O documento contém 5 questões de uma prova de Cálculo I sobre limites, assíntotas, continuidade de funções e o Teorema do Valor Intermediário. As questões incluem calcular limites, determinar assíntotas de uma função, encontrar valores que tornam uma função contínua, enunciar e aplicar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar a existência de raízes, e analisar a continuidade e limites de uma função que envolve a parte inteira de um número.
1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE/UFES
Primeira Prova de Cálculo I – 2009/2
Aluno: ____________________________________________________________
Data: 02/09/09
Questão 1 (4,0 pontos)
Calcule os limites:
6 x
2
a) lim ;
x 2 3 x 1
b) lim tg ;
arc2 x
x
x 4
2
x tg
x
c) lim
sen ;
x 0
x
senx
d) lim .
x x
Questão 2 (1,5 pontos)
Determine as assíntotas verticais e horizontais da função f 2 .
8
x
x 4
Questão 3 (1,5 pontos)
Determine os valores de a e b para os quais a função abaixo é contínua.
x
2
4
, x2
2
x 2
f ax bx3 2 x
x , 3
2 ,
x a b x3
Questão 4 (1,5 pontos)
a) Enuncie o Teorema do Valor Intermediário.
b) Usando o Teorema do Valor Intermediário, mostre que existe uma raiz para
a equação ex 2 x .
Questão 5 (1,5 pontos)
Para cada número real r , seja r o maior número inteiro menor ou igual a r .
Considere a função f x.
x x
lim f x lim f x
a) Existe x3 ? Caso exista, qual é o valor de x3 ? Justifique.
b) A função f x é contínua em x 3 ? Justifique.