1) O documento apresenta os tópicos da Unidade de Aprendizagem 4 de Física I sobre dinâmica.
2) São discutidas as leis de Newton, forças fundamentais, peso, forças de ligação e atrito.
3) É feita uma análise detalhada das forças de atrito estático e cinético em sólidos e fluidos.
2. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Unidade de Aprendizagem
Índice de Tópicos:
Conversão do Momento Linear
Interacções Fundamentais
Leis de Newton
Índice
Forças de Ligação
Forças de Atrito
Peso
Equivalência dos Referenciais de Inércia
Movimento Relativo
Movimento Relativo de Rotação
Terra como Referencial não-inercial
3. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 3 de 34
Leis de Newton
Leis de Newton
1ª Lei – Uma partícula (livre) tem,
relativamente a um referencial de
inércia, um movimento uniforme.
2ª Lei – Para um referencial de
inércia,a resultante das forças
aplicadas numa partícula é igual à
taxa de variação no tempo do seu
momento linear.
3ª Lei – A força que a partícula 1
exerce sobre a partícula 2 é igual
em valor e de sentido oposto à
que a partícula 2 exerce sobre a
partícula 1.
Conservação do
momento linear
dt
p
d
F
linear
momento
p
a
m
dt
v
d
m
F
m – massa constante
1ª Lei Define referenciais de inércia
2ª Lei Define força
3ª Lei Acção - Reacção
4. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Conservação do momento linear
O conjunto das três leis corresponde ao princípio de conservação
do momento linear aplicado a uma partícula ou um sistema de
duas partículas.
21
12
F
F
dt
p
d
dt
p
d 2
1
0
2
1
dt
p
d
dt
p
d
0
)
( 2
1
p
p
dt
d
te
C
p
p
p
2
1
1 2
12
F
21
F
3ª Lei
Conservação do Momento Linear
5. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 5 de 34
Interacções Fundamentais
• Gravitacional (massa gravitacional)
• Electromagnética (carga)
• Forte (estabilidade nuclear e dos nucleões)
• Fraca (protãoneutrão e neutrão protão;
radioactividade)
12
2
12
2
1
12 r
e
r
m
m
G
F
12
2
12
2
1
12 r
e
r
q
q
k
F
Cargas em
repouso
Força gravitacional que a partícula de massa
gravitacional 1 exerce sobre outra de massa
gravitacional 2, quando se encontram à distância
r12. O versor tem a direcção da linha que passa
pelas duas partículas e o sentido de 1 para 2.
Como as massas são positivas esta força tem
sempre o sentido oposto ao versor, sendo portanto
uma força atractiva.
G é a constante gravitacional.
A força entre duas partículas carregadas em
repouso tem uma expressão semelhante à
gravitacional, mas como as cargas podem ser
positivas ou negativas a força pode ser repulsiva
ou atractiva.
6. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Peso
Chamamos peso à força
gravitacional exercida pela
Terra sobre objectos à sua
superfície.
Peso
7. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Peso
Como todos os objectos sujeitos a
esta força têm a mesma
aceleração, a razão das massas
de inércia entre dois objectos é
igual à razão entre as suas
massas gravitacionais, pelo que
com uma escolha apropriada de
unidades e padrões podemos dizer
que a massa de inércia e a massa
gravitacional de um dado objecto
são iguais.
r
e
R
M
m
G
P
T
T
2
1
1
g
m
P
1
1
'
r
e
R
M
m
G
P
T
T
2
2
2
g
m
P
2
2
'
2
1
2
1
'
'
m
m
m
m
'
m
m
r
e
R
M
G
g
T
T
2
Peso
8. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 8 de 34
Forças de Ligação
P
N
0
P
N
Normal ou Reacção normal
P
T
0
P
T
Tensão
A segunda lei de Newton implica a existência das forças de ligação.
Forças de Ligação
9. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Exercício
q
P
T
Pn
Pt
l
m
m = 3,0 kg
q = 30°
l = 40 cm
at = ?
at max = ?
a
m
F
Ft = mat
Fn = man
Pt= mat
T- Pn = man
Psenq = mat
T- Pcosq = man
mat = mgsenq
at = gsenq
at = 9,8 0,5 = 4,9 m/s2
at max = g q = 90°
Forças de Ligação
10. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Forças de Atrito
F
a
F
Fae
2
1
1 2 Fae
F
a
F
N
Forças de Atrito
Se fizermos aumentar
continuamente o valor da
força aplicada F, a força de
atrito vai aumentando
também, igualando-se a F,
até que esta atinja o valor
máximo da força de atrito,
ou seja o valor da força de
atrito estático, Fae.
11. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 11 de 34
Forças de Atrito
Para iniciar o movimento F=Fae
F= Fac
Para manter o movimento a
velocidade constante
N
F e
ae
N
F c
ac
e
c
ae
F
ac
F
FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO
FORÇA DE ATRITO CINÉTICO
N
Fae
N
Fac
Forças de Atrito
12. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 12 de 34
Origem da força de atrito? Forças intermoleculares superficiais
Não deveria depender da Depende da área de contacto real
da área de contacto?
Forças de Atrito
13. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 13 de 34
N
N
N
Atrito a favor do
movimento ??? FUTURO
Forças de Atrito
Numa superfície real
(imagem de microscópio
de nível atómico no
canto esquerdo) quanto
maior for a compressão
(igual em valor a N)
maior o contacto entre
superfícies.
14. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 14 de 34
Exercício
m = 200kg
me = 0,08
mc = 0,05.
t = 0
F (Newton) t (segundo)
Em que instante é que o bloco inicia o seu movimento?
Calcule a aceleração do bloco em função do tempo.
Qual a distância percorrida até ao instante t= 10 s?
Faça g = 10 m/s2
F
P
N
a
F
x
e
t
F
200
Forças de Atrito
15. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
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Exercício (resolução)
No arranque:
N-P = 0
F-Fae = 0
F = emg
200 t = 0,08200 10
t = 0,8 s
No movimento:
N-P = 0
F-Fac = ma
F – cmg = ma
200 t - 0,05200 10 = 200 a
a = t – 0,5 para t 0,8s
a = 0 para t < 0,8s
Forças de Atrito
16. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 16 de 34
t
t
dt
a
v
v
0
0
t
t
dt
v
x
x
0
0
t = t0
v0 = 0
x0 = 0
t’ = t - 0,8
t = 10 t’ = 9,2 s
a = t – 0,5 para t 0,8s
a = 0 para t < 0,8s
'
3
,
0
2
'
'
3
,
0
'
'
'
2
'
0
'
0
'
0
t
t
v
dt
dt
t
dt
a
v t
t
t
a = t’ + 0,3 para t’ 0
2
3
2
'
15
,
0
6
'
'
'
3
,
0
'
'
2
1
' '
0
'
0
'
0
t
t
x
dt
t
dt
t
dt
v
x t
t
t
x(t’ = 9,2 s) = 142,5 m
Exercício (resolução)
Forças de Atrito
17. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 17 de 34
Forças de Atrito
Sólido Transferência de momento linear Fluido
Força resistente ao movimento
Baixa velocidade Regime laminar
(Movimento do fluido em camadas
caracterizado pela viscosidade h)
h depende da temperatura e em geral também da velocidade; para fluidos
Newtonianos é independente da velocidade
Regime de velocidade é caracterizado pelo número de Reynolds
h
Dv
N
Re
v – velocidade do sólido
r – densidade do fluido
D – diâmetro efectivo
Forças de Atrito
18. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 18 de 34
Forças de Atrito
h
Dv
N
Re
v – velocidade do sólido
r – densidade do fluido
D – diâmetro efectivo
Re
N > 103 Regime turbulento
Re
N < 103 Regime laminar
Re
N < 0,1 v
k
FR
h
Em geral v
v
k
F n
R
h
Forças de Atrito
19. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 19 de 34
Forças de Atrito
a
m
F
I
P R
ma
F
I
P R
ma
v
k
g
m
mg f
h
dt
dv
m
v
k
g
m
m f
h
)
(
dt
dv
v
m
k
g
m
m
m f
h
)
(
dt
dv
cv
b
dt
b
cv
dv
t
t
v
dt
b
cv
dv
v
0
0
t0 = 0 v0 = 0
t
b
cv
c
v
0
)
ln(
1
ct
b
b
cv
)
ln(
)
ln(
ct
b
b
cv
)
(
ln
ct
e
b
b
cv
)
(
)
e
(1
c
b
v ct
Forças de Atrito
20. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 20 de 34
)
e
(1
c
b
v ct
h
h k
g
V
k
g
m
m f
f
)
(
)
(
c
b
vlim
c
b
t
v vlim é tanto menor quanto maior for:
A densidade e viscosidade do fluido
A área transversal do sólido
(capitulo)
21. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 21 de 34
Exercício
Velocidade limite de um paraquedista; será que FR = khv?
m = 70 kg
mf = 0
k = 3pD D = 8 m
h = 1,81 10-5 kg m-1s-1 s
m
k
g
m
m f
/
10
1
,
5
10
81
,
1
24
10
70
)
(
5
5
h
lim
v
Conclusão : FR khv
(capitulo)
22. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 22 de 34
Exercício (continuação)
ma
F
I
P R
Ar regime
turbulento ma
F
P R
2
2
1 Av
C
F ar
R
0
,
1
4
,
0
C
A – área transversal
2
2
1
0
Av
C
mg
a
ar
A
Cρ
2mg
v
ar
lim
(capitulo)
23. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 23 de 34
Exercício (continuação)
m = 70 kg
C = 1
D = 8 m A = 16
ar = 1,2 kg/m3
Velocidade limite de um paraquedista ?
s
m
v
π
,
v
/
8
,
4
2
,
23
16
2
1
700
2
lim
lim
(capitulo)
24. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 24 de 34
Referenciais não-inerciais
REFERENCIAL
NÃO-INERCIAL
'
0
'
0
'
??
