Estatística descritiva e amostragem

ESTATÍSTICA DESCRITIVA - PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
12Q(a) AULA 2 – Amostragem
12Q(a)
Essa é uma versão para o Curso de Quarentena que será aproveitado no B3.3
ROTEIRO DE ESTUDOS
Pré Requisitos:
ESSA AULA NÃO TEM PRÉ-REQUISITOS
COMO PROCEDER?
➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver
um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo.
➢ Faça as tarefas na plataforma Moodle do Podemos – A Plataforma PAPPERT. Esse questionário
está disponível por lá. É possível que em breve sejam publicados vídeos na própria plataforma.
➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos assuntos..
➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS
Amostragem – a coleta de dados
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Fonte: UFSCar
A amostragem (ou seja, escolha de uma
amostra para fazer uma conclusão para toda
população) pode ser feita de várias formas – a
maioria delas aleatória - e existem extensas
teorias sobre amostragens. Esse curso só vai
abordar as classificações e cálculos específicos
de um tipo de amostragem, útil e suficiente para
pesquisas com pequeno rigor científico, a
amostragem sistemática.
Nenhuma pesquisa séria deve ser feita onde a
amostragem é feita sem um critério. Em toda
pesquisa (artigo, monografia inclusive) deve
estar explícito como foi feita a escolha da
amostra.
É fundamental dominar como se fazer uma
amostragem, pois, vimos na aula anterior, que é
impossível selecionar todos os membros da
população para serem estudados.
O ideal é que a amostragem seja aleatória,
porém, existem técnicas de amostragem não-
aleatórias, que são, em geral, menos confiáveis
para induzir um resultado para a população.
Fonte: UFPB

2
NÚMERO DE AMOSTRAS POSSÍVEIS
(Depende do conhecimento de combinações)
Vale comentar, para quem entende de combinações,
que o número de amostras com ‘n’ elementos que
podemos selecionar numa população de tamanho N
é dada por:
(
𝑁
𝑛
)
Ou seja, numa população N=12, para extrair uma
amostra com n=2 elementos teremos
(
12
2
) =
12 ∙ 11
2
= 66
São 66 amostras diferentes.
Portanto todas as amostras possuem uma
probabilidade
1
(
𝑁
𝑛
)
de serem escolhidos.
Note que a quantidade de amostras é muito grande.
Numa pequena população de tamanho N=100 as
maneiras de escolhermos n=4 elementos é de
(
100
4
) =
100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97
4!
= 3.921.225
Esses números são muito grandes! Imagine a
escolha de 4.000 pessoas numa população de
200.000.000!!! É um número praticamente
impossível de ser escrito.
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) (Centro Paula Souza) Uma pesquisa
educacional procura determinar a eficácia de um
novo método de alfabetização de adultos.
Terminado o período de ensino, o rendimento é
medido através dos resultados obtidos pelos
alunos na leitura de um texto.
a) Descreva a população de interesse.
_______________________________________
b) Deve-se usar amostragem neste caso? Por
quê?
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
2) (Magia da Matemática) Numere a segunda
coluna, de acordo com a primeira, e registre a
opção correta:
1) Estudo de números associados a fenômenos.
2) Parte da população observada.
3) Denominação dada a atributos ou a
quantidades, que variam quanto à grandeza.
4) Grupo de indivíduos ou coisas cujas
características são estudadas em forma de um
todo, não interessando um elemento em particular.
5) Cada valor observado de uma variável.
( ) Amostra ( ) Estatística
( ) População ( ) Variável
( ) Dado
a) 5 -1 -4 -3 -2 b) 2 -3 -4 -1 -5 c) 3 -1 -4 -2 -5
d) 2 -1 -4 -5 -3 e) 2 -1 -4 -3 -5
3)Magia da Matemática (Curso de Pedagogia)
Entre as afirmativas seguintes, assinale a que é
FALSA.
a) Faz-se um levantamento por censo quando
todos os elementos da população são
pesquisados.
b) Faz-se um levantamento por amostragem
quando se pesquisa parte de uma população e,
com base no subconjunto pesquisado, pode-se
tirar conclusões sobre toda a população.
c) A decisão entre os tipos de levantamento a
serem realizados, censo ou amostragem,
dependerá, entre outras coisas, do prazo de
realização da pesquisa e dos recursos financeiros
disponíveis.
d) As afirmativas I, II e III são falsas.
