1. CMCG/2012 – 1º Ano EM Conectivos
Nota de aula 01 – Matemática – Professor Miguel A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições
mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos:
Noções básicas de lógica Conectivo Lê-se
∧ e
Proposição ∨ ou
Proposição é toda oração declarativa, com sentido completo, podendo ser
classificada como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Conectivo ∧
Os símbolos V e F são chamados valores lógicos.
Características:
Colocando o conectivo “ ∧ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma
 Sendo oração, tem sujeitado e predicado; nova proposição, p ∧ q , denominada conjunção das sentenças p e q.
 É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);
 Tem somente um valor lógico, isto é, ou é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Exemplos:
a) p : 2 > 0 (V)
Princípios básicos das proposições: q : 2 ≠ 1 (V)
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa p ∧ q : 2 > 0 e 2 ≠ 1 (V)
simultaneamente. p : 7 ≠ 5 (V)
b)
Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa; não q : ( − 2) 2 < (− 1) 2 (F)
existe um terceiro valor lógico. p ∧ q : 7 ≠ 5 e (− 2) 2 < (− 1) 2 (F)
a) 9 > 6 (Proposição, Verdadeira).
b) − 3 > − 2 (Proposição, Falsa). c) p : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a . (F)
c) 2 ∈ Q ? (Não é proposição, oração interrogativa). q : um quadrado de lado a tem área a 2 . (V)
d) 3 x − 1 = 11 (Não é proposição, não pode ser classificada como p ∧ q : um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e área a2 .
verdadeira ou falsa). (F)
Proposição simples: uma proposição poderá ser simples, se não contém d) p : 2 é ímpar. (F)
nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. q : 10 é múltiplo de 3. (F)
Ex.: Matemática é uma disciplina legal.
p ∧ q : 2 é ímpar e 10 é múltiplo de 3. (F)
Proposição composta: uma proposição será denominada composta se for
formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de
Ex.: Matemática é uma disciplina legal e o professor é exigente. uma conjunção a partir dos valores lógicos das proposições p e q:
Tabela verdade da conjunção p∧ q
Negação de uma proposição p q p∧ q
A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, V V V
denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p. V F F
Podemos sintetizar o valor lógico da proposição ~p na seguinte tabela, F V F
denominada tabela verdade da proposição ~p. F F F
p ~p
V F
F V

2. Conectivo ∨ Condicional → (se ... então)
Colocando o conectivo “ ∨ ” entre duas proposições p e q, obtemos uma Colocando o condicional “ → ” entre duas proposições p e q, obtemos
nova proposição, p ∨ q , denominada disjunção das sentenças p e q. uma nova proposição, p→ q , que se lê: “se p então q”.
Exemplos: Exemplos:
a) p : uma circunferência de raio r tem comprimento medindo 2π r . (V) a) p : a bananeira é um vegetal. (V)
q : um círculo de raio r tem área π r 2 . (V) q : a galinha é um animal. (V)
p ∨ q : circunferência de raio r e um círculo de mesmo raio têm p → q : se a bananeira é um vegetal, então a galinha é um animal. (V)
comprimento medindo 2π r ou área π r 2 . (V)
b) p : (− 4)3 = − 64 (V)
b) p : o elefante é um mamífero. (V) q : − 3 ∈ N (F)
q : a vaca voa. (F) p → q : (− 4)3 = − 64 → − 3∈ N (F)
p ∨ q : o elefante é um mamífero ou a vaca voa. (V)
c) p : a gaivota é um peixe. (F)
c) p : 2 é ímpar. (F) q : a baleia é um mamífero. (V)
q : 8 é múltiplo de 4. (V) p → q : se a gaivota é um peixe, então a baleia é um mamífero. (V)
p ∨ q : 2 é ímpar ou 8 é múltiplo de 4. (V)
d) p : 10 > 100 (F)
d) p : 4 > 13 (F) q : 100 > 1000 (F)
q : 4 ⋅ 2 = 9 (F) p → q : 10 > 100 → 100 > 1000 (V)
p ∨ q : 4 > 13 ou 4 ⋅ 2 = 9 (F) Tabela verdade do condicional p→ q
p p p→ q
Postula-se o seguinte critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de V V V
uma disjunção a partir dos valores lógicos das proposições p ou q ( p ∧ q ): V F F
p∨ q F V V
Tabela verdade da disjunção
F F V
P q p∨ q
V V V Condicional (bicondicional) ↔ (... se, e somente se, ...)
