Este documento relata uma experiência de ensino da divisão com alunos do 7o ano. A atividade "Dividindo Guloseimas" envolveu a divisão de quantidades discretas e contínuas. A divisão de feijões permitiu que os alunos explorassem diferentes estratégias, como usar o algoritmo da divisão. A divisão de chocolates também mostrou desafios, como lidar com os restos. No final, os alunos demonstraram compreensões variadas sobre a divisão.

1. Caminhos e Descaminhos no Ensino e Aprendizagem do Conceito de
Divisão
Simone Ariany Brandão
simone.ufla2009@gmail.com
Universidade Federal de Lavras
Camila de Paula Carneiro
camilinha.pc@hotmail.com
Universidade Federal de Lavras
Everaldo Gomes Leandro
everaldogomesleandro@hotmail.com
Universidade Federal de Lavras
Dayana Cristine dos Santos
dayanacris257@hotmail.com
Universidade Federal de Lavras
Rodrigo Ferreira de Abreu
rodrigo.10mega@hotmail.com
Universidade Federal de Lavras
Lívia de Oliveira Vasconcelos
livinhavasconcelos121@hotmail.com
Universidade Federal de Lavras
Stefânia Efigênia Izá
stefaniamil@hotmail.com
Universidade Federal de Lavras
Amanda Castro Oliveira
amanda@dex.ufla.br
Universidade Federal de Lavras
Resumo
O presente trabalho tem por objetivo relatar uma experiência vivenciada em uma turma
de sétimo ano de uma escola municipal da cidade de Lavras – MG. Nessa experiência
nós do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) da área de
Matemática da Universidade Federal de Lavras tivemos a oportunidade de trabalhar
com o conceito de divisão de uma forma que entendesse que a construção do
conhecimento não é linear e que as ações do professor devem proporcionar aos alunos
meios onde se organize as informações e aprenda significativamente. A atividade
denominada “Dividindo Guloseimas” foi elaborada por nós com o intuito de se
trabalhar com divisões discretas e contínuas e observar como os estudantes lidavam
com os restos dessas divisões. Assim, pudemos com essa iniciativa encontrar caminhos
para ensinar e aprender o conceito de divisão e alguns descaminhos que também

2. contribuíram para a formação do grupo que conta com estudantes de graduação,
professores da educação básica e professores da universidade.
Palavras - chave: ensino e aprendizagem, divisão, quantidades discretas e contínuas.
Introdução
Nosso grupo está inserido no Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à
Docência (PIBID), na área de Matemática da Universidade Federal de Lavras (UFLA).
Este programa é composto por alunos de graduação, professores da rede pública de
ensino e professores supervisores da universidade e visa proporcionar a formação inicial
dos estudantes de graduação bem como a formação continuada dos professores já
atuantes.
Sendo assim, desenvolvemos atividades e projetos em uma escola municipal
localizada na cidade de Lavras - MG durante os anos de 2010 e 2011. Através do PIBID
tivemos a oportunidade de acompanhar uma professora do Ensino Fundamental e
participar ativamente em suas aulas, de maneira que enriquecemos a nossa formação,
deste modo, contribuindo com algumas mudanças no ambiente escolar, tais como:
projetos sociais e interdisciplinares, atividades com metodologias de ensino
diferenciadas (com material manipulativo, resolução de problemas, uso de tecnologia,
dentre outros).
Dentre os trabalhos desenvolvidos na escola iniciamos nossos primeiros
acompanhamentos nas turmas de sexto ano e percebemos, depois de um ano de
trabalho, que existia uma carência quanto a aprendizagem da operação básica de
divisão. Deste modo desenvolvemos uma sequência de atividades que contribuísse com
o ensino das quatro operações básicas: soma, subtração, multiplicação e divisão. Nesse
sentido o presente trabalho objetiva narrar uma das experiências vivenciadas em uma
turma de sétimos ano dessa escola.
Experiências em sala de aula: Caminhos e Descaminhos
Percebemos nos primeiros momentos de nossas intervenções que os alunos
conseguiram trabalhar com mais facilidade com as operações de soma, subtração e
multiplicação, enquanto que a divisão era, a cada aula, um obstáculo para nossa prática

