Raízes de equações não lineares                                               10011 0010                                  ...
1 – Introdução       1.1 – Localização das raízes       1.2 – Refinamento   2 – Método da bissecção       2.1 – Interpreta...
1. Introdução                             10011 0010                            452
Pretendemos estudar alguns métodos iterativos que nos permitem    obter raízes reais (aproximadas) de uma equação não line...
Definição. Se f é uma função real de variável real e     f (r ) = 0, então dizemos que r é um zero da função f    ou que r...
Não existem fórmulas resolventes para a generalidade das equações,    pelo que é necessário recorrer a outros métodos, cha...
Um processo iterativo para calcular as raízes de uma    equação f ( x ) = 0, pode ser dividido em duas fases:     1º Local...
1.1 Localização das raízes  Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função.   Análise Gráfica   Esta análise p...
(ii)      A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente                                g(x) = h(x),          ...
Análise TeóricaTeorema (Corolário do teorema de Bolzano). Seja f uma funçãocontínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) <0...
Teorema de Rolle. Se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a,b) e f(a) = f(b) = 0, então existe c ∈ (a, b) tal que f’(...
Podemos aplicar este teorema atribuindo valores a x e analisando o    sinal de f (x).    Exemplo f ( x ) = x − 9 x + 3    ...
Observação  Se f (a) f (b) > 0 então podem existir ou não raízes no intervalo [a,b].                        y  Graficament...
1.2 RefinamentoEsta fase implica a resolução de vários problemas:•   Escolher uma aproximação inicial x0 para a raiz r.•  ...
• Estudar a velocidade de convergência.     Definição. Se para um dado método iterativo existirem constantes c > 0 e p ≥ 1...
•      É impraticável realizar um número infinito de iterações; é     necessário parar num determinado termo x k .     Diz...
Como não conhecemos o valor da raíz r para aplicar o teste     xk − r < ε , usamos frequentemente a estimativa xk − xk −1 ...
2. Método da bissecção                                      10011 0010                                     452
Condições para aplicação:       A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde       contém uma única raíz.      O o...
2.1 – Interpretação Geométrica       y            a0             1   a2                 x1   x2 r x0                      ...
2.2 Algoritmo do método da bissecção    Seja f contínua em [a, b] , com uma única raíz neste intervalo.            1. Dado...
2.3 Estimativa do número de iteraçõesDada uma precisão ε e um intervalo [a, b], vamos determinar quantasiterações, no míni...
Vamos determinar o menor inteiro k tal que xk − r < ε :      Sabemos que              b0 − a0      xk − r ≤ k +1          ...
2.4 Convergência do método da bissecção    A convergência do método da bissecção é quase linear:                          ...
3. Método da corda falsa                                        10011 0010                                       452
Condições para aplicação:   A função f deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém uma única raíz r.   No método da...
3.1 Interpretação geométrica      y                                              •                                        ...
3.2 Algoritmo do método da corda falsa    Seja f contínua em [a, b], com uma única raíz neste intervalo.            1. Dad...
3.3 Majorante para o erro absoluto de uma estimativa         e a ( x k ) = x k − r ≤ max {x k − a k , b k − x k }.  3.4 Or...
4. Método de ewton Raphson                                          10011 0010                                         452
4.1 Abordagem analítica  Seja f uma função com derivadas contínuas até à segunda ordem no  intervalo [a, b] , f (a ) f (b ...
Como f (r ) = 0 e f  (x0 ) ≠ 0 ,               f (x 0 )                    f   (ξ )     r = x0 −            + (r − x 0   )...
Deste modo                                        f (x 0 )                       x1 = x 0 −                               ...
A partir de uma aproximação inicial x0                   gera-se uma sucessão                          x 0 , x 1 , x 2 ,.....
4.2 Interpretação GeométricaDado o ponto ( xi , f ( xi )), traçamos a recta Li, tangente à curvanesse ponto, dada por Li (...
4.3 Algoritmo do M R  Consideremos a equação f(x)=0.                  1. Dados iniciais:                     - aproximação...
4.4 Estudo da Convergência do M R   Teorema. Seja f uma função que verifica as condições:   (i) f tem derivadas contínuas ...
Teorema. Seja f uma função que verifica as condições:   (i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num       interv...
Ordem de convergência do M R                       xk − r               lim                2                              ...
5. Método da secante                                    10011 0010                                   452
A desvantagem que o método de Newton-Raphson apresenta   ao ser necessário calcular a derivada da função (em certos   prob...
Esta transformação faz com que seja necessário mais uma    aproximação inicial para aproximar a primeira derivada.    Os c...
