Contexto e Aplicações Dante - vol 1.pdf

LUIZ ROBERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela PUC – São Paulo
Mestre em Matemática pela USP
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela Unesp – Rio Claro, SP
Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e Médio – São Paulo
Autor de vários livros, entre os quais: Formulação e resolução de problemas
de Matemática – Teoria e prática; Didática da Matemática na pré-escola;
Projeto Ápis Matemática (1º ao 5º ano); Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano);
Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único);
Matemática – Contexto & Aplicações (Ensino Médio – volume único)
2ª edição
São Paulo • 2013
CONTEXTO &
APLICAÇÕES
VOLUME 1
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
Masterfile/Other
Images
Manual
do
Professor

Diretoria editorial: Angélica Pizzutto Pozzani
Gerência de produção editorial: Hélia de Jesus Gonsaga
Editoria de Matemática, Ciências da Natureza e suas Tecnologias:
Cármen Matricardi
Editores: Cibeli Chibante Bueno, Letícia Mancini Martins,
Luiz Paulo Gati de Cerqueira Cesar e Marcela Pontes (estags.)
Supervisão de arte e produção: Sérgio Yutaka
Editor de arte: André Gomes Vitale
Diagramação: Casa de Tipos
Supervisão de criação: Didier Moraes
Editora de arte e criação: Andréa Dellamagna
Design gráfico: Ulhôa Cintra Comunicação Visual
e Arquitetura (miolo e capa)
Revisão: Rosângela Muricy (coord.), Claudia Virgilio (prep.),
Ana Paula Chabaribery Malfa, Arnaldo R. Arruda,
Luís Maurício Bôa Nova e Gabriela Macedo de Andrade (estag.)
Supervisão de iconografia: Sílvio Kligin
Pesquisadora iconográfica: Claudia Bertolazzi
Cartografia: Allmaps, Juliana Medeiros de Albuquerque
e Márcio Santos de Souza
Tratamento de imagem: Cesar Wolf e Fernanda Crevin
Foto da capa: Masterfile/Other Images
Ilustrações: Dam d’Souza, Formato Comunicação
e Paulo Manzi (aberturas das unidades)
Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A.
Av. Otaviano Alves de Lima, 4400
6o
andar e andar intermediário ala A
Freguesia do Ó – CEP 02909-900 – São Paulo – SP
Tel.: 4003-3061
www.atica.com.br/editora@atica.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
Matemática : contexto & aplicações / Luiz Roberto
Dante. – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.
Obra em 3 v.
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
13–03268 CDD–510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática: Ensino médio 510.7
2013
ISBN 978 8508 16299-4 (AL)
ISBN 978 8508 16300-7 (PR)
Código da obra CL 712767
Uma publicação
Versão digital
Diretoria de tecnologia de educação: Ana Teresa Ralston
Gerência de desenvolvimento digital: Mário Matsukura
Gerência de inovação: Guilherme Molina
Coordenadores de tecnologia de educação: Daniella Barreto e
Luiz Fernando Caprioli Pedroso
Coordenador de edição de conteúdo digital: Danilo Claro Zanardi
Editores de tecnologia de educação: Cristiane Buranello e Juliano Reginato
Editores de conteúdo digital: Cibeli Chibante Bueno,
Monique Matos de Oliveira, Alterson Luiz Cação,
Letícia Mancini Martins (estag.) e Marcela Pontes (estag.)
Editores assistentes de tecnologia de educação: Aline Oliveira Bagdanavicius,
Drielly Galvão Sales da Silva, José Victor de Abreu e
Michelle Yara Urcci Gonçalves
Assistentes de produção de tecnologia de educação: Alexandre Marques,
Gabriel Kujawski Japiassu, João Daniel Martins Bueno, Paula Pelisson Petri,
Rodrigo Ferreira Silva e Saulo André Moura Ladeira
Desenvolvimento dos objetos digitais: Agência GR8, Atômica Studio,
Cricket Design, Daccord e Mídias Educativas
Desenvolvimento do livro digital: Digital Pages
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3
Apresentação
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não
possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
o elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as
ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é
criar condições para que você, aluno, possa compreender as ideias
básicas da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a
elas, além de saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de
maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo
foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o qual a
coleção está sendo proposta.
Na abertura das unidades apresentamos um tema que está relacionado com
um dos capítulos que a compõem; ela te dará uma ideia de um dos temas que
será estudado. Já na abertura dos capítulos apresentamos informações gerais,
que podem ter uma abordagem histórica sobre o assunto que será discutido.
Antes de resolver os exercícios, é absolutamente necessário que você es-
tude a teoria, analise os exemplos e refaça os exercícios resolvidos. Na seção
Resolvido passo a passo, comentamos e explicitamos as fases da resolução de
um problema.
A seção Outros contextos foi criada para formular, resolver e interpretar
situações-problema que estão relacionadas a situações reais e/ou relacionadas
com outras disciplinas.
Cada unidade contém ainda as seções Pensando no Enem e Vestibulares de
Norte a Sul, com questões baseadas no Enem (Exame Nacional do Ensino Médio)
e de vestibulares de todas as regiões do país, destinadas a revisar, fixar e apro-
fundar os conteúdos estudados. E no fim de cada volume, na seção Caiu no
Enem, foram incluídas questões do Enem relacionadas a cada unidade.
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente tra-
balhados no Ensino Médio, além de auxiliá-lo em sua preparação para os pro-
cessos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão
sempre bem-vindas.
O autor
A
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Cada volume da coleção é
dividido em quatro unidades
nas quais você encontrará os
seguintes boxes e seções:
UNIDADE
1 Números
e funções
10 11
Área 330,954 km2
Densidade 7 251,5 hab./km2
IDH 0,839
PIB R$ 42,15 bilhões
População 2 375 444
Área 170,298 km2
Densidade 4 638 hab./km2
IDH 0,788
PIB R$ 8,7 bilhões
População 803 811
Área 5 802 km2
Densidade 407,3 hab./km2
IDH 0,844
Área 496, 827 km2
Densidade 2 878, 7 hab./km2
IDH 0,865
Área 3 538, 167 km2
IDH 0,821
População 551 350
Área 218 km2
IDH 0,797
Área 434, 967 km2
IDH 0,856
Área 1 264,296 km2
IDH 0,816
Área 313,140 km2
IDH 0,786
Área 706,799km2
IDH 0,805
Área 11 400 km2
IDH 0,774
Área 1 522,986 km2
IDH 0,841
Museu de Artes
e Ofícios.
Ponte de Todos,
Newton Navarro.
Praça dos Três Poderes,
monumento Os Candangos.
Centro Cultural Usina
do Gasômetro.
Arsenal de Guerra da
Capitania de Mato Grosso. Teatro Santa Isabel.
Jardim Botânico. Cristo Redentor.
Teatro José
de Alencar. Elevador Lacerda.
Teatro Amazonas. Estação da Luz.
Brasília (DF)
Curitiba (PR)
Porto Alegre (RS)
Manaus (AM)
Cuiabá (MT)
Fuleco, o tatu-bola
mascote da Copa
do Mundo de 2014.
O Brasil é uma república federativa constituída político-administrativamente
por 26 estados e um distrito federal, que estão agrupados em cinco regiões.
Os estados estão divididos em municípios, que totalizam, aproximadamente,
5565 em todo o país, entre os quais foram escolhidos doze para receber os jogos
da Copa do Mundo de 2014, sediada no Brasil.
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1. Qual é a cidade-sede da Copa com maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)?
2. Qual é a região do Brasil com maior número de cidades-sede da Copa?
Fonte
de
dados:
<www.portal2014.org.br/cidades-sedes>.
Acesso
em:
4
mar.
2013.
Fortaleza (CE)
Recife (PE)
Salvador (BA)
Belo Horizonte
(MG)
Rio de Janeiro (RJ)
São Paulo (SP)
Natal (RN)
Fortaleza (CE)
Curitiba (PR)
Cuiabá (MT)
Manaus (AM)
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São Paulo (SP)
Salvador (BA)
Rio de Janeiro (RJ)
Recife (PE)
Porto Alegre (RS)
Natal (RN)
Belo Horizonte (MG)
Brasília (DF)
12
Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre eles (ra-
cionais) eram os únicos tipos de números trabalhados pelos gregos até
o século V a.C. Eles acreditavam que esses números fossem suficien-
tes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie –
segmentos de reta, áreas, volumes, etc.
A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu
quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não
correspondia a nenhuma razão entre dois números naturais, o que
significava que a reta numerada continha pontos que não correspon-
diam a nenhum número conhecido. Esses novos números foram cha-
mados irracionais.
O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza,
é um dos mais famosos exemplares dos números irracionais, represen-
tado por
1 5
2
,
1
que corresponde, na forma decimal, ao número
1,61803398... Esse número está presente em diversos elementos da
natureza, arte, arquitetura, música e literatura.
Veja alguns exemplos:
• O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu cor-
po segmentado em forma de espiral, chamada espiral de ouro.
Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na
razão áurea.
• A obra Mona Lisa (1503-1506), de Leonardo da Vinci (1452-1519), apre-
senta a razão áurea em várias partes. Por exemplo, se fizermos um
retângulo ao redor do seu rosto e dividirmos a medida do compri-
mento pela largura, obteremos o número de ouro.
• O Partenon, em Atenas, na Grécia, é um templo grego construído por
volta de 440 a.C., cuja medida da largura dividida pela altura resulta
em aproximadamente 1,6 m.
• O modelo de violino Stradivarius é conhecido por sua qualidade
de som. Antônio Stradivari (1644-1737), que foi o construtor desse
modelo, seguia uma simetria perfeita, ou seja, se medirmos o
comprimento total do violino e medirmos o comprimento do tam-
po e depois dividirmos esses números obtidos, obteremos o nú-
mero de ouro.
A construção dos conjuntos numéricos permaneceu por séculos
como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente
pesquisada, e culminando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos
de George Cantor (1845-1918).
Grandeza: algo que
pode ser medido.
Nautilus com a concha vazia.
Geanina
Bechea/Shutterstock/Glow
Images
1
CAPÍTULO
Conjuntos
numéricos
Violino do modelo
Stradivarius.
Re
ut
er
s/
La
tin
st
oc
k
171
Capítulo 5 • Função exponencial
« Resolvido passo a passo
11. (Uneb-BA) A expressão P(t) K 20,05t
fornece o
número P de milhares de habitantes de uma cida-
de, em função do tempo t, em anos. Se em 1990
essa cidade tinha 300000 habitantes, quantos
habitantes, aproximadamente, espera-se que ela
tenha no ano 2000?
a) 352000 c) 423000 e) 441000
b) 401000 d) 439000
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
É dada uma função exponencial que rela-
ciona o número esperado de habitantes
da cidade com o ano: P(t) K 20,05t
. Tam-
bém é dada a população da cidade em
1990: 300 mil habitantes.
b) O que se pede?
O número esperado de habitantes na cidade
citada no ano 2000.
2. Planejando a solução
A função dada relaciona a população esperada
da cidade com o ano. Entretanto, a função não é
inteiramente conhecida, pois existe uma cons-
tanteKqueprecisaremosdeterminarparaconhe-
cer a função e depois obter a população no ano
2000. Para obter a constante K, usaremos um
dado conhecido: em 1990 a população era de
300milhabitantes.Então,umaprimeiraestraté-
gia a ser seguida pode ser: 1o
) obter K usando os
dados conhecidos de 1990; 2o
) substituir o valor
deKnafunçãoparaconhecê-la;3o
)usarafunção
para estimar a população da cidade em 2000.
3. Executando o que foi planejado
Se em 1990 a população era de 300 mil habi-
tantes, temos P(1990) 300000. Então:
300000 K 20,05 1990
⇒ 300000 K 299,5
⇒
⇒ K
300 000
299,5
Não há necessidade de desenvolver melhor o
valorde K, uma vez que seu valorestá sendode-
terminado apenas para que a função exponen-
cial seja conhecida completamente. Vamos
substituí-lo na função:
P t t
( )
300 000
2
2
99,5
0,05
Com a função completamente determinada,
podemos agora obter P(2000), que é a popu-
lação esperada no ano 2000.
P
P
t
(2000)
300000
2
2
99,5
0,05 2000
⇒
⇒ (
(2000)
300000
2
2
99,5
100
Neste momento, observe a ocorrência de uma
das propriedades da potenciação – divisão de
potências de mesma base:
2
2
2 2
100
99,5
100 99,5 0,5
Assim, temos P(2000) 300000 20,5
.
Atenção: Lembre-se de que potências com ex-
poentes racionais são raízes: 2 2 2 .
0,5
1
2
Agora, temos P(2000) 300000 2 .
Estimando 2 como o decimal 1,41, temos:
P(2000) 300000 1,41 423000
Então, em 2000, espera-se que a população
seja, aproximadamente, de 423000 habitantes.
4. Verificando
Vamos resolver essa questão de outra maneira:
P(1990) K 20,05 1990
⇒ P(1990) K 299,5
⇒
⇒ K
P(1990)
299,5
P(2000) K 20,05 2 000
⇒ P(2000) K 2100
Substituindo K na expressão anterior, temos:
P
P
(2000)
(1990)
2
2 300 000
99,5
100 210
00
99 5
2 ,
300 000 2 300 000 2 300 00
0,5
0
0 1,41
423000
Isso confirma o resultado obtido.
5. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa c.
6. Ampliando o problema
a) Qual é a população esperada para essa cida-
de em 2010? E em 2030?
b) Interprete o que está ocorrendo com a po-
pulação dessa cidade de 20 em 20 anos, ou
seja, de 1990 a 2010, de 2010 a 2030. Isso
parece algo razoável em termos reais?
c) Discussão em equipe
Converse com seus colegas sobre o cresci-
mento populacional e como isso pode afetar
a vida dos moradores de uma cidade. O que
pode ocorrer se uma cidade tiver um grande
aumento populacional em um curto interva-
lo de tempo? Pensem nos pontos positivos e
nos negativos. Que medidas podem ser to-
madas pelas autoridades para evitar que a
qualidade de vida dos cidadãos seja afetada
pelo crescimento populacional?
d) Pesquise
Qual é a maior cidade do planeta em termos
de população (apenas área urbana, sem con-
tar a região metropolitana)? Onde fica?
Quantos habitantes tem?
Exercício resolvido
passo a passo
Apresenta a resolução detalhada de
uma questão ou problema. Não são
modelos a serem seguidos, mas
visam inspirar e indicar estratégias
de resolução.
Conheça
seu livro
Para refletir,
Fique atento!
e Você sabia?
Pequenos boxes que trazem questões para
reflexão ou dicas importantes para o estudo.
Exercícios
Essenciais para a aprendizagem. Ajudam a
fixar e aprofundar os conteúdos estudados.
Unidade 1 • Números e funções
34
Operações com intervalos
Como intervalos são subconjuntos de R, é possível fazer operações
com eles. As operações deintersecção, união, diferençae complementar
serão apresentadas por meio de exercícios resolvidos.
Para refletir
Analise os possíveis significados
de 3, 5 , (3, 5) e 3, 5 .
Exercícios
36.Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede:
a) A 2, 4 e B 3, 6 : A B, A B e A B
b) A x R x 4 e B x R x 1 : A B e
B A
c) A 2, 0) e B 1, : A B e A B
37. Dados A ( 5, 2 , B 6, 6 e C ( , 2 , calcule:
a) A B C c) (A B) C
b) A B C d) A (B C)
38.Dados os intervalos A 1, 4 , B 1, 5 , C 2, 4
e D (1, 3 , verifique se 1 pertence ao conjunto
(A B) (C D).
39. ATIVIDADE
EM DUPLA O diagrama de Venn para os conjuntos A, B
e C decompõe o plano em oito regiões. Desenhem o
diagrama, numerem as regiões e exprimam cada um
dos conjuntos abaixo como reunião de algumas des-
sas regiões.
a) (A
B)
b) (A
B) C
Exercício resolvido
4. Dados A x R 1 x 1 e B 0, 5). Determine:
a) A B; b) A B; c) A B; d) A
B.
Resolução:
a) A B
1 0
5
0
1
1 1
5
A
B
A B
A B x R 0 x 1 0, 1
b) A B
1
5
0
1 1
5
A B
B
A
A B x R 1 x 5 1, 5
c) A B
1 0
5
0
1 1
A B
B
A
A B x R 1 x 0 1, 0
d) A
B
 