3. pedagógica, pois percebemos que poucos alunos estavam exercendo algum domínio
sobre essa operação, principalmente em situações que envolviam o trabalho com o resto
em divisões não exatas.
Assim após um ano de trabalho nessa perspectiva, quando os alunos já estavam
cursando o 7º Ano elaboramos uma atividade fundamentada nos estudos que estávamos
fazendo, que fosse interessante para os alunos e ao mesmo tempo atendesse nossos
anseios.
Sendo assim, elaboramos uma atividade na qual a ideia era dividir doces, já que
essa é uma situação que frequentemente ocorre na vida dos alunos e assim partiríamos
da realidade deles, pois devemos diversificar as experiências dos estudantes e para isso
segundo Ponte (1997) “é necessário proporcionar aos alunos experiências
diversificadas, baseadas em tarefas matematicamente ricas, realizadas num ambiente de
aprendizagem estimulante.” (p.1).
Outro ponto a ser observado pelo professor é que atividades contextualizadas
fazem com que os alunos percebam que a Matemática como está por toda parte e é
necessária para viver na sociedade atual e, assim, de acordo com D’Ambrósio (2005) a
questão da contextualização no ensino de Matemática é um ponto fundamental para a
construção de conceitos e relações por parte do estudante, assim concordamos que:
Contextualizar a Matemática é essencial para todos. Afinal, como
deixar de relacionar os Elementos de Euclides com o panorama
cultural da Grécia Antiga? Ou a adoção de numeração indo-arábica
na Europa com o florescimento do mercantilismo no séculos XIV e
XV? E não se pode entender Newton descontextualizado. (...) Alguns
dirão que a contextualização não é importante, que o importante é
reconhecer a Matemática como a manifestação mais nobre do
pensamento e da inteligência humana... e assim justificam sua
importância nos currículos. (p. 115)
Desse modo, acreditamos que através da contextualização os alunos tem a
possibilidade de construir um conhecimento matemático significativo e que deve-se
reconhecer o conhecimento prévio do aluno, pois “os estudantes devem entender a
matemática, construindo ativamente novos conhecimentos com sua experiência e seu
conhecimento prévio.” (NCTM, 2000, p.20).

4. Assim, a partir da idéia de divisão de doces decidimos que nossa atividade se
estruturaria em duas etapas: uma em que os alunos realizassem a divisão de grandezas
discretas e outra em que eles trabalhassem a divisão com grandezas continuas, pois de
acordo com NEPEM (2004)1
:
[...] a repartição de um todo discreto é mais “fácil” que um todo
contínuo ... Isso se dá porque as tarefas discretas podem ser resolvidas
sem o tratamento do conjunto como um todo e sem antecipar a
solução final, enquanto tarefas com quantidades continuas requerem
um esquema antecipatório bem desenvolvido, não podendo, muitas
vezes ser resolvidas com uma simples partição. (p. 54)
Dessa maneira, acreditamos que o mais conveniente seria criar uma atividade,
“Dividindo Guloseimas”, na qual os alunos dividissem balas (quantidades discretas) e
chocolates (quantidades contínuas). Decidimos realizar a atividade (ANEXO) em
grupos, nos quais cada membro receberia uma função tais como: líder, cronometrista,
redator, relator e fiscal da guloseima. Acreditamos que essa divisão de tarefas foi
positiva porque promoveu a inclusão de todos os alunos, mesmo um aluno que
apresenta distúrbios de aprendizagem e também outros alunos que geralmente ficavam
dispersos na sala de aula.
Figura 1: Divisão de tarefas proposta na atividade “Dividindo Guloseimas”
A primeira etapa da atividade consistia em distribuir um número aleatório de
balas para que os alunos as dividissem. Entretanto, durante uma de nossas reuniões
discutimos sobre os possíveis fatores que atrapalhariam o andamento da atividade,
como: consumo do alimento antes da hora, devido à dificuldade de controlá-los e o
número excessivo de balas que precisaríamos comprar. Com isso, decidimos que as
balas seriam simbolicamente representadas por feijões.
1
NEPEM: Núcleo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática: Adair Mendes Nacarato,
Alexandrina Monteiro, Ivete Cevallos Soares, Jackeline Rodrigues Mendes, José Antonio Araújo
Andrade, Luana Toricelli, Marco Aurélio Fonseca, Paulo César Penha, Paulo Henrique Trentin, Regina
Célia Grando, Renato Tim dos Santos e Sílvia Maria Caporale.

