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GN 302 – Contabilidade I - Matemática Financeira

• I

Definição de Juros: Simples e Compostos

1
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis;
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;
•Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva;
•Utilização na HP12C e no Excel;

2
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
Juros e Taxa de Juros
Juros: Os juros são a remuneração do capital.
Ao emprestarmos uma quantia, por um determinado período de
tempo, cobramos do tomador do empréstimo uma certa
importância. Tal importância é chamada de juros.
Os juros correspondem ao dinheiro pago pelo uso do dinheiro
tomado emprestado.
Os juros são o salário do risco e da paciência.

3
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
Taxa de Juros: A taxa de juros é a forma de se medir os juros.
A taxa de juros representa os juros pagos (ou recebidos) pela
utilização de 1 unidade de capital pelo prazo de 1 unidade de
tempo.
A taxa de juros traduz a relação entre os juros e o capital por
unidade de tempo.

4
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
A taxa de juros refere-se sempre a um determinado período de
tempo (o dia, o mês, o trimestre, o semestre, o ano).
A taxa de juros, indicada por "i" , pode ser apresentada de duas
formas:
Forma percentual:
Forma decimal:

6% a.m ; 12% a.s ; 36% a.a
0,06 ; 0,12 ; 0,36

5
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
A forma percentual é a forma usualmente empregada para
informar, nos contratos financeiros, a taxa de juros da transação.
A forma decimal da taxa de juros é a sua forma de trabalho. É
sempre utilizada nos diversos cálculos financeiros.

6
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
Juros Simples: São, por definição, os juros calculados unicamente
sobre o Capital Inicial ao longo de todo o prazo da transação
financeira:
Fórmula:

J = P. i . n

Exemplo:
Quais os juros de um capital de R$500,00 aplicado à taxa de juros
de 6% a.a., no fim de 2 anos:
J = P. i . n

J = 500 x 0,06 x 2 = R$60,00
7
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
A fórmula J = P. i . n (como de resto qualquer das fórmulas da
Matemática Financeira) só pode ser empregada se o prazo da
aplicação estiver expresso na mesma unidade de tempo em que
está expressa a taxa de juros da operação financeira.
Desse modo, quando a taxa de juros for anual e o prazo da
operação estiver indicado em meses ou dias, teremos:
(a) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/12
(b) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/360
8
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;
Montante: Chama-se montante S, de um principal P que foi colocado
a render juros, à soma desse principal P com os juros que lhe são
devidos ao fim do prazo da aplicação.
Por definição: S = P + J
Como no Regime de Juros Simples J = P . i . n ,
temos que S = P + P . i . n
Temos então a Fórmula:

S = P. ( 1 + i . n )

9
•Juros Simples: Expressões; Montante e Demais
Variáveis;

Valor Atual: É o Valor Presente, a uma determinada taxa de
juros, do Valor Final de um compromisso futuro.

Nos Juros Simples temos: S = P . ( 1+ i . n ) Daí vem a fórmula:
P= S
(1 + i . n)
Exemplo:
O Valor Atual, à taxa de juros simples de 12% aa, de uma Nota
Promissória de R$2.000,00 vencível em 9 meses, corresponde a:
P = S.
3

1
(1 + i . n)

P = 2000 .
1
1 + 0,12 . 9/12

P = R$1.834,86

10
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;
Juros Simples e Juros Compostos:
Regime de Capitalização Simples ou Regime de Juros
Simples: só o principal rende juros ao longo da vida do
investimento.
Regime de Capitalização Composta ou Regime de Juros
Compostos: após cada período os juros são incorporados ao
principal, e o novo principal passa, por sua vez, a render juros.

11
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;
Regime de Capitalização Composta :
O período de tempo entre incorporações consecutivas de
juros chama-se período de capitalização.
Exemplo: Consideremos R$200,00 aplicados à taxa de juros de
10% a.a. durante 4 anos.
Capital

Juros Simples

Juros Compostos

No fim do 1°ano

200 + 0,10 x 200 = 220

200 + 0,10 x 200 = 220

No fim do 2°ano

220 + 0,10 x 200 = 240

220 + 0,10 x 220 = 242

No fim do 3°ano

240 + 0,10 x 200 = 260

242 + 0,10 x 242 = 266,2

No fim do 4°ano

260 + 0,10 x 200 = 280

266,2 + 0,10 x 266,2 = 292,8

12
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;
Problema: Determinar a quantia S que seria obtida pela
aplicação do capital P, à taxa de juros compostos i, durante n
períodos.
i = 1% a.m
1 2

3 ...............................

n

P

13
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;
Períodos

Juros

Montante

0

---

P

1

P. i

P . (1+i)

2

P . (1+i) . i

P . (1+i)2

3

P . (1+i)2 . i

P . (1+i)3

...