4)(TCU) Assinale a opção correta:
a) Estatística inferencial compreende um conjunto
de técnicas destinadas à síntese de dados
numéricos.
b) O processo utilizado para se medir as
características de todos os elementos de uma
dada população recebe o nome de censo.
c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas
por meio das quais são tomadas decisões sobre
uma população com base na observação de uma
amostra.
d) Uma população só pode ser caracterizada se
forem observados todos os seus componentes.
e) Parâmetros são medidas características de
grupos, determinadas por meio de uma amostra
aleatória.
Assinale a alternativa FALSA:
a) A Estatística é constituída de um conjunto de
métodos e processos quantitativos que servem
para estudar e medir os fenômenos coletivos.
b) A população constituída por todos os parafusos
produzidos numa fábrica em um certo dia é finita,
enquanto que a população constituída de todos os

3
resultados (cara ou coroa) em sucessivos lances
de uma moeda é infinita.
c) Um censo constitui-se pelo exame de todas as
unidades de uma população finita.
d) No estudo de determinada característica
associada a uma população, deve-se recorrer a
uma amostra quando for impraticável (ou mesmo
impossível) observar todo o grupo.
e) Experimento aleatório é o conjunto de todos os
resultados possíveis de uma experiência aleatória.
6)Quais dos motivos abaixo NÃO JUSTIFICA o
estudo de uma amostra ao invés de estudar toda
a população?
Escolha uma:
a) Existe impossibilidade prática de análise.
Exemplo: não dá para testar todo o ar do mundo
para verificar níveis de poluição.
b) Selecionar toda a população destruiria todos os
indivíduos, pois, para testar a validade da hipótese
é preciso sacrificar alguns elementos. Exemplo:
verificar se palitos de fósforo estão funcionados.
c) Custos de estudos de toda a população são
muito caros.
d) A população toda não pode ser manipulada,
portanto, a amostra é mais facilmente trabalhada
para encontrarmos os valores que queremos.
7)Por qual motivo a amostragem aleatória é mais
eficiente do que a amostragem não-aleatória.
Lembre-se que usaremos N para o tamanho da população e n
para o tamanho da amostra.
Tipos de Amostragem
QUADRO
Seja uma população de tamanho N e uma
amostra a ser selecionada de tamanho n.
1. Amostragem Aleatória Simples (AAS) - há
um sorteio para cada um dos n elementos, um
por um, sem reposição.
Exemplo: coloque esferas numeradas num
saquinho, cada número associado para uma
pessoa a ser sorteada, e sorteie alguns
números.
2. Amostragem Aleatória Estratificada (AAE)
- a população é dividida em estratos
homogêneos, e são selecionadas elementos em
cada estrato.
O número de elementos a serem sorteados em
cada estrato é proporcional ao seu tamanho.
Exemplo: Vai se fazer uma pesquisa eleitoral e
se decide que o número de selecionados será
proporcional ao número de habitantes de cada
estado do país. Então, se um estado X tem 3
vezes mais habilitantes que um estado Y, serão
escolhidos 3 vezes mais elementos para a
amostra.
Note que a escolha em cada estrato pode ser
feita utilizando-se de outra amostragem, como,
por exemplo, a AAS.
3. Amostragem Aleatória por Conglomerado
ou por Clusters (AAC) - a população deve ser
dividida em grupos homogêneos, e será
selecionado um grupo inteiro. A escolha do
grupo deve ser aleatório.
Fonte: UFSCar
AAE é a mais cara (em termos financeiros) e a
mais precisa entre as três acima.
AAC é a mais barata e a mais imprecisa entre
as três acima.
4. Amostragem Sistemática - veremos a
seguir, em detalhes
5. Amostragens Não Aleatórias - não há um
sistema de referência para sorteio: Pode ser

4
uma amostragem por escolha, ou alguém na rua
esperando para ver quem passa na rua.
É amostragem não aleatória uma enquete feita
pela Internet.
A Amostragem Não Aleatória é obviamente
mais imprecisa que as amostragens aleatórias,
porém, ela tem o seu valor.
