Capítulo 5

Capítulo 5: Análise através de
volume de controle
Aula 5

• Volume de controle
• Conservação de massa
• Conservação da quantidade de movimento
• 1º lei da termodinâmica aplicada ao VC
• Equação de Bernoulli
• Casos especiais
• Seleção do VC
• Segunda lei da termodinâmica
• Conversão de energia

5

Introdução
• Existe um fluxo de massa da substância de trabalho em cada
equipamento desta usina, ou seja, na bomba, caldeira, turbina e
condensador.
• Assim, não se pode analisar cada equipamento como um
sistema termodinâmico fechado.

Introdução
• Além da transferência de energia na forma de calor e
trabalho, já vista para sistemas termodinâmicos, existe
também o transporte de energia associado à massa que
escoa para dentro e para fora de cada equipamento.

• Logo, uma análise termodinâmica completa deve considerar a
transferência de calor e de trabalho e o transporte de energia
associado ao transporte de massa.

Volume de controle (VC)
• É um volume arbitrário do espaço através do qual há massa
entrando e saindo.
• Seu contorno geométrico é denominado de superfície de
controle:
– Esta superfície pode ser real ou imaginária;
– Pode estar em repouso (estacionária) ou em movimento
(móvel).
• Através da superfície de controle pode atravessar:
– Massa, trabalho, calor e quantidade de movimento.
• Em geral, qualquer região do espaço pode ser escolhida como
volume de controle. No entanto, uma escolha apropriada pode
simplificar bastante a resolução de um problema.

Estudo de um volume de controle
• No estudo termodinâmico de um sistema o interesse se
concentrava nas mudanças das propriedades (pressão,
temperatura, volume específico, entalpia, etc.).
• No estudo de um VC, além de continuar avaliando as
mudanças das propriedades, procura-se:
– conhecer as forças que atuam sobre o fluido que
atravessa a superfície de controle;
– e também a reação exercida pelo fluido sobre a
superfície de controle.
• Muitas vezes o interesse é maior no efeito do movimento de
uma massa de líquido, que no movimento em si.

Princípios de conservação
• Na análise do sistema termodinâmico foi usado o princípio da
conservação da energia (Primeira lei) e a Segunda lei da
termodinâmica.

• No volume de controle, além destes, é necessário também
analisar o princípio da conservação de massa e da
conservação de quantidade de movimento, uma vez que
existe fluxo de massa.

Conservação de massa para VC

• O princípio da conservação de massa para VC enuncia que:

• Em geral podem existir vários locais na superfície de
controle através dos quais a massa entra e sai.
• Logo, para múltiplas entradas e saídas, tem-se:

Escoamento Unidimensional
• Quando uma corrente de fluxo de matéria entrando ou saindo
do VC é:
– Normal à superfície de controle nos locais em que a
massa entra e sai do VC, e
– Todas as propriedades intensivas (INDEPENDEM DA
MASSA) são uniformes com a posição (se mantém constantes ao
longo da área da seção reta do escoamento); diz-se que o
escoamento é unidimensional.

Escoamento Unidimensional

• Considerando a velocidade de escoamento do ar (V) e a
densidade do ar ( ), num escoamento unidimensional a taxa
de massa ou vazão mássica (kg/s) será:

• Ou ainda:

• Assim, considerando que o VC tenha apenas uma entrada e
uma saída, obtém-se:

• Analogamente, quando o VC tiver várias entradas (e) e várias
saídas (s), obtém-se:

Escoamento em regime permanente
• Quando as variáveis do escoamento num ponto do espaço
não variam com o tempo, diz-se que o escoamento ocorre
em regime permanente.
• Analisando do ponto de vista do fluxo de massa, a identidade
da matéria no VC varia continuamente, porém a quantidade
total de massa presente em qualquer instante permanece
constante.
• Logo:


• Assim, num escoamento em regime permanente (a taxa de
massa do VC se mantém constante) as taxas totais de
entrada e saída de massa são iguais.
• No entanto, apenas esta igualdade não implica
necessariamente que o escoamento seja em regime
permanente, pois pode ocorrer de propriedades estarem
variando com o tempo, como por exemplo a pressão ou a
temperatura.

• Quando um fluido incompressível (  constante) escoa através
do VC, tem-se:

VAZÃO VOLUMÉTRICA: m3/s

• Isto é o que geralmente acontece quando se trata do
escoamento de um líquido.
• Esta relação fornece imediatamente uma descrição qualitativa
da velocidade na entrada e na saída do VC:

Ar escoa em condições normais (P = 101 kPa e T = 20 o C) através de
um tubo de paredes porosas mostrados na Figura abaixo. Nessas
condições a densidade é constante. Qual é a velocidade média
(uniforme) na saída do tubo? A porosidade do tubo é admitida
uniforme e o diâmetro d do tubo é constante.

Solução no Livro
Texto

Um fluido entra em um sistema de tubulação mostrada na figura
abaixo através da seção 1 e sai pelas seções 2 e 3. A vazão mássica
na seção 3 é um quarto da vazão mássica que entra na seção 1. O
diâmetro do tubo na seção 2 é d2=0,5d1, e a velocidade média na
seção 3 é V3 = 0,5 V1. Determine a velocidade média na seção 2 em
termos de V1 e o diâmetro da seção 3 em termos de d1. O fluido é
incompressível e, portanto, a sua densidade é constante.