A
B não se define, pois A B. 15
Capítulo 1 • Conjuntos numéricos
3 Conjunto dos números naturais (N)
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”
Leopold Kronecker
O conjunto dos números naturais é representado por:
N 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
O primeiro elemento desse conjunto é o zero. Osucessor do zero é o1,
o sucessor do 1 é o 2, e assim por diante. Representa-se o sucessor de um
número natural qualquer n por n 1. Como sempre podemos obter o
sucessor de um número natural, dizemos que o conjunto dos números
naturais é infinito. Tal fato é representado pelas reticências (...) no final.
Os números naturais são usados nas contagens (por exemplo: a
população brasileira é de aproximadamente190 milhões de habitantes),
nos códigos (por exemplo: o CEP de uma empresa em São Paulo é
02909-900) e nas ordenações (por exemplo: o 1o
estado brasileiro em
superfície é o Amazonas e o 2o
é o Pará). Às vezes, são usados também
para expressar medidas de grandezas: 8 horas, 10 cm, 3 litros, 50 kg,
100 km/h, 1 570 745 km2
, etc.
Para refletir
• Qualquer número natural tem um
único sucessor?
• Números naturais diferentes têm
sucessores diferentes?
• O zero é o único número natural que
não é sucessor de nenhum outro?
• Existe um número natural que é
maior do que todos os outros?
Hodômetro: os números indicam
a quantidade de quilômetros já
percorridos por um carro.
Yuri
Tuchkov/Shutterstock
/
Glow
Images
Placa de carro: os números
representam códigos de identificação.
Lara
S.A.
Iwanicki/kino.com.br
Pódio: os números indicam
a ordem dos vencedores.
Superstudio/Getty
Images
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*, obtido excluindo
o zero de N:
N* 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Um subconjunto de N ou parte de N é o conjunto dos números
naturais pares (P):
P 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ou
P 2n; n N
Indicamos assim: P N. (Lê-se P é um subconjunto de N ou P está
contido em N ou P é parte de N.)
N
P
Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou
seja, a soma e o produto de dois números naturais sempre resultam
em um número natural. Já a subtração 3 4, por exemplo, não é
possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introdu-
zindo os números negativos.
Fique atento!
Sempre que queremos excluir o zero
de um conjunto, colocamos o
asterisco ( ) no símbolo que o
representa, por exemplo N*, R*, etc.
Você sabia?
• Todo número par p pode ser escrito na
forma p 2n,em que n é natural.
• S e m e n são naturais, então m n e
m n também serão sempre naturais.
As imagens desta página não estão
em proporção entre si.
Unidade 2 • Função afim e função quadrática
126
Gráfico da função quadrática no computador
Agora, vamos aprender a construir gráficos
de funções quadráticas usando outro software
livre, o Geogebra.
Este é um software matemático, criado por
Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo-
metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis
de ensino e já recebeu diversos prêmios na Euro-
pa e nos Estados Unidos.
A instalação desse software é simples:
• Acesseosite<www.geogebra.org/cms/pt_BR>
e clique em “Download”.
Veja a reprodução da tela a seguir:
• Clique em “Webstart”, faça o download e siga
os passos automáticos de instalação do
programa.
Depois disso, você já pode usá-lo.
Ao abrir o software você verá a seguinte tela:
Observe que destacamos acima o nome das
partes que compõe a tela inicial do software.
Agora, faça as atividades a seguir.
1. Construa o gráfico da função quadrática
f(x) 5 x2
2 6x 1 5 e destaque alguns pontos
importantes. Para isso, siga os passos abaixo.
1o
passo: No campo Entrada (situado na
parte inferior da tela) escreva a função
f(x) 5 x^2 2 6x 1 5 e tecle “Enter”. Observe
que “^” indica a operação de potenciação.
2o
passo: Para obter as raízes da função f, ain-
da no campo de entrada, digite raiz [f] e tecle
“Enter”. Veja que foram criados os pontos
A5(1,0)eB5(5,0),quesãoasraízesdafunção.
3o
passo: Para obter o vértice da parábola,
digite Extremo[ f ] e tecle “Enter”. Assim, foi
criado o ponto C 5 (3, 24), que corresponde
ao vértice da parábola.
4o
passo: Agora,vamosdeterminaropontoem
queaparábolaintersectaoeixodasordenadas
(eixo y). Para isso, digite no campo de entrada
Interseção[f,x50]etecle“Enter”.Observeque
o ponto de intersecção com o eixo y, ponto
D5(0,5),temcomoordenadaovalordotermo
independente (c) da função quadrática.
barra de menu
zona gráfica
zona algébrica
barra de
ferramentas
entrada de comando
Fotos:
Reprodução/<www.geogebra.org>
Matemática
tecnologia
e
Matemática
e tecnologia
Sugestões de atividades em que o
computador é utilizado para visualizar
e manipular gráficos e tabelas. Uma
oportunidade de trabalhar com a
Matemática dinâmica.
Abertura de unidade
Duas páginas que proporcionam
o primeiro contato com um
dos assuntos que será abordado
na unidade.
Abertura de capítulo
Texto introdutório com o objetivo
de apresentar, por meio de uma
situação real ou contexto histórico,
o conteúdo que será estudado no
capítulo.
4
Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_004a005.indd 4 4/16/13 4:59 PM

