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Falando um pouco sobre Registros de Representação Semiótica  
de Raymond Duval 
Simone Navas Barreiro 
 
Procurando entender as dificuldades encontradas na aprendizagem Matemática, voltamos nossos olhares 
a  pesquisas  e  fundamentações  que  nos  ajudem  a  solucionar  alguns  pontos  no  processo  de  ensino  e 
aprendizagem. 
 
A  Teoria  dos  Registros  de  Representação  Semiótica  de  Raymond  Duval  tornou‐se  a  fundamentação 
teórica de muitas pesquisas em Educação Matemática. 
 
Raymond Duval, filósofo e psicólogo francês, professor emérito na Universidade Du Littoral Côte dÓpale 
da França, desenvolveu um modelo de funcionamento cognitivo do pensamento, que levou a publicação 
de  diversos  trabalhos,  entre  os  quais  Sémiosis  et  penseé  humaine.  Registres  sémiotiques  et 
apprentissages intellectuels, publicado em 1995. 
 
A  Teoria  dos  Registros  de  Representação  Semiótica  não  se  define  em  algumas  palavras,  com  poucos 
exemplos ou simples argumentações. 
 
Estamos falando de uma busca de soluções para as dificuldades na aprendizagem Matemática, ou seja, ao 
falar dos Registros de Representação Semiótica, vários aspectos devem ser ressaltados. 
 
Para  entender  o  processo  de  aprendizagem,  levamos  em  conta  que  esta  ocorre  numa  relação 
interacionista, entre os estudantes, entre o professor e os estudantes, entre o estudante e o meio, e do 
estudante com as ferramentas as quais tem acesso. 
 
Mas afinal, quais são as dificuldades na Aprendizagem Matemática? 
De acordo com Duval, as dificuldades na Aprendizagem Matemática estão ligadas ao fato de os objetos 
matemáticos não serem “concretos”, não estando disponíveis para o acesso via percepção, observação ou 
por meio de um instrumento. 
 
Assim sendo, fazemos o seguinte questionamento: 
O que o estudante precisa para reconhecer um objeto matemático? 
 
Primeiro o estudante deve  reconhecer uma representação do objeto e é por meio desta representação 
que o estudante exprime idéias para que consiga ter atitudes representativas! 
 
Então, quais seriam as representações Matemáticas? 
Duval (2004) considera que existem três tipos de representações: 
 As mentais que são concepções que uma pessoa pode ter sobre um objeto ou sobre uma situação; 
 As  representações  internas,  ou  computacionais,  caracterizadas  pela  execução  automática  de  uma 
tarefa; 
 E as representações semióticas que são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes 
a  um  sistema  de  representação,  os  quais  têm  suas  dificuldades  próprias  de  significado  e  de 
funcionamento. 
 
Antes de prosseguir, é importante definirmos alguns conceitos de semiótica. 
Semiótica é ciência geral de todas as linguagens, ou seja: “A Semiótica é a ciência que tem por objeto de 
investigação  todas  as  linguagens  possíveis,  ou  seja,  que  tem  por  objetivo  o  exame  dos  modos  de 
constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção de significação e de sentido”.  
 (SANTAELLA, 1983, p. 13) 
 
Repare  que  agora  falamos  em  signos  e  representações.  Entretanto,  devemos  observar  que  nem  todo 
sistema de signos constitui um registro. As placas de transito são um bom exemplo disso: 
As placas de trânsito das estradas são significantes (triângulo → perigo, vermelho → proibição,...)  
 