Solução no Livro
Texto

• Um aquecedor de água operando em regime permanente
apresenta duas entradas e uma saída. Na entrada 1, o vapor
d’água entra a P1 = 7 bar, T1 = 200oC e com uma vazão mássica
de 40 kg/s. Na entrada 2, água líquida a P2 = 7 bar e T2 = 40oC
entra através de uma área A2 = 25 cm2. Líquido saturado a 7
bar sai em 3 com uma vazão volumétrica de 0,06m3/s.
Determine as vazões mássicas na entrada 2 e na saída (kg/s) e
a velocidade na entrada 2 (m/s).

No escoamento em regime
permanente ocorre conservação de
vazão mássica porém NÃO há
conservação de vazão volumétrica
quando a densidade (ou o volume
específico) NÃO for constante!!!!!

Conservação da quantidade de
movimento

Estudo de um volume de controle
• No estudo termodinâmico de um sistema o interesse se
concentrava nas mudanças das propriedades (pressão,
temperatura, volume específico, entalpia, etc.).

• No estudo de um volume de controle, além de manter o
interesse nas mudanças das propriedades, procura-se:
– conhecer as forças que atuam sobre o fluido passando
através da superfície de controle;
– e também a reação exercida pelo fluido sobre a
superfície de controle.

Revisão de quantidade de movimento
• Quantidade de movimento (P), ou momento linear, é
definido como sendo:

• Onde M é a massa da partícula (ou do sistema de partículas) e
V é a sua velocidade (ou do centro de massa).
• Como M é sempre uma grandeza escalar positiva, conclui-se
que o momento linear e a velocidade têm o mesmo sentido.
• No SI, a unidade que expressa momento linear é o kg.m/s.

• Newton expressou sua segunda lei originalmente em termos
de momento linear:
A taxa de variação no tempo do movimento de uma partícula é
igual à força resultante que atua sobre a partícula e aponta no
sentido desta força.

• Assim, a segunda lei de Newton para um sistema se
movimentando em relação à um referencial inercial pode ser
escrito como:

linear

• Desta expressão observa-se que a força externa
resultante sobre a partícula varia o seu momento linear.
• Inversamente, a quantidade de movimento só pode ser
mudado por uma força externa resultante.
• Se não existir força externa resultante, o momento linear
não pode mudar.

linear

• Substituindo o momento linear na segunda lei
tem-se:

Conservação de momento linear para
VC

• O princípio da conservação de momento
linear para VC enuncia que:

VC
• Assim, se a taxa de variação total de quantidade de
movimento no VC no instante t é igual à resultante das forças
atuando no VC neste mesmo instante, o enunciado do
princípio da conservação pode ser expresso desta forma:

• Onde V é a velocidade relativa ao VC e me e ms são as taxas
do fluxo de massa instantâneas na entrada e na saída
respectivamente.

VC

• Os termos do lado direito da equação expressam a variação da
quantidade de movimento do fluido à medida que ele passa
através da entrada e da saída do VC.

• No caso do VC pode ocorrer variação do fluxo de massa com o
tempo e por isto a unidade (SI) da variação de quantidade de
movimento (no instante t) é expressa em kg.m/s 2.

VC

• A equação acima é uma equação VETORIAL, portanto possui
uma componente em cada direção do sistema de coordenadas
(x, y e z).
• O lado direito é também chamado de força de inércia do
fluido, pois representa a tendência do fluido permanecer em
movimento a menos que atue uma força externa,
representada pelo lado esquerdo.

Forças atuantes em um VC
• As forças que atuam sobre o VC podem ser
separadas em:
• Forças de campo: estão relacionadas com a
massa de fluido no interior do VC.
– Gravidade;
• Forças de superfície: são as que atuam na
superfície do VC.
– Pressão;
– Tensão de cisalhamento (age tangencialmente à
superfície do material)

• Forças de campo: são aquelas que resultam da existência de
um campo gravitacional, elétrico ou magnético externo.
• A única força de campo que será considerada é o campo de
força gravitacional da Terra.
• Assim, a força de campo que atua em um fluido:

• Onde  é a densidade do fluido e V é o volume do fluido.

• Forças de superfície: são aquelas que
ocorrem devido à pressão e às forças
viscosas que atuam na superfície do VC.
• A pressão atua em todas as direções em
um ponto do espaço.
• A força da pressão externa ao VC sempre
atua na direção normal à superfície de
controle e ao longo da superfície interna
do VC.

Forças de superfície: Pressão em um VC

• Se dA for um elemento de área da superfície do VC, então a
força de superfície devido à pressão é obtida pela integração
do produto P.dA, normal à superfície de controle (SC) ao
longo de toda a superfície.

• Onde “n” é o vetor unitário normal à SC e definido como
sendo positivo na direção que aponta para fora da SC.

Forças de superfície: Pressão em um VC

• Se a SC é cercada por uma pressão
constante, como a devida à
pressão atmosférica (Patm), não
haverá contribuição da pressão
para a força resultante da SC.