5.1 Amostragem por cotas - divisão em grupos
assemelhando-se à AAE, mas sem seleção
aleatória (não há sorteio, mas conveniência).
5.2 Amostragem por julgamento e estudos
comparativos - seleciona-se as unidades da
amostra segundo um perfil definido nos
objetivos de pesquisa.
Exemplos do 5.2 (UFSCAR):
a) Estudo sobre a produção científica dos
departamentos de ensino de uma universidade.
b) Estudo sobre a percepção do conceito de
morte em crianças de diferentes períodos de
desenvolvimento cognitivo (subperíodo pré-
operacional, subperíodo das operações
concretas, período formal).
c)Estudo comparativo da incidência de câncer
de pulmão em grupos de Fumante e Não
Fumantes.
Nos estudos comparativos em geral não se faz
a inferência, não se busca a generalidade.
Erro Amostral - diferença entre estimativa e o
valor real do parâmetro obtido. O erro tolerável
está dentro de uma margem de erro. Não
estudaremos nesse capítulo o erro amostral, e
veremos nesse curso apenas superficialmente.
Quando analisamos toda a população para
tirar conclusão fazemos um CENSO, e
nesse caso não existe amostragem
1)a)Por qual motivos afirmamos que a AAE é mais
cara?
_______________________________________
_______________________________________
b)E que a AAC é a mais imprecisa.
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
2) (Matemátiquês) Identifique a coluna da
esquerda de acordo com a coluna da direita.
3)Quando estudamos toda a população e não
apenas uma amostra, o tipo de estudo realizado é
um
Escolha uma:
a) Survey
b) Estudo de Caso
c) Censo
d) AAS
e) Amostragem Estratificada
4)Associe as técnicas de amostragens que
estudamos. Prefira o caso que mais se adeque
com a definição.
a)Seleciona-se as unidades da amostra segundo
um determinado perfil definido segundo os
objetivos da pesquisa.
Resposta _______________________________
b)A população é dividida em k estratos sendo que,
uma A.A.S. é aplicada em cada um dos deles.
Resposta _______________________________
c)A amostra de tamanho n é selecionada ao acaso
dentre os N elementos da população amostral.
Resposta _______________________________
d)Os elementos da população são agrupados em
conglomerados ou clusters (grupos), que serão as
unidades amostrais a serem selecionadas.
Resposta _______________________________
e)A população é dividida em grupos,
assemelhando-se à A.A.E., mas a seleção não é
aleatória.
Resposta _______________________________

5
5)Classifique as amostragens em aleatória ou não
aleatória.
Amostragem Aleatória por Conglomerados
(A.A.C.)
Resposta _______________________________
Amostragem Aleatória Simples (A.A.S.)
Resposta _______________________________
Amostragem Sistemática
Resposta _______________________________
Amostragem Aleatória Estratificada (A.A.E.)
Resposta _______________________________
Amostragem por Cotas
Resposta _______________________________
Amostragem por julgamento e estudos
comparativos
Resposta _______________________________
6 (Matemátiquês) A seguir são apresentados
casos práticos de amostragem ou censo. Em
alguns casos podem ser possíveis as aplicações
de mais de um tipo de amostragem (o texto está
mais genérico permitindo interpretações
diferentes) e em outros casos, um único tipo de
amostragem é possível (o texto está mais
específico).
Nas questões de A a F defina:
a) Se é um caso de amostragem ou censo;
b) Se for amostragem defina se a
amostragem é probabilística ou não
probabilística;
c) Se a amostragem for probabilística
defina qual o tipo: Aleatória simples,
sistemática, estratificada ou conglomerado;
d) Se a amostragem não for probabilística
defina qual o tipo: Por cotas, por julgamento;
e) Justifique sua resposta apontando as
características da amostragem que o conduziu
a fazer esta opção.
Observação: É interessante que você discuta
com seus colegas as diversas possibilidades
existentes para cada caso.
A) Polícia rodoviária escolhendo um veículo na
rodovia para parar, ver a documentação e fazer
inspeção.
( ) Censo
( ) Amostragem Não Aleatória por Cotas
( ) Amostragem Não Aleatória por Julgamento
( ) AAS
( ) AAE
( ) AAC
( ) Amostragem Sistemática
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
B) Escolha de um número de bingo através de
um sorteio das pedras em uma sacola.