Atenção! Ainda que seja pedido
“Assinale”, “Indique”, etc.
em algumas questões, nunca
escreva no livro. Dê todas as
respostas no caderno.
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67
66 Capítulo 2 • Funções
Unidade 1 • Números e funções 67
66
Obesidade
Quando comemos mais do que precisamos, o excesso é armazenado em forma
de gordura. Em outras palavras, se o número de calorias que “entra” no corpo for
maior que o de calorias que “sai”, engordamos. Esse desequilíbrio pode ser gerado
por hábitos alimentares errados, pouca atividade física, fatores hereditários, pro-
blemas glandulares, etc. O armazenamento de gordura que se aproxima de um
nível que compromete a saúde de uma pessoa é chamado de obesidade.
Papel confuso da gordura na doença
Foi estabelecida uma nítida associação entre obesidade e várias enfermidades
sérias, entre elas diabetes, hipertensão, doenças cardiovasculares e até alguns tipos
de câncer, embora muitos aspectos dessa relação não tenham sido explicados. Ain-
da assim, a definição médica mais comum de obesidade baseia-se em evidências
de efeitos adversos sobre a saúde em pessoas acima do peso.
O índice de massa corporal (IMC) é um dos parâmetros utilizados para identificar
sobrepeso e obesidade. Esse índice é calculado com a massa de uma pessoa, em quilo-
gramas, dividida pelo quadrado da sua altura, em metros. Já que uma maior mortali-
dadeéencontradaempessoascomIMCmaiordoque30,essenúmerotornou-seumdos
principaisparâmetrosparadefiniraobesidade.UmIMCentre25e30échamadosobre-
peso, refletindo já alguma conexão com efeitos adversos à saúde.
Essas relações epide-
miológicas entre IMC e en-
fermidade, contudo, po-
dem variar em diferentes
subpopulações. E nenhum
número preciso permite
que os médicos determi-
nem qual quantidade de
gorduraexcedentecausará
umadoença.Algumaspes-
soastêmproblemasdesaú-
de com o IMC abaixo de 25,
enquantooutraspermane-
cemsadiascomIMCmaior
do que 30.
Disponível em: <http://g1.globo.com/
ciencia-e-saude/noticia/2012/04/quase-
metade-da-populacao-esta-acima-do-
-peso-diz-saude.html>.
Acesso em: 28 jan. 2013.
Além das diferenças entre as populações, a localização da gordura armazenada
no corpo também parece ser uma variável importante. O tecido adiposo se acumu-
la sob a pele na maioria das áreas corporais, bem como dentro e ao redor dos órgãos
internos, especialmente no abdômen. Muitos estudos sugerem que diabetes e do-
enças cardiovasculares, em particular, estão ligadas a essa gordura intra-abdominal,
ou visceral. Em alguns casos, é relativamente improvável que um excesso signifi-
cativo de gordura nos quadris e coxas – que produz a forma de “pera” no corpo –
cause essas doenças quando não estiver presente também a gordura abdominal
em excesso. Essa última, presente no corpo em forma de “maçã”, está altamente
associada a diabetes e outros desequilíbrios metabólicos, mesmo na ausência de
gordura abundante na parte inferior do corpo.
Adaptado de: FLIER, Jeffrey; FLIER, Eleftheria. Scientific American Brasil, 65. ed., out. 2007.
Trabalhando com o texto
1. Há palavras no texto que você desconhece? Se sim, procure-as em um dicionário.
2. O índice de massa corporal (IMC) é dado pela fórmula IMC ,
p
a2
em que p é a massa,
em quilogramas, e a é a altura, em metros, do indivíduo. A avaliação de um peso, se está
normal, abaixo ou acima do peso ideal, é feita de acordo com a seguinte tabela:
a) Determine o IMC de Amanda, que tem1,60 m de altura e51,2 kg
de massa.
b) Classifique o IMC de Amanda segundo a tabela ao lado.
c) Qual é a altura mínima para que uma pessoa de massa108,3 kg
seja considerada com sobrepeso?
Pesquisando e discutindo
3. Muitas pessoas acreditam que um bebê ou uma criança “gordinha” é sinônimo de boa
saúde. Você concorda com isso?
4. Quais medidas podem ser tomadas para evitar a obesidade?
5. Uma dieta equilibrada não significa eliminar o consumo total de gordura. Pesquise quais
são os benefícios da ingestão de alguns tipos de gordura para o nosso organismo.
Veja mais sobre o assunto
Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites:
• Artigo Cinturas avantajadas do Dr. Dráuzio Varella: <http://drauziovarella.com.br/doencas-
e-sintomas/obesidade/cinturas-avantajadas/>;
• Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade e da Síndrome Metabólica: <www.
abeso.org.br>.
Fonte: Abeso (Associação Brasileira para o Estudo da Obesidade
e da Síndrome Metabólica). Disponível em: <http://www.abeso.
org.br/calcule-seu-imc.shtml>. Acesso em: 5 nov. 2012.
Categoria IMC
Abaixo do peso Abaixo de 18,5
Peso normal 18,5 - 24,9
Sobrepeso 25,0 - 29,9
Obesidade Grau I 30,0 - 34,9
Obesidade Grau II 35,0 - 39,9
Obesidade Grau III 40,0 e acima
Outros
contextos
202 203
Vestibulares de Norte a Sul
Unidade 3 • Função exponencial e função logarítmica Capítulo 6 • Logaritmo e função logarítmica
Região Norte
1. Química
(UFPA) A quantidade x de nicotina no sangue di-
minuiu com o tempo t de acordo com a função
x x
kt
2
0 e . Se a quantidade inicial x0 se reduz à
metade em 2 horas, em 5 horas existirá no sangue:
(Se necessário considerar 2 1,41 .)
a) 17,4% de x0. d) 20,3% de x0.
b) 17,7% de x0. e) 20,6% de x0.
c) 20,0% de x0.
2. Biologia
(UFRR) Em pesquisa recente realizada por cientistas
brasileiros de uma universidade federal comprova-
ram que a ariranha e o mico-leão-dourado são es-
pécies em extinção no Brasil. Com o objetivo de
preservar essas espécies, foram reunidos numa re-
serva florestal 120 ariranhas e 80 micos-leões-dou-
rados. Constatou-se, após alguns anos, que o cres-
cimento da população de ariranhas foi 5% ao ano e
que a população de micos cresceu à taxa de 10% ao
ano. Em quanto tempo, aproximadamente, após a
reunião desses animais na reserva, o número de mi-
cos deve chegar ao dobro do número de ariranhas?
(Use log 3 0,477 e log 1,047 0,019.)
a) 25 anos
b) 20 anos
c) 30 anos
d) 15 anos
e) 10 anos
Região Nordeste
3. Química
(Uneb-BA) Cada elemento radioativo, seja natural
ou obtido artificialmente, se desintegra a uma velo-
cidade que lhe é característica. Meia-vida é o tempo
necessário para que a sua atividade seja reduzida à
metade da atividade inicial. O cobalto60, cuja radia-
ção é muito utilizada em equipamentos de radiote-
rapia, tem meia-vida de 5 anos. Nessas condições, o
tempo necessário para que 800 g de cobalto 60
sejam reduzidos, por desintegração, a 12,5 g, em
anos, é igual a:
a) 20.
b) 25.
c) 30.
d) 35.
e) 40.
4. Ciências Sociais
(UFPE) Um boato se espalha da seguinte maneira:
no primeiro dia, apenas uma pessoa tem conheci-
mento dele; no segundo, ela conta a outras três pes-
soas e, a cada dia que passa, todas as pessoas que
sabem do boato contam-no para três novas pessoas.
Assim, a sequência formada pelo número de pesso-
as que sabem do boato, em termos dos dias que
passam, é dada por 1, 4, 16, 64... Em uma cidade com
1,5 milhão de habitantes, quantos dias serão neces-
sários para que todas as pessoas sejam informadas
do boato? (Aproxime sua resposta para o menor
inteiro maior ou igual ao valor obtido. Dados: use a
aproximação log2 (1,5 106
) 20,52.)
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
5. (UFRN) Se log5 x log5 y 3, com x e y inteiros
maiores que 1, então:
a) x y 15.
b) x y 20.
c) x y 25.
d) x y 30.
Região Centro-Oeste
6. Física
(UFG-GO) A lei de resfriamento de Newton estabele-
ce para dois corpos,A e B, com temperaturas de80 °C
e 160 °C, respectivamente, imersos num meio com
temperatura constante de30 °C, que as temperaturas
dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas fun-
ções TA 30 50 10 kt
e TB 30 130 10 2kt
em
que k é uma constante. Qual será o tempo decorrido
até que os corpos tenham temperaturas iguais?
a) (1 k)log 5
b)
2 18
5
k
( )log
c)
1 13
5
k
( )log
d)
2 5
2
k
( )log
e)
1 2
5
k
( )log
7. Física
(UEG-GO) A intensidade I de um terremoto, medida
na escala Richter, é um número que varia de I 0
até I 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é
dado pela fórmula: I
E
E
,
10
2
3 0
log 