A ordem de convergência do método da secante é                  1+       5            p =                ≈ 1 . 618 .      ...
Interpretação geométrica                                  y                f                        r    xk               ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

2 equações

305 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
305
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
4
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
5
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

2 equações

  1. 1. Raízes de equações não lineares 10011 0010 452
  2. 2. 1 – Introdução 1.1 – Localização das raízes 1.2 – Refinamento 2 – Método da bissecção 2.1 – Interpretação geométrica 2.2 – Algoritmo 2.3 – Estimativa do número de iterações 2.4 – Estudo da convergência 3 – Método da corda falsa 3.1 – Interpretação geométrica 3.2 – Algoritmo 3.4 – Majorante para o erro absoluto de uma estimativa 3.3 – Estudo da convergência 4 – Método de Newton–Raphson (MNR) 4.1 – Abordagem analítica 4.2 – Interpretação geométrica 1 452 4.3 – Algoritmo 4.4 – Estudo da convergência 5 – Método da secante0011 0010
  3. 3. 1. Introdução 10011 0010 452
  4. 4. Pretendemos estudar alguns métodos iterativos que nos permitem obter raízes reais (aproximadas) de uma equação não linear f (x ) = 0, onde f é uma função real de variável real. Exemplos de equações não-lineares: 2 x 4 + 3x 2 + 7 = 0, 1 x 4 + 3x = 0, 2 e − x − x 2 = 0, e − x + cos(4 x ) = 0. 10011 0010 452
  5. 5. Definição. Se f é uma função real de variável real e f (r ) = 0, então dizemos que r é um zero da função f ou que r é uma raíz da equação f (x ) = 0. Graficamente, os zeros reais de f são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico de f com o eixo dos x. 10011 0010 452
  6. 6. Não existem fórmulas resolventes para a generalidade das equações, pelo que é necessário recorrer a outros métodos, chamados métodos iterativos. Um método iterativo é uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos; cada ciclo recebe o nome de iteração. Estas iterações utilizam valores obtidos em iterações anteriores para encontrar uma nova aproximação para a raíz. 10011 0010 452
  7. 7. Um processo iterativo para calcular as raízes de uma equação f ( x ) = 0, pode ser dividido em duas fases: 1º Localização das raízes Consiste em obter um intervalo [a, b] que contém uma única raiz r. 2º Refinamento Escolhida uma aproximação inicial no intervalo [a, b] melhorá- la sucessivamente por um processo iterativo (usando a aproximação anterior) até obter uma aproximação para a raíz dentro de uma precisão ε prefixada. 10011 0010 452
  8. 8. 1.1 Localização das raízes Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função. Análise Gráfica Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos: (i) Esboçar o gráfico da função f e localizar as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x. 40 Exemplo: f ( x) = x3 − 9 x + 3 30 r1 ∈ [−4,−3] 20 10 r2 ∈ [0,1] 1 r1 r2 r3 0 r3 ∈ [2,3] 452 -10 -200011 0010 -30 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
  9. 9. (ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) no mesmo eixo Cartesiano e localizar as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos. f ( r ) = 0 ⇔ g ( r ) = h ( r ). Exemplo 8 f ( x) = e − x − x = 0 7 6 g Resolução 5 h x = e−x 4 3 g ( x) = e − x 2 h( x ) = x 1 0 r Logo r ∈ [0,1] -1 1 452 -2 -2 -1 0 1 2 3 40011 0010
  10. 10. Análise TeóricaTeorema (Corolário do teorema de Bolzano). Seja f uma funçãocontínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) <0, então existe pelo menosum r ∈ (a, b ) tal que f (r) = 0. yGraficamente a r1 r2 r3 b x y 10011 0010 a r1 r2 b x 452