...

...

n

P . (1+i)n-1 . i

P . (1+i)n

Logo: S = P x (1+ i)n  Montante = Principal x (1 + taxa)nº de capitalizações

14
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;
Logo:
S = P . (1+i)n
P=S.

1
(1 + i)n

n = log(S/P)
log(1+i)

15
•Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização;

O fator (1 + i)n é chamado de Fator de Valor Futuro ou
Fator de Capitalização Composta que permite, dado P (Valor
Presente ou Capital Inicial), calcularmos S (Valor Futuro ou
Montante).

16
•Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva.
 

 Quando o juro é composto mais frequentemente do que 
uma vez por ano, a taxa anual dada é denominada taxa nominal. 
Taxa Nominal de juros é aquela onde o período de tempo a que 
se refere a taxa não coincide com o período de capitalização.
 
Exemplos:
36% a.a. compostos mensalmente 
18% a.a. compostos semestralmente 
8% a.a. compostos trimestralmente

17
•Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva.
 

 Exemplos:

 
Qual a taxa efetiva anual correspondente a 24% a.a. compostos:
a) mensalmente
ie = (1 + 0,02)12 - 1 = 0,268   i = 26,8%aa
b) trimestralmente ie = (1 + 0,06)4 - 1 = 0,262      i = 26,2%aa
c) semestralmente  ie = (1 + 0,12)2 - 1 = 0,254      i = 25,4%aa

18
•Utilização na HP12C e no Excel.
Utilização no Excel
 
Mais completo do que a HP12c, o Excel possui uma gama de funções 
que nos auxiliam na montagem de planilhas, aberturas de cálculos e 
simulações agilizando a análise do profissional.
Abordaremos as seguintes fórmulas financeiras:
=PGTO()
=NPER()
=VP()
=VF()
=TAXA()
19
•Utilização na HP12C e no Excel.
Utilização no Excel
 Para cálculo da prestação, (Price) usaremos a “=PGTO”

20
•Utilização na HP12C e no Excel.
Utilização no Excel
 A “=PGTO” é composta por: 

21
•Utilização na HP12C e no Excel.
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22
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23
•Utilização na HP12C e no Excel.
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E assim para VP, VF e Taxa o mesmo mecanismo.
O mais complexo não está no uso das fórmulas, mas sim em bolar 
estruturas  de cálculo que cheguem o mais próximo da realidade 
possível.

24
•Utilização na HP12C e no Excel.
Utilização no Excel
Composição da tabela Price:

25
•Utilização na HP12C e no Excel.

26
•Utilização na HP12C e no Excel.

27
•Utilização na HP12C e no Excel.
Resolução de Problemas Com HP12C:
1 – O banco me oferece duas opções de investimentos: a primeira
remunera 6,5% a.a. capitalizados semestralmente, a segunda 1,1% a.m
capitalizados mensalmente. Qual a mais atrativa em 12 meses?
6,5% a.a.  13,4225%
1,1% a.m.  14,0286%

28
•Utilização na HP12C e no Excel.
Resolução de Problemas Com HP12C:
2 – Resolvo comprar um carro no valor de R$ 30.000,00, em 48 vezes,
a uma taxa de 1,5% a.m, sem entrada e primeira para 90 dias. Qual o
valor da prestação?
30.000,00  31.370,35
PMT1,5;48  921,50

29
•Utilização na HP12C e no Excel.
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3 – Qual o valor de PI no fluxo de caixa abaixo:
PII

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i=1,5%

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PII
30
•Utilização na HP12C e no Excel.
Resolução de Problemas Com HP12C:
4 – Qual o equivalente em 48 meses de uma taxa 7% a.a capitalizados
semestralmente?
7% a.a  1,035
1,0358 31,68%

31
•Utilização na HP12C e no Excel.
Resolução de Problemas Com HP12C:
5 – Qual o tempo necessário para juntar R$ 60.000, efetuando
depósitos de 3.000 e remunerados 0,5% a.m?
20 meses