em que E é a
energia liberada no terremoto em quilowatts-hora
e E0 7 10 3
kWh. Aumentando em uma unidade
a intensidade do terremoto, a energia liberada fica
multiplicada por um número:
a) no intervalo de 30 a 40. c) nointervalode20a30.
b) maior que 40. d) menor que 20.
8. Química
(UnB-DF)Suponhaqueafunção y t
( )
( ) 3 1
a
a a
P
P
descreva a população de microrganismos no solo de
um terreno com resíduos tóxicos no instante t 0,
dado em minutos contados a partir do instante ini-
cial t 0, e que essa função satisfaça as seguintes
condições:
I. número de microrganimos em t 0 é 5 109
.
II. P 102
a.
Com base nessas informações, julgue os itens que
se seguem:
a) O valor de P é superior a 1012
.
b) O quociente
y
a
( )
2
é inferior a 9.
Região Sudeste
9. Biologia
(PUCC-SP) Todo indivíduo que durante a sua vida nor-
mal produz ovos ou sementes deve ser destruído em
qualquer período de sua existência, ou durante uma
estação qualquer porque, de outro modo, com base
na progressão geométrica, o número de seus descen-
dentes aumentaria tanto que nenhuma região con-
seguiria suprir suas necessidades de alimentos.
DARWIN, Charles. A origem das espécies. São Paulo: Martin Claret, 2005. p. 126.
Com base na teoria evolucionista de Darwin, consi-
dere uma fêmea de mariposa que deposite 150 ovos,
chegando a 5 gerações em um ano. Supondo que
2
3
dos ovos de cada mariposa morrem e que 50% das
mariposas remanescentes sejam fêmeas, então, ao
final de 1 ano, o número de descendentes fêmeas,
de uma única mariposa: (Use: 510
9 765 625.)
a) será maior que 17 milhões.
b) estará compreendido entre15 milhões e17 milhões.
c) estará compreendido entre13milhões e15milhões.
d) estará compreendido entre11 milhões e 13 milhões.
e) será menor que 11 milhões.
10. Química
(UFU-MG) A acidez de uma solução líquida é medida
pela concentração de íons de hidrogênio H na so-
lução. A medida de acidez usada é o pH, definido por
pH log10 H , em que H é a concentração de
íons de hidrogênio. Se uma cerveja apresentou um
pH de 4,0 e um suco de laranja, um pH de 3,0, então,
relativamente a essas soluções, é correto afirmar
que a razão (concentração de íons de hidrogênio na
cerveja), quociente (concentração de íons de hidro-
gênio no suco), é igual a:
a) 0,001.
b) 0,01.
c) 0,1.
d) 0,0001.
Região Sul
11. Química
(Unisc-RS) As substâncias radioativas emitem partí-
culas e apresentam uma tendência natural a se de-
sintegrar. Assim, com o passar do tempo, sua massa
vai diminuindo. Suponha que um certo material
radioativo perde, todo dia, 5% da massa que possuía
no dia anterior. Se hoje ele tem 15 g, que massa terá,
aproximadamente, daqui a 2 dias?
a) 13 g d) 12,22 g
b) 13,54 g e) 9,85 g
c) 8,4 g
12. Química
(UEL-PR) O Iodo-131 é um elemento radioativo utili-
zado em Medicina nuclear para exames de tireoide
e possui meia-vida de 8 dias. Para descarte de ma-
terial contaminado com 1 g de Iodo-131, sem prejuízo
para o meio ambiente, o laboratório aguarda que o
mesmo fique reduzido a 10 6
g de material radioa-
tivo. Nessas condições, o prazo mínimo para descar-
te do material é de: (Dado: log10 (2) 0,3.)
a) 20 dias.
b) 90 dias.
c) 140 dias.
d) 160 dias.
e) 200 dias.
13. (PUC-RS) A equação 3x
6 pode ser solucionada por
meio da análise do gráfico da função f dada por:
a) f(x) 2x.
b) f(x) 3x.
c) f(x) x
3
.
d) f(x) x3
.
e) f(x) log3x.
Outros contextos
Temas relevantes e atuais que tratam de situações práticas,
articulando a Matemática com outras disciplinas e com temas como
saúde, sociedade, meio ambiente entre outros.
Vestibulares de Norte a Sul
Questões de vestibulares, de todas as regiões geográficas do Brasil,
relacionadas aos conteúdos estudados.
Pensando
no Enem
Atividades
contextualizadas que
visam o desenvolvimento
das competências e
habilidades previstas na
Matriz do Enem.
Caiu no Enem
Questões extraídas do
Enem classificadas de
acordo com as unidades.
65
Capítulo 2 • Funções
Pensando
ENEM
no
1. Biologia
Quando se praticam exercícios físicos, deve-se tomar cuidado com os excessos. Uma das maneiras de monito-
rar a intensidade do esforço aeróbico é medindo a frequência cardíaca (número de batimentos do coração por
minuto) e cuidando para que esse valor fique sempre dentro do recomendado para cada tipo de treinamento,
para cada indivíduo. Esses valores devem ser determinados por um médico, mas, como curiosidade, saiba que
existem algumas fórmulas empíricas utilizadas para isso. Por exemplo, a frequência cardíaca de treino (FCtreino)
para quem deseja queimar calorias pode ser dada por: FCtreino FCrep 0,7 (FCmáx FCrep), em que FCmáx
é a frequência cardíaca máxima e FCrep é a frequência cardíaca em repouso do indivíduo. Para homens, a
frequência cardíaca máxima é determinada empiricamente subtraindo-se de 220 a idade do indivíduo:
FCmáx 220 idade.
Suponha que um homem de 40 anos deseje perder peso. Em repouso, sentado, ele pressiona o pulso duran-
te 15 segundos e conta 20 batimentos cardíacos. De acordo com o texto, qual seria a frequência cardíaca de
treino para essa pessoa?
a) 126 bpm b) 144 bpm c) 150 bpm d) 154 bpm e) 160 bpm
2. Física
Doisirmãos,JoãoePedro,desejamvisitaramãe
deles em São Carlos, SP. João está saindo de
carro de São José do Rio Preto, SP, distante
447 km de São Paulo, SP, e Pedro está saindo de
ônibus, de São Paulo. João conclui, de acordo
com os dados de seu GPS, que a função que
defineoespaçopercorrido(emkm)porseucar-
ro em função do tempo (em horas de viagem)
é S(t) 100t. Pedro, por sua vez, consultando o
GPS de seu celular, conclui que a velocidade
média do ônibus em que viaja é de 86 km/h.
Considereastrêscidadesperfeitamentealinha-
das, e que João e Pedro iniciaram suas viagens
exatamente no mesmo horário.
De acordo com os dados do enunciado, a distância entre eles após 1,5h de viagem será de:
a) 129 km. b) 165 km. c) 168 km. d) 294 km. e) 299 km.
3. (Enem) A figura ao lado apresenta dois gráficos com infor-
mações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas
pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma em-
presa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada
informa o número de reclamações recebidas no dia, o de
linha contínua é o número de reclamações resolvidas no
dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia
ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da
semana em que o nível de eficiência pode ser considerado
muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclama-
ções resolvidas excede o número de reclamações recebidas.
Disponível em: <http://bibliotecaunix.org>. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas in-
formações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na
a) segunda e na terça-feira.
b) terça e na quarta-feira.
c) terça e na quinta-feira.
d) quinta-feira, no sábado e no domingo.
e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
20
30
10
Qui Sex Sáb Dom Seg Ter Qua
0
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2009.
50º O
Trópico de Capricórnio
MS
MG
OCEANO
ATLÂNTICO
PR
RJ
São Paulo
S‹o Carlos
S‹o JosŽ
do Rio Preto
LEGENDA
Capital
Munic’pio
São José do Rio Preto, São Carlos e São Paulo
0 1
km
Allmaps/Arquivo
da
editora
« Veja a seção Caiu no Enem no final do livro.
173
Capítulo 5 • Função exponencial
Césio 137 – o maior acidente radioativo do Brasil
horas após o contato com a substância, o que levou
um grande número de pessoas à procura de hospi-
tais e farmácias, sendo medicadas apenas como
portadoras de uma doença contagiosa. Mais tarde
descobriu-se que se tratava de sintomas de uma
síndrome aguda de radiação. Somente no dia29 de
setembro de 1987 é que os sintomas foram qualifi-
cados como contaminação radioativa.
Os médicos que receberam o equipamento
solicitaram a presença de um físico, pois tinham
a suspeita de que se tratava de material radioa-
tivo. Então o físico nuclear Valter Mendes, de
Goiânia, constatou que havia índices de radiação.
Por suspeitar da gravidade do acidente, ele acio-
nou a então Comissão Nacional Nuclear (CNEN).
Uma das primeiras medidas foi separar todas
as roupas das pessoas expostas ao material ra-
dioativo e lavá-las com água e sabão para a des-
contaminação externa. Após essa medida, as
pessoas tomaram um quelante (substância que
elimina os efeitos da radiação). Com ele, as partí-
culas de césio saem do organismo através da uri-
na e das fezes.
Cerca de um mês após o acidente quatro pes-
soas já haviam morrido. O trabalho de desconta-
minação dos locais atingidos gerou cerca de
13,4 toneladas de lixo (roupas, utensílios, material
de construção, etc.) contaminado.
Após o acidente, cerca de sessenta pessoas
morreram vítimas da contaminação, entre elas
funcionários que realizaram a limpeza do local. O
Ministério Público reconhece apenas 628 vítimas
contaminadas diretamente, mas a Associação das
Vítimas do Césio 137 calcula um número superior
a 6 mil pessoas atingidas pela radiação.
Adaptado de: <www.brasilescola.com/quimica/
acidente-cesio137.htm>. Acesso em: 19 fev. 2013.
Em um acidente radioativo ocorrido no dia 13
de setembro de 1987, em Goiânia, Goiás, foram
contaminadas centenas de pessoas acidentalmen-
te por meio das radiações emitidas por uma cáp-
sula que continha césio 137. Foi o maior acidente
radioativo do Brasil e o maior do mundo ocorrido
fora das usinas nucleares. Tudo teve início com a
curiosidade de dois catadores de lixo que vascu-
lhavam as antigas instalações do Instituto Goia-
no de Radioterapia (também conhecido como
Santa Casa de Misericórdia), no centro de Goiânia.
No local eles encontraram um aparelho de
radioterapia. Removeram a máquina e levaram-
-na até a casa de um deles. Estavam interessados
nas partes de metal e chumbo que podiam ser
vendidas em ferros-velhos da cidade; desconhe-
ciam completamente aquela máquina e o que
havia em seu interior.
No período da desmontagem da máquina,
foram expostos ao ambiente 19,26 g de cloreto de
césio 137 (CsCl). Tal substância é um pó branco pa-
recidocom o sal de cozinha, mas que noescuro bri-
lha com uma coloração azul. Após cinco dias, a pe-
çafoivendidaaumproprietáriodeferro-velho,que
se encantou com o brilho azul emitido pela subs-
tância. Crendo estar diante de algo sobrenatural, o
dono do ferro-velho passou quatro dias recebendo
amigos e curiosos interessados em conhecer o pó
brilhante. Muitos levaram para casa pedrinhas da
substância. Parte do equipamento de radioterapia
foiparaoutroferro-velho,deformaquegerouuma
enorme contaminação com o material radioativo.
Os primeiros sintomas da contaminação (vô-
mito,náusea,diarreiaetontura)surgiramalgumas
Leitura
Técnicos orientando o carregamento de lixo radioativo
depois do acidente com o césio 137.
João
Ramid/Arquivo
da
editora
Para refletir
• Sabendo que o acidente radioativo foi em 1987 e que o
local do acidente só poderá ser habitado novamente
quando a quantidade de césio 137 se reduzir, por
desintegração, a
1
32
da quantidade inicialmente
presente, então o local poderá ser reabitado a partir de
que ano?
Leitura(s)
Textos que visam ampliar e
enriquecer o conteúdo estudado
no capítulo.
Um pouco mais...
Textos e exercícios que ajudam a
aprofundar o conteúdo do capítulo.
38
Um pouco
mais...
Relação de inclusão e implicação lógica
Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Vamos considerar A o conjunto
dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos
desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:
p ⇒ q (p implica q ou p acarreta q),
estamos dizendo que A B.
Exemplos:
a) No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades:
•p: n é um número natural que termina com 3;
•q: n é um número natural ímpar.
Então A 3, 13, 23, 33, … , B 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … e p ⇒ q ou A B.
b) Consideremos, no universo dos quadriláteros, as propriedades:
•p: ser quadrilátero com quatro lados de mesma medida;
•q: ser quadrilátero com lados opostos paralelos.
Nesse caso, A é o conjunto dos losangos e B é o conjunto dos paralelogramos e, portanto, A B. Logo,
p ⇒ q, ou seja, ser losango implica ser paralelogramo, ou, ainda, se um quadrilátero é losango, então
ele é paralelogramo.
c) Outra implicação: Se dois números inteiros, a e b, são pares, então seu produto é par.
Nesse caso, temos um teorema (proposição que devemos demonstrar) em que a hipótese é “a e
b são dois números pares inteiros quaisquer” e a tese é “o produto a b é par”.
Vamos fazer a demonstração ou prova, que consiste de uma sequência finita de passagens lógicas
que permite, a partir da hipótese (p), chegar à tese (q).
Hipótese p: a e b são números pares inteiros quaisquer
Tese q: a b é par
Vamos demonstrar que p ⇒ q.
Demonstração:
Como a é um número inteiro par é da forma a 2n (n Z).
Como b é um número inteiro par é da forma b 2m (m Z).
Assim,
a b 2n 2m 4nm 2 2nm
k
 2 k (k Z)
a b 2k (k Z)
Logo, a b é par, como queríamos demonstrar.
Agora é com você. Demonstre que se dois números inteiros a e b são ímpares, então seu produ-
to a b é ímpar. Lembre-se de que um número inteiro ímpar qualquer pode ser escrito na forma
a 2n 1 (n Z).
Fique atento!
A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim:
• se p, então q;
• p é condição suficiente para q;
• q é condição necessária para p.
«
264
Caiu no Enem
Caiu no Enem
(Enem) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Ca-
dastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um
número de 9 algarismos e outro número de 2 alga-
rismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são
denominados dígitos verificadores. Os dígitos veri-
ficadores são calculados, a partir da esquerda, da
seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são
multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o
primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessiva-
mente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão
da soma dos resultados das multiplicações por 11, e
se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário,
d1 (11 r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra,
na qual os números a serem multiplicados pela se-
quência dada são contados a partir do segundo al-
garismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é
zero se o resto s da divisão por 11 das somas das mul-
tiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 (11 s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos,
inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda
na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram
os dígitos verificadores, recordando-se apenas que
os nove primeiros algarismos eram 123 456 789. Nes-
te caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos
são, respectivamente:
a) 0 e 9. d) 9 e 1.
b) 1 e 4. e) 0 e 1.
c) 1 e 7.
(Enem) Um professor dividiu a lousa da sala de aula
em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu75%
dela com conceitos e explicações, conforme a figura
seguinte.
xxxxxx
xxxxxx xxxx
xxx xxxx xxxx
xxxxx
xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxxx xxxxx xxxxx
x
xxxx xxxx xxxx xxx x x
Xxxxxxxxx xxxxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx xxxx
xxx xxxx xxxx
xxxxx
xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxxx xxxxx xxxxx
x
xxxxxx
xxxxxx xxxx
xxx xxxx xxxx
xxxxx
xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxxx xxxxx xxxxx
x
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por
completo, e, adotando um procedimento semelhan-
te ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez,
utilizando 40% do espaço.
Uma representação possível para essa segunda si-
tuação é:
a)
xxxxxx
xxxxxx xxxx
xxx xxxx xxxx
xxxxx
xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxxx xxxxx xxxxx
x
b)
xxxxxx
xxxxxx xxxx
xxx xxxx xxxx
xxxxx
xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxxx xxxxx xxxxx
x
xxxxxx
xxxxxx xxxx
xxx xxxx xxxx
xxxxx
xxxx xxxx xxxx xxx.
xxxxxx xxxxx xxxxx
x
c) xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
d) xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
e) xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxx xxxxxx
xxxxx xxxxxx
xxxx xxxx xxx
xxxxx xxxxxxxx
xxxxx xxx xxxx
Xxxxxxxxxxx
(Enem) Uma empresa possui um sistema de contro-
le de qualidade que classifica o seu desempenho
financeiro anual, tendo como base o do ano anterior.
Os conceitos são:insuficiente, quando o crescimento
é menor que 1%; regular, quando o crescimento é
maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o
crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%;
ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que
20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%.
Essa empresa apresentou lucro de R$ 132000,00 em
2008 e de R$ 145000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualida-
de, o desempenho financeiro dessa empresa no ano
de 2009 deve ser considerado:
a) insuficiente.
b) regular.
c) bom.
d) ótimo.
e) excelente.
(Enem) Um grupo de pacientes com hepatite C foi
submetido a um tratamento tradicional em que40%
desses pacientes foram completamente curados.
Os pacientes que não obtiveram cura foram distri-
buídos em dois grupos de mesma quantidade e sub-
metidos a dois tratamentos inovadores. No primei-
ro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram
curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacien-
tes submetidos inicialmente, os tratamentos inova-
dores proporcionaram cura de:
a) 16%.
b) 24%.
c) 32%.
d) 48%.
e) 64%.
5