5. Iniciamos a primeira parte da atividade, que tinha como objetivo a divisão de
quantidades discretas. Distribuímos uma quantidade aleatória de grãos de feijão em cada
grupo e pedimos que dividissem igualmente entre eles, como mostra a figura 2.
Nesse momento deixamos os alunos livre para discutir, refletir e elaborar ideias
sobre as possíveis divisões que poderiam ser feitas chegando assim, as suas próprias
conclusões. Sendo assim, indo ao encontro das ideias de Walle (2009), concordamos
que “a aprendizagem é enriquecida em salas de aula onde se exige que os alunos
avaliem suas próprias ideias e as de outros, sejam encorajados a fazer conjecturas
matemáticas e a testá-las, e desenvolvam suas habilidades de raciocínio.” (p. 21)
Figura 2: Alunos dividindo quantidades de feijões
Em seguida fizemos a socialização com a turma, discutindo as estratégias
utilizadas e analisamos qual seria mais eficiente em cada caso. A socialização é um
momento impar pois:
A aprendizagem da Matemática requer um ambiente onde os alunos
possam exprimir com à vontade as suas dúvidas e sugestões, onde se
sintam respeitados e valorizados nos seus contributos para o trabalho
colectivo. Isso implica a capavidade a capacidade de o professor
valorizar as suas ideias, encorajar a sua contribuição e respeitar as
suas diferenças e dificuldades. (PONTE, 1997, p.21)
Uma postura interessante, foi de um grupo de 5 alunos que receberam 137
feijões. Eles conseguiram dividir rapidamente até o 130º feijão, pois perceberam que
100 é múltiplo de 10, assim eles distribuíram de dez em dez até o 100º feijão e
posteriormente dividiram de um em um, até que sobraram 2 feijões. Vendo isso, uma
solução encontrada pelo grupo foi a de esconder os dois feijões.
Outro grupo, composto por 4 alunas, mostrou um apropriamento do algoritmo da
divisão, pois estas receberam 102 feijões e os dividiram por 4 utilizando o algoritmo

6. tradicional, fazendo uso de rascunho. Após a divisão as alunas perceberam que
sobrariam 2 feijões, e para solucionar o problema elas propuseram a divisão dos dois ao
meio.
Após o término da atividade, observamos que os dois grupos apresentaram
soluções diferentes, visto que enquanto o primeiro evitou ao máximo a repartição do
resto, o segundo já fez isso com facilidade. Percebemos que as duas soluções estão
corretas, mas nosso intuito era outro.
Pretendíamos que eles utilizassem com grandes quantidades de objetos o
algoritmo da divisão por ser um meio mais ágil de resolver o problema proposto e
trabalhar com o resto, mas entendemos que compreender uma operação matemática não
requer somente saber utilizar o algoritmo corretamente e sim saber compreendê-la em
uma situação cotidiana. Em alguns momentos o algoritmo pode ser um meio não viável,
mas nesse momento queríamos que eles percebessem quais situações são propícias ou
não, para a utilização do algoritmo.
Um dos grupos utilizou o seu senso de justiça para efetuar as divisões, este,
composto de 4 alunos distribuíram os feijões de dois em dois, até que ficou impossível
continuar, sobrando assim um resto de 2 feijões, que eles jogaram pela janela com a
seguinte justificativa de um aluno: “Quem manda nessa parada sou eu, e eu não tolero
injustiça”, mostrando uma estratégia em que eles utilizaram de valores de vida para
justificar a divisão.
Em discussão com esse grupo, no término da atividade, compreendemos que os
alunos conseguiram solucionar o problema, mas não da maneira que esperávamos, essa
compreensão, por nós, só foi possível pois “é através da comunicação oral e escrita que
os alunos dão sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído” (PONTE,
1997, p.2).
Nessa perspectiva socializamos com os alunos para que pudessem expor as
estratégias utilizadas na realização da primeira parte da atividade, pois nossa
intencionalidade era que eles percebessem que uma quantidade pequena de feijões é
mais prático fazer distribuição, mas quando temos uma quantidade maior é mais viável
utilizar o algoritmo.