( ) Censo
( ) AAS
( ) AAE
( ) AAC
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
C) Pesquisa realizada sobre veículos, utilizando
levantamento da Anfavea, o qual estabelece o
número de vendas de veículos por tipo de veículo
e potência. O número de veículos escolhido para
a amostra foi proporcional à quantidade vendida
por tipo e potência e os veículos pesquisados
foram selecionados aleatoriamente de uma
relação fornecida pelo DENATRAN.
( ) Censo
( ) AAS
( ) AAE
( ) AAC
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________

6
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
D) Escolha de 10 aeromoças num processo de
seleção de uma empresa aérea entre 380
currículos enviados.
( ) Censo
( ) AAS
( ) AAE
( ) AAC
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
E) Pesquisa realizada por uma empresa de
locação de veículos no aeroporto de confins - MG
com dados de perfil dos passageiros fornecidos
pela INFRAERO. Cada pesquisador recebeu uma
cota de pessoas a serem pesquisadas de acordo
com os diversos perfis e a escolha ficou para o
julgamento do pesquisador.
( ) Censo
( ) AAS
( ) AAE
( ) AAC
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
F) Amostragem pela ADEMG, no campo do
estádio Mineirão, com os torcedores que
assistiram o jogo Brasil e Argentina, para saber
quais os percentuais de torcidas dos times
Cruzeiro, Atlético, América e outros que estavam
presentes, escolhendo em cada portão de entrada
as pessoas que estavam com os bilhetes
terminados pelo números 03 e 07. Os números 03
e 07 foram selecionados através da TNA. O
trabalho de pesquisa iniciou na abertura dos
portões e terminou no fechamento dos mesmos.
( ) Censo
( ) AAS
( ) AAE
( ) AAC
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
Amostragem Sistemática
QUADRO
Temos uma população com N elementos, e
queremos escolher n indivíduos para nossa
amostra.
Etapas de amostragem:
1º) Encontramos o intervalo de amostragem
dividindo N por n:
n
N
k =
2º) Sorteamos um número aleatoriamente entre
1 e k para início causal, chamamos esse
número de ‘i’.
3º) A amostra é composta pelos elementos i,
i+k, i+2k, ..., 1+(n-1)k.
Exemplo. Uma escola tem 744 alunos, todos
numerados de 1 a 744) e eu pretendo escolher
uma amostra de 10 alunos.
1º) Encontro o intervalo de amostragem
k=744:10=74,4.
2º) Sorteamos um número entre 0 e 74.
Suponha que sorteamos 53.
3º) Agora é pegar uma calculadora ou o Excel,
anotar 53 e somar sucessivamente 74,4 (ignore
as casas decimais)

7
Selecionamos como amostra os indivíduos 53,
127, 201, 276, 350, 425, 499, 573, 648 e 722 (10
indivíduos, como queríamos, escolhidos de
forma aleatória).
Caso haja algum problema, por exemplo,
recusa do 127, podemos chamar o 128 para
indivíduo da amostra.
Material adaptado de trabalhos na ESEFM, EE
Barreto Coelho, FAFEM e EE Prof. Pedro
Saturnino de Magalhães.
1) Se utilizando da Amostragem Sistemática,
selecione 10 pessoas numeradas de 1 a 1500. A
primeira a ser sorteada é a de número 108
2)Diga quem será selecionado na amostra,
utilizando-se a AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA:
a) Tenho uma escola de 525 alunos, e quero
selecionar uma amostra de 12 alunos para realizar
um teste.
b) Numerei os livros fiscais de um escritório de
contabilidade de 1 a 425, e quero sortear
aleatoriamente 8 para encaminhar para uma
auditoria. Quais serão os livros a serem
selecionados? (Sorteie o primeiro número como
26)
c) Selecione 18 pessoas de uma empresa para
fazer o primeiro turno de férias em janeiro. Numere
os funcionários por idade (do mais novo ao mais
velho) de 1 a 227. O primeiro a ser selecionado é
o número 1.
d) Numerei todos alunos de uma escola de 1 até
512. Vou fazer um teste em 19 alunos. Aponte o
número desses 19 alunos a serem escolhidos
utilizando-se de uma Amostragem Sistemática.
