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AULA 10

                            MECÂNICA
  Impulso e Quantidade de Movimento
  1- INTRODUÇÃO

  Nesta aula estudaremos Impulso de uma força e a Quantidade de
Movimento de uma partícula. Veremos que estas grandezas são vetoriais e
que possuem a mesma dimensão.

  2- IMPULSO.

   Impulsionar um corpo, é empurrar este corpo durante um certo intervalo de
tempo. Assim fica fácil definir esta grandeza como sendo o produto da força
pelo tempo de aplicação desta força.
                                    r    r
                                    IF = F.Dt
    Como o impulso é calculado para um intervalo de tempo, ele não é uma
grandeza instantânea.
    Repare ainda que o impulso é dado pelo produto de uma grandeza escalar
                                     r
( Dt ) por uma grandeza vetorial ( F ), portanto, o impulso é uma grandeza
                                                             r
vetorial com a mesma direção e o mesmo sentido da força ( F ).
                    r
    Quando a força F for variável, o impulso será calculado pela função integral
que não faz parte do nosso aprendizado no segundo grau. Neste caso
calcularemos o impulso usando o conceito de força média ou ainda pelo
método gráfico que veremos a seguir.
                                    r    r     r
                                    IF = IFm = Fm.Dt
       Método gráfico

       F                                     N
                                        A = Dt.F1
  F1
                                                 N
                A          F1              I1 = A
                                t
  0        t1         t2
                Dt
3- QUANTIDADE DE MOVIMENTO OU MOMENTO LINEAR (Q).

  Defini-se quantidade de movimento ou momento linear de um corpo,
                                                          r
como sendo o produto de sua massa m pela sua velocidade   V.
                                V             r     r
                                              Q = m.V

                          m

   Observe que a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial,
diretamente proporcional à velocidade, portanto, com a mesma direção e o e o
mesmo sentido da velocidade. Ao contrário do impulso, a quantidade de
movimento é uma grandeza instantânea.
   Para um sistema constituído por vários corpos, a soma vetorial das
quantidades de movimento de cada corpo, será a quantidade de movimento do
sistema.


            m1
      mn                  V2
 Vn        V1        m2           Qsistema = m1.V1 + m2.V 2 + ... + mn.Vn
       m3       V3


   A quantidade de movimento, é dada pelo produto de sua massa pela
velocidade do seu centro de massa.

                               Qcorpo extenso = m.V CM
   A quantidade de movimento será constante quando o seu módulo, sua
direção e o seu sentido forem constantes.
Q = cons tan te = 0 fi REPOUSO

Q = cons tan te ≠ 0 fi MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORME

  4- TEOREMA DO IMPULSO
Pelo teorema do impulso, podemos relacionar impulso e quantidade de
movimento e constatar que elas são de mesma dimensão. Observe a
demonstração do teorema.

                 V1                                 V2
       FR                                 FR


                                          DV
  Seja F R = m.a, substituindo a por         , temos :
                                          Dt
           DV                DV       r
  F R = m.    fi F R .Dt = m.    .Dt fi I = m.D V fi
           Dt                Dt
  r
  I = m.(V 2 - V1 ) fi I = m.V 2 - m.V1 fi I = Q2 - Q1 fi

   I = DQ       (Teorema do Impulso)

  5- SISTEMAS FÍSICOS ISOLADOS

   Um sistema é isolado quando a força resultante externa aplicada a ele for
nula. Neste caso, como a força é nula, o impulso será nulo e a quantidade de
movimento se manterá constante (princípio da conservação da quantidade de
movimento).

     Sistema isolado fi F R externa = 0  Q = cons tan te
  6- SISTEMAS FÍSICOS ISOLADOS IMPORTANTES.

