MATRIZES E DETERMINANTES

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Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes
são repres...
Notação Condensada
• Construir a matriz A = (aij)3x2, em que
aij = 3i – j.
a11
a21

a22

a31

A=

a12

2

a32

A=

aij = 3...
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ QUADRADA (An)

a 11
a
 21
a 31


a 12
a 22
a 32

a 13 

a 23 
a 33 


TRANSPOSTA DE UMA...
MATRIZ IDENTIDADE (In)

I3

 1 0 0
=

0 1 0

0 0 1



DEMAIS
ELEMENTOS
IGUAIS A
ZERO

DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A...
ASSINALE V OU F
UFSC - 2005
(F)
OPERAÇÕES
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Am x n ± Bm x n = Cm x n

MULTIPLICAÇÃO
DE UM NÚMERO
POR UMA MATRIZ
–2

3 2 1 6 1 0 9 3...
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OPERAÇÕES

PRODUTO DE MATRIZES

Am x n . Bn x p = Cm x p
n= n
A=



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

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B=

–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2)

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–3.2 + 1.5 + 0.6





A=

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4 –2

B=






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–3

–1

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–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2)

–3.2 + 1.5 + 0.6

2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2)...
OPERAÇÕES
PRODUTO DE MATRIZES

Am x n . Bnxp = Cmxp
n= n
Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou
seja, ...
( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p,
respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é ...
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  1. 1. MATRIZES E DETERMINANTES www.ricardinhomatematica.com.br
  2. 2. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || || A = (aij) mxn EXEMPLOS 0   2    3 − 1 A5x2=  − 8 2    3   6   1   2 4 2 − 5 B2x3 =   3 − 1 3 
  3. 3. Notação Condensada • Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a11 a21 a22 a31 A= a12 2 a32 A= aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7 1 5 4 8 7
  4. 4. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ QUADRADA (An) a 11 a  21 a 31  a 12 a 22 a 32 a 13   a 23  a 33   TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At  2 3 1  9 4 0   A2x3 =   SIMÉTRICA DIAGONAL SECUNDÁRIA i+j=n+1 DIAGONAL PRINCIPAL i=j 2 3 5 A = 3 1 8   5 8 0   A = At 2 9   t A 3x2 =  3 4  1 0   ANTI SIMÉTRICA  0 3 - 5 A = - 3 0 8     5 -8 0    A = - At
  5. 5. MATRIZ IDENTIDADE (In) I3  1 0 0 =  0 1 0  0 0 1   DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A.I = A B.I = B C.I = C ASSINALE V OU F UFSC - 2003 ( F ) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. UFSC - 2005 (V ) UFSC - 2009 (V) UFSC - 2006 ( V ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).
  6. 6. ASSINALE V OU F UFSC - 2005 (F)
  7. 7. OPERAÇÕES ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Am x n ± Bm x n = Cm x n MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO POR UMA MATRIZ –2 3 2 1 6 1 0 9 3 1   2 4 8 +  4 − 2 1 = 6 2 9           M= 1 3 2 3.–2 3.1 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 3.3 3.2 Comutativa: A + B = B + A –6 3 9 6 3.M = (A + B)t = At + Bt 3.M =
  8. 8. MATRIZES E DETERMINANTES www.ricardinhomatematica.com.br
  9. 9. OPERAÇÕES PRODUTO DE MATRIZES Am x n . Bn x p = Cm x p n= n
  10. 10. A=     2 1 0 4 –2 B= –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) 2 3 5 –2 –3 –1 6 –3.2 + 1.5 + 0.6    
  11. 11. A= 2 1 0 4 –2 B=     2 3 5 –2 –3 –1 6 –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6  6 − 1 A.B =  14 12        
  12. 12. OPERAÇÕES PRODUTO DE MATRIZES Am x n . Bnxp = Cmxp n= n Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠ B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.  1 1   0 1   0 0  .  =   0 0   0 −1  0 0
  13. 13. ( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto. 01. n.r = m.p 02. m = r + 1 04. p = 2m 08. n = r 16. n + r = p + m GABARITO: 18

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