(Escolha o número a ser sorteado).
3) (Fiscal do ICMS - 89) Em uma amostragem
sistemática, de tamanho 50, de uma população de
2000 elementos, o primeiro elemento selecionado
é o 16. Os dois elementos seguintes a serem
escolhidos são:
a) 32 e 48 b) 50 e 66 c) 50 e 100
d) 56 e 96 e) 56 e 106
4) Magia da Matemática (Curso de Pedagogia)
Uma amostragem sistemática será constituída de
6 elementos, para uma população de 360
elementos. O primeiro elemento sorteado para a
amostra foi o 45. Se todos os elementos do
universo são numerados de 1 a 360, qual será o
terceiro elemento dessa amostra?
a) 165 b) 105 c) 205 d) 245 e) 145

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5)LEIA O ARTIGO E RESPONDA
As 100 melhores séries da história, segundo a
Rolling Stone
A Rolling Stone reuniu atores, diretores,
showrunners e executivos para listar as 100
melhores séries produzidas na história. Será que
a sua está na lista?
Por Alexa Meirelles access_time 1 nov 2017,
17h19 . Publicado em 1 nov 2017, 16h20
100. Eastbound and Down (2009-2013)
99. Oz (1997-2003)
98. The Golden Girls (1985-1992)
97. Portlandia (2011-presente)
96. Gunsmoke (1955-1975)
95. Key & Peele (2012-2015)
94. Jeopardy (1984-presente)
93. Mystery Science Theater 3000 (1988-1999)
92. American Idol (2002-2016)
91. Broad City (2014-presente)
90. The Dick Van Dyke Show (1961-1966)
89. Homeland (2011-presente)
88. Party Down (2009-2010)
87. Doctor Who (1963-presente)
86. Good Times (1974-1979)
85. The Real World (1992-2008)
84. Real Time With Bill Maher (2003-presente)
83. House of Cards (2013-presente)
82. The Jeffersons (1975-1985)
81. Dallas (1978-1991)
80. The Fugitive (1963-1966)
79. In Living Color (1990-1994)
78. Thirtysomething (1987-1991)
77. The Walking Dead (2010-presente)
76. Late Night with Conan O’Brien (1993-2009)
75. American Crime Story: People vs. OJ Simpson (2016)
74. The Ren & Stimpy Show (1992-1996)
73. Transparent (2014-presente)
72. Girls (2012-2017)
71. Mr. Show (1995-1998)
70. Roseanne (1988-1997)
69. The Ed Sullivan Show (1948-1971)
68. The State (2017)
67. The Odd Couple (2015-2017)
66. Downton Abbey (2010-2015)
65. Happy Days (1974-1984)
64. Chappelle’s Show (2003-2006)
63. The Wonder Years (1988-1993)
62. Sex and the City (1998-2004)
61. Your Show of Shows (1950-1954)
60. Beavis and Butt-Head (1993-2011)
59. Hill Street Blues (1981-1987)
58. Roots (2016)
57. Fawlty Towers (1975-1979)
56. 24 (2001-2010)
55. Six Feet Under (2001-2005)
54. The Muppet Show (1976-1971)
53. The Bob Newhart Show (1972-1978)
52. The Colbert Report (2005-2014)
51. Fargo (2014-presente)
50. ER (1994-2009)
49. Taxi (1978-1982)
48. The Office (2005-2013)
47. The Rockford Files (1974-1980)
46. The Mary Tyler Moore Show (1970-1977)
45. Battlestar Galactica (2004-2009)
44. Columbo (1971-2003)
43. The Americans (2013-presente)
42. NYPD Blue (1993-2005)
41. The Honeymooners (1955-1956)
40. The Shield (2002-2008)
39. Lost (2004-2010)
38. Buffy the Vampire Slayer (1997-2003)
37. Orange Is the New Black (2013-presente)
36. Law & Order (1990-2010)
35. My So-Called Life (1994-1995)
34. 30 Rock (2006-2013)
33. South Park (1997-presente)
32. I Love Lucy (1951-1957)
31. Sesame Street (1969-presente)
30. The Tonight Show With Johnny Carson (1962-1992)