7. Na segunda etapa da atividade distribuímos barrinhas de chocolates divididas em
16 quadrinhos cada. Assim cada um de nós, acompanhou um grupo para fazer as
divisões estipuladas pelos alunos, pois não seria viável que eles manuseassem o material
cortante.
Nessa atividade também evidenciamos a dificuldade que os alunos apresentavam
quanto à divisão do resto, pois um grupo deu 2 quadrinhos restantes para a professora e
um outro acabou deixando o resto para ser divido através de “mordidinhas” entre os
participantes do grupo. Interessante foi a solução encontrado por um grupo que era
composto por 3 alunos que recebeu 2 barras, totalizando 32 quadrinhos. Eles decidiram
que cada aluno receberia 10 quadrinhos, mas que os 2 restantes seriam divididos apenas
entre os 2 alunos que trabalharam mais durante toda a atividade.
Figura 5: estratégias para divisão do chocolate
Propomos outra situação aos alunos, na qual deveriam descobrir quanto pesava
cada barrinha de chocolate. Para isso contamos a eles que compramos 3 barras de 1kg
de chocolate e as transformamos em 30 barrinhas a serem distribuídas entre eles.Uma
das alunas respondeu prontamente que: “ se com 3 barras fizeram 30 barrinhas, com 1
barra se fez 10 barrinhas, e como uma barra tinha um quilo, uma barrinha teria 100
gramas”.
Ao final da atividade percebemos que tivemos vários aprendizados. Saímos da
atividade pensando que os alunos que trabalharam com o resto de uma forma diferente
da qual pretendíamos estavam errados, mas em conversa com as professoras Rosana
Maria Mendes e Regina Célia Grando percebemos que aquelas crianças que jogaram os
feijões fora ou comeram pedacinho por pedacinho as barras de chocolate só resolveram

8. o problema de outra forma, mas resolveram o problema que naquele momento estava
exposto para os alunos.
No fechamento da atividade acreditamos que ficou claro para os alunos que com
quantidades maiores de objetos o algoritmo da divisão pode ser uma ferramenta mais
ágil de se resolver um determinado problema.
Assim, acreditamos que com atividades como essa podemos enriquecer nossa
formação, tendo um novo olhar para o ensino de um conceito que para nós é simples,
mas que para o aluno que está tendo seus primeiros contatos pode ser um complicador e
pode vir a atrapalhar a construção de conhecimentos que necessitem do conceito de
divisão no futuro.
Considerações Finais
Percebemos que uma prática educativa que valorize o saber a priori do aluno e
que compreenda todas as particularidades da relação ensinar e aprender, onde o
aprender precede o ensinar, é fundamental para uma construção significativa do saber.
A atividade “Dividindo Guloseimas” vem no sentido de identificar quais as
ferramentas os alunos têm para resolver problemas de divisão e quais os novos
conceitos e ferramentas que o professor deve trabalhar com o aluno para que seu
repertório se amplie e, assim, ele consiga resolver problemas que surgirem no dia-a-dia,
dentro e/ou fora do ambiente escolar, com mais agilidade.
Deste modo, estar aberto a (re)significações de saberes e compreender este saber
como algo inconcluso, em constante transformação, permite ao educador dar um novo
significado aos conceitos a serem ensinados e conseqüentemente a sua prática de
ensino.
Percebemos através de atitudes como, por exemplo, jogar balas pela janela ou
esconde-las, que os alunos ainda apresentam dificuldades para trabalhar com divisões
não exatas, ou seja, com números decimais. Além disso, discutimos quais estratégias
são mais viáveis ao dividir pequenas e grandes quantidades discretas.
No segundo momento da atividade solicitamos aos alunos que dividissem barras
de chocolate (quantidade contínua). Novamente evidenciou-se a dificuldade desses
alunos ao se trabalhar com resto, o que nos incentivou a buscar atividades de