Forças de superfície: Pressão em um
VC
• Se houver um escoamento que
entra através da face “ad” e sai
por “bc”, uma pressão
adicional (PM) atuará no VC.
• Esta pressão PM irá variar de
intensidade ao longo do VC
pois a velocidade do
escoamento varia.
• Logo, a força de pressão total
devido ao escoamento e à
pressão atmosférica será:

Forças de superfície: Pressão em um
VC

• Como a força resultante da pressão
atmosférica é zero, tem-se:

• A soma da pressão PM (pressão
manométrica) e a Patm (pressão
atmosférica) é a P (pressão absoluta):
P = PM + Patm

Forças de superfície: Força viscosa no VC

• Um fluido é uma substância que se deforma continuamente
quando submetido a uma tensão de cisalhamento ( ).
• Esta deformação se deve ao fato de que o fluido não suporta
a ação de uma força tangente à sua superfície.
• Logo a (  ) corresponde à força tangente à superfície dividida
pela área da superfície.
• A taxa de deformação decorrente desta tensão é diferente
para diferentes fluidos.
• A propriedade que relaciona  com a taxa de deformação de
um fluido é a viscosidade (μ).

Forças de superfície: Força viscosa no VC

• O fluido adjacente a uma superfície sólida (parede) sofre
o que é chamado de tensão de cisalhamento na parede
(p ).

• Na superfície sólida a velocidade relativa entre o fluido
e a superfície é nula (princípio da aderência ou do não
escorregamento).

• Na medida que se afasta da parede, a velocidade do
fluido relativa à parede vai aumentar de zero até um
valor finito.

Forças de superfície: Força viscosa no
VC
• A tensão de cisalhamento ( p ) atua no sentido de resistir ao
movimento do fluido e será máximo junto à superfície sólida
(onde não existe movimento).

• Assim, a força viscosa na SC será:

Força externa total no VC
• A força externa total atuando em um VC é:

• A força viscosa será analisada nos
Capítulos 6 e 7.

• A água escoa em regime permanente através de um cotovelo
circular de 90o com redução, que descarrega para a
atmosfera, como mostra a figura abaixo. O cotovelo é parte
de um sistema de tubulação horizontal (plano x, y) e está
conectado ao resto da tubulação por um flange. Determinar
a força no flange do cotovelo nas direções x e y se a vazão
mássica que passa através do cotovelo é de 88,0 lbm/s
(  água = 63,31 lbm/ft3 a 70º F). PM1= 17,4 lbf/in2

• Um anteparo curvo é montado sobre rodas e move-se na
direção x com uma velocidade constante U = 8 m/s como
resultado de um jato de água (  = 998 kg/m3) que sai de um
bocal estacionário como mostra a figura abaixo. A velocidade
que água deixa o bocal é Vj = 25 m/s. Quando a água atinge o
anteparo, ela está se movendo apenas na direção x, porém
quando ela deixa o anteparo, ela foi desviada para uma
direção 50o acima da direção x. Desprezando as forças de
campo, qual é a força exercida pela água no anteparo móvel?

Conservação de energia:
Primeira lei da termodinâmica
aplicada ao VC

Conservação de energia no VC

• O princípio da conservação de energia para VC enuncia que:

• O enunciado do princípio da conservação
pode ser expresso desta forma:

• Enquanto que no sistema (sem fluxo de massa) a taxa de
energia armazenada é:

• No VC existe a contribuição da energia transferida através do
fluxo de massa, sendo:

• onde Esup refere-se à transferência de energia devido ao
esforço, atrito viscoso e pressão atuando na superfície de
controle (SC) por conta do transporte de massa.

• Logo, o enunciado da conservação de energia no VC pode ser
expressa:

• A partir da conservação de momento linear definiu-se quem
contribui para determinar Esup:

Conservação de energia no VC:
Forças viscosas
• refere-se à taxa de transferência de energia resultante
da pressão que atua na SC e do movimento relativo entre o
fluido e esta superfície.

• Logo, é a integral do produto da força de pressão (-PdA),
atuando na direção do centro do VC, e a velocidade normal a
dA (V.n), sobre toda a SC:

Conservação de energia no VC:
Força de pressão
• Considerando que a pressão (P) seja uniforme ao longo de
toda a área da entrada, assim como a velocidade, tem-se
que:

• Lembrando que (V.A) é a vazão volumétrica (m3/s), pode-se
representá-la através do fluxo de massa:

• Logo, a transferência de energia devido à força da pressão na
SC será:

• Admitindo um VC que anula a força viscosa e substituindo a
energia transferida pela força de pressão, tem-se:

• Assim, esta é a taxa de energia transferida no transporte de
massa através da SC.

• Ou seja, é a taxa de energia necessária para mover o fluido
para dentro e para fora do VC.

• E a taxa de energia armazenada no VC (pela 1ª Lei):

• No entanto, “e” representa a energia total específica
transferida no fluxo de massa.
• Relembrando o conceito de energia total:

• No caso do VC possuir várias entradas e saídas, o balanço da
taxa de energia é:

• Este balanço da taxa de energia estabelece a taxa
na qual a energia cresce ou decresce em um VC.

Analisando a conservação de energia no VC

• Vale lembrar que o valor positivo de é definido como a
taxa de trabalho que está sendo realizado pelo fluido.
• Caso se queira aproveitar este trabalho, é necessário, por
exemplo, convertê-lo em trabalho mecânico através de uma
turbina ou um arranjo pistão-cilindro que forneça potência
através da rotação de um eixo.
• No entanto, tais dispositivos possuem irreversibilidades e
portanto, produzem menos potência de eixo que a potência
disponível no fluido.

Analisando a conservação de energia no VC

• Analogamente, o valor negativo de é definido como a taxa
de trabalho que está sendo realizado sobre fluido.
• Para produzir este trabalho, o dispositivo tem que converter
trabalho mecânico de eixo em trabalho sobre o fluido. Isto é
feito através de um compressor ou uma bomba.
• Esta conversão também envolve irreversibilidades e portanto,
deve-se fornecer mais potência ao eixo do compressor ou da
bomba do que a que vai para o fluido.

