real, definido como a distância desse número até o ponto zero na reta real e sempre positivo ou nulo.
2) Aborda equações e inequações modulares, resolvendo exemplos que envolvem módulos de expressões contendo incógnitas.
3) Explica a definição de função modular e como determinar o domínio de funções utilizando inequações modulares, ilustrando com exemplos.
1. A prova de matemática do 1o ano seriado de 2005 cobriu os assuntos do conteúdo programático, mas com maior grau de dificuldade do que em provas anteriores, exigindo mais cautela e raciocínio dos estudantes.
2. As questões abordaram tópicos como números naturais, funções, geometria plana e trigonometria, requerendo que os alunos analisassem com atenção cada problema proposto.
3. A característica fundamental cobrada foi a capacidade de raci
O documento discute os múltiplos de um número n. Define-se o conjunto dos múltiplos de n como n multiplicado pelos números naturais. Fornece exemplos dos conjuntos dos múltiplos de 3, 7 e 12. Apresenta exercícios sobre determinar conjuntos de múltiplos e operações com eles.
Este documento apresenta 30 problemas de probabilidades e estatística para revisão. Os problemas abordam tópicos como números capicua, arranjos, combinações, probabilidades condicionais e experimentos aleatórios.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
O documento fornece instruções sobre expressões numéricas, operações com números inteiros e racionais, porcentagem e equações do 1o grau. Explica como resolver expressões numéricas respeitando a ordem de operações, realizar operações como soma, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros e fracionários, calcular porcentagens de valores e resolver equações do 1o grau.
Este documento contém uma série de exercícios matemáticos. O primeiro exercício apresenta uma equação algébrica que é igual a 3. Os próximos exercícios envolvem equações e expressões algébricas, incluindo fatoração de polinômios e simplificação de frações. O último exercício apresenta uma equação racional que é igual a a + b quando simplificada.
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Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Semelhança de Triângulos – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicaApoio.com.br
[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
1) A equação da parábola passando pelos pontos (3,5) e (5,13) é y = 2x2 - 12x + 23. A equação da parábola no novo sistema de coordenadas é y = 2x2 - 8.
2) A equação da parábola que passa pelos pontos (1,9) e (-2,3) é y - 9 = 2(x + 1)2 - 8, ou seja, y = 2x2 + 4x + 3.
3) A equação da parábola representada na figura é dada por f
Curso completo de matematica para concursos 1400 questoes resolvidas e gaba...Cleidvaldo Oliveira
O documento apresenta um curso completo de matemática para concursos públicos, com 20 capítulos sobre diferentes tópicos matemáticos como números reais, equações, funções, porcentagem e finanças. O conteúdo é organizado de forma a fornecer conceitos, exemplos e exercícios para cada tema.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento apresenta 8 exercícios de matemática financeira resolvidos, incluindo equações exponenciais, taxas de depreciação, cálculo de PIB, logaritmos e juros compostos.
2) A taxa de depreciação anual da máquina é de 8%. Após 9 anos, seu valor será de aproximadamente R$153.452,00.
3) Com crescimento de 5% ao ano, o PIB do país será de aproximadamente R$607 bilhões daqui a 4 anos.
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011Joelson Lima
1) O documento é um gabarito de uma prova de geometria com 10 questões. As questões envolvem aplicação de teoremas geométricos como Pitágoras e Tales, além de cálculos trigonométricos.
2) As respostas mostram os cálculos detalhadamente usando equações e propriedades geométricas para chegar aos valores solicitados.
3) O gabarito fornece a solução completa para cada questão da prova de geometria.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
Cmg(x) = 3 + 0,1x
a) A função custo marginal Cmg(x).
b) O custo marginal quando x = 50 unidades.
Cmg(50) = 3 + 0,1.50 = 3 + 5 = $8
O custo marginal quando x = 50 unidades é $8.
Este documento apresenta uma série de exercícios matemáticos envolvendo equações e expressões algébricas. Os exercícios incluem operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com variáveis e números. Muitos exercícios pedem para simplificar ou resolver expressões algébricas. O documento parece ser um conjunto de problemas para praticar habilidades básicas de álgebra.