6
CAPÍTULO 1
Conjuntos numéricos
1 Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2 A noção de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
3 Conjunto dos números naturais (N). . . . . . . . . . . . . . . . .15
4 Conjunto dos números inteiros (Z). . . . . . . . . . . . . . . . . .16
5 Conjunto dos números racionais (Q). . . . . . . . . . . . . . . .17
Representação decimal dos números racionais . . . . . . . .18
Números racionais e medidas de grandezas. . . . . . . . . . . .19
Os números racionais na reta numerada . . . . . . . . . . . . . . .19
6 Números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
p (Pi) é irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
O número de ouro dos gregos, f (Fi), é irracional. . . . . . .21
7 Conjunto dos números reais (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Desigualdades entre números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Módulo de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Distância entre dois pontos na reta real . . . . . . . . . . . . . . . 24
8 A linguagem de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Relação de inclusão entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Complementar de um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Operações entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Reunião ou união de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Intersecção de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Propriedades da união e da intersecção. . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Diferença entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Número de elementos da união de conjuntos. . . . . . . . . .31
9 Intervalos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Operações com intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Situações-problema envolvendo
números reais, grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . .35
CAPÍTULO 2
Funções
1 Um pouco da história das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
2 Explorando intuitivamente a noção de função. . . . 42
3 A noção de função por meio de conjuntos. . . . . . . . 45
Definição e notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Domínio, contradomínio e conjunto imagem . . . . 47
5 Estudo do domínio de uma função real . . . . . . . . . . . 48
6 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Sistema de eixos ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Equação de uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
7 Gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
Determinando se um conjunto de pontos
é gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
Construção de gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
Determinação do domínio e da imagem
de uma função, conhecendo o gráfico . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Função crescente e função decrescente:
analisando gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
9 Taxa de variação média de uma função . . . . . . . . . . . 59
10 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva . . . . . . . . . . . . . 60
Função injetiva ou injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Função sobrejetiva ou sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Função bijetiva ou correspondência biunívoca . . . . . . . . 62
11 Função e sequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Progressão aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Sumário
Números e funções
UNIDADE
1
Paulo
Manzi/
Arquivo
da
editora

7
CAPÍTULO 3
Função afim e função modular
1 Situações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2 Definição de função afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Valor de uma função afim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Valor inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Taxa de variação média da função afim
f(x) 5 ax 1 b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
5 Determinação de uma função afim . . . . . . . . . . . . . . . .77
6 Gráfico da função afim f(x) 5 ax 1 b. . . . . . . . . . . . . . 78
Traçado de gráficos de funções afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7 Conexão entre função afim
e Geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 Zero da função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Estudo do sinal da função afim
e de inequações do 1º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Sistema de inequações do 1º grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Inequações-produto e inequações-quociente . . . . . . . . . 86
10 Outras conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Função afim e progressão aritmética (PA) . . . . . . . . . . . . . 89
Função afim e a Física. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Função linear e proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
Função linear e escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11 Funções poligonais ou afins por partes. . . . . . . . . . . . 95
Função módulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Gráfico da função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Outros gráficos de funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . 97
CAPÍTULO 4
Função quadrática
1 Definição de função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2 Situações em que aparece a função quadrática. . 104
Na Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Nos fenômenos físicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Nos esportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
3 Valor ou imagem da função quadrática
em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
4 Zeros da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
Determinação dos zeros da função quadrática. . . . . . . .107
Usando a fórmula x
b b ac
a
5
2 6 2
2
4
2
. . . . . . . . . . . . . .107
Usando a fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
Isolando o x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Por soma e produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Gráfico da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Gráfico da função definida por f(x) 5 x2
. . . . . . . . . . . . . . . 113
Gráfico da função definida por f(x) 5 ax2
, a Þ 0. . . . . . .114
Gráfico da função definida por
f(x) 5 ax2
1 k, com a Þ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
f(x) 5 a(x 2 m)2
, com a Þ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
f(x) 5 a(x 2 m)2
1 k, com a Þ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Gráfico da função definida por f(x) 5 ax2
1 bx 1 c. . . .118
Parâmetro a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Parâmetro b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Parâmetro c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
6 Determinação algébrica das intersecções
da parábola com os eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7 Vértice da parábola, imagem e valor
máximo ou mínimo da função quadrática. . . . . . . .122
8 Estudo do sinal da função quadrática
e inequações do 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
1º caso: D . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
2º caso: D 5 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3º caso: D , 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Outros tipos de inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Conexão entre função quadrática e Física . . . . . . . .132
Movimento uniformemente variado (MUV). . . . . . . . . . .132
10 Conexão entre função quadrática
e progressão aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
Função afim e função quadrática
UNIDADE
2
Andre
Penner/Arquivo
da
editora

8
CAPÍTULO 5
Função exponencial
1 Situações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
2 Revisão de potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Potência com expoente inteiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Inverso de um número a Þ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Potência com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Potência com expoente irracional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
Potência com expoente real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
3 Revisão de radiciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
4 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
Gráfico da função exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
5 Conexão entre funções exponenciais
e progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Caracterização da função do tipo exponencial . . . . . . . .165
6 Equações exponenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Resolução de equações exponenciais simples. . . . . . . . 166
Raízes da equação 2x 5 x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
7 Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8 O número irracional e e a função
exponencial ex
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
9 Aplicações da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . .170
CAPÍTULO 6
Logaritmo e função logarítmica
1 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
Definição de logaritmo de um número . . . . . . . . . . . . . . . .176
Consequências da definição de logaritmo . . . . . . . . . . . . . .177
Propriedades operatórias dos logaritmos. . . . . . . . . . . . . .178
Mudança de base do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
Cálculo de logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
Aplicação dos logaritmos na resolução de equações
exponenciais e de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Definição de função inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Definição da função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Gráfico da função logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Uma relação importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Caracterização das funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . .191
3 Equações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Inequações logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Função exponencial e função logarítmica
UNIDADE
3
Science
source/Photo
researchers/Latinstock

9
CAPÍTULO 7
Sequências
1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Determinação de uma sequência por recorrência. . . . 208
2 Progressão aritmética (PA). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
Representações especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
Classificação das progressões aritméticas. . . . . . . . . . . . .213
Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Soma dos termos de uma PA finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
Fórmula da soma dos termos de uma PA finita. . . . . . . . . .217
Conexão entre progressão aritmética e função afim . . . . .218
3 Progressão geométrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Fórmula do termo geral de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Fórmula da soma dos n primeiros termos
de uma PG finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Conexão entre progressão geométrica
e função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Fórmula da soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . 228
4 Problemas envolvendo PA e PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
CAPÍTULO 8
Trigonometria no triângulo retângulo
1 Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Feixe de retas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Casos de semelhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Propriedade (teorema fundamental
da semelhança) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Uso de semelhança para medir
distâncias inacessíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Polígonos semelhantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
2 Relações métricas no triângulo retângulo. . . . . . . . 244
O triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Elementos do triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Relações métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Triângulos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
As relações métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
3 Relações trigonométricas no
triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Definição de seno, cosseno e tangente
por meio de semelhança de triângulos. . . . . . . . . . . . . 248
Seno, cosseno e tangente só dependem
do ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Relações entre seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . 250
Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis . . . . . .253
Resolvendo triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253
Sequências e Trigonometria
UNIDADE
4
Caiu no Enem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Sugestões de leituras complementares . . . . . . . . . . . . 290
Significado das siglas de vestibulares. . . . . . . . . . . . . . . .292
Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293
Índice remissivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Irin-k
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Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_006a009.indd 9 29/04/2013 08:09