Casos especiais: escoamento em
regime permanente
• Ocorre quando todas variáveis do escoamento num ponto do
espaço não variam com o tempo.
• Isto significa que não há variação de fluxo de massa e nem de
taxa de energia armazenada dentro do VC.
• Assim, a equação de conservação de massa no VC (contendo
apenas uma entrada e uma saída) em RP é:

• E a equação da conservação de energia é:

Casos especiais: escoamento em
regime permanente

Casos especiais: escoamento de
gases perfeitos em RP

• Se o fluido é um gás perfeito (ideal e com cp cte):

• O escoamento em RP do gás perfeito no VC é:

líquidos em RP
• Quando o fluido for um líquido, é mais comum usar outra
expressão. Lembrando-se que:

• Sendo o escoamento em RP é:

líquidos em RP
• Considerando que:

• Substituindo e reagrupando tem-se:

•
. :
Dividindo tudo por mg

líquidos em RP

líquidos em RP
• A carga manométrica total (HT), seja na entrada ou saída, é
definida como a soma da carga manométrica de pressão
(P/ρg), da carga manométrica de velocidade (V2/2g) e da carga
manométrica potencial gravitacional (z) por unidade de vazão
mássica.
• HT tem as dimensões de um comprimento (m ou ft).

Mas o que representa exatamente a
carga manométrica total (HT) ?
• A carga manométrica tem sua origem no campo da hidráulica e
é forma de representar a pressão em um fluido.
• Considere, por exemplo, uma pressão atmosférica de 101 kPa
(1atm). Ela pode ser representada como a altura de uma
coluna de líquido equivalente. Se o líquido for água, com ρ =
998 kg/m3, tem-se:

• Uma pressão atmosférica de 101 kPa é equivalente à força por
unidade de área na base da coluna de água com altura de
10,32 m. OU SEJA, uma pressão de 1 atm corresponde a uma
carga manométrica de 10,32 m de coluna de água.

• Um sistema de sifão com diâmetro interno d=0,075m é utilizado para
remover água de um recipiente A para outro B, conforme figura abaixo.
Quando em operação, a vazão em RP através do sifão é de 0,03 m3/s. A
temperatura da água é de 25 oC e ρ=998,3 kg/m3. Calcule qual a elevação do
sifão acima da superfície da água do reservatório A, ∆z, na qual a pressão
mínima do sifão seja igual à pressão de vapor da água (Pv=2,339 kPa).
Admite-se que a perda de carga devido ao atrito e à transferência de calor
pode ser desprezada, ou seja, hL=0. Admitir que o nível de água no
reservatório é mantido constante.

Casos especiais: Equação de
Bernoulli
• Ela é um caso particular da equação de conservação de
energia, válida quando o escoamento for:

– Incompressível
– Em regime permanente
– Adiabático (sem transferência de calor) e reversível (sem
dissipação viscosa ou invíscido)
– Sem realização de trabalho

Bernoulli
• A equação de Bernoulli representa as formas de energia
presentes em um escoamento.
• Ela afirma que essa energia se conserva entre dois pontos,
uma vez que não há dissipação viscosa, trabalho e calor
atravessando as fronteiras.
• É a primeira solução que relaciona campo de velocidade com
campo de pressão.

• Ela pode ser empregada também para gases.

Bernoulli
• Considerando o escoamento em uma tubulação (com
paredes paralelas) no plano horizontal (Z1=Z2):

• Rearrumando tem-se:

• Cada termo desta forma da Eq. Bernoulli representa uma
pressão.

Casos especiais: Equação de Bernoulli

• O termo P é a pressão termodinâmica, chamada de pressão
estática.
• À medida que V2 aumenta, P deve diminuir.
• Analogamente, a medida que V2 diminui, P deve aumentar.
• Logo, existirá uma pressão estática mesmo que não haja
escoamento.

Bernoulli
• O termo ρ V2 /2 é a pressão dinâmica e existe apenas quando
há escoamento.
• Fora da camada limite de escoamento, o escoamento se
comporta como se fosse invíscido e a Eq. Bernoulli
estabelece que a soma das pressões estática e dinâmica é
constante ao longo da linha de corrente horizontal.
• Esta pressão constante é chamada de pressão total ou
pressão de estagnação.

Casos especiais: Equação de Bernoulli –
Fluido em repouso Manômetros
• São medidores de pressão que operam em condições
HIDROSTÁTICAS (ou seja, não há velocidades).

• Regra: mesmo fluido à mesma altura apresenta mesma
pressão. Por quê?
• Porque a pressão só varia com a densidade (ρ) e a altura (z)

Armazena-se água em um recipiente cuja seção transversal é
mostrada na figura abaixo. Numa pernas há mercúrio que, devido
ao fato de ser mais denso que a água ( Hg =13,55  água), depositou-
se no fundo do recipiente. A pressão na superfície livre é a pressão
atmosférica. Determinar a pressão nos fundos A, B, C e D, nas cotas
–z1, -z2 e –z3 abaixo da superfície livre.
(lembrar que a razão Hg / água = 13,55 é a densidade relativa do
mercúrio, listada na Tabela A-11)

Solução no Livro
Texto

PTotal = P0 +  . g . H

Casos especiais: Equação de Bernoulli

• Fisicamente a pressão de estagnação representa a pressão
estática que agirá em um ponto do fluido quando este for
colocado em repouso (V=0) através de um processo adiabático
reversível.
• A pressão estática de um escoamento pode ser obtida através
de um manômetro ou de um sensor de pressão estática,
chamada de tubo de Pitot.
• O tubo de Pitot mede também a pressão de estagnação do
escoamento.