O documento fornece definições e conceitos básicos sobre polinômios, incluindo:
1) A definição formal de polinômio e o conceito de grau.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação de polinômios.
3) Os métodos para divisão de polinômios, incluindo o método da chave e o dispositivo de Briot-Ruffini.
Este documento apresenta 6 problemas de raciocínio lógico resolvidos, com as seguintes informações essenciais:
1) Um problema envolve canetas, cadernos e lápis e requer cálculos para determinar os valores unitários de cada item.
2) Outro problema calcula o tempo em diferentes escalas (milissegundos, microssegundos etc.) para a soma de termos exponenciais.
3) Um terceiro problema calcula o número de pessoas em um ônibus com base na lotação máxima e no tempo de viagem.
O documento apresenta 47 exercícios de equações do 1o grau resolvidos, com o objetivo de revisar o conteúdo. As respostas são dadas em conjunto de soluções. Alguns exercícios não possuem solução única devido a divisão por zero ou outras operações inválidas. A resolução segue os passos de isolamento de termos semelhantes, soma/subtração e fatoração.
1) O documento discute o conceito de módulo de um número real, definido como a distância desse número até o ponto zero na reta real e sempre positivo ou nulo.
2) Aborda equações e inequações modulares, resolvendo exemplos que envolvem módulos de expressões contendo incógnitas.
3) Explica a definição de função modular e como determinar o domínio de funções utilizando inequações modulares, ilustrando com exemplos.
1. A prova de matemática do 1o ano seriado de 2005 cobriu os assuntos do conteúdo programático, mas com maior grau de dificuldade do que em provas anteriores, exigindo mais cautela e raciocínio dos estudantes.
2. As questões abordaram tópicos como números naturais, funções, geometria plana e trigonometria, requerendo que os alunos analisassem com atenção cada problema proposto.
3. A característica fundamental cobrada foi a capacidade de raci
O documento discute os múltiplos de um número n. Define-se o conjunto dos múltiplos de n como n multiplicado pelos números naturais. Fornece exemplos dos conjuntos dos múltiplos de 3, 7 e 12. Apresenta exercícios sobre determinar conjuntos de múltiplos e operações com eles.
Este documento apresenta 30 problemas de probabilidades e estatística para revisão. Os problemas abordam tópicos como números capicua, arranjos, combinações, probabilidades condicionais e experimentos aleatórios.
O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática do 8o ano sobre equações produto. A lista inclui 28 exercícios que envolvem resolução de equações do primeiro e segundo grau utilizando fatoração, conjunto solução, números racionais e inteiros.
O documento fornece instruções sobre expressões numéricas, operações com números inteiros e racionais, porcentagem e equações do 1o grau. Explica como resolver expressões numéricas respeitando a ordem de operações, realizar operações como soma, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros e fracionários, calcular porcentagens de valores e resolver equações do 1o grau.
Este documento contém uma série de exercícios matemáticos. O primeiro exercício apresenta uma equação algébrica que é igual a 3. Os próximos exercícios envolvem equações e expressões algébricas, incluindo fatoração de polinômios e simplificação de frações. O último exercício apresenta uma equação racional que é igual a a + b quando simplificada.
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[1] O documento apresenta conceitos básicos de limites e derivadas de funções reais de uma variável.
[2] São definidos limites à direita e à esquerda de funções e apresentadas regras para o cálculo de limites.
[3] São explicadas a derivada por definição e apresentadas regras e tabelas de derivação para cálculo da derivada de funções elementares.
1) A equação da parábola passando pelos pontos (3,5) e (5,13) é y = 2x2 - 12x + 23. A equação da parábola no novo sistema de coordenadas é y = 2x2 - 8.
2) A equação da parábola que passa pelos pontos (1,9) e (-2,3) é y - 9 = 2(x + 1)2 - 8, ou seja, y = 2x2 + 4x + 3.