   Na colisão entre dois corpos, as forças trocadas entre eles são forças
internas ao sistema. Estas forças são muito intensas comparadas com algumas
forças externas que atuam nos corpos como, por exemplo, a força peso. Por
isso, podemos desprezar estas forças externas e considerar o sistema de
colisões como um sistema isolado. Observe que a quantidade de movimento se
mantém constante antes e depois da colisão.
m1
       V1
       m1.V1 ? m2.V 2 ? m1.V 3 ? m2.V 4
        antes


                 Q antes ? Q depois
                       m2
                        V2



                                    m3
                                    V1
                                         depois

   Na explosão de um corpo, as forças internas são muito intensas permitindo
                                                  m4
desprezar forças externas que estejam atuando no corpo como, por exemplo, a
                                                   V2
força peso, portanto, uma explosão constitui um sistema isolado. Observe que
a quantidade de movimento imediatamente antes da explosão é exatamente
igual à quantidade de movimento e imediatamente depois da explosão.




         M ? m1 ? m2 ? m3 ? m4
         antes
         Qantes ? Q depois
          M


                    depois
                    m4
                    V 411
                    Vm

                            m3
                             m2


                                   V3
                                    V2




                                  EXERCÍCIOS
1. (UFMT) – Um corpo de peso igual a 1,0.102 é lançado verticalmente
   para cima, atingindo a altura máxima em 2,0s. qual a intensidade do
   impulso aplicado a esse corpo pela força da gravidade:
   a) durante a subida
   b) desde o lançamento até o retorno ao ponto de partida?
   Despreze o efeito do ar

2. (VUNESP) – Um objeto de massa 0,50kg está se deslocando ao longo
   de uma trajetória retilínea com aceleração escalar constante igual a
   0,30m/s2. Se partiu do repouso, o módulo da sua quantidade de
   movimento, em kg.m/s, ao fim de 8,0s, é:
   a) 8.10-1 b) 1,2    c) 1,6     d) 2,0    e) 2,4

3. (FATEC) – Uma pequena esfera de massa 0,10kg abandonada do
   repouso em queda livre, atinge o solo horizontal com uma velocidade de
   módulo igual a 4,0m/s. Imediatamente após a colisão, a esfera tem uma
   velocidade vertical de módulo 3,0m/s. O módulo da variação da
   quantidade de movimento da esfera, na colisão com o solo, em kg.m/s, é
   de:
   a) 0,30       b) 0,40       c) 0,70       d) 1,25      e) 3,40

4. (UFPE) – O gráfico a seguir é o registro do movimento de um corpo de
   massa 6,0kg, em trajetória retilínea.
           V(m / s)

     5,0



                               t(s)
      0     1,0 3,0      5,0




   - 5,0




  Entre os insta t1= 1,0s e t2= 5,0s, calcule:
  a) a variação de energia cinética;
  b) o módulo do vetor variação da quantidade de movimento.

5. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - LONDRINA) – Um corpo de massa
   2,0kg é lançado verticalmente para cima, com velocidade escalar inicial
   de 20m/s. despreze a resistência do ar e considere a aceleração da
   gravidade com módulo g=10m/s2. O módulo do impulso exercido pela
força-peso, desde o lançamento até o corpo atingir a altura máxima, em
  unidades do Sistema Internacional, vale:
  a) 10       b) 20       c) 30       d) 40      e) 50

6. (UNIP) – Um projétil é disparado verticalmente para cima através de
                                                r
   um dispositivo que aplica uma força vertical F cuja intensidade varia
   com o tempo segundo o gráfico abaixo.
          F(N)
     40




     10
                                   t(s)
      0             3,0 4,0

  O projétil parte do repouso, no instante t0=0, e o lançamento durou
  4,0s.
  Adote g=10m/s2 e admita que, durante o lançamento, as únicas forças
                                                     r
  atuantes no projétil sejam o seu peso e a força F . Sendo a massa do
  projétil igual a 1,0kg, pede-se:
  a) o instante em que a velocidade do projétil é máxima (justifique);
  b) o módulo da velocidade máxima do projétil.

7. (VUNESP) – Uma corda de massa desprezível liga dois botes em
   repouso sobre a superfície de um lago tranqüilo. Num certo momento,
   um homem sentado no primeiro bote puxa a corda durante 2,0s com
   uma força constante de intensidade 50N. A partir do teorema do
   impulso, determine:
   a) o módulo da velocidade do primeiro bote em relação às margens do
   lago;
   b) o módulo da velocidade de um bote em relação ao outro.
   Despreze as forças de atrito com o ar e com a água e considere a massa
   bote+homem igual a 200kg e a massa total do segundo bote igual a
   125kg.