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  • 1. GN 302 – Contabilidade I - Matemática Financeira • I Definição de Juros: Simples e Compostos 1
  • 2. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; •Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva; •Utilização na HP12C e no Excel; 2
  • 3. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; Juros e Taxa de Juros Juros: Os juros são a remuneração do capital. Ao emprestarmos uma quantia, por um determinado período de tempo, cobramos do tomador do empréstimo uma certa importância. Tal importância é chamada de juros. Os juros correspondem ao dinheiro pago pelo uso do dinheiro tomado emprestado. Os juros são o salário do risco e da paciência. 3
  • 4. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; Taxa de Juros: A taxa de juros é a forma de se medir os juros. A taxa de juros representa os juros pagos (ou recebidos) pela utilização de 1 unidade de capital pelo prazo de 1 unidade de tempo. A taxa de juros traduz a relação entre os juros e o capital por unidade de tempo. 4
  • 5. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; A taxa de juros refere-se sempre a um determinado período de tempo (o dia, o mês, o trimestre, o semestre, o ano). A taxa de juros, indicada por "i" , pode ser apresentada de duas formas: Forma percentual: Forma decimal: 6% a.m ; 12% a.s ; 36% a.a 0,06 ; 0,12 ; 0,36 5
  • 6. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; A forma percentual é a forma usualmente empregada para informar, nos contratos financeiros, a taxa de juros da transação. A forma decimal da taxa de juros é a sua forma de trabalho. É sempre utilizada nos diversos cálculos financeiros. 6
  • 7. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; Juros Simples: São, por definição, os juros calculados unicamente sobre o Capital Inicial ao longo de todo o prazo da transação financeira: Fórmula: J = P. i . n Exemplo: Quais os juros de um capital de R$500,00 aplicado à taxa de juros de 6% a.a., no fim de 2 anos: J = P. i . n J = 500 x 0,06 x 2 = R$60,00 7
  • 8. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; A fórmula J = P. i . n (como de resto qualquer das fórmulas da Matemática Financeira) só pode ser empregada se o prazo da aplicação estiver expresso na mesma unidade de tempo em que está expressa a taxa de juros da operação financeira. Desse modo, quando a taxa de juros for anual e o prazo da operação estiver indicado em meses ou dias, teremos: (a) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/12 (b) J = P. i . n , ou seja: J = P . i . n/360 8
  • 9. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; Montante: Chama-se montante S, de um principal P que foi colocado a render juros, à soma desse principal P com os juros que lhe são devidos ao fim do prazo da aplicação. Por definição: S = P + J Como no Regime de Juros Simples J = P . i . n , temos que S = P + P . i . n Temos então a Fórmula: S = P. ( 1 + i . n ) 9
  • 10. •Juros Simples: Expressões; Montante e Demais Variáveis; Valor Atual: É o Valor Presente, a uma determinada taxa de juros, do Valor Final de um compromisso futuro. Nos Juros Simples temos: S = P . ( 1+ i . n ) Daí vem a fórmula: P= S (1 + i . n) Exemplo: O Valor Atual, à taxa de juros simples de 12% aa, de uma Nota Promissória de R$2.000,00 vencível em 9 meses, corresponde a: P = S. 3 1 (1 + i . n) P = 2000 . 1 1 + 0,12 . 9/12 P = R$1.834,86 10
  • 11. •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; Juros Simples e Juros Compostos: Regime de Capitalização Simples ou Regime de Juros Simples: só o principal rende juros ao longo da vida do investimento. Regime de Capitalização Composta ou Regime de Juros Compostos: após cada período os juros são incorporados ao principal, e o novo principal passa, por sua vez, a render juros. 11
  • 12. •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; Regime de Capitalização Composta : O período de tempo entre incorporações consecutivas de juros chama-se período de capitalização. Exemplo: Consideremos R$200,00 aplicados à taxa de juros de 10% a.a. durante 4 anos. Capital Juros Simples Juros Compostos No fim do 1°ano 200 + 0,10 x 200 = 220 200 + 0,10 x 200 = 220 No fim do 2°ano 220 + 0,10 x 200 = 240 220 + 0,10 x 220 = 242 No fim do 3°ano 240 + 0,10 x 200 = 260 242 + 0,10 x 242 = 266,2 No fim do 4°ano 260 + 0,10 x 200 = 280 266,2 + 0,10 x 266,2 = 292,8 12