3) A equação da parábola representada na figura é dada por f
Curso completo de matematica para concursos 1400 questoes resolvidas e gaba...Cleidvaldo Oliveira
O documento apresenta um curso completo de matemática para concursos públicos, com 20 capítulos sobre diferentes tópicos matemáticos como números reais, equações, funções, porcentagem e finanças. O conteúdo é organizado de forma a fornecer conceitos, exemplos e exercícios para cada tema.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento apresenta 8 exercícios de matemática financeira resolvidos, incluindo equações exponenciais, taxas de depreciação, cálculo de PIB, logaritmos e juros compostos.
2) A taxa de depreciação anual da máquina é de 8%. Após 9 anos, seu valor será de aproximadamente R$153.452,00.
3) Com crescimento de 5% ao ano, o PIB do país será de aproximadamente R$607 bilhões daqui a 4 anos.
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011Joelson Lima
1) O documento é um gabarito de uma prova de geometria com 10 questões. As questões envolvem aplicação de teoremas geométricos como Pitágoras e Tales, além de cálculos trigonométricos.
2) As respostas mostram os cálculos detalhadamente usando equações e propriedades geométricas para chegar aos valores solicitados.
3) O gabarito fornece a solução completa para cada questão da prova de geometria.
Este documento fornece instruções sobre como resolver inequações exponenciais. Explica que as funções exponenciais são crescentes para expoentes maiores que 1 e decrescentes para expoentes entre 0 e 1. Também descreve como manter ou inverter a desigualdade dependendo do valor do expoente ao resolver uma inequação exponencial. Fornece exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar o processo.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento apresenta a tabuada de multiplicação de 1 a 10, com as multiplicações de cada número de 1 a 10 por si mesmo e pelos demais números da sequência.
Este documento apresenta um resumo da função modular. Ele define módulo, propriedades de equações e inequações modulares e exemplos delas. Também define função modular como uma função de números reais para reais que mapeia cada número para seu valor absoluto, e discute a construção gráfica de funções modulares como a união de duas semirretas.
1) A mediana de uma série de números é 1,5 e a probabilidade de um produto ser par é 2/3.
2) A média de idades de 80 alunos é 14,5 anos e a probabilidade de um aluno ter 13 anos é 5/45.
3) O conjunto correto é o intervalo entre -3 e 2.
O documento apresenta uma introdução sobre polinômios, definindo-os como expressões algébricas na forma anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, onde an, ..., a0 são coeficientes e n é o grau do polinômio. Em seguida, aborda operações com polinômios como adição, subtração e multiplicação, além de métodos de divisão como o da chave.
(1) O documento apresenta três limites e pede para determiná-los. (2) Pede para verificar se uma função é contínua ou descontínua em um ponto. (3) Pede para diferenciar três funções. (4) Pede para calcular três integrais definidas.
Este livro ensina as tabuadas de 1 a 10 para crianças. Cada página apresenta uma tabuada diferente com suas contas e resultados. O objetivo é ajudar as crianças a aprenderem matemática de forma lúdica e divertida.
O documento discute equações de 1o e 2o grau com uma incógnita. Ele apresenta exemplos resolvidos de equações de 1o grau, como 2x - 1 = x + 5, e de 2o grau, como x2 - 3x - 180 = 0. O documento também introduz a fórmula geral para resolver equações de 2o grau.
O documento apresenta 45 exemplos resolvidos de equações do segundo grau. As equações variam em grau de complexidade e são apresentadas de forma passo a passo com as soluções encontradas. O objetivo é servir como material de revisão para alunos aprenderem a resolver diferentes tipos de equações quadráticas.
Este documento contém resumos de 13 exercícios de álgebra resolvidos. Cada exercício envolve equações algébricas com uma ou mais incógnitas. As soluções são encontradas isolando a(s) incógnita(s) e determinando seu(s) valor(es).
1) O documento apresenta uma ficha de trabalho de matemática sobre equações do 2o grau, com 14 questões. Inclui identificar equações do 2o grau, escrever equações na forma canônica e determinar os coeficientes a, b e c, fatorizar expressões algébricas e resolver equações.