  11. 11. Teorema de Rolle. Se f é contínua em [a, b], diferenciável em (a,b) e f(a) = f(b) = 0, então existe c ∈ (a, b) tal que f’(c)=0. Portanto, sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e não mudar de sinal em [a, b], então existe uma única raíz nesse intervalo. y y Graficamente a b x a b x f ( x) > 0, ∀ x ∈ [a, b] f ( x) < 0, ∀ x ∈[a, b] 10011 0010 452
  12. 12. Podemos aplicar este teorema atribuindo valores a x e analisando o sinal de f (x). Exemplo f ( x ) = x − 9 x + 3 3 x -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 f(x) - - + + + - - + + - Analisando a mudança de sinal, podemos concluir que existe pelo menos uma raíz dentro dos intervalos indicados. 1 f ( x ) = 3 x 2 − 9 não muda de sinal em cada um dos - A derivada intervalos, portanto cada raíz é única no intervalo.0011 0010 452
  13. 13. Observação Se f (a) f (b) > 0 então podem existir ou não raízes no intervalo [a,b]. y Graficamente a b x y y 1 a0011 0010 r1 r2 b x a r1 b x 452
  14. 14. 1.2 RefinamentoEsta fase implica a resolução de vários problemas:• Escolher uma aproximação inicial x0 para a raiz r.• Construir uma fórmula de recorrência que permite obter sucessivamente novas aproximações xk a partir da anterior. Obtemos assim uma sucessão x0 , x1 , x 2 ,... de aproximações da solução r. A cada aproximação corresponde o erro absoluto ek = xk − r xk − r e o erro relativo . r• Estudar a convergência da sucessão. 1 Obviamente estamos interessados em que o método iterativo seja convergente; ou seja, deve verificar-se que0011 0010 k = r ou lim ek = 0. lim x k →∞ k →∞ 452
  15. 15. • Estudar a velocidade de convergência. Definição. Se para um dado método iterativo existirem constantes c > 0 e p ≥ 1 ek tais que lim p = c, k →∞ e k −1 dizemos que p é a ordem de convergência do método e c a constante de erro assimptótico do método relativamente ao zero r da função. A expressão nesta definição costuma por vezes escrever-se na forma assimptótica ek ≈ cekp−1 quando k → ∞. Se p = 1, a convergência diz-se linear. Se 1 < p < 2 , a convergência diz-se supralinear. Se p = 2 , a convergência diz-se quadrática 1 Quanto maior for a ordem de convergência, mais rápida è, em geral, a velocidade de convergência do processo. A constante de erro assimptótico, normalmente, só é 452 considerada quando se comparam processos iterativos com a mesma ordem de convergência. Aqui, quanto menor for a constante de erro assimptótico mais rápida0011é a convergência do processo. 0010
  16. 16. • É impraticável realizar um número infinito de iterações; é necessário parar num determinado termo x k . Dizemos que o valor de xk é raíz aproximada com precisão ε se: (i) | x k − r |< ε (ii) | f ( xk ) |< ε Nem sempre é possível ter as duas condições satisfeitas simultaneamente: y | xk − r |> ε | xk − r |< ε y | f ( xk ) |< ε | f ( xk ) |> ε r xk x xk r 1 452 x0011 0010
  17. 17. Como não conhecemos o valor da raíz r para aplicar o teste xk − r < ε , usamos frequentemente a estimativa xk − xk −1 < ε do erro absoluto para o critério de paragem. Critérios de paragem alternativos: • xk − xk −1 < ε xk − xk −1 • <ε xk • f (xk ) < ε 10011 0010 • Impondo um número máximo de iterações 452
  18. 18. 2. Método da bissecção 10011 0010 452
  19. 19. Condições para aplicação: A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém uma única raíz. O objectivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas divisões a meio do intervalo [a, b]. 10011 0010 452
  20. 20. 2.1 – Interpretação Geométrica y a0 1 a2 x1 x2 r x0 a3 b2 3 1 b0 x Iteração 3: Iteração 2: Iteração 1: xx2= (a02+ bb2) 0 = (a + 0) a3 = x2 1 a0 1 1 2 1 ⇒ 2 1 b1 = x0 2 b1 10011 0010 ff (x1) < 0 (x2 ) > 0 0 3 2 r ∈ [a1 , b1] 3 2 3 2 452
