O documento apresenta uma breve introdução ao Matlab, descrevendo comandos básicos como funções trigonométricas e exponenciais, operações com matrizes e vetores, geração de números aleatórios, convolução discreta, representação de polinômios e resolução de equações diferenciais.

1. Breve Introdução ao Matlab
1. Comandos / Funções
help help, help, clear; disp, length, size, log10, log, exp, sin, sinh, atan, abs, angle
cart2pol, pol2cart, input, eval, save, saveas, load.
2. Round, Fix, Floor, Ceil, Rem
r=3.567; rr=round(r); % 4 r= -3.567; rr=round(r); % -4
r=3.567; rf=fix(r); % 3 r= -3.567; rf=fix(r); % -3
r=3.567; rl=floor(r); % 3 r= -3.567; rl=floor(r); % -4
r=3.567; rf=ceil(r); % 4 r= -3.567; rf=ceil(r); % -3
r=rem(8,3); % 2 r=rem(8,-3); % 2 r=rem(-8,3); % -2
3. Números pseudo-aleatórios
r = rand; % r ε [0 1]
m = rand(1,2); % [0.2311 0.6068]
4. Representação de matrizes
a=[2 3 5;1 4 7]; % a(2x3) 1ª linha: 2 3 5 2ª linha: 1 4 7
b=[1 4;-2 3;-1 5] % b(3x2)
c=a*b; % c(3x3)
Matriz identidade eye(n) ou eye(n,n)
>> eye(3)
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
>> eye(3,2)
ans =
1 0
0 1
0 0
Operações diversas
dc=det(c);
nc=norm(c); %o mesmo que norm(c,2), norma euclidiana
trc=trace(c); %soma dos elementos da diagonal principal
wc=eig(c); % auto-valores de c
[vc wc]=eig(c) % as colunas de vc são os auto-vetores de c

2. d=c^(-1); %matriz inversa de c
4.1 Representação de vetores coluna
a=[2;3;5] % a(3x1) ou a=[2 3 5]';
b=[1;2;4] % b(3x1)
Produto escalar pe=<a, b>
Pe = a'*b = Σi ai bi
Obs.: a' representa a transposta do vetor a. Se o vetor a
contiver uma parte imaginária, a' será o conjugado transposto de a.
Operações elemento a elemento
m=a.*b; % m=[2 6 20]'
q=a./b; % q=[2 1.5 1.25]
t=a.^3; % t=[8 27 125]
a=[4 9;16 25]; s1=a.^(1/2); s2=sqrt(a); % s1=s2=[2 3;4 5]
u=a^(1/2); % u*u=a
4.2 Representação de vetores linha
x=2:0.5:4; % x=[2 2.5 3 3.5 4]
x=2:4 % x=[2 3 4];
4.3 Um programa exemplo
clear;
[teta r]=cart2pol(3,4);
%teta=0.9273 r=5 z=3+4*j ou z=5exp(j0.9273)
r=10*(2*rand-1);
disp(['número aleatório entre -10 e 10: ' num2str(r)]);
m=rand(3,2); nm=norm(m); cm=length(m); % cm=3
norma2=sqrt(max(abs(eig(m'*m))));
n=input('Entre com o valor de n: ');
a=rand(n);
[nl nc]=size(a);
for i=1:nl,
disp(['linha ' num2str(i) ' da matriz a: '
num2str(a(i,:),2)]);
end;
Resultados
>> iml
número aleatório entre -10 e 10: -1.3419
Entre com o valor de n: 2

3. linha 1 da matriz a: 0.38 0.68
linha 2 da matriz a: 0.78 0.46
>> [nm norma2]
ans = 1.2289 1.2289
5. Representação de polinômios
p=[3 15 18]; % p=3s^2+15s+18
Operações diversas com polinômios
r=roots(p); % r = [-3.0000; -2.0000]
p1=[1 2]; p2=[1 3]; p3=[1 0];
p12=conv(p1,p2]; %p12=[1 5 6] %convolução discreta
p123=conv(conv(p1,p2),p3); % p123=[1 5 6 0]
Convolução discreta
Seja x[n] a entrada de um SLIT cuja resposta ao impulso seja h[n] abaixo.
Determine a saída, y[n], deste sistema.
n -2 -1 0 1 2 3 4
x[n] 0 0 2 3 -2 0 0
h[n] 0 1 2 1 0 0 0
y[n] 0 2 7 6 -1 -2 0
Comandos Matlab:
x=[2 3 -2]; h=[1 2 1]; y=conv(x,h); % [2 7 6 -1 -2]
Determinação do índice do 1º elemento não nulo de y, inn(y) = inn(x) + inn(h):
inn(y) = 0 – 1 = -1
Assim, y[-1]=2, y[0]=7, …
n_elem(y) = n_elem(x) + n_elem(h) -1 = 3 + 3 – 1 = 5
Se representarmos x[n]=2δ[n] + 3δ[n-1] - 2δ[n-2], teremos,
y[n]=2h[n] + 3h[n-1] – 2h[n-2]
n -2 -1 0 1 2 3 4
2h[n] 0 2 4 2 0 0 0
3h[n-1] 0 0 3 6 3 0 0
-2h[n-2] 0 0 0 -2 -4 -2 0
y[n] 0 2 7 6 -1 -2 0
Comandos Filter e Filtic
Com os comandos Filter e Filtic podemos obter a resposta ao impulso, h[n], a
resposta de estado nulo, ye0[n], e de entrada nula, y0[n].
ye0 = filter(b,a,x) (1)
y0 = filter(b,a,x,zi) zi = filtic(b,a, yi) (2)

