calculo financeiro

1. 0580 - Cálculo Financeiro
e Atuarial

2. AGENDA
1. Juros – conceitos gerais
1. Regimes de capitalização
1. Aplicação do rendimento
2. Investimento financeiro
3. Capitalização
4. Taxa de juro
2. Juros simples
1. Capitalização
1. Capital acumulado
2. Descontos, taxa nominal e real
3. Equivalência de capitais
3. Juros compostos - Noções gerais
4. Rendas – Noções gerais

3. OBJETIVOS DO MÓDULO
Cálculo financeiro e atuarial
 Identificar e aplicar conceitos gerais sobre juros.
 Calcular juros simples e compostos.
 Definir, identificar e determinar equivalência de
valores.
 Definir, caracterizar e calcular rendas financeiras.
 Distinguir e determinar as diferentes modalidades
no reembolso de empréstimos.

4. 1.1.1. Aplicação do rendimento
Rendimento
disponível
Consumir
Poupar
Investir
Investimentos
reais diretos
Investimentos
financeiros
Entesourar

5. 1.1.1. Aplicação do rendimento
Consumo
Conjunto das despesas em bens e serviços, com um
tempo de vida limitado.
Não permite o retorno do capital aplicado.
Ex.: compra de jornais, bolos, espetáculos,…

6. 1.1.1. Aplicação do rendimento
Poupança Parte do rendimento disponível que pode ser aplicado em:
Entesouramento
Poupança mantida e
guardada sob a forma de
moeda, não permitindo a
obtenção de rendimento
ao longo do tempo.
Investimento
Poupança aplicada com o objetivo de ser multiplicada
Inv. Real
Direto
Inv. Finan-
ceiro
Capital aplicado na
compra direta de meios
de produção
Capital monetário é
transformado em capital
financeiro (produz juro)

7. 1.1.2. Investimento financeiro
Capitalização
É a transformação provocada pelo tempo de um capital em capital e
juro.
Capital
C
É a quantidade de moeda cedida pelo seu detentor, a um terceiro, por
um determinado período de tempo, mediante uma compensação.
Tempo
n
É o prazo durante o qual o capital é aplicado.
Juro
j
Valor correspondente ao período de capitalização. É o rendimento
proveniente do capital aplicado durante um determinado período de
tempo.

8. 1.1.3. Capitalização
Capitalização
É o mecanismo pelo qual um capital inicial (C0) produz um
juro (j) durante um determinado período de tempo (n),
levando à obtenção de um valor (Cf).
Cf= C0 + j

9. 1.1.3. Capitalização
Capitalização Existem dois regimes de capitalização:
Regime de JURO
SIMPLES
Após o vencimento dos juros do capital
aplicado os juros vencidos são retirados.
Os juros vencidos num determinado
período são acrescidos na própria
aplicação em curso.
Regime de JURO
COMPOSTO
n=0 n=1 n=2 n=0 n=1 n=2

10. 1.1.4. Juro e taxa de juro
O juro é uma função do tempo e do capital. Isto é: j=f(n,C)
Taxa de juro
i
É estabelecida ou por negociação ou fixada por lei, ou
por aviso da autoridade monetária.
Assim, o juro de um determinado período de tempo “n” é igual ao capital
no início do período “C”, a multiplicar pela taxa de juro “i”. Isto é:
Relembrando:
j – juro C – Capital no início do período
n – período de tempo de i – taxa de juro
aplicação do capital

11. 1.1.4. Juro e taxa de juro
A taxa de juro é uma constante de proporcionalidade entre o juro produzido
e o capital acumulado.
Duas taxas de juro dizem-se EQUIVALENTES quando, aplicadas ao
mesmo capital inicial, durante o mesmo período de tempo, geram o mesmo
juro, e consequentemente o mesmo capital acumulado. Vejamos:
Capital (C) Tempo (n) Taxa (i)
C1 1 ano 9% ao ano
C2 2 semestres 4,5% ao semestre
C3 12 meses 0,75% ao mês

12. 1.1.4. Juro e taxa de juro
VAMOS PRATICAR COM ALGUNS EXERCÍCIOS
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS

13. 1.1.4. Juro e taxa de juro
Assim, poderemos representar a fórmula fundamental do juro:
Em ANOS Em MESES
Em DIAS (ano comercial) Em DIAS (ano civil)

14. 1.1.4. Juro e taxa de juro
VALOR ACUMULADO - Cn
Quando o Capital C0 (momento de referência) produz um juro “j” durante
um período “n”, obtemos:
Em que Cn é o valor acumulado de C0 durante o período n.

15. 1.1.4. Juro e taxa de juro
VALOR ATUAL – C0
É o valor do capital que se obtém quando ao valor acumulado se deduz o
juro nele contido:
Em que C0 é o valor atual ou o valor do juro descontado ao capital Cn .

16. 1.1.4. Juro e taxa de juro
Se um capital de €1.000 for aplicado 1/1/n pelo prazo de 1 ano à taxa de
juro de 10%, teremos:
Em que C0 é o valor atual ou o valor do juro descontado ao capital Cn .