  21. 21. 2.2 Algoritmo do método da bissecção Seja f contínua em [a, b] , com uma única raíz neste intervalo. 1. Dados iniciais: - intervalo inicial [a, b] - precisão ε 2. Se a − b < ε , então escolha para r qualquer x∈[a, b]. FIM 3. k = 0 4. xk = a+b 2 5. Se f (a) f ( xk ) > 0 , faça a = xk . Vá para o passo 7 6. b = xk 7. Se a − b < ε , escolha para r qualquer x∈[a, b]. 1 FIM0011 0010 8. k = k +1. Volte ao passo 4 452
  22. 22. 2.3 Estimativa do número de iteraçõesDada uma precisão ε e um intervalo [a, b], vamos determinar quantasiterações, no mínimo, terão que ser efectuadas pelo método da bissecçãopara que xk − r < ε . a0 x0 b0 a1 x1 b1 b0 − a 0 x 0 − r ≤ b1 − a1 = 2 a2 x2 b2 b1 − a1 b0 − a0 x1 − r ≤ b2 − a 2 = = 2 22 a3 b3 b2 − a2 b0 − a0 x2 − r ≤ b3 − a3 = = 2 1 230011 0010 M a k +1 b k + 1 M xk − r ≤ bk +1 − ak +1 = 2 452 bk − ak b0 − a0 = k +1 2
  23. 23. Vamos determinar o menor inteiro k tal que xk − r < ε : Sabemos que b0 − a0 xk − r ≤ k +1 2 Então b0 − a0 k +1 b0 − a0 k +1 <ε ⇒ 2 > 2 ε  b0 − a0  ⇒ (k + 1) log 2 > log   ε  ⇒k > log(b0 − a0 ) − log ε − 1, k ∈ Ζ . 10011 0010 log 2 452
  24. 24. 2.4 Convergência do método da bissecção A convergência do método da bissecção é quase linear: xk +1 − r 1 lim ≈ k →∞ xk − r 2 10011 0010 452
  25. 25. 3. Método da corda falsa 10011 0010 452
  26. 26. Condições para aplicação: A função f deve ser contínua no intervalo [a, b], onde contém uma única raíz r. No método da corda falsa, a função f é substituída pela recta l que passa pelos pontos (a, f (a )) e (b, f (b )) . É muito semelhante ao método da bissecção, só que em vez de determinar o ponto médio do intervalo [a, b] é determinado um ponto c tal que f (b)(b − a ) c =b− f (b) − f (a) que é a abcissa do ponto de intersecção da recta l com o eixo dos x . 1 O intervalo [a, b] é então substituído pelo intervalo limitado por c e pelo extremo a 452 ou b , em que a função tem sinal contrário a f (c ). O processo repete-se agora para este novo intervalo (que contém a raiz) e assim sucessivamente até atingir a0011 0010 precisão desejada.
  27. 27. 3.1 Interpretação geométrica y • l0 • • l1 a x1 x0 b x • 10011 0010 452
  28. 28. 3.2 Algoritmo do método da corda falsa Seja f contínua em [a, b], com uma única raíz neste intervalo. 1. Dados iniciais: - intervalo inicial [a, b] - precisões ε 1 , ε 2 2. k = 0 b−a xk = b − f (b ) 3. f (b ) − f (a ) 4. Se | f ( x k ) |< ε 1 , faça r = xk. FIM 5. Se f (a) f ( x k ) > 0, faça a = x k . Vá para o passo 7 6. b = xk 10011 0010 7. Se b − a < ε 2 , faça r = x k . FIM 8. k = k +1. Volte ao passo 3 452
  29. 29. 3.3 Majorante para o erro absoluto de uma estimativa e a ( x k ) = x k − r ≤ max {x k − a k , b k − x k }. 3.4 Ordem de convergência do método da corda falsa xk − r lim =c k →∞ xk −1 − r f (r ) onde c = 1− >0 f (ε ) com ε ∈ (a, b ) e f (r ) < f (ε ), pelo que a convergência do método da corda falsa é linear. 10011 0010 452
  30. 30. 4. Método de ewton Raphson 10011 0010 452
  31. 31. 4.1 Abordagem analítica Seja f uma função com derivadas contínuas até à segunda ordem no intervalo [a, b] , f (a ) f (b ) < 0 e f (x ) ≠ 0 para todo x ∈ (a,b ). Seja r a única raíz da equação f (x) = 0 nesse intervalo. Pela fórmula de Taylor, se x0 ∈ [a,b], ,b f (ξ ) f (r ) = f ( x 0 ) + (r − x 0 ) f (x 0 ) + (r − x 0 ) 2 2! para algum ξ entre r e x 0 . 10011 0010 452
  32. 32. Como f (r ) = 0 e f (x0 ) ≠ 0 , f (x 0 ) f (ξ ) r = x0 − + (r − x 0 ) 2 f (x 0 ) 2 f (x 0 ) Se r está próximo de x0 , o termo f (ξ ) (r − x0 ) 2 2 f (x 0 ) é pequeno em valor absoluto e podemos escrever f (x 0 ) r ≈ x0 − . f (x 0 ) 10011 0010 452
  33. 33. Deste modo f (x 0 ) x1 = x 0 − f (x 0 ) é uma estimativa para a raíz r. Pondo f ( x1 ) x2 = x1 − f ( x1 ) temos outra estimativa para a raíz r. Este procedimento pode repetir-se e obtemos assim uma sucessão x 0 , x 1 , x 2 ,... 1 de0011 0010 valores aproximados da raíz r. 452