O documento apresenta exemplos de equações algébricas resolvidas passo a passo. Inicialmente, o professor introduz o conceito de equação e apresenta exemplos simples de reconhecimento e resolução de equações envolvendo soma, diferença, produto e quociente. Posteriormente, exemplos mais complexos são resolvidos usando balanças para modelar as equações e operações algébricas.
O documento apresenta uma aula sobre equações algébricas do 1o e 2o grau destinada a alunos do 9o ano. Introduz o conceito de equações algébricas e explica como resolver equações do 1o grau por meio de operações algébricas básicas. Também apresenta a fórmula geral para equações do 2o grau e explica como calcular o discriminante para determinar o número de raízes.
Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios para Ensino Fundamental – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
Este documento fornece uma introdução sobre polinômios, incluindo o que são polinômios, como classificá-los, determinar o grau, ordenar e completar polinômios, somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios.
Proposta de resolução do exame de Matemática do 9.º ano 2011David Azevedo
1) O documento apresenta uma proposta de resolução de um exame nacional de matemática do ensino básico com 14 questões. 2) A primeira questão calcula a probabilidade de bolas terem números pares maiores que 3. A segunda calcula a probabilidade de alunos serem do sexo masculino ou feminino. A terceira calcula a média de alturas de cinco irmãos.
The document provides examples of solving systems of linear equations using various methods:
1) Addition - Adding corresponding terms of equations to eliminate a variable.
2) Substitution - Solving one equation for a variable in terms of the other and substituting into the second equation.
3) Comparison - Setting corresponding terms of equations equal to each other to solve for variables.
It works through 30 examples demonstrating these methods step-by-step to solve systems with two unknown variables.
1) The document contains 36 equations involving variables and numbers.
2) The equations are set equal to each other and solved for the variable x.
3) The value of x is stated for each equation after it is isolated on one side and the other side is set equal to zero.
The document contains 40 math problems involving addition, subtraction, multiplication and division of both positive and negative numbers. The problems are arranged in two sections, with the first 24 involving addition and subtraction and the second 16 involving multiplication and division. The document provides a set of relative number exercises focusing on operations with positive and negative values.
1) O documento apresenta vários cálculos de conversão entre unidades de tempo como horas, minutos, segundos e graus.
2) As conversões envolvem operações como multiplicação, divisão e adição/subtração entre as diferentes unidades.
3) Os cálculos apresentam respostas com grau de precisão que varia de segundos a minutos e segundos.
O documento apresenta exemplos numéricos decimais, incluindo números exatos, periódicos simples e compostos. São mostrados cálculos envolvendo operações com números decimais como adição, subtração, multiplicação e divisão. Há também exemplos de conversão entre frações e números decimais periódicos.
Este documento apresenta vários exercícios de matemática envolvendo operações com números inteiros. Os exercícios são resolvidos passo a passo utilizando equações e substituições para encontrar os valores de x e y.
O documento apresenta exemplos de conversão entre diferentes sistemas de numeração, incluindo binário, octal e decimal. As equações mostram como decompor os números em suas respectivas bases e realizar as conversões através de soma de potências da base.
O documento apresenta uma série de operações matemáticas envolvendo inclusão, exclusão e soma de números. As operações são organizadas em blocos numerados de 1 a 31, onde cada bloco realiza contagens e cálculos com conjuntos de números.