  • 13. •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; Problema: Determinar a quantia S que seria obtida pela aplicação do capital P, à taxa de juros compostos i, durante n períodos. i = 1% a.m 1 2 3 ............................... n P 13
  • 14. •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; Períodos Juros Montante 0 --- P 1 P. i P . (1+i) 2 P . (1+i) . i P . (1+i)2 3 P . (1+i)2 . i P . (1+i)3 ... ... ... n P . (1+i)n-1 . i P . (1+i)n Logo: S = P x (1+ i)n  Montante = Principal x (1 + taxa)nº de capitalizações 14
  • 15. •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; Logo: S = P . (1+i)n P=S. 1 (1 + i)n n = log(S/P) log(1+i) 15
  • 16. •Juros Compostos: Expressões; Fator de Atualização; O fator (1 + i)n é chamado de Fator de Valor Futuro ou Fator de Capitalização Composta que permite, dado P (Valor Presente ou Capital Inicial), calcularmos S (Valor Futuro ou Montante). 16
  • 17. •Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva.    Quando o juro é composto mais frequentemente do que  uma vez por ano, a taxa anual dada é denominada taxa nominal.  Taxa Nominal de juros é aquela onde o período de tempo a que  se refere a taxa não coincide com o período de capitalização.   Exemplos: 36% a.a. compostos mensalmente  18% a.a. compostos semestralmente  8% a.a. compostos trimestralmente 17
  • 18. •Taxas de Juros Equivalente, Proporcional, Nominal, Efetiva.    Exemplos:   Qual a taxa efetiva anual correspondente a 24% a.a. compostos: a) mensalmente ie = (1 + 0,02)12 - 1 = 0,268   i = 26,8%aa b) trimestralmente ie = (1 + 0,06)4 - 1 = 0,262      i = 26,2%aa c) semestralmente  ie = (1 + 0,12)2 - 1 = 0,254      i = 25,4%aa 18
  • 19. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel   Mais completo do que a HP12c, o Excel possui uma gama de funções  que nos auxiliam na montagem de planilhas, aberturas de cálculos e  simulações agilizando a análise do profissional. Abordaremos as seguintes fórmulas financeiras: =PGTO() =NPER() =VP() =VF() =TAXA() 19
  • 20. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel  Para cálculo da prestação, (Price) usaremos a “=PGTO” 20
  • 21. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel  A “=PGTO” é composta por:  21
  • 22. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel Para acharmos n ou o número de prestações, “=nper” 22
  • 23. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel  A “=nper” é composta por:  23
  • 24. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel E assim para VP, VF e Taxa o mesmo mecanismo. O mais complexo não está no uso das fórmulas, mas sim em bolar  estruturas  de cálculo que cheguem o mais próximo da realidade  possível. 24
  • 25. •Utilização na HP12C e no Excel. Utilização no Excel Composição da tabela Price: 25
  • 26. •Utilização na HP12C e no Excel. 26
  • 27. •Utilização na HP12C e no Excel. 27
  • 28. •Utilização na HP12C e no Excel. Resolução de Problemas Com HP12C: 1 – O banco me oferece duas opções de investimentos: a primeira remunera 6,5% a.a. capitalizados semestralmente, a segunda 1,1% a.m capitalizados mensalmente. Qual a mais atrativa em 12 meses? 6,5% a.a.  13,4225% 1,1% a.m.  14,0286% 28
  • 29. •Utilização na HP12C e no Excel. Resolução de Problemas Com HP12C: 2 – Resolvo comprar um carro no valor de R$ 30.000,00, em 48 vezes, a uma taxa de 1,5% a.m, sem entrada e primeira para 90 dias. Qual o valor da prestação? 30.000,00  31.370,35 PMT1,5;48  921,50 29
  • 30. •Utilização na HP12C e no Excel. Resolução de Problemas Com HP12C: 3 – Qual o valor de PI no fluxo de caixa abaixo: PII 8.751,99 PI i=1,5% i= 2% n=12 0 n=6 PII 30
  • 31. •Utilização na HP12C e no Excel. Resolução de Problemas Com HP12C: 4 – Qual o equivalente em 48 meses de uma taxa 7% a.a capitalizados semestralmente? 7% a.a  1,035 1,0358 31,68% 31
  • 32. •Utilização na HP12C e no Excel. Resolução de Problemas Com HP12C: 5 – Qual o tempo necessário para juntar R$ 60.000, efetuando depósitos de 3.000 e remunerados 0,5% a.m? 20 meses 32