  34. 34. A partir de uma aproximação inicial x0 gera-se uma sucessão x 0 , x 1 , x 2 ,... de aproximações sucessivas da raíz r através do processo iterativo dado por f ( x k −1 ) x k = x k −1 − , k = 1, 2 ,... f ( x k −1 ) 10011 0010 452
  35. 35. 4.2 Interpretação GeométricaDado o ponto ( xi , f ( xi )), traçamos a recta Li, tangente à curvanesse ponto, dada por Li ( x) = f ( xi ) + f ( xi )( x − xi ) e a abcissa doponto de intersecção desta recta com o eixo dos x dá-nos uma faproximacão xi +1 da raíz. L1 y • • L0 x0 r x2 x1 x • 10011 0010 452
  36. 36. 4.3 Algoritmo do M R Consideremos a equação f(x)=0. 1. Dados iniciais: - aproximação inicial x0 - precisões ε 1 , ε 2 2. Se | f ( x0 ) |< ε 1, façar = x0 . FIM 3. k = 1 f (x k −1 ) (x 4. x k = x k −1 − f ( x k −1 ) 5. Se | f ( x k ) |< ε 1   faça r = x k . FIM ou se | x k − x k −1 |< ε 2  6. k = k + 1. Volte ao passo 4 10011 0010 452
  37. 37. 4.4 Estudo da Convergência do M R Teorema. Seja f uma função que verifica as condições: (i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num intervalo [a,b] ; (ii) f (a ) f (b ) < 0 ; (iii) f ( x ) ≠ 0 para todo x ∈[a, b] ; (iv) f não muda de sinal no intervalo [a,b] ; (v) f (x0 ) f ( x0 ) > 0 para algum x 0 ∈ [a , b ] Então a sucessão x 0 , x 1 , x 2 ,... gerada pelo MNR, converge para a única raíz de f (x ) = 0 1 em [a, b] .0011 0010 452
  38. 38. Teorema. Seja f uma função que verifica as condições: (i) f tem derivadas contínuas até à segunda ordem num intervalo [a,b] ; (ii) f (a ) f (b ) < 0 ; (iii) f ( x ) ≠ 0 para todo x ∈[a, b] ; (iv) f não muda de sinal no intervalo x ∈ [a,b] ; f (a ) f (b ) (v) f (a ) ≤b−a e ≤ b − a. f (b ) Então a sucessão gerada pelo MNR, converge para a única raíz de f ( x ) = 0 em [a, b] , para qualquer valor inicial x 0 ∈ [a, b] . 10011 0010 452
  39. 39. Ordem de convergência do M R xk − r lim 2 = c>0 k →∞ xk -1 − r Assim, para k suficientemente grande, 2 xk − r ≈ c x k −1 − r O erro da iteração do MNR é proporcional ao quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, a convergência é quadrática. 10011 0010 452
  40. 40. 5. Método da secante 10011 0010 452
  41. 41. A desvantagem que o método de Newton-Raphson apresenta ao ser necessário calcular a derivada da função (em certos problemas pode consumir muito tempo computacional) pode ser contornada pelo método da secante. No método da secante, a derivada é substituída por: f ( xk −1 ) − f ( xk − 2 ) f ( xk −1 ) ≈ . xk −1 − xk − 2 Consequentemente, substituindo na fórmula iterativa do método de Newton-Raphson, obtemos a fórmula iterativa do método da secante: f ( xk −1 )( xk −1 − xk − 2 ) xk = xk −1 − , k = 2,3,... f ( xk −1 ) − f ( xk − 2 ) 10011 0010 452
  42. 42. Esta transformação faz com que seja necessário mais uma aproximação inicial para aproximar a primeira derivada. Os critérios de convergência são os mesmos do método de Newton- Raphson, à excepção da última condição que pode ser adaptada para a escolha de duas estimativas iniciais: f (a ) f (b ) Se ≤b−a e ≤ b − a, f (a ) f (b ) então quaisquer x0 , x1 ∈ [a, b] podem ser utilizados para iniciar o método. Por outro lado, se existirem x0 , x1 ∈ [a, b] tais que 1 f ( x0 ) f ( x0 ) > 0 e f ( x1 ) f ( x1 ) > 0, então esses valores podem ser estimativas iniciais.0011 0010 452
  43. 43. A ordem de convergência do método da secante é 1+ 5 p = ≈ 1 . 618 . 2 10011 0010 452
  44. 44. Interpretação geométrica y f r xk xk − 2 xk −1 x • • A partir de duas aproximações xk−2 , xk−1 , a aproximação xk é obtida como sendo a abcissa do ponto de intersecção 1 452 do eixo dos x e da recta que passa pelos pontos (xk−1, f (xk−1)) , (xk−2, f (xk−2 )).0011 0010

×