6. Produto das raízes (c)
Soma das raízes (b)
a=1 x² – 7 + 12 = 0
se + : raízes de mesmo sinal
se – : raízes de sinais diferentes
se + : resultado da soma é negativo
se – : resultado da soma é positivo
Produto Soma +12 (raízes de mesmo sinal) -7 (resultado positivo)
1 e 12 12 13 x' = 3
2e6 12 8 -3 e -4 ou 3 e 4 x'' = 4
3e4
3e4 12 7
35
a)
Produto Soma +6 (raízes de mesmo sinal) -5 (resultado positivo) x' = 2
1e6 6 7 x'' = 3
2e3 6 5 -2 e -3 ou 2 e 3 2e3
b)
Produto Soma +20 (raízes de mesmo sinal) -9 (resultado positivo) x' = 4
1 e 20 20 21 x'' = 5
2 e 10 20 12 -4 e -5 ou 4 e 5 4e5
4e5 20 9
c)
Produto Soma -21 (raízes de sinais diferentes) +4 (resultado negativo)
-1 e 21 - 21 20 x' = -7
-3 e 7 - 21 4 -3 e 7 ou 3 e -7 x'' = 3
3 e -7
d)
Produto Soma +20 (raízes de mesmo sinal) -12 (resultado positivo)
1 e 20 20 21 x' = 2
2 e 10 20 12 -2 e- 10 ou 2 e 10 x'' = 10
2 e 10
4e5 20 9
7. e)
Produto Soma -16 (raízes de sinais diferentes) -6 (resultado positivo)
-1 e 16 -16 15 x' = -2
-2 e 8 -16 6 -2 e 8 ou 2 e -8 x'' = 8
-2 e 8
-4 e 4 -16 0
f)
Produto Soma +28 (raízes de mesmo sinal) -11 (resultado positivo) x' = 4
1 e 28 28 29 x'' = 7
2 e 14 28 16 -4 e -7 ou 4 e 7 4e7
4e7 28 11
Δ > 0 → 2 raízes reais e distintas
−b ± Δ 2
x= Δ = b − 4ac Δ = 0 → 2 raízes reais e iguais
2a
Δ < 0 → não possui raiz real
Para raízes reais e distintas, então Δ > 0 Para raízes reais e iguais, então Δ = 0
2
−6 − 4 . 3 . m 0 −62 − 4 . 1 . 3m = 0
36 − 12m 0 36 − 12m = 0
36 36
−12m −36 −12m = −36
(pág. 119) (pág. 120)
12m 36 12m = 36
m 3 m =3
Para raízes reais e distintas, então Δ > 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
2 2
−10 − 4 . 1 . 2m − 1 0 −4 − 4 . 1 . k − 3 0
100 − 4 2m − 1 0 16 − 4 k − 3 0
37 100 − 8m 4 0 38 16 − 4k 12 0
−8m −104 −4k −28
8m 104 4k 28
m 13 k7
Para raízes reais e iguais, então Δ = 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
−22 − 4 . 3k . −1 = 0 −82 − 4 . 4 . 2k 0
4 12k = 0 64 − 32k 0
39 12k 4 = 0 40 −32k −64
12k = −4 32k 64
4 k2
k =−
12
1
k =−
3
8. Para raízes reais e iguais, então Δ = 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
2 2m2 − 4 . 1 . m 2 = 0 −2m2 − 4 . m . 3 = 0
4 8m 4m 2 − 4m 2 = 0 4m2 − 12m = 0
41 8m = −4 42 m 4m − 12 = 0 m' = 0
4 4m − 12 = 0 m'' = 3
m =−
8 4m = 12
1 m=3
m =−
2
Soma das raízes: −b Diferença das raízes: Δ
a a
c
Produto das raízes: Soma dos inversos das raízes: −b
a c
43 Soma das raízes: −1 Produto das raízes: −12
= −1 = −12
1 1
Diferença das raízes: 1 2 − 4 . 1 . −12
= 1 48 = 49 = 7
1
O inverso das raízes:
Produto das raízes:
1 Ex.: 1
x' = c x' = 3 3=
x'' =1 3
a 1
x' . x '' = 1 x '' = 1 3
3 3. = =1
3 3
44 2x 2 − 5x k = 0 1 k
k' = =1
k '' 2
k ' . k '' = 1 k=2
Produto das raízes:
45 2 2
1 3m
mx 4x 7x 3m = 0 m' = =1
m '' m 4
m' . m'' = 1 3m = 4 4
3m − m = 4
2m = 4
m =2
9. Produto das raízes:
46 mx 2 − x 2 − 8x 3 = 0 1 3
m' = =1
m '' m − 1
m' . m'' = 1 3=m−1
m −1=3
m =31
m =4
2 2
x − 2n − 1 x n − n − 12 = 0 Soma das raízes:
47 −−2n 1
x 2 − 2nx x n 2 − n − 12 = 0 =9
1
− −2n 1 = 9
2n − 1 = 9
2n = 9 1 2n = 10
n=5
Produto das raízes:
48 kx 2 2x2 − 5x 2k = 0 1 2k
k' = =1
k '' k 2
k ' . k '' = 1 2k = k 2
2k − k = 2
k=2
Raízes simétricas:
Soma das raízes: Soma das raízes:
Ex.: x' = 3 3 −3 = 0
x ' = −x ' ' x ' −x ' ' = 0 x ' ' = −3
Soma das raízes:
49 2x 2 4mx − 8x 50 = 0 −−4m − 8
=0
2
− −4m 8 = 0
4m − 8 = 0
4m = 8
m =2
Média Aritmética: Média Geométrica: Média Harmônica:
x 1 x 1 ... x n n
x1 . x 2 ... x n n
n 1 1 1
...