4. b = [b0 b1 … bM], a=[1 a1 … aN] são os coeficientes da Equação Linear a
Diferenças na forma com o operador de atraso:
y[n] + a1y[n-1] + … + aNy[n-N] = b0x[n] + b1x[n-1] + + … bMx[n-M]
x: entrada em (1), CI nulas
Em (2) a entrada x é nula e zi é obtida pelo comando filtic, a partir das CI
yi = [y[-1] y[-2] … y[-N]]
Exemplo:
Seja y[n] + 2/15 y[n-1] – 1/15 y[n-2] = x[n]
raízes características: γ1 = -1/3 γ2 = 1/5 Assintot. Estável BIBO Estável
>> a = [1 2/15 -1/15]; b=1;
% Determinação da Resposta ao Impulso
>> impulso = [1 0 0 0 0]; h = filter(b,a,impulso);
% h = [1.0000 -0.1333 0.0844 -0.0201 0.0083] h[0] = 1 h[1] = -0,1333, …
Calculando a Resposta ao Impulso, h[n] = bN / aN δ[n] + yc[n] u[n], obtemos
h[n] = 3/8 (1/5)n
+ 5/8 (-1/3)n
% Determinação da Resposta de estado nulo, x[n] = (1/2)n
u[n]
>> x=(1/2).^[0:10]; ye0 = filter(b,a,x);
% ye0 = [1.0000 0.4667 0.2678 …] Resposta de Estado Nulo
Calculando a Resposta de Estado Nulo, ye0[n] = h[n] * x[n], obtemos
ye0[n] = (1/2)n
+1/4 ((-1/3)n
– (1/5)n
)
% Determinação da Resposta de Entrada Nula
Sejam as CI yi=[1 1];
>> x=zeros(1,7); zi=filtic(b,a,yi); y0=filter(b,a,x,zi);
% y0 = [-0.0667 0.0756 -0.0145 0.0070 -0.0019 0.0007 -0.0002]
Calculando a Resposta de Entrada Nula, obtemos
y0[n] = 1/10 (1/5)n
– 1/6 (-1/3)n
Verifiquem estes resultados.
Resolvendo Equações a Diferenças
(E2
+ 5/6 E + 1/6) y[n] = (E+1/4) x[n] (1)
y[n+2] + 5/6 y[n+1] + y[n]/6 = x[n+1] + x[n]/4 (2)
y[n] + 5/6 y[n – 1] + y[n – 2]/6 = x[n – 1] + x[n – 2]/4 (3)
Resposta ao Impulso
h[n] = bN / aN δ[n] + yc[n] u[n]
De (2), N=2, a2 = 1/6 b2 = 1/4 Q(γ) = γ2+5/6 γ + 1/6 = 0
h[n] = 3/2 δ[n] + (C1 (-1/2)n
+ C2 (-1/3)n
) u[n] (4)
h[0], h[1] são encontrados em (2):
h[n+2] + 5/6 h[n+1] + h[n]/6 = δ[n+1] + δ[n]/4 (2)
n=-2 h[0] = 0