UNIDADE
1 Números
e funções
10
Brasília (DF)
Curitiba (PR)
Porto Alegre (RS)
Manaus (AM)
Cuiabá (MT)
Fuleco, o tatu-bola
mascote da Copa
do Mundo de 2014.
O Brasil é uma república federativa constituída político-administrativamente
por 26 estados e um distrito federal, que estão agrupados em cinco regiões.
Os estados estão divididos em municípios, que totalizam, aproximadamente,
5565 em todo o país, entre os quais foram escolhidos doze para receber os jogos
da Copa do Mundo de 2014, sediada no Brasil.
Fortaleza (CE)
Recife (PE)
Salvador (BA)
Belo Horizonte
(MG)
Rio de Janeiro (RJ)
São Paulo (SP)
Natal (RN)
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11
Área 330,954 km2
IDH 0,839
Área 170,298 km2
IDH 0,788
PIB R$ 8,7 bilhões
População 803 811
Área 5 802 km2
IDH 0,844
Área 496, 827 km2
Densidade 2 878, 7 hab./km2
IDH 0,865
Área 3 538, 167 km2
IDH 0,821
População 551 350
Área 218 km2
IDH 0,797
Área 434, 967 km2
IDH 0,856
Área 1 264,296 km2
IDH 0,816
Área 313,140 km2
IDH 0,786
Área 706,799km2
IDH 0,805
Área 11 400 km2
IDH 0,774
Área 1 522,986 km2
IDH 0,841
Museu de Artes
e Ofícios.
Ponte de Todos,
Newton Navarro.
Praça dos Três Poderes,
monumento Os Candangos.
Centro Cultural Usina
do Gasômetro.
Arsenal de Guerra da
Capitania de Mato Grosso. Teatro Santa Isabel.
Jardim Botânico. Cristo Redentor.
Teatro José
de Alencar. Elevador Lacerda.
Teatro Amazonas. Estação da Luz.
Rubens
C
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1. Qual é a cidade-sede da Copa com maior Índice de Desenvolvimento Humano (IDH)?
2. Qual é a região do Brasil com maior número de cidades-sede da Copa?
Fonte
de
dados:
<www.portal2014.org.br/cidades-sedes>.
Acesso
em:
4
mar.
2013.
Fortaleza (CE)
Curitiba (PR)
Cuiabá (MT)
Manaus (AM)
Ricardo
A
z
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y
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Gerson
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Ricardo
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Ricardo
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Ricardo
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s
Ale Ruaro
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s
Rubens
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Palê Zupp
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São Paulo (SP)
Salvador (BA)
Rio de Janeiro (RJ)
Recife (PE)
Porto Alegre (RS)
Natal (RN)
Belo Horizonte (MG)
Brasília (DF)
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12
Os números naturais (inteiros positivos) e as razões entre eles (ra-
cionais) eram os únicos tipos de números trabalhados pelos gregos até
o século V a.C. Eles acreditavam que esses números fossem suficien-
tes para comparar duas grandezas quaisquer de mesma espécie –
segmentos de reta, áreas, volumes, etc.
A primeira grande crise no desenvolvimento da Matemática ocorreu
quando se percebeu que havia segmentos de reta cuja medida não
correspondia a nenhuma razão entre dois números naturais, o que
significava que a reta numerada continha pontos que não correspon-
diam a nenhum número conhecido. Esses novos números foram cha-
mados irracionais.
O “número de ouro” dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza,
é um dos mais famosos exemplares dos números irracionais, represen-
tado por
1 5
2
,
1
que corresponde, na forma decimal, ao número
1,61803398... Esse número está presente em diversos elementos da
natureza, arte, arquitetura, música e literatura.
Veja alguns exemplos:
• O caramujo Nautilus marinho apresenta a razão áurea em seu cor-
po segmentado em forma de espiral, chamada espiral de ouro.
Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na
razão áurea.
• A obra Mona Lisa (1503-1506), de Leonardo da Vinci (1452-1519), apre-
senta a razão áurea em várias partes. Por exemplo, se fizermos um
retângulo ao redor do seu rosto e dividirmos a medida do compri-
mento pela largura, obteremos o número de ouro.
• O Partenon, em Atenas, na Grécia, é um templo grego construído por
volta de 440 a.C., cuja medida da largura dividida pela altura resulta
em aproximadamente 1,6 m.
• O modelo de violino Stradivarius é conhecido por sua qualidade
de som. Antônio Stradivari (1644-1737), que foi o construtor desse
modelo, seguia uma simetria perfeita, ou seja, se medirmos o
comprimento total do violino e medirmos o comprimento do tam-
po e depois dividirmos esses números obtidos, obteremos o nú-
mero de ouro.
A construção dos conjuntos numéricos permaneceu por séculos
como uma grande questão entre os matemáticos, sendo amplamente
pesquisada, e culminando, no século XIX, com a teoria dos conjuntos
de George Cantor (1845-1918).
Grandeza: algo que
pode ser medido.
Nautilus com a concha vazia.
Geanina
Bechea/Shutterstock/Glow
Images
1
CAPÍTULO
Conjuntos
numéricos
Violino do modelo
Stradivarius.
Reuters/
Latinstock
Contexto_e_Aplicações_Matematica_V1_PNLD2015_012a039_U1_C1.indd 12 4/16/13 5:08 PM

13
1 Números
Os dois principais objetos de que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas.
Quando comparamos uma grandeza e uma unidade obtemos um número. Se a grandeza é discreta, a
comparação é uma contagem e o resultado, um número natural. Por exemplo, quando contamos o número
de selos de uma coleção, aqui a unidade é 1 selo.
Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real. Por exemplo,
quando medimos a distância em quilômetros entre duas cidades, aqui a unidade é 1 km.
Os números estão presentes de modo marcante no nosso dia a dia. Junte-se a um colega, analisem e
resolvam as seguintes situações envolvendo números que vocês já estudaram no Ensino Fundamental.
«
a)
Quantas semanas completas temos de 27/7 a
15/10 do mesmo ano, incluídos esses dois dias?
Ilustrações:
Dam
d'Souza/Arquivo
da
editora
11 semanas completas.
b)
Em uma cidade de Santa Catarina, a temperatu-
ra às 2h era 23 8C.
Das 2h às 5h houve uma variação de 22 8C.
Das 5h às 8h a variação foi de 14 8C.
Das 8h às 11h a variação foi de 13 8C.
Qual foi a temperatura registrada às 11h? 12 8C
c)
Em uma receita para 12 rosquinhas são
necessários 2 copos de leite.
Se dona Laura pretende fazer 36 rosqui-
nhas, que quantidade de leite vai usar? 6 copos.
Em cada uma dessas situações usamos os números para contar ou medir. Neste
capítulo, vamos recordar e aprofundar o que você já sabe sobre os importantes
conjuntos numéricos: o dos números naturais (N), o dos números inteiros (Z), o dos
números racionais (Q) e o dos números reais (R). Você também aprenderá um pou-
co sobre a linguagem dos conjuntos.
Para refletir
Onde mais você usa
números? Troque
ideias com seu colega.
Resposta pessoal.
d)
Qual é a área, em m2
, desse terreno de forma
quadrada? 100 m2
10 m
10 m
10 m
A = ?
10 m

14
2 A noção de conjunto
A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser
expressos todos os conceitos matemáticos.
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:
a) conjunto das unidades federativas da região Centro-Oeste do Brasil: C ⫽ hMato Grosso, Mato Grosso do
Sul, Goiás e Distrito Federalj
b) conjunto dos números primos: B ⫽ h2, 3, 5, 7, 11, 13, …j
c) conjunto dos quadriláteros: Q ⫽ hquadriláterosj
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determi-
nado conjunto A. Quando for, dizemos que:
• a pertence a A e escrevemos a 僆 A.
Caso contrário, dizemos que:
• a não pertence a A e escrevemos a 僆 A.
Nos exemplos acima, temos:
a) Mato Grosso 僆 C e Paraná 僆 C;
b) 2 僆 B e 9 僆 B;
c) retângulo 僆 Q e triângulo 僆 Q.
Outra maneira de representar um conjunto é por meio de uma propriedade ou condição.
Por exemplo, consideremos a propriedade:
p: x é um número natural ímpar.
Essa propriedade pode ser expressa pelo conjunto I ⫽ h1, 3, 5, 7, 9, 11, ...j. Assim, é indiferente dizer que x possui
a propriedade p ou que x pertence a I (x 僆 I).
Consideremos agora a condição c:
c: x é um número natural que satisfaz a condição x ⬎ 5.
Essa condição pode ser expressa pelo conjunto A ⫽ h6, 7, 8, 9, 10, ...j. Nesse caso, também é indiferente
dizer que x satisfaz a condição c ou que x 僆 A.
Agora, consideremos dois conjuntos, E e F. Se todos os elementos de E forem também elementos de F,
dizemos que E é um subconjunto de F ou que E está contido em F ou, ainda, que E é parte de F. Indicamos esse
fato por E 傺 F que pode ser lido das seguintes maneiras:
• E é subconjunto de F; • E está contido em F; • E é parte de F.
Podemos representar esse subconjunto em um diagrama:
F
E
Se E não for subconjunto de F, escrevemos E 傺 F. Nesse caso, existe pelo menos um elemento de E que
não pertence a F.
Exemplos:
a) Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então
A 傺 B, pois todo retângulo é um quadrilátero.
b) Se C ⫽ {1, 2, 3} e D ⫽ {1, 2, 4}, então C 傺 D, pois 3 僆 C e 3 僆 D. Nesse caso,
também D 傺 C.
Você sabia?
Para indicar que 2 não
pertence a I, escrevemos 2 僆 I.
A
B

15
3 Conjunto dos números naturais (N)
“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”
Leopold Kronecker
O conjunto dos números naturais é representado por:
N 5 兵0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...其
O primeiro elemento desse conjunto é o zero. O sucessor do zero é o 1,
o sucessor do 1 é o 2, e assim por diante. Representa-se o sucessor de um
número natural qualquer n por n 1 1. Como sempre podemos obter o
sucessor de um número natural, dizemos que o conjunto dos números
naturais é infinito. Tal fato é representado pelas reticências (...) no final.
Os números naturais são usados nas contagens (por exemplo: a
população brasileira é de aproximadamente 190 milhões de habitantes),
nos códigos (por exemplo: o CEP de uma empresa em São Paulo é
02909-900) e nas ordenações (por exemplo: o 1o
estado brasileiro em
superfície é o Amazonas e o 2o
é o Pará). Às vezes, são usados também
para expressar medidas de grandezas: 8 horas, 10 cm, 3 litros, 50 kg,
100 km/h, 1 570 745 km2
, etc.
Promova um pequeno debate com os alunos,
perguntando o que eles entendem da frase de
Kronecker. Estimule-os a refletir sobre o que
seria“o resto”.
Para refletir
• Qualquer número natural tem um
único sucessor?
• Números naturais diferentes têm
sucessores diferentes?
• O zero é o único número natural que
não é sucessor de nenhum outro?
• Existe um número natural que é
maior do que todos os outros?
Sim.
Sim.
Sim.
Não.
Hodômetro: os números indicam
a quantidade de quilômetros já
percorridos por um carro.
Yuri
Tuchkov/Shutterstock/
Glow
Images
Placa de carro: os números
representam códigos de identificação.
Lara
S.A.
Iwanicki/kino.com.br
Pódio: os números indicam
a ordem dos vencedores.
Superstudio/Getty
Images
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*, obtido excluindo
o zero de N:
N* 5 兵1, 2, 3, 4, 5, 6, ...其
Um subconjunto de N ou parte de N é o conjunto dos números
naturais pares (P):
P 5 兵0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...其
ou
P 5 兵2n; n [ N其
Indicamos assim: P , N. (Lê-se P é um subconjunto de N ou P está
contido em N ou P é parte de N.)
N
P
Em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, ou
seja, a soma e o produto de dois números naturais sempre resultam
em um número natural. Já a subtração 3 2 4, por exemplo, não é
possível em N. Daí a necessidade de ampliar o conjunto N introdu-
zindo os números negativos.
Fique atento!
Sempre que queremos excluir o zero
de um conjunto, colocamos o
asterisco (p) no símbolo que o
representa, por exemplo N*, R*, etc.
Você sabia?
• Todo número par p pode ser escrito na
forma p 5 2n,em que n é natural.
• S e m e n são naturais, então m 1 n e
m ? n também serão sempre naturais.
As imagens desta página não estão
em proporção entre si.