8. (FUVEST) – Um cachorro de massa igual a 20kg está correndo sobre
   uma prancha de 80kg, com uma velocidade constante de intensidade
   igual a 1,0m/s em relação à prancha. A prancha se apóia sem atrito
   sobre uma superfície uma superfície plana e horizontal.
   a) qual o sentido do movimento da prancha em relação à superfície.
   b) calcule a intensidade da velocidade do cachorro em relação à
   superfície.
   Nota: admita que, inicialmente, a prancha e o cachorro estão parados em
   relação à superfície.
9. (UNICAMP) – Um carrinho, de massa m1 = 80kg, desloca-se em um
    plano horizontal sem atrito, com velocidade escalar constante V1 =
    5,0m/s. Um bloco de massa m2=2,0kg cai verticalmente sobre o
    carrinho, de uma altura muito pequena, aderindo a ele.
    a) Com que velocidade escalar final move-se o conjunto?
    b) Que quantidade de energia mecânica foi transformada em energia
    térmica?

10. (MACKENZIE) – Um vagão cúbico de aresta 3,0m e massa 23
   toneladas, vazio e aberto na parede superior, caminha sobre trilhos
   retilíneos e dispostos segundo a horizontal, com velocidade escalar de
   36km/h, quando começa chover. A chuva que cai na vertical faz com que
   o vagão fique completamente cheio d’água (r = 1,0g / cm3 ) após um certo
   tempo. Admitindo-se desprezível qualquer ação de força horizontal
   externa ao sistema (chuva – vagão), a velocidade escalar final do vagão
   é de:
   a) 2,0m/s     b) 2,3m/s    c) 4,6m/s   d) 10,0m/s     e) 12,0m/s




                             RESPOSTAS

 1.   a) I=2,0.102 N.s                  b) I=4,0.102 N.s
 2.   ALTERNATIVA B
 3.   ALTERNATIVA C
 4.   a) 0                              b) Q=60 kg.m/s
 5.   ALTERNATIVA D
 6.   a) t=3,0s - a velocidade escalar do projétil aumenta enquanto a
      força F for maior que o peso do projétil e será máxima quando a
      força F se igualar ao peso       b) V=45m/s
 7.   a) V=5,0.10-1m/s                  b) V=1,3m/s
 8.   a) sentido oposto ao do cão      b) V= 8,0.10-1m/s
 9.   a) V=4,0m/s                       b) Em= 2,0.102J
10.   ALTERNATIVA C

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Impulsoequantidadedemovimento