9. intervenção neste sentido. Contudo, essa atividade nos auxiliou a entender quais são as
estratégias freqüentemente utilizadas pelos alunos para realizar divisões de maneira
rápida.
Ao realizar essa atividade tivemos a possibilidade de descobrir quais conceitos
ainda precisam ser trabalhados, revisados ou aprofundados. Por isso, iniciamos um
estudo mais profundo sobre números racionais o qual nos possibilitará elaborar
atividades que visam suprir essas carências.
Deste modo, propiciar aos alunos experiências em que possam aprender e que
valorizem o aspecto lúdico do ensinar, permite que haja uma maior interação na sala de
aula, pois os conceitos matemáticos deixam de ser vistos como coisa estática, pronta e
acabada e que não há aplicação prática na vida. Ações como essas mudam nossa visão
de ensino e de como nós aprendemos determinados conceitos e como podemos ensiná-
los de uma forma mais prazerosa.
Perceber alunos antes considerados hiperativos, desatentos e até mesmo
desinteressados com os “olhinhos brilhando” e brigando para participar, nos motivou
muito. Assim, tais vivências têm contribuído de forma significativa para nosso processo
de formação por permitir troca de saberes e experiências entre professores em formação,
a comunidade escolar e a universidade.
Referências Bibliográficas
D’Ambrósio, U. Sociedade, cultura, matemática e seu ensino. Educação e Pesquisa,
São Paulo, v. 31, n. 1, p. 99-120, jan./abr. 2005.
NACARATO, Adair Mendes. et al. Números Racionais: Aspectos Conceituais, O
Papel da Linguagem e dos Materiais Manipulativos. Horizontes (Bragança Paulista),
Itatiba-SP, v. 22, p. 53-64, 2004.
NCTM, National Council of Teachers of Mathemathics. Principles and standards for
school mathematics. Reston, VA: Author, 2000.
PONTE, J. P., BOAVIDA, A., GRAÇA, M., & ABRANTES, P. Didáctica da
Matemática. Lisboa: DES do ME, 1997.
WALLE, John A. Van de. Matemática no Ensino Fundamental: formação de
professores e aplicação na sala de aula. Tradução de Paulo Henrique Colonese. 6. ed.
Porto Alegre: ArtMed, 2009.

10. Anexos
Dividindo Guloseimas
Para que seu grupo tenha um bom desempenho, eleja:
1. Um líder- sua função é manter a disciplina do grupo._____________________
2. Um cronometrista- sua função é controlar o tempo gasto para realizar as
tarefas;__________________________________________________________
3. O fiscal da guloseima- sua função é cuidar das comidas para que elas não sejam
consumidas antes do tempo;_________________________________________
4. O redator- sua função é escrever todas as informações de forma organizada em
uma folha em branco. Não se esqueça de anotar o nome de todos os membros do
grupo!___________________________________________________________
5. O relator- sua função é contar tudo que o grupo pensou no final da
aula._______________________________________________________
Complete as linhas em branco com o nome de cada aluno responsável pela tarefa.
Atividade 1: Dividindo balas!
1-Cada grupo receberá uma quantidade de balas. O grupo deverá descobrir uma
estratégia bem eficiente para dividi-las. Agora discutam e escrevam qual a forma usada
para dividi-las.
2- Vocês conseguem outra estratégia para realizar essa divisão onde todos recebam o
mesmo número de balas da atividade 1.
Compare a estratégia 1 com a estratégia 2.
Qual seria a estratégia mais rápida no caso em que:
-Temos uma pequena quantidade de balas para dividir? Por quê?
-Temos uma enorme quantidade de balas para dividir? Por quê?
Caso não soubéssemos o total de balas, nós poderíamos dividi-las?
Atividade 2: Dividindo Chocolate
Sabia que dividir chocolates é tão fácil quanto dividir balas? Vamos tentar?
Esse chocolate não foi comprado do tamanho que vocês estão vendo. Compramos X
barras para produzir chocolates suficientes para os dois sétimos anos.
Cada barra vinha com um kilo de chocolate, e pretendíamos derreter todo esse chocolate
para produzir 10 barras, sendo uma para cada grupo.

11. Com base nisso responda:
-Quantas gramas de chocolate têm em cada barrinha?
-Que fração essa barrinha representa em relação a barra maior adquirida no
supermercado?
- Como poderíamos escrever essa fração na forma decimal?
- Quantos por cento essa barrinha representam do total da barra inicial?
Agora tente descobrir uma estratégia para dividir esse chocolate para todo o grupo.
Lembra do que você fez para dividir as balas? As duas estratégias podem ser usadas
para dividir o chocolate? Por quê?