V F V
F V V Colocando o (bi)condicional “ ↔ ” entre duas proposições p e q, obtemos
F F F uma nova proposição, p ↔ q , que se lê: “p se, e somente se, q”.
Condicionais Exemplos:
A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições a) p : o golfinho vive no mar. (V)
através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: q : a arara-azul tem penas. (V)
Condicional Lê-se p ↔ q : o golfinho vive no mar se, e somente se, a arara-azul tem penas.
→ se ... então
(V)
↔ ... se, e somente se, ...

3. b) p : 34 = 81 (V) Exemplos:
q : 3 + 5 = 7 (F) a) 3 > 2 ⇔ 32 > 2 2
p ↔ q : 34 = 81 ↔ 3 + 5 = 7 (F) podemos usas o símbolo ⇔ , pois a proposição bicondicional:
3 > 2 (V) ↔ 3 > 2
2 2
(V) é verdadeira.
c) p : 3 − 8 = 2 (F)
q : | − 5 |= 5 (V) b) Não podemos escrever − 3 > − 4 ⇔ (− 3) 2 > (− 4) 2 , pois a
p ↔ q : 3 − 8 = 2 ↔ | − 5 |= 5 (F)
bicondicional:
− 3 > − 4 (V) ↔ ( − 3) 2 > (− 4) 2 (F) é falsa.
p : a Terra é plana. (F) Dizemos também que “p é equivalente a q”, quando p e q têm tabelas-
d)
verdade iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico.
q : o sal é doce. (F)
p ↔ q : a Terra é plana se, e somente se, o sal é doce.(V) Sentenças abertas
Expressões como:
Tabela verdade do condicional p↔ q a) 2x+3=11
p q p↔ q b) 5x-2=13
V V V c) x²+x=0
V F F que têm variáveis cujos valores lógicos (V ou F) dependem dos valores atribuídos
F V F a esta variável são denominadas funções proposicionais ou sentenças abertas.
F F V Contudo existem duas formas de transformar sentenças abertas em
proposições:
Implicação lógica
1. Atribuir valor às variáveis.
Dadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando
2. Utilizar quantificadores.
condicional p→ q for verdadeira.
Quando p implica q, indicamos p⇒ q Quantificadores
Quantificador Universal
Exemplos: É indicado pelo símbolo ∀ que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”.
a) 4 + 1 = 5 ⇒ ( 4 + 1) 2 = 5 2 Exemplos:
podemos usar o símbolo ⇒ , pois a condicional a) (∀ x)( x 2 ≥ 0) , “qualquer que seja x , temos x 2 ≥ 0 ” (Verdadeira)
4+ 1= 5 (V) → (4 + 1) 2 = 52 (V) é verdadeira. b) (∀ x)( x + 5 = 7) , “qualquer que seja x , temos x + 5 = 7 ” (Falsa)
b) Não podemos escrever que 5 > 2 ⇒ 5 > 8 , pois a condicional:
5 > 2 (V) → 5 > 8 (F) é falsa. Quantificador Existencial
É indicado pelo símbolo ∃ que se lê: “existe”, “existe pelo menos um”.
Equivalência lógica Exemplos:
Dadas as proposições p e q, dizemos que “p equivale a q” quando a a) (∃ x)( x + 1 = 5) , “existe x tal que x + 1 = 5 ” (Verdadeira)
proposição condicional p↔ q é verdadeira. b) (∃ x, x ∈ N )( x 2 = 25) , “existe pelo menos um x , x elemento de N ,
Quando p equivale a q, indicamos p ⇔ q. tal que x 2 = 25 ” (Verdadeira)
c) (∃ x)( x < 0) , “existe
2
x tal que x 2 < 0 ” (Falsa)

4. Obs. É também utilizado outro quantificador ∃ | que se lê: “existe um único”. Negação de uma conjunção
Exemplo: Pode-se verificar, em (A), que ~ ( p ∧ q ) ⇔ (~ p ) ∨ (~ q ) , assim sendo a
a) (∃! x )( x + 3 = 9) , “existe um único x tal que x + 3 = 9” (Verdadeira) negação da proposição p∧ q é a proposição (~ p ) ∨ (~ q ) .
Exemplo: determinar a negação de:
Construindo tabelas verdade a) 3 = 2 e 8 < 12 .
Dadas as proposições p e q, podemos determinar os valores lógicos de: p: 3 = 2 (F)
q: 8 < 12 (V)
a) ~ p, ~ q , p ∧ q , ~ ( p ∧ q) e (~ p ) ∨ (~ q ) .
~p: 3 ≠ 2 (V)
~q: 8 ≥ 12 (F)
p Q ~ p ~q p ∧ q ~ ( p ∧ q) (~ p) ∨ (~ q)
~ ( p ∧ q ) : 3 ≠ 2 ou 8 ≥ 12 (V)
V V F F V F F
V F F V F V V
F V V F F V V b) A pomba voa e o gato late.
F F V V F V V p: a pomba voa (V)
(A) q: o gato late. (F)
b) ~ p , ~ q , p ∨ q , ~ ( p ∨ q) e (~ p ) ∧ (~ q ) ~p: a pomba não voa (F)
~q: o gato não late (V)
p Q ~ p ~q p ∨ q ~ ( p ∨ q) (~ p) ∧ (~ q) ~ ( p ∧ q ) : a pomba não voa ou o gato não late. (V)
V V F F V F F
V F F V V F F Negação de uma disjunção
F V V F V F F ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ) ∧ (~ q ) , assim sendo,
Pode-se verificar, em (B), que
F F V V F V V a negação as proposição p ∨ q é a proposição (~ p ) ∧ (~ q ) .
(B)
Exemplos: determinar a negação de:
c) ~ p , ~ q , p ∧ ~ q , p → q , ~ ( p → q) e
a) 8 ≠ 0 ou 2 ≠ 2
p: 8 ≠ 0 (V)
p Q ~ p ~q p∧ ~ q p→ q ~ ( p → q) (~ q → ~ p)
V V F F F V F V
q: 2≠ 2 (F)
V F F V V F V F ~p: 8= 0 (F)
F V V F F V F V ~q: 2= 2 (V)
F F V V F V F V ~ ( p ∨ q ) : 8 = 0 e 2 = 2 (F)
(C)
b) Matemática é interessante ou fascinante.
p: Matemática é interessante (V)
Negação de uma proposição q: Matemática é fascinante (V)
Para proposições simples já foi visto que a partir de uma proposição p ~p: Matemática é desinteressante (não é interessante) (F)
qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada ~q: Matemática não é fascinante. (F)
com o símbolo ~p. ~ ( p ∨ q ) : Matemática é desinteressante e não é fascinante. (F)
Exemplo:
a) p : 7 ≠ 5 (V)
~ p : 7 = 5 (F)

5. Negação de um condicional simples Exercícios
Pode-se verificar, em (C), que ~ ( p → q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) , assim sendo, a
negação da proposição p→ q é a proposição ( p∧ ~ q) .
1) Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições,
classifique como F ou V?
Exemplos: determinar a negação de:
a) 5 ⋅ 4 = 20 b) 5-3=3
b) 2+7.3=5.4+3 d) 5(3+1)=5.3+5.1
a) Se 1 ∈ Q então 1 ∈ R .
p: 1 ∈ Q (V)
c) 1+3 ≠ 1=6 f) ( − 2) ≥ ( − 2)
5 3
d) 3+4>0 h) 11-4.2
q: 1∈ R (V)
~q: 1∉ R (F) 2) Classificar em V ou F cada uma das seguintes proposições compostas:
~ ( p → q ) : 1 ∈ Q e 1∉ R (F) a) 3>1 e 4>2
b) 3>1 ou 3=1
b) Se matemática é fácil então eu sou feliz. c) (− 1) 6 = − 1 e 25 < (− 2) 7
p: matemática é fácil (V) d) 5 é número par e 5 é numero ímpar.
q: eu sou feliz (V) e) 5 é numero par ou 5 é número impar.
~q: não sou feliz (F) f) 4 é número ímpar ou 4 é múltiplo de 3.
~ ( p → q ) : matemática é fácil e eu não sou feliz (F) g) 6 é número par e 6 é múltiplo de 3.
Negação de proposições quantificadas 3) Dizer qual a negação de cada proposição abaixo:
Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo a) ( ∀ x)(x+3=5)
(∀ x )( p ( x )) , é negada assim: substitui-se o quantificador universal pelo
b) ( ∀ x)(x(x+1)=x²+x)
existencial e nega-se p (x ) obtendo: (∃ x )(~ p ( x ))
c) ( ∃ x)(x=x)
Exemplos:
a) p: (∀ x)( x é par ) (F)
d) ( ∃ a) (a + 1 ≥ 1 )
2 3
~p: (∃ x )( x não é par ) (V)
e) ( ∃ a) ( 1 ∈ R)
a
b) p:Todo homem é mortal. (V) f) Todo losango é um quadrado.
~p: Existe um homem que é imortal (não é mortal). (F) g) Todo número inteiro primo é ímpar.
Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo 4) Usando a equivalência ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ) ∧ (~ q ) , escreva a negação da
(∃ x )( p ( x )) , é negada assim: substitui-se o quantificador existencial pelo sentença “5 é numero par ou 5 é diferente de 3”.
universal e nega-se p ( x ) obtendo: (∀ x )(~ p ( x ))
5) Escreva a negação da sentença “ Carlos foi viajar ou foi à escola”.
Exemplos:
a) p: (∃ x )( x + 5 = 19) (V)
6) Usando a equivalência ~ ( p ∧ q) ⇔ (~ p ) ∨ (~ q ) , escreva a negação da
~p: (∀ x)( x + 5 ≠ 19) (F)
sentença “José casou-se e foi viajar”.
b) p: Existe um triângulo de três lados iguais que não é eqüilátero. (F)
7) Dadas as proposições p e q, construir e comparar as tabelas verdades de
~p: Todo triângulo de três lados iguais é eqüilátero. (V)
p→ q e ~q→ ~ p.

6. 8) Classifique como V ou F cada uma das sentenças:
a) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x>0)
b) Sendo x um número, tem-se ( ∃ x)(x>0)
c) Sendo x um número, tem-se (x)(x>0)
d) Sendo x um número, tem-se ( ∀ x)(x+2=2+x)
9) Numa sentença do tipo p → q , o condicional → só pode ser substituído
pela relação de implicação ⇒ quando a sentença p→ q for
verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo → por ⇒ :
a) 5>3 → 3+1=4
b) 6>5 → 3<2
c) 3<2 → 6>5
d) 3+2=6 → 5<1
10) Numa sentença do tipo p ↔ q , o bicondicional ↔ só pode ser
substituído pelo símbolo de equivalência ⇔ quando a sentença p↔ q
for verdadeira. Substitua, quando for possível, o símbolo ↔ por C:
a) 9+1=10 ↔ 5>2 c) 3<5 ↔ 3-1=6
b) 6+1=5 ↔ 6+1=7 d) 6<1 ↔ 3+1=0
11) Usando a equivalência ~ (~ p ) ⇔ p , dê uma sentença equivalente a “
Não é verdade que Márcia não voltou”.
Referências
Fundamentos de matemática elementar, Gelson Iezzi [e outros] – São Paulo: Ed.
Atual, 1977.
Matemática, Manoel Rodrigues Paiva – São Paulo: Moderna, 1995.