5. n=-1 h[1] = 1 (hipótese de causalidade aplicada)
Levando os valores de h[n] calculados acima em (4), determinamos C1 e C2
h[n] = 3/2 δ[n] + (-3 (-1/2)n
+ 3/2 (-1/3)n
) u[n] (4)
Um cálculo iterativo de h[n] é possível, continuando a atribuir valores para n em
(2), procedimento facilmente aplicável, usando-se Matlab, tomando-se o cuidado
com os indices dos vetores. Como a ordem do sistema é dois, vamos estabelecer
o seguinte mapeamento: h[n] h[n+3]. Assim, as condições impostas pela
causalidade h[-1]=h[-2]=0 vão ser traduzidas como h[2]=h[1]=0 e o primeiro valor a
ser calculado, h[0], sera, desta forma, h[3]. Procedimento idêntico deve ser
aplicado ao sinal δ[n]. Sabemos que δ[n] =1, para n=0 e zero para n≠0. Isto será
traduzido pelo vetor [0 0 1 0 0 0] correspondendo a n = [1 2 3 4 5 6]. O instante
zero passa a ser n=3. Um possível código Matlab é:
clear;
h=[0 0];d=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0]; %d é o sinal impulso
for n=1:9,
h(n+2)=-5*h(n+1)/6-h(n)/6+d(n+1)+d(n)/4;
end;
%h = [ 0 0 0 1.0000 -0.5833 0.3194 -0.1690 0.0876 -0.0448]
%n = [-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ]
>> n=1:6; h = -3*(-0.5).^n+1.5*(-1/3).^n
%h = [ 1.0000 -0.5833 0.3194 -0.1690 0.0876 -0.0448]
Lembrando que h[n] = 3/2 δ[n] + (-3 (-1/2)n
+ 3/2 (-1/3)n
) u[n] (4), vemos que
acrescentando a primeira parcela no cálculo de h acima, encontraremos h[0] = 0.
Para determinar a resposta total, partimos de (2), considerando as condições
iniciais y[-2]=1, y[-1]=2 e um degrau como sinal de entrada. A implementação é
idêntica: y[-2]=1, y[-1]=2 são traduzidos por y[1]=1, y[2]=2. O degrau de entrada é
representado pelos valores x[1] = x[2] = 0, x[3] = x[4] … = 1 no código Matlab
abaixo.
clear;
y=[1 2];x=[0 0 1 ones(1,7)]; %x é o sinal degrau unitário
for n=1:9,
y(n+2)=-5*y(n+1)/6-y(n)/6+x(n+1)+x(n)/4;
end;
%y = [ 1 2 -1.8333 2.1944 -0.2731 1.1119 0.3690 0.7572 0.5575]
%n = [-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ]
Estes valores correspondem à soma da resposta de entrada nula, yo[n], e com a
resposta de estado nulo yeo[n].
yo[n] = (-7/2 (-1/2)n
+ 5/3 (-1/3)n
) u[n]
yeo[n] = (5/8 – (-1/2)n
+ 3/8 (-1/3)n
) u[n]

6. ytotal[n] = (5/8 –9/2 (-1/2)n
+ 49/24 (-1/3)n
) u[n]
Uso dos Comandos Filter e Filtic para determinar yo[n], yeo[n] e yt[n]
Atenção: use a equação com operador de atraso!
y[n] + 5/6 y[n – 1] + y[n – 2]/6 = x[n – 1] + x[n – 2]/4 (3)
a=[1 5/6 1/6];b=[0 1 1/4];x=[1 1 1 1 1 1 1];
yeo=filter(b,a,x);
x0=zeros(1,7); yi=[2 1]; zi=filtic(b,a,yi);
yo=filter(b,a,x0,zi);
yt=yeo+yo;
Tabela de Resultados obtidos com os Comandos Filter e Filtic
n 0 1 2 3 4 5 6
yo[n] -1.8333 1.1944 -0.6898 0.3758 -0.1982 0.1025 -0.0524
yeo[n] 0 1 0.4167 0.7361 0.5671 0.6547 0.6099
yt[n] -1.8333 2.1944 -0.2731 1.1119 0.3690 0.7572 0.5575
6. Gráficos
plot, subplot, semilogx, semilogy, loglog, bode, nyquist, freqresp
subplot, xlabel, ylabel, text, title, figure, legend, clf, grid, axis, freqz
stem, inline.
Seja representar o sinal abaixo x1(t) através de operações de deslocamento,
mudança de escala de tempo do sinal x(t).
Uma representação possível é x1(t) = x(t/2) + x(0,5t - 1) + x(-0,5t + 2) + x(5 - t) cuja
representação no Matlab é dada abaixo.
>> x=inline('t.*((t>=0) & (t<=1))','t');
>> t=-1:0.01:6; x1=x(t/2)+x(0.5*t-1)+x(-0.5*t+2)+x(5-t);
>> x1(501)=1; x1(701)=1; plot(t,x1,’r.’);grid;
1
t
1
x1(t)
t
5
42
1
x(t)