Tubo de Pitot
• Foi desenvolvido para realizar medidas locais da velocidade de
correntezas em rios.
• Até hoje é muito utilizado na indústria aeronáutica, em
instalações industriais (linhas de vapor, gases e líquidos) em
sistemas de ventilação e laboratórios de pesquisa.
• Permite realizar uma medida local da velocidade do
escoamento a partir da pressão de estagnação e da pressão
estática.
• Pode ser empregado tanto para fluidos compressíveis como
para incompressíveis.

Princípio básico do tubo de Pitot
• O escoamento livre é desacelerado de modo reversível até a
estagnação.
• A energia total se conserva.

• Primeira solução que relaciona campo de velocidade com
campo de pressão.

• A figura abaixo mostra o escoamento de água, a 5 oC, através
da seção de testes horizontal de um túnel de água. Um tubo de
Pitot é colocado no escoamento além da camada limite da
parede da seção de testes. A sonda é conectada a um
manômetro em U com mercúrio cujos ramos mostram uma
diferença na coluna de mercúrio de ∆zHg= 52 mm. Determinar
a velocidade da água no ponto onde está a sonda.

Seleção de um volume de controle (VC)
• A seleção do VC é fundamental para se resolver um problema.
• O melhor VC é normalmente determinado pela experiência e por
uma análise cuidadosa das variáveis conhecidas e desconhecidas
para o problema particular.

• Dadas as alturas entre reservatórios, o diâmetro da tubulação e
o fluxo de massa (140 kg/s) deseja-se determinar a potência da
bomba para transferir um volume de fluido na unidade de
tempo (dado: eficiência da bomba = 85%).

• Dadas as alturas entre reservatórios, o diâmetro da tubulação e o fluxo de
massa (140 kg/s) deseja-se determinar a potência da bomba para transferir
um volume de fluido na unidade de tempo (dado: eficiência da bomba = 85%).

Dispositivos
• Os casos especiais podem ser aplicados em
diferentes VCs, ou seja, em diferentes dispositivos,
como por exemplo em bombas, turbinas, bocais,
difusores, etc.
• Além disto, em cada dispositivo podem existir
condições específicas e isto precisa ser levado em
conta na análise de cada dispositivo.

RP

Dispositivos: bocais e difusores
• Um bocal é um dispositivo formado por um duto com área de
seção reta variável, na qual a velocidade de um fluido
aumenta na direção do escoamento.
• Um difusor é um dispositivo contrário ao bocal, no qual a
velocidade do fluido diminui na direção do escoamento.
• Em bocais e difusores, o único trabalho é aquele associado ao
escoamento do fluido, em locais onde a massa entra e deixa o
VC.
• Em muitas situações, a variação de energia potencial na
entrada e na saída é desprezível. Logo, simplificando, num
bocal ou difusor:

• Vapor entra em um bocal convergente-divergente operando em
regime permanente (RP) com P1=40 bar, T1=400 oC e V1=10
m/s. O vapor escoa através do bocal com transferência de calor
desprezível e sem variação significativa na energia potencial. Na
saída, P2=14 bar e V2=665 m/s. A vazão mássica é de 2 kg/s.
Determine a área de saída do bocal em m2.

• Vapor entra em um bocal convergente-divergente operando em
regime permanente (RP) com P1=40 bar, T1=400 oC e V1=10
m/s. O vapor escoa através do bocal com transferência de calor
desprezível e sem variação significativa na energia potencial. Na
saída, P2=14 bar e V2=665 m/s. A vazão mássica é de 2 kg/s.
Determine a área de saída do bocal em m2.
4 MPa 1,4 MPa

Dispositivos: turbinas
• Uma turbina é um dispositivo no qual trabalho é
desenvolvido como resultado de um gás ou de um
líquido passando através de um conjunto de lâminas
fixadas a um eixo livre para sofrer rotação.

Turbinas
• As turbinas são usadas em várias instalações, como em
instalações motoras a vapor, instalações motoras a gás,
motores de aeronaves, etc.
• Nestes casos, vapor superaquecido ou gás entra na
turbina e se expande até uma pressão de saída mais
baixa, produzindo trabalho.
• Quando o fluido for vapor ou gás, a variação de
energia potencial é usualmente desprezada.
• A escolha apropriada da superfície do VC em torno da
turbina faz com que a variação de energia cinética seja
frequentemente pouco expressiva também.

• Vapor entra em uma turbina operando em RP com um fluxo de
massa de 4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de
saída de 1000 kW. Na entrada, a pressão é de 60 bar, a
temperatura é de 400 oC e a velocidade é de 10 m/s. Na saída
a pressão é de 0,1 bar, o título é de 0,9 e a velocidade é de 50
m/s. Calcule a transferência de calor entre a turbina e a
vizinhança (em kW).
6 MPa 10 KPa

• Vapor entra em uma turbina operando em RP com um fluxo de massa de
4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de saída de 1000 kW. Na
entrada, a pressão é de 60 bar, a temperatura é de 400 oC e a velocidade é
de 10 m/s. Na saída a pressão é de 0,1 bar, o título é de 0,9 e a velocidade
é de 50 m/s. Calcule a transferência de calor entre a turbina e a vizinhança
(em kW).
6 MPa 10 KPa

Dispositivos: compressores e bombas
• Os compressores são dispositivos no qual trabalho é
realizado sobre o gás passando através deles com o
objetivo de aumentar a pressão.
• Já nas bombas, a entrada de trabalho é utilizada para
mudar o estado de um líquido que circula em seu
interior.
• Em ambos os casos, a variação de energia potencial é
normalmente desprezada.
• A transferência de calor para a vizinhança é
frequentemente um efeito secundário.