16
4 Conjunto dos números inteiros (Z)
Reunindo os números naturais e os números inteiros negativos, obtemos o conjunto de todos os números
inteiros, que é representado por:
Z ⫽ h..., ⫺4, ⫺3, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, 3, 4, ...j
Algumas grandezas, como a temperatura, são indicadas por números inteiros.
Termômetro indicando temperatura negativa.
Duda
Pinto/Agência
Estado
Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
• N, pois N , Z. Veja a representação no diagrama.
Z
N
• Z* ⫽ Z ⫺ h0j ou Z* ⫽ h..., ⫺4, ⫺3, ⫺2, ⫺1, 1, 2, 3, 4, ...j
Observe que na figura a seguir há uma simetria em relação ao zero.
0 1 2 3 4
...
...
24 23 22 21
O oposto ou simétrico de 3 é ⫺3, bem como o oposto de ⫺3 é 3, valendo:
3 ⫹ (⫺3) ⫽ ⫺3 ⫹ 3 ⫽ 0
No conjunto Z é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja, a soma, o
produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre em um número inteiro. E todas as pro-
priedades das operações em N continuam válidas em Z.
Você sabia?
A letra Z é inicial da palavra Zahl, que
significa ‘número’ em alemão.
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um
número inteiro. Veja exemplos:
a) (⫺8) ; (⫹2) ⫽ ⫺4 é possível em Z
b) (⫺7) ; (⫹2) ⫽ ? não é possível em Z
Assim, foi necessário ampliar o conjunto Z.
Sim, os números inteiros negativos.
Para refletir
• Existe número natural que não é inteiro?
• Existe número inteiro que não é natural?
Não, todo número natural é inteiro.

17
5 Conjunto dos números racionais (Q)
Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e negativas ao con-
junto Z, obtemos o conjunto dos números racionais (Q). Assim, por exemplo,
são números racionais:
⫺ ⫺ ⫺ ⫺ ⫺
2,
3
2
, 1,
1
2
,
1
4
, 0,
1
2
,
3
4
, 1,
5
3
2
e
Observe que todo número racional pode ser escrito na forma
a
b
,
com a [ Z, b [ Z e b ? 0. Por exemplo,
⫺ ⫽ ⫺ ⫽ ⫽ ⫺ ⫽
2
6
3
, 1
2
2
, 2
10
5
,
3
4
,
2
3
, 0
0
2
, etc.
Podemos, então, escrever:
Você sabia?
Fração aparente é aquela que
indica um número inteiro:
12
3;
8
2
4;
4
⫽ ⫺ ⫽ ⫺ etc.
A aparência é de fração, mas
representa um número
inteiro.
O conjunto Q dos números racionais é formado por todos os números
que podem ser escritos na forma de fração com numerador e
denominador inteiros e denominador diferente de zero.
Simbolicamente, indicamos assim:
Q Z Z
⫽ ⫽
| , , 0
x x
a
b
a b b
com e
[ [ ±
{ }
lê-se “tal que”
A restrição b ? 0 é necessária, pois
a
b
, divisão de a por b, só tem signi-
ficado se b não for zero.
Se b ⫽ 1, temos
a
b
a
1
,
⫽ o que implica que Z é subconjunto de Q. Como
N , Z e Z , Q, temos:
N , Z , Q
Z
N
Q
Agora, com os números racionais, podemos efetuar divisões que eram
impossíveis só com números inteiros. Exemplos:
a) 17 : 9
17
9
1
8
9
1,8888...
⫽ ou ou
b) ⫺ ⫹ ⫽
⫺
⫹
⫽
⫺
⫹
⫽ ⫺
7 : 2
7
2
35
10
3,5
( ) ( )
Estimule os alunos a relacionar a
linguagem usual com a linguagem
simbólica. Por exemplo, a [ Z
significa‘a é um número inteiro’.
Você sabia?
A designação “racional”
surgiu porque
a
b
pode ser
vista como uma razão entre
os inteiros a e b. A letra Q,
que representa o conjunto
dos números racionais, é a
primeira letra da palavra
“quociente”.
Verifique se os alunos
compreenderam a linguagem
matemática: N , Z e Z , Q,
então N , Z , Q, ou seja,“se N é
parte de Z e Z é parte de Q, então
N é parte de Q”.

18
Representação decimal dos números racionais
Dado um número racional
a
b
b
, 0,
± sua representação decimal é obtida dividindo-se a por b, podendo
resultar em:
• decimais exatos, finitos, quando o denominador contiver apenas os fatores primos de 10 (2 e/ou 5). Exemplos:
a)
1
2
1 5
2 5
5
10
0,5
5
3
3
5 5
b)
1
4
1
2 2
1 5
2 5
25
100
0,25
2
2 2
5
3
5
3
3
5 5
c)
3
5
3 2
5 2
6
10
0,6
5
3
3
5 5
d)
13
20
13
2 5
13 5
2 5
65
100
0,65
2 2 2
5
3
5
3
3
5 5
• decimais periódicos ou dízimas periódicas, infinitas, quando o deno-
minador da fração na forma irredutível contiver algum fator primo
diferente de 2 e 5. Exemplos:
a)
2
3
0,666...
5 (o período é 6) e representamos assim:
2
3
0,6;
5
b)
1
11
0,0909090... 0,09
5 5 (o período é 09).
Da mesma forma que um número racional
a
b
pode ser represen-
tado por um número decimal exato ou periódico, estes também po-
dem ser escritos na forma de fração
a
b
, que recebe o nome de fração
geratriz do decimal.
Fique atento!
A representação decimal tem um
grande valor prático comparado com
a representação em forma de fração.
Foi o matemático holandês do século
XVI Simon Stevin (1548-1620) quem a
sistematizou em seu livro A dízima,
publicado em 1585.
Para refletir
Por que esse nome,“fração geratriz”?
Porque é a fração que dá
origem ao número decimal.
Acompanhe como escrever a fração geratriz de cada decimal a seguir:
a) 0,75
0,75
75
100
3
4
5 5 fração geratriz
c) 0,414141...
N 5 0,414141...
100N 5 41,414141...
100N 5 41 1 0,414141...
100N 5 41 1 N
99N 5 41
x
41
99
5 fração geratriz
b) 0,222...
x 5 0,222...
10x 5 2,222...
10x 5 2 1 0,222...
10x 5 2 1 x
9x 5 2
x
2
9
5 fração geratriz
d) 0,178
N 5 0,1787878...
10N 5 1,787878...
10N 5 1 1 0,787878... 0,787878...
78
99
.
5
( ) Verifique.
10N 5 1 1
78
99
990N 5 99 1 78
N
177
990
5 fração geratriz
Você sabia?
O número 0,999... é igual a 1, pois o símbolo 0,999... representa o número cujos valores aproximados são 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;
etc., cada vez mais próximo de 1. Dizemos que essa sequência tem 1 como limite.

19
Números racionais e medidas de grandezas
1a
) A unidade u cabe em AB um número inteiro de vezes:
A u
B
Vamos supor que u caiba exatamente p vezes em AB. Então a medida de AB 5 p unidades, em que p é um
número natural. Na representação acima a medida de AB é 5u.
2a
) A unidade u não cabe um número inteiro de vezes em AB:
A u v
B
Nesse caso, procuramos um segmento de reta v que caiba q vezes no segmento unitário u e p vezes no
segmento de reta AB. A medida de v será a fração
1
q
e, consequentemente, a medida de AB será p vezes
1
q
ou seja, igual a
p
q
. Quando tal segmento v existe, dizemos que os segmentos de reta u e AB são
comensuráveis e a medida de AB é o número racional
p
q
.
Na figura acima, temos que a medida de AB u
5
1
2
5 ou 5,5u. Se tomássemos a unidade u como sendo 1
centímetro (1 cm), teríamos que a medida de AB 5 5,5 cm.
Observação: Nem sempre existe o segmento v nas condições acima, ou seja, nem sempre dois segmentos
são comensuráveis. Estudaremos isso ainda neste capítulo.
Os números racionais na reta numerada
Imaginemos uma reta na qual foram fixados um ponto
O, chamado de origem, e um ponto U, diferente de O. To-
mamos o segmento OU como unidade de comprimento (de
medida 1). Escolhemos também um sentido para ser o po-
sitivo. Agora, podemos localizar na reta numerada qualquer
número racional.
Por exemplo, veja a localização dos números racionais
2
3
; 1
1
2
;
2 22,6; 3,25 e 2,333..., além dos inteiros
24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
sentido
positivo
0
O U
unidade
21
22
22,6
21
1
2
23
24 11 12
2,333...
3,25
13 14 15
2
3
• 2
3
fica entre 0 e 1: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e tomamos duas
no sentido de 0 para 1.
• 21
1
2
fica entre 22 e 21, no ponto médio do intervalo.
• 3,25 3
25
100
3
1
4
5 5 fica entre 3 e 4: dividimos o intervalo em 4 partes iguais
e tomamos uma no sentido de 3 para 4.
• 2,333... 2
3
9
2
1
3
5 5 fica entre 2 e 3: dividimos o intervalo em 3 partes iguais
e tomamos uma no sentido de 2 para 3.
Todo número racional tem um ponto correspondente na reta numerada. Mas nem todo ponto da reta
numerada corresponde a um número racional. Assim, o conjunto Q não “preenche” toda a reta numerada, é
como se existissem “buracos” a serem completados com um outro tipo de número: os números irracionais.
Para refletir
• Entre dois números
inteiros, sempre há um
outro número inteiro?
• Entre dois números
racionais sempre há um
outro número racional?
Converse com um colega
sobre isso.
Veja as respostas no
Manual do Professor.
Historicamente, os números racionais estão associados a resultados de medi-
çõesempíricasdegrandezas.Porexemplo,aomedirocomprimentodosegmento
de reta com uma unidade u de medida 1, podem ocorrer duas possibilidades:
Segmento de reta: parte da
reta compreendida entre dois
de seus pontos distintos,
denominados extremos.