N
P
N
N
N
P
N
N
P
P
N
P
N
'
N
a
ma
P
N
ma
N
P
a
m
N
P
REFERENCIAL
DE INÉRCIA
25. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 25 de 34
Referencial do Carrossel Referencial de Inércia
(capítulo)
26. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 26 de 34
Quando, abusivamente tentamos aplicar a segunda lei de Newton à
descrição da dinâmica em referenciais não-inerciais (elevador
acelerado, carrossel), temos necessidade de “inventar” forças
adicionais. Estas não correspondem a uma interacção entre corpos,
não são exercidas por nada, não obedecem a acção-reacção,
dependem da aceleração do referencial não-inercial. A mesma
descrição feita por observadores inerciais não necessita destas
forças. O observador exterior ao carrossel não vê o objecto livre a
ser “empurrado” para a periferia do carrossel, vê o objecto livre a
executar um movimento rectilíneo uniforme.
(capitulo)
27. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 27 de 34
'
SS
v
X
Y
Z
O
S
X’
Y’
Z’
O’
S’
P
r
'
r
b
b
r
r
'
'
'
'
SS
v
v
v
dt
b
d
dt
r
d
dt
r
d
dt
v
d
dt
v
d
dt
v
d SS'
'
(capitulo)
28. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 28 de 34
'
' ' SS
te
SS a
a
a
C
v
F
a
m
'
' SS
a
m
F
a
m
S S’
(capítulo)
'
' a
a
C
v te
SS
Equivalência dos Referenciais de Inércia
'
SS
a
m
Se o observador do referencial S’abusivamente tentar
aplicar a segundalei de Newton tem necessidade de falar
na força adicional igual a
29. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 29 de 34
Movimento Relativo
Exemplos de aplicação da composição de velocidades.
Movimento Relativo
30. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 30 de 34
Exercício
Um barco move-se com uma velocidade de 10 m/s relativa ao rio. Este move-se com uma velocidade de
5m/s paralela às suas margens. A que ângulo relativamente à velocidade do rio deve o condutor orientar o
leme do barco para atravessar o rio perpendicularmente às margens.
a) 120 b) 45 c) 90 d) 0
Movimento Relativo
'
' SS
v
v
v
r
br
b v
v
v
q
120
)
10
/
5
arccos(
180
q
q
31. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 31 de 34
Exercício
Considere que não há atrito entre os dois corpos e entre o
corpo2 e a mesa. Exerce-se a força representada na figura sobre
o corpo 2. Considere as massas dos corpos 1 e 2 iguais a m1 e
m2, respectivamente. Qual a expressão da velocidade do corpo
1 relativa ao corpo 2, em função do tempo?
Movimento Relativo
1
2 F
X
0
1
1
a
m
2
2
a
m
F
2
2
1 0
m
F
a
a
2
2
1
12
m
F
a
a
a
Relativo a um
referencial de inércia
t
m
F
v
2
12
32. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 32 de 34
Movimento Relativo
'
SS
v
X
Y
Z
O
S
X’
Y’
Z’
O’
S’
P
r
'
r
b
b
r
r
'
t
v
b
C
v SS
te
SS '
'
x = x’
y = y’+ vSS’t
z = z’
33. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 33 de 34
Movimento Relativo
A transformação de velocidades
deduzida entre dois referenciais de
inércia, a transformação de
Galileu, permite prever velocidades
superiores à da luz no vácuo, c.
Sendo esta a velocidade limite,
concluímos que a transformação
de Galileu não é inteiramente
válida. Na realidade só pode ser
aplicada para velocidades muito
inferiores a c.
b
r
r
'
t
v
b
C
v SS
te
SS '
'
x = x’
y = y’+ vSS’t
z = z’
34. Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 34 de 34
Unidades de Aprendizagem
Atalhos para outros documentos:
UA2 – Introdução à Física I
UA1 – Eng. Electrotécnica
UA3 - Cinemática
UA4 - Dinâmica
UA5 – Relatividade restrita
UA6 – Trabalho e Energia
UA7 – Conversão do momento angular
UA8 – Sistemas de partículas
UA10 – Oscilações
UA9 – Corpo rígido
UA11 - Fluidos
Unidades de Aprendizagem