• Ar é admitido em um compressor que opera em RP com
P1=1bar, T1=290K e V1=6m/s através de uma entrada
A1=0,1m2. Na saída, P2=7bar, T2=450K e V2=2m/s. A
transferência de calor do compressor para a sua vizinhança
ocorre a uma taxa de 180 kJ/min. Considerando que o ar se
comporte como gás ideal, calcule a potência de entrada para
o compressor (kW).
Dados:

• Ar é admitido em um compressor que opera em RP com P1=1bar, T1=290K
e V1=6m/s através de uma entrada A1=0,1m2. Na saída, P2=7bar, T2=450K
e V2=2m/s. A transferência de calor do compressor para a sua vizinhança
ocorre a uma taxa de 180 kJ/min. Considerando que o ar se comporte
como gás ideal, calcule a potência de entrada para o compressor (kW).

Dispositivos: trocadores de calor
• Estes dispositivos transferem calor entre fluidos a
diferentes temperaturas.
• Um exemplo são os radiadores de automóveis,
condensadores, evaporadores e sistemas de
resfriamento.
• A única interação em termos de trabalho com a
fronteira de um VC é o trabalho do escoamento nos
locais onde a matéria sai e entra. Assim a taxa de
trabalho no VC pode ser considerada zero.
• A energia potencial geralmente pode ser desprezada
nas entradas e saídas.

Variação de entropia em um sistema
• Num sistema termodinâmico a equação geral para a variação
de entropia é:

• A variação de entropia em um processo irreversível é maior
que num reversível com o mesmo δQ e T.

Geração de entropia em um sistema
• De forma genérica, pode-se escrever que:

• Desde que:

• Representa a entropia gerada no processo devido às
irreversibilidades.

Variação de entropia em um VC
• No VC a equação geral para a variação de entropia (tanto em
sistemas reversíveis quanto irreversíveis) deverá considerar
também a transferência de entropia do fluxo de massa
através da superfície de controle:

• Para várias entradas e saídas do VC:


• S de um VC pode crescer de três formas: por adição de calor,
por adição de massa ou pela presença de irreversibilidades.

• S de um VC pode diminuir de duas formas: por remoção de
calor ou remoção de massa.

. .
Q = m (hs –he) = 1 (2.776,1 – 762,81) = 2.013,3 kW

T = (179,91 + 177,69) / 2 = 178,8 = 452 K

. . .
I = m (ss-se) – (Q / T) = 1 (6,6041 – 2,1387) – (2,013,3/452)

.
I = 0,01120 kW/K

• Vapor entra em uma turbina com uma pressão de 30 bar, a
uma temperatura de 400º oC e uma velocidade de 160 m/s.
Vapor saturado a 100 oC sai com uma velocidade de 100 m/s.
Em RP, a turbina desenvolve um trabalho de 540 kJ/kg de
vapor escoando através da turbina. Ocorre transferência de
calor entre a turbina e a sua vizinhança a uma temperatura
média da superfície externa igual a 350 K. Determine a taxa na
qual a entropia é gerada no interior da turbina por kg de vapor
escoando, em kJ/kg.K. Despreze a variação na energia
potencial entre a entrada e a saída.

• Vapor entra em uma turbina com uma pressão de 30 bar, a
uma temperatura de 400º oC e uma velocidade de 160 m/s.
Vapor saturado a 100 oC sai com uma velocidade de 100 m/s.
Em RP, a turbina desenvolve um trabalho de 540 kJ/kg de
vapor escoando através da turbina. Ocorre transferência de
calor entre a turbina e a sua vizinhança a uma temperatura
média da superfície externa igual a 350 K. Determine a taxa na
qual a entropia é gerada no interior da turbina por kg de vapor
escoando, em kJ/kg.K. Despreze a variação na energia
potencial entre a entrada e a saída.
0,3 MPa

Conversão de energia por ciclos
• Os ciclos de geração de potência retiram calor de uma fonte
de alta temperatura, convertem parte desta energia em
trabalho, e liberam o restante da energia para uma fonte de
baixa temperatura.

• Para estes ciclos, a eficiência máxima é a eficiência de Carnot,
que representa o ciclo ideal (reversível). No ciclo real, a
eficiência é menor que de Carnot.


2 3

1 4

• Para a geração de potência, o trabalho fornecido deve ser
menor que o produzido.
• Quando o trabalho líquido for fornecido ao ciclo (ou seja,
fornece-se mais do que se extrai) este poderá ser utilizado
como um ciclo de refrigeração ou bomba de calor.
• Além do uso de fluidos como substância de trabalho no ciclo,
pode-se utilizar também substâncias de trabalho sólidas.
• Porém produzem uma quantidade de potência muito reduzida
para merecer uso prático.