17. 1.1.4. Juro e taxa de juro
VAMOS PRATICAR COM ALGUNS EXERCÍCIOS
JURO SIMPLES

18. 2.1. Capitalização a juro simples

19. 2.1.1. Capital Acumulado
VALOR ACUMULADO
Como
Então Cn > C0

20. 2.1.1. Capital Acumulado
Deduzindo as fórmulas
Então
LOGO

21. 2.1.2. Descontos, taxa nominal e real
CAPITAL ACUMULADO - Cn
O juro é simples quando nos referimos a empréstimos ou aplicações que
vencem juros, juros estes que são pagos na data de vencimento
CAPITAL ATUAL – C’
O juro é antecipado, ou seja, está-se a determinar, hoje, o valor de
determinado capital cuja valorização está referenciada a uma data futura

22. Esquematicamente
Juro simples
Mutuário: recebe C0 = €1.000 Paga C0 + j = €1.100
1/1/n 31/12/n
Juro antecipado
Mutuário: recebe €1.000 - €100 = €900 Paga €1.000
1/1/n 31/12/n
2.1.2. Descontos, taxa nominal e real

23. 2.1.2. Descontos, taxa nominal e real
Assim, relativamente ao cálculo do juro, podem resultar dois tipos de desconto:
DESCONTO RACIONAL (por dentro)
É o juro produzido pelo valor atual do capital durante o período de tempo que
falta para o seu vencimento. O juro, em vez de incidir sobre o valor nominal do
título (C), incide sobre o valor atual (C’).
É o método mais utilizado, sendo o mais vantajoso para o mutuário.
DESCONTO COMERCIAL (por fora)
É o juro produzido pelo valor nominal do capital durante o período de tempo que
falta para o seu vencimento

24. 2.1.2. Descontos, taxa nominal e real
É possível relacionar estes dois tipos de desconto:
Sendo Incidindo j sobre C’
e
ENTÃO

25. 2.1.2. Descontos, taxa nominal e real
Considerando um empréstimo a juros antecipados, como os juros são
diretamente proporcionais aos respetivos capitais e as taxas de juro
representam o juro de uma unidade de capital numa unidade de tempo,
concluímos que:
A TAXA REAL (i’) é sempre superior à TAXA NOMINAL (i), uma vez que
o devedor paga juros sobre o capital que não recebe na totalidade, dado
que lhe são deduzidos de imediato os juros.

26. VAMOS PRATICAR COM ALGUNS EXERCÍCIOS
2.1.2. Descontos, taxa nominal e real

27. 2.1.3. Equivalência de capitais
Já vimos que o capital financeiro, ao render juros, implica que o capital
acumulado apresente diferentes valores em momentos diferentes.
Tempo 0 1 … n
Capital C0 C0+j C0+j+…+j
Pelo contrário, para períodos de tempo anteriores ao vencimento do
capital (C0) ter-se-á:
Tempo -2 -1 0
Capital (C0-j)-j C0-j C0

28. 2.1.3. Equivalência de capitais
Assim temos:
CAPITAL DIFERIDO - C
A data de pagamento por parte do mutuário (quem pede emprestado) é
posterior à data do empréstimo pelo mutuante (quem empresta).
CAPITAL ANTECIPADO – C’
A data de pagamento do capital pelo mutuário é anterior à data do
empréstimo pelo mutuante.

29. 2.1.3. Equivalência de capitais
Efeitos comerciais da realização antecipada
Atualmente é habitual as vendas a prazo (30, 60, ou mais dias), em que o
vendedor entrega os bens ou presta os serviços e só posteriormente recebe.
No entanto, a maior parte das vezes este não pode esperar a data do
pagamento pois necessita de fundo de maneio para que o seu negócio
decorra com normalidade, pelo que recorre a títulos de crédito,
nomeadamente:
 Letras;
 Livranças;
 Aceites bancários

30. 2.1.3. Equivalência de capitais
Os títulos de crédito apresentam duas vantagens para o vendedor:
 proporcionam a realização antecipada, dispondo do capital antes da data
acordada com o comprador para proceder ao seu pagamento;
 são prova de garantia de que o pagamento diferido será efetuado.
Venda Vencimento
Realização antecipada
do capital em dívida
Nesta situação estamos perante um DESCONTO COMERCIAL.

31. 2.1.3. Equivalência de capitais
LETRA

32. 2.1.3. Equivalência de capitais
LETRA
Título de crédito emitido pelo sacador (credor) onde se dá a conhecer ao
sacado (devedor) qual o valor em dívida que deverá ser efetuado.
O sacador pode:
 Guardar a letra em carteira, até à data do vencimento, recebendo nessa
data o valor inscrito na letra:
 descontar a letra, caso pretenda receber o valor inscrito na letra antes do
seu vencimento, negociando com o banco a antecipação do seu pagamento.
Evidentemente que a operação de desconto está sujeita a diversos encargos,
pelo que o valor recebido será inferior ao valor nominal da letra!

33. 2.1.3. Equivalência de capitais
Assim, concluímos que o DESCONTO COMERCIAL é uma operação entre o
sacador e o banco, em que o sacador transmite por endosso os direitos
contidos na letra, ficando o sacado obrigado a pagar o valor da letra ao
banco, na data do seu vencimento. Os encargos do sacador são:
 Encargos bancários;
 Juros do valor nominal, relativos aos dias de antecipação em relação ao
vencimento;
 Prémio de transferência – incide sobre o valor nominal da letra quando o
desconto é efetuado em local diferente;
 Encargos fiscais – imposto do selo;
 Outros como correio, telefone,…
Assim:
Valor Líquido (Va) = Valor Nominal (Vn) – Total dos encargos (E)

34. 2.1.3. Equivalência de capitais
Acontece por vezes que na data do vencimento da letra o sacado não efetua
o pagamento da totalidade ou de parte do valor em dívida. Assim, o portador
da letra pode negociar a substituição da letra vencida por uma (total) ou mais
letras (parcial) com vencimento em data posterior – REFORMA DA LETRA.