29. Monty Python’s Flying Circus (1969-1974)
28. The X-Files (1993-2002, 2016)
27. Arrested Development’ (2003-06, 2013)
26. Friends (1994-2004)
25. Veep (2012-presente)
24. Friday Night Lights (2006-2011)
23. Deadwood (2004-2006)
22. Louie (2010-presente)
21. The Office (U.K.) (2001-2003)
20. Cheers (1982-93)
19. Curb Your Enthusiasm (2000-presente)
18. Star Trek (1966-1969)
17. Twin Peaks (1990-1991)
16. M*A*S*H (1972-1983)
15. The West Wing (1999-2006)
14. The Larry Sanders Show (1992-1998)
13. Late Night With David Letterman (1982-2015)
12. Game of Thrones (2011-presente)
11. Freaks and Geeks (1999-2000)
10. The Daily Show (1996-presente)
9. All in the Family (1971-1979)
8. Saturday Night Live (1975-presente)
7. The Twilight Zone (1959-1964)
6. The Simpsons (1989-presente)
5. Seinfeld (1989-1998)
4. Mad Men (2007-2015)
3. Breaking Bad (2008-2013)
2. The Wire (2002-2008)
1. The Sopranos (1999-2007)
A votação da Rolling Stone que reuniu atores,
diretores, showrunners e executivos elegeu The
Sopranos (Família Soprano) como a melhor série
de todos os tempos. Narrando a vida da família
ítalo-americana envolvida com a máfia, a série tem
6 temporadas aclamadas pela crítica, com nota
9,2 no IMDb e 97% de aprovação no Rotten
Tomatoes.
RESPONDA
Eu quero selecionar aleatoriamente 7 séries em
uma amostragem sistemática para fazer uma
análise de qualidade e publicar num jornal de
circulação local.
Critérios:
* Despreze as casas decimais (arredonde por
truncamento)
* A série número 3 foi a primeira a ser sorteada.
Qual das séries abaixo NÃO SERÁ sorteada?

9
Escolha uma:
a) Orange Is The New Black
b) Battlestar Galactica
c) Twin Peaks
d) Breaking Bad
e) Doctor Who
6) (Freund) A seguir estão as percentagens de
pessoas com 25 anos de idade ou m ais com
alguma formação superior, mas sem título, nos 50
estados norte-americanos, listados em ordem
alfabética por estado, como revela o censo dos
EUA de 1990:
Relacione as dez amostras sistemáticas possíveis
de tamanho n=5 que podem ser extraídas dessa
lista, partindo de um dos primeiros dez números
da primeira linha e então tomando cada décimo
número na lista.
7) (Freund) A seguir estão os números relativos
ao volume mensal do correio aéreo (em milhões
de toneladas) transportadas em rotas domésticas
dos EUA durante um período de quatro anos.
Relacione as seis amostras sistmeáticas possíveis
de tamanho n=8 que podem ser extraídas dessa
lista começando com um dos seis primeiros
números da primeira linha e tomando cada sexto
número.
Amostragem Estratificada
QUADRO
A Amostragem Estratificada exige uma divisão
proporcional.
Exemplo (Freund): Extraia uma amostra
estratificada de tamanho n=60 de uma
população que consiste de três estratos de
tamanhos N1=2000, N2=1200, N3=800. Para que
alocação seja proporcional, qual deve ser o
tamanho da amostra a ser extraída de cada
estrato?
Resolução: A população tem tamanho
N=2000+1200+800=4000. Basta fazer uma
divisão proporcional (como já vimos no B1):
𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 60
𝑛1
2000
=
𝑛2
1200
=
𝑛3
800
=
60
4000
Isolando cada equação
𝑛1
2000
=
60
4000
⇒ 𝑛1 = 30
𝑛2
1200
=
60
4000
⇒ 𝑛2 = 18
𝑛3
800
=
60
4000
⇒ 𝑛3 = 12
Devemos selecionar 30 pessoas do 1º estrato,
18 pessoas do 2º estrato e 12 pessoas do 3º
estrato.