Ciclo de Rankine
• É o ciclo mais comum para a conversão de calor em trabalho.
• Unidades geradoras utilizam este ciclo para gerar potência a
partir de fontes fósseis ou nucleares.
• A substância de trabalho normalmente utilizada é água,
apesar de poder operar com outros fluidos (amônia, potássio,
mercúrio, fluidos refrigerantes).
• Será analisado apenas o ciclo de Rankine básico, usando
água como fluido de trabalho.

Ciclo de Rankine
• Consiste de quatro processos termodinâmicos distintos.
• Processo de compressão na bomba (1-2):
– É considerado adiabático reversível;
– O processo real é muito próximo do adiabático porém
existem irreversibilidades.

• Processo de recebimento de calor na caldeira (2-3):
– Ocorre a pressão constante;
– No processo real ocorre uma queda de pressão à medida
que o fluido escoa pela caldeira.

Ciclo de Rankine
• Processo de expansão na turbina (3-4):
– É considerado como sendo adiabático reversível;
– O fluido de trabalho se encontra na região de saturação
(vapor saturado), porém no processo real opera-se a turbina
entrando com vapor superaquecido.
– No processo real também apresentará irreversibilidades que
aumentarão a entropia.
• Processo de rejeição de calor no condensador (4-1):
– Ocorre a pressão constante;
– É recomendável que a bomba não receba uma mistura
líquido-vapor e por isto a mudança de fase vai até o estado de
líquido saturado.

Ciclo de Rankine Ideal
• Neste ciclo ideal:
– Todos os processos são reversíveis;
– Não há queda de pressão nos trocadores de calor;
– Não há irreversibilidades na turbina e na bomba.
• Será admitido regime permanente para todos os componentes.

• Cada componente será analisado em separado.
• A 1ª lei para VC:

Ciclo de Rankine Ideal

P3 = P2 e P4 = P1
Estado 1: Líquido saturado
Estado 4: Mistura Líquido-Vapor
s3=s3 e s2=s1

• O vapor em um ciclo de Rankine ideal entra na turbina a
P3=10MPa e T3=500 oC e deixa a turbina a P4=10kPa.
a) Represente o ciclo no diagrama T-s.
b) Calcule a eficiência térmica do ciclo.
c) Qual é a potência líquida produzida se a vazão mássica do
vapor for de 10 kg/s?

• O vapor em um ciclo de Rankine ideal entra na turbina a
P3=10MPa e T3=500 oC e deixa a turbina a P4=10kPa.
a) Represente o ciclo no diagrama T-s.
b) Calcule a eficiência térmica do ciclo.
c) Qual é a potência líquida produzida se a vazão mássica do
vapor for de 10 kg/s?

P3 = 10 MPa
T3 = 500 oC
P4 = 10 KPa
Na entrada da turbina o vapor é superaquecido.

. P3 = P2 e P4 = P1
m = 10 kg/s
Estado 1: Líquido saturado
Estado 4: Mistura Líquido-Vapor
s3=s3 e s2=s1

Efeito da pressão e temperatura no
ciclo de Rankine
• A temperatura e pressão de recebimento e rejeiçãode calor
afetam o rendimento do ciclo;
• Como nesses processos ocorre mudança de fase, não se pode
alterar a pressão sem alterar a temperatura e vice-versa;
• A influência da temperatura e da pressão pode ser
determinada facilmente analisando-se o diagrama T-s do ciclo
de Rankine;
• A influência da temperatura e da pressão no rendimento
então pode ser determinada pela nova relação de áreas.

Influência da pressão de
condensação (P4,1)
• A pressão caindo de P4 para P4’ ⇒
diminuição da temperatura na qual o
calor é rejeitado.
• O trabalho líquido e o calor fornecido
aumentam.
• A área do aumento do calor << área
do trabalho líquido: aumento no
rendimento.
• Essa diminuição de pressão tem
limites como por exemplo: não pode
haver mais de 10% de teor de
umidade na saída da turbina.

Influência da temperatura de
aquecimento do vapor (T3)
• O trabalho e o calor transmitido na
caldeira aumentam.
• Como a temperatura média em que
o calor é adicionado aumenta há um
aumento da eficiência.
• Com o aumento da temperatura
também há um aumento do título do
vapor na saída da turbina.
• A temperatura no qual o vapor pode
ser superaquecido é limitada por
questões metalúrgicas em cerca de
620ºC.

Influência da pressão de vaporização
(P2, 3)
• A temperatura máxima do vapor e a
pressão de saída da turbina é mantida
constante.
• Neste caso, o calor rejeitado diminui da
área 4-4’-b-b’.
• O trabalho líquido tende a permanecer o
mesmo e o calor rejeitado diminui: há
um aumento do rendimento.
• A temperatura média na qual o calor é
fornecido também aumenta com o
aumento da pressão.
• O título do vapor que deixa a turbina
diminui quando a pressão máxima
aumenta.

Resumindo
• Pode-se dizer que o rendimento de um ciclo de Rankine
aumenta:
– Pelo abaixamento da pressão de saída da turbina;
– Pelo superaquecimento do vapor;
– Pelo aumento da pressão no fornecimento de calor.

• O título do vapor que deixa a turbina:
– Aumenta pelo superaquecimento do vapor;
– Diminui pelo abaixamento da pressão na saída da turbina
e pelo aumento da pressão no fornecimento de calor.