7. -1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
x1
7. Sinais e Sistemas (Lineares)
step, impulse, heaviside, dirac, tf, ss, ss2tf, ss2ss, zpk, lsim, fft, ifft
Vetor de uns, zeros
ones(3,2) zeros(3,2)
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
Representando o sinal degrau (tempo discreto)
u[n]:
n = -10:19; x=[zeros(1,10) ones(1,20)]; plot(n,x,’r.’); grid; (ou stem(n,x))
u[n-2]:
n = -10:19; x=[zeros(1,12) ones(1,18)]; plot(n,x,’r.’); grid; (ou stem(n,x))
Representando o sinal impulso (tempo discreto)
δ[n]:
n = -10:20; y=[zeros(1,10) 1 zeros(1,20)]; plot(n,y,’r.’); grid; (ou stem(n,y))
δ[n+3]:
n = -10:20; y=[zeros(1,7) 1 zeros(1,23)]; plot(n,y,’r.’); grid; (ou stem(n,y))
Cálculo dos coeficientes da Série de Fourier de Tempo Discreto
Dado um sinal x[n], periódico e discreto, os coeficientes da Série de Fourier de
Tempo Discreto, Dr, podem ser obtidos com o comando fft. Para tal, represente o
sinal x[n], n=0 ... N -1, onde N é o período.
Exemplo:
Seja o sinal x[-1]=1, x[0]=0, x[1]=3, x[2]=2, x[n+4]=x[n]. Assim, N=4 e x[3]=1.
>> x=[0 3 2 1]; D=fft(x)/4;
Resposta:
D = [1.5 -0.5 – 0.5i -0.5 -0.5 + 0.5i]

8. No caso da Série de Fourier de Tempo Discreto Inversa, isto é, para obter o sinal
x[n] a partir do coeficientes Dr, o comando é ifft: x=ifft(D) * N.
8. Expansão em Fraçoes Parciais
1) >> n=[1 5]; d=[1 5 6];
>> sys=tf(n,d);[r p k]=residue(n,d);
>> sys
Transfer function:
s + 5
-------------
s^2 + 5 s + 6
r =
-2.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
k =
[]
2) >> n=[1 3 -1 -5] d=[1 5 6]
>> sys=tf(n,d);[r p k]=residue(n,d);
Transfer function:
s^3 + 3 s^2 - s - 5
-------------------
s^2 + 5 s + 6
r =
2.0000
1.0000
p =
-3.0000
-2.0000
k = 1 -2
A Função de Transferência é imprópria: sys=(s^3+3s^2-s-5)/(s^2+5s+6)
sys = s-2 + (3s+7)/(s^2 + 5 s + 6)
sys = s-2 + 2/(s+3) + 1/(s+2)
3) >> n=[1 2]; d=[1 7 11 5]; %d=(s+5)(s+1)^2

9. >> sys=tf(n,d);[r p k]=residue(n,d);
r =
-0.1875
0.1875 --> pólo simples 1
0.2500
p =
-5.0000
-1.0000 --> pólo simples 1
-1.0000
k = []
sys = (s+2)/((s+1)^2(s+5)) = 0.1875/(s+1) + 0.25/(s+1)^2 - 0.1875/(s+5)
4) >> n=[2 13 35];d=[1 11 55 125]; %d=(s+5)(s^2+6s+25)
>> sys=tf(n,d);[r p k]=residue(n,d);
r =
0.5000 + 0.1250i
0.5000 - 0.1250i
1.0000
p =
-3.0000 + 4.0000i
-3.0000 - 4.0000i
-5.0000
k = []
sys = (2s^2+13s+35)/((s+5)(s^2+6s+25))=1/(s+5) + (1/2+j/8)/(s+3+4j)
sys = 1/(s+5) + (1/2 - j/8)/(s + 3 + 4j) + (1/2 + j/8)/(s + 3 - 4j)
sys = 1/(s+5) + (s+2)/(s^2+6s+25) = 1/(s+5) + (s+2)/((s+3)^2+16)
Quando a fração envolve pólos complexos conjugados, é mais conveniente
expandir da forma abaixo, visando a transformada inversa.
(s+a) A Bs+C
----------------- = ------- + ----------
(s+b)((s+c)^2+D) (s+b) ((s+c)^2+D)
9. Matlab Simbólica
syms;
laplace, ilaplace, fourier, ifourier, eval, simplify, pretty, int.
10. Dica para obter o Erro na Aproximação de Funções
O sinal x(t), uma onda quadrada, definida de 0 a 2π, pode ser escrito usando a
função degrau unitário, heaviside(t), em Matlab:
>> syms t;
>> x = (heaviside(t) - heaviside(t-pi)) – …
Uma aproximação de x(t) pode ser
>> y = 4*(sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5)/pi;

10. Calcula-se o erro e=x-y, o erro quadrático e2=e.*e, a seguir a energia do erro E
>> E=int(e2,0,2*pi); % veja o resultado ???
>> Ef=eval(E); % resultado apresentável (tabela 6.3)
Para obter os cinco primeiros valores da tabela, pode-se usar o comando for.