Em geral, livros apresentam fórmulas, o que é
fácil ver que é desnecessário. Mas a fórmula a
seguir
𝑛𝑖 =
𝑁𝑖
𝑁
∙ 𝑛
que pode ser aplicada diretamente para verificar
o tamanho da amostra em cada estrato.
Você consegue provar a validade dessa
fórmula?

10
1) (Veduca) Existem diversas maneiras de
classificar as pessoas. Cada classificação tem um
propósito diferente. Uma das classificações úteis
para questões de Marketing por exemplo é a
classificação em classes sociais. Analisando os
diferentes critérios propostos para classificação
empregados atualmente no Brasil, podemos
generalizar as seguintes categorias:
1. Classe A: inclui as famílias com renda mensal
igual ou maior que R$ 14.400,00.
2. Classe B: inclui as famílias com renda mensal
entre R$ 7.100,00 e R$ 14.399,00.
3. Classe C: inclui as famílias com renda mensal
entre R$ 2.600,00 e R$ 7.099,00.
4. Classe D: inclui as famílias com renda mensal
igual ou menor que R$ 2.599,00.
Suponha que uma determinada população em
estudo distribui-se nesses estratos, de acordo com
as quantidades a seguir:
Classe A: 60
Classe B: 90
Classe C: 120
Classe D: 480
Se temos a possibilidade de retirar no total 100
unidades amostrais para analisar o
comportamento de consumo dessa população,
quantas unidades amostrais devem ser retiradas
de cada classe?
Considere que o processo de amostragem deve
ser estratificado.
2)(Magia da Matemática -Curso de Pedagogia)
Numa escola estão matriculados 280 meninos e
320 meninas (não existindo alunos irmãos). O
diretor da escola, desejoso de conhecer as
condições de vida extra-escolar de seus alunos e
não dispondo de tempo para entrevistar todas as
famílias, resolveu fazer um levantamento por
amostragem proporcional estratificada, composta
de 50 alunos. As famílias de quantos meninos
serão entrevistadas?
a) 23 b) 42 c) 25 d) 27 e) 28
Uma cidade A , apresenta o seguinte quadro,
relativo ao número de estudantes de suas escolas
de Ensino Fundamental.
Obtenha uma amostra proporcional estratificada
de 120 estudantes e indique quantos meninos
representarão a escola Z
a) 15 b) 11 c) 14 d) 20 e) 32

11
4) (Freund) Uma amostra de tamanho n=40 deve
ser extraída de uma população de tamanho
N=1.000, que consiste em quatro extratos de
tamanhos N1=250, N2=600, N3=100, N4=50. Se
a alocação deve ser proporcional, qual deve ser o
tamanho da amostra a ser extraída de cada um
dos quatro estratos?
5) Você vai realizar uma pesquisa eleitoral, com
base numa amostragem estratificada, e deverá
entrevistar 3.500 pessoas, de maneira
proporcional à população de cada uma das 5
regiões geográficas (Norte, Nordeste, Centro-
Oeste, Sudeste e Sul). Determine quantas
pessoas de cada região geográfica serão
entrevistadas. (Use a Internet para descobrir a
população de cada região geográfica).
Não confunda a palavra estrato com “s” com a palavra extrato
com “x”. As duas palavras existem e tem significados diferentes;
Sorteio de Números Aleatórios
QUADRO
Existem vários aplicativos e calculadoras
para sorteio de números aleatórios.
Também existiam tabelas de números
aleatórios no passado, para favorecer esses
sorteios.
No Excel, o número aleatório entre 0 e 1 é
gerado por
=ALEATÓRIO()
Também há aplicativos no celular ou sites
como o https://sorteador.com.br/
Veja uma tabela que usaremos:

12
1) (Freund) Uma organização quer incluir 6 dos 50
estados norte-americanos numa pesquisa de
mercado. Se os estados fossem numerados 01,
02, 03, ..., 49 e 50 em ordem alfabética e se a
organização usasse as colunas 6 e 7 e descesse
a página começando na linha 3 da tabela do texto,
quais estados seriam incluídos na pesquisa Uma
lista que associa números dos elementos de uma
população para fins de obtenção de uma
amostragem é denominada uma estrutura
amostral. Para este exercício, tal lista pode ser
obtida da lista de prefixos nacionais de um
catálogo telefônico.