Ciclo de Rankine com reaquecimento
• O aumento da pressão no processo de fornecimento de calor aumenta
o rendimento do ciclo de Rankine, mas provoca o aumento do teor de
umidade do vapor nos estágios de baixa pressão da turbina.
• Para evitar esse problema desenvolveu-se o ciclo com reaquecimento,
onde o vapor entra na turbina a uma pressão reduzida.
• Nesse ciclo o vapor expande na turbina até uma pressão intermediária
e depois volta para a caldeira.
• Após o reaquecimento, o vapor expande-se totalmente na turbina até
a pressão de saída.
• Há um pequeno ganho de rendimento neste ciclo uma vez que a
temperatura média, no qual o calor é fornecido, não é alterada
significativamente.
• Há uma diminuição do teor de umidade no estágio de baixa pressão da
turbina, levando-o a um valor seguro.

.
W = h 3 – h 4 + h5 – h 6

Ciclo regenerativo
• O objetivo é aumentar a eficiência do ciclo de Rankine
extraindo vapor da turbina e fazendo-o passar por um trocador
de calor e aquecer a água antes de ela entrar na caldeira.
• O vapor extraído é condensado nesse trocador de calor e o
líquido retorna para o ciclo.
• O vapor extraído não pode mais realizar trabalho na turbina e a
potência da turbina será reduzida.
• Porém a quantidade de calor que deverá ser fornecido sofrerá
uma redução ainda maior que a redução da potência: havendo
aumento da eficiência do ciclo.
• O calor na caldeira estará sendo oferecido a uma temperatura
média maior e a eficiência do ciclo também será maior.

Co-geração é definida como o processo de
transformação de uma forma de energia em
mais de uma forma de energia útil, de
acordo com Oddone (2001), geralmente
energia mecânica (movimentar máquinas,
equipamentos e turbinas de geração de
energia elétrica) e a térmica (geração de
vapor ou calor).
O mesmo autor salienta que a co-geração
apresenta alta eficiência energética, pois
não há o desperdício de energia térmica
(como ocorre nas termoelétricas puras),
pois essa energia é utilizada em processos
industriais, como secagem, evaporação,
aquecimento, cozimento, destilação, etc.

Perdas
• Tubulação:
– As mais importantes são a perda de carga devido aos efeitos de
atrito e a transferência de calor ao meio envolvente;
– Tanto a perda de carga como a troca de calor provoca uma
diminuição da disponibilidade energética do vapor que entra na
turbina;
– O mesmo ocorre na caldeira e por isto a água que entra na caldeira
deve ser bombeada até uma pressão mais elevada do que a pressão
desejada do vapor que deixa a caldeira, o que requer trabalho
adicional de bombeamento.
• Turbina:
– São principalmente as associadas com o escoamento do fluido de
trabalho através da turbina;
– A transferência de calor para o meio também representa uma
perda, porém esta perda é secundária.

Perdas
• Bombas:
– As perdas na bomba são análogas àquelas da turbina e
decorrem principalmente da irreversibilidade associada ao
escoamento do fluido;
– A troca de calor usualmente é uma perda secundária.

• Condensador:
– As perdas no condensador são relativamente pequenas;
– Uma delas é o resfriamento abaixo da temperatura de
saturação do líquido que deixa o condensador.

Exercícios - Capítulo 5
Análise através de VC

• 5.7 ; 5.8 ; 5.12 ; 5.17 ; 5.19 ; 5.25 ; 5.27 ; 5.32 ;
5.37 ; 5.52 ; 5.53 ; 5.55 ; 5.64 ; 5.70 ;

. .
m1 = m2

8
P1= 101 kPa P2= 105 kPa
T1 = 16ºC T2 = 18oC

A1 = A2 =  x r2/2
d1 = d2 = 0,6m

A1V2 = 0,35 m3/s
Pv = RT

0 0

P2= 50 KPa

Tviz = 25ºC

3

1 2.
.
Q
l

A B

Tubo de Venturi: Mede a velocidade do escoamento
e a vazão de um líquido incompressível através da
variação da pressão durante a passagem deste
líquido por um tubo de seção mais larga e depois
por outro de seção mais estreita

L

Equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2

Pb = Pc OU

(A2/A1)2

V 1 x A1 = V 2 x A2

V2 = 2 x 10 x 0,1 x (13,55-1) = 5,8 m/s
1 – (10/20)2
(A2/A1)2

Vazão = V2 x A2 = 5,8 x 10 x 10-4 = 0,0058 m3/s = 5,8 L/s

Solução no Livro
Texto

Turbina a água

Turbina a água

P1 = 300 KPa P2 = 90 KPa Z1-Z2 = 1,5m

V1 = Vazão volum. / Área 1

V2 = Vazão volum. / Área 2

Turbina a água

P1 = 300 KPa P2 = 90 KPa Z1-Z2 = 1,5m

V1 = Vazão volum. / Área 1 = 0,9 /  / 4 x (O,25)2 = 18,33 m/s

V2 = Vazão volum. / Área 2 = 0,9 /  / 4 x (O,40)2 = 7,162 m/s
. .
W = m (P1 – P2) /  + (V12 – V22) / 2 + g (Z1 – Z2) =
.
W = 1000 x(0,9) 300.000 – 90.000 + 18,35 2 – 7,1622 + 9,807 x (1,5) = 303,3 kW
1000 2

.
Ws = 0,82 x 303,3 = 270,8 kW

Teorema de Transporte de Reynolds
• Teorema utilizado para transformar as equações válidas para
um sistema termodinâmico em equações válidas para um
volume de controle.

Capítulo 5

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