 “...e  não  podem  se  caracterizar  como  um  registro  no  sentido  de  Duval,  uma  vez  que  não  há  a 
possibilidade  de transformar um elemento em outro, diferentemente do que ocorre com todo elemento 
de um registro...” 
(SILVA e FIGUEIREDO, 2003, p.8) 
 
Quanto  à  particularidade  da  Aprendizagem  Matemática  em  relação  às  outras  áreas  de 
conhecimento,Duval enfatiza  que nas demais áreas de conhecimento, os objetos são concretos, ou seja, 
o acesso é direto e claro ( exemplo na Física e Química). Na Matemática, os objetos, por serem abstratos, 
só  podem  ser  acessados  por  meio  de    representações  inerentes  a  eles.  Por  isso  é  muito  importante 
entender o que é um registro de representação semiótica. 
 
Então, quando temos um registro de representação? 
Para ser considerado um registro de representação, um sistema de signos precisa permitir três atividades 
cognitivas: 
 a formação de uma representação identificável,  
 o tratamento de um registro de representação  
 e a conversão de um registro de representação para outro  
                                                                                     (DUVAL, 2004).  
 
Podemos então definir e entender o que este registro de representação permite. 
Um registro de representação semiótica é um sistema de signos que tem por objetivo não somente a 
comunicação, mas também o tratamento da informação e a objetivação! 
 
Esse sistema de representação permite preencher as funções cognitivas de comunicação, objetivação e 
tratamento que são fundamentais para o funcionamento cognitivo.  
 
O  acesso  aos  objetos  matemáticos  passa  necessariamente  por  representações  semióticas,  que  são 
externas e conscientes ao indivíduo. 
 
Portanto, um objeto pode ter diversos registros que o representem.  
Vamos observar os exemplos a seguir: 
 O dobro de um número acrescido  da sua terça parte é igual a 36  representação em língua natural 
 
         representação algébrica  
   
Em sua teoria, Duval  propõe uma abordagem cognitiva para compreender as dificuldades dos alunos na 
compreensão da Matemática como também a natureza dessas dificuldades! 
 
Esta  abordagem  cognitiva  procura  descrever  o  funcionamento  cognitivo  que  possibilite  a  um  aluno 
COMPREENDER, EFETUAR e CONTROLAR a diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos. 
No ponto de vista cognitivo, o que caracteriza então a atividade matemática? 
 
A  atividade  cognitiva  da  Matemática  é  diferente  da  atividade  cognitiva  de  outros  domínios  do 
conhecimento. 
E  esta  diferença  não  deve  ser  procurada  nos  conceitos  mas  nas  seguintes  características:  Primeiro,  a  
importância primordial das representações semióticas. já que os objetos matemáticos são diretamente 
perceptíveis  por  meio  das  representações  inerentes  a  eles,  portanto,  as  possibilidades  de  tratamento 
matemático  dependem  do  sistema  de  representação  utilizado.  Segundo,  a  grande  variedade  de 
representações semióticas utilizadas em Matemática. 
 
 
 
Mas afinal, quais seriam os tipos de registros que encontramos na Matemática? 
Segundo Duval, há 4 tipos diferentes de registros de representação: 
 
Fonte: (Duval, 2003, p. 14)  
 
 
A  compreensão  em  Matemática  supõe  a  coordenação  de  ao  menos  dois  registros  de  representações 
semióticas. Fazemos então o seguinte questionamento: 
 
 
Tal coordenação é adquirida naturalmente durante o ensino da Matemática? 
 
 
Quanto a organizar os registros de representação de determinado objeto matemático, devemos levar em 
consideração os aspectos deste registro e as representações inerentes a ele. 
 
 
A seguir temos alguns exemplos de registros classificados e identificados no trabalho “Estudo de Vetores 
no R3:Uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos, com auxílio do software 
Cabri‐Géomètre 3D” ( Karrer, Barreiro , 2009): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação Discursiva Representação Não Discursiva
Registros
Multifuncionais
Os tratamentos não
são algoritmizáveis.
Língua natural
Associações verbais (conceituais).
Formas de raciocinar:
 argumentação a partir de
observações, de crenças...;
 dedução válida a partir de
definição ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou
em perspectivas (configurações
em dimensão 0, 1 , 2 ou 3).
 apreensão operatória e não
somente perceptiva;
 construção com instrumentos.
Registros
Monofuncionais
Os tratamentos são
principalmente
algoritmos.
Sistemas de escritas
 numéricas (binária, decimal,
fracionária ...);
 algébricas;
 simbólicas (línguas formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos
 mudanças de sistemas de
coordenadas;
 interpolação, extrapolação.
 