20
6 Números irracionais
Por muito tempo, acreditou-se que os números racionais eram suficientes para medir todos os segmentos
de reta, ou seja, que todos os segmentos eram comensuráveis. Os discípulos de Pitágoras também acredita-
vam nisso, mas foram eles próprios que descobriram que o lado e a diagonal de um quadrado são segmentos
de reta incomensuráveis (veja a página 22).
A pergunta é: que número, elevado ao quadrado, resulta em 2? Com o uso de uma calculadora, podemos
obter parte da representação decimal do número fazendo aproximações sucessivas.
2
1 1 ( 2)
2 4 (
2
2
⫽
⫽
⫽
?
menordoque
maiordoqu
ue
está entre e
2)
1 2
2
2
1 4
( ) 1,96( 2)
(1,5) 2,
2
2
⫽
⫽
⫽
?
menordoque
,
2
25 ( 2)
1,4 1,5
maiordoque
está entre e
2
2
(1,41) 1,9881 ( 2)
(1,42)
2
2
⫽
⫽
?
menordoque
⫽
⫽ 2,0164 ( 2)
1,41
maiordoque
está entre e
2 1,42
2
1,414 1,999396( 2)
1,4
2
⫽
⫽
?
( ) menordoque
( 1
15 2,002225( 2)
2
) maiordoque
está entre
⫽
2 1,414 1,415
e
Se continuarmos esse processo, não chegaremos nem a uma representação decimal exata nem a uma
dízima periódica. Portanto, 2 não é um número racional (veja a demonstração desse fato na página 22).
Os números que não admitem uma representação decimal exata nem uma representação na for-
ma de dízima periódica chamam-se números irracionais. 2 é um número irracional, pois a represen-
tação decimal de 2 possui infinitas casas decimais não periódicas.
A sequência 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; etc. aproxima-se do número irracional:
2 1,414213562...
⫽
Observação: Para fazer cálculos, usamos valores racionais aproximados de 2 , como 2 1,41 2 1,4142
ou
. . .
Há infinitos números irracionais; veja alguns:
a) 0,10100100010000100000...
b) 2,71727374...
c) A raiz quadrada de um número natural não quadrado perfeito é irracional: 3 ; 5 ; 8 ;
⫺ ⫺ 10 .
d) A raiz cúbica de um número natural não cúbico perfeito é irracional: 7 ; 11 ; 15 ; 25
3 3 3 3
⫺ ⫺ .
e)
3
2
0,8660254...
⫽
f)
3
5
1,3416408...
⫽
Ao medir a diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade de compri-
mento chegamos a um número que não é racional. Acompanhe:
Usando a relação de Pitágoras:
d2
⫽ 12
⫹ 12
d2
⫽ 2
d ⫽ 2
Diagonal de um polígono
convexo: segmento de
reta que liga dois vértices
não consecutivos de um
polígono convexo.
1
1 d
Estimule os alunos a ler,
interpretar e debater o
texto da página 22. Se
necessário, recorde com
eles a relação de Pitágoras.

21
␲ (Pi) é irracional
O número ␲ é obtido dividindo-se a medida do
comprimento de qualquer circunferência pela medi-
da de seu diâmetro (␲ ⫽ 3,1415926535...). Veja algumas
aproximações para ␲:
3 ⬍ ␲ ⬍ 4
3,1 ⬍ ␲ ⬍ 3,2
3,14 ⬍ ␲ ⬍ 3,15,
etc.
O número de ouro dos gregos, ⌽ (Fi), é irracional
Considere um segmento de reta AB cuja medida AB é de 1 unidade de comprimento. Nele podemos
localizar um ponto C, de tal modo que C divide AB na seguinte proporção: a razão entre o segmento todo
e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor.
A C B
x 1 2 x
Assim,
AB
AC
AC
CB
,
⫽ ou seja:
1
1
1 1 0
2 2
x
x
x
x x x x
⫽
⫺
⫽ ⫺ ⫹ ⫺ ⫽
⇒ ⇒
Resolvendo essa equação, o valor positivo de x é
5 1
2
.
⫺
Consideremos a razão:
1 1
5 1
2( 5 1)
5 1)( 1)
1 5
x
⫽
⫺
⫽
⫹
⫺ ⫹
⫽
⫹
2
5 2
(
⌽ ⫽ ⫽
1 5
1 5
⫹
2
1,6180339887...
Esse número irracional,
1 5
2
⫹
, cujo valor aproximado racional
é 1,618034, é conhecido como número de ouro, razão de ouro ou
ainda razão áurea.
Para os gregos, o número de ouro representava harmonia, equi-
líbrio e beleza. Por esse motivo, muitas construções gregas tinham
como base esse número. Mas foi no século XIII que o matemático
Fibonacci constatou que o número de ouro está presente também
na natureza. No Renascimento, a revalorização dos conceitos es-
téticos gregos levou grandes pintores, como Leonardo da Vinci, a
utilizar o número de ouro em suas pinturas, como na obra Mona
Lisa, citada no início deste capítulo.
Você sabia?
• Que os matemáticos já demonstraram que ␲ é um número
irracional?
• Que o número irracional ␲ foi calculado com o auxílio de
um computador, obtendo-se 1,2 trilhão de casas decimais
sem que tenha surgido uma decimal exata ou uma dízima?
A demonstração feita pelos matemáticos é o único modo
que temos de saber que nenhum computador vai encontrar
periodicidade no cálculo dos algarismos decimais do ␲,
mesmo que examine alguns trilhões de dígitos.
Estimule os alunos a
pesquisar sobre o
número áureo ou
número de ouro dos
gregos.
Mona Lisa, óleo sobre tela de Leonardo
da Vinci.
NYT/The
New
York
Times/Latinstock
O número de ouro será retomado no
capítulo 7, que aborda sequências.

22
Leituras
A crise dos irracionais
Como já dito anteriormente, os pitagóricos acreditavam que,
tomando-se quaisquer dois segmentos, eles seriam comensurá-
veis. Para eles, o dogma de sua doutrina, “TUDO É NÚMERO”,
referia-se aos números racionais, já que eles não concebiam a
existência de outros números que não fossem racionais (inteiro
ou fração).
Assim, como estudamos, ao medirem a diagonal de um qua-
drado cujos lados medem 1 unidade de comprimento, os pitagó-
ricos se depararam com o número irracional 2 1,414213562...,
5
ou seja, descobriram que o lado desse quadrado e sua diagonal são
segmentos incomensuráveis.
Essa descoberta causou, na época, grande constrangimento,
pois punha por terra um dos dogmas centrais dos pitagóricos:
“TUDO É NÚMERO” (racional).
Conta-se que Pitágoras proibiu seus discípulos de divulgar tal
descoberta para não abalar a sua doutrina, mas um deles, Hipaso,
quebrou o voto de silêncio e foi, por isso, duramente punido.
A resistência aos números irracionais prosseguiu por vários
séculos, até que, no fim do século XIX, o matemático George Cantor
fundamentou-os adequadamente.
Prova de que 2 é irracional
Para provar que 2 é um número irracional, vamos supor que ele seja um número racional, ou
seja, que possa ser escrito na forma
p
q
, p [ Z, q [ Z, e q ? 0 e chegar a um absurdo.
Supomos que 2 é racional, ou seja, 2 5
p
q
. Consideramos
p
q
fração irredutível, ou seja, p e
q são primos entre si, isto é, mdc (p, q) 5 1.
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
2
( ) 




 ⇒ ⇒ ( )
2
2 2
2
2 2
2 2 I
5 5 5
p
q
p
q
p q
Como todo número par pode ser escrito na forma 2k, em que k [ Z, temos que p q
k
2 2
2
5
E
F
é par (II).
Assim, p2
é par ⇒ p é par ⇒ p 5 2m, m [ Z (III).
Observe que:
p m p m q m q m
2 4 2 4 2
2 2 (I) 2 2 2 2 (
5 5 5 5
⇒ →
 ⇒ I
II) 2
 →
 q é par ⇒ q é par (IV)
As conclusões (III) de que “p é par” e (IV) de que “q é par” são contraditórias, já que p e q foram
supostos primos entre si. Chegamos a um absurdo. Assim, não podemos supor que 2 é racional.
Logo, 2 é irracional.
Portanto, 2 1,4142135...
5 não é uma decimal exata nem periódica.
George Cantor
Interfoto/Latinstock
Busto de Pitágoras
Araldo
de
Luca/Corbis/Latinstock

23
7 Conjunto dos números reais (R)
Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos
números reais (R).
Comoconstatamos,osnúmerosracionaisnãosãosuficientesparapreenchertodosospontosdaretanumera-
da.OconjuntoRpodeservistocomomodeloaritméticodeumareta,enquantoesta,porsuavez,éomodelogeo-
métricodeR.Porexemplo,ospontosdaretacorrespondentesaosnúmeros2 3 , ,
2 etc.nãosãoalcançadoscom
os números racionais. Já os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada ponto da reta corres-
ponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real corresponde um único ponto da reta.
Por isso, dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta.
Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos
a ela zero), um sentido de percurso e uma unidade de comprimento, por exemplo:
1
0 (unidade de comprimento)
Observe alguns números reais colocados na reta real:
0
⫺1
⫺1,5
⫺2
⫺ 2
⫺
3
4
1
0,5 1,5 2
2
O diagrama ao lado relaciona os conjuntos numéricos estudados até aqui.
Observação: Com os números reais, toda equação do tipo x2
5 a, com a [ N,
pode ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos.
Desigualdades entre números reais
Dados dois números reais quaisquer, a e b, ocorre uma e somente uma das
seguintes possibilidades:
a , b ou a 5 b ou a . b
Z N
Q
R
Ir
N , Z , Q , R
Fique atento!
São reais:
• os números naturais;
• os números inteiros;
• os números racionais;
• os números irracionais.
• Geometricamente, a desigualdade a , b significa que a está à esquerda de b na reta real:
a
a , b
b
A desigualdade a . b significa que a está à direita de b na reta real:
b
a . b
a
• Aritmeticamente, vamos analisar alguns exemplos:
a) 2,195... , 3,189..., pois 2 , 3;
b) 4,128... , 4,236..., pois 4 5 4 e 0,1 , 0,2;
c) 3,267... , 3,289..., pois 3 5 3; 0,2 5 0,2 e 0,06 , 0,08;
d) 5,672... , 5,673..., pois 5 5 5; 0,6 5 0,6; 0,07 5 0,07 e 0,002 , 0,003, e assim por diante.
• Algebricamente, a , b se, e somente se, a diferença d 5 b 2 a é um número positivo, ou seja, vale a , b
se, e somente se, existe um número real positivo d tal que b 5 a 1 d.
Você sabia?
Ordenar os números reais
aritmeticamente é como
ordenar as palavras em
um dicionário.
Uma vez definida essa relação de ordem dos números reais, dizemos que eles
estão ordenados. Usamos também a notação a < b para dizer que a , b ou a 5 b.
Assim:
a < b lê-se a é menor do que ou igual a b.
b > a lê-se b é maior do que ou igual a a.
Notação: conjunto de sinais
com que se faz uma
representação ou
designação convencional.

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