Método de Runge Kutta, método de integração numérica

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
PROF: JAILSON FRANÇA DOS SANTOS
ESTUDANTES: CAROLINE PIANI CAMPOS, GLEYSON BUCKER
ARRUDA, HINDIRA FEITOZA DE ARAÚJO, ITAYLANE MALTA SANTOS.
MÉTODOS NUMÉRICOS
1. Integração Numérica
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] da qual se conhece a primitiva F.
O valor da integral definida de f pode ser calculada usando a fórmula de
Newton‐Leibniz:
)()()( aFbFdxxfI b
a 
Os métodos de integração numérica aproximam valores de integrais definidas.
Esse métodos são muito úteis quando:
 Não se conhece a função f. Tem‐se apenas uma tabela de valores para f;
 f é conhecida, mas é muito complexa, o que dificulta a determinação de
sua primitiva.
Dessa forma, f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é
mais fácil de obter.
dxxpdxxfI b
a
b
a )()( 
Sendo o erro absoluto calculado pelo módulo da diferença entre o valor exato e o
valor numérico.
Os métodos de integração numérica tratados nesse trabalho são: Método dos
Trapézios e Método de Simpson.
Método dos Trapézios
Esse método consiste em aproximar a função a ser integrada por retas no
intervalo de integração.
Seja dxxfI b
a )( . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n
subintervalos ],[ 1ii xx de comprimento h > 0. Assim, temos:

2. • h = (b – a)/n
• xi = a + ih, i = 0,1,2, ..., n.






1
1
0
]
2
[*
n
i i
n
f
ff
hI
Método de Simpson
Seja dxxfI b
a )( . Considera-se novamente uma subdivisão do intervalo [a, b]
em um número de subintervalos n(par).
A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos trechos de curvas usando
arcos parabólicos. Assim, temos:
)}(...)()([*2)](...)()([*4)]()({[*
3
2421310   mmm xfxfxfxfxfxfxfxf
h
I
Análise
Para o presente trabalho foram desenvolvidos 2 programas computacionais para
aproximação da integral definida dxxxI )2cosh()84(2.0
0  , usando o Método dos
Trapézios e o Método de Simpson.
Cálculo da Integral definida:
dxxxI )2cosh()84(2.0
0 
dxxxxI )]2cosh(*8)2cosh(*4[2.0
0 
dxxxdxxI )2cosh(*8)2cosh(*4 2.0
0
2.0
0 
dxxxdxxsenhI )2cosh(*8)2(*2 2.0
0
Tomando u=8x e dv=cosh(2x)dx. Temos que du=8dx e v=senh(2x)/2.
]
2
8*)2(
|
2
)2(*8
[|)2(*2 2.0
0
2.0
0
2.0
0 dx
xsenhxsenhx
dxxsenhI 
])2(4|)2(**4[|)2(*2 2.0
0
2.0
0
2.0
0 dxxsenhxsenhxdxxsenhI 
2.0
0
2.0
0
2.0
0 |)2cosh(*2|)2(**4[|)2(*2 xxsenhxdxxsenhI 
719879617685.0I
Utilizando os programas elaborados, obteve-se os seguintes resultados:
Método dos Trapézios Método de Simpson
I Erro Absoluto I Erro Absoluto
n=10 0,988137 0,000175231 0,987962 2,3143E-07
n=50 0,987969 7,23143E-06 0,987962 2,3143E-07
n=100 0,987964 2,23143E-06 0,987962 2,3143E-07
Observação: O computador utilizado possui uma precisão de 6 casas após a
vírgula.
Concluiu-se que o Método de Simpson foi mais eficiente que o Método dos
Trapézios. Esse fato já era esperado, haja vista que o Método de Simpson faz

3. aproximações para pequenos trechos usando arcos parabólicos e o Método dos
Trapézios faz aproximações utilizando retas.
2. Interpolação Polinomial
Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função
f(x), principalmente nas seguintes situações:
 Conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos;
 f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo;
 f(x) não é conhecida explicitamente.
Existem diversos métodos para a aproximação de funções polinomiais,
entretanto, no presente trabalho foi utilizado o Método de Lagrange.
Método de Lagrange
O Método de Lagrange representa o polinômio interpolador diretamente a partir
dos pontos originais. Seja um conjunto de n+1 dados [xi, f(xi)]. O polinômio
interpolador p(x), de grau n, que passe por todos os pontos distintos {x0, x1, ..., xn}, é
dado pela fórmula genérica:
)(*)()(
0
ii
n
i
i xfxLxp 

Onde:
)(*...*)(*)(*...*)(*)(
)(*...*)(*)(*...*)(*)(
)(
1110
1110
niiiiiii
nii
ii
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL





Análise
O método de Lagrange é fácil de ser calculado, mas pode se tornar cansativo, a
depender do número de pontos conhecidos da função, haja vista que quanto maior o
número de pontos conhecidos, mais próximo o polinômio será da função original. Desta
forma, foi desenvolvido um programa computacional que interpola o valor da função no
determinado ponto que se deseja a partir de n+1 pontos conhecidos, sendo n>=1.
A tabela a seguir lista valores de uma determinada função que se deseja
interpolar.
X 0 1 3
f(x) -5 1 25
Cálculo do Polinômio:
3
34²
)30(*)10(
)3(*)1(
)0(0





xxxx
L
2
3²
)31(*)01(
)3(*)0(
)1(1






xxxx
L

4. 6
²
)13(*)03(
)1(*)0(
)3(2
xxxx
L





)25(*
6
²
)1(*
2
3²
)5(*
3
34²
)(
xxxxxx
xP







54²2)(  xxxP
Para efeito de comparação, utilizando o programa computacional elaborado,
interpolou-se o ponto x=2.
Pelo polinômio obtido, P(2)=2*2²+4*2-5=11.
No programa, para x=2 também foi obtido P(2)=11.
3. Solução de Equações Diferenciais
A busca de uma solução analítica para uma equação diferencial ordinária com
problema de valor inicial apresenta alguns problemas:
 Os procedimentos para a busca de uma solução analítica não é trivial;
 Muitas questões práticas não possuem solução conhecida;
 Os coeficientes ou as funções existentes na equação diferencial são dados na
forma de um conjunto tabelado de informações experimentais, o que torna
impossível o uso de um procedimento analítico para determinar a solução da
equação.
Neste trabalho trataremos apenas do Método de Runge Kutta de 4ª ordem para a solução
de EDO’s (Equações Diferenciais Ordinárias).
Método de Runge Kutta de 4ª ordem
Dentre os Métodos de Runge Kutta, o de 4ª ordem é o mais popular. A solução
de uma EDO é dado pela fórmula:
]*2*2[*
6
43211 kkkk
h
yyn 
Onde:
)*,(
)*
2
,
2
(
)*
2
,
2
(
),(
34
23
12
1
khyhxfk
k
h
y
h
xfk
k
h
y
h
xfk
yxfk




Análise
Para o presente trabalho foi desenvolvido um programa computacional com o
Método de Runge Kutta de 4ª ordem para a solução da seguinte EDO:
)2sin(10)(*
2
1)(
ttq
dt
tdq


5. Onde:
h=0.1,  =1 e q(0)=0. Dessa forma, temos que:
)2sin(10)(*
2
1)(
ttq
dt
tdq

Solução Analítica:
Método do fator integrante
Vamos procurar um fator integrante que seja função somente de t.
dtd 
2
1

2
*
t
eC , tomando C=1, tem-se:
2
t
e
Logo:
222
2
*))2sin(10(*)(*
2
1)(
*
))(*(
ttt
t
etetq
dt
tdq
e
dt
tqed

Integrando com respeito a t, temos:
dtettqe
tt
  22
*))2sin(10()(*
Ctteetqe
ttt
 )]2cos(*4)2[sin(
17
2
*20)(* 222
2
*)]2cos(*4)2[sin(
17
2
20)(
t
eCtttq


Utilizando o Problema de Valor Inicial (PVI), q(0)=0, obtemos a constante
17
332
C .
Dessa forma, a solução analítica para o PVI será:
2
*
17
332
)]2cos(*4)2[sin(
17
2
20)(
t
etttq

 .
Para 6 passos, htt *606  , dessa forma, temos:
6,01,0*606 t
Pela solução analítica, temos:
2
6,0
*
17
332
)]6,0*2cos(*4)6,0*02[sin(
17
2
20)6,0(

 eq
4713862864,5)6,0( q
Utilizando o programa computacional elaborado, obtêm-se q(0,6)=5,47139.
Dessa forma, observa-se que o valor é bem próximo, além de levar apenas alguns
segundos para o seu cálculo, sendo que resolvendo pela forma analítica poderá ocorrer

6. erros devido ao processo algébrico ser bastante extenso. Lembrando que uma maior
precisão poderá ser obtida, a depender do computador utilizado.
Referências
Ivanovitch Silva. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Disponível em:
<http://www.dca.ufrn.br/~ivan/DCA0399/edo.pdf>. Acessado em: 14 de novembro de
2014.
Jorge Cavalcanti. Interpolação Polinomial Parte I. Disponível em:
<http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/7CN_Interpolacao_Parte1.pdf>.
Acessado em: 14 de novembro de 2014.
Jorge Cavalcanti. Integração Numérica. Disponível em:
<http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/8CN_integracao.pdf>. Acessado em: 14
de novembro de 2014.
Luciana Montera. Integração Numérica. Disponível em:
<http://www.facom.ufms.br/~montera/integracao_parte1.pdf>. Acessado em: 14 de
novembro de 2014.