Ex.: 3
1 . 3 . 9 = x1 x2 xn
Ex.: 3 4 5 = 4
3
3 27 = 3 Ex.: 2 12
=
1 1 5
2 3
10. 50 x 2 − 2ax 2bx a b2 = 0
−−2a 2b
1
Soma das raízes dividido por 2 M.A. = =0
2
b 2a − 2b 1
Média Aritmética: − M.A. = . =0
a 1 2
2 2a − 2b
M.A. =
2
M.A. = a − b
Raiz quadrada do M.G. =
a b2
Média Geométrica: Produto das raízes: 1
M.G. = a b2
c
a
M.G. = a b
51 2
m − 2 x − 2m − 1 x m 2 = 0 Soma das raízes:
mx 2 − 2x 2 − 2mx x m 2 = 0 −−2m 1 1
=
m−2 4
−4−2m 1 = 1 m − 2
8m − 4 = m − 2
8m − m = −2 4
7m = 2
2
m =
7
52 2 2
hx 3x − 2hx 2x h 4 = 0 Soma dos inversos das raízes:
−−2h 2 1
=
h 4 3
Soma dos inversos das raízes: −3−2h 2 = 1 h 4
−b 6h − 6 = h 4
c 6h − h = 4 6
5h = 10
h=2
53 Soma das raízes: Soma das raízes:
−b
c
1 .
−b
c
−1
−−4
2
= =2
4
2
2 1 . 2 − = 3 . 1 = 3
11. 54 Produto das raízes: Soma das raízes:
−−4 k
= 4 =k
1 1
S R R S
S . R . S . R = 16
4 k . 4k = 16
4 2k = 16
4 2 = 16
k=1
55 Soma dos inversos das raízes: Soma dos inversos das raízes:
−b −k 5
=
c 36 12
−12k = 180
12k = −180
k = −15
56 Soma dos inversos das raízes: Média harmônica:
2
−b −−1 1 = 10
= 1
c m m
m
m
2 . = 10
1
2m = 10
m =5
57 Produto das raízes: Soma das raízes:
−−4 k
= 4 =k
1 1
S R R S
S . R . S . R = 256
4 k . 4k = 256
4 2k = 256
4 8 = 256
k=4
58 Soma dos inversos das raízes: Soma dos inversos das raízes:
−b −−5 5
=
c m 4
20 = 5m
5m = 20
m =4
12. 59
Soma das raízes: b −−10 x' = 2
x ' x '' = − x 4x =
a 1 x '' = 4 . 2 = 8
5x = 10
x=2 k = c = produto das raízes
2 . 8 = 16
60
Soma das raízes: b −−7 x' = 3
x ' x '' = − x x 1 =
a 1 x '' = 4
xx1=7
2x = 7 − 1 k = c = produto das raízes
2x = 6 3 . 4 = 12
x=3