2)(Freund) a)Uma hematologista deseja conferir
novamente uma amostra de n=10 dos 653
espécimes de sangue analisados em seu
laboratório num determinado mês. Em seus
registros, esses espécimes de sangue estão
numerados 3250, 3251, 3252, ..., 3901 e 3902.
Quais espécimes ela selecionaria se usasse as
colinas 21, 22 e 23 e descesse a página
começando na linha 16 da tabela do texto? (Como
todos os núemros começam com 3, esse dígito
pode ser omitido na seleção da amostra)
b)Use uma calculadora estatística, uma
calculadora gráfica, um site ou um computador
para refazer o exercício.
3)(Freund) a)Ao longo de duas semanas, a seção
de calçados de uma loja de departamentos
registrou trezentas vendas, com respectivas notas
fiscais numeradas de 251 a 550. Se um auditor
quisesses conferir n=12 dessas notas fiscais
selecionadas ao acaso, quais ele conferiria se
escolhesse as colunas 18, 19 e 20 e descesse
pelas colunas começando na linha do alto da
tabela do texto?
4) (Freund) a)Um assessor da prefeitura deseja
reavaliar uma amostra aleatória de 50 das 7.964
residências unifamiliares do município e ele pede
sua ajuda na seleção da amostra. Primeiro, você
cria uma estrutura amostral atribuindo a essas
residências os números 0001, 0002, 0003, ....,
7963 e 7964, e então usa as quatro primeiras
colunas da tabela, descendo pela página a partir
da linha do alto, continuando com as próximas
quatro colunas, também descendo pela página a
partir da linha do alto. Em termos da numeração,
quais residências seriam selecionadas dessa
maneira?

13
Exercícios de Aprofundamento
(Depende de compreender probabilidade e
combinatória – opcionais nesse caso)
1) (Freund) a) Quantas amostras de tamanho n=2
podem ser extraídas de uma população finita de
tamanho:
a1) N=60 a2)N=75
b) Quantas amostras de tamanho n=3 podem ser
extraídas de uma população finita de tamanho:
b1) N=8 b2) N=40
c)Qual é a probabilidade de cada amostra possível
se extraímos uma amostra aleatória de tamanho
n=4 de uma população finita de tamanho N=12?
d)Qual é a probabilidade de cada amostra possível
se extraírmos uma amostra aleatória de tamanho
n=6 de uma população finita de tamanho N=10?
e) Liste as 20 possibilidade de amostras de
tamanho n=3 que podem ser extraídas de uma
população finita cujos elementos são denotados
por u, v, w, x, y e z.
e1) Qual é a probabilidade de que as amostras do
item 'e' vá incluir os elementos denotados por u?
e2) Qual é a probabilidade de que as amostras do
item 'e' vá incluir os elementos denotados por u e
v?
2) (Freund) Uma livraria de campus universitário
mantém em estoque sete livros diferentes de
história da arte, oferecendo um desconto de 10%
na compra de quaisquer três deles. De quantas
escolhas diferentes dispõe um cliente?
3)(Freund) Uma pessoa planejando uma viagem
aos EUA tem amigos em Los Angeles, San
Francisco, Chicago, Nova York e Boston. Se ela
escolhe três dessas cidades ao acaso, quais são
as probabilidades.
a)de cada uma das seleções possíveis;
b)de que a seleção vá incluir San Frnacisco;
c)de que a seleção vá incluir San Francisco e
Chicago?
4)(Freund) Baseando-se em seus volumes de
vendas, 9 de 12 revendedores de automóveis zero
quilômetro de uma cidade estão classificados
como sendo pequenos, e as outros três como
sendo grandes. Quantas amostras estratificadas
diferentes de quatro desses revendedores de
automóveis zero quilômetros podemos escolher,
se
a) a metade da amostra deve ser alocada a cada
um dos estratos;
b) a alocação deve ser proporcional?
5)(Freund) Dentre 36 pessoas escolhidas para as
secretarias de um município, 18 são advogados,
12 são executivos de firmas e 6 são professores.
Quantas amostras estratificadas diferentes de seis
dessas pessoas podemos escolher, se
a) um terço da amostra deve ser atribuído a cada
um dos estratos;
b) a alocação deve ser propocional?

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