  • 1. AULA 10 MECÂNICA Impulso e Quantidade de Movimento 1- INTRODUÇÃO Nesta aula estudaremos Impulso de uma força e a Quantidade de Movimento de uma partícula. Veremos que estas grandezas são vetoriais e que possuem a mesma dimensão. 2- IMPULSO. Impulsionar um corpo, é empurrar este corpo durante um certo intervalo de tempo. Assim fica fácil definir esta grandeza como sendo o produto da força pelo tempo de aplicação desta força. r r IF = F.Dt Como o impulso é calculado para um intervalo de tempo, ele não é uma grandeza instantânea. Repare ainda que o impulso é dado pelo produto de uma grandeza escalar r ( Dt ) por uma grandeza vetorial ( F ), portanto, o impulso é uma grandeza r vetorial com a mesma direção e o mesmo sentido da força ( F ). r Quando a força F for variável, o impulso será calculado pela função integral que não faz parte do nosso aprendizado no segundo grau. Neste caso calcularemos o impulso usando o conceito de força média ou ainda pelo método gráfico que veremos a seguir. r r r IF = IFm = Fm.Dt Método gráfico F N A = Dt.F1 F1 N A F1 I1 = A t 0 t1 t2 Dt
  • 2. 3- QUANTIDADE DE MOVIMENTO OU MOMENTO LINEAR (Q). Defini-se quantidade de movimento ou momento linear de um corpo, r como sendo o produto de sua massa m pela sua velocidade V. V r r Q = m.V m Observe que a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, diretamente proporcional à velocidade, portanto, com a mesma direção e o e o mesmo sentido da velocidade. Ao contrário do impulso, a quantidade de movimento é uma grandeza instantânea. Para um sistema constituído por vários corpos, a soma vetorial das quantidades de movimento de cada corpo, será a quantidade de movimento do sistema. m1 mn V2 Vn V1 m2 Qsistema = m1.V1 + m2.V 2 + ... + mn.Vn m3 V3 A quantidade de movimento, é dada pelo produto de sua massa pela velocidade do seu centro de massa. Qcorpo extenso = m.V CM A quantidade de movimento será constante quando o seu módulo, sua direção e o seu sentido forem constantes. Q = cons tan te = 0 fi REPOUSO Q = cons tan te ≠ 0 fi MOVIMENTO RETILÍNEO E UNIFORME 4- TEOREMA DO IMPULSO
  • 3. Pelo teorema do impulso, podemos relacionar impulso e quantidade de movimento e constatar que elas são de mesma dimensão. Observe a demonstração do teorema. V1 V2 FR FR DV Seja F R = m.a, substituindo a por , temos : Dt DV DV r F R = m. fi F R .Dt = m. .Dt fi I = m.D V fi Dt Dt r I = m.(V 2 - V1 ) fi I = m.V 2 - m.V1 fi I = Q2 - Q1 fi I = DQ (Teorema do Impulso) 5- SISTEMAS FÍSICOS ISOLADOS Um sistema é isolado quando a força resultante externa aplicada a ele for nula. Neste caso, como a força é nula, o impulso será nulo e a quantidade de movimento se manterá constante (princípio da conservação da quantidade de movimento). Sistema isolado fi F R externa = 0 Q = cons tan te 6- SISTEMAS FÍSICOS ISOLADOS IMPORTANTES. Na colisão entre dois corpos, as forças trocadas entre eles são forças internas ao sistema. Estas forças são muito intensas comparadas com algumas forças externas que atuam nos corpos como, por exemplo, a força peso. Por isso, podemos desprezar estas forças externas e considerar o sistema de colisões como um sistema isolado. Observe que a quantidade de movimento se mantém constante antes e depois da colisão.
  • 4. m1 V1 m1.V1 ? m2.V 2 ? m1.V 3 ? m2.V 4 antes Q antes ? Q depois m2 V2 m3 V1 depois Na explosão de um corpo, as forças internas são muito intensas permitindo m4 desprezar forças externas que estejam atuando no corpo como, por exemplo, a V2 força peso, portanto, uma explosão constitui um sistema isolado. Observe que a quantidade de movimento imediatamente antes da explosão é exatamente igual à quantidade de movimento e imediatamente depois da explosão. M ? m1 ? m2 ? m3 ? m4 antes Qantes ? Q depois M depois m4 V 411 Vm m3 m2 V3 V2 EXERCÍCIOS