 
 
 
 
 
QUADRO 2: REGISTROS E REPRESENTAÇÕES (VETORES)
Registros Representações
Geométrico
(Livro 2, p.10)
Gráfico
(Livro 2, p. 27)
Simbólico
Simbólico-algébrico
Seja , ,
(Livro 3, p. 104)
Simbólico: (A,B)(B,A)
(Livro 1, p. 3)
Língua natural
Emprego comum
... Portanto, com origem em cada ponto do espaço...
(Livro 2, p. 5)
Numérico 4(1, -2) = (4(1), 4(-2)) = (4,-8)
(Livro 3, p. 103)
 
Fica claro que, segundo Duval, não haveria uma apreensão conceitual sem uma representação semiótica! 
( Não há NOESIS sem SEMIÓSIS). 
 
Ressaltamos  que  os  registros  de  representação  semiótica  são  aqueles  que  envolvem  três 
operações cognitivas: a formação, o tratamento e a conversão. 
 
Quanto à formação de uma representação, levam‐se em conta as regras que são inerentes a um 
determinado registro. Os tratamentos são as transformações entre representações que ocorrem 
no interior de um mesmo registro. Já as conversões são transformações entre representações 
que ocorrem com mudanças de registros, conservando o objeto em questão.  
 
 
Duval (1996) apresenta três argumentos para explicar a necessidade de uma diversidade de registros de 
representação dos objetos matemáticos que seriam: a economia de tratamento; a complementaridade 
dos  registros;  e  a  compreensão  de  um  conteúdo  na  coordenação  de  pelo  menos  dois  registros  de 
representação. 
 
Quanto à conversão, não podemos esquecer de que esse tipo de transformação enfrenta os fenômenos 
de  não‐congruência:  os  alunos  não  reconhecem  o  mesmo  objeto  através  de  duas  representações 
diferentes. Converter implica em coordenar registros mobilizados 
 
Os  fatores  de  não‐congruência  mudam  conforme  os  tipos  de  registro  entre  os  quais  a  conversão  é 
efetuada. Pode ocorrer a irredutibilidade da conversão a um tratamento, ou seja, realizar a conversão não 
é simplesmente traduzir. 
 
Em um processo de conversão existem várias variáveis cognitivas, específicas do funcionamento de cada 
registro, que determinam as unidades de significado pertinentes a serem consideradas em cada um dos 
registros. 
 
Existem  dois  tipos  de  fenômenos  característicos  na  conversão  de  representações,  as  variações  de 
congruência e não‐congruência, que seria a “comparação” entre o registro de chegada e o de partida, 
como  também  a  heterogeneidade  dos  dois  sentidos  de  conversão,  ou  seja,  saber  converter  em  um 
sentido não implica que se saiba converter no sentido contrário. 
 
Encontramos em muitas pesquisas, o grande insucesso dos alunos na mobilização de diferentes registros 
como  também  ao  efetuar  mudanças  entre  eles.  Fica  evidente  que  esse  insucesso  aumenta  quando  as 
conversões são não‐congruentes.  
27
Tipos de transformações
TRATAMENTO CONVERSÃO
Exemplo de tratamento
 
 
Exemplo de conversão  

TABELA 1– EXEMPLO DE ANÁLISE DA CONGRUÊNCIA DA ATIVIDADE DE
CONVERSÃO
TIPO DE
CONVERSÃO
SISTEMA OU REGISTRO
DA ESCRITA NATURAL
SISTEMA
SIMBÓLICO-
ALGÉBRICO
Conversão
congruente
Conjunto de pontos com
ordenada maior que abscissa.
y>x
Conversão
não congruente
Conjunto de pontos cujas
ordenadas e abscissas têm o
mesmo sinal.
x.y>0
FONTE: DUVAL, 2000, p. 63
 
Segundo Duval, o “enclausuramento” de registro pode impedir o aluno de reconhecer o mesmo objeto 
matemático em duas diferentes representações. 
 
E como a compreensão em Matemática implica justamente na capacidade de mudar de registro, não se 
deve jamais confundir um objeto e sua representação, reforçando que o acesso aos objetos matemáticos 
passa necessariamente por representações semióticas. 
 
Então, como podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto a 
não ser por meio de sua representação? 
 
Quanto a este paradoxo da compreensão Matemática, levantamos algumas conclusões: 
Primeiro ter consciência de que é preciso dispor de, ao menos, dois registros de representação diferentes 
para não confundir um objeto com sua representação. A articulação dos registros é que constitui uma 
condição de acesso à compreensão em Matemática, e não o inverso, ou seja, o “enclausuramento” em 
cada registro! 
 
Esta Teoria, mais do que esclarecer alguns pontos importantes no processo de ensino e aprendizagem em 
Matemática, leva‐nos a questionar muitos aspectos antes ignorados ou mesmo despercebidos, como por 
exemplo,  a  conscientização  de  que  se  deve  distinguir  cuidadosamente  aquilo  que  é  evidenciado, 
ressaltado no tratamento em um registro e aquilo que é evidenciado em uma conversão, de considerar a 
natureza dos registros  e de que estes registros  apresentam diferentes graus de dificuldades e de analisar 
a complexidade da atividade de conversão. 
 
Concluo esta apresentação citando que, para Duval (2003) o entendimento matemático ocorre quando o 
estudante  consegue  coordenar  vários  registros,  tendo  a  apreensão  do  objeto  matemático,  ou  seja, 
integrando‐se  no que o autor chama de arquitetura cognitiva.  
 
 
 
 
 
Referências Básicas 
DUVAL,  R.  Registros  de  representações  semióticas  e  funcionamento  cognitivo  da  compreensão  em 
Matemática.  In: Aprendizagem em  
MACHADO, S. D. A. (org.).  Aprendizagem em Matemática. Campinas, SP: Papirus, 2003. 
 
 
 

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Falando um pouco_sobre_registros

  • 1.   Falando um pouco sobre Registros de Representação Semiótica   de Raymond Duval  Simone Navas Barreiro    Procurando entender as dificuldades encontradas na aprendizagem Matemática, voltamos nossos olhares  a  pesquisas  e  fundamentações  que  nos  ajudem  a  solucionar  alguns  pontos  no  processo  de  ensino  e  aprendizagem.    A  Teoria  dos  Registros  de  Representação  Semiótica  de  Raymond  Duval  tornou‐se  a  fundamentação  teórica de muitas pesquisas em Educação Matemática.    Raymond Duval, filósofo e psicólogo francês, professor emérito na Universidade Du Littoral Côte dÓpale  da França, desenvolveu um modelo de funcionamento cognitivo do pensamento, que levou a publicação  de  diversos  trabalhos,  entre  os  quais  Sémiosis  et  penseé  humaine.  Registres  sémiotiques  et  apprentissages intellectuels, publicado em 1995.    A  Teoria  dos  Registros  de  Representação  Semiótica  não  se  define  em  algumas  palavras,  com  poucos  exemplos ou simples argumentações.    Estamos falando de uma busca de soluções para as dificuldades na aprendizagem Matemática, ou seja, ao  falar dos Registros de Representação Semiótica, vários aspectos devem ser ressaltados.    Para  entender  o  processo  de  aprendizagem,  levamos  em  conta  que  esta  ocorre  numa  relação  interacionista, entre os estudantes, entre o professor e os estudantes, entre o estudante e o meio, e do  estudante com as ferramentas as quais tem acesso.    Mas afinal, quais são as dificuldades na Aprendizagem Matemática?  De acordo com Duval, as dificuldades na Aprendizagem Matemática estão ligadas ao fato de os objetos  matemáticos não serem “concretos”, não estando disponíveis para o acesso via percepção, observação ou  por meio de um instrumento.    Assim sendo, fazemos o seguinte questionamento:  O que o estudante precisa para reconhecer um objeto matemático?    Primeiro o estudante deve  reconhecer uma representação do objeto e é por meio desta representação  que o estudante exprime idéias para que consiga ter atitudes representativas!    Então, quais seriam as representações Matemáticas?  Duval (2004) considera que existem três tipos de representações:   As mentais que são concepções que uma pessoa pode ter sobre um objeto ou sobre uma situação;   As  representações  internas,  ou  computacionais,  caracterizadas  pela  execução  automática  de  uma  tarefa;   E as representações semióticas que são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes  a  um  sistema  de  representação,  os  quais  têm  suas  dificuldades  próprias  de  significado  e  de  funcionamento.    Antes de prosseguir, é importante definirmos alguns conceitos de semiótica.  Semiótica é ciência geral de todas as linguagens, ou seja: “A Semiótica é a ciência que tem por objeto de  investigação  todas  as  linguagens  possíveis,  ou  seja,  que  tem  por  objetivo  o  exame  dos  modos  de  constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção de significação e de sentido”.  
  • 2.  (SANTAELLA, 1983, p. 13)    Repare  que  agora  falamos  em  signos  e  representações.  Entretanto,  devemos  observar  que  nem  todo  sistema de signos constitui um registro. As placas de transito são um bom exemplo disso:  As placas de trânsito das estradas são significantes (triângulo → perigo, vermelho → proibição,...)      “...e  não  podem  se  caracterizar  como  um  registro  no  sentido  de  Duval,  uma  vez  que  não  há  a  possibilidade  de transformar um elemento em outro, diferentemente do que ocorre com todo elemento  de um registro...”  (SILVA e FIGUEIREDO, 2003, p.8)    Quanto  à  particularidade  da  Aprendizagem  Matemática  em  relação  às  outras  áreas  de  conhecimento,Duval enfatiza  que nas demais áreas de conhecimento, os objetos são concretos, ou seja,  o acesso é direto e claro ( exemplo na Física e Química). Na Matemática, os objetos, por serem abstratos,  só  podem  ser  acessados  por  meio  de    representações  inerentes  a  eles.  Por  isso  é  muito  importante  entender o que é um registro de representação semiótica.    Então, quando temos um registro de representação?  Para ser considerado um registro de representação, um sistema de signos precisa permitir três atividades  cognitivas:   a formação de uma representação identificável,    o tratamento de um registro de representação    e a conversão de um registro de representação para outro                                                                                        (DUVAL, 2004).     Podemos então definir e entender o que este registro de representação permite.  Um registro de representação semiótica é um sistema de signos que tem por objetivo não somente a  comunicação, mas também o tratamento da informação e a objetivação!    Esse sistema de representação permite preencher as funções cognitivas de comunicação, objetivação e  tratamento que são fundamentais para o funcionamento cognitivo.     O  acesso  aos  objetos  matemáticos  passa  necessariamente  por  representações  semióticas,  que  são  externas e conscientes ao indivíduo.    Portanto, um objeto pode ter diversos registros que o representem.   Vamos observar os exemplos a seguir:   O dobro de um número acrescido  da sua terça parte é igual a 36  representação em língua natural             representação algébrica       Em sua teoria, Duval  propõe uma abordagem cognitiva para compreender as dificuldades dos alunos na  compreensão da Matemática como também a natureza dessas dificuldades!    Esta  abordagem  cognitiva  procura  descrever  o  funcionamento  cognitivo  que  possibilite  a  um  aluno  COMPREENDER, EFETUAR e CONTROLAR a diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos.  No ponto de vista cognitivo, o que caracteriza então a atividade matemática?    A  atividade  cognitiva  da  Matemática  é  diferente  da  atividade  cognitiva  de  outros  domínios  do  conhecimento. 
  • 3. E  esta  diferença  não  deve  ser  procurada  nos  conceitos  mas  nas  seguintes  características:  Primeiro,  a   importância primordial das representações semióticas. já que os objetos matemáticos são diretamente  perceptíveis  por  meio  das  representações  inerentes  a  eles,  portanto,  as  possibilidades  de  tratamento  matemático  dependem  do  sistema  de  representação  utilizado.  Segundo,  a  grande  variedade  de  representações semióticas utilizadas em Matemática.        Mas afinal, quais seriam os tipos de registros que encontramos na Matemática?  Segundo Duval, há 4 tipos diferentes de registros de representação:    Fonte: (Duval, 2003, p. 14)       A  compreensão  em  Matemática  supõe  a  coordenação  de  ao  menos  dois  registros  de  representações  semióticas. Fazemos então o seguinte questionamento:      Tal coordenação é adquirida naturalmente durante o ensino da Matemática?      Quanto a organizar os registros de representação de determinado objeto matemático, devemos levar em  consideração os aspectos deste registro e as representações inerentes a ele.      A seguir temos alguns exemplos de registros classificados e identificados no trabalho “Estudo de Vetores  no R3:Uma abordagem envolvendo conversões de registros semióticos, com auxílio do software  Cabri‐Géomètre 3D” ( Karrer, Barreiro , 2009):                    Representação Discursiva Representação Não Discursiva Registros Multifuncionais Os tratamentos não são algoritmizáveis. Língua natural Associações verbais (conceituais). Formas de raciocinar:  argumentação a partir de observações, de crenças...;  dedução válida a partir de definição ou de teoremas. Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1 , 2 ou 3).  apreensão operatória e não somente perceptiva;  construção com instrumentos. Registros Monofuncionais Os tratamentos são principalmente algoritmos. Sistemas de escritas  numéricas (binária, decimal, fracionária ...);  algébricas;  simbólicas (línguas formais). Cálculo Gráficos cartesianos  mudanças de sistemas de coordenadas;  interpolação, extrapolação.
  • 4.             QUADRO 2: REGISTROS E REPRESENTAÇÕES (VETORES) Registros Representações Geométrico (Livro 2, p.10) Gráfico (Livro 2, p. 27) Simbólico Simbólico-algébrico Seja , , (Livro 3, p. 104) Simbólico: (A,B)(B,A) (Livro 1, p. 3) Língua natural Emprego comum ... Portanto, com origem em cada ponto do espaço... (Livro 2, p. 5) Numérico 4(1, -2) = (4(1), 4(-2)) = (4,-8) (Livro 3, p. 103)   Fica claro que, segundo Duval, não haveria uma apreensão conceitual sem uma representação semiótica!  ( Não há NOESIS sem SEMIÓSIS).    Ressaltamos  que  os  registros  de  representação  semiótica  são  aqueles  que  envolvem  três  operações cognitivas: a formação, o tratamento e a conversão.    Quanto à formação de uma representação, levam‐se em conta as regras que são inerentes a um  determinado registro. Os tratamentos são as transformações entre representações que ocorrem  no interior de um mesmo registro. Já as conversões são transformações entre representações  que ocorrem com mudanças de registros, conservando o objeto em questão.    
  • 5.   Duval (1996) apresenta três argumentos para explicar a necessidade de uma diversidade de registros de  representação dos objetos matemáticos que seriam: a economia de tratamento; a complementaridade  dos  registros;  e  a  compreensão  de  um  conteúdo  na  coordenação  de  pelo  menos  dois  registros  de  representação.    Quanto à conversão, não podemos esquecer de que esse tipo de transformação enfrenta os fenômenos  de  não‐congruência:  os  alunos  não  reconhecem  o  mesmo  objeto  através  de  duas  representações  diferentes. Converter implica em coordenar registros mobilizados    Os  fatores  de  não‐congruência  mudam  conforme  os  tipos  de  registro  entre  os  quais  a  conversão  é  efetuada. Pode ocorrer a irredutibilidade da conversão a um tratamento, ou seja, realizar a conversão não  é simplesmente traduzir.    Em um processo de conversão existem várias variáveis cognitivas, específicas do funcionamento de cada  registro, que determinam as unidades de significado pertinentes a serem consideradas em cada um dos  registros.    Existem  dois  tipos  de  fenômenos  característicos  na  conversão  de  representações,  as  variações  de  congruência e não‐congruência, que seria a “comparação” entre o registro de chegada e o de partida,  como  também  a  heterogeneidade  dos  dois  sentidos  de  conversão,  ou  seja,  saber  converter  em  um  sentido não implica que se saiba converter no sentido contrário.    Encontramos em muitas pesquisas, o grande insucesso dos alunos na mobilização de diferentes registros  como  também  ao  efetuar  mudanças  entre  eles.  Fica  evidente  que  esse  insucesso  aumenta  quando  as  conversões são não‐congruentes.   27 Tipos de transformações TRATAMENTO CONVERSÃO Exemplo de tratamento     Exemplo de conversão    TABELA 1– EXEMPLO DE ANÁLISE DA CONGRUÊNCIA DA ATIVIDADE DE CONVERSÃO TIPO DE CONVERSÃO SISTEMA OU REGISTRO DA ESCRITA NATURAL SISTEMA SIMBÓLICO- ALGÉBRICO Conversão congruente Conjunto de pontos com ordenada maior que abscissa. y>x Conversão não congruente Conjunto de pontos cujas ordenadas e abscissas têm o mesmo sinal. x.y>0 FONTE: DUVAL, 2000, p. 63
  • 6.   Segundo Duval, o “enclausuramento” de registro pode impedir o aluno de reconhecer o mesmo objeto  matemático em duas diferentes representações.    E como a compreensão em Matemática implica justamente na capacidade de mudar de registro, não se  deve jamais confundir um objeto e sua representação, reforçando que o acesso aos objetos matemáticos  passa necessariamente por representações semióticas.    Então, como podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto a  não ser por meio de sua representação?    Quanto a este paradoxo da compreensão Matemática, levantamos algumas conclusões:  Primeiro ter consciência de que é preciso dispor de, ao menos, dois registros de representação diferentes  para não confundir um objeto com sua representação. A articulação dos registros é que constitui uma  condição de acesso à compreensão em Matemática, e não o inverso, ou seja, o “enclausuramento” em  cada registro!    Esta Teoria, mais do que esclarecer alguns pontos importantes no processo de ensino e aprendizagem em  Matemática, leva‐nos a questionar muitos aspectos antes ignorados ou mesmo despercebidos, como por  exemplo,  a  conscientização  de  que  se  deve  distinguir  cuidadosamente  aquilo  que  é  evidenciado,  ressaltado no tratamento em um registro e aquilo que é evidenciado em uma conversão, de considerar a  natureza dos registros  e de que estes registros  apresentam diferentes graus de dificuldades e de analisar  a complexidade da atividade de conversão.    Concluo esta apresentação citando que, para Duval (2003) o entendimento matemático ocorre quando o  estudante  consegue  coordenar  vários  registros,  tendo  a  apreensão  do  objeto  matemático,  ou  seja,  integrando‐se  no que o autor chama de arquitetura cognitiva.             Referências Básicas  DUVAL,  R.  Registros  de  representações  semióticas  e  funcionamento  cognitivo  da  compreensão  em  Matemática.  In: Aprendizagem em   MACHADO, S. D. A. (org.).  Aprendizagem em Matemática. Campinas, SP: Papirus, 2003.