Secções cônicas

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Secções cônicas

  1. 1. Secções CônicasAs Secções Cônicas representam uma parte muito especial dentro do estudo daMatemática. Suas definições, equações e gráficos são utilizados em vários conteúdosdoCálculo Integral, além de serem muitas as aplicações das cônicas na história dassociedades.As secções cónicas começaram a ser estudadas no século III a.C., na GréciaAntiga. O seu interesse inicial residia no contributo que a sua utilização poderiadar para a resolução dos três problemas clássicos: trissectar um ângulo, quadrarum círculo e duplicar um cubo. Euclides escreveu um tratado sobre as cónicas, quese perdeu. A Apolónio (262?-190 a.C.), matemático grego, devem-se os nomes queainda hoje utilizamos para a elipse, a hipérbole e a parábola.Os desenvolvimentos à volta das secções cónicas efectuados nessa altura vieram aestar na base da formulação de várias teorias sobre curvas no séc. XVII. Porexemplo, Kepler usou a elipse para descrever as trajectórias dos planetas e Galileua parábola para representar o movimento de projecteis na terra.Uma secção cónica é uma curva que resulta da intersecção entre um plano e umasuperfície cónica assente numa base circular, que se estende indefinidamenteatravés do seu vértice em ambas as direcções.Existem cinco tipos possíveis de secções cónicas: a elipse; a hipérbole; a parábola;a circunferência; e um par de rectas concorrentes. Estes dois últimos são casosparticulares da elipse e da hipérbole, respectivamente.ParábolaA parábola (do grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de umasuperfície cônica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora docone(chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjuntodos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma retadada (chamada de diretriz). É uma curva plana. [1]Equações da geometria analíticaEm coordenadas cartesianas, uma parábola com um eixo paralelo ao eixo y com vértice(h, k), foco (h, k + p), e diretriz y = k - p, com p sendo a distância entre o vértice e ofoco, possui a equação
  2. 2. ou, alternativamenteDe maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por umaequação irredutível da forma : talque , em que todos os coeficientes são reais, em que A e/ou C é não nulo,e na qual mais de uma solução, definindo um par de pontos (x, y) na parábola, existe. Ofato da equação serirredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produtode dois fatores lineares.ElipseEm geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica écortada com um plano que não passe pela base e que não intercepte as duas folhas docone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse. Para uma prova elementar disto,veja esferas de Dandelin.Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casosespeciais de elipses, no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta quepassa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo pontomédio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando ocomprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-seelipses cada vez mais próximas de um segmento de recta. A elipse é também aintersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas,respectivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação daformatal que , onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução,definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O casocorresponde ao círculo.Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados a equação anterior tornaa forma mais simples:
  3. 3. ,onde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.HipérboleEm matemática, uma hipérbole é um tipo de seção cônica definida como a interseçãoentre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duasmetades do cone.Ela também pode ser definida como o conjunto de todos os pontos coplanares[1] para osquais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (chamados de focos) é constante.Para uma prova geométrica simples de que as duas caracterizações acima sãoequivalentes, veja esferas de Dandelin.Algebricamente, uma hipérbole é uma curva no plano cartesiano definida por umaequação da formatal que , onde todos os coeficientes são reais, e onde mais de uma solução,definindo um par de pontos (x,y) na hipérbole, existe.CartesianaHipérbole de abertura leste-oeste:Hipérbole de abertura norte-sul:Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior (metade dadistância entre os dois ramos), e b é o semi-eixo menor. Note que b pode ser maior quea.A excentricidade é dada por
  4. 4. ouPara hipérboles retângulares com os eixo de coordenadas paralelos às suas assíntotastemos:PolarHipérbole com abertura leste-oeste:Hipérbole com abertura norte-sul:Hipérbole com abertura nordeste-sudoeste:Em todas as fórmulas o centro está no pólo, e a é o semi-eixo maior e menor.ParamétricaHipérbole com abertura leste-oeste:Hipérbole com abertura norte-sul:Em ambas as fórmulas (h,k) é o centro da hipérbole, a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor.

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