  • 5. 1. (UFMT) – Um corpo de peso igual a 1,0.102 é lançado verticalmente para cima, atingindo a altura máxima em 2,0s. qual a intensidade do impulso aplicado a esse corpo pela força da gravidade: a) durante a subida b) desde o lançamento até o retorno ao ponto de partida? Despreze o efeito do ar 2. (VUNESP) – Um objeto de massa 0,50kg está se deslocando ao longo de uma trajetória retilínea com aceleração escalar constante igual a 0,30m/s2. Se partiu do repouso, o módulo da sua quantidade de movimento, em kg.m/s, ao fim de 8,0s, é: a) 8.10-1 b) 1,2 c) 1,6 d) 2,0 e) 2,4 3. (FATEC) – Uma pequena esfera de massa 0,10kg abandonada do repouso em queda livre, atinge o solo horizontal com uma velocidade de módulo igual a 4,0m/s. Imediatamente após a colisão, a esfera tem uma velocidade vertical de módulo 3,0m/s. O módulo da variação da quantidade de movimento da esfera, na colisão com o solo, em kg.m/s, é de: a) 0,30 b) 0,40 c) 0,70 d) 1,25 e) 3,40 4. (UFPE) – O gráfico a seguir é o registro do movimento de um corpo de massa 6,0kg, em trajetória retilínea. V(m / s) 5,0 t(s) 0 1,0 3,0 5,0 - 5,0 Entre os insta t1= 1,0s e t2= 5,0s, calcule: a) a variação de energia cinética; b) o módulo do vetor variação da quantidade de movimento. 5. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - LONDRINA) – Um corpo de massa 2,0kg é lançado verticalmente para cima, com velocidade escalar inicial de 20m/s. despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade com módulo g=10m/s2. O módulo do impulso exercido pela
  • 6. força-peso, desde o lançamento até o corpo atingir a altura máxima, em unidades do Sistema Internacional, vale: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. (UNIP) – Um projétil é disparado verticalmente para cima através de r um dispositivo que aplica uma força vertical F cuja intensidade varia com o tempo segundo o gráfico abaixo. F(N) 40 10 t(s) 0 3,0 4,0 O projétil parte do repouso, no instante t0=0, e o lançamento durou 4,0s. Adote g=10m/s2 e admita que, durante o lançamento, as únicas forças r atuantes no projétil sejam o seu peso e a força F . Sendo a massa do projétil igual a 1,0kg, pede-se: a) o instante em que a velocidade do projétil é máxima (justifique); b) o módulo da velocidade máxima do projétil. 7. (VUNESP) – Uma corda de massa desprezível liga dois botes em repouso sobre a superfície de um lago tranqüilo. Num certo momento, um homem sentado no primeiro bote puxa a corda durante 2,0s com uma força constante de intensidade 50N. A partir do teorema do impulso, determine: a) o módulo da velocidade do primeiro bote em relação às margens do lago; b) o módulo da velocidade de um bote em relação ao outro. Despreze as forças de atrito com o ar e com a água e considere a massa bote+homem igual a 200kg e a massa total do segundo bote igual a 125kg. 8. (FUVEST) – Um cachorro de massa igual a 20kg está correndo sobre uma prancha de 80kg, com uma velocidade constante de intensidade igual a 1,0m/s em relação à prancha. A prancha se apóia sem atrito sobre uma superfície uma superfície plana e horizontal. a) qual o sentido do movimento da prancha em relação à superfície. b) calcule a intensidade da velocidade do cachorro em relação à superfície. Nota: admita que, inicialmente, a prancha e o cachorro estão parados em relação à superfície.
  • 7. 9. (UNICAMP) – Um carrinho, de massa m1 = 80kg, desloca-se em um plano horizontal sem atrito, com velocidade escalar constante V1 = 5,0m/s. Um bloco de massa m2=2,0kg cai verticalmente sobre o carrinho, de uma altura muito pequena, aderindo a ele. a) Com que velocidade escalar final move-se o conjunto? b) Que quantidade de energia mecânica foi transformada em energia térmica? 10. (MACKENZIE) – Um vagão cúbico de aresta 3,0m e massa 23 toneladas, vazio e aberto na parede superior, caminha sobre trilhos retilíneos e dispostos segundo a horizontal, com velocidade escalar de 36km/h, quando começa chover. A chuva que cai na vertical faz com que o vagão fique completamente cheio d’água (r = 1,0g / cm3 ) após um certo tempo. Admitindo-se desprezível qualquer ação de força horizontal externa ao sistema (chuva – vagão), a velocidade escalar final do vagão é de: a) 2,0m/s b) 2,3m/s c) 4,6m/s d) 10,0m/s e) 12,0m/s RESPOSTAS 1. a) I=2,0.102 N.s b) I=4,0.102 N.s 2. ALTERNATIVA B 3. ALTERNATIVA C 4. a) 0 b) Q=60 kg.m/s 5. ALTERNATIVA D 6. a) t=3,0s - a velocidade escalar do projétil aumenta enquanto a força F for maior que o peso do projétil e será máxima quando a força F se igualar ao peso b) V=45m/s 7. a) V=5,0.10-1m/s b) V=1,3m/s 8. a) sentido oposto ao do cão b) V= 8,0.10-1m/s 9. a) V=4,0m/s b) Em= 2,0.102J